2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen · LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik III – SS 2016

2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen

2.3 Festigkeitshypothesen


Vergleichsspannung

Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Material-beanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichsspannung


Vergleichsspannung

( ) ( )2 24

2x y x y xy

V

σ σ σ σ τσ

+ + − +=

Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)

Stab, Balken (1D):

Ebener Spannungszustand (2D):

2 242V

σ σ τσ + +=


Vergleichsspannung

1 1 1 3

3 3

, bei 0 & , bei 0V

σ σ σ σσ

σ σ > >= <

Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)

Räumlicher Spannungszustand (3D):


Vergleichsspannung

2 24Vσ σ τ= +

( )2 24V x y xyσ σ σ τ= − +

( )1 2 2 3 3 1max | |,| |,| |Vσ σ σ σ σ σ σ= − − −

Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (Tresca, 1814-1885)

Stab, Balken (1D):



Allgemein: max2Vσ τ=


Vergleichsspannung

2 23Vσ σ τ= +

2 2 23V x y x y xyσ σ σ σ σ τ= + − +

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)

Allgemein: '23V Iσ =

Stab, Balken (1D):


( )( ) ( )2 2 2 2 21 2 2 1 3V x y x y xyσ σ σ ν ν σ σ ν ν τ= + − + − − − +

Ebener Verzerrungszustand (2D):


Vergleichsspannung

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 1

12Vσ σ σ σ σ σ σ = − + − + −

( )2 2 2 2 2 23V x y z x y x z y z xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − − − + + +

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)


( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 21 62V x y x z y z xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ = − + − + − + + +


Vergleichsspannung

Anwendungsbereiche der unterschiedlichen Festigkeitshypothesen




2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen

2.2 Plastizität

2.3 Festigkeitshypothesen

2.4 Viskoelastizität




2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen


Bausteine der BaustatikGleichgewichtsgleichungen:

Immer zu erfüllen!

Kinematik:

Kann linear (kleine Verformungen) oder nichtlinear (grosse

Verformungen) sein .

Materialgesetz:

Kann linear oder nichtlinear sein.

Klassifizierung


Klassifizierung

Materialgesetze:

Sie werden auch als Stoffegesetze, Werkstoffgesetze

oder konstitutive Gleichungen bezeichnet.

Sie stellen die mathematischen Beziehungen zwischen

den Spannungen und den Dehnungen bzw. Verzerrungen

in einem Material dar.


Klassifizierung


ε

σBelastung

Entlastung

Belastung

Entlastung Entlastung

Belastung

Linear elastisch

Nichtlinear elastisch Elastisch-plastisch

Klassifizierung


Beispiel: Stahl


ε

σ

ε

σ Entfestigung(Softening)

Beispiel: Beton

Da Beton nur geringe Zugfestigkeit besitzt, können Mikrorisse im Betonentstehen. Die Mikrorissbildung im Beton führt zur Entfestigung (Softening) desBetons!


Viskoelastizität

Viskoelastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten!

σ = konst. ε = konst.

Kriechen:Verformungszunahme bei konstanter Spannung!

Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahmebei konstanter Dehnung bzw. Verformung!


Beispiel

Fl

u

Gegeben:

, , , , , E A l c n FGesucht:

- -KurveF u

Materialgesetz: LudwikNichtlinear elastisch

ε

σncσ ε=


Beispiel

Lösung:

• Gleichgewicht: FN F A FA

σ σ= = =

• Kinematik:ul

ε =

• Materialgesetz:

(1)

(2)

FN

u

ncσ ε= (3)

(2) In (3) eingesetzt, und dann (3) in (1) eingesetzt:n

n u Fc cl A

σ ε = = =

nuF cAl

=


Beispiel

u

F

Last-Verschiebungskurve




2.2 Plastizität


Fließfunktion und Fließbedingung

( ) 0F σ =

Fließfunktion und Fließbedingung: 1D

1 2 3( , , ) 0F I J J =

1 2 3( , , ) 0F σ σ σ =oder

Fließfunktion bzw. Fließbedingung: 2D und 3D


Fließfunktion und Fließbedingung

1

2

3

: 1. Invariante des Spannungstensors : 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators

IJJ

σss

1 1 2 3 x y z

2 2 22 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

= + = +

1 ( ) ( ) ( )6det( )

I

J

J s s s

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

+ +

= − + − + −

= =s

1 2 3, , : Hauptspannungenσ σ σ

1

3 MI σ= − = −I Is σ σ

Spannungsdeviator:

1 2 3, , : Hauptdeviatorspannungens s s


Fließbedingung nach Tresca

1 2 2 3 3 11 1 1 1max | |, | |, | |2 2 2 2 Fσ σ σ σ σ σ σ − − − =

Maximale Schubspannungstheorie

Henri Édouard Tresca (12.10.1814 – 21.06.1885)

2D3D

(http://en.wikipedia.org)

: FließspannungFσ

Fσ

Fσ

Fσ−

Fσ−


Fließbedingung nach von Mises

2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 Fσ σ σ σ σ σ σ− + − + − =

Richard von Mises (19.04.1883 – 14.07.1953)

J2 Plastizitätstheorie, J2 Fließtheorie

3D 2D

Fσ

Fσ

Fσ−

Fσ−



Vergleich: Tresca und von Mises

3D 2D

Fσ

Fσ

Fσ−

Fσ−



Fließbedingung nach Mohr-Coulomb

( )1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 11 max | | ( ),| | ( ),| | ( )

2 Fcm K K Kσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ − + + − + + − + + =

1; 1

Fc

Ft

mm Km

σσ

−= =+

3D 2D

: Fließspannung für Druck (c = compression): Fließspannung für Zug (t = tension)

Fc

Ft

σσ

Fcσ

Fcσ

Ftσ

Ftσ

Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls = !Ft Fcσ σ(http://en.wikipedia.org)


Fließbedingung nach Mohr-Coulomb

Christian Otto Mohr(08.10.1835 – 02.10.1918)

Charles-Augustin de Coulomb(14.06.1736 – 23.08.1806)

tan( ) cτ σ φ= +

: Kohäsion: innerer Reibungswinkel

cφ

(Druckspannung)σ

(Schubspannung)τ

Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sichzu der Fließbedingung von Tresca, falls =0!φ



Fließbedingung nach Drucker-Prager

2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 Fc

m mσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ− + + + + − + − + − =

Fc

Ft

mσσ

=

3D 2D

Ftσ

Ftσ

Fcσ

Fcσ

Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls = !Ft Fcσ σ



Fließbedingung nach Drucker-Prager

Daniel Charles Drucker(03.06.1918 – 01.09.2001)

William Prager(23.05.1903 – 16.03.1980)


Andere Darstellung der Fließbedingungen

1 2 3( , , ) 0F I J J =Es ist einfacher, die folgende Darstellung für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung zu verwenden:

1

2

3

: 1. Invariante des Spannungstensors: 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators

IJJ

1 1 2 3 x y z

2 2 22 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

= + = +

1 ( ) ( ) ( )6det( )

I

J

J s s s

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

+ +

= − + − + −

= =s

1

3 MI σ= − = −I Is σ σ

Spannungsdeviator:

: Spannungstensor: Einheitstensor, EinheitsmatrixI

σ


Andere Darstellungen der Fließbedingungen

Fσ

Fσ


Vergleich von Fließbedingungen

Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl,

Metalle, …).

Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton,

Fels, Keramik und körnige Werkstoffe.


Beispiel

ε

σyσ

Materialgesetz:Elastisch-ideal plastisch

Gegeben:

1 2 1 22 2 , 3 3y y yE E E σ σ σ= = = =Gesucht:

- -KurveF u

F

1 1, ,yE Aσ

2 2, ,yE Aσ

l u


Beispiel

Lösung:

• Gleichgewicht: 1 2 1 2 1 2 FN N F A A FA

σ σ σ σ+ = + = + =

• Kinematik: 1 2 , uu u ul

ε= = =

• Materialgesetz:

1.) Beide Stäbe im elastischen Bereich: Hookesches Gesetz

1 1 1 2 2 2, u uE E E El l

σ ε σ ε= = = =

(1)

(2)

(3)

(3) In (1) eingesetzt: 1 21 2

( )

u u FlE A E A F ul l E E A

⋅ + ⋅ = =+

F1N

2Nu


Beispiel

Spannungen in den beiden Stäben:

1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2

2 , ( ) 3 ( ) 3

u F F u F FE E E E E El E E A A l E E A A

σ ε σ ε= = = = = = = =+ +

2.) Stab 2 im plastischen Bereich, Stab 1 im elastischen Bereich:

2 3y yF Aσ σ σ= =

1 2

am Anfang des plastischen Fließens( )

ylFluE E A E

σ = =

+

1Bei weiterer Laststeigerung: 2y y

u F lE A A F ul A E

σ σ ⋅ + = = −

3.) Stab 1 auch im plastischen Bereich:

1 1=3 4y y yF Aσ σ σ σ= =

1 1Spannung im Stab 1: yu FEl A

σ σ = = −

Danach weitere Laststeigerung nicht mehr möglich!

3 2 2

yy

F lu lA E E

σσ = − = ⋅


33 y y

Fl F E uuEA A lσ σ

= = ⋅

2 12y

y y

F l F E uuA E A l

σσ σ

= − = ⋅ ⋅ +

3 3 2 2

y

y

E uu lE l

σσ

= ⋅ ⋅ =

1.) Bereich 1:

2.) Bereich 2:

3.) Bereich 3:

y

E ulσ

⋅

1

2

3

4y

FAσ

1 2 3 4

1.)

2.)

3.)

Beispiel

Last-Verschiebungskurve

2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen · LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe

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