GUION DE ANALISIS MATEMATICO I N´ umeros reales. Funciones reales. 1. N´ umeros reales: operaciones algebraicas En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo. Esto significa que si a, b, c ∈ R, R1. Propiedad asociativa de la suma: (a + b)+ c = a +(b + c). R2. Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a. R3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma: Hay un n´ umero real, que denota- mos por 0, tal que 0+ a = a +0= a. R4. Existencia de elemento opuesto para la suma: Hay un n´ umero real (y solo uno), que denotamos por -a, tal que (-a)+ a = a +(-a)=0. R5. Propiedad asociativa del producto: (ab) c = a (bc). R6. Propiedad conmutativa del producto: ab = ba. R7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un n´ umero real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1= a. R8. Existencia de inverso para el producto: Si a =0, hay un n´ umero real (y solo uno) que denotamos por a -1 o 1/a, tal que a -1 a = aa -1 =1. R9. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a (b + c)= ab + ac. 2. Ordenaci´ on de los n´ umeros reales En R hay una relaci´ on de orden cuyas primeras propiedades son las mismas que las de la orde- naci´ on de los n´ umeros racionales. Dados a, b, c ∈ R, R10. (reflexiva): a ≤ a. R11. (antisim´ etrica): a ≤ b y b ≤ a = ⇒ a = b. R12. (transitiva): a ≤ b y b ≤ c = ⇒ a ≤ c. R13. (orden total): a ≤ b ´ o b ≤ a. R14. (relaci´ on con la suma): a ≤ b = ⇒ a + c ≤ b + c. R15. (relaci´ on con el producto): Si c ≥ 0, a ≤ b = ⇒ ac ≤ bc. 3. Valor absoluto de un n´ umero real. Desigualdades b´ asicas El valor absoluto de un n´ umero real a es el n´ umero real no negativo |a| = a, si a ≥ 0; -a, si a ≤ 0. Definici´ on 3.1 (distancia entre n´ umeros reales). Dados a, b ∈ R, llamaremos distancia entre a y b al n´ umero real no negativo |a - b|. Si a, b, t ∈ R, t ≥ 0, se verifica: 1. |a|≥ 0 2. |a - b| <t ⇐⇒ b - t<a<b + t. 3. |a| >t ⇐⇒ a>t ´ o a< -t 4. |ab| = |a||b|. 5. desigualdad triangular |a + b|≤|a| + |b|. 6. desigualdad triangular “inversa” : ||a|-|b|| ≤ |a - b|. 7. a 2 ≤ b 2 ⇐⇒ |a|≤|b| y a 2 = b 2 ⇐⇒ |a| = |b|. 1
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2. Ordenaci´on de los n ´umeros reales 3. Valor … · GUION DE ANALISIS MATEMATICO I Numeros´ reales. Funciones reales. 1. N´umeros reales: operaciones algebraicas En R hay dos
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GUION DE ANALISIS MATEMATICO INumeros reales. Funciones reales.
1. Numeros reales: operaciones algebraicas
En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo.Esto significa que si a, b, c ∈ R,R1. Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c).R2. Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a.R3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma: Hay un numero real, que denota-
mos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a.R4. Existencia de elemento opuesto para la suma: Hay un numero real (y solo uno), que
denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0.R5. Propiedad asociativa del producto: (a b) c = a (b c).R6. Propiedad conmutativa del producto: a b = b a.R7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un numero real
distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a.R8. Existencia de inverso para el producto: Si a 6= 0, hay un numero real (y solo uno) que
denotamos por a−1 o 1/a, tal que a−1 a = a a−1 = 1.R9. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a (b + c) = a b + a c.
2. Ordenacion de los numeros reales
En R hay una relacion de orden cuyas primeras propiedades son las mismas que las de la orde-nacion de los numeros racionales. Dados a, b, c ∈ R,R10. (reflexiva): a ≤ a.R11. (antisimetrica): a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b.R12. (transitiva): a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.R13. (orden total): a ≤ b o b ≤ a.R14. (relacion con la suma): a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.R15. (relacion con el producto): Si c ≥ 0, a ≤ b =⇒ a c ≤ b c.
3. Valor absoluto de un numero real. Desigualdades basicas
El valor absoluto de un numero real a es el numero real no negativo
|a| =
{a, si a ≥ 0;−a, si a ≤ 0.
Definicion 3.1 (distancia entre numeros reales). Dados a, b ∈ R, llamaremos distancia entre ay b al numero real no negativo |a− b|.
Si a, b, t ∈ R, t ≥ 0, se verifica:1. |a| ≥ 02. |a− b| < t ⇐⇒ b− t < a < b + t.3. |a| > t ⇐⇒ a > t o a < −t4. |a b| = |a| |b|.5. desigualdad triangular |a + b| ≤ |a|+ |b|.6. desigualdad triangular “inversa”: ||a| − |b|| ≤ |a− b|.7. a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b| y a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|.
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4. Supremo, ınfimo, maximo, mınimo de un conjunto
Dado un subconjunto S de R, si para algun numero real a es a ≤ s para todo s ∈ S, diremosque a es una cota inferior de S y que S esta acotado inferiormente (por a).
Si para algun numero real b fuese b ≥ s para todo s ∈ S, diremos que b es una cota superiorde S y que S esta acotado superiormente (por b).
Cuando S esta acotado a la vez superior e inferiormente, se dice que S esta acotado.Un numero real m es mınimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota inferior
del mismo. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces m = mınS.Un numero real M es maximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota superior
del mismo. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces M = maxS.Un numero real a es ınfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es decir, si
a ≤ s para todo s ∈ S y cada a′ > a no es cota inferior de S, de modo que se tendra a′ > s′ paraalgun s′ ∈ S. Pondremos entonces a = inf S.
Un numero real b es supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S. Es decir, sib ≥ s para todo s ∈ S y cada b′ < b no es cota superior de S, de modo que se tendra b′ < s′ paraalgun s′ ∈ S. Pondremos entonces b = supS
5. Axioma del supremo (axioma de completitud de R para el orden)
R16. Completitud de R:1. Todo subconjunto no vacıo de R acotado superiormente tiene supremo.2. Todo subconjunto no vacıo de R acotado inferiormente tiene ınfimo.
6. Propiedad arquimediana de R: consecuencias
Teorema 6.1 (propiedad arquimediana de R). Dados dos numeros reales a, b, con a > 0, existealgun numero natural n tal que na > b.
Teorema 6.2 (densidad de Q en R). Dados dos numeros reales a, b, con a < b, existe algunnumero racional r tal que a < r < b.
Teorema 6.3 (densidad de R \ Q en R). Dados dos numeros reales a, b, con a < b, existe algunnumero irracional x tal que a < x < b.
7. Intervalos en R
Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b sonnumeros reales cualesquiera):
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (intervalo abierto acotado de extremos a, b)[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (intervalo semiabierto–por la derecha– de extremos a, b)(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (intervalo semiabierto–por la izquierda– de extremos a, b)[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado acotado de extremos a, b)
(a,+∞) = {x ∈ R : x > a} (intervalo abierto no acotado de origen a)[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (intervalo cerrado no acotado de origen a)(−∞, b) = {x ∈ R : x < b} (intervalo abierto no acotado de extremo b)(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} (intervalo cerrado no acotado de extremo b)
(−∞,+∞) = R.
Notese que si a > b, (a, b) = ∅, de modo que el conjunto vacıo es un intervalo.
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8. Funciones reales de una variable real. Generalidades
Definicion 8.1. Una funcion (real de variable real) es una aplicacion f : A → B con A, B ⊆ R.
Notaciona) El unico elemento de B que la aplicacion asocia a un elemento x ∈ A se denota por f(x)b) El conjunto Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A} recibe el nombre de grafica de la funcion f .c) A recibe el nombre de dominio de definicion y se denota A = dom f ;d) f(A) = {f(x) | x ∈ A} recibe el nombre de conjunto imagen o rango de f .
Definicion 8.2. Sea f : A → B funcion.a) f se dice inyectiva si dados x, y ∈ A, con x 6= y se sigue f(x) 6= f(y)b) f se dice suprayectiva si f(A) = Bc) f se dice biyectiva si es simultaneamente inyectiva y suprayectiva.d) Si f es inyectiva, llamaremos funcion inversa de f a la funcion f−1 : f(A) → A tal que
f−1(y) = x si y solo si f(x) = y.
Definicion 8.3. Una funcion f se dice monotona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈dom f con x < y, es f(x) ≥ f(y).
Una funcion f se dice monotona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f conx < y, es f(x) ≤ f(y).
Una funcion f se dice monotona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom fcon x < y, es f(x) < f(y).
Una funcion f se dice monotona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈dom f con x < y, es f(x) > f(y).
Una funcion monotona es una funcion de uno cualquiera de los tipos anteriores.
Definicion 8.4. Una funcion f esta acotada superiormente si su conjunto imagen esta acotadosuperiormente. Es decir, si existe M ∈ R tal que f(x) ≤ M para todo x ∈ dom f . M se recibe elnombre de cota superior de f .
Una funcion f esta acotada inferiormente si su conjunto imagen esta acotado inferiormente.Es decir, si existe m ∈ R tal que f(x) ≥ m para todo x ∈ dom f . m se recibe el nombre de cotainferior de f .
Una funcion esta acotada si lo esta superior e inferiormente, equivalentemente, f esta acotadasi y solo si existe un K ∈ R tal que |f(x)| ≤ K para todo x ∈ dom f .
Definicion 8.5. Sea f una funcion definida en R. Diremos que f esa) par si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = f(x) (su grafica es entonces simetrica respecto
del eje de ordenadas);b) impar si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = −f(x) (su grafica es entonces simetrica
respecto del origen de coordenadas);c) periodica de periodo T (T ∈ R \ {0}) si para cada x ∈ R se cumple f(x + T ) = f(x) (su
grafica puede obtenerse entonces por traslacion reiterada de la grafica en cualquier intervalode longitud |T |).
Definicion 8.6. (Operaciones con funciones) Sean f, g : A → B funciones. Se define,f + g : A → B como (f + g)(x) = f(x) + g(x).f · g : A → B como (f · g)(x) = f(x) · g(x).Si ademas g(x) 6= 0 en A, se define f
g : A → B como (fg )(x) = f(x)
g(x)
Definicion 8.7. (Composicion de funciones) Sean f : A → B y g : A′ → B′ con f(A) ⊂ A′. Sedefine la composicion de f y g como la funcion g ◦ f : A → B′, dada por (g ◦ f)(x) = g (f(x))
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9. Sucesiones de numeros reales
Definicion 9.1. Una sucesion de numeros reales es una funcion real con dominio N, o sea,una aplicacion s : N → R.
El valor que una sucesion s toma en cada n ∈ N se denota por sn. Nos referiremos a sn con elnombre de termino n-esimo . Por comodidad denotaremos las sucesiones por (sn)
Definicion 9.2. Una sucesion (sn) es convergente si existe un numero real a tal que para cadaε > 0 se puede encontrar un numero natural N = N(ε) de modo que siempre que n > N se verifique|sn − a| < ε. Se dice que el numero a es lımite de la sucesion (sn) o que (sn) converge a “a′′ y seescribe a = lım
nsn o sn → a.
Proposicion 9.3 (unicidad del lımite de una sucesion). Sea (sn) una sucesion convergente. En-tonces existe un unico valor a ∈ R al que converge.
Definicion 9.4. Diremos que una sucesion (sn) diverge a +∞, y escribiremos lımn
sn = +∞o sn → +∞, si para todo M ∈ R existe N ∈ N tal que si n > N se tiene sn > M .
Diremos que una sucesion (sn) diverge a −∞, y escribiremos lımn
sn = −∞ o sn → −∞, sipara todo M ∈ R existe N ∈ N tal que si n > N se tiene sn < M .
Una sucesion divergente es una sucesion que diverge a +∞ o a −∞. Las sucesiones que no sonconvergentes ni divergentes se denominan sucesiones oscilantes.
Proposicion 9.5. Toda sucesion convergente esta acotada.
Definicion 9.6. Una sucesion (sn) se dicea) monotona no decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≤ sn+1.b) monotona no creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≥ sn+1.c) estrictamente creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn < sn+1.d) estrictamente decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn > sn+1.e) monotona si es de alguno de los tipos anteriores.
Proposicion 9.7. Sea (sn) una sucesion.a) Si (sn) es monotona no decreciente. Entonces lım
nsn = sup{sn : n ∈ N} ∈ R ∪ {+∞}
b) Si (sn) es monotona no creciente. Entonces lımn
sn = inf{sn : n ∈ N} ∈ R ∪ {−∞}c) Las sucesiones monotonas no son oscilantes.
Proposicion 9.8 (Lımite de sucesiones y operaciones). Dada una sucesion (sn) con lımite a (finitoo infinito) y una sucesion (tn) con lımite b (finito o infinito), se tiene:
a) si a + b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn + tn) tiene lımite a + b.b) si a− b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn − tn) tiene lımite a− b.c) si a · b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn · tn) tiene lımite a · b.d) si a/b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn/tn) tiene lımite a/b.
Con los convenios dados por el cuadro adjunto.
Proposicion 9.9 (Lımite de sucesiones y orden). Sean (sn), (tn) sucesiones.a) Si sn → a ∈ R ∪ {±∞}, tn → b ∈ R ∪ {±∞} y sn ≤ tn entonces a ≤ b.
Con el convenio −∞ ≤ a ≤ +∞, a ∈ R.b) (Regla del sandwich). Si sn, tn → a ∈ R y (un) es tal que sn ≤ un ≤ tn entonces un → a.c) Si sn → +∞ y (tn) cumple sn ≤ tn entonces tn → +∞.d) Si tn → −∞ y (sn) cumple sn ≤ tn entonces sn → −∞.
Proposicion 9.10. Sean (sn), (tn) sucesiones.a) Si (sn) es acotada y tn → 0, la sucesion sn · tn → 0.b) Si (sn) esta acotada inferiormente y tn → +∞, entonces sn + tn → +∞.c) Si (sn) esta acotada superiormente y tn → −∞, entonces sn + tn → −∞.
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Ordenes de infinitud: Se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a, p > 0 y b > 1:
(log n)p << na << bn << n! << nn (n → +∞).
Aquı, “sn << tn” significa que lımn
sn
tn= 0
Equivalencias: Sea sn → 0. Entonces,
sen(sn) ∼ sn log(1 + sn) ∼ sn tg(sn) ∼ sn
1− cos(sn) ∼ s2n/2 esn − 1 ∼ sn
donde “un ∼ rn” significa que lımn
un
rn= 1.
Teorema 9.11 (de Cantor de los intervalos encajados). Para cada n ∈ N, sea In = [an, bn] unasucesion de intervales cerrados que cumple In+1 ⊆ In y que ademas lımn(bn − an) = 0. Entonces∩n∈NIn = {x}, donde x = lım
nan = lım
nbn.
Definicion 9.12. Dada una sucesion (sn), diremos que una sucesion (tn) es una subsucesion de(sn) si existe una funcion ϕ : N −→ N estrictamente creciente, es decir,
ϕ(1) < ϕ(2) < ϕ(3) < · · · < ϕ(n) < ϕ(n + 1) < · · ·de manera que para todo n ∈ N es tn = sϕ(n).
Proposicion 9.13. Sea (sn) sucesion.a) Si sn → a ∈ R ∪ {±∞}, entonces para toda subsucesion (sϕ(n)) se tiene sϕ(n) → a.b) Si s2n → a y s2n−1 → a, entonces sn → a.
Proposicion 9.14. Toda sucesion posee una subsucesion monotona.
Teorema 9.15 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee una subsucesion convergente.
Definicion 9.16. Una sucesion (sn)∞n=1 se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe algunN ∈ N (que puede depender de ε) de modo que
n, m ≥ N =⇒ |sn − sm| < ε.
Proposicion 9.17. Toda sucesion de Cauchy esta acotada.
Proposicion 9.18. Una sucesion es convergente si y solo si es de Cauchy.
9.1. Lımite superior y lımite inferior de una sucesion. Lımites de oscilacion.
Definicion 9.19. Sea (sn) una sucesion. Se definen,
- lım supn
sn := infn
(supk≥n
sk
)= lım
n
(supk≥n
sk
)- lım inf
nsn := sup
n
(infk≥n
sk
)= lım
n
(infk≥n
sk
)Proposicion 9.20. Sea (sn) sucesion.
(sn) tiene lımite (finito o no) si y solo si lım infn sn = lım supn sn. Y en este caso, el lımite esigual al lımite superior y al lımite inferior.
(sn) es oscilante si y solo si lım infn sn < lım supn sn.
Definicion 9.21. Diremos que a ∈ R ∪ {±∞} es un lımite de oscilacion de una sucesion (sn)si a es lımite de alguna subsucesion de (sn).
Proposicion 9.22. Sea (sn) sucesion.El lımite superior (sn) es el maximo (en R ∪ {±∞}) de sus lımites de oscilacion.El lımite inferior de (sn) es el mınimo (en R ∪ {±∞}) de sus lımites de oscilacion.
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10. Lımites y continuidad de funciones.
Definicion 10.1. Sea A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞}. Diremos que a es un punto de acumulacion deA si existe una sucesion (sn) ⊆ A \ {a} tal que sn → a.
Definicion 10.2. Sea A ⊆ R, f : A → R funcion y a ∈ R ∪ {±∞} punto de acumulacion de A.Sea b ∈ R∪{±∞}. Diremos que el lımite de f cuando x tiende a a es b, y se escribe lım
x→af(x) = b,
si para toda sucesion (sn) de puntos de A \ {a} tal que lımn
sn = a se verifica lımn
f(sn) = b.
Definicion 10.3 (Definiciones equivalentes). Sean A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R.a) lım
x→af(x) = b si para cada ε > 0 existe algun δ > 0 tal que todos los x ∈ A con 0 < |x−a| < δ
cumplen |f(x)− b| < ε.b) lım
x→af(x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algun δ > 0 tal que todos los x ∈ A con
0 < |x− a| < δ cumplen f(x) > M .c) lım
x→af(x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algun δ > 0 tal que todos los x ∈ A con
0 < |x− a| < δ cumplen f(x) < M .d) lım
x→+∞f(x) = b si para cada ε > 0 existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K
cumplen |f(x)− b| < ε.e) lım
x→+∞f(x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con
x > K cumplen f(x) > M .f) lım
x→+∞f(x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con
x > K cumplen f(x) < M .g) lım
x→−∞f(x) = b si para cada ε > 0 existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K
cumplen |f(x)− b| < ε.h) lım
x→−∞f(x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con
x < K cumplen f(x) > M .i) lım
x→−∞f(x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con
x < K cumplen f(x) < M .
Proposicion 10.4 (unicidad del lımite). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ R ∪ {±∞} punto deacumulacion de A. Si existe lım
x→af(x) := b ∈ R ∪ {±∞} entonces ese lımite es unico.
Proposicion 10.5 (Lımite y operaciones). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulacionde A, c ∈ R y f, g : A → R. Se tiene:
a) lımx→a
(f(x) + g(x)) = lımx→a
f(x)+ lımx→a
g(x), si estos ultimos lımites existen y su suma esta de-
finida en R ∪ {±∞}.b) lım
x→af(x)g(x) = lım
x→af(x) lım
x→ag(x), si estos ultimos existen y su producto esta definido en
R ∪ {±∞}.
c) lımx→a
f(x)g(x)
=lımx→a
f(x)
lımx→a
g(x), si estos ultimos lımites existen y su cociente esta definido en R ∪
{±∞}.
Proposicion 10.6. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulacion de A, y f, g : A → R.Si
a) f esta acotada y lımx→a
g(x) = 0, entonces lımx→a
f(x) g(x) = 0.
b) Si f esta acotada inferiormente y lımx→a
g(x) = +∞, entonces lımx→a
f(x) + g(x) = +∞.
c) Si f esta acotada superiormente y lımx→a
g(x) = −∞, entonces lımx→a
f(x) + g(x) = −∞.
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Proposicion 10.7. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulacion de A y f : A → R,g : A → R, h : A → R funciones.
a) (regla del sandwich). Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x ∈ A y lımx→a
f(x) = lımx→a
h(x) = b ∈ R,
entonces lımx→a
g(x) = b.
b) Si f(x) ≤ g(x),∀x ∈ A y lımx→a
f(x) = +∞, entonces tambien se tiene lımx→a
g(x) = +∞.
c) Si f(x) ≤ g(x),∀x ∈ A y lımx→a
g(x) = −∞, entonces tambien se tiene lımx→a
f(x) = −∞.
Definicion 10.8 (Lımites laterales). Sea A ⊆ R, f : A → R y b ∈ R ∪ {±∞}.a) Si a ∈ R es de acumulacion de A− = A ∩ (−∞, a), entonces diremos que el lımite de f
cuando x tiende a a por la izquierda es b, y se escribe lımx→a−
f(x) = b, si para toda sucesion
(sn) de puntos de A− tal que lımn
sn = a se verifica lımn
f(sn) = b.
b) Si a ∈ R es de acumulacion de A+ = A ∩ (a,+∞), entonces diremos que el lımite de fcuando x tiende a a por la derecha es b, y se escribe lım
x→a+f(x) = b, si para toda sucesion
(sn) de puntos de A+ tal que lımn
sn = a se verifica lımn
f(sn) = b.
Proposicion 10.9. Sea A ⊆ R, f : A → R y b ∈ R ∪ {±∞}. Sea a ∈ R de acumulacion de A− yde A+. Entonces lım
x→af(x) = b si y solo si lım
x→a−f(x) = lım
x→a+f(x) = b
10.1. Continuidad de funciones.
Definicion 10.10. Sea f : A ⊆ R → R, a ∈ A. f es continua en el punto a si para todasucesion (sn) de puntos de A convergente al punto a, se tiene que (f(sn)) converge a f(a).
Definicion 10.11 (Definicion equivalente). Sea f : A ⊆ R → R, a ∈ A. f es continua enel punto a si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier x ∈ A con |x − a| < δ es|f(x)− f(a)| < ε.
Definicion 10.12. Sea f : A ⊆ R → R, S ⊆ A. Diremos que f es continua en el conjunto Ssi f es continua en todos los puntos de S. Si S = A, diremos simplemente que f es continua .
Proposicion 10.13. Sea f : A ⊆ R → R, a ∈ A. Se tiene:a) si a es un punto aislado de A, entonces f es continua en a.b) si a es un punto de acumulacion de A entonces f es continua en a si y solo si existe lım
x→af(x)
y es igual a f(a).
Ejemplos. Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definicion.
Definicion 10.14 (tipos de discontinuidades). Sea f : A → R, c ∈ A.a) Diremos que f tiene en c una discontinuidad evitable si existe lım
x→cf(x) ∈ R pero el
lımite no coincide con f(c)b) Diremos que f tiene en c una discontinuidad de salto si existen lım
x→c−f(x) y lım
x→c+f(x),
pero son distintos.
Proposicion 10.15 (Continuidad y operaciones). Sean f , g : A ⊆ R → R, a ∈ A y supongamosque f y g son continuas en a. Se tiene:
a) f + g es continua en a.b) f g es continua en a.c) si g(a) 6= 0, f/g es continua en a.
Proposicion 10.16 (Continuidad y composicion). Sean f : A ⊆ R → R, g : B ⊆ R → R, a ∈ A, ysupongamos que f(A) ⊆ B. Si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces la composiciong ◦ f es continua en a.
Teorema 10.17 (Continuidad de la funcion inversa). Sea f una funcion continua e inyectiva enun intervalo I. Entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y la inversaf−1 : f(I) → R es asimismo estrictamente monotona (del mismo tipo) y continua.
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Teorema 10.18 (de Weierstrass). Sea f una funcion continua en un intervalo cerrado y acotado[a, b], (donde a, b ∈ R, a < b). Entonces:
a) f esta acotada;b) f alcanza un valor mınimo y un valor maximo, es decir, existen puntos r, s ∈ [a, b] (no
necesariamente unicos) tales que para todo x ∈ [a, b] es f(r) ≤ f(x) ≤ f(s).
Teorema 10.19 (de los ceros, de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una funcion continua (a, b ∈ R,a < b). Supongamos que f(a)f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0.
Teorema 10.20 (teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux). Sea I un intervalo,f : I → R continua. Entonces f tiene la propiedad de los valores intermedios: si a < b y λesta entre f(a) y f(b), es decir, f(a) < λ < f(b) o f(a) > λ > f(b), entonces existe al menos unx ∈ (a, b) tal que f(x) = λ.
Corolario 10.21. Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f(I) es un intervalo.
Definicion 10.22 (Continuidad uniforme). Sea f : A ⊆ R → R. Entonces f es uniformementecontinua en A si para cada par de sucesiones (sn), (tn) ⊂ A con sn − tn → 0, se tienef(sn)− f(tn) → 0.
Definicion 10.23 (Definicion equivalente). Sea f : A ⊆ R → R. Entonces f es uniformementecontinua en A si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ A con |x− y| < δes |f(x)− f(y)| < ε.
Teorema 10.24 (de Heine). Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces fes uniformemente continua en [a, b].
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11. Derivabilidad de funciones.
En el capıtulo, I ⊂ R denotara siempre un intervalo.
Definicion 11.1. Sea f : I → R y a ∈ I. Diremos que f es derivable en a si existe (en R) ellımite
lımx→a
f(x)− f(a)x− a
.
El valor del lımite anterior recibe el nombre de derivada de f en a y suele denotarse por f ′(a).
Nota. Analogamente se definen, usando los lımites laterales correspondientes, las derivadas por laderecha y por la izquierda de f en a y se denotan f ′+(a) y f ′−(a).
Definicion 11.2. Sea f : I ⊆ R → R. Si S es el subconjunto de puntos de I en los que f esderivable entonces la funcion f ′ : S → R que a cada x ∈ S asocia valor f ′(x), recibe el nombre defuncion derivada de f .
Proposicion 11.3. Sea f : I → R y a ∈ I. Si f es derivable a, entonces f es continua en a.
Teorema 11.4 (Derivadas y operaciones). Sean f , g : I → R funciones derivables en a ∈ I yc ∈ R. Se tiene:
a) f + g es derivable en a, con derivada (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).b) c f es derivable en a, con derivada (c f)′(a) = c f ′(a).c) f g es derivable en a, con derivada (f g)′(a) = f ′(a) g(a) + f(a) g′(a).
d) si g(a) 6= 0, entonces f/g es derivable en a, con derivada (f/g)′(a) =f ′(a) g(a)− f(a) g′(a)
g(a)2.
Teorema 11.5 (derivacion y composicion: la regla de la cadena). Sean f : I → R y g : J → Rtales que f(I) ⊆ J . Si f es derivable en un punto a ∈ I y g es derivable en f(a), entonces lafuncion compuesta g ◦ f es derivable en a y su derivada en este punto viene dada por la regla dela cadena:
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) f ′(a).
Teorema 11.6 (derivacion y funcion inversa). Sea f : I → R continua e inyectiva en I. Si f esderivable en a ∈ I y f ′(a) 6= 0, entonces f−1 es derivable en b = f(a) con derivada(
f−1)′ (b) =
1f ′(a)
.
Definicion 11.7. Sea f : I → R y c ∈ I. Diremos que f tiene un maximo relativo en c si existeun δ > 0 tal que para todo x ∈ I con |x − c| < δ es f(x) ≤ f(c) (tambien se dice que f tiene unmaximo local en c).
Diremos que f tiene un mınimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ I con|x− c| < δ es f(x) ≥ f(c) (tambien se dice que f tiene un mınimo local en c).
Que f tiene un extremo relativo en c significa que tiene un maximo relativo o un mınimorelativo.
Proposicion 11.8. Sea f : I → R y c un punto interior de I. Si f es derivable en c y tiene en cun extremo relativo, entonces f ′(c) = 0.
Definicion 11.9. Sea f : I → R y c ∈ I. Diremos que c es un punto crıtico de f si f es derivableen c y f ′(c) = 0.
Teorema 11.10 (de Rolle). Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b) y supongamos que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b) talque f ′(x) = 0.
Teorema 11.11 (del valor medio o de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] → R una funcioncontinua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b)tal que
f(b)− f(a) = f ′(x) (b− a).
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Corolario 11.12. Sea f : I → R un funcion continua en I y derivable en todos los puntos interioresdel intervalo.
a) Si f ′(x) = 0 en cada x interior a I, entonces f es constante en I.b) Si f ′(x) = g′(x) en cada x interior a I, entonces hay una constante c ∈ R tal que f(x) =
g(x) + c en todo punto de I.
Corolario 11.13. Sea f : I → R una funcion continua en I y derivable en todos los puntosinteriores del intervalo. Se tiene:
a) si f ′(x) > 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente creciente en I.b) si f ′(x) < 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente decreciente en I.c) f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monotona no decreciente en I.d) f ′(x) ≤ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monotona no creciente en I.
Proposicion 11.14 (regla de L’Hospital). Sean I un intervalo, f, g : I → R y a ∈ R ∪ {±∞} unpunto de acumulacion de I. Denotemos mediante s uno de los sımbolos a, a+, a−. Supongamosque:
a) f y g son derivables en I \ {a} y g′(x) 6= 0 en cada x ∈ I \ {a}.b) se verifica alguna de las tres condiciones siguientes:
• lımx→s
f(x) = lımx→s
g(x) = 0.
• lımx→s
g(x) = +∞.
• lımx→s
g(x) = −∞.
c) existe lımx→s
f ′(x)g′(x)
= L ∈ R ∪ {±∞}.
Entonces, existe el lımite de f(x)/g(x) y es igual a L:
lımx→s
f(x)g(x)
= lımx→s
f ′(x)g′(x)
= L.
11.1. Desarrollos polinomicos. Teorema de Taylor-Young.
Definicion 11.15 (derivadas de orden superior). Sea f una funcion derivable en I. Dado c ∈ I,si la funcion derivada f ′ es derivable en c diremos que f es dos veces derivable en c, y a laderivada de f ′ en c, que denotaremos por f ′′(c), la llamaremos derivada segunda de f en c.Reiterando, se define para cada n ∈ N la derivada de orden n en un punto, que se escribe f (n)(c).
Teorema 11.16 (de Taylor-Young). Sea f : I → R y c ∈ I. Supongamos que f es derivable entodos los puntos hasta el orden n− 1 (n ≥ 1) y que existe f (n)(c). Entonces
lımx→c
1(x− c)n
[f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)− f ′′(c)
2(x− c)2 − · · · − f (n)(c)
n!(x− c)n
]= 0.
Definicion 11.17. Dada una funcion f derivable n veces en un punto c, se llama polinomio deTaylor en c de orden n al polinomio
Pn,c,f (x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +f ′′(c)
2(x− c)2 + · · ·+ f (n)(c)
n!(x− c)n
(notese que se trata de un polinomio de grado menor o igual que n).
Definicion 11.18. Si f y g son dos funciones, se dice que f(x) = o(g(x)) cuando x → c si
lımx→c
f(x)g(x)
= 0.
Ası, f(x) = h(x) + o(g(x)) significa f(x)− h(x) = o(g(x)), es decir, lımx→c
f(x)− h(x)g(x)
= 0.
Con esto, la formula del teorema de Taylor-Young es
f(x) = Pn,c,f (x) + o((x− c)n), x → c.
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Proposicion 11.19 (unicidad de la aproximacion polinomica). Sea f : I → R, c ∈ I y n ∈ N.Supongamos que existen polinomios P y Q de grado menor o igual que n tales que
lımx→c
f(x)− P (x)(x− c)n
= lımx→c
f(x)−Q(x)(x− c)n
= 0
Entonces P = Q.
Proposicion 11.20. Sea f : I → R, c ∈ I y n ∈ N. Supongamos que f es continua en I y derivableen I \ {c}. Si
f ′(x) = a0 + a1(x− c) + · · ·+ an(x− c)n + o ((x− c)n) , x → c,
entonces
f(x) = f(c) + a0(x− c) +a1
2(x− c)2 + · · ·+ an
n + 1(x− c)n+1 + o
((x− c)n+1
), x → c.
Teorema 11.21 (de Taylor). Sea f una funcion n+1 veces derivable en un intervalo I. Entonces,dados c, x ∈ I, se cumple
f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +f ′′(c)
2(x− c)2 + · · ·+ f (n)(c)
n!(x− c)n + Rn(x, c)
donde Rn(x, c) es una funcion que depende de x y de c y que puede expresarse de las siguientesformas:
a) Resto de Lagrange:Existe un punto s interior al intervalo de extremos c y x tal que
Rn(x, c) =f (n+1)(s)(n + 1)!
(x− c)n+1.
b) Resto de Cauchy:Existe un punto t interior al intervalo de extremos c y x tal que
Rn(x, c) =f (n+1)(t)
n!(x− c)(x− t)n.
Teorema 11.22 (condiciones para la existencia de extremos relativos). Sea f una funcion derivablen− 1 veces (n > 1) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n)(a) y ademas
f ′(a) = f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0 f (n)(a) 6= 0.
Entonces:a) n par, f (n)(a) > 0 =⇒ f tiene en a un mınimo relativo estricto;b) n par, f (n)(a) < 0 =⇒ f tiene en a un maximo relativo estricto;c) n impar =⇒ f no tiene un extremo relativo en a.
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Definicion 11.23. Sea f : I −→ R, I un intervalo. Se dice que f es convexa en I si paracualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene
f(c) ≤ f(a) +f(b)− f(a)
b− a(c− a)
(es decir, la grafica de f esta por debajo de todas las cuerdas).Se dice que f es concava en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene
f(c) ≥ f(a) +f(b)− f(a)
b− a(c− a)
(es decir, la grafica de f esta por encima de todas las cuerdas).
Teorema 11.24. Sea f una funcion derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en losextremos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes:
a) f es convexa en I;b) “la grafica de f esta por encima de sus tangentes”:
f(b) ≥ f(a) + f ′(a)(b− a) ∀ a, b ∈ I;
c) f ′ es no decreciente en I.
Corolario 11.25. Sea f derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos siestos pertenecen al intervalo). Son equivalentes:
a) f es concava en I;b) “la grafica de f esta por debajo de sus tangentes”:
f(b) ≤ f(a) + f ′(a)(b− a) ∀ a, b ∈ I;
c) f ′ es no creciente en I.
Corolario 11.26. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes:a) f es convexa en I;b) f ′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I.
Corolario 11.27. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes:a) f es concava en I;b) f ′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ I.
Definicion 11.28. Sea f una funcion y sea a ∈ dom f . Se dice que f tiene en a un punto deinflexion si existe δ > 0 tal que (a−δ, a+δ) ⊆ dom f y o bien f es convexa en (a−δ, a] y concavaen [a, a + δ), o bien es concava en (a− δ, a] y convexa en [a, a + δ).
Proposicion 11.29. Sea f : D ⊆ R → R y a un punto interior de D. Supongamos que f esderivable en un intervalo abierto I ⊆ D tal que a ∈ I. Entonces, si f tiene un punto de inflexionen a y existe f ′′(a), necesariamente f ′′(a) = 0.
Proposicion 11.30 (condicion suficiente para la existencia de puntos de inflexion). Sea f unafuncion derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n)(a) yademas
f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0.
Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexion.
Corolario 11.31. Sea f una funcion derivable n− 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; seaa ∈ I tal que existe f (n)(a) y ademas
f ′(a) = f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0.
Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexion con tangente horizontal y no un extremolocal.
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11.2. Representacion grafica de funciones.1) Generalidades.
a) Determinacion de su dominio.b) Simplificacion del estudio: paridad [f(−x) = f(x)] o imparidad [f(−x) = −f(x)];
periodicidad [f(x + p) = f(x)]. Otras simetrıas. Regiones planas sin puntos de lagrafica.
c) Lımites de la funcion en puntos del dominio; continuidad.d) Lımites de la funcion en los puntos de acumulacion del dominio que no pertenezcan a el.
En particular, asıntotas verticales: si para algun punto a de acumulacion del dominiode f se cumple lım
x→a−f(x) = +∞, la recta x = a es una asıntota vertical (lo mismo si
el lımite es −∞ o si el lımite es por la derecha).e) Comportamiento en el infinito: asıntotas horizontales y oblicuas.
• Si el dominio de f no esta acotado superiormente y para algun b ∈ R es lımx→+∞
f(x) =
b, la recta y = b es una asıntota horizontal.• Si existen a, b ∈ R tales que lım
x→+∞[f(x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es
una asıntota oblicua. En este caso,
a = lımx→+∞
f(x)x
, b = lımx→+∞
[f(x)− ax].
Una asıntota horizontal es un caso particular de asıntota oblicua, con a = 0.
• Si existe a ∈ R tal que a = lımx→+∞
f(x)x
, la recta y = ax es una direccion asintotica
de la grafica (aun cuando no exista asıntota). En este caso, si lımx→+∞
[f(x)−ax] =
+∞ se dice que la grafica de f tiene una rama parabolica de direccion asintoticay = ax.
• Lo mismo para x → −∞ (si el dominio de f no esta acotado inferiormente).f) Crecimiento y decrecimiento.
2) Estudio de la derivada.a) Derivabilidad de la funcion. Puntos con tangente vertical.b) Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento; extremos relativos y absolutos.c) Crecimiento y decrecimiento de la derivada: convexidad y concavidad; puntos de infle-
xion.d) Puntos crıticos o singulares.
3) Estudio de la derivada segunda.a) Existencia de la derivada segunda.b) Signo de la derivada segunda: convexidad y concavidad; puntos de inflexion.
4) Otras consideraciones: valores particulares de la funcion o de sus derivadas; cortes con losejes; cortes con las asıntotas.
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12. Integral de Riemann.
Definicion 12.1. Una particion de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b]que incluye a los extremos.
Definicion 12.2 (sumas de Darboux). Sea f : [a, b] → R una funcion acotada y sea P una particionP ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n,
Mi = sup{f(x); x ∈ [xi−1, xi]}; mi = inf{f(x); x ∈ [xi−1, xi]}.
La suma inferior de f asociada a P se define como S(f, P ) =n∑
i=1
mi(xi − xi−1).
La suma superior de f asociada a P se define como S(f, P ) =n∑
i=1
Mi(xi − xi−1)
Lema 12.3. Sea f : [a, b] → R acotada. Si P y Q son particiones de [a, b] y P ⊆ Q (se dice en talcaso que Q es mas fina que P ), entonces
S(f, P ) ≤ S(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f, P ),
y en consecuenciaS(f,Q)− S(f,Q) ≤ S(f, P )− S(f, P ).
Lema 12.4. Sea f : [a, b] → R acotada. Si P y Q son particiones cualesquiera de [a, b], entonces
S(f, P ) ≤ S(f,Q).
Definicion 12.5. Dada f : [a, b] → R acotada, se define su integral inferior en [a, b] como∫ b
af = sup{S(f, P ); P particion},
y su integral superior en [a, b] como∫ b
af = inf{S(f, P ); P particion}.
Teorema 12.6. Si f : [a, b] → R acotada, entonces∫ b
af ≤
∫ b
af
Definicion 12.7. Una funcion f : [a, b] → R acotada es integrable-Riemann en [a, b], o simple-mente integrable, si se cumple que ∫ b
af =
∫ b
af.
En tal caso, al valor comun de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) de f en
[a, b], y se escribe∫ b
af .
Teorema 12.8 (condicion de integrabilidad de Riemann). Una funcion f : [a, b] → R acotada esintegrable en dicho intervalo si y solo si para cada ε > 0 existe una particion P = Pε de [a, b] talque
S(f, P )− S(f, P ) < ε.
Definicion 12.9. Dada una particion P , su norma ‖P‖ es el maximo de {xi−xi−1; i = 1, . . . , n}.
Teorema 12.10 (condicion de integrabilidad de Riemann). Una funcion f acotada en [a, b] esintegrable si y solo si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda particion P de [a, b]
‖P‖ < δ implica S(f, P )− S(f, P ) < ε.
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Teorema 12.11 (integrabilidad de las funciones monotonas). Toda funcion monotona en un in-tervalo [a, b] es integrable.
Teorema 12.12 (integrabilidad de las funciones continuas). Toda funcion continua en un intervalo[a, b] es integrable.
Definicion 12.13. Dada una particion P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y unafuncion f definida en [a, b], para cada eleccion de valores si ∈ [xi−1, xi] se dice que
S =n∑
i=1
f(si)(xi − xi−1)
es una suma de Riemann de f asociada a P .
Teorema 12.14. Sea f : [a, b] → R acotada. Si f es integrable entonces para todo ε > 0 se puedeencontrar un δ > 0 de manera que
|S −∫ b
af | < ε
para cualquier suma de Riemann S de f asociada a una particion P de norma ‖P‖ < δ.
Corolario 12.15. Sea f una funcion integrable en [a, b], (Pn) una sucesion de particiones de [a, b]tal que lım
n‖Pn‖ = 0. Si para cada n se considera una suma de Riemann Sn correspondiente a la
particion Pn y a la funcion f , entonces
lımnSn =
∫ b
af.
Teorema 12.16. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y sea α un numero real. Entonces
(a) αf es integrable y∫ b
a(αf) = α
∫ b
af .
(b) f + g es integrable y∫ b
a(f + g) =
∫ b
af +
∫ b
ag.
(c) Si f(x) ≤ g(x) para cada x ∈ [a, b] entonces∫ b
af ≤
∫ b
ag.
(d) |f | es integrable en [a, b] y∣∣∣∣∫ b
af
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a|f |.
(e) la funcion producto fg es integrable en [a, b].
Teorema 12.17. Sea f : [a, b] → R funcion. Dado c ∈ [a, b], son equivalentes:(a) f es integrable en [a, b];(b) f es integrable en [a, c] y en [c, b].
En tal caso se tiene∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf.
Convenio. Pondremos∫ b
af = −
∫ a
bf y si a = b,
∫ b
af = 0.
Proposicion 12.18. Sea g una funcion integrable en [a, b], y sea f una funcion igual a g exceptoen un conjunto finito de puntos de [a, b]. Entonces f es integrable, y
∫ ba f =
∫ ba g.
Definicion 12.19. Funciones monotonas a trozos y funciones continuas a trozos. Unafuncion f : [a, b] → R se dice continua a trozos si existe una particion a = t0 < t1 < t2 < . . . <tn−1 < tn = b tal que f es continua en cada intervalo (ti−1, ti) y existen y son reales los lımiteslaterales en cada ti.
Una funcion f : [a, b] → R se dice monotona a trozos si existe una particion a = t0 < t1 <t2 < . . . < tn−1 < tn = b tal que f es monotona (de cualquier clase) en cada intervalo (ti−1, ti).
Teorema 12.20. Si f es un funcion continua a trozos o una funcion acotada y monotona a trozosen [a, b], entonces f es integrable en [a, b].
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12.1. Teoremas fundamentales del Calculo.
Teorema 12.21 (regla de Barrow). Sea f una funcion integrable en un intervalo [a, b] y supongamosque existe otra funcion F continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que F ′(x) = f(x) para todox ∈ (a, b). Entonces, ∫ b
af = F (b)− F (a).
Teorema 12.22 (segundo teorema fundamental ). Sea f una funcion integrable en [a, b]. DefinamosF : [a, b] → R mediante
F (x) =∫ x
af.
Entonces(a) F es continua en [a, b];(b) si f es continua en algun x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 y
F ′(x0) = f(x0).
Corolario 12.23. Sea f una funcion continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado yacotado [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que
1b− a
∫ b
af = f(x0).
Corolario 12.24. Toda funcion f continua en un intervalo I cualquiera admite una primitiva endicho intervalo.
Corolario 12.25. Sea f una funcion definida en un intervalo I cualquiera, integrable en cualquierintervalo cerrado y acotado contenido en I y sea α : J → I derivable en x0 ∈ J . Dado a ∈ I, seaG : J → R la funcion dada por
G(x) =∫ α(x)
af.
Si f es continua en α(x0), entonces G es derivable en x0, con
G′(x0) = α′(x0)f(α(x0)
).
Teorema 12.26 (integracion por partes). Si u y v son funciones continuas en [a, b] derivables en(a, b) y sus derivadas u′ y v′ son integrables en [a, b], entonces∫ b
au v′ = u(b)v(b)− u(a)v(a)−
∫ b
au′ v.
Teorema 12.27 (cambio de variable). Sea u una funcion derivable en un intervalo abierto J talque u′ es continua y sea I un intervalo abierto tal que u(J) ⊆ I. Si f es continua en I, entoncesf ◦ u es continua en J y ∫ b
af(u(x))u′(x) dx =
∫ u(b)
u(a)f(t) dt
para cualesquiera a, b ∈ J .
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13. Integrales impropias.
Definicion 13.1. Sea I ⊂ R intervalo. f : I → R es localmente integrable en I si f es integrableRiemann en [s, t], s, t ∈ R para todo [s, t] ⊂ I.
Definicion 13.2. Sea f : I → R localmente integrable. Denotar a = inf I, b = sup I, a, b ∈ R ∪{±∞}. Diremos que la integral impropia
∫ ba f es convergente si para algun c ∈ (a, b) existen y son
reales los lımites lıms→b−∫ sc f y lımt→a+
∫ ct f . En tal caso se escribe,∫ b
af = lım
s→b−
∫ s
cf + lım
t→a+
∫ c
tf
En caso contrario la integral impropia se dice no convergente.
Propiedades.i) El caracter y el valor de la integral impropia
∫ ba f no depende de c.
ii) La integral impropia∫ ba f es convergente si y solo si para todo c ∈ (a, b) son convergentes
∫ ca f y∫ b
c f . En tal caso,∫ ba f =
∫ ca f +
∫ bc f
iii) Si f es integrable Riemann en [a, b], a, b ∈ R entonces∫ ba f = lımt→a+
∫ ct f + lıms→b−
∫ sc f .
iv) Sean∫ ba f,
∫ ba g, integrales impropias convergentes. Entonces para todo α, β ∈ R,
∫ ba (αf + βg) es
convergente y∫ ba (αf + βg) = α
∫ ba f + β
∫ ba g.
Proposicion 13.3.
i)∫ ∞
1
dx
xpconverge si y solo si p > 1.
ii)∫ 1
0
dx
xpconverge si y solo si p < 1.
Proposicion 13.4. Sea f : I → R localmente integrable. Si∫ ba |f | converge entonces
∫ ba f tambien
converge y ademas∣∣∣∫ b
a f∣∣∣ ≤ ∫ b
a |f |. En tal caso se dice que la integral impropia∫ ba f es absolutamente
convergente.
13.1. Criterios de convergencia para funciones no negativas.
Nota. Enunciaremos los resultados para intervalos de la forma [a, b), a ∈ R, b ∈ R ∪ {−∞}. (Esdecir, cuando la razon de que sea impropia la integral este en b). Analogos resultados se tienen para(a, b], b ∈ R, a ∈ R ∪ {−∞}.
Proposicion 13.5. Sea f una funcion localmente integrable y no negativa en [a, b). La integralimpropia
∫ ba f es convergente si y solo si la funcion F (x) =
∫ xa f, x ∈ [a, b) esta acotada. En caso
contrario, la integral diverge a +∞.
Proposicion 13.6 (criterio de comparacion). Sean f , g funciones no negativas localmente inte-grables en un intervalo [a, b) tales que f(x) ≤ g(x),∀x ∈ [a, b). Si la integral impropia
∫ ba g es
convergente, entonces tambien la integral impropia∫ ba f es convergente.
Proposicion 13.7 (criterio de comparacion por paso al lımite). Sean f , g funciones no negativaslocalmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existe
lımx→b−
f(x)g(x)
= ` ∈ [0,+∞) ∪ {+∞}.
a) Si ` = 0 y∫ ba g converge, entonces
∫ ba f tambien converge.
b) Si ` = +∞ y∫ ba g diverge, entonces
∫ ba f tambien diverge.
c) Si 0 < ` < ∞, las dos integrales∫ ba f y
∫ ba g tienen el mismo caracter: o las dos son
convergentes, o las dos son divergentes.
18
14. Series de numeros reales
Definicion 14.1. Sea (an) sucesion. Una serie es una sucesion (sN ) definida por
sN = a1 + a2 + · · ·+ aN
Cada an recibe el nombre de termino n-esimo de la serie.Cada sN recibe el nombre de suma parcial N-esima de la serie.
Si lımN→∞
sN ∈ R, se dice que la serie es convergente y se denota lımN→∞
sN =∞∑
n=1
an
Si lımN→∞
sN = ±∞ se dice que la serie es divergente y se escribe lımN→∞
sN =∞∑
n=1
an = ±∞.
Si lımN→∞
sN no existe se dice que la serie es oscilante.
El valor del lımite(si existe)∞∑
n=1
an recibe el nombre de suma de la serie.
Ejemplo (series geometricas). Una serie se dice geometrica si es de la forma∞∑
n=1
rn−1. Si sN es su
suma parcial N -esima, se tiene
sN = 1 + r + · · ·+ rN−1 =
{1−rN
1−r si r 6= 1N si r = 1
.
a) si |r| < 1, la serie∞∑
n=1
rn−1 es convergente y la suma es1
1− r;
b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞;c) si r = −1, la serie es oscilante;d) si r < −1, la serie es oscilante.
Ejemplo. Sea (bn) sucesion de numeros reales. Entonces la serie∑∞
n=1(bn − bn+1) (denominadaserie telescopica) es convergente si y solo si la sucesion (bn) tiene lımite real, en cuyo caso tenemos
∞∑n=1
(bn − bn+1) = b1 − lımn
bn.
Proposicion 14.2. Sean∑∞
n=1 an,∑∞
n=1 bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, laserie
∑∞n=1(αan + βbn) es convergente y se tiene
∞∑n=1
(αan + βbn) = α∞∑
n=1
an + β∞∑
n=1
bn.
Proposicion 14.3 (condicion necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie∑∞
n=1 an
converge, necesariamentelımn
an = 0.
Series de numeros no negativos.
Proposicion 14.4. Sea∑∞
n=1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces∑∞
n=1 an
converge si y solo si la sucesion (sN ) de sus sumas parciales esta acotada superiormente. En casocontrario, la serie diverge a +∞.
Teorema 14.5 (criterio de comparacion por mayoracion). Sean∑∞
n=1 an y∑∞
n=1 bn dos seriescon 0 ≤ an ≤ bn. Si
∑∞n=1 bn converge, tambien converge
∑∞n=1 an. En consecuencia, si
∑∞n=1 an
diverge,∑∞
n=1 bn es asimismo divergente.
19
Teorema 14.6 (criterio de comparacion por paso al lımite). Sean∑∞
n=1 an,∑∞
n=1 bn series determinos no negativos. Supongamos que existe
lımn
an
bn= ` ∈ [0,+∞) ∪ {+∞}.
a) Si ` = 0 y la serie∑∞
n=1 bn converge, entonces la serie∑∞
n=1 an tambien converge.b) Si ` = +∞ y la serie
∑∞n=1 bn diverge, entonces la serie
∑∞n=1 an tambien diverge.
c) Si 0 < ` < +∞, entonces las dos series∑∞
n=1 an y∑∞
n=1 bn tienen el mismo caracter.
Proposicion 14.7 (criterio integral). Sea f : [1,+∞) → [0,+∞) no creciente. Entonces la integral
impropia∫ +∞
1f es convergente si y solo si la serie
∞∑n=1
f(n) converge.
1.- La constante γ de Euler .
γ = lımn
(n∑
k=1
1k−∫ n
1
1x
dx
)= lım
n
(n∑
k=1
1k− log n
)= 0, 5772156649 . . .
es un numero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funcion Γ.2.- El criterio integral permite comprobar que la serie
∑∞n=1
1ns converge si y solo si s > 1. La
funcion
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns
, s > 1
se denomina funcion zeta de Riemann .
Definicion 14.8. Una serie∑∞
n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie∑∞
n=1 |an|es convergente.
Proposicion 14.9. Toda serie absolutamente convergente es convergente y en ese caso,∣∣∣∣∣∞∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ ≤∞∑
n=1
|an|.
Proposicion 14.10 (criterio de la raız o de Cauchy). Sea∑∞
n=1 an una serie tal que existe
R = lımn→∞
n√|an|
a) Si R < 1, la serie∑∞
n=1 an converge absolutamente.b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie
∑∞n=1 an no es convergente.
Proposicion 14.11 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea∑∞
n=1 an una serie tal que existe
R = lımn→∞
|an+1||an|
a) Si R < 1, la serie∑∞
n=1 an converge absolutamente.b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie
∑∞n=1 an no es convergente.
Teorema 14.12 (condicion de Cauchy). Una serie∑∞
n=1 an es convergente si y solo si para cadaε > 0 existe un N0 = N0(ε) tal que para cualesquiera M,N ∈ N con M ≥ N > N0 se cumple∣∣∣∣∣
M∑n=N
an
∣∣∣∣∣ < ε.
Proposicion 14.13 (criterio de Leibniz). Sea∑∞
n=1(−1)n+1an con an ≥ 0. Si (an) es una sucesionno creciente con lımite 0, entonces la serie
∑∞n=1 (−1)n+1an es convergente.
20
Reordenacion de series.
Definicion 14.14. Dada una serie∑∞
n=1 an, se dice que otra serie∑∞
n=1 bn es una reordenacionsuya si existe una aplicacion biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,
bn = ar(n).
Lema 14.15. Dada una serie∑∞
n=1 an de terminos no negativos y una reordenacion suya∑∞
n=1 bn,se tiene:
a) si∑∞
n=1 an es convergente con suma s, tambien∑∞
n=1 bn es convergente con suma s.b) si
∑∞n=1 an es divergente a +∞, tambien
∑∞n=1 bn es divergente a +∞.
Proposicion 14.16. Si∑∞
n=1 an es absolutamente convergente entonces toda reordenacion∑∞
n=1 bn
converge y lo hace al mismo valor.
Teorema 14.17 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente,para cada ` ∈ [−∞,+∞] existe una reordenacion suya con suma `.
Series telescopicas.∞∑
n=1
(bn − bn+1) = b1 − lımn
bn.
Series aritmetico-geometricas. Si P es un polinomio, la serie∞∑
n=0
P (n) rn converge si y solo si
|r| < 1. Llamando S a su suma,
(1− r)S = P (0) +∞∑
n=1
[P (n)− P (n− 1)]rn = P (0) +∞∑
n=1
Q(n)rn
donde Q es un polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geometrica.
Series hipergeometricas. Son de la forma∞∑
n=1
an conan+1
an=
αn + β
αn + γ, α > 0. La serie converge
si y solo si γ > α + β, con suma γa1
γ−α−β
Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’. Series del tipo∑ P (n)
Q(n), donde P y Q son
polinomios. Cuando convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fraccionessimples y calculando la suma parcial n-esima, relacionandola con sumas de series conocidas. Puedenser de ayuda las siguientes:
• Serie armonicaHn := 1+
12
+13
+ · · ·+ 1n
= log n+γ +εn, donde γ es la constante de Euler y lımn εn = 0
• Funcion ζ de Riemann: ζ(2) =∞∑
n=1
1n2
=π2
6, ζ(4) =
∞∑n=1
1n4
=π4
90.
Reordenadas de la serie armonica alternada. En algunos casos pueden hallarse expresionessimplificadas de ciertas sumas parciales en terminos de Hn, y deducir ası el comportamiento de laserie.
Series que se reducen a la exponencial. Partiendo de que para todo x ∈ R es∞∑
n=0
xn
n!= ex, se
pueden sumar series de la forma∑ P (n)
n!xn, donde P es un polinomio de grado m, sin mas que
para coeficientes a0, . . . , am adecuados, y observar que si n > k,n(n− 1) · · · (n− k)
n!=
1(n− k − 1)!
.
21
15. Series de potencias
Definicion 15.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma∞∑
n=0
an (x− c)n.
Definicion 15.2. Dada una serie de potencias∞∑
n=0
an (x− c)n, su radio de convergencia es el
valor (finito o infinito) dado por
R = sup{|x− c| :∞∑
n=0
an (x− c)n converge}.
Lema fundamental. Si la sucesion (an (x − c)n) esta acotada, entonces para cada y ∈ R tal que
|y − c| < |x− c|, la serie∞∑
n=0
an (y − c)n es absolutamente convergente.
Teorema 15.3. Dada una serie de potencias∞∑
n=0
an (x−c)n con radio de convergencia R, se tiene:
a) Si |x− c| < R, la serie∞∑
n=0
an (x− c)n converge absolutamente.
b) Si |x− c| > R, la serie no converge y la sucesion (an (x− c)n) no esta acotada.
Nota. El dominio de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo (finito oinfinito) que recibe el nombre de intervalo de convergencia . Si R es finito, no hay resultadosgenerales para la convergencia en los extremos del intervalo c + R y c−R y hay que estudiarlos encada caso particular.
Calculo del radio de convergencia . Sea∞∑
n=0
an (x− c)n serie de potencias. en la practica, para
calcular su radio de convergencia R utilizaremos el criterio del cociente (D’alembert) o bien elcriterio de la raız n-esima (Cauchy). No obstante, existe una formula general que permite expresarR en funcion de sus coeficientes. Se trata de la formula de Cauchy-Hadamard:
R =1
lım sup n√|an|
.
22
15.1. Representacion en serie de potencias.
Proposicion 15.4. Sea f una funcion con derivadas de todos los ordenes en (c − R, c + R).Supongamos que existan numeros reales no negativos A y B tales que
|f (n)(x)| ≤ B ·An siempre que |x− c| < R .
Entonces, para todo x ∈ (c−R, c + R) se verifica
f(x) =∞∑
n=1
f (n)(c)n!
(x− c)n .
Lema 15.5. Sea∞∑
n=0
an (x− c)n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces las
series∞∑
n=0
n an (x− c)n−1 y∞∑
n=0
an
n + 1(x− c)n+1 tambien tienen radio de convergencia R.
Teorema 15.6 (Continuidad de series de potencias). Sea f(x) =∞∑
n=0
an (x − c)n una serie de
potencias con radio de convergencia R. Entonces,a) Interior. f es continua en |x− c| < R.b) Frontera (Abel). Si la serie converge en x = R + c, entonces f es continua en R + c es
decir,
f(R + c) =∞∑
n=0
an Rn = lımx→(c+R)−
∞∑n=0
an (x− c)n = lımx→(c+R)−
f(x).
Teorema 15.7 (Integracion de series de potencias). Sea f(x) =∞∑
n=0
an (x − c)n una serie de
potencias con radio de convergencia R. Entonces,∫ x
cf(t) dt =
∞∑n=0
an
n + 1(x− c)n+1 , |x− c| < R
Teorema 15.8 (Derivacion de series de potencias). Sea f(x) =∞∑
n=0
an (x− c)n una serie de poten-
cias con radio de convergencia R. Entonces, f es derivable en |x− c| < R y se tiene
f ′(x) =∞∑
n=1
n an (x− c)n−1 , |x− c| < R
Corolario 15.9. Sea f(x) =∞∑
n=0
an (x − c)n una serie de potencias con radio de convergencia R.
Entonces f tiene derivadas de todos los ordenes en |x− c| < R, y se cumple
f (k)(x) =∞∑
n=k
n(n− 1) · · · (n− k + 1) an (x− c)n−k .
En consecuencia, an =f (n)(c)
n!, de manera que las sumas parciales de la serie son los correspon-
dientes polinomios de Taylor de f en el punto c.
Corolario 15.10 (Unicidad). Si dos series de potencias∞∑
n=0
an (x− c)n y∞∑
n=0
bn (x− c)n tienen la
misma funcion suma f en un cierto entorno del punto c, entonces an = bn para todo n ≥ 0.