2. Relativitätstheorie 2.1.1. Grundlagen, Michelson-Morley- Experiment 2.1. Spezielle Relativitätstheorie Newton: •Es gibt einen absolut ruhenden Raum Weltäther •Es gibt eine absolute (universelle) Zeit •Gleichförmig im Weltäther bewegte Systeme Inertialsysteme •Bewegungsgleichung in Inertialsystemen: t d p d F t v t z, y, x, Σ t , z , y , x Σ v Wechsel des Inertialsystems: Galilei- Transformation t t t v r r
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2. Relativitätstheorie 2.1.1. Grundlagen, Michelson-Morley-Experiment 2.1. Spezielle Relativitätstheorie Newton: Es gibt einen absolut ruhenden Raum Weltäther.
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2. Relativitätstheorie
2.1.1. Grundlagen, Michelson-Morley-Experiment
2.1. Spezielle Relativitätstheorie
Newton: • Es gibt einen absolut ruhenden Raum Weltäther• Es gibt eine absolute (universelle) Zeit• Gleichförmig im Weltäther bewegte Systeme Inertialsysteme
• Bewegungsgleichung in Inertialsystemen:td
pdF
tv
tz,y,x,Σ
t,z,y,xΣ
v
Wechsel des Inertialsystems:Galilei-Transformation
tttvrr
Einstein: • Es gibt keinen Weltäther und keine absolute Zeit• Physikalische Gesetze sind in allen Inertialsystemen identisch
(Äquivalenzpostulat)• Die Vakuumlichtgeschwindigkeit c8
m s ist eine Naturkonstante, unabhängig vom Inertialsystem und unabhängig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle
Lorentz-Transformation
rβtcγtc
rβtcγβrr γ1γ
tv
tz,y,x,Σ
t,z,y,xΣ
cβv
Wechsel des Inertialsystems:
β1
1 γ
2
β1
1 γ
2
Spezialfall:
zβtcγtcyy,xxtcβzγz
zeββ
Test der Ätherhypothese: Das Michelson-Morley-Experiment
Laser
Wellenlänge
SpiegelM2
Spiegel
M1M0
Fernrohr / Detektor
M0: halbdurchlässiger Spiegel
M0: halbdurchlässiger Spiegel
L
L
Drehbares Interferometer
Drehbares Interferometer
v
Relativgeschwindigkeit zum ruhenden Äther
Originalapparatur: Leff m
Interferenz-Streifen
Vorhersage (Newton): Interferenzstreifen verschieben sich bei Drehung
Vorhersage (Einstein): Interferenzstreifen unabhängig von Orientierung
Laser
Wellenlänge
SpiegelM2
Spiegel
M1M0
Fernrohr / Detektor
L
L
v
Äthersystem:cc
M0 M1
Laborsystem:c vc v
M0 M1
22221010 vc
cL2
vc
vcvcL
vc
L
vc
LtΔ:MMM
c
Lγ2
1
2tΔ 2
cv
cL
12
2
Laborsystem:
M0
M2
Äthersystem:
M0
M2
L
2tΔv
22212
2 ΔtvL2tΔc
Laufstrecke M0 M2 M0 im Äthersystem:
22
222 tΔvL4tΔc
c
Lγ2
1
2
vc
L2tΔ
2
2
cv
cL
222
Laser
Wellenlänge
SpiegelM2
Spiegel
M1M0
Fernrohr / Detektor
L
L
v
c
Lγ2tΔ
:MMM
2
020
c
Lγ2tΔ
:MMM
21
010
Laufzeitdifferenz der interferierenden Strahlen:
1γc
Lγ2tΔtΔtδ 21
4221
2ββ1
β1
1γ O
Taylorentwicklung:
4242
ββc
Lβ
2
β
c
L12 OO
Laser
Wellenlänge
SpiegelM2
Spiegel
M1M0
Fernrohr / Detektor
L
L
v
βc
Ltδ 2 β
c
Ltδ 2
Interferenzstreifen
1λ
tδc
Optischer Gangunterschied: (in ,,Streifennummern”)2βλ
L
λ
tδc
Verschiebung der Streifen bei Drehung um 90:
2βλ
L2
λ
tδc2
4,0βλ
L2 2 Streifen
Zahlen für Originalapparatur (Beobachtung über ein volles Jahr):414
Messresultat: sμ2,2 τ sμ2,2 τ mittlere Lebenserwartung des Myons in seinem Ruhesystem
Entstehung kosmischer Myonen:
h
kmWechselwirkung kosmischer Strahlen (Protonen…) in der Atmosphäre
GeV0,1cm
GeV5E2
μ
μ
1β , 50
cm
Eγ
2μ
μ 1β , 50cm
Eγ
2μ
μ
Problem (für Prof. Newton):
km40m660sμ2,2103τcβ sm8
Einsteins Triumpf aus Sicht des Myons:Längenkontraktion
τcβm800km40hh 501
γ1
μ
und aus Sicht des Beobachters:Zeitdilatation
hkm33103sμ110cβtΔ
sμ110sμ2,250τγtΔ
sm8
Erde
Erde
Test 2: Elementarteilchen in Detektoren
GeV5cm
GeV100E2
B
B
1β , 20cm
E γ
2B
B 1β , 20cm
E γ
2B
B
mm9τcβ γ
mm0,45τcβ ps1,5τ
B
BB
Messung mit Silizium-Streifen- oder Pixel-
Detektoren
Messung der Zerfallslängen ,,langlebiger Teilchen” LHC
Large Hadron Collider
CERN (Genf)
Beispiel: LHC am CERN
p
Beauty-Meson B0
GeV100EB Zerfallp
Ep7 TeV
z. B.
Ep7 TeV
Montage des ATLAS Pixel-Detektors
Einfahren des Silizium-Streifendetektors in den ATLAS-Spurdetektor
Photo: CERN
Photo: CERN
Einfahren des Kalorimeters in den ATLAS-Myondetektor
Photo: CERN
Test 3: Das Concorde-Experiment und das ZwillingsparadoxonVerzögerung einer Atomuhr an Bord einer Concorde während einer Erdumrundung:
•Qualitative Bestätigung der Zeitdilatation•Quantitative Bestätigung nur nach Korrek-tur auf Effekte der allgemeinen Relativitäts-theorie (Beschleunigung des Flugzeugs,
Potentialdifferenz gemäß Flughöhe)
Auflösung des ,,Zwillingsparadoxons”
A
B
A
B
A A
BB
Zwilling A: B bewegt sich schnell altert langsamer (Zeitdilatation)
Zwilling B: A bewegt sich schnell altert langsamer (Zeitdilatation) Paradoxon
Lösung: B beschleunigt kein Inertialsystem Sichtweise von A ist korrekt
2.1.3. Der Dopplereffekt
a) Schallwellen: Schallgeschw. im Medium (Luft, Festkörper,) cS
,,Schalläther”,,Schalläther”
β1νν S β1νν S
v
Q ( ) B
T T
1c
vβ
Ss 1
c
vβ
Ss
Quelle bewegt
β1
νν
S
β1
νν
S
Q
B
vcS
c
vβ
Ss
c
vβ
Ss
Beobachter bewegt
b)Lichtwellen: Nur Relativgeschw. relevant Situationen äquivalent
c
Relativ-Geschwindigkei
t
β1
β1νν
β1
β1νν
cβ γθcosβ1
νν
γθcosβ1
νν
Präzisionstest an Ionenspeicherringen mit Strahlkühlung:
TestSpeicherRing am Max-Planck-Institut für Kernphysik in Heidelberg
514 nm
585 nm
Resonanzbedingung:
Argon-Laser: 0p νβ1
β1ν
Dye-Laser: 0a νβ1
β1ν
ν
νν
p
20
a ν
νν
p
20
a
Zahlen:
Messung an ruhenden Li-Ionen: 0 546 466 918,79 (40) MHz
Stabilisierte Ar-Laser-Frequenz: p 582 490 603,38 (16) MHz
direkte Beobachtung der Umwandlung von Ruhemasse in Strahlungsenergie
Spezialfall: Zerstrahlung von Positronium in Ruhe
ee
keV511E γ keV511E γ
anorganischer Szintillatorkristall
, z.B. Na J
Photomultiplier
Verstärker
Analog-Digital-Wandler ( ADC )
Medizinische Anwendung:Positron-Emissions-
Tomographie
PET
Experimenteller Test: Erzeugung von Masse aus Energie
eme
mee
in42
Bout
2ein
m10cGeV10m2m
cMeV1m2m
in42
Bout
2ein
m10cGeV10m2m
cMeV1m2m
Umwandlung kinetischer Energie in Ruhemasse
BABAR-Experiment, SLAC, U.S.A.
BELLE-Experiment, KEK, Japan
(ruhend)
(ruhend)0B
0B
e
me
me
e
cMeV1m2m
0m2m2
eout
γin
cMeV1m2m
0m2m2
eout
γin
Umwandlung von Strahlungs-energie in Ruhemasse
Extrembeispiel: ,,Computer! Earl Grey Tee!Heiß!”
Anwendung: Kernspaltung und Kernfusion
Definition: Die Energie, die benötigt wird, um alle Protonen und Neutronen unendlich weit voneinander zu trennen, heißt Bindungsenergie EB des Atomkerns.
2BNeutronenProtonenKern cEMMM
Massendefekt
Bindungsenergie pro Nukleon ( Proton oder Neutron )
KernmassenzahlH Fe U
Umwandlung Masse Energie durch Spaltung von Kernen
Kernkraftwerke Atombomben
Umwandlung Masse Energie durch Kernverschmelzung
Sonnenenergie Wasserstoffbomben
2.1.5. Interstellare Raumfahrt
Relativgeschwindigkeit:
Momentanbeschleunigung:zevv
z
z
Menschliche Besatzung Flug mit konstanter Beschleunigung a = g
const.a
Ziel: Andromeda-Galaxie ( Abstand 6 Lichtjahre )
Bei a g sind allgemein relativistische Effekte vernachlässigbar klein Näherung: Bewegung unendliche Folge infinitesimaler Stücke gleichförmiger Bewegung in momentanen Inertialsystemen
Resultate: ( Tafelrechnung )
Abkürzungen:
z
c
aZt
c
aTt
c
aT
c
tvtβ
2
zc
aZt
c
aTt
c
aT
c
tvtβ
2
T1
TTβ
2
2
T1
TTβ
2
2
1
1 T
1T1T Z 2 1T1T Z 2 1
1 T
Z
1
T Z
TarsinhT TarsinhT 1
1 T
T
2TlnT
(Zahlen ohne Einheiten)
Erde:Jahre102
ZTt6
cLy102
cz
ac
ac
6
Voyager: T2lnTt a
cac
Jahre15tlnga
ca2
ac
2.2.1. Grundlagen
2.2. Allgemeine Relativitätstheorie ( ART )
• Newtons Gravitationstheorie muss unvollständig sein:
m
M(t)r
tMtF
Fernwirkungstheorie unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Gravitationsfeldes Kausalitätsverletzung
• träge Masse schwere Masse Warum?
lokal sind Trägheitskräfte und Gravitationskräfte ununterscheidbar
Äquivalenzprinzip ( Einstein )
Alle Bezugssysteme sind gleichberechtigt. Ein beschleunig-tes Bezugssystem ist lokal ununterscheidbar von einem Inertialsystem in einem entsprechenden ( homogenen ) Gravitationsfeld.
Äquivalenzprinzip ( Einstein )
Alle Bezugssysteme sind gleichberechtigt. Ein beschleunig-tes Bezugssystem ist lokal ununterscheidbar von einem Inertialsystem in einem entsprechenden ( homogenen ) Gravitationsfeld.
Konsequenz: relativistische Theorie der Gravitation
Allgemeine Relativitätstheorie (ART)
Massen verkrümmen das Raum-Zeit-Kontinuum ( Euklidsche Geometrie Riemannsche Geometrie )
Massen bewegen sich auf Geodäten ( lokal kürzeste Wege )
2.2.2. Gravitations-Rotverschiebung
h c t
Experiment 1:
ruhende Lichtquelle
Detektor Masse mruhend
t 0
g
mgF
0β
ν
ctΔg2 ββ O
ruhende Lichtquelle
t t
g
mgF ν
Frequenzmessung im Detektor ( Dopplereffekt ):
2c
hgν
Δνβ1β1
D ββ1ννν
Doppler-Rotverschiebung
Äquivalenzprinzip gleicher Ausgang bei
Experiment 2:
c
Δ
c
hg
ν
Δν
2G
2
c
Δ
c
hg
ν
Δν
2G
2
Gravitations-Rotverschiebung
ruhende Lichtquelle frei fallend
Detektor Masse mfest montiert mgF
ν
Erde
GGravitationspotential Gg h
222
βg2
cβO
mgF
Lichtquelle frei fallend
Dν
Erde
2βhh O
Experimentelle Tests der Gravitations-Rotverschiebung:
a) Pound, Rebka (1959); Pound, Snider (1965):
• 57Co-Quelle 14,4 keV -Strahlung
• Absorption in 22,5 m Höhe in Mößbauer-Spektrometer (Physik 4)
• Erwartung: mit 1 Genauigkeit bestätigt15102,5ν
νΔ
b) Rotverschiebung der Absorptions-Spektrallinien von Sternen
c) Frequenzverschiebung beim Saturn-Vorbeiflug von Voyager I (1980)
Folgerung: Ruhende Uhren in großer Höhe laufen schneller als am Erdboden
Folgerung: Ruhende Uhren in großer Höhe laufen schneller als am Erdboden
Tests: a) Atomuhr-Verzögerung im Concorde-Experiment
b) Atomuhr auf dem Monte-Rosa-Plateau
2.2.3. Perihelwanderung, Radar-Zeitverzögerung
Zeitverzerrung durch G Störung der Kepler-Gesetze
Perihelwanderung
Sonne Merkur
ungestörte, geschlossene Kepler-Bahn
PerihelSonne
gestörte Bahn
Merkur
Perihel-Wanderung
a) Bahnstörung durch die anderen Planeten 532 / Jahrhundert
b) Beobachtete Exzess-Störung: ( 43,110,45 ) / Jahrhundert
c) Vorhersage ( Allgemeine Relativitätstheorie ): 43,03 / Jahrhundert
Radar-Echos: Direkte Messung der Zeitverzerrung nahe der Sonne
Sonne, MErde
Venus bRadarsignal
mintdrd Raum-Zeit-Verzerrung
2
mincb
MG21c
td
rd
Messung der Zeitverzögerung ( Prinzip )
Zufalls-Signal
Frequenz-Generator Sender
Verzö-gerung Empfänger
Mischer
Mischer
Lock-In-Rück-
kopplungSignal Max.!
Bestätigung der Theorie
auf 2 ‰
Bestätigung der Theorie
auf 2 ‰
2.2.4. Lichtablenkung, Gravitationslinsen
cb
MG4Δ
2
cb
MG4Δ
2
Licht von SternSonne, M
Erde
scheinbare Position des Sterns
b
a) Lichtablenkung am Rand der Sonne
Sonnenrand: b m Bestätigung durch
Beobachtung während totaler Sonnenfinsternis
Bestätigung durch Beobachtung während
totaler Sonnenfinsternis
Erde
b)Gravitationslinsen
Quasar
Hohe Materieansammlung in direkter Sichtrichtung
Mehrfachbilder oder Bögen
Mehrfachbilder oder Bögen
1987: Entdeckung der Quasare UM 673 A und UM 673 B unter mit identischen Spektren und identischer Rotverschiebung ( Abstand )
J. Surdej et al., Nature, London 329 (1987) 695.
Beispiele für Gravitationslinsen:
2.2.5. Gyroskop-Präzession
Erde
E
P
kräftefreies Gyroskop
a) Statisches Erdfeld
b) Krümmung durch Erdrotationsenergie ( ,,Mitziehen von Inertialsystemen”, Lense-Thirring-Effekt )
Jahr pro 8νPG
Jahr pro 10,νP
Umfangreiches experimentelles
Programm
Riesiger Effekt in Umgebung schnell rotierender schwarzer
Löcher ( ,,Kerr-Löcher” )
Riesiger Effekt in Umgebung schnell rotierender schwarzer
Löcher ( ,,Kerr-Löcher” )
2.2.6. Neutronensterne und Schwarze Löcher
Sonnen-Brennphasen, abhängig von Masse M der Sonne: (Unsere Sonne: M⊙)
Fe3
C2
He1
H Fe3
C2
He1
H
für M 20≳
M⊙
für M 20≳
M⊙
Ende der Fusionskette (größte Kernbindungsenergie)
Ende unserer Sonne
Endzustand 1: Weißer Zwerg
outpinp
3m
kg910ρ
km10000R
3m
kg910ρ
km10000R
Gleichgewicht: pout pin
pin Gravitationsdruck pout Fermidruck der Elektronen
( Pauliverbot )
Stabilitätsgrenze (Chandrasekhar-Grenze)M 1,46 M⊙
Stabilitätsgrenze (Chandrasekhar-Grenze)M 1,46 M⊙
Endzustand 2: Neutronenstern / Pulsar
outpinp
3m
kg1914 1010ρ
km10R
3m
kg1914 1010ρ
km10R
Gleichgewicht: pout pin
pin Gravitationsdruck pout Fermidruck der Neutronenflüssigkeit ( Pauliverbot )
Endzustand 3: Schwarzes Loch Raum-Zeit-Singularität Vorhersage der ART
ρ , 0R ρ , 0R M 3,2 M ⊙ Gravitationskollaps Singularität:
Artist’s View
Schwarzschild-Radius rS
Fluchtgeschwindigkeit einer Masse m:
r
MG2v
r
mMGvm 2
21
kritischer Wert: v c
2S c
MG2r Schwarzschild-
Radius
mm8,870r , km2,953r ErdeS
SonneS
Folgerung: Nichts kann den Schwarzschildradius von innen passieren. Auch Lichtstrahlen werden zurückgekrümmt, bzw. werden am Schwarzschild-Radius unendlich rotverschoben, d.h. verlieren die gesamte Energie.
Evidenz 1: Röntgenbinäre
Beispiel: Cygnus X-1 (2 kpc entfernt)
Riesenstern: HDE226868 (blauer Riese)
Schwarzes Loch: M 10 M⊙
Umlaufperiode: 5,6 Tage (aus Doppler- verschiebung der Spektrallinien)
Evidenz 2: Aktive galaktische Kerne
• Schwarze Löcher mit M M⊙
• gespeist aus Gravitationsenergie einer Akkretionsscheibe aus Staub und Gas
k geschlossenes Universumk 0 flaches Universumk offenes Universum
2tR
k
Was bedeutet R ?Was bedeutet R ?
Der Urknall (Big Bang): Das Universum entstand vor 13,7109 Jahren (Unsicherheit 1% ) aus einem Zustand unendlicher Dichte und Temperatur ( einer Quantenfluktuation?) und expandiert seither. Die heutige ( t0 ) Expansionsrate beträgt
Mpc
skm71
tR
tRtHH Parameter Hubble
0
000
Mpc
skm71
tR
tRtHH Parameter Hubble
0
000
5%
Annahme: Universum unendlich und homogen mit Sonnen gefüllt
Gesamtstrahlungs-Leistung aus d
0
22tot rdrrΩd
Pd
Evidenz 1: Warum ist der Nachthimmel dunkel und kalt?Olbers
Paradoxon
2
2Sonnen
rΩd
rPd
rΩd
rNd
Sonnendichte
Strahlungsleistung pro Sonne
Evidenz 2: ( Hubblesche Rotverschiebung )
Ferne Galaxien bewegen sich von uns weg (scheinbarer Dopplereffekt Rotverschiebung von Spektrallinien). Die Rotverschiebung ist proportional zum Abstand.
β1β1
β1
λ
Δλz
1β
Rotverschiebung
RHczcβv 0Flucht
Fluchtgeschwindigkeit im Abstand R
Kosmologisch korrekter Grund:
Expansion des Raums Streckung der Wellenlänge des Lichts während der Laufzeit auf dem Weg von der Galaxie zu uns
Expansion Jede Abweichung von verstärkt sich exponentiell
leuchtende Materie 103 einzig natürliche Erklärung ist Inflationstheorie: 10351030
s nach dem Urknall expandierte das Universum (z.B. durch einen Phasenübergang der elementaren Kraftfelder) um 40 bis 50 Größenordnungen , Isotropie der Mikrowellenhintergrundstrahlung & Massenverteilung