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COLLECTION MATHÉMATIQUE
ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ
AUTOUR
DU
LA DROITE D'EULER
Jean-Louis AYME 1
2.
PARALLÈLES
À
LA DROITE D'EULER
A
B C
A'
B'
C'
A"
E
Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour de
la droite d'Euler d'un triangle
et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent
originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque
problème.
Cette collection construite d'une façon linéaire par
accumulation se poursuit…
1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le
04/01/2019 ; [email protected]
-
2
2
Les figures 2 sont toutes en position générale et tous les
théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un
résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme
''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème
5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie
que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''.
Un foot note précise une origine du problème, une signification ou
renvoie à un article de l'auteur.
Abstract. The author presents a collection of problems around
the Euler's line of to a triangle and whose context refers to the
above title. Often original proof, comments and historical notes
accompany each problem.
This linearly collection builts by accumulation continues... The
figures are all in general position and all cited theorems can all
be demonstrated
synthetically.
Warning. The author recalls that the triangular vision of a
result is left to the reader care.
A reference as ''Problem 5'' means that the reader refers to the
''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem
5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of ''section
12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or
refers to an article of the author.
2 Le triangle de départ ABC est acutangle sauf pour des cas de
lisibilité des figures…
Sommaire
1. La parallèle de Catalan 3 2. La parallèle de Gray 7 3. La
parallèle (IX500) 8 4. La parallèle de Hung 9 5. La parallèle
d'Ayme 11 6. La parallèle d'Ayme 13 7. La parallèle de Boutin 14 8.
Les parallèles d'Hatzipolakis 16 9. La parallèle de Hung 18 10. La
parallèle d'Ayme 20 11. La Ks'-parallèle 21 12. La Fe-parallèle
23
-
3
3
1. LA PARALLÈLE DE CATALAN 3
Eugène Catalan (1883)
VISION
Figure :
A
B C
A'
B'
C'
A"
E
Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, A'B'C' le
triangle symétrique de ABC et A" le point d'intersection de (BC')
et (CB'). Donné : (A'A") est parallèle à E.
VISUALISATION
A
B C
A'
B'
C'
O
A"
H E
• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC
3 Catalan E., Quelques théorèmes de géométrie élémentaire,
Journal de Mathématiques III (1883) 61-62
-
4
4
et H l'orthocentre de ABC. • Scolie : E = (OH). • D'après Eugène
Catalan 4, (A"A) passe par O. • Scolies : (1) (BA), (CA) sont resp.
les B, C-bissectrices extérieures du triangle A"BC (2) (A"A) est la
A"-bissectrice intérieure de A"CB.
A
B C
A'
B'
C'
O
A"
H E
V U
1
J K
S
T
• Notons U, V les pieds des perpendiculaires abaissées de A"
resp. (CA), (BA), J, K les milieux resp. de [A"B], [A"C], 1 le
cercle de diamètre [AA''] ; il passe par U et V ; S le pied de la
A-hauteur de ABC et T le second point d'intersection de (AS) avec
1. • D'après Arthur Lascases 5, U, V, J et K sont alignés. •
D'après Thalès de Milet "La droite des milieux" appliqué à A"BC,
(BC) // (UV) ; par construction, (UV) // (A"T) ; par transitivité
de la relation //, (BC) // (A"T).
4 Catalan E., Quelques théorèmes de géométrie élémentaire,
Journal de Mathématiques III (1883) 61-62 5 Lascases Arth.,
Question 477, Nouvelles Annales 18 (1859) 171
Ayme J.-L., An unlikely concurrence, G.G.G. vol. 4, p. 1-3 ;
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
5
5
A
B C
A'
B'
C'
O
A"
H E
V U
1
J K
S
T
• D'après Lazare Carnot "Symétrique de l'orthocentre par rapport
à un côté" 6, S est l'orthocentre du triangle AVU; en conséquences,
(1) (US) est la U-hauteur de AUV (2) (US) // (CH).
A
B C
A'
B'
C'
O
A"
H E
V U
1
J K
S
T
W
0
• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC et W le second point
d'intersection de (AA'') avec 0. • D'après Thalès "La droite des
milieux" appliqué au triangle AA'W, (SO) // (A'W).
6 Carnot, n° 142, De la corrélation des figures géométriques
(1801) 101
-
6
6
A
B C
A'
B'
C'
O
A"
H E
V U
1
J K
S
T
W
0
• Nous avons : (CH) // (US) et (WC) // A"U). • D'après Thalès de
Milet 7 appliqué aux triangles A-perspectif CHW et USA", (HW) //
(SA") .
A
B C
A'
B'
C'
O
A"
H E
V U
1
J K
S
T
W
0
• D'après Pappus "Le petit théorème" 8 appliqué à l'hexagone
sectoriel A'A"SOHWA' de frontière (AA') et (AA''), (A'A") // (OH).
• Conclusion : (A'A") est parallèle à E.
7 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6,
p. 6-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 8 Pappus
d'Alexandrie, Collections υναγωγ´η, Livre VII
Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6,
p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
7
7
2. LA PARALLÈLE DE GRAY 9
Steve Gray (2001)
VISION
Figure :
A
B C
I
Gra E
Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, I le
centre de ABC et Gra le point de Gray de ABC. Donné : (IGra) est
parallèle à E. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat
peut être vue sur le site de l'auteur. 10
Note historique : c'est en cherchant autre ''chose'' que Steve
Gray 11 a découvert en 2001un résultat
d'Émile Lemoine i.e. le point Gra répertorié sous X(79), et une
parallèle à la droite d'Euler d'un triangle i.e. le droite (IGra).
Darij Grinberg 12 a fait connaître ce résultat en 2003 au groupe
Hyacinthos par un message dans lequel il propose de donner le nom
de Gray à X(79). Signalons que la droite de Gray a été prouvée par
le biais des coordonnées trilinéaires par Antreas Hatzipolakis
13.
9 Parallel to euler line, AoPS du 30/09/2018 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1715407_parallel_to_euler_line
https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line
10 Ayme J.-L., La droite de Gray, G.G.G. vol. 2 ;
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20droite%20de%20Gray.pdf
11 Gray S., New? triangle theorem, Math Forum du19/09/2001 12
Grinberg D., Gray point X(79) and X(80) Message Hyacinthos # 6491
du 05/02/2003 ;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6491
13 Hatzipolakis A., Messages Hyacinthos # 7908 du 15-09-03 ;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/7908
-
8
8
3. LA PARALLÈLE I-X 500 14
VISION
Figure :
A
B C
I
O
H
E
A'
B'
C' H'
Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, Gra le point de
Gray de ABC, A'B'C' le triangle incentral de ABC et H'
l'orthocentre de A'B'C'. Donné : (IH') est parallèle à E. .
Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue
sur le site de l'auteur. 15
14 The Euler line, AoPS du 22/10/2007 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h171583 A parallel to
the Euler's line, 19/03/2008 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line
parallel to Euler line!, AoPS du 02/08/2012 ;
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=491764
Parallel to euler line, AoPS du 30/09/2018 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1715407_parallel_to_euler_line
https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line
15 Ayme J.-L., La point de Gray et l'alignement Gra-I-X(500),
G.G.G. vol. 2 ;
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le%20point%20de%20Gray.pdf
-
9
9
4. LA PARALLÈLE DE HUNG 16
Tran Quang Hung
VISION
Figure :
A
B C
R
P
Q A*
B*
C*
E
O*I*
Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, PQR le
triangle orthique de ABC, A*, B*, C* les orthocentres resp. des
triangles AQR, BRP, CPQ
et O*, I* les centres resp. des cercles circonscrit, inscrit au
triangle A*B*C*. Donné : (O*I*) est parallèle à E.
VISUALISATION
A
B C
R
P
H
Q
O
A*
B*
C*
E
O*I*
• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC et H
l'orthocentre de ABC.
16 OI line is parallel to Euler line, AoPS du 06/09/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1301983_oi_line_is_parallel_to_euler_line
-
10
10
• Scolie : E = (OH). • Le quadrilatère RB*PH étant un
parallélogramme, (RB*) // (DH) et RB* = DH ; le quadrilatère DHQC*
étant un parallélogramme, (DH) // (QC*) et DH = QC* ; par
transitivité de // et de =, (RB*) // (QC*) et RB* = QC*. • Le
quadrilatère RQC*B* étant un parallélogramme, (B*C*) // (QR) et
B*C* = QR.
A
B C
R
P
H
Q
O
A*
B*
C*
E
O*I*
N
• Mutatis mutandis, nous montrerions que * (C*A*) // (RP) et
C*A* = RP * (A*B*) // (PQ) et A*B* = PQ. • Notons N le milieu de
[OH]. • Scolie : N est le centre du cercle d'Euler de ABC
ou encore le centre du cercle circonscrit à PQR.
• D'après Philippe Naudé 17, H est le centre du cercle inscrit à
PQR. • Les triangles A*B*C* et PQR étant homothétiques et égaux,
(O*I*) // (NH) et O*I* = NH. • Conclusion : (O*I*) est parallèle à
E.
17 Naudé P., Miscellana Besolinensia 5 (1737) 17
-
11
11
5. LA PARALLÈLE D'AYME
Jean-Louis Ayme
VISION
Figure :
A
B C
O
A'
A"
H
0
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le
centre du 0,
H l'orthocentre de ABC. A' l'antipôle de A relativement à 0
et A'' le symétrique de A par rapport à (OH). Donné : (A'A'')
est parallèle à (OH).
VISUALISATION
A
B C
O
A'
A"
H
0
• Scolies : (1) (OH) est la droite d'Euler de ABC (2) A'' est
sur 0.
-
12
12
• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un
demi-cercle'', (A'A'')⊥ (A''A) ; par hypothèse, (A''A) ⊥ (OH) ;
d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (A'A'') // (OH). •
Conclusion : (A'A'') est parallèle à (OH).
-
13
13
6. LA PARALLÈLE D'AYME
Jean-Louis Ayme
VISION
Figure :
A
B C
O
A'
A"
H
0
Ha
1a
Traits : ABC un triangle 0 le cercle circonscrit à ABC, O le
centre de 0, A' le symétrique de A par rapport à O, H l'orthocentre
de ABC Ha le symétrique de H par rapport à (BC), 1a le cercle
passant par Ha, H, O et A'' le second point d'intersection de 1a et
0. Donné : (A'A'') est parallèle à (OH). 18 Commentaire : une
preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de
l'auteur 19.
18 Ayme J.-L., A parallel to the Euler line, Message Hyacinthos
# 20564 du 22/12/2011 ;
http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/ Ayme J.-L., A
parallel to the Euler's line, AoPS du 12/10/2013 ;
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=557976
19 Ayme J.-L., Une parallèle à la droite d'Euler, G.G.G. vol. 25
; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
14
14
7. LA PARALLÈLE DE BOUTIN 20
Auguste Boutin
VISION
Figure
A
B C
S
F
O
G
Traits : ABC un triangle, G le point médian de ABC, O le centre
du cercle circonscrit à ABC, S le premier point de Hesse 21 de ABC
et F le premier point de Fermat 22 de ABC. Donné : (FS) est
parallèle à (OG). Scolies : (1) (OG) est la droite d'Euler de ABC
(2) une seconde parallèle
A
B C
S
F
O
G
F'
S'
• Notons S' le second point de Hesse de ABC et F' le second
point de Fermat de ABC. 20 Boutin A., Journal de Mathématiques de
G. de Longchamps (1889) Euler lines with Fermat point, AoPS du
01/09/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1299569_euler_lines_with_fermat_point
21 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p.
8-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 22 Ayme J.-L., La
fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 12-14, 19-22 ;
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
15
15
• Conclusion : (F'S') est parallèle à (OG). Commentaire : les
preuves synthétiques de ces résultats peuvent être vues sur le site
de l'auteur 23.
23 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p.
29-32 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
16
16
8. LES PARALLÈLES D'HATZIPOLAKIS 24
Antreas Hatzipolakis
VISION
Figure :
A
B C
H O
A'
A'*
1a
Traits : ABC un triangle, O, H le centre du cercle circonscrit,
l’orthocentre de ABC, 1 le cercle circonscrit au triangle HBC, A'
le second point d'intersection de (AH) avec 1 et A'* l'isogonal de
A' relativement à ABC. Donné : (A'A'*) est parallèle à (OH).
Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue
sur le site de l'auteur. 25 Scolie : à partir de O
24 Hatzipolakis A., Reflections, Message Hyacinthos # 10528 du
24/09/2004 ;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/10528
25 Ayme J.L., La droite de Euler généralisée, G.G.G. vol. 23 ;
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
17
17
A
B C
H
O
A'
1
A'*
Note historique : en septembre 2004, Antreas Hatzipolakis
proposait la conjecture particulière
précédente en considérant le centre du cercle circonscrit et
l'orthocentre d'un triangle, puis le point médian et le point de
Lemoine d'un triangle, puis le centre du triangle. Le même jour,
Paul Yiu 26 s'apercevant que chaque point du couple envisagé était
le l'isogonal de l'autre, étendait le résultat d'Hatzipolakis aux
couples de points isogonaux d'un triangle.
26 Yiu P., Reflections, Message Hyacinthos # 10534 du 24/09/2004
;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/10534
-
18
18
9. LA PARALLÈLE DE HUNG 27
Tran Quang Hung
VISION
Figure :
A
B C
H
O
iH
C'
A'
B'
iH*
Traits : ABC un triangle, O, H le centre du cercle circonscrit,
l'orthocentre d eABC, iH l'isotomique de H relativement à ABC
A'B'C' le triangle iH-pédal de ABC et iH* l'isogonal de iH
relativement à A'B'C'. Donné : (iH*iH) est parallèle à (OH).
VISUALISATION 28
27 Line is parallel to Euler line, AoPS du 25/01/2018 ;
https://artofproblemsolving.com/community/q1h1580550p9750864
Parallel to the Euler’s line, AoPS du 26/01/2019 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1773954_parallel_to_the_eulers_line
28 Telv Cohl, property 2, Telv Cohl’s Geometry Blog ;
https://artofproblemsolving.com/community/c284651h1273660
-
19
19
A
B C
H O
iH
C'
A'
B'
iH*
Y
X
Z
J
• Notons XYZ le triangle iH*-pédal de A'B'C' et J le centre du
cercle circonscrit à XYZ. • D'après J.J.A. Mathieu 29, J est le
milieu de [iHiH*]. • Par culture géométrique, relativement à
A'B'C', iH étant l'isogonal de iH*, le triangle iH*-pédal XYZ est
homothétique au triangle iH-antipédal i.e. ABC.
A
B C
H O
iH
C'
A'
B'
iH*
Y
X
Z
J iH**
• Notons iH** l'isogonal de iH relativement à ABC. • D'après 7.
Problème ?, iH** est sur (OH). • Scolies : (1) (AiH**) // (XiH*)
(2) (BiH**) // (YiH*) (3) (CiH**) // (ZiH*). • Conclusion : XYZ
étant homothétique à ABC, J et iH* ayant pour homologues resp. O et
iH**, (iH*iH) est parallèle à (OH).
29 Ayme J.-L., Pedal cevian line, G.G.G. vol. 6, p. 34-37 ;
http://jl.ayme.pagesperso_orange.fr/
-
20
20
10. LA PARALLÈLE D'AYME
Jean-Louis Ayme
VISION
Figure :
A
B C
O
X
Ks
A'
P
0 N
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le
centre de 0, Ks le point de Kosnitza de ABC, X l'inverse de Ks
relativement à 0, A' le symétrique de X par rapport à (BC) N le
centre du cercle d'Euler.
P le second point d'intersection de (AA') avec 0, Donné : (PX)
est parallèle à (ON). 30 Commentaire : une preuve synthétique de ce
résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 31
30 Ayme J.-L., A new parallel to the Euler line, AoPS du
05/04/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1222785_a_new_parallel_to_the_euler_line
Ayme J.-L., Une nouvelle parallèle à la droite d’Euler,
Les-Mathematiques.net ;
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1248179
31 Ayme J.-L., Le point de Cézar Kosnitza, G.G.G. vol. 26, p.
76-77 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
21
21
11. LA Ks'-PARALLÈLE
VISION
Figure :
A
B C
I
A'
B'
C'Ks' E
Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, I le
centre de ABC, A'B'C' le triangle de contact de ABC
et Ks' le point de Kosnitza de A'B'C'. Donné : (IKs') est
parallèle à E. 32 Commentaire : une preuve synthétique de ce
résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 33 Scolie :
l'orthocentre du triangle I-cévien
32 Nice property of Kosnita Point, AoPS du 18/06/2011 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h412741p2317616
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h412741p3632970
33 Ayme J.-L., Le point de Cézar Kosnitza, G.G.G. vol. 26, p.
62-63 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
-
22
22
A
B C
I C'
B'
A'
H'
E
• Notons H' l'orthocentre de A'B'C'. • Conclusion : (IH') est
parallèle à E. 34
34 The Euler line, AoPS du 22/10/2007 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h171583
parallel to Euler line !, AoPS du 02/08/2012 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h491764p2761508 Ayme
J.-L., Le point de Cézar Kosnitza, G.G.G. vol. 26, p. 64-65 ;
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
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23
23
12. LA Fe- PARALLÈLE
Jean-Louis Ayme
VISION
Figure :
A
B C
O I
0
X
H
Fe
E
Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le
centre de 0, E la droite d'Euler de ABC, I le centre de ABC, X
l'inverse de I et Fe le point de Feuerbach de ABC. Donné : (FeX)
est parallèle à E. 35 Commentaire : une preuve synthétique de ce
résultat peut être vue sur le site de l'auteur 36.
35 Ayme J.-L., Parallel to the Euler's line, Mathlinks du
13/04/2010 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=47. 36 Ayme
J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6, p. 11-12 ;
https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/