A. Mărimi fizice A.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectoriale A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor A.4. Scăderea vectorilor A.5. Inmulțirea unui vector cu un scalar A.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonate A.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalare A.8. Funcția putere și radical A.9. Funcții trigonometrice A.10. Derivata unei funcții A.11. Funcția exponentială și logaritmică A.12. Numere complexe A.13. Formula lui Euler A.14. Derivarea funcțiilor compuse A.15. Funcții vectoriale A.16. Aplicații: a. Compunerea vectorilor perpendiculari b. Compunerea vectorilor în cazul general
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
A. Mărimi fiziceA.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectorialeA.3. Adunarea (compunerea) vectorilorA.4. Scăderea vectorilorA.5. Inmulțirea unui vector cu un scalarA.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonateA.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalareA.8. Funcția putere și radicalA.9. Funcții trigonometriceA.10. Derivata unei funcțiiA.11. Funcția exponentială și logaritmicăA.12. Numere complexeA.13. Formula lui EulerA.14. Derivarea funcțiilor compuseA.15. Funcții vectorialeA.16. Aplicații:
a. Compunerea vectorilor perpendicularib. Compunerea vectorilor în cazul general
Mărimile fizice
sunt de doua feluri:1. Mărimi scalare2. Mărimi vectoriale
A.1. Mărimi fizice scalare
sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă)
Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea, presiunea, energia, puterea
A.2. Mărimi fizice vectoriale
sunt caracterizate de: valoare, direcție, sensExemple: viteza, accelerația, forțaVectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere
obișnuite cu sageată desupra: v
Vectorul este reprezentat de o sageată
Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție
Direcția sa este determinată de dreapta suport
A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor a + b = c
a
b
c
se face dupa regula paralelogramului:suma a doi vectori este egală cu diagonala paralelogramului având drept laturi cei doi vectori
Regula de adunare a triunghiuluiVectorii se pozitionează astfel încat originea celui
de-al doilea să coincidă cu capatul primului.Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește
originea primului cu capatul celui de-al al doilea
a
b
c
A.4. Scăderea vectorilora + b = c → b = c - a
b
a
c
este operația inversă adunării și se face astfel încâtvectorul diferentă c să unească capetele celor doi,cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)
A.5. Inmulțirea unui vectorcu un scalar
este operația de multiplicare a vectorului de λ ori
b = a λ
a b
Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sensDacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus
Vectorii se pot descompune în plan dupa doua componente.Un caz important este descompunereadupa direcțiile unui sistem de axede coordonate perpendiculare (X,Y),numit și sistem cartezien:
a=ax+ay
=axex+ayey
Aici am definit vectorii unitari:ex ey
drept vectorii pe directiile X si Ycare au marimea 1
a
axex
ey
A.6. Descompunerea vectorilor
este operația inversa compunerii
X
Y
ay
Rezulta ca un vector în planeste echivalent cu a defini opereche de marimi scalare (a x,a y)numite componentele vectoruluidupa axele X si Y
In cazul generalFuncția putere y(x)=xnse derivează dupa formula:
Caz particular: pentru n=0obținem o constanta y(x)=C
Caz particular:y(x)=x2
Observație: n poate fi oricenumăr real pozitiv sau negativ
Produsul dintre o constantăși o funcție se derivează astfel: dx
dfCdxCfd
)(
Derivata sumei de funcții este: dx
dgdxdf
dxgfd
)(
xx
edxde
A.11. Funcția exponentialăsi logaritmică
Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca bazaa funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcția:
sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimieste egală cu marimea însăși în fiecare punct x.
Funcția inversă funcției exponențiale în baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey )se mai numește logaritm natural .Derivata funcței inverse se calculează astfel:
xedyde
dydxdx
dydxxd
yy
1111ln
Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828
Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) = ln(x)
Argumentul funcțieilogaritmice trebuiesa fie pozitiv !
Valori particulare
0ln01ln0
10
e
e
Operații cu exponențiale si logaritmi
nxnx
yxyx
xx
e)(e
eee
eex
lnln
xnx
yx(xy)eeeexy
n
yxyx(xy)
lnln
lnlnln
lnlnlnlnln
axxax e)(ea lnln exex ax
aa loglnloglog ln
Schimbarea bazei cu numarul real a>0
Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale
Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază
Logaritmul zecimal
n
...n
10lg
310lg
210lg
110lg
3
2
n
....
.
.
-n
10lg
310lg0010lg
210lg010lg
110lg10lg
3
2
1
4343.0lglglnlglglog ln
10
eexexx x
Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal,
care se poate calcula folosind logaritmul natural:
Urmatoarele relații sunt utile:
Invers, logaritmul naturalse poate calcula folosind logaritmul
zecimal:
3026.210ln10lnlg10lnln lg
xx x
A.12. Numere complexe
1
sincos
i
)ir(ibaz
sincos
22
rbra
bar
Un numar complex este definit asfel:
Numarul i se numește unitate imaginară.Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b)având mărimea (denumită și modul) rși formând unghiul φ cu axa X
a
b
z
φ
r
abtg
A.13. Formula lui EulerUn număr complex având modulul r=1
poate fi reprezentat de relația de mai jos,care poartă numele de formula lui Euler
iπeiπ)(-e- iπ
ln1ln1
Formula permite definirealogaritmului din numere
negative
Importante sunt urmatoarele
cazuri particulare:
1
2/
iπ
i
e
ie
sincos iei
Leonard Euler (1707-1783)Matematician de origine elvețiana
care a trăit în St. Petersburg (Rusia)
iei
)1ln(
1
Derivarea funcțiilor trigonometrice
poate fi facută folosind formula lui Euler
cossin)sin(cos)(
)sin(cossincos
iii
ieiddei
ddei
dd
ddi
dd i
ii
Identificand partea reala și cea imaginarăobținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și
cos
)2
cos(sincos
)2
sin(cossin
dddd
)2
sin()2
cos()
2(
2
ieeeiii
sau egalitatea echivalenta:
Concluzie:Prin derivare faza numarului complex zși a funcțiilor trigonometrice crește cu
π/2
iez )
2(
ie
ddz
φ
φ+π/2
Relațiile trigonometricepot fi deduse în mod simplu