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2. Mtodos para abordar el problema
2.1 Mtodo analtico: Como ya se coment y resulta evidente, para
resolver el problema con mtodos analticos ste habr de ser
simplificado al mximo. Ello se consigue aproximando la unin entre
tubo y abrazadera por un ajuste simple ente cilindros, problema que
podr ser abarcado por la teora de la elasticidad. El anlisis
plstico no se considerar.
Fig. 2.1 Representacin de la interferencia entre los dos
cuerpos
Para encontrar la solucin analtica del campo de tensiones y
desplazamientos generado por la introduccin de un cilindro en otro
de dimetro menor se han resuelto inicialmente dos problemas
similares. Por un lado se resuelve el caso de un cilindro sometido
a una presin uniforme exterior (tubo) y por otro el de un cilindro
sometido a una presin uniforme interior (abrazadera), considerando
deformacin plana. La imposicin de un mismo valor en las presiones
de ambos problemas, as como de un radio final idntico para el
exterior del tubo y para el interior de la abrazadera terminar de
definir el problema, proporcionando una solucin nica.
La solucin a los dos problemas anteriores puede hallarse de
forma analtica mediante el uso de las ecuaciones de Navier,
considerando un comportamiento axilsimtrico. Para ambos problemas
estas ecuaciones proporcionan los desplazamientos radiales en
funcin del radio (los desplazamientos circunferenciales sern cero
por simetra). El desarrollo de este problema se encuentra con ms
detalle en [1]. Se expone a continuacin a grandes rasgos el proceso
seguido. Se comienza imponiendo una forma para los desplazamientos
en funcin de dos constantes (a, b) que dependern de las condiciones
de contorno de cada problema.
2ar
+r
bu(r) =
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Ral Nuo Zamorano 2
Las condiciones de contorno se imponen en tensiones (la tensin
radial es cero en las superficies libres o bien igual a la presin
de contacto segn el caso), y posteriormente en desplazamientos (el
dimetro final exterior del tubo debe ser igual al interior de la
abrazadera). Es por ello que se debe obtener la distribucin de
tensiones originada por este campo de desplazamientos. Para ello se
va a obtener en primer lugar el tensor de deformaciones derivando
el campo de desplazamientos, y posteriormente, a travs de la ley de
comportamiento, el tensor de tensiones. Una vez hecho esto solo se
habr de imponer el valor de la tensin en cada caso.
El tensor de tensiones es de la forma:
00r
Con:
( ) 22r
GbaG= r +
( ) 22
r
GbaG= ++
Donde G es el mdulo elstico a cizalladura, y es la llamada
constante de Lam, que se define de la siguiente manera, en funcin
tambin del mdulo de Poisson :
( )( )1 1 2E
=
+
Imponiendo las condiciones de contorno en el caso del tubo:
,tubRr int= 0= r y ,tubRr ext= Pr =
Donde P es una cierta presin por ahora desconocida. Sustituyendo
dichas condiciones:
PRR
RG
=a,tub,tub
,tubtub 2
ext2int
2ext1+
PRR
RRG
=b,tub,tub
tub,tubtub 2
ext2int
2int,
2ext
21
Por otra parte, en el caso de la abrazadera:
,abrRr ext= 0= r
,abrRr int= Pr =
Notar que la presin es la misma que en el caso del tubo.
Substituyendo se obtiene:
PRR
RG
a,abrabr
,abrabr 2
int2
,ext
2int1+
=
PRR
RRG
b,abrabr
abr,abrabr 2
int2
,ext
2,ext
2int
21
=
De esta manera se tienen definidos dos campos de desplazamientos
uno para la abrazadera y otro para el tubo, ambos en funcin de
P.
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Ral Nuo Zamorano 3
La relacin entre el campo de desplazamientos del tubo y el de la
abrazadera se haya a partir de:
tubtubfinaltubtub RRRu ,ext,,ext )( =
abrabrfinalabrabr RRRu ,int,,int )( = Donde ( )tub extu R y (
)intabru R son los desplazamientos radiales de la cara exterior del
tubo y la interior de la abrazadera respectivamente Al estar ambas
caras en contacto, se supone que ambos radios se deforman
alcanzando un mismo valor del radio (condicin de contorno en
desplazamiento), con lo que:
abrtubtubtubabrabr RRRuRu ,int,ext,ext,int )()( = De donde puede
despejarse P de forma explcita:
( ) ( ) 2int2 ,ext3int
2int
2,ext
2,ext
2ext
2int
3ext
2ext
2int
2int,
,extint,
21
21
21
21
,abrabr
,abr
,abrabr
abr
,tub,tub
,tub
,tub,tub
tub
tubabr
RRR
GRRR
GRRR
GRRR
G
RRP
+
++
=
Si se quiere incluir el efecto de la temperatura, algo que ser
importante como ya se pondr de manifiesto a la hora de estimar la
interferencia necesaria entre el tubo y la abrazadera, tan solo
sera necesario incluir en la solucin los trminos correspondientes.
Es decir, el desplazamiento debido a la temperatura viene dado
por:
2T
Ta r
u (r) =
Donde la constante Ta , funcin del coeficiente de dilatacin del
material, de la
temperatura y de las constantes definidas anteriormente, viene
dada por:
11 2T
Ea T
G = +
Es decir, el desplazamiento total tanto del tubo como de la
abrazadera vendr dado por:
2 2Ta rb aru(r) +
r= +
La presin se podra despejar del mismo modo que se hizo
anteriormente, resultando en una expresin bastante compleja que no
se va a exponer. Esta solucin analtica ser de ayuda para estimar un
primer orden de magnitud de las tensiones y presiones que deben
obtenerse en los resultados numricos. A su vez, servir para, a
travs de los ensayos, como se comentar en el apartado dedicado a
los anexos, hallar una medida del coeficiente de rozamiento del
tubo con la abrazadera. Esto se realizar uniendo los resultados
experimentales de la fuerza de insercin con estos tericos de la
presin de un tubo sobre el otro.
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Ral Nuo Zamorano 4
2.2 Mtodo de los elementos finitos. ABAQUS/CAE: 2.2.1
Generalidades
La herramienta que se ha utilizado principalmente para todo el
clculo de los diversos modelos es el programa ABAQUS/CAE. Resulta
evidente que es imposible realizar un examen analtico exhaustivo
del problema cuando la geometra del mismo se aparta de unas
condiciones geomtricas y de cargas muy simples. En estos casos se
ha de recurrir a la resolucin numrica mediante los elementos
finitos para obtener cualquier resultado fiable y concluyente. La
idea bsica del Mtodo de los Elementos Finitos se refiere al
concepto de discretizacin, siendo necesaria la distincin entre
discretizacin fsica del dominio y discretizacin matemtica. En un
primer paso se ha de realizar la discretizacin fsica del modelo.
Para ello el programa posee las herramientas necesarias para mallar
nuestra pieza de una manera estructurada, en la cual resulten unos
elementos no distorsionados. Con ello se pasa de un modelo con
infinitos grados de libertad, a uno en el que el nmero de estos es
finito y conocido. Resulta lgico pensar que una malla de elementos
ser en principio ms prxima a la realidad cuanto ms grados de
libertad posea, es decir, cuanto ms refinada sea. Por el contrario,
mientras ms elementos se generen, ms clculos tendr que realizar el
programa, debido al incremento de grados de libertad, con lo que
los tiempos de proceso de cada anlisis se incrementarn
considerablemente. Se tendr que llegar por lo tanto a un compromiso
entre tiempo de clculo y fiabilidad de los resultados a la hora de
realizar el mallado. Posteriormente a la discretizacin fsica
comentada, se resuelven las ecuaciones correspondientes a cada
elemento de manera separada. Dentro de cada uno de ellos se tendr
otra discretizacin matemtica, que no es ms que la definicin de una
funcin para cada elemento que aproxima la magnitud objeto de
anlisis, siendo sta los desplazamientos en un anlisis esttico. El
tercer paso ser ensamblar todos los elementos, montando por tanto
un sistema de ecuaciones global de todo el conjunto, de donde se
extraer la solucin final en las variables nodales. Una descripcin
ms detallada del mtodo se puede hallar en [2] [3], as como en
cualquier bibliografa que trate el tema de los elementos finitos.
Por lo tanto no parece necesaria una explicacin al detalle de todas
las ecuaciones y la metodologa que se sigue para la resolucin de un
problema por elementos finitos. Se expondrn simplemente las
ecuaciones de las cuales parte el mtodo para el anlisis de
tensiones y deformaciones, y la manera de transformarlas para
llegar a su resolucin. Se parte de las ecuaciones que definen el
problema elstico para un slido deformable:
Equilibrio: 0,
=+ ijij X
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Compatibilidad: ( )ijjiij uu ,,21
+=
Comportamiento: ijkkijij G += 2
Donde ij es el tensor de deformaciones, ij es el de tensiones, u
son los
desplazamientos, X son las fuerzas por unidad de volumen, y ,G
constantes del material que ya fueron definidas con anterioridad. A
este conjunto de ecuaciones habr que sumarle unas condiciones de
contorno para que el problema quede definido. Dichas condiciones
son:
ii uu = en uD
in
i tTe
= en tD ut DDD +=
Donde uD es la parte del contorno en la que imponemos
condiciones en desplazamientos, y tD es la parte donde imponemos
condiciones de contorno en tensiones.
en
iT es la tensin segn la normal exterior enr, y iu el
desplazamiento. Las
magnitudes con barra son las conocidas, es decir, las que se
imponen en el contorno. Por otra parte, si se define un campo de
funciones de desplazamientos sobre el dominio D, se puede obtener
la siguiente expresin del Teorema de los Trabajos Virtuales, en
notacin matricial:
+=D D
ccTT
D
T dstXdvdv
Donde , X y ct constituyen un sistema de tensiones, fuerzas de
volumen y vectores tensin sobre el contorno en equilibrio, y , y c
un sistema de deformaciones y desplazamientos en el volumen y en el
contorno compatibles entre s, aunque no necesariamente relacionado
con el sistema de tensiones en equilibrio. Como ya se coment, el
proceso posterior de tratamiento de estas ecuaciones se encuentra
en cualquier bibliografa especializada. El resultado es una nica
ecuacin en forma matricial, y en funcin nicamente de los
desplazamientos. Dichos desplazamientos se pueden poner de la
forma:
au = Donde es una de las funciones de forma llamadas de pequeo
soporte, es decir, son funciones especiales distintas de cero solo
en las proximidades del nodo en cuestin, y que tienen la ventaja de
que pueden ser aplicadas a cualquier tipo de dominio una vez que
sobre este se ha definido una malla. Esta versatilidad de las
funciones de pequeo soporte tiene suma importancia en el caso 3D
donde encontrar funciones definidas sobre todo el dominio que
permitan satisfacer las condiciones de contorno resulta
prcticamente imposible. Aproximando por tanto los desplazamientos
por esta expresin, y una vez
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Ral Nuo Zamorano 6
elegidas las funciones y (iguales en elementos isoparamtricos)
se llega a una expresin del tipo:
FaK =
El vector solucin a representa los desplazamientos de cada uno
de los nodos, y la matriz K se corresponde con las distintas
rigideces elementales. De este modo, la submatriz
ijK relaciona las fuerzas que aparecen en el nodo i al dar un
desplazamiento unidad en el nodo j. Este sistema de ecuaciones est
formado por n m ecuaciones e incgnitas, siendo n el nmero de nodos
de la discretizacin, y m el nmero de grados de libertad por nodo.
En el caso que nos ocupa, se han elegido mallas para cada uno de
los modelos como se coment al principio del apartado que
representaban una solucin de compromiso entre tiempo de clculo y
fiabilidad de los resultados. 2.2.2 Elementos La eleccin del
elemento es una tarea de gran importancia a la hora de un anlisis
con elementos finitos. Es el conjunto de elementos el que da la
forma al modelo, y es sobre ellos donde se resuelven las ecuaciones
de comportamiento del mismo. Por tanto, parece obvio que una
eleccin inadecuada del elemento puede llevar a soluciones errneas,
as como una buena eleccin suele llevar a resultados bastante
acordes con la realidad. Cinco aspectos del elemento son los que
caracterizan su comportamiento:
- Familia - Grados de libertad - Nmero de nodos - Formulacin -
Integracin
Las familias distinguen entre elementos tridimensionales, tipo
placa, membrana, barra, rgidos, etc. En el caso objeto de estudio,
debido a las caractersticas claramente tridimensionales del modelo
se eligieron elementos 3D, cuya nomenclatura a la hora de nombrar
al elemento comienza por C3D. El segundo parmetro son los grados de
libertad, los cuales son las variables fundamentales calculadas
durante el anlisis. Para anlisis basados en tensiones y
desplazamientos con elementos 3D, los grados de libertad que tiene
el elemento son las traslaciones de los nodos que forman el mismo.
El nmero de nodos, junto con el orden de la interpolacin es otra
caracterstica del elemento. Los desplazamientos, o cualquier
variable del elemento, se calculan a nivel de los nodos que definen
el mismo, y posteriormente, se interpolan a todo el elemento.
Normalmente el orden de esta interpolacin lo determina el nmero de
nodos. En nuestro caso se eligieron 8 nodos por elemento, es decir,
slo en las esquinas del hexaedro. En este caso, el orden de
interpolacin del elemento es lineal.
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Fig. 2.2 Elemento hexadrico de 8 nodos
El motivo de esta eleccin es principalmente el tiempo de clculo,
que es menor que en elementos con ms grados de libertad, as como
por la popularidad de este elemento, y los a priori buenos
resultados que se obtienen. En cuanto a la formulacin empleada, se
refiere a la teora que se usa para determinar el comportamiento del
elemento. Por defecto en ABAQUS se usa la teora Lagrangiana, donde
el elemento se deforma como el material. Una formulacin alternativa
sera la Euleriana, donde los elementos se hallan fijos, y es el
material el que fluye a travs de ellos. Por ltimo, en cuanto a la
integracin, se ha impuesto la tcnica llamada de integracin
reducida, que reduce de forma significativa el tiempo del proceso,
sin restar exactitud a los resultados. Los elementos con integracin
reducida tienen un punto menos de integracin en cada direccin que
los elementos de integracin completa. En este caso, el nmero de
puntos de integracin es suficiente para integrar exactamente las
contribuciones del campo de deformaciones que son de un orden menor
que el orden de interpolacin. Las contribuciones de mayor orden del
campo de deformaciones en esos elementos no se integran. A
continuacin se resumen los elementos utilizados para formar la
malla de cada uno de los modelos. Se han utilizado tres tipos de
elementos: C3D8R: elemento 3D hexadrico de 8 nodos, interpolacin
lineal e integracin reducida. C3D8RT: elemento 3D hexadrico de 8
nodos, interpolacin lineal, integracin reducida, y temperatura
acoplada. C3D6: elemento 3D prismtico triangular de 6 nodos,
interpolacin lineal. El primer tipo es el elemento hexadrico de 8
nodos que ya se coment anteriormente. El segundo tipo de elemento
se ha usado nicamente para redondeos y otras geometras difciles de
discretizar con elementos hexadricos sin que estos se deformen
demasiado. Se ha preferido la utilizacin de este tipo distinto de
elementos a una degradacin excesiva del hexadrico.
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Ral Nuo Zamorano 8
El tercer tipo de elementos es idntico al primero, salvo que
incluye un grado de libertad extra para la temperatura. Se ha
utilizado en los anlisis relacionados con la fuerza de extraccin,
donde la temperatura jugaba un importante papel como se comentar ms
adelante. ABAQUS/CAE tiene una herramienta que controla las
caractersticas geomtricas de los elementos, es decir, la malla que
se realiza sobre el modelo tiene que ser en la medida de lo posible
estructurada, y tener unas caractersticas que auguren un buen
resultado. Elementos excesivamente distorsionados, con ngulos entre
sus caras muy pequeos, relacin entre sus dimensiones grande
(relacin de aspecto), etc. son elementos que a priori ABAQUS
interpreta que pueden dar resultados errneos. Por ello suele avisar
con una serie de warnings y errores de su existencia. Se ha tenido
especial cuidado en este sentido a la hora de realizar las mallas
de todos lo modelos para evitar este tipo de errores. 2.2.3 Modelos
constitutivos elstico y plstico A la hora de definir las
propiedades del material se debe definir tambin cul ser su ley de
comportamiento. Existen en ABAQUS varios modelos constitutivos
disponibles capaces de definir este comportamiento. La mayora de
los metales en ingeniera responden de forma elstica a bajos niveles
de tensin, de modo que la deformacin se recupera totalmente cuando
se retira la carga. Si la tensin supera un lmite (lmite elstico) la
deformacin no es del todo recuperable y una parte de ella permanece
despus de retirar la carga. Las teoras de plasticidad modelan este
comportamiento. Se describen a continuacin las teoras utilizadas
para la resolucin del modelo objeto de estudio. En cuanto al
comportamiento elstico se refiere, ABAQUS proporciona varios
modelos para este rgimen. El ms simple de todos es el de la
elasticidad lineal, definindose la tensin total a partir de la
deformacin elstica total de la siguiente manera:
ee D =
Donde e es la tensin en rgimen elstico, y e la correspondiente
deformacin. Es decir, hay una relacin lineal entre tensin y
deformacin elsticas a travs de un tensor de cuarto orden que se
llamar D. A la hora de introducir los datos al programa, slo habr
que proporcionarle dos constantes, como corresponde a un material
istropo: el mdulo de elasticidad E , y el coeficiente de Poisson .
El mdulo de elasticidad transversal puede ser expresado en trminos
de estas dos constantes como G = E/2(1+ ). Para el comportamiento
plstico tambin existen multitud de opciones ms o menos complejas.
En general habr que darle al programa una serie de puntos o alguna
ley que defina la evolucin de las tensiones ms all del
comportamiento elstico. En tres dimensiones, la plasticidad queda
definida por una funcin de plastificacin ( )pijij , , que define
los posibles estados y evoluciones de un punto en el espacio de
tensiones. El modelo ms sencillo es el de endurecimiento istropo,
donde la superficie de
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Ral Nuo Zamorano 9
plastificacin que esta funcin define se expande manteniendo su
forma invariante y cambiando slo su tamao. No obstante este modelo
istropo no es recomendable para cargas cclicas, ya que no tiene en
cuenta varios efectos como de importancia como puede ser por
ejemplo el efecto Bauschinger y otros que a continuacin se
comentarn. Se va a utilizar por tanto un modelo de plasticidad con
endurecimiento cinemtico no lineal, es decir, la superficie de
plastificacin puede desplazarse siguiendo unas leyes determinadas.
Dicho modelo es el que ABAQUS recomienda para modelos sujetos a
cargas cclicas, ya que tiene en cuenta los siguientes efectos:
- Efecto Bauschinger: Este fenmeno resulta en un menor nivel de
la tensin de fluencia durante la descarga que en la carga, una vez
que se ha producido deformacin plstica en la carga inicial. El
efecto se va reduciendo con cargas cclicas continuas.
- Ablandamiento o endurecimiento cclico: es otro fenmeno por el
cual los metales, dependiendo de la relacin entre el lmite elstico
y el de rotura, tienden a estabilizar su comportamiento cclico en
un valor lmite (mayor en el caso del endurecimiento, o menor con el
ablandamiento) distinto del valor inicial al comienzo de la carga
cclica.
Fig. 2.3 Fenmenos de endurecimiento cclico y efecto
Bauschinger
- Ratchetting: este fenmeno es provocado tambin por cargas
cclicas de carcter
asimtrico, y el efecto es una fluencia progresiva en la direccin
de la tensin principal media.
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Fig. 2.4 Efecto del Ratchetting
- Relajacin de la tensin principal: Tambin es caracterstico de
ciclos no simtricos, y el efecto es que a medida que el nmero de
ciclos aumenta, la tensin media va tendiendo a cero.
Fig. 2.5 Efecto de la relajacin de la tensin principal
Como se ha comentado, todos estos efectos son tenidos en cuenta
en el caso de la plasticidad con endurecimiento cinemtico no
lineal, luego es este el modelo que se ha elegido para el anlisis,
ya que sin duda parece el ms acertado para un caso de carga cclica.
Comentar que el algoritmo que sigue ABAQUS para modelar las leyes
de desplazamiento de la superficie de plasticidad est basado en la
regla de Ziegler, la cual supone que la translacin se produce en la
direccin de la tensin reducida, es decir, la que resulta de
restarle a la tensin total el movimiento de la zona plstica. Dichas
reglas de traslacin son funcin, aparte de las componentes del
tensor de tensiones, del lmite elstico del material, y de su mdulo
de endurecimiento H, definido como:
p
p
ddH
=
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Donde p es la tensin una vez que se alcanza la plastificacin, y
p la deformacin correspondiente. Dicho parmetro queda perfectamente
definido introduciendo los datos de la ley de comportamiento a la
hora de definir las propiedades del material. 2.2.4 Definicin del
contacto En el problema de la unin a presin entre tubo y
abrazadera, el contacto juega un papel determinante en la solucin,
ya que lo que se busca precisamente es que ese contacto sea el que
sustituya a la soldadura como mtodo de unin entre ambos cuerpos. Es
por ello que ser necesario un especial cuidado en la definicin de
los parmetros que rigen dicho contacto a la hora de modelar con
ABAQUS. Cuando dos slidos entran en contacto, las tensiones de
contacto se transmiten a travs de las superficies comunes. En
algunos casos solo se transmiten tensiones normales, mientras que
si hay friccin, se puede presentar tensin cortante en la zona de
contacto. En el caso del tubo y la abrazadera, existir friccin
entre los dos materiales. Hay muchos tipos de contacto que implican
variedad de situaciones geomtricas y cinemticas: contacto entre un
slido deformable y otro rgido, con grandes desplazamientos,
auto-contacto, contacto tipo gap No obstante, el que resulta de
inters para el modelo en cuestin es el llamado contacto de Hertz.
Dicho tipo implica pequeos desplazamientos, y contacto sobre un rea
de superficie distribuida. El mtodo de los elementos finitos est
basado en el concepto de soporte local, es decir, nodos y elementos
se comunican slo con sus vecinos ms prximos. Dicho concepto no es
suficiente para definir los problemas de contacto. No hay una forma
lgica en ABAQUS de detectar las zonas en contacto a menos que el
usuario las defina, ya que los puntos (nodos) de un cuerpo
necesitan reconocer a los del otro cuerpo, sin llegar a penetrar
unos en otros. Es por ello que se deben especificar los pares de
contacto, as como un mtodo de interaccin entre ellos. A la hora de
definir la interaccin, es posible elegir entre pequeos o grandes
desplazamientos (asume relativa separacin, deslizamiento y rotacin
de las superficies). Debido a que, a priori, el nodo esclavo se
mover a lo largo del plano de contacto una distancia pequea, se ha
elegido la tcnica del small sliding a la hora de definir el par de
contacto. Computacionalmente es una opcin tambin mas barata, ya que
la bsqueda del contacto slo se realiza al comienzo del anlisis, y
los nodos esclavos interactan con un nmero finito de nodos maestros
a lo largo del anlisis. Se ha de elegir tambin cuales sern las
superficies de contacto. Para ello ABAQUS distingue entre
superficie maestra, y superficie esclava, con una serie de
restricciones entre ellas. Las normales de la superficie maestra
han de ser consistentes, y se deben dirigir hacia la superficie
esclava. Las implicaciones de la formulacin maestra esclava son las
siguientes: - Nodos esclavos no pueden penetrar en la superficie
maestra. - Nodos de la superficie maestra s pueden penetrar en la
esclava. - La direccin de contacto es generalmente en direccin
normal a la maestra.
-
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Fig. 2.6 Definicin del contacto Es por tanto ms recomendable un
mallado fino de la superficie esclava, y si el mallado de los dos
materiales es parecido, lo ms ptimo sera definir como esclava a la
superficie del material menos rgido. La figura anterior representa
un ejemplo de cmo sera la penetracin entre dos superficies maestra
esclava. Parece lgico observando estas definiciones que una
interferencia inicial entre las superficies violara todas las
restricciones que se imponen a la hora de definir el par de
contacto. No obstante ABAQUS posee herramientas que ayudan a
solucionar este aparente problema automticamente. A la hora de
definir la interaccin, se le puede imponer al programa que vaya
disminuyendo la interferencia gradualmente a lo largo del paso.
Esto se realiza con la orden shrink que lo que hace es,
forzosamente en el paso inicial, calcular y eliminar la
interferencia.
Fig. 2.7 Evolucin del contacto
-
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Esta tcnica ha dado buenos resultados y es la que se va a
aplicar en general para todos los modelos realizados. Por ltimo
cabe comentar que dentro de la formulacin maestra esclava, hay dos
tipos de interacciones posibles, son las llamadas nodo superficie,
y superficie superficie. Describimos a continuacin brevemente ambas
para justificar su eleccin. En el caso nodo superficie, los nodos
de una superficie (esclava) interactan con los segmentos de la otra
superficie (maestra). El contacto es forzado en puntos discretos
(nodos de la esclava). En el caso superficie superficie, se fuerza
el contacto en un sentido promedio entre los nodos esclavos y los
elementos adyacentes de la superficie maestra.
Fig. 2.8 Contacto superficie - superficie
El efecto del contacto est impuesto sobre un nmero mayor de
elementos, mejorando la precisin de los resultados. Este tipo de
contacto se recomienda para problemas clsicos de Hertz. Reduce
enormemente las penetraciones de la superficie maestra en la
esclava, y es menos sensible a la eleccin de una y otra cuando las
mallas son parecidas. Por todas estas razones se ha elegido este
tipo de interaccin superficie superficie para la resolucin, dando
como se ver posteriormente unos resultados bastante aceptables.
Hasta ahora se ha hablado de la formulacin estricta del contacto,
es decir, cmo adaptarlo a las peculiaridades de un anlisis de
elementos finitos. Se van a comentar ahora las propiedades del
contacto en s, es decir, las propiedades de interaccin normal y
tangencial que le sern impuestas a los materiales. Para el
comportamiento normal de un cuerpo sobre el otro, ABAQUS usa el
algoritmo llamado hard contact, cuyo comportamiento es el
siguiente:
-
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La presin se transmite al par de contacto segn la grfica
anterior, es decir, si hay separacin, no hay presin. El hecho de
que los cuerpos entren en contacto no impide que se puedan separar
con posterioridad. El mtodo que se usa por defecto es el de los
multiplicadores de Lagrange, el cual tiene el problema de aadir una
variable ms por cada restriccin de contacto, pero tiene la ventaja
de la precisin, ya que las restricciones se satisfacen exactamente.
No se va a explicar el mtodo en profundidad, ya que resultara
excesivamente complejo. En [3] se explica con detenimiento todo el
proceso del contacto, as como mtodo de los multiplicadores. En
cuanto al comportamiento tangencial ABAQUS tiene numerosas opciones
para modelar la friccin. Se ha elegido la opcin penalty, donde slo
se aporta el coeficiente de rozamiento esttico del contacto (ver
anexo N 1), es decir, se supone que no va a haber en principio
deslizamiento relativo. Todo esto se engloba dentro de la llamada
friccin istropa de Coulomb (los coeficientes de rozamiento son los
mismos en las dos direcciones de la superficie), la cual dice que
se produce deslizamiento en la zona de contacto cuando la tensin
tangencial alcanza un determinado valor, que es el producto de la
presin normal a la superficie por el coeficiente de rozamiento. El
modelo estndar implementado en ABAQUS consta por tanto de dos
regmenes para la friccin, gobernados por el valor de:
22
21 +=eq
Dndose los posibles casos de:
- Adhesin: criteq <
- Deslizamiento: criteq =
Siendo esta tensin crtica, como ya se ha mencionado,
proporcional a la presin
normal de contacto: pcrit = , con el coeficiente de rozamiento
que ha sido impuesto (0.15).
-
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2.2.5 Problema trmico A la hora de hacer el anlisis del ajuste a
presin, uno de los requerimientos que se pide es que aguante un
cierto margen de temperaturas. Ser por ello preciso hacer un
anlisis de elementos finitos que considere este aspecto tambin.
ABAQUS tiene implementado diferentes mtodos de anlisis, tanto de
transferencia de calor, como de problemas de tensiones causadas por
temperatura, etc. No se va a explicar con detenimiento cada uno de
ellos, tan slo comentar que el que se ha usado es el llamado mtodo
secuencial acoplado de anlisis trmico y de tensiones. Con este
mtodo, en primer lugar se resuelve el problema trmico de
transferencia de calor. Para el caso del tubo y la abrazadera este
primer paso no es preciso realizarlo, ya que se someter a los dos
cuerpos a un incremento de temperatura constante. Una vez resuelto
este problema trmico, se procede a un segundo anlisis que utilizar
las temperaturas resultantes del primero para calcular utilizando
los coeficientes de dilatacin de los materiales en juego, las
tensiones resultantes. Se hablar ms detenidamente de los resultados
que aporta este mtodo en el apartado 3, pero se puede adelantar que
al ser el tubo de acero, y la abrazadera de aluminio, y por tanto
tener coeficientes de dilatacin distintos, la solucin del problema
trmico del ajuste variar en funcin de la interferencia, siendo la
variable de inters la fuerza axial que aguanta el ajuste a presin
del conjunto. 2.2.6 Modelado con ABAQUS/CAE 6.5 Como ya se mencion,
este ser el programa con el que se realizarn todos los anlisis de
elementos finitos. En este apartado se pretende brevemente dar una
idea de la manera con la que se trabaja en ABAQUS, y los pasos que
hay que seguir para la realizacin y obtencin de resultados de un
modelo, as como el procedimiento especfico que se ha llevado a cabo
para el modelo en cuestin objeto de estudio. PROCEDIMIENTO: 1)
Creacin del modelo: (mdulo part) Para este apartado ABAQUS posee un
mdulo de dibujo, que incluye herramientas para el diseo 2D, en las
que se pueden realizar todas las secciones, y planos que sean
necesarios, as como de diseo 3D. Al comienzo de la creacin de una
pieza se ha de definir la manera en la que se va a realizar
(extrusin, revolucin) Tambin se pide su definicin como slido rgido
o deformable, as como su dimensin aproximada. La abrazadera fue
realizada, con variaciones segn el modelo, como un cuerpo principal
hecho por extrusin, al que se le aadieron con sucesivas extrusiones
las partes que forman la boquilla, as como otros detalles tanto por
extrusin como por vaciado. El tubo fue realizado dibujando una
seccin y creando el slido de revolucin correspondiente.
-
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2) Definicin de propiedades: (mdulo property) En este mdulo se
definen los materiales que van a ser asignados a las piezas. En el
caso del tubo y la abrazadera se definieron dos materiales: acero y
aluminio 6082. Las propiedades y dems caractersticas de estos
materiales se hallan descritas en el siguiente apartado, donde se
describen con detalle los modelos realizados. Una vez creados los
materiales, deben ser asignados a cada cuerpo. Esto se hace
definiendo antes unas secciones como cuerpos slidos (3D) a las que
se le asocian los materiales en cuestin, y posteriormente estas
secciones sern las que se les sean asignadas a los slidos. 3)
Definicin como objetos de trabajo: (mdulo assembly) Hasta ahora se
tena una serie de partes creadas, pero hace falta definirlas como
objeto de trabajo para pasar al anlisis. Es lo que realiza este
mdulo, a la vez que se definen ya las posiciones relativas de cada
cuerpo (tubo y abrazadera) en el espacio. 4) Pasos para el anlisis:
(mdulo step) En este mdulo se definen los pasos que el programa va
a seguir para la resolucin del modelo. Se tendr que asignar un paso
para cada estado de carga, contacto, o cambio de las condiciones de
contorno que exista en el anlisis.
- Contacto: es el primer paso y donde se resuelve el contacto
entre tubo y abrazadera, propagndose a su vez a todos los pasos
posteriores. Las condiciones de contorno en este paso para evitar
un movimiento como slido rgido del conjunto se aplicarn al tubo, en
su extremo libre.
- Agarre Abrazadera: Una vez resuelto el contacto se pasa a la
fase de la carga cclica.
Se comienza encastrando la abrazadera por la zona donde iran los
tornillos. Tambin se impone otra condicin de contorno que simular
el efecto del knuckle, o pieza que va entre los brazos de la
abrazadera. Dicha condicin consistir en impedir los desplazamientos
normales a los brazos, simulando la accin de la cara del
knuckle.
- Liberacin del tubo: se libera la condicin de contorno que
impusimos en el paso
del contacto y que encastraba el tubo por su extremo libre. Esto
se hace en un paso distinto para evitar que en cualquier momento
del anlisis haya un posible movimiento como slido rgido del
conjunto, lo cual evitara la convergencia.
- Carga: en este paso se aplica la fuerza cclica segn lo
indicado en los
requerimientos, es decir, +/- 2kN que se aplicarn con una
frecuencia de 10 Hz. La fuerza ser aplicada como dos cargas
puntuales en el extremo del tubo y de la misma direccin.
-
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5) Definicin de las interacciones: (mdulo interactions) En el
este mdulo se definen las interacciones entre el tubo y la
abrazadera, es decir, se define todo lo referente al contacto entre
los dos cuerpos. Una explicacin ms detallada de todas las opciones
del contacto fue expuesta en el subapartado anterior. Es en este
mdulo donde se definen las superficies maestra y esclava, las
propiedades del contacto, de friccin, etc. 6) Definicin de las
cargas: (mdulo load) Aqu se impondrn las cargas exigidas en los
requerimientos para comprobar la resistencia del conjunto.
Mencionar que en la especificacin, la carga est aplicada en una
especie de anexo o til que est unido al tubo, y de mayor longitud
que este. En el modelado con elementos finitos se impondr dicha
carga en dos puntos en el extremo del tubo, haciendo que el valor
sea tal que produzca el mismo momento en el conjunto.
kNFFmmkNmm 245.32652430 ==
7) Mallado del modelo: (mdulo mesh) En este apartado hay que
poner especial cuidado, ya que la malla es a final de cuentas lo
que matemticamente va a sustituir a nuestro modelo, y por tanto una
malla estructurada y con unas buenas caractersticas geomtricas
asegura unos resultados aceptables. Son numerosas las herramientas
que tiene ABAQUS para el mallado. La principal es la de crear
particiones en el modelo. Debido a la complejidad de la geometra,
ABAQUS no es capaz de mallar automticamente el modelo
estructuradamente con elementos hexadricos, es necesario partirlo
en trozos ms pequeos de geometra ms sencilla. Una vez particionado
adecuadamente, es necesario darle el nmero de elementos por arista
o por cara que se quiere poner. Tambin se puede hacer esto
globalmente, imponiendo un tamao general para todos los elementos.
Se han combinado ambas tcnicas para el modelo tanto del tubo como
de la abrazadera. En el tubo como peculiaridad, y para reducir el
nmero de elementos y por tanto el tiempo de clculo, se ha optado
por un mallado gradual en su extremo libre, ya que no interesa
tanta informacin en dicha zona. En cuando al contacto entre el tubo
y la abrazadera, se han impuesto el mismo nmero de elementos
circunferencialmente en ambas piezas, para mejorar el
comportamiento y la interferencia propia del contacto. Una
descripcin ms detallada de los elementos, y peculiaridades se hizo
en el apartado anterior cuando se describieron los tipos de
elementos usados y sus caractersticas. 8) Creacin de un archivo
job: (mdulo job) El job es el archivo que se crea cuando ya se han
impuesto todas las condiciones y particularidades expuestas
anteriormente. Se puede decir que es un archivo que rene todas las
condiciones impuestas hasta ahora, y que es el paso previo al
comienzo del clculo
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propiamente dicho. A este archivo se le puede implementar
multitud de opciones, tales como realizar un restart desde un job
anterior, es decir, retomar los clculos desde un anlisis anterior,
visualizar el estado en el que se encuentra el anlisis (monitor),
parar el anlisis, etc. 9) Visualizacin de los resultados: (mdulo
visualization) Por ltimo mencionar que ABAQUS tiene este mdulo que
sirve para representar, as como analizar los resultados
provenientes de un modelo que ha sido previamente calculado. Este
mdulo tiene a su vez multitud de opciones, como representar
tensiones, desplazamientos, deformaciones, y todo dato que se le
haya pedido explcitamente al programa durante el anlisis. Tambin
permite obtener las variables para nodos, elementos, etc. as como
hacer representaciones grficas de las evoluciones de cualquier
variable a travs de un paso, etc.
-
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2.3 Mtodos para analizar el comportamiento a fatiga: Uno de los
requerimientos para la unin a presin sobre la que est orientado
este trabajo es la resistencia a una determinada carga cclica. Para
ello ser preciso realizar un anlisis a fatiga del conjunto,
asegurando que la vida esperada es mayor de la mnima que se nos
requiere. Con este objeto, en primer lugar se realizarn clculos
preliminares de vida, utilizando la curva S N junto con los
resultados de la simulacin mediante elementos finitos y las
propiedades del material. Posteriormente se comprobarn estos
resultados con un programa especfico del cual hablaremos
posteriormente. Se va a realizar por tanto a continuacin una breve
descripcin del proceso de fatiga, sus consecuencias y parmetros de
inters. La fatiga, se puede definir de la siguiente manera: proceso
de cambio estructural permanente, progresivo y localizado que se
produce en un material sujeto a condiciones que producen tensiones
y deformaciones fluctuantes en algn punto y que puede terminar en
la aparicin de grietas o la fractura completa despus de un nmero
suficiente de fluctuaciones. Como se ve, atendiendo a esta
definicin, el caso del tubo y la abrazadera es efectivamente un
caso donde la variacin de las tensiones en el entorno de los
concentradores son cclicas, con una determinada amplitud. Durante
el proceso de fallo por fatiga se deben distinguir tres etapas:
iniciacin de la grieta, crecimiento de sta y fractura final. La
iniciacin de la grieta se produce ente los granos del material
sometido a carga cclica, provocando el deslizamiento entre estos.
En una primera fase, la grieta va creciendo de manera que sigue las
direcciones ms favorables al pasar de un grano a otro (direcciones
prximas a las tensiones tangenciales mximas). Se denomina
crecimiento en modo II. Cuando la longitud es del orden de unos
cuantos de granos, la grieta se pone en perpendicular a las
tensiones principales mximas, con independencia ya de los granos
que atraviese, es el llamado crecimiento en modo I.
Las curvas S-N (tensin-vida) son las ms empleadas para estudiar
el comportamiento general ante carga cclica, donde S representa el
nivel de tensin aplicada y N es el nmero de ciclos hasta el fallo
del sistema. Estas curvas, para amplitud constante, son
representadas normalmente en coordenadas logartmicas o
semilogartmicas. Considera el proceso de fatiga como un proceso
global, sin distinguir las fases de iniciacin y propagacin.
Los parmetros por tanto que definen un diagrama S-N son los
siguientes:
- Vida a fatiga (N): Nmero de ciclos de tensin o deformacin de
un cierto tipo que tienen lugar antes de que se produzca el fallo
del elemento.
- Resistencia a fatiga (S): Valor hipottico de la tensin en el
fallo para un nmero determinado de ciclos. En la curva sera la
amplitud en el punto de mayor variacin.
- Lmite de fatiga (Sf): Valor lmite de la resistencia media a
fatiga que se tiene para un nmero elevado de ciclos en la mayora de
los metales. Este valor se puede hallar a partir de las propiedades
mecnicas del material, as como de otras caractersticas de
fabricacin, etc. En aleaciones de aluminio suele estar entre 0.4 y
0.5 veces el valor del lmite de rotura.
-
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La curva se utiliza para valores de vida mayores de 1000 ciclos,
ya para un nmero inferior, los valores experimentales se alejan de
la recta en escala logartmica. En estimaciones iniciales, se usar
la curva S-N para un primer orden de magnitud de la vida a fatiga
de un determinado modelo. Como normalmente se trabaja con
intervalos completos de tensiones, parece adecuado definir los
siguientes parmetros:
max
min
min max//
m a
m a
a m
S S SS S SR S SA S S
= +
=
=
=
A la hora de hablar de tensiones medias, alternas... resulta
inmediato con estas relaciones pasar de los rangos de tensiones al
parmetro que se requiera. Se realiza por tanto a continuacin una
estimacin de la curva S N para el aluminio en cuestin que
finalmente utilizaremos para la abrazadera, y posteriormente para
el acero. En las referencias [3] y [4] se detallan con ms
detenimiento todos los conceptos en este apartado citados.
CURVA S-N DEL ALUMINIO:
Para realizar la estimacin, se necesita conocer dos puntos de la
recta en escala logartmica, ya que se supondr que a partir de un
milln de ciclos se alcanza el lmite de fatiga. Es decir, para
aguantar un nmero mayor de ciclos la tensin ha de estar por debajo
de dicho lmite. Parece acertado pues comenzar estimando este
valor.
- Lmite de fatiga: La primera estimacin que se suele realizar
para el lmite de fatiga en una aleacin de aluminio es tomar un
valor de entre 0.4 y 0.5 veces la tensin ltima del material. Como
una estimacin conservativa, se tomar el valor 0.4 con lo que se
obtiene:
0.4 124f uS S MPa= =
Dicha aproximacin se puede obtener tambin de la grfica
correspondiente a las aleaciones de aluminio, donde lo que se
representa es el lmite aproximado de fatiga en funcin de la
resistencia ltima de la aleacin. Como se aprecia, dicha grfica
tambin
utiliza la aproximacin de 0.4 veces uS :
-
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Fig. 2.9 Lmite de fatiga para el aluminio en funcin de su
resistencia a rotura
A continuacin se van a tener en cuenta tambin otros efectos como
es por ejemplo el acabado superficial de la pieza. Para estimarlo,
existen tambin numerosas tablas que dan valores aproximados de un
coeficiente a incluir en el lmite de fatiga. Dicho coeficiente para
valores de resistencia a rotura pequeos suele ser prximo a la
unidad.
Fig. 2.10 Efecto del acabado de la pieza en el lmite de
fatiga
-
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Se observa que para el aluminio que se utiliza en la abrazadera,
el cual tiene una resistencia de 310 MPa, hay que fijarse en la
parte izquierda de la grfica. El coeficiente correspondiente a un
proceso que est entre un mecanizado y un pulido comercial s puede
aproximar por 0.9, con lo que queda:
0.9 111.6f fS S MPa = = Otros efectos, como son la importancia
del tamao o el tipo de carga, se considerarn incluidos en la
concentracin de tensiones, es decir, en los valores numricos de las
tensiones que arrojar el programa de elementos finitos, luego no
har falta incluir el efecto en la curva, ya que sera redundante. Es
este por tanto el valor del lmite de fatiga que se impondr a la
hora de estimar la vida de los modelos de abrazadera realizados en
aluminio. A continuacin se pasa a estimar el otro punto de la recta
es escala logartmica que hace falta para terminar de definir la
curva S N. Dicho punto ser el correspondiente al valor de tensin
para aguantar
310 ciclos.
- Resistencia para 310 ciclos.
Dicho valor se suele estimar como 0.9 veces la resistencia
ltima, es decir, se utilizar como valor para la estimacin el
siguiente:
310 0.9 279ufS S MPa= =
Con estos dos valores se puede ya definir la ecuacin de la curva
S N, ya que se tenan dos parmetros como incgnitas, y ya se tienen
dos puntos para hallarlos:
- Ecuacin general de la curva: bS N C =
- Datos de los que se dispone: 6
3
111.6 10279 10
b
b
CC
=
=
- Resolviendo el sistema: 0.1326 697.5S N =
Si se dibuja esta ecuacin en escala semilogartimca:
-
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Fig. 2.11 Curva S N para el aluminio
Una vez que se cuenta con el dato de esta curva, para cada
modelo se realizar una estimacin (desarrollada slo en el modelo
definitivo) de la vida del mismo. Para ello se definir un parmetro
de dao, segn el criterio multiaxial de Von Mises, utilizando tanto
las tensiones alternas como las medias. Con ese parmetro, el
proceso no ser ms que entrar en la curva, y ver el valor de vida
esperada, confirmando si entra o no dentro de los requisitos
exigidos.
Fig. 2.12 Mtodo de obtencin de la vida a partir de la curva S -
N
-
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La aS que se ve en esta grfica ha de ser hallada con el parmetro
de dao que hemos mencionado, para el cual se definen las siguientes
tensiones:
Tensin alterna equivalente segn el criterio de Von Mises:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, 11, 22, 11, 33, 22, 33, 12, 13, 23,1
62a eq a a a a a a a a aS = + + + + + Tensin media equivalente segn
el criterio de Von Mises:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, 11, 22, 11, 33, 22, 33, 12, 13, 23,1
62m eq m m m m m m m m mS = + + + + +
Se ha de tener en cuenta que la tensin alterna est definida no
para todo el rango, sino como la variacin mxima sobre la tensin
media. Es decir, si se utilizan los rangos
completos de tensiones, se tendr que multiplicar el valor de ,a
eqS por 0.5,
correspondiendo este valor por tanto a la mitad del rango de
variacin. El parmetro de dao que se utilizar no es ms que una
aplicacin de la recta de Goodman para tener en cuenta el efecto de
las tensiones medias:
Fig. 2.13 Recta de Goodman
Donde uS es la tensin ltima a rotura, y ( 1)aS
es la tensin alterna
correspondiente a una tensin media nula (parmetro que se
necesita para introducir en la curva S N). Como se cuenta con la
ecuacin explcita de la recta, si se despeja la tensin alterna que
ser el parmetro de dao, se obtiene:
,
,1
a eq
m eq
u
SA S
S
=
El nmero de ciclos que aguanta el modelo por tanto es inmediato
a partir de este parmetro y la curva S N:
1bCN
A
=
-
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No obstante, un efecto que s hay que tener en cuenta sobre las
tensiones a la hora de hallar las equivalentes con las frmulas
expuestas anteriormente es el del gradiente que se produce al
profundizar en la zona del concentrador de tensiones. Las tensiones
sern mximas en la superficie del mismo, pero irn disminuyendo a
medida que se profundiza en el material. La consecuencia de esto es
que el efecto es menor o igual al supuesto en la aproximacin. Para
aproximar este fenmeno hay numerosos mtodos, unos ms y otros menos
complejos. Tras hacer estimaciones se comprob que la variacin desde
los mtodos ms complejos a los ms simples era bastante escasa, luego
se utiliza la siguiente grfica para estimar directamente a partir
del radio del concentrador el factor correspondiente:
Fig. 2.14 Aproximacin del efecto del gradiente de tensiones
En cada modelo, segn el radio de redondeo de la zona ms
desfavorable se entra en la grfica y se obtiene el valor
correspondiente, el cual multiplicar a las tensiones, y al ser
menor que la unidad, disminuir el efecto desfavorable de las
mismas.
CURVA SN PARA EL ACERO:
A continuacin se va a hacer el mismo clculo para el acero. En
este caso, dicho acero tiene un lmite ltimo de rotura de 616 MPa,
por lo que con este dato, y con la ayuda de las grficas anteriores
de estimacin de los diversos coeficientes necesarios, se pueden
hallar de igual modo que en el caso anterior los parmetros que
definen la curva.
- Lmite de fatiga
-
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Se utiliza en primer lugar la estimacin de que el lmite de
fatiga est entre 0.4 y 0.5 veces el de rotura. Como estimacin
conservativa, se opta por el valor menor de entre estos:
0.4 246f uS S MPa= = A continuacin habr que multiplicar este
valor por el coeficiente correspondiente al acabado superficial.
Entrando en la grfica presentada anteriormente con la resistencia
del material, y buscando en la curva que corresponde a un acabado
entre pulido y mecanizado, se obtiene un coeficiente de 0.8.
0.8 197f fS S MPa = =
- Resistencia para 310 ciclos De nuevo se estima dicho valor
como 0.9 veces el del lmite de rotura del material, obteniendo lo
siguiente:
310 0.9 554ufS S MPa= =
Con estos dos valores se puede ya definir la ecuacin de la curva
S N, ya que haba dos parmetros como incgnitas, y ya se tienen dos
puntos para hallarlos:
- Ecuacin general de la curva: bS N C =
- Datos de los que disponemos: 6
3
197 10554 10
b
b
CC
=
=
- Resolviendo el sistema: 0.1497 1557.9S N =
Si se dibuja esta ecuacin en escala semilogartimca:
-
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Fig. 2.15 Curva S N para el acero
Una vez con la curva, la manera de entrar en ella y hallar el
nmero de ciclos que un determinado espcimen aguanta es idntica a la
manera descrita con el aluminio, hallando las tensiones media y
alterna equivalentes, y posteriormente el parmetro de dao con el
que entrar a la curva. El efecto del gradiente de tensiones tambin
habra de ser tenido en cuenta, sabiendo siempre que es un efecto
favorable. Es decir, si se obtiene una vida aceptable sin tener en
cuenta dicho efecto, se puede estar seguro de que el mismo no
afectar negativamente al resultado. La forma de obtener el valor
del coeficiente que refleja este efecto del gradiente es de nuevo
entrando en la grfica correspondiente expuesta al hablar del
aluminio, y obtener el factor q correspondiente.