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Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria
Coordenadas de puntosSon los puntos coordenados en la celda
unitaria que indican la posicin de los tomos.
Direcciones de una celda unitariaSon vectores unitarios que
indican la posicin de los tomos. Se determinan utilizando una
notacin llamada ndices de Miller, se identifica con las letras h,
k, l
Indices de Miller
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Forma para determinar los ndices de Miller en el sistema
ortogonal
Usar el sistema coordenado de la mano derecha, determinar las
coordenadas de 2 puntos que se encuentren en la direccin.
Realizar la resta entre los dos puntos (cabeza con cola)
Eliminar las fracciones y/o reducir fracciones a los enteros
mnimos.
La direccin se representa entre corchetes. Ej: [1 1 1]Indices de
Miller
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Consideraciones a tener en cuenta en los ndices de Miller para
las direcciones.
Las direcciones son vectores, una direccin y su negativa no son
idnticas. La direccin [100] es diferente a la direccin [-100].
Una direccin y su mltiplo son idnticos. La direccin [100] es
idntica a [200],
Ciertos grupos de direcciones son equivalentes, tienen su ndices
particulares dependiendo de la forma en que se definen las
coordenadas y su origen. Ej. [100] = [010]
Indices de Miller
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Indices de Miller para direcciones (h k l )11-21/2[1-21]x y z1/2
0
Reducir fracciones
(x2) 1 0
[2 1 0] 111/2
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=
[110][-1-10][101][-10-1][011][0-1-1][1-10][-110][10-1][-101][0-1-1][0-11]Familia
de direcciones
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Planos en la celda unitariaPara identificar los planos se
utilizan los ndices de Miller de la siguiente forma:Identificar los
puntos en donde el plano cruza los ejes x, y, z. Si el plano pasa
por el origen del sistema de coordenadas. Este se debe
cambiar.Sacar los recprocos de las interseccionesSimplificar las
fracciones.Encerrar entre parntesis el resultado.
Consideraciones
1.Los planos y sus negativos son idnticos (diferente a las
direcciones). Ej. (020) = (0-20)Los planos y sus mltiplos no son
idnticos. 3. En los sistemas cbicos, una direccin que tiene los
mismos ndices que un plano es perpendicular a ese plano.Indices de
Miller
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(020)TareaDemostrar que la familia de planos {1 1 1} en el
sistema cbico forman un octaedro. (010)1/2
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xzyxzX = 1y = -1z =
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1/32/31Recprocos de la intersecciones x, y, z
3/2 1
Multiplicar x 2 ndices de Miller (6 3 2)
Recprocos de la intersecciones x, y, z
111
ndices de Miller ( 1 1 1) 111
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Estructura Cristalina Hexagonal compacta
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Indices de MillerIndices de Miller para la estructura cristalina
hexagonal compacta (HCP)
Una forma mas sencilla de representar los indices de Miller para
la estructura HCP, es realizar una transformacion a ejes
hexagonales.
Este sistema coordenado tiene cuatro ejes.
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Las direcciones en el sistema hexagonal compacto utiliza tres el
sistema de 3 ejes.
El procedimiento para determinar los ndices de planos es igual
que en el sistema de tres ejes, con la salvedad que requiere de 4
intersecciones, obteniendo ndices de la forma (h i k l).
h, i, k corresponden a las intersecciones de a1, a2 y a3. Las
direcciones se indican con el sistema de 3 o 4 ejes. Conversin de
tres ejes a cuatro
Indices de Miller
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Determinacin de los ndices de Miller en la red Hexagonal
Planos
Determinar las intersecciones de los ejes.Determinar los
inversos de cada interseccinSimplificar fracciones
Direcciones
Determinar dos puntos de la direccinRestar cabeza con
colaSimplificar fracciones
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Plano APlano AInterseccionesa1=a2=1, a3= -1/2,
c=1Inversosa1-1=a2-1, a3-1=-2, c-1=1Indices Miller plano(11-21)
Direccion 1Dos puntos: 0 0 1, 100 0 0 1 1 0 0 = -1 0 1No hay
fracciones reducir[-1 0 1] h k lh= 1/3[(2*-1) (0)] = -2/3K=
1/3[(2*0)-(-1)]=1/3i=-1/3[(-1+0)]=1/3l= 13* [-2/3 1/3 1/3 1] h k i
l[-2 1 1 3] Direccion 1Direccion 1
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Densidad lineal
Cantidad de puntos equivalentes de red por unidad de
longitud.
Densidad lineal es Numero de atomos en la direccion por unidad
de longitud.
Determinar la densidad lineal a lo largo de la direccion [1 1 1]
en la estructura BCC y el adireccion [100] en la estructura
FCCEstructura BCC, [1 1 1]
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Densidad lineal en la direccion [110] para la estructura
FCCDensidad planarCantidad de atomos contenido en un plano. Numero
de atomos por unidad de areal
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Determinar la densidad planar en los planos (0 1 0) y (0 2 0 )
de la estructura cubica simple.
Densidad en el plano (010)Densidad en el plano (020)
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Tabla de direcciones y planos compactos
Comportamiento isotrpico y anisotrpico
Material anisostrpico: Variacin de las propiedades en la
direcciones cristalogrfica.
Material isotrpico:Material que presenta las mismas propiedades
en todas las direcciones cristalogrficas.
Ej: Mdulo de Young o rigidez(E) del aluminio =75.9 Gpa = 63.4
Gpa
EstructuraDireccionesPlanosSCNingunoBCCNingunoFCC{111}HCP, 0
(0001), (0002)
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Distancia interplanar
Corresponde a la distancia entre dos planos adyacentes de tomos
con los mismo ndices (familia de planos).
La distancia entre planos de la misma familia, es un parmetro
nico para cada material.
Relaciona la distancia interplanar con el parmetro de red (a) y
los ndices de Miller (h k l).
Ecuacin de la distancia interplanar de las estructuras
cbicas
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Relacin entre la distancia interplanar y los ndices de Miller de
las estructuras cristalinas
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La relacin entre la energa y la frecuencia de un fotn se
denomina relacin de Planck: 6.626068x1 0-34 [J x s]4.135x 10-15 [eV
x s]Ecuacion de PlanckFotones verdesPremio Nobel de fsica en
1928
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1913: La ley de Bragg permite determinar los ngulos a los que
los rayos X son difractados por un material con estructura atmica
peridica. por los fsicos britnicos William Henry Bragg y su hijo
William Lawrence Bragg. 1915 recibieron el premio Nobel de
Fsica.Difraccin de Rayos X
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es una tcnica utilizada para estudiar la estructura de los
materiales.Henry Bragg (1862- 1942) determin una relacin entre la
distancia interplanar, la longitud de onda de los rayos X y en
ngulo de reflexin.A esta relacin se le conoce como ley de Bragg: es
la mitad del ngulo que forma del haz difractado y el haz
original.Lambda es la longitud de onda de los rayos X d la
distancia interplanar
Difraccin de rayos X
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DRX vidrioDRX cristalDifractorgramas de rayos X.
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Patrn de difraccin de electrones Microscopia electrnica de
transmisinTransformada inversa de Fourier de una imagen realImagen
real de CdTe
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Patrn de difraccin de electrones Microscopia electrnica de
transmisinImagen real de CdTePatrn de difraccin de electrones CdTe,
imagen de la derecha.
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Ejercicio: Determinar el ngulo 2, al difractar el plano (111)
del Cu, cuando se utiliza radiacin de Cu ( = 1,5406 A). El Cu
presenta un parmetro de red de 3,6151 A.
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Sitios intersticialesSon pequeos sitios (espacios vacios) entre
los tomos que forman un estructura cristalina donde se pueden
ubicar tomos mas pequeos. Se les conoce como sitios
intersticiales.
Nmero de coordinacinSitio intersticial2Lineal3Centro de
tringulo4Centro de tetraedro6Centro de octaedro8Centro de cubo
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Sitios Intersticiales Se produce cuando se inserta un tomo en
una estructura cristalina en un espacio producido por dos o mas
tomos en una estructura cristalina. Los tomos intersticiales son de
mayor tamao que los sitios intersticiales, por lo cual la regin
cristalina vecina esta comprimida y distorsionada.
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Sitios octaedricos para la estructura FCCRelacin entre los
radios inico y catinico.
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