Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 2 – Matrizes 1 Matriz () Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. [ ] Ex.: 0 1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. 2 Elemento da matriz () Elemento de que se encontra na linha e na coluna . Ex.: 0 1 3 Soma de duas matrizes, e () Matriz cujos elementos são a soma dos elementos análogos de e de . [ ] [ ] [ ] Ex.: 0 10 10 10 1 4 Propriedades da soma de matrizes () Associatividade: ( ) ( ) Comutatividade: Definição Definição Definição Propriedades
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Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
1
2 – Matrizes
1 Matriz ( )
Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas.
[
]
Ex.: 0
1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas.
2 Elemento da matriz ( )
Elemento de que se encontra na linha e na coluna .
Ex.: 0
1
3 Soma de duas matrizes, e ( )
Matriz cujos elementos são a soma dos elementos análogos de e de .
[
]
[ ]
[
]
Ex.: 0
1 0
1 0
1 0
1
4 Propriedades da soma de matrizes ( )
Associatividade: ( ) ( )
Comutatividade:
Definição
Definição
Definição
Propriedades
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2 – Matrizes
2
Exs.:
Associatividade: .0
1 0
1/ 0
1 0
1 .0
1 0
1/
0
1
Comutatividade: 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1
5 Produto de um número real, , por uma matriz, ( )
Matriz cujos elementos são o produto de pelos elementos análogos de .
[
]
[
]
Ex.: 0
1 0
1 0
1
6 Propriedades do produto de números reais por matrizes (
)
Associatividade: ( ) ( )
Comutatividade:
Distributividade em : ( )
Distributividade no espaço das matrizes: ( )
Exs.:
Associatividade: , ( )- 0
1 (( ) 0
1) 0
1
Comutatividade: 0
1 0
1 0
1
Distributividade em : ( ) 0
1 0
1 0
1 0
1
Distributividade no espaço das matrizes: .0
1 0
1/ 0
1
0
1 0
1
Definição
Propriedades
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2 – Matrizes
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7 Vector linha ( )
Matriz que tem linha.
Ex.: , - é um vector linha porque é uma matriz com linha.
8 Vector coluna ( )
Matriz que tem coluna. Representação matricial de um vector de .
Ex.: 0 1 é um vector coluna porque é uma matriz com linha, e é a representação matricial
do vector de ( ).
9 Matriz quadrada ( )
Matriz cujos números de linhas e de colunas são iguais.
Ex.: 0
1 é uma matriz quadrada porque tem tantas linhas como colunas: .
10 Diagonal principal de uma matriz quadrada
Conjunto de elementos de cujos índices de linha e de coluna são iguais.
{ }
Ex.: 0
1 * +
11 Diagonal secundária de uma matriz quadrada
Conjunto de elementos de cujos índices de linha e de coluna somam .
{ }
Ex.: 0
1 * +
Definição
Definição
Definição
Definição
Definição
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2 – Matrizes
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12 Matriz triangular superior
Matriz cujos elementos que estão abaixo da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
superior ao índice de coluna, são .
[
]
Ex.: [
] é uma matriz triangular superior.
13 Matriz triangular inferior
Matriz cujos elementos que estão acima da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
inferior ao índice de coluna, são .
[
]
Ex.: [
] é uma matriz triangular inferior.
14 Matriz diagonal
Matriz cujos elementos não pertencentes à diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
diferente do índice de coluna, são . Matriz que é simultaneamente triangular superior e
triangular inferior.
[
]
Ex.: [
] é uma matriz diagonal.
15 Matriz identidade de dimensão ( )
Matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são . Elemento neutro da
multiplicação de matrizes.
Definição
Definição
Definição
Definição
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2 – Matrizes
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[
]
Ex.: 0
1 é a matriz identidade de dimensão .
16 Traço de uma matriz ( ( ))
Soma dos elementos da diagonal principal de .
[
]
( ) ∑ ( )
Ex.: .0
1/
17 Produto de duas matrizes e ( )
Perspectiva do produto interno: Matriz cujo elemento é o produto interno da linha
de e da coluna de .
Perspectiva das colunas: Matriz cujas colunas são combinações lineares das colunas de
, sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada coluna de .
Perspectiva das linhas: Matriz cujas linhas são combinações lineares das linhas de ,
sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada linha de .