2 Multivariate Normalverteilung 2.1 Multivariate Normalverteilung Definition 2.1. Normalverteilung • Eine univariat normalverteilte Zufallsvariable X besitzt die Dichte f ( x )= 1 √ 2πσ exp - ( x - μ) 2 2σ 2 x ∈ R. Die Parameter μ ∈ R und σ 2 > 0 geben den Erwartungswert bzw. die Varianz von X an (σ ist die Standardabweichung). • Eine regul¨ are (nicht entartete, nicht singul¨ are) d-variat normalverteilte Zufallsvariable X besitzt die Dichte f (x)= f ( x 1 ,..., x d )= 1 (2π ) d/2 (det(Σ)) 1/2 exp - 1 2 (x - μ) 0 Σ -1 (x - μ) f¨ ur x ∈ R d . Dabei ist μ ∈ R d der Erwartungswertvektor und Σ ∈ R d×d , positiv definit und symmetrisch, die Kovarianzmatrix von X. (‘det’ bezeichnet die Determinante einer Matrix.) Notation 2.2. F¨ ur X bzw. X normalverteilt schreiben wir kurz X ∼ N (μ, σ 2 ) bzw. X ∼ N d (μ, Σ). Die Normalverteilung eignet sich zur Modellierung von Merkmalen, die durch das Zusammenwirken vieler Zufallseinfl ¨ usse entstehen, biologische Variabilit¨ at (K¨ orpergr ¨ oße, IQ, . . .), Messfehler, Abweichungen vom Soll- wert (z. B. Schweizer Banknoten), etc. Definition 2.3. Standardnormalverteilung • Die univariate Normalverteilung mit μ = 0 und σ 2 = 1 heißt (univa- riate) Standardnormalverteilung. • N d (0, I d ) heißt (multivariate) Standardnormalverteilung. 22
13
Embed
2 Multivariate Normalverteilung - Fakultät Statistik …dvogel/...wieder multivariat normalverteilt; insbesondere ist jede einzelne Komponente X i von X univariat normalverteilt.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2 Multivariate Normalverteilung
2.1 Multivariate Normalverteilung
Definition 2.1. Normalverteilung
• Eine univariat normalverteilte Zufallsvariable X besitzt die Dichte
f (x) =1√
2π σexp
(−(x− µ)2
2σ2
)x ∈ R.
Die Parameter µ ∈ R und σ2 > 0 geben den Erwartungswert bzw. die
Varianz von X an (σ ist die Standardabweichung).
• Eine regulare (nicht entartete, nicht singulare) d-variat normalverteilte
Zufallsvariable X besitzt die Dichte
f (x) = f (x1, . . . , xd) =1
(2π)d/2(det(Σ))1/2 exp(−1
2(x− µ)′Σ−1(x− µ)
)fur x ∈ Rd. Dabei ist µ ∈ Rd der Erwartungswertvektor und Σ ∈ Rd×d,
positiv definit und symmetrisch, die Kovarianzmatrix von X. (‘det’
bezeichnet die Determinante einer Matrix.)
Notation 2.2. Fur X bzw. X normalverteilt schreiben wir kurz X ∼ N(µ, σ2)
bzw. X ∼ Nd(µ, Σ).
Die Normalverteilung eignet sich zur Modellierung von Merkmalen, die
durch das Zusammenwirken vieler Zufallseinflusse entstehen, biologische
Variabilitat (Korpergroße, IQ, . . .), Messfehler, Abweichungen vom Soll-
wert (z. B. Schweizer Banknoten), etc.
Definition 2.3. Standardnormalverteilung
• Die univariate Normalverteilung mit µ = 0 und σ2 = 1 heißt (univa-