58 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2.1 Operatoren im Banachraum 2.1.1 Grundbegriffe Definition 2.1 Seien [X, ‖·‖ X ] und [Y, ‖·‖ Y ] normierte Vektorräume. (i) Ein linearer Operator A : X → Y heißt beschränkt, falls ein c> 0 existiert, so dass für alle x ∈ X ‖Ax‖ Y ≤ c ‖x‖ X gilt. (ii) L(X, Y)= {A : X → Y linearer und beschränkter Operator} (iii) Für A ∈L(X, Y) nennt man ‖A‖ = sup ‖x‖ X ≤1 ‖Ax‖ Y die Operatornorm von A. Bemerkung : • A : X → Y linear ⇐⇒ ∀ x, y ∈ X ∀ λ, μ ∈ K : A (λx + μy)= λAx + μAy • falls X = Y: L(X) := L(X, X) • weitere Schreibweisen in (iii): ‖A‖ = ‖A‖ L(X,Y) = ‖A‖ X→Y für A ∈L(X, Y) Satz 2.2 Seien [X, ‖·‖ X ] und [Y, ‖·‖ Y ] normierte Vektorräume, A : X → Y linear. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) A ist beschränkt (ii) A ist Lipschitz-stetig (iii) A ist gleichmäßig stetig (iv) A ist stetig (v) Es existiert ein x 0 ∈ X, so dass A in x 0 stetig ist (vi) ‖A‖ = sup ‖x‖ X ≤1 ‖Ax‖ Y < ∞ Beweis : (i) ⇒ (ii) seien x, z ∈ X ‖Ax − Az ‖ Y = linear ‖A(x − z )‖ Y ≤ beschränkt c ‖x − z ‖ X (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) klar (v) ⇒ (vi) ∃ δ = δ(x 0 ) > 0 ∀ x ∈ X, ‖x − x 0 ‖ X <δ : ‖Ax − Ax 0 ‖ Y < 1 sei x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1 x 0 + δ 2 x − x 0 X ≤ δ 2 <δ == ⇒ s.o. δ 2 ‖Ax‖ Y = A ( x 0 + δ 2 x ) − Ax 0 Y < 1 ∀ x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1: ‖Ax‖ Y < 2 δ < ∞ (vi) ⇒ (i) sei x ∈ X, x =0 ‖Ax‖ Y = A x ‖x‖ X Y ‖x‖ X ≤ sup ‖z‖ X ≤1 ‖Az ‖ Y ‖x‖ X = ‖A‖‖x‖ X
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2 Lineare und beschränkte Operatoren¼here... · 58 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2 Lineare und beschränkte Operatoren 2.1 Operatoren im Banachraum 2.1.1 Grundbegriffe
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Bemerkung : X Banachraum y L(X) Banachraum mit Einselement idX→X ∈ L(X)
Beispiele : (a) dimX <∞, A : X→ Y linear =⇒ A ∈ L(X,Y):dimX = m y ∃ ξi ∈ X : X = spanξ1, . . . , ξm
y ∀ x ∈ X ∃ λj ∈ K : x =m∑
j=1
λjξj ====⇒A linear
Ax =m∑
j=1
λj
∈Y︷︸︸︷
Aξj ∈ Y,
‖Ax‖Y ≤m∑
j=1
|λj |‖Aξj‖Y ≤ maxj=1,...,m
‖Aξj‖Ym∑
j=1
|λj |︸ ︷︷ ︸
≤ c‖x‖X, Satz 1.22
y ∃ c > 0 ∀ x ∈ X : ‖Ax‖Y ≤ c maxj=1,...,m
‖Aξj‖Y ‖x‖X = C‖x‖X y A ∈ L(X,Y)
60 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Beispiele : (b) Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)j,k∈N ∈ ℓ2(N× N), X = Y = ℓ2(N)
x = (xk)k ∈ ℓ2(N) y Ax = ((Ax)j)j∈N mit (Ax)j =∞∑
k=1
ajkxk, j ∈ N
y |(Ax)j | ≤Hölder
( ∞∑
k=1
|ajk|2) 1
2 ‖x‖2, j ∈ N
y ‖Ax‖2 =( ∞∑
j=1
|(Ax)j |2) 1
2 ≤ ‖x‖2( ∞∑
j=1
∞∑
k=1
|ajk|2) 1
2
︸ ︷︷ ︸
‖a|ℓ2(N×N)‖
= ‖x‖2 ‖a|ℓ2(N× N)‖
y A ∈ L(ℓ2(N)), ‖A‖ ≤ ‖a|ℓ2(N× N)‖
(c) X = Y = C[0, 1], sei ϕ ∈ C[0, 1]; Multiplikationsoperator Mϕ : f 7→ ϕf
y Mϕ linear, ‖Mϕf‖∞ ≤ ‖ϕ‖∞‖f‖∞ y ‖Mϕ‖ ≤ ‖ϕ‖∞ y Mϕ ∈ L(C[0, 1])f0 ≡ 1 ∈ C[0, 1] y ‖Mϕf0‖∞ = ‖ϕ‖∞ =⇒
inf‖Mϕ‖ ≥ ‖ϕ‖∞ y ‖Mϕ‖ = ‖ϕ‖∞
analog: Mϕ : Lp(Ω)→ Lp(Ω) mit ϕ ∈ L∞(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞
(d) X = Y = Lp(Rn), 1 ≤ p <∞, sei ϕ ∈ L1(Rn); Faltungsoperator Kϕ : f 7→ ϕ ∗ f=====⇒Satz 1.83
Kϕ ∈ L(Lp(Rn)), ‖Kϕ‖ ≤ ‖ϕ|L1(Rn)‖
(e) Y = K, L(X,K) lineare Funktionale
seien X = C[0, 1], ϕ ∈ C[0, 1], betrachten
A : C[0, 1]→ K, Af = f(0) y A ∈ L(C[0, 1],K), ‖A‖ = sup‖f‖∞≤1
|Af | = 1
Bϕ : C[0, 1]→ K, Bϕf =
∫ 1
0
f(x)ϕ(x) dx y Bϕ linear,
‖Bϕ‖ = sup‖f‖∞≤1
|Bϕf | ≤ ‖ϕ|L1(0, 1)‖
Es gilt: ‖Bϕ‖ = ‖ϕ|L1(0, 1)‖: sei ε > 0 ======⇒ϕ ∈ C[0, 1]
ϕε(x) =ϕ(x)
|ϕ(x)| + ε∈ C[0, 1],
‖ϕε‖∞ < 1
Bϕϕε =
1∫
0
|ϕ(x)|2|ϕ(x)| + ε
dx
︸ ︷︷ ︸
=|Bϕϕε|, da ≥0
>
1∫
0
|ϕ(x)|2 − ε2
|ϕ(x)|+ εdx =
1∫
0
(|ϕ(x)| − ε) dx = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − ε
y ‖Bϕ‖ = sup‖f‖∞≤1
|Bϕf | ≥ supε>0|Bϕϕε| = ‖ϕ|L1(0, 1)‖ − inf
ε>0ε = ‖ϕ|L1(0, 1)‖
(f) X = C1[0, 1], Y = C[0, 1], Differentialoperator D =
d
dx: f 7→ f ′ y D linear,
‖Df |C[0, 1]‖ = supx∈[0,1]
|f ′(x)| ≤ supx∈[0,1]
|f(x)|+ supx∈[0,1]
|f ′(x)| = ‖f |C1[0, 1]‖
y D ∈ L(C1[0, 1],C[0, 1]), ‖D‖ ≤ 1
analog: Dm =∑
|α|≤m
aαDα : C
m(Ω)→ C(Ω), aα ∈ K, m ∈ N, ‖Dm‖ ≤ sup
|α|≤m
|aα|
2.1 Operatoren im Banachraum 61
Bemerkung : betrachten X = C1[0, 1] ⊂ C[0, 1] Teilraum mit ‖f‖∞ = sup
x∈[0,1]
|f(x)| y D 6∈ L(X,C[0, 1]):
fn(x) = xn ∈ X, n ∈ N, ‖fn‖X = ‖fn‖∞ = 1, ‖Dfn‖∞ = supx∈[0,1]
nxn−1 = n = n‖fn‖∞y ‖D‖ ≥ n −−−−→
n→∞∞
Beispiel : (g) Verallgemeinerung von (d): X = Y = C[0, 1], sei k : [0, 1]× [0, 1] → K mit k ∈ C([0, 1]2);Fredholmscher Integraloperator
(Kf)(x) =
∫ 1
0
k(x, y)f(y) dy, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]
Kf ∈ C[0, 1]: k(·, y) ∈ C[0, 1] y k(·, y) gleichmäßig stetig für alle y ∈ [0, 1]
y |Kf(x)−Kf(x′)| ≤∫ 1
0
|k(x, y)− k(x′, y)|︸ ︷︷ ︸
<ε, |x−x′|<δ
|f(y)|︸ ︷︷ ︸
<‖f‖∞
dy < ε‖f‖∞ für |x− x′| < δ
y K : C[0, 1]→ C[0, 1] linear, ‖Kf‖∞ ≤ ‖f‖∞ supx∈[0,1]
∫ 1
0
|k(x, y)| dy︸ ︷︷ ︸
≤‖k‖C([0,1]2)
≤ c‖f‖∞
y K ∈ L(C[0, 1]), sowie
‖K‖ = sup‖f‖∞≤1
‖Kf‖∞ = sup‖f‖∞≤1
supx∈[0,1]
|Kf(x)|
= supx∈[0,1]
sup‖f‖∞≤1
|Kf(x)|︸ ︷︷ ︸
‖Bϕ‖ mit ϕ=k(x,·) aus (e)
= supx∈[0,1]
‖k(x, ·)|L1(0, 1)‖ = supx∈[0,1]
∫ 1
0
|k(x, y)| dy
analog: k ∈ L2((0, 1)2) 99K K ∈ L(L2(0, 1)), ‖K‖L(L2(0,1)) ≤
∥∥k|L2((0, 1)
2)∥∥
Satz 2.4 Seien D ⊂ X ein dichter Teilraum und Y ein Banachraum. Dann gibt es für jeden OperatorA ∈ L(D,Y) genau eine stetige Fortsetzung A ∈ L(X,Y), d.h. mit A|D = A. Es gilt
∥∥A
∥∥L(D,Y)
=∥∥A
∥∥L(X,Y)
.
Be w e i s : Konstruktion von A : X→ Y: sei x ∈ X =======⇒D ⊂ X dicht
∃ (xk)k ⊂ D : ‖x− xk‖X −−−−→k→∞
0
y ‖Axk −Axm‖Y ≤ ‖A‖L(D,Y)‖xk − xm‖X −−−−−→k,m→∞
0 y (Axk)k ⊂ Y Cauchyfolge =====⇒Y Banach
∃ yx ∈ Y :
Axk −−−−→k→∞
yx =: Ax
A : X→ Y wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Auswahl der Folge: sei (ξk)k ⊂ D mit ‖ξk − x‖X −−−−→k→∞
0
y ∃ ηx ∈ Y : Aξk −−−−→k→∞
ηx
y ‖yx − ηx‖Y ≤ ‖yx −Axk‖Y︸ ︷︷ ︸
<ε, k≥k1
+ ‖Axk −Aξk‖Y︸ ︷︷ ︸
≤ ‖A‖L(D,Y)‖xk − ξk‖X
< ε, k ≥ k2
+ ‖Aξk − ηx‖Y︸ ︷︷ ︸
<ε, k≥k3
< 3ε für k ≥ k0 y yx = ηx = Ax
A|D = A: wählen xk ≡ x ∈ D y Ax = limk→∞
Axk = Ax
Eindeutigkeit: seien B ∈ L(X,Y) mit B|D = A, x ∈ X y ∃ (xk)k ⊂ D ⊂ X, xk −−−−→k→∞
x
y Bx = B( limk→∞
xk) =B stetig
limk→∞
Bxk =xk ∈ D
limk→∞
Axk =nach Def.
Ax y B = A auf X
62 2 Lineare und beschränkte Operatoren
∥∥A
∥∥L(D,Y)
=∥∥A
∥∥L(X,Y)
:
∥∥A
∥∥L(X,Y)
= supx∈X,‖x‖X≤1
∥∥Ax
∥∥Y= sup
x∈X,‖x‖X≤1
limk→∞
∥∥Axk
∥∥Y≤ sup
x∈X,‖x‖X≤1
∥∥A
∥∥L(D,Y)
limk→∞
‖xk‖X︸ ︷︷ ︸
‖x‖X
=∥∥A
∥∥L(D,Y)
= supx∈D,‖x‖X≤1
∥∥Ax
∥∥Y
︸ ︷︷ ︸
=‖Ax‖Y, x∈D
≤D ⊂ X
supx∈X,‖x‖X≤1
∥∥Ax
∥∥Y=
∥∥A
∥∥L(X,Y)
2.1.2 Lineare Funktionale und Dualraum
Definition 2.5 Sei [X, ‖ · ‖X] ein normierter Vektorraum. Dann nennt man A ∈ L(X,K) ein lineares Funk-tional auf X und X′ = L(X,K) Dualraum zu X.
Bemerkung : Satz 2.3(ii) ===⇒Y = K
X′ Banachraum mit ‖A‖ = sup‖x‖X≤1
|Ax|, A ∈ X′ = L(X,K)
Schreibweise: X → Y (stetige Einbettung) ⇐⇒ idX→Y ∈ L(X,Y) ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ x ∈ X : ‖x‖Y ≤ c‖x‖X
Lemma 2.6 Falls X → Y dicht ist, so folgt Y′ → X′ in dem Sinn, dass für alle ϕ ∈ Y′ gilt ϕ|X ∈ X′.
Be w e i s : ϕ ∈ Y′ = L(Y,K) ====⇒X → Y
ϕ|X = ϕ idX→Y ∈ L(X,K) = X′ linear und beschränkt; Eindeutig-
keit von ϕ|X folgt aus Satz 2.4;sei ϕ ∈ Y′, x ∈ X → Y y
∣∣ϕ|X(x)
∣∣ = |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖Y′‖x‖Y ≤ c‖ϕ‖Y′‖x‖X y ϕ|X ∈ X′, ‖ϕ|X‖X′ ≤ c ‖ϕ‖Y′
Erinnerung: [X, ‖ · ‖X] und [Y, ‖ · ‖Y] isometrisch-isomorph ⇐⇒ ∃ L : X→ Y linear, isometrisch, surjektiv⇐⇒ ∃ L : X→ Y ∀ x ∈ X : ‖Lx‖Y = ‖x‖X ∧ L(X) = Y (Def. 1.9)
Schreibweise: X ∼= Y
Satz 2.7 Seien 1 < p <∞, und p′ gegeben durch 1p + 1
p′ = 1. Dann sind
(ℓp(N))′ ∼= ℓp′(N) isometrisch-isomorph, mit ‖η‖p′ = sup
‖x‖p≤1
∣∣∣
∞∑
k=1
xkηk
∣∣∣.
Be w e i s : 1. Schritt: betrachten Isomorphismus L : ℓp′(N)→ (ℓp(N))′, y 7→ Ly = ϕy mit
ϕy(x) =∞∑
k=1
xkyk, x ∈ ℓp(N), für y ∈ ℓp′(N)
sei y ∈ ℓp′(N), z.z.: ϕy ∈ ℓp′(N); klar: ϕy : ℓp(N)→ K linear; ϕy beschränkt:
x ∈ ℓp(N) y |ϕy(x)| =∣∣∣
∞∑
k=1
xkyk
∣∣∣ ≤
Hölder‖x‖p ‖y‖p′ ====⇒
sup‖x‖p≤1
‖ϕy‖(ℓp(N))′ ≤ ‖y‖p′
y ϕy ∈ (ℓp(N))′ für y ∈ ℓp′(N), L injektiv, ‖Ly‖(ℓp(N))′ ≤ ‖y‖p′
y g.z.z.: ∃ g ∈ Lp(A, µ), ‖g|Lp(A, µ)‖ = 1 : |Lf (g)| = ‖f |Lp′(A, µ)‖
sei f ∈ Lp′(A, µ), o.B.d.A. f 6= 0, setzen g(x) =f(x)
|f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖
) p′
p
y ‖g|Lp(A, µ)‖ =( ∫
A
|f(x)|p′
‖f |Lp′(A, µ)‖p′ dµ(x)) 1
p
= 1
sowie
|Lf(g)| =∣∣∣∣
∫
A
f(x)f(x)
|f(x)|( |f(x)|‖f |Lp′(A, µ)‖
) p′
p
︸ ︷︷ ︸
g(x)
dµ(x)
∣∣∣∣
=
∫
A
|f(x)| p′
p +1
‖f |Lp′(A, µ)‖ p′
p
dµ(x) =p′
p + 1 = p′
1
‖f |Lp′(A, µ)‖ p′
p
∫
A
|f(x)|p′
dµ(x)
︸ ︷︷ ︸
‖f |Lp′(A,µ)‖p′
= ‖f |Lp′(A, µ)‖
==⇒sup
‖Lf‖(Lp(A,µ))′ ≥ ‖f |Lp′(A, µ)‖
==⇒s.o.‖Lf‖(Lp(A,µ))′ = ‖f |Lp′(A, µ)‖
Bemerkung : • Lp′(A, µ) →(Lp(A, µ)
)′, 1 ≤ p ≤ ∞, Interpretation:
f ∈ Lp′(A, µ) 7→ Lf ∈(Lp(A, µ)
)′mit Lf (g) =
∫
A
f(x)g(x) dµ(x), g ∈ Lp(A, µ)
und ‖f |Lp′(A, µ)‖ = ‖Lf‖(Lp(A,µ)
)′ = sup‖g|Lp(A,µ)‖≤1
∣∣∣
∫
A
f(x)g(x) dµ(x)∣∣∣
• L1(A, µ) →(L∞(A, µ)
)′echter Teilraum, d.h.
Lp′(A, µ) =(Lp(A, µ)
)′(Interpretation) ⇐⇒ 1 ≤ p <∞
• später: Satz von Hahn-Banach 99K Fortsetzung linearer stetiger Funktionale von Teil-raum U ⊂ X auf X
• H Hilbertraum y H ∼= (H)′; siehe H = ℓ2(N), H = L2(A, µ)
Ergänzung: Räume von Maßen
Ω = [Ω, d] metrischer Raum, A σ-Algebra der Borelmengen über Ω; betrachten signierte (oder komplexe)Maße µ : A→ R (oder C) über [Ω,A], sowie deren Variation,
|µ|(A) = sup
∑
B∈Z|µ(B)| : Z Zerlegung von A in endlich viele disjunkte Mengen B ∈ A
y M(Ω) = M(Ω,A) = µ : |µ| reguläres Borel-Maß über [Ω,A] ist mit der Variationsnorm ‖µ‖ = |µ|(Ω)ein Banachraum
2.1 Operatoren im Banachraum 65
Satz 2.9 (Rieszscher Darstellungssatz)Seien Ω ein kompakter metrischer Raum, M(Ω) der Raum der regulären Borelmaße auf Ω. Dann sind
(i) Es gilt K(X,Y) ⊂ L(X,Y), d.h. jeder kompakte Operator ist beschränkt.
(ii) A ∈ K(X,Y) ⇐⇒ ∀ (xn)n ⊂ X, ‖xn‖X ≤ c ∃ (xnk)k ⊂ (xn)n : (Axnk
)k konvergent in Y
(iii) Für dimX <∞ oder dimY <∞ und A ∈ L(X,Y) gilt A ∈ K(X,Y).
(iv) Sind [W, ‖ · ‖W] ein normierter Raum, A ∈ L(X,Y), B ∈ K(Y,W), oder A ∈ K(X,Y), B ∈ L(Y,W),so folgt B A ∈ K(X,W).
(v) Falls Y ein Banachraum ist, so auch K(X,Y) als abgeschlossener Teilraum von L(X,Y).
Be w e i s : zu (i): A ∈ K(X,Y) =====⇒Def. 2.10
A(UX) = Ax : x ∈ X, ‖x‖X ≤ 1 präkompakt
=======⇒Folg. 1.16(ii)
A(UX) beschränkt y ‖A‖ = supx∈UX
‖Ax‖Y <∞ ====⇒Satz 2.2
A ∈ L(X,Y)
zu (ii): =⇒ unmittelbare Folge aus Definition 1.15
⇐= sei Ω ⊂ X beschränkt, z.z.: A(Ω) präkompakt in Y, d.h.
∀ (yn)n ⊂ A(Ω) ⊂ Y ∃ (ynk)k ⊂ (yn)n ∃ y ∈ Y : ynk
−−−−→k→∞
y
(yn)n ⊂ A(Ω) y ∀ n ∈ N ∃ xn ∈ Ω : yn = Axn y ∃ (xn)n ⊂ Ω beschränkt ==⇒Vor.
∃ (xnk)k ⊂ (xn)n:
(Axnk)k konvergent in Y =======⇒
ynk= Axnk
∃ (ynk)k ⊂ (yn)n ∃ y ∈ Y : ynk
−−−−→k→∞
y
66 2 Lineare und beschränkte Operatoren
zu (iii): sei dimX < ∞, Ω ⊂ X beschränkt =======⇒Satz 1.23(ii)
Ω präkompakt =======⇒A ∈ L(X,Y)
A(Ω) präkompakt
(analog zu Argument für (ii))
sei dimY <∞: Ω ⊂ X beschränkt =======⇒A ∈ L(X,Y)
A(Ω) ⊂ Y beschränkt =======⇒Satz 1.23(ii)
A(Ω) präkompakt
zu (iv): nach Satz 2.3(iii) y B A ∈ L(X,W); sei Ω ⊂ X beschränkt
Ω ⊂ X beschränkt in X y
A(Ω) beschränkt in Y, falls A ∈ L(X,Y)A(Ω) präkompakt in Y, falls A ∈ K(X,Y)
y
B(A(Ω)) präkompakt in W, falls A ∈ L(X,Y), B ∈ K(Y,W)
B(A(Ω)) präkompakt in W, falls A ∈ K(X,Y), B ∈ L(Y,W)
y (B A)(Ω) präkompakt in W y B A ∈ K(X,W)
zu (v): sei (An)n ⊂ K(X,Y) ⊂ L(X,Y) mit ‖Ak − Am‖ −−−−−→k,m→∞
0 ======⇒Satz 2.3(ii)
∃ A ∈ L(X,Y) :
‖An −A‖ −−−−→n→∞
0; z.z.: A ∈ K(X,Y)
verwenden (ii): sei (xn)n ⊂ X mit ‖xn‖X ≤ C, z.z.: ∃ (xnk)k ⊂ (xn)n ∃ y ∈ Y : Axnk
−−−−→k→∞
y
(xn)n beschränkt in X ==========⇒A1 ∈ K(X,Y), (ii)
∃ (x1n)n ⊂ (xn)n ∃ y1 ∈ Y : A1x
1n −−−−→n→∞
y1
==========⇒A2 ∈ K(X,Y), (ii)
∃ (x2n)n ⊂ (x1
n)n ∃ y2 ∈ Y : A2x2n −−−−→n→∞
y2
==========⇒Iteration
∀ k ∈ N ∃ (xkn)n ⊂ (xk−1
n )n ∃ yk ∈ Y : Akxkn −−−−→n→∞
yk
betrachten Diagonalfolge (xkk)k ⊂ (xj
n)n, k ≥ j y Ajxkk −−−−→
k→∞yj , k ≥ j (17)
sei ε > 0 ============⇒‖An − A‖ −−−−→
n→∞0∃ n0 = n0(ε) ∀ n ≥ n0 : ‖An −A‖ < ε
y ‖Axkk −Axm
m‖Y ≤ ‖Axkk −An0x
kk‖Y
︸ ︷︷ ︸
≤‖A−An0‖2C<2Cε
+ ‖An0xkk −An0x
mm‖Y
︸ ︷︷ ︸
<ε, k≥m≥m0, (17)
+ ‖An0xmm −Axm
m‖Y︸ ︷︷ ︸
≤‖A−An0‖2C<2Cε
< c′ε für k ≥ m ≥ m0(ε, n0)
y (Axkk)k ⊂ Y Cauchy-Folge ========⇒
Y Banachraum∃ y ∈ Y : Axk
k −−−−→k→∞
y
Bemerkung : alternativer Beweis von (v) auf Basis von Satz 1.17: konstruieren für A ∈ L(X,Y) für jedesε > 0 endliches ε-Netz mittels der endlichen ε-Netze für jedes Ak ∈ K(X,Y), k ∈ N
Bezeichnungen:
• Für A : X→ Y bezeichne D(A) ⊆ X das Definitionsgebiet,
R(A) = A(X) = y ∈ Y : ∃ x ∈ X : Ax = y ⊂ Y
den Werte-/Bildbereich, sowie rank(A) = dimR(A). Zudem sei
N(A) = x ∈ X : Ax = 0
der Nullraum von A.
• F(X,Y) = A ∈ L(X,Y) : rank(A) < ∞ Operatoren mit endlich-dimensionalem Bild (finite-rankoperators); Satz 2.11(iii) y F(X,Y) ⊂ K(X,Y)
Folgerung 2.12 Seien [X, ‖ · ‖X] ein normierter Raum, [Y, ‖ · ‖Y] ein Banachraum, A ∈ L(X,Y). Falls eineFolge von Operatoren (Ak)k ⊂ L(X,Y) existiert, für die gilt rank(Ak) ≤ nk <∞, sowie ‖A−Ak‖ −−−−→
k→∞0,
so ist A ∈ K(X,Y).
2.1 Operatoren im Banachraum 67
B e w e i s : Ak ∈ L(X,R(Ak)), rank(Ak) <∞ =======⇒Satz 2.11(iii)
• Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, C(K), c0, ℓp, 1 ≤ p <∞, haben (metrische) Approximationsei-genschaft [Wer00, Kor. II.3.6]; es gibt Räume ohne Approximationseigenschaft [Enf73],[Pie78, Thm. 10.4.7].
• später: X = H1, Y = H2 Hilberträume y F(X,Y) = K(X,Y)
Beispiel : Matrix-Operator A ←→ a = (ajk)j,k∈N ∈ ℓ2(N× N), X = Y = ℓ2(N)
x = (xk)k ∈ ℓ2(N) y Ax = ((Ax)j)j∈N mit (Ax)j =∞∑
k=1
ajkxk, j ∈ N
früher (Beispiel (b)): A ∈ L(ℓ2(N)), ‖A‖ ≤ ‖a|ℓ2(N× N)‖
zeigen: A ∈ K(ℓ2(N))
betrachten An : ℓ2(N)→ ℓ2(N) mit (Anx)j =
∞∑
k=1
ajkxk = (Ax)j , j ≤ n
0, j > n
y rank(An) ≤ n =======⇒Satz 2.11(iii)
An ∈ K(ℓ2(N)); außerdem:
‖Anx−Ax‖2 =( ∞∑
j=1
|(Anx)j − (Ax)j |2) 1
2
=( ∞∑
j=n+1
∣∣
∞∑
k=1
ajkxk
∣∣2
︸ ︷︷ ︸
≤‖x‖22
∞∑
k=1
|ajk|2
) 12
≤ ‖x‖2( ∞∑
j=n+1
∞∑
k=1
|ajk|2) 1
2
︸ ︷︷ ︸
<ε für n≥n0, da a∈ℓ2(N×N)
< ε‖x‖2, n ≥ n0
====⇒sup
‖x‖2≤1
‖An −A‖ < ε für n ≥ n0 =====⇒Folg. 2.12
A ∈ K(ℓ2(N))
Satz 2.13 Seien Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, k : Ω× Ω→ K, sowie
(Kf)(x) =
∫
Ω
k(x, y)f(y) dy, x ∈ Ω.
(i) Für k ∈ C(Ω× Ω) gilt K ∈ K(C(Ω)) mit ‖K‖ ≤ ‖k|C(Ω× Ω)‖|Ω|.
(ii) Für k ∈ L2(Ω× Ω) gilt K ∈ K(L2(Ω)) mit ‖K‖ ≤ ‖k|L2(Ω× Ω)‖.
Be w e i s : o.B.d.A. setzen wir k auf Rn × Rn \ (Ω× Ω), sowie f auf Rn \ Ω mit 0 fort
68 2 Lineare und beschränkte Operatoren
1. Schritt: sei f ∈ C(Ω), ‖f‖∞ ≤ 1
y ‖Kf‖∞ = supx∈Ω
∣∣∣
∫
Ω
k(x, y)f(y) dy∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
|(Kf)(x)|
≤ supx∈Ω
‖k(x, ·)‖∞ ‖f‖∞︸ ︷︷ ︸
≤1
|Ω| ≤ |Ω|‖k|C(Ω× Ω)‖ ≤ ck,Ω
y K(UC(Ω)) = Kf : ‖f‖∞ ≤ 1 beschränkt,
|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| ≤∫
Ω
|k(x+ h, y)− k(x, y)|︸ ︷︷ ︸
<ε für |h|<δ, da k glm. stetig
‖f‖∞ dy
< ε‖f‖∞|Ω| für |h| < δ und alle x ∈ Ω
y sup‖f‖∞≤1
|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| < ε|Ω| für |h| < δ und alle x ∈ Ω
Satz 2.19 Seien [a, b] ⊂ R, k : [a, b]× [a, b]→ C λ2-messbar mit k(x, y) = 0 für x < y, und
(Kf)(x) =
∫ x
a
k(x, y)f(y) dy, x ∈ [a, b].
(i) Für k ∈ L∞([a, b] × [a, b]) gelten K ∈ K(L2[a, b]), σσσ(K) = 0 und r(K) = 0. Die VolterrascheIntegralgleichung
Kf − λf = g
besitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ L2[a, b] genau eine Lösung f ∈ L2[a, b], die sich mittels der in L2[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.
(ii) Falls k auf D = (x, y) : a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ x ⊂ [a, b]× [a, b] stetig ist, so gelten K ∈ K(C[a, b]),σσσ(K) = 0 und r(K) = 0. Die Volterrasche Integralgleichung
Kf − λf = g
besitzt für λ 6= 0 und jedes g ∈ C[a, b] genau eine Lösung f ∈ C[a, b], die sich mittels der in C[a, b]konvergenten Neumannschen Reihe berechnen lässt.
Be w e i s : 1. Schritt: K ∈ K(L2[a, b]) nach Vorbemerkung klar; zu K ∈ K(C[a, b]):sei f ∈ C[a, b], ‖f‖∞ ≤ 1 y ‖Kf‖∞ ≤ (b − a) max
(x,y)∈D|k(x, y)| =: (b − a)‖k‖∞,D y K(UC[a,b])
beschränkt; seien x ∈ [a, b] und h so, dass x+ h ∈ [a, b] , o.B.d.A. h ≥ 0
|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| =∣∣∣
∫ x+h
a
k(x+ h, y)f(y) dy −∫ x
a
k(x, y)f(y) dy∣∣∣
≤∫ x
a
|k(x+ h, y)− k(x, y)|︸ ︷︷ ︸
<ε für |h|<δ0
‖f‖∞ dy +
∫ x+h
x
|k(x+ h, y)|︸ ︷︷ ︸
≤‖k‖∞,D
‖f‖∞ dy
< ε‖f‖∞(b− a) + h‖k‖∞,D‖f‖∞< Cε für |h| < δ und alle x ∈ [a, b]
y sup‖f‖∞≤1
|(Kf)(x+ h)− (Kf)(x)| < Cε für |h| < δ und alle x ∈ [a, b]
Satz 2.21 (i) Sei H ein Prä-Hilbertraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dann gilt die Cauchy-Schwarz44-Ungleichung,
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖H‖y‖H für alle x, y ∈ H,
wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x und y linear abhängig sind.
(ii) Seien H ein normierter Raum mit der Norm ‖ · ‖. Dann ist H ein Prä-Hilbertraum genau dann, wenndie Parallelogramm-Gleichung gilt,
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2
)für alle x, y ∈ H.
Das zugehörige Skalarprodukt ist dann definiert als
〈x, y〉 =
14
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2
), K = R,
14
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2
)+ i
4
(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2
), K = C.
Be w e i s : bekannt aus früheren Vorlesungen bzw. Übung
Bemerkung : aus (i) folgt ‖ · ‖H Norm (Dreiecksungleichung)
Beispiele : (a) Rn, Cn mit 〈x, y〉 =n∑
j=1
xjyj
(b) ℓ2(N) mit 〈x, y〉2 =∞∑
j=1
xjyj , x = (xj)j , y = (yj)j
(c) [Ω,A, µ] σ-endlicher Maßraum, A ∈ A µ-messbar, L2(A, µ) wie in Abschnitt 1.3.3L2(A, µ) Hilbertraum mit
〈f, g〉2 =
∫
A
fg dµ,
insbesondere gilt für [Ω,A, µ] = [Rn,Ln, λn], G ⊆ Rn offen, G ∈ Ln: L2(G) Hilbertraumetwas allgemeiner: gewichtete L2-Räume: dµ = w(x) dx, w ≥ 0 λn-messbar:
〈f, g〉w =
∫
G
f(x)g(x)w(x) dx
(d) C[a, b] Prä-Hilbertraum mit ‖ · ‖2, aber nicht vollständig:
‖f − g‖Hfalls ∃ g0 ∈ U : ‖f − g0‖H = δ(f,U) y g0 heißt beste Approximation von f in U
• U ⊆ H konvex ⇐⇒ ∀ x1, x2 ∈ U ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ U
Satz 2.25 Seien H ein Hilbertraum und U 6= ∅ eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge von H. Dannexistiert für alle f ∈ H genau eine beste Approximation g0 ∈ U . Die Abbildung P : H −→ U , f 7→ g0 = P (f)ist stetig.
Be w e i s : 1. Schritt: Unitätseien g1, g2 ∈ U beste Approximationen zu f , g1 6= g2 y ‖f − g1‖H = ‖f − g2‖H = δ(f, U),
ℓ2(N), L2(A, µ) Hilberträume 99K Gilt i.a. H′ ∼= H isometrisch-isomorph, wobei L : H → H′, L : y 7→ Ly
mitLy(x) = 〈x, y〉, x ∈ H, sowie ‖Ly‖H′ = ‖y‖H ?
80 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Lemma 2.29 Seien H ein Prä-Hilbertraum, y ∈ H, und Ly gegeben durch
Ly : H→ K, x 7→ Ly(x) = 〈x, y〉, x ∈ H.
Dann gilt Ly ∈ H′ = L(H,K) mit ‖Ly‖H′ = ‖y‖H.
Be w e i s : Ly linear X; Ly beschränkt:
|Ly(x)| = |〈x, y〉| ≤Satz 2.21(i)
‖x‖H ‖y‖H y Ly ∈ H′, ‖Ly‖H′ ≤ ‖y‖H
sei y 6= 0 y x =y
‖y‖H∈ H, ‖x‖H = 1 y ‖Ly‖H′ ≥ |Ly(x)| =
∣∣∣∣
⟨y
‖y‖H, y
⟩∣∣∣∣=‖y‖2H‖y‖H
= ‖y‖H
Satz 2.30 (Satz von Riesz-Fréchet45)Seien H ein Hilbertraum und L ∈ H′. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Element y ∈ H mit derEigenschaft, dass gelten
L(x) = 〈x, y〉 für alle x ∈ H, sowie ‖L‖H′ = ‖y‖H.
Be w e i s : L ≡ 0 y y := 0; ab jetzt: L 6≡ 0
aus Lemma 2.29 klar: falls y ∈ H existiert mit L = Ly y ‖L‖H′ = ‖y‖H
Unität: ∃ y1, y2 ∈ H ∀ x ∈ H : L(x) = 〈x, y1〉 = 〈x, y2〉 y ∀ x ∈ H : 〈x, y1−y2〉 = 0 =======⇒x = y1 − y2
y1 = y2
Existenz: suchen y ∈ H mit L(x) = 〈x, y〉, x ∈ H y ∀ x ∈ N(L) : L(x) = 0 = 〈x, y〉 y y ∈ N(L)⊥
N(L) abgeschlossen =====⇒Satz 2.26
H = N(L)⊕N(L)⊥; zeigen: dimN(L)⊥ = 1
L : N(L)⊥ → K Isomorphismus, denn: L linear ===⇒L 6≡ 0
L(N(L)⊥
)= L(H) = K, L injektiv auf N(L)⊥:
Lx1 = Lx2, xi ∈ N(L)⊥ y L(x1 − x2) = 0, x1, x2 ∈ N(L)⊥ y x1 − x2 ∈ N(L)∩N(L)⊥ y x1 = x2
J∗ : H → H′, J∗y = 〈·, y〉 y J∗ isometrischer Isomorphismus y H′ ∼= H isometrisch-isomorph y (H′)′ ∼= H′ ∼= H, d.h. H ist reflexiv, H′ ist Hilbertraum bezüglich
〈L,K〉 := 〈J−1L, J−1K〉, L,K ∈ H′
45Maurice René Fréchet (∗ 2.9.1878 Maligny/Frankreich † 4.6.1973 Paris)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 81
Definition 2.31 Sei H ein Hilbertraum. Eine Abbildung s : H×H→ K heißt Sesquilinearform, falls für allex, y, z ∈ H und λ, µ ∈ K gelten:
s (λx+ µy, z) = λs(x, z) + µs(y, z)
sowie
s (x, λy + µz) = λs(x, y) + µs(x, z).
Beispiele : • s(x, y) = 〈x, y〉 Skalarprodukt
• A ∈ L(H), s(x, y) = 〈Ax, y〉
Satz 2.32 (Lax46-Milgram47)Seien H ein Hilbertraum und s : H×H→ K eine stetige Sesquilinearform, d.h.
∃ C ≥ 0 ∀ x, y ∈ H : |s(x, y)| ≤ C‖x‖H‖y‖H.
(i) Es existiert genau ein Operator S ∈ L(H), für den gelten
‖S‖L(H) ≤ C und s(x, y) = 〈x, Sy〉, x, y ∈ H.
(ii) Ist s zusätzlich koerzitiv, d.h.
∃ c > 0 ∀ x ∈ H : |s(x, x)| ≥ c‖x‖2H,
so ist S invertierbar, S−1 ∈ L(H) mit∥∥S−1
∥∥L(H)
≤ 1c .
Be w e i s : zu (i): seien y ∈ H, betrachten sy(x) := s(x, y), x ∈ H y sy ∈ H′, ‖sy‖H′ ≤ C‖y‖H
Satz 2.34 Seien H ein Prä-Hilbertraum und xj , j ∈ N ⊂ H ein ONS. Dann gelten folgende Aussagen:
(i) Für n ∈ N und αj ∈ K ist∥∥∥
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥
2
H=
n∑
j=1
|αj |2.
(ii) Aus x =∞∑
j=1
αjxj folgt∞∑
j=1
|αj |2 = ‖x‖2H.
(iii) Für x ∈ H ist∥∥∥x−
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥H
genau dann minimal, wenn α = 〈x, xj〉, j ∈ N, gilt.
(iv) Für alle x ∈ H und n ∈ N gilt∥∥∥x−
n∑
j=1
〈x, xj〉xj
∥∥∥
2
H= ‖x‖2H −
n∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ,
sowie die Bessel49sche Ungleichung∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H .
48Leopold Kronecker (∗ 7.12.1823 Liegnitz/Preußen † 29.12.1891 Berlin)49Friedrich Wilhelm Bessel (∗ 22.7.1784 Minden † 17.3.1846 Königsberg)
2.2 Operatoren im Hilbertraum 83
Bemerkung : • in (ii) insbesondere: x ∈ H y∞∑
j=1
|αj |2 =∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 <∞ y(〈x, xj〉
)
j∈N∈ ℓ2(N)
• (iii) “Extremal-/Minimumseigenschaft der Fourierkoeffizienten”
B e w e i s : zu (i):∥∥∥
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥
2
H=
⟨ n∑
j=1
αjxj ,n∑
k=1
αkxk
⟩
=n∑
j=1
n∑
k=1
αjαk 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸
δjk
=n∑
j=1
|αj |2
zu (ii): sei yn =n∑
j=1
αjxj y yn −−−−→n→∞
x yn∑
j=1
|αj |2 =(i)‖yn‖2H −−−−→n→∞
‖x‖2H ⇐⇒ (ii)
zu (iii): seien αj ∈ K beliebig
y∥∥∥x−
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥
2
H=
⟨
x−n∑
j=1
αjxj , x−n∑
k=1
αkxk
⟩
= 〈x, x〉 −n∑
j=1
αj〈xj , x〉 −n∑
k=1
αk〈x, xk〉+n∑
j=1
n∑
k=1
αjαk 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸
δjk
= ‖x‖2H +
n∑
j=1
∣∣∣αj − 〈x, xj〉
∣∣∣
2
︸ ︷︷ ︸
(αj−〈x,xj〉)(αj−〈xj,x〉)︸ ︷︷ ︸
≥0
−n∑
j=1
|〈x, xj〉|2
≥ ‖x‖2H −n∑
j=1
|〈x, xj〉|2
sowie
minαj∈K
∥∥∥x−
n∑
j=1
αjxj
∥∥∥
2
H= ‖x‖2H −
n∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ⇐⇒ αj = 〈x, xj〉, j = 1, . . . , n
zu (iv): aus (iii) folgt∥∥∥x−
n∑
j=1
〈x, xj〉xj
∥∥∥
2
H= ‖x‖2H −
n∑
j=1
|〈x, xj〉|2
yn∑
j=1
|〈x, xj〉|2 = ‖x‖2H −∥∥∥x−
n∑
j=1
〈x, xj〉xj
∥∥∥
2
H
︸ ︷︷ ︸
≥0
≤ ‖x‖2H ====⇒n → ∞
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H
Folgerung 2.35 Seien H ein Prä-Hilbertraum und xj , j ∈ N ⊂ H ein ONS. Dann sind folgende Aussagenäquivalent:
(i) xj , j ∈ N ⊂ H ist eine Orthonormalbasis, d.h. ∀ x ∈ H : x =
∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
(ii) Für alle x ∈ H gilt die Parseval50sche Gleichung: ‖x‖2H =
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 .
Be w e i s : (i) =⇒ (ii) folgt aus Satz 2.34(ii) mit αj = 〈x, xj〉
(ii) =⇒ (i) sei∥∥∥x−
n∑
j=1
〈x, xj〉xj
∥∥∥
2
H=
Satz 2.34(iv)‖x‖2H −
n∑
j=1
|〈x, xj〉|2(ii)−−−−→
n→∞0 y x =
∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
50Marc-Antoine Parseval des Chênes (∗ 27.4.1755 Rosières-aux-Saline/Frankreich † 16.8.1836 Paris)
84 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Satz 2.36 Seien H ein Hilbertraum und xj , j ∈ N ⊂ H ein ONS. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) xj , j ∈ N ⊂ H ist eine Orthonormalbasis, d.h. ∀ x ∈ H : x =∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
(ii) Für alle x, y ∈ H gilt: 〈x, y〉 =∞∑
j=1
〈x, xj〉〈xj , y〉.
(iii) Für alle x ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung: ‖x‖2H =
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 .
(iv) Es ist span xj , j ∈ N⊥ = 0, d.h. 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ⇐⇒ x = 0.
(v) span xj , j ∈ N ist dicht in H, d.h. span xj , j ∈ N = H.
Be w e i s : (i) =⇒ (ii) 〈x, y〉 =∞∑
j=1
∞∑
k=1
〈x, xj〉〈y, xk〉 〈xj , xk〉︸ ︷︷ ︸
δjk
=
∞∑
j=1
〈x, xj〉〈xj , y〉
(ii) =⇒ (iii) ‖x‖2H = 〈x, x〉 =(ii)
∞∑
j=1
〈x, xj〉〈x, xj〉︸ ︷︷ ︸
|〈x,xj〉|2
=
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2
(iii) =⇒ (iv) sei x ∈ span xj , j ∈ N⊥ y 〈x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iii)‖x‖H = 0 ⇐⇒ x = 0
(iv) =⇒ (i) seien x ∈ H =======⇒Satz 2.34(v)
∞∑
j=1
|〈x, xj〉|2 ≤ ‖x‖2H <∞; betrachten sn =
n∑
j=1
〈x, xj〉xj , n ∈ N
sei m > n y ‖sn − sm‖2H =∥∥∥
m∑
j=n+1
〈x, xj〉xj
∥∥∥
2
H=
Satz 2.34(i)
m∑
j=n+1
|〈x, xj〉|2 −−−−−→m,n→∞
0
y (sn)n Cauchy-Folge in H =======⇒H vollständig
∃ y ∈ H : sn −−−−→n→∞
y y ∃ y ∈ H : y =
∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
y 〈y, xj〉 = 〈x, xj〉, j ∈ N y 〈y − x, xj〉 = 0, j ∈ N ==⇒(iv)
x = y =
∞∑
j=1
〈x, xj〉xj
(iv) =⇒ (v) sei U = span xj , j ∈ N ⊆ H ==⇒(iv)
U⊥ = 0 =====⇒Folg. 2.27
U = H
(v) =⇒ (iv) seien U = span xj , j ∈ N, y ∈ U⊥, z.z.: y = 0
y ∈ H =⇒(v)∃ (yj)j ⊂ U : yj −−−→
j→∞y ====⇒
y ∈ U⊥〈y, yj〉 = 0, j ∈ N y ‖y‖2H = lim
j→∞〈y, yj〉︸ ︷︷ ︸
0
= 0 y y = 0
Bemerkung : H Hilbertraum, dimH =∞, xj , j ∈ N ONB in H y H separabel:
betrachten UQ = spanQ xj , j ∈ N =
m∑
j=1
λjxj : m ∈ N, λj ∈ KQ
abzählbar, UQ = H
jetzt: sei H separabel y ∃ U = hj, j ∈ N ⊂ H : U = H, U abzählbar
o.B.d.A. U linear unabhängig, aber nicht orthogonal y können ONS daraus konstruieren
Lemma 2.37 (Gram-Schmidt51sches Orthogonalisierungsverfahren)Seien H ein Hilbertraum und U = hjj∈N ⊂ H linear unabhängig. Dann existiert ein ONS E = ejj∈N
in H, so dass gelten
spanh1, . . . , hn = spane1, . . . , en für alle n ∈ N, sowie spanU = spanE.
hn ∈ spanh1, . . . , hn−1 ⇐⇒ h1, . . . , hn linear abhängig y Widerspruch
〈un, em〉 = 〈hn, em〉 −n−1∑
k=1
〈hn, ek〉 〈ek, em〉︸ ︷︷ ︸
δkm
= 〈hn, em〉 − 〈hn, em〉 = 0, m = 1, . . . , n− 1
y en ⊥ spane1, . . . , en−1, ‖en‖H = 1, ann =1
‖un‖H> 0
Bemerkung : geometrische Deutung für n = 3, H = ℓ32, d.h. R3 mit euklidischem Skalarprodukt
〈x, y〉 = 〈x, y〉2 =
3∑
j=1
ξjηj , x = (ξ1, ξ2, ξ3), y = (η1, η2, η3)
h1
h2
u2 = h2 − 〈h2, e1〉e1
e2
e1
h3
e3 u3 = h3 − 〈h3, e1〉e1 − 〈h3, e2〉e2
e1〈h2, e1〉e1 〈h3, e1〉e1
e2
〈h3, e2〉e2
Satz 2.38 Sei H ein Hilbertraum mit dimH = ∞. Dann ist H separabel genau dann, wenn eine ONBE = ejj∈N in H existiert. In diesem Fall ist H ∼= ℓ2(N) isometrisch-isomorph.
Be w e i s : nach Vorbemerkungen und Lemma 2.37 klar: H = U ⊂ span(U) = span(E) ⊆ H, ejj∈N ONS=====⇒Satz 2.36
ejj∈N ONB in H
zu H ∼= ℓ2(N): H separabel ∃ xjj ONB in H, betrachten
L : H→ ℓ2(N), x 7→ Lx = 〈x, xj〉j∈N
=======⇒Satz 2.36(iii)
‖x‖H = ‖Lx‖2 y L isometrisch, injektiv, linear, surjektiv: sei (αj)j∈N ∈ ℓ2(N)
y( n∑
j=1
αjxj
)
n∈NCauchy-Folge in H =======⇒
H vollständig∃ x ∈ H : x =
∞∑
j=1
αjxj ==⇒ONS
αj = 〈x, xj〉, j ∈ N
y ∃ x ∈ H : Lx = (αj)j∈N y L isometrischer Isomorphismus
86 2 Lineare und beschränkte Operatoren
Beispiele : Orthogonale Polynome
betrachten gewichtete (reelle) L2-Räume auf (a, b) ⊂ R, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, mit w λ1-messbar,w ≥ 0, sowie w > 0 λ1-f.ü.
〈f, g〉w =
∫ b
a
f(x)g(x)w(x) dx
y orthogonalisieren (reelle) Polynome (Monome) xj, j ∈ N0 bzgl. 〈·, ·〉w mit Gram-Schmidt-Verfahren (Lemma 2.37), gelegentlich andere Normierung üblich (statt ‖en‖H = 1)
• siehe Bemerkung nach Folg. 2.12: für Banachräume gilt i.a. F(X,Y) ( K(X,Y)
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum
2.3.1 Die Fredholmsche Alternative
H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH y id∗ = id,
============⇒Satz 2.41 für A − id
H = R(A− id)⊕N (A∗ − id) = R (A∗ − id)⊕N(A− id)
Lemma 2.47 Seien H ein Hilbertraum, A ∈ K(H). Dann existiert ein c > 0, so dass gilt
‖z‖H ≤ c ‖(A− id)z‖H für alle z ∈ N(A− id)⊥.
Be w e i s : indirekt, Annahme: ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥ : ‖zk‖H > k ‖(A− id)zk‖Ho.B.d.A. ‖zk‖H = 1, k ∈ N y ∀ k ∈ N ∃ zk ∈ N(A− id)⊥, ‖zk‖H = 1 : ‖(A− id)zk‖H < 1
k (25)
A ∈ K(H) =====⇒Def. 2.10
A(UH) = Ax : x ∈ H, ‖x‖H ≤ 1 präkompakt
(Azk)k ⊂ A(UH) y ∃ (Azkr )r∈N ⊂ (Azk)k ∃ y ∈ H : Azkr −−−→r→∞
y
y zkr = Azkr︸ ︷︷ ︸−−−→r→∞
y
− (A− id)zkr︸ ︷︷ ︸
−−−→r→∞
0,(25)
−−−→r→∞
y ==============⇒zkr ∈ N(A − id)⊥ abg.
y ∈ N(A− id)⊥, ‖y‖H = limr→∞
‖zkr‖H = 1
(A− id)y = limr→∞
(A− id)zkr =(25)
0 y y ∈ N(A− id) ∩N(A− id)⊥ = 0, ‖y‖H = 1
Satz 2.48 (Fredholmsche Alternative)
Seien H ein Hilbertraum und A ∈ K(H). Dann gelten folgende Aussagen:
(i) dimN(A− id) <∞
(ii) R(A− id) = R(A− id), d.h. R(A− id) ist abgeschlossen
Bemerkung : (iv) . . . abstrakte Fassung der Fredholmschen Alternative, direkte Formulierung in Folg. 2.49;A− id surjektiv genau dann, wenn A− id injektiv
B e w e i s : zu (i): indirekt, d.h. Annahme: dimN(A− id) =∞========⇒Gram-Schmidt
∃ (ek)k∈N ONS : N(A− id) = spanek, k ∈ N y ∀ k ∈ N : (A− id)ek = 0 ⇐⇒ Aek = ek
y ‖Aek − Aem‖2H = ‖ek − em‖2H =ONS‖ek‖2H + ‖em‖2H = 2, k,m ∈ N, k 6= m
y Aek, k ∈ N nicht präkompakt, aber ek, k ∈ N beschränkt y A /∈ K(H)
94 2 Lineare und beschränkte Operatoren
zu (ii): sei (yk)k ⊂ R(A− id), yk −−−−→k→∞
y ∈ H; z.z.: y ∈ R(A− id)
(yk)k ⊂ R(A− id) y ∃ (xk)k ⊂ H : yk = (A− id)xk
Satz 2.26 mit U = N(A− id) y H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥
y ∀ k ∈ N ∃ ! uk ∈ N(A− id) ∃ ! vk ∈ N(A− id)⊥ : xk = uk + vk
zerlegen H = N(A− id)⊕N(A− id)⊥ y ∀ x ∈ H ∃ ! x1 ∈ N(A− id) ∃ ! x2 ∈ N(A− id)⊥ : x = x1+x2
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 95
setzen L : H→ H mit Lx = L0x1 ∈ R(A− id)⊥, insbesondere Lx =
L0x, x ∈ N(A− id)
0, x ∈ N(A− id)⊥
y L : H→ R(A− id)⊥ =============⇒dimR(A − id)⊥ = n
L ∈ K(H) (Satz 2.11) ======⇒A ∈ K(H)
K = A+ L ∈ K(H)
sei u ∈ N(K− id) y 0 = (K− id)u = Au+Lu−u ⇐⇒ (A− id)u︸ ︷︷ ︸
∈R(A− id)
= −Lu ∈ R(A− id)⊥∩R(A− id) = 0
y (A− id)u = 0 = −Lu y u = 0, da L|N(A− id)= L0 injektiv
y N(K − id) = 0 =======⇒(iv), A = K
R(K − id) = H
L injektiv, nicht surjektiv y ∃ v ∈ R(A− id)⊥ \R(L) ============⇒v ∈ H = R(K − id)
∃ u ∈ H : (K − id)u = v
y (A− id)u︸ ︷︷ ︸
∈R(A− id)
= (K − id)u− Lu = v − Lu︸︷︷︸
∈R(A− id)⊥
∈ R(A− id)⊥ ∩R(A− id) = 0
y (A− id)u = 0 ⇐⇒ v = Lu ∈ R(L) y Annahme falsch, d.h. dimN(A− id) ≥ dimN(A∗ − id)
analog für A↔ A∗ y dimN(A∗ − id) ≥ dimN(A− id) y dimN(A∗ − id) = dimN(A− id)
Bemerkung : • sei U ⊆ H abgeschlossen, H = U ⊕ V 99K codimU := dim V Kodimension von U
• T ∈ L(H) Fredholm-Operator
⇐⇒ R(T ) = R(T ), dimN(T ) <∞, codimR(T ) <∞
T = A− id, A ∈ K(H) =====⇒Satz 2.48
R(T ) = R(T ), codimR(T ) = dimN(T ∗) <∞,
dimN(T ) <∞ y T = A− id Fredholm-Operator
Folgerung 2.49 (Fredholmsche Alternative)
Seien H ein Hilbertraum und A ∈ K(H).
(i) Entweder ist die inhomogene Gleichung
Au− u = v
eindeutig lösbar für alle v ∈ H, oder die homogene Gleichung
Au− u = 0
besitzt nicht-triviale Lösungen.
(ii) Der Raum der Lösungen der homogenen Gleichung ist endlich-dimensional, dimN(A− id) <∞.Falls die homogene Gleichung nicht-triviale Lösungen besitzt, so ist die inhomogene Gleichung
Au− u = v
genau dann lösbar, wenn v ∈ N(A∗ − id)⊥ gilt.
(iii) Wenn die Gleichung Au− u = v eindeutig lösbar ist für alle v ∈ H, so existiert (A− id)−1 ∈ L(H).
Be w e i s : zu (iii): N(A− id) = 0 y N(A− id)⊥ = H = R(A− id)
=======⇒Lemma 2.47
∃ c > 0 ∀ z ∈ H : ‖z‖H ≤ c ‖(A− id)z‖H========⇒y = (A − id)z
∃ c > 0 ∀ y ∈ H : ‖(A− id)−1y‖H ≤ c‖y‖H y (A− id)−1 ∈ L(H)
96 2 Lineare und beschränkte Operatoren
2.3.2 Das Spektrum kompakter und selbstadjungierter Operatoren
Erinnerung: H Hilbertraum, A ∈ L(H), id = idH (Definition 2.14)
• (A) =λ ∈ C : ∃ (A− λ id)−1 ∈ L(H)
Resolventenmenge von A
• σσσ(A) = C \ (A) Spektrum von A
• λ ∈ C Eigenwert von A ⇐⇒ ∃ x0 ∈ H, x0 6= 0 : Ax0 = λx0 ⇐⇒ dimN(A− λ id) ≥ 1x0 ∈ H Eigenvektor zum Eigenwert λ für A
• λ Eigenwert von A der (geometrischen) Vielfachheit k ∈ N ⇐⇒ dimN(A− λ id) = k
• λ Eigenwert y λ ∈ σσσ(A)
• dimH =∞, A ∈ K(H) y 0 ∈ σσσ(A)
Satz 2.50 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H).
(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen Eigenwerten endlicherVielfachheit, die verschieden von 0 sind,
σσσ(A) = 0 ∪ λk, k ∈ N : λk 6= 0, λk Eigenwert zu A, dimN(A− λk id) <∞.
(ii) Falls abzählbar unendlich viele Eigenwerte existieren, so häufen sich diese in 0.
(iii) Es gilt σσσ(A∗) = λ : λ ∈ σσσ(A).
Bemerkung : falls nur endlich viele Eigenwerte λ1, . . . , λm existieren 99K λn := λm, n ≥ m+ 1
Be w e i s : zu (i): 0 ∈ σσσ(A) bekannt; o.B.d.A. λ 6= 0
sei λ ∈ σσσ(A) Eigenwert, λ 6= 0 =======⇒Folg. 2.49(iii)
dimN(1λA− id
)= dimN(A− λ id) <∞
zu (ii): seien (λj)j ⊂ σσσ(A) Eigenwerte von A, z.z.: ∀ r > 0 : #j ∈ N : |λj | ≥ r ≤ nr <∞(99K ∀ r > 0 : #Kr(0) ∩ λj , j ∈ N =∞ y 0 ist einziger Häufungspunkt von (λj)j)
Annahme: ∃ r0 > 0 ∃ (λj)∞j=1 (Teil-) Folge von Eigenwerten mit λj 6= λk, j 6= k, und |λk| ≥ r0 y
y (〈Axnr , xnr 〉)r ⊂ R beschränkt ===========⇒Bolzano-Weierstraß
∃(
xnrk
)
k⊂ (xnr )r ∃ λ0 ∈ R :
⟨
Axnrk, xnrk
⟩
−−−−→k→∞
λ0,∣∣∣
⟨
Axnrk, xnrk
⟩∣∣∣ −−−−→
k→∞‖A‖ y |λ0| = ‖A‖ 6= 0
0 ≤∥∥∥Axnrk
− λ0xnrk
∥∥∥
2
H=
∥∥∥Axnrk
∥∥∥
2
H︸ ︷︷ ︸
≤‖A‖2‖xnrk‖2=|λ0|2
− 2λ0
⟨
Axnrk, xnrk
⟩
+ |λ0|2 ‖xnrk‖2H
︸ ︷︷ ︸
1
≤ 2|λ0|2 − 2λ0
⟨
Axnrk, xnrk
⟩
︸ ︷︷ ︸
−−−−→k→∞
λ0
−−−−→k→∞
0
y y = limk→∞
Axnrk= lim
k→∞
(
Axnrk− λ0xnrk
)
︸ ︷︷ ︸0
+λ0 limk→∞
xnrky ∃ x0 =
y
λ0∈ H : x0 = lim
k→∞xnrk
y ‖x0‖H = limk→∞
‖xnrk‖H = 1, Ax0 = lim
k→∞Axnrk
= y = λ0x0 y λ0 = ±‖A‖ Eigenwert zu x0 ∈ H
Satz 2.52 Seien H ein Hilbertraum mit dimH =∞ und A ∈ K(H) mit A = A∗.
(i) Das Spektrum σσσ(A) besteht aus 0 und höchstens abzählbar unendlich vielen von Null verschiedenenreellen Eigenwerten endlicher Vielfachheit, die sich in 0 häufen.
(ii) Sei (λn)n∈N die Folge aller Eigenwerte, geordnet entsprechend ihrer Vielfachheit und Größe,
|λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · |λn| ≥ · · · ≥ 0, λn −−−−→n→∞
0.
Dann existiert ein ONS (xn)n ⊂ H von Eigenelementen, mit folgenden Eigenschaften:
(a) Axn = λnxn, n ∈ N;
(b) für Hn = spanx1, . . . , xn, n ∈ N, H0 = 0, ist
|λn+1| = supx ∈ H⊥
n‖x‖H = 1
|〈Ax, x〉| = ‖A‖L(H⊥n ), n ∈ N0;
(c) es gilt die Spektraldarstellung für A,
Ax =
∞∑
n=1
λn〈x, xn〉xn, x ∈ H.
(d) Ist λ = 0 kein Eigenwert, so ist (xn)n eine ONB in H, insbesondere ist H dann separabel.
Be w e i s : o.B.d.A. A 6= 0;
1. Schritt: zu (i); Satz 2.50 y g.z.z.: σσσ(A) = 0 ∪ λn, n ∈ N aus (ii), zunächst: λn ∈ σσσ(A), n ∈ N
A∗ = (T ∗T )∗ = T ∗T = A y selbstadjungiert, A = T ∗T ≥ 0:
〈T ∗Tx, x〉 = 〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2H2≥ 0, x ∈ H1
99K√A =
√T ∗T existiert nach Satz 2.64
Definition 2.65 Seien H1, H2 Hilberträume, T ∈ K(H1,H2). Dann bezeichnet man den nach Satz 2.64eindeutig bestimmten positiven, kompakten, selbstadjungierten Operator
∃ (en)n ⊂ H1 ONS von Eigenvektoren, |A|en = snen mit
|A|x =∑
n
sn〈x, en〉H1en, x ∈ H1
2.3 Spektraltheorie kompakter Operatoren im Hilbertraum 111
sei U ∈ L(H1,H2) nach Satz 2.66 zu |A| gegeben
y Ax = (U |A|)x =U ∈ L(H1,H2)
∑
n
sn〈x, en〉 Uen︸︷︷︸
=:fn
=∑
n
sn〈x, en〉H1fn, x ∈ H1
|A|en = snen, n ∈ N y (en)n ⊂ R(|A|) ⊆ N(|A|)⊥
=====⇒Satz 2.66
〈fm, fn〉H2 = 〈Uem, Uen〉H2 =Satz 2.66
〈em, en〉H1 =ONS
δmn y (fn)n ⊂ H2 ONS
Satz 2.64 y (s2n)n Eigenwertfolge von |A|2 = A∗A
Bemerkung : • sk = sk(A) . . . Singulärwerte/singuläre Zahlen von A
• A ∈ K(H1,H2) y |A| ∈ K(H1), |A|∗ = |A|, |A| ≥ 0
=====⇒Satz 2.52
s1 = |s1| =∥∥|A|
∥∥L(H1)
= ‖A∗A‖1/2L(H1)=
Satz 2.41(v)‖A‖
Folgerung 2.68 Seien H1, H2 Hilberträume, A ∈ K(H1,H2). Dann existieren Operatoren V ∈L(H1, ℓ2(N)), W ∈ L(ℓ2(N),H2) und ein Diagonaloperator S ∈ K(ℓ2(N)) mit S : (xj)j 7→ (sjxj)jfür s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn ≥ · · · ≥ 0, lim
n→∞sn = 0, so dass gelten
A = WSVsowie
‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) = ‖W‖L(ℓ2(N),H2) = 1, und ‖S‖L(ℓ2(N)) = ‖A‖L(H1,H2).
Be w e i s : nach Satz 2.67 y ∃ ONS (ek)k ⊂ H1, (fk)k ⊂ H2 ∃ (sk)k monoton fallende Nullfolge:
Ax =∑
k∈N
sk〈x, ek〉H1fk, x ∈ H1
setzen
V : H1 → ℓ2(N), x 7→ (〈x, ek〉H1)k y V ∈ L(H1, ℓ2(N)),
W : ℓ2(N)→ H2, (ξn)n 7→∑
n
ξnfn =====⇒Satz 2.34
∥∥∥W (ξj)j
∥∥∥H2
=ONS‖ (ξj)j ‖ℓ2(N) y W ∈ L(ℓ2(N),H2),
sowie
‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) = 1 : x = ej y ‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) ≥ 1, Satz 2.34 y ‖V ‖L(H1,ℓ2(N)) ≤ 1
‖W‖L(ℓ2(N),H2) = 1 : s.o. y ‖W‖L(ℓ2(N),H2) ≤ 1, ξj = δjk, j ∈ N y ‖W‖L(ℓ2(N),H2) ≥ 1
H1A−−−−→ H2
Vy
xW
ℓ2(N)S−−−→ ℓ2(N)
sei x ∈ H1 y V x = (〈x, ek〉H1)k
y S(V x) = (sk〈x, ek〉H1)k
y W (SV )(x) =∑
k
sk〈x, ek〉H1fk = Ax
y A = WSV ====⇒Satz 2.3
‖A‖L(H1,H2) ≤ ‖W‖L(ℓ2(N),H2)︸ ︷︷ ︸
1
‖S‖L(ℓ2(N)) ‖V ‖L(H1,ℓ2(N))︸ ︷︷ ︸
1
= ‖S‖L(ℓ2(N))
Beispiel nach Folg. 2.12 y S ∈ K(ℓ2(N)), ‖S(xj)j‖ℓ2(N) = ‖(sjxj)j‖ℓ2(N) ≤ supj∈N