-
2. modul: Erőrendszerek
2.1. lecke: Erő és nyomaték
A lecke célja:
A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és
erőrendszerek jellemzőit.
Követelmények:
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
saját szavaival meg tudja határozni az erő, erővektor,
koncentrált erő, eredő erő, támadáspont, helyvektor, hatásvonal,
egységvektor, irány egységvektor, nyomaték,
nyomatékvektor, Plücker vektorok, vektorkettős, vektortér,
vektormező, nyomatéki
vektortér, erőpár, koncentrált nyomaték, erőrendszer, eredő
vektorkettős fogalmát;
fel tudja sorolni az erő megadásának módjait;
ábra alapján meg tud adni koncentrált erőt, kötött
erővektort;
ábra alapján fel tudja írni az erő pontra és tengelyre számított
nyomatékát
meghatározó összefüggést;
ábra alapján fel tudja írni:
o a tengely Plücker vektoros alakját; o erő két pontra számított
nyomatéka közötti összefüggést; o bármely pontra az erőpár
nyomatékát;
o az erőrendszer eredő erővektorát és eredő
nyomatékvektorát;
ki tudja számítani:
o az erő pontra és tengelyre számított nyomatékát; o az eredő
vektorkettőst;
el tudja végezni a nyomatékátszámítást.
Időszükséglet:
A tananyag elsajátításához körülbelül 50 percre lesz
szüksége.
Kulcsfogalmak:
erő, erővektor, koncentrált erő, eredő erő
támadáspont, helyvektor, hatásvonal, egységvektor, irány
egységvektor
koordináta, koordinátarendszer
nyomaték, nyomatékvektor, jobbkéz szabály, Plücker vektorok,
vektorkettős
vektortér, vektormező, nyomatéki vektortér
erőpár, koncentrált nyomaték, erőrendszer, redukált
vektorkettős
2.1.1. Koncentrált erő megadása
Tevékenység:
Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az erő, a koncentrált erő
fogalmát és az erő
mértékegységét! Figyelje meg a koncentrált erő megadása bekezdés
ábráit! Az ábrák alapján
írja fel önállóan az erővektort, az erő koordinátákat, az erő
nagyságát! Figyelje meg a kötött
erővektor ábráját! Írja fel a helyvektort! Tanulja meg a kötött
koncentrált erővektor
megadásának a módját!
Ha nem ért valamit a vektorokkal, vektor műveletekkel
kapcsolatban, akkor olvassa el a F.I.1.
függeléket (Vektorok és vektorműveletek).
-
Tartalom:
Erő: egy testnek egy másik testre gyakorolt hatása.
Koncentrált erő: ha egy test pontszerű érintkezéssel gyakorol
hatást a másik testre.
Az F koncentrált erő vektor mennyiség: nagyság, irány, (előjel
és mértékegység),
támadáspont, hatásvonal jellemzi.
Mértékegysége: 2
mN=kg
s - Newton (kiejtése: nyúton).
1 N az az erő, amely 1 kg tömegű testre hatva 1 2
m
s gyorsulást hoz létre.
Koncentrált erő megadása:
a) megadási lehetőség:
aF F e - a koncentrált erő,
ae - az erő irány egységvektora,
F – az erő ae irányú koordinátája (előjeles skalár
szám),
cos cos cosx x y y z ze e e e ,
2 2 21 cos cos cosx y ze .
b) megadási lehetőség:
x x y y z z x y z
zx y
F F e F e F e F F F
FF F
,
, ,x y zF F F – az erő koordinátái (skalár),
, ,x y zF F F – az erő összetevői (vektor),
, ,x y ze e e – a koordináta-rendszer (KR) x,y,z irányú
egységvektorai,
Az erő nagysága (abszolút értéke): 2 2 2x y zF F F F .
Kötött erővektor: az F koncentrált erőt a P ponthoz kötjük.
F - a koncentrált, kötött erővektor,
P - az F erővektor támadáspontja,
P P x P y P zr x e y e z e , - helyvektor
a - az F erővektor hatásvonala,
ae - a hatásvonal irány egységvektora.
A kötött koncentrált erővektor megadása
támadáspontjának Pr helyvektorával és az F
erővektorral történik.
F ae
xy
z
y
O
x
z
zFxF
yF
y
z
Ox
F
Oxy
z
Pr
P
a
aeF
xe ye
ze
-
2.1.2. Erő nyomatéka
Tevékenység:
Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg a nyomaték fogalmát és
mértékegységét! Az ábrák
alapján írja fel önállóan az erő pontra és tengelyre számított
nyomatékát meghatározó
összefüggést! Tanulja meg és próbálja ki a „jobbkéz” szabályt!
Ábra alapján írja fel a tengely
egyenletének Plücker vektoros alakját! Ismert erő és nyomaték
alapján határozza meg a tér
egy másik pontjára a nyomatékot! Önállóan oldja meg a gyakorló
feladatokat!
Ha nem ért valamit a vektorokkal, vektor műveletekkel
kapcsolatban, akkor olvassa el a F.I.1.
függeléket (Vektorok és vektorműveletek).
Tartalom:
Nyomaték: az erő forgató hatása.
Mértékegysége: Nm - Newton méter.
a) Erő pontra számított nyomatéka:
A pontra számított nyomaték az erő egy adott pont körüli forgató
hatása.
A APM r F - a pontra számított nyomaték vektor
mennyiség.
A nyomaték nagysága: sinA APM r F .
A nyomatékvektor merőleges az APr és az F
vektorok által meghatározott síkra úgy, hogy az APr ,
F , és AM jobbsodratú vektorhármast alkotnak
(jobbkéz szabály).
A jobbkéz szabály értelmezése
Gyakorló feladat: Erő pontra számított nyomatéka
Ox y
z
APr
P
A
F
F
AM
-
Adott:
0,4588 1,376 1,376 kNx y zF e e e ,
12 mOA zr e .
Feladat:
a) Az F erő O pontra számított OM
nyomatékának meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az F erő O pontra számított OM nyomatékának
meghatározása:
(12 ) (0,4588 1,376 1,376 )
0 0 12 ( 16,5 5,51 )
0,4588 1,376 1,376
O OA z x y z
x y z
x y
M r F e e e e
e e e
e e kNm
(A vektoriális szorzás kiszámítását lásd a F.I.1.
függelékben.)
Vegye észre:
Az OM nyomatékvektor merőleges az OAr
helyvektor és az F erővektor által kifeszített
síkra.
Irányát a jobbkéz szabály határozza meg.
Ellenőrizze, hogy az OAr
helyvektor és OM nyomatékvektor, valamint az F erővektor és a
OM
nyomatékvektor merőleges-e egymásra! Határozza meg az erővektor
és a nyomatékvektor
nagyságát!
(A megoldásokhoz információkat, eljárásokat talál a F.I.1.
függelékben.)
b) Erő tengelyre számított nyomatéka:
A tengelyre számított nyomaték az erő egy adott tengely körüli
forgató hatása.
Tengely egyenlete:
Tengely: irányított egyenes egy egyenesen két
tengely vehető fel.
0P - a tengely egy rögzített pontja,
P - a tengely futópontja (tetszőleges pontja),
a - a tengely irányvektora ( 1a ).
A tengely egyenlete: 0( ) 0a r r ,
0 0a r a r
b
.
A tengely egyenletének Plücker (kiejtése: plükker) vektoros
alakja: 0a r b .
Ox y
z
0rr
P
0Pa
a
-
,a b Plücker vektorok és a b , azaz 0a b .
b az a irányvektor nyomatéka a koordináta-rendszer (KR) O
kezdőpontjára.
a A aM M e - a tengelyre számított nyomaték
(előjeles) skaláris mennyiség.
a
ae
a - a tengely irány egységvektora.
A tengelyre számított nyomaték a tengely bármely
A pontjára számított nyomatéknak a tengelyre eső
(előjeles) vetülete.
A KR tengelyeire számított nyomatékok: x O xM M e , y O yM M e ,
z O zM M e .
c) Összefüggés két pontra számított nyomaték között:
BP BA AP AB APr r r r r .
A nyomaték értelmezéséből:
( )B BP BA AP AP BA
A
M r F r r F r F r F
M
.
B A BAM M r F , vagy B A ABM M F r .
Az , AF M vektorkettős ismeretében bármely B
pontra számított BM nyomaték
meghatározható.
1. Gyakorló feladat: Erő pontra és tengelyre számított
nyomatéka
Adott:
40 20 kNx yF e e , 4 mP x yr e e . Feladat:
a) Az F erő A pontra számított AM
nyomatékának meghatározása.
b) Az F erő A ponton keresztülmenő, xy
síkra merőleges a (vagy z ) tengelyre
számított z aM M nyomatékának
meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az F erő A pontra számított AM nyomatékának
meghatározása:
4 40 20 80 40 120 kNmA AP x y x y z z zM r F e e e e e e e .
b) Az F erő A ponton keresztülmenő, xy síkra merőleges a (vagy z
) tengelyre számított
z aM M nyomatékának meghatározása:
120 120kNmz a z z zM M M e e e .
x
y
a
a
OA aM
aM
FPz
APr
xy
A
O
B
F
Pz
BArAPr
BPr
AM
BM
x
y
P
F
Pr
A 1
1
2
2
3 4
-
2. Gyakorló feladat: Erő pontra és tengelyre számított
nyomatéka
Adott:
(2 6 0) mP , (3 0 0) mA , (0 0 4) mB ,
(4 3 2 ) Nx y zF e e e .
Feladat:
a) Az A és a B pontra számított AM és BM
nyomaték meghatározása.
b) Az a tengelyre számított aM nyomaték
meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az A és a B pontra számított AM és BM nyomatékok
meghatározása:
( 3 2 6 ) 4 3 2AO
OP
A AP AO OP x x y x y zM r F r r F e e e e e e
r r
1 6 0 (12 2 21 ) Nm
4 3 2
x y z
x y z
e e e
e e e
( 4 2 6 ) 4 3 2BO
OP
B BP BO OP z x y x y z
r r
M r F r r F e e e e e e
2 6 4 (0 20 30 ) ( 20 30 ) Nm
4 3 2
x y z
x y z y z
e e e
e e e e e
.
b) Az a tengelyre számított aM nyomaték meghatározása:
( 3 4 ) m 5 mx za e e a , ( 0,6 0,8 )a x za
e e ea
.
M 12 2 21 0,6 0,8 24 Nma A a x y z x zM e e e e e e .
M 20 30 0,6 0,8 24 Nma B a y z x zM e e e e e .
x
y
z
A
B
F
P
Pr
aO
-
2.1.3. Erő nyomatéki vektortere
Tevékenység:
Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg a vektortér, vektormező és
nyomatéki vektortér
fogalmakat!
Tartalom: Vektortér / vektormező: a geometriai tér, vagy a
vizsgált test minden pontjához
hozzárendelünk egy vektort.
Nyomatéki vektortér:
- Az F erő nyomatékát kiszámítjuk a tér minden
egyes pontjára.
- A tér minden egyes pontjához hozzákötjük az adott
pontra számított nyomatékvektort.
- Ezek a nyomatékvektorok alkotják az F erő
nyomatéki vektorterét.
2.1.4. Koncentrált erőrendszere
Tevékenység:
Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az erőpár, koncentrált
nyomaték fogalmát! Ábra alapján
írja fel az erőpár nyomatékát egy kijelölt pontra! Ábra alapján
írja fel az erőrendszer eredő
erővektorát és eredő nyomatékvektorát meghatározó összefüggést!
Tanulja meg az eredő
vektorkettős elemeit és jelölését! Ábra alapján írja fel az
eredő vektorkettős kiszámításához
szükséges összefüggést! Önállóan oldja meg a gyakorló
feladatokat!
Ha nem ért valamit a vektorokkal, vektor műveletekkel
kapcsolatban, akkor olvassa el a F.I.1.
függeléket (Vektorok és vektorműveletek).
Tartalom: a) Erőpár / koncentrált nyomaték:
Erőpár: két azonos nagyságú ellentétes irányú, párhuzamos
hatásvonalú erő.
Speciális erőrendszer: 1 2, F F F F
Az erőpár A pontra számított nyomatéka:
1 2A AP APM r F r F
1 2
21
( )AP APr r F
r
1 2 21AP APr r r , 21 sinh r .
21A BM r F M .
Erőpár nyomatéka a tér bármely pontjára
ugyanannyi.
Erőpár homogén nyomatéki vektorteret hoz létre.
Az erőpár a tér bármely pontjához köthető, az erőpár vektor nem
változik.
xy
A
O
B
F
Pz
CPrAPr
BPr
AM
BM
CMC
F
F
h
y
z
xO
21r
2P1P
2APr1AP
r
A
B
-
b) Általános (szétszórt) erőrendszer:
Az erőrendszer megadása: ( 1,2, ... , )iF i n , ( 1,2, ... , )iM
i n .
Az erőrendszer általános esetben erőkből és
erőpárokból (koncentrált nyomatékokból)
állhat.
Az erőrendszer eredő erővektora: 1
n
i
i
F F
.
Az erőrendszer eredő nyomatékvektora: 1 1
i
n n
A AP i i
i i
M r F M
.
c) Erőrendszer eredő / redukált vektorkettőse:
Az eredő vektorkettős: - eredő erő,
- megadott pontra számított eredő nyomaték.
Az eredő vektorkettős jelölése: ,F A M A .
Az eredő vektorkettős kiszámítása: 1
n
i
i
F A F F
, 1
i
n
A i AP i
i
M M r F
.
Megjegyzés:
- Az eredő vektorkettős a nyomatéki tér vonatkozásában
egyértelműen jellemzi az
erőrendszert.
- A redukált vektorkettős bevezetésével az általános erőrendszer
problémáját egy erő
feladatára vezettük vissza.
- Az erőrendszer eredő erővektora a tér bármely pontjába
redukálva ugyanannyi:
F A F B F .
- Az erőrendszer B pontra számított nyomatéka:
B A ABM M F r .
Az A pontbeli redukált vektorkettős ismeretében az
erőrendszernek a tér bármely B
pontjába számított nyomatéka meghatározható.
1. Gyakorló feladat: Síkbeli erőrendszer redukált vektorkettőse,
nyomaték átszámítás
Adott:
1 8 5 Nx yF e e ,
2 12 NxF e ,
3 20 NyF e ,
2 12 NmzM e ,
4 6 mB x yr e e ,
3 mC x yr e e .
y
iP
z
xA
O
Air
iF
iM
x
y
A
C
B2M
1F
2F
3F
-
Feladat:
a) Az ábrán látható erőrendszer F eredőjének meghatározása.
b) Az A és C pontokra számított AM , illetve CM nyomatékok
meghatározása a
nyomatékszámítás értelmezése alapján.
c) Az CM nyomaték meghatározása a nyomaték átszámító
képlettel.
Kidolgozás:
a) Az ábrán látható erőrendszer F eredőjének meghatározása:
3
1 2 3
1
F= 8 5 12 20 20 25 Ni x y x y x yi
F F F F e e e e e e
.
b) Az A és C pontokra számított AM , illetve CM nyomatékok
meghatározása a
nyomatékszámítás értelmezése alapján:
2 3
2 2 3
2 1
A i Aj j AB AC
i j
M M r F M r F r F
.
2 4 6 12 72 NmAB x y x zr F e e e e ,
3 3 20 60 NmAC x y y zr F e e e e ,
12 72 60 0A z z zM e e e .
2 3
2 1 2
2 1
C i Cj j CA CB
i j
M M r F M r F r F
.
1 1 3 8 5 15 8 23 NmCA AC x y x y z z zr F r F e e e e e e e
,
2 2 2CB CA AB AC ABr F r r F r r F ( (3 ) (4 6 )) ( 12 ) ( 7 ) (
12 ) (84 ) Nmx y x y x x y x ze e e e e e e e e ,
( 12 ) (23 ) (84 ) (95 ) NmC z z z zM e e e e .
c) Az AM nyomaték és a C pontra számított CM nyomaték
kiszámítása:
0 3 20 25C A CA AC x y x yM M r F r F e e e e (20 ) (75 ) (95 )
Nmz z ze e e .
2. Gyakorló feladat: Síkbeli szétszórt erőrendszer eredőjének és
az eredő hatásvonalának
meghatározása.
Adott:
1 2 3 10 kNF F F ,
4 50 kNF , 60 , 0 4 ma ,
03 mb , 05 mc .
Feladat:
a) Az F , OM eredő vektorkettős
meghatározása.
b) Az eredő erő hatásvonalának
meghatározása.
O x
y
a a
1F
2F
3F4F
b
c
-
Kidolgozás:
a) Az F , OM eredő vektorkettős meghatározása: 4
1
x x y yi
i
F F e F eF
,
4
1 2 3 4
1
1 1cos cos 08 10 10 10 50 08 40 kN
2 2x ix
i
F F F F F F
.
0 4cos 08
05
,
03sin 0 6
05
.
4
1 3 4
1
3 3sin sin sin 10 50 06 30 kN
2 2y iy
i
F F F F F
,
40 30 kNx yF e e .
1 2 3( sin sin 0)O z z zM M e aF cF aF e
3 30 4 10 05 10 0 4 10 (5 4 3) (1193 ) kNm
2 2z z ze e e
.
b) Az eredő hatásvonalának meghatározása:
Síkbeli erőrendszerek esetén: AF M .
Az eredő hatásvonalának pontjaiban: 0P O OPM M F r .
A hatásvonal egyenesének egyenlete: 0 0Oa r b F r M .
Az egyenes egyenletének a matematikában
szokásos alakjának előállítása:
40 30 11,93 0x y x y ze e xe ye e ,
40 30 1193 0z z z zye xe e e
40 30 1193y x ,
30 298
4y x .
Metszéspontok a koordináta-tengelyekkel:
0 298 mCy ,
30 0 298
4Dx , 0398 mDx .
Ellenőrzés:
0398 30 1193 kNmOz D yM x F ,
0298( 40) 1193 kNmOz C xM y F .
O x
y
FF
O O z zM M e
Dx
Cy
e
xF
xF
yF
yF
eh
C
DP
-
3. Gyakorló feladat: Erőrendszer pontra és tengelyre számított
nyomatéka
Adott:
1 4 4 kNx zF e e ,
2 ( 2 ) kNxF e ,
3 (2 3 4 ) kNx y zF e e e ,
( 2 4 4 )mx y za e e e .
Feladat:
a) Az O és az A
pontokra számított OM
és AM nyomaték
meghatározása.
b) Az erőrendszer y és a tengelyekre számított yM és aM
nyomatékának meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az erőrendszer OM és AM nyomatékának kiszámítása:
(4 3 ) kNi x yi
F F e e ,
(24 24 24 ) kNmO i i x y zi
M r F e e e ,
1 1 0 0 4 0 16 = 16 kNm4 0 4
x y z
y y
e e e
r F e e
,
2 2 8 6 4 0 8 + 0 12 = 8 12 kNm2 0 0
x y z
y z y z
e e e
r F e e e e
,
3 3 8 6 0 24 0 32 0 24 12 =
2 3 4
x y z
zx y
e e e
r F e e e
(24 32 12 ) kNmx y ze e e ,
(24 24 ) kNmA O OA x yM M F r e e ,
(4 3 ) 8 24 kNmOA x y x zF r e e e e .
b) Az erőrendszer yM és aM nyomatékának kiszámítsa:
24 kNmy yM e ,
24 kNma A aM M e ,
( 2 4 4 ) 1 2 2
| | 3 3 34 16 16
x y z
a x y z
e e eae e e e
a
,
1 2 2(24 24 ) 8 16 24 kNm
3 3 3A A x y x y zM e e e e e e
.
x
y
z
1P
2P
3P
O
A
a
a
1F2F
3F
6 m
4 m
8 m
-
4. Gyakorló feladat: Erőrendszer pontra és tengelyre számított
nyomatéka
Adott:
1 2 5 MNF F ,
2 3 20 MNmM M ,
(4 8 3 ) mB x y zr e e e ,
za e .
Feladat:
a) Az erőrendszer O és E pontokra számított OM és EM
nyomatékának meghatározása.
b) Az erőrendszer x és a tengelyekre számított xM és aM
nyomatékának meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az erőrendszer O és E pontokra számított OM és EM
nyomatékának meghatározása:
1 2 (4 3 ) ( 5 ) (4 5 3 ) MNzx y x y zF F F e e e e ee ,
2 3 1 2O D BM M M r F r F ,
1 (3 ) (4 3 ) (12 ) MNmD z x z yr F e e e e ,
2 (4 8 3 ) ( 5 ) (15 20 ) MNmB x y z y x zr F e e e e e e ,
( 20 ) (20 ) (12 ) (15 20 ) (15 32 40 ) MNmO z y y x z x y zM e
e e e e e e e ,
E O OEM M F r ,
(4 5 3 ) (4 ) (20 12 )OE x y z x z yF r e e e e e e ,
(15 20 20 ) MNmE x y zM e e e .
b) Az erőrendszer x és a tengelyekre számított xM és aM
nyomatékának meghatározása:
15 MNmx O xM M e , 20 MNma E zM M e .
x
y
z
O1F
2F3M
2M
A
a
B
CD
E G
H