2 Geometrie 2.2 Ähnlichkeit Informationen und Tests • Informationen zum Test _______________________________________ 149 • Teste dich! − Ähnlichkeit ______________________________________ 153 Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen • Ähnliche Figuren erkennen ____________________________________ 165 • Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen __________________________ 169 • Streckungen erkennen ________________________________________ 173 • Streckungen im Koordinatensystem erkennen ______________________ 177 • Zentrische Streckungen _______________________________________ 181 • Figuren strecken _____________________________________________ 185 • Streckungen im Koordinatensystem ______________________________ 189 • Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten _________________ 193 • Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen ________________ 197 • Berechnungen mit den Strahlensätzen ____________________________ 201 • Anwendungen zu Strahlensätzen ________________________________ 205 Methoden, Infotexte und Spiele • Der Daumensprung __________________________________________ 211 • Bastelvorlage − Försterdreieck __________________________________ 212 • Bastelvorlage − Pantograph ____________________________________ 214 • Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre __________________________ 215 • Bastelvorlage − Lochkamera ___________________________________ 216 • Vorlagen zur Rastertechnik ____________________________________ 218 Ähnlichkeit
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2 Geometrie 2.2 Ähnlichkeit Ähnlichkeit · 2 Geometrie 2.2 Ähnlichkeit Informationen und Tests Mithilfe der „Teste dich!“-Seiten können die Schülerinnen und Schüler prüfen,
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2 Geometrie
2.2 Ähnlichkeit
Informationen und Tests
• Informationen zum Test _______________________________________ 149 • Teste dich! − Ähnlichkeit ______________________________________ 153
Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen
• Ähnliche Figuren erkennen ____________________________________ 165 • Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen __________________________ 169 • Streckungen erkennen ________________________________________ 173 • Streckungen im Koordinatensystem erkennen ______________________ 177 • Zentrische Streckungen _______________________________________ 181 • Figuren strecken _____________________________________________ 185 • Streckungen im Koordinatensystem ______________________________ 189 • Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten _________________ 193 • Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen ________________ 197 • Berechnungen mit den Strahlensätzen ____________________________ 201 • Anwendungen zu Strahlensätzen ________________________________ 205
Informationen und Tests Mithilfe der „Teste dich!“-Seiten können die Schülerinnen und Schüler prüfen, ob sie den Stoff des Themas verstanden haben und gegebenenfalls Lücken gezielt schließen:
• Die Tests bieten Aufgaben zu den wichtigsten Lernzielen des Themas. • Die Lösungen auf der Rückseite des Tests bieten die Möglichkeit zur Selbstkontrolle. • Vor jedem Test gibt es einen Feedback-Bogen, mit dessen Hilfe die Schülerinnen und Schüler
überprüfen können, wie weit sie die Lernziele des Themas verstanden haben. • Die Tabelle unten bietet Hinweise auf Arbeitsblätter mit vertiefendem Übungsmaterial.
Teste dich! − Ähnlichkeit Tabelle mit Hinweisen auf Arbeitsblätter mit ähnlichen Aufgaben: Aufgabe Stoff Arbeitsblätter mit ähnlichen Aufgaben
1, 2, 3, 4, 7
ähnliche Figuren erkennen und die Eigenschaften ähnlicher Figuren beschreiben
- Ähnliche Figuren erkennen (165)
4, 5, 6 maßstäbliche Abbildungen konstruieren und mit dem Maßstab rechnen
- Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen (169)
4, 6, 9 die Auswirkungen maßstabgetreuer Vergrößerungen und Verkleinerungen auf Winkelgrößen, Streckenlängen und Flächeninhalt beschreiben
- Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen (169)
8 Streckzentrum und Streckfaktor aus Original und Bild einer zentrischen Streckung ermitteln und Eigenschaften zentrischer Streckung nennen
- Streckungen erkennen (173) - Streckungen im Koordinatensystem
erkennen (177)
9, 10 zentrische Streckungen konstruieren
- Zentrische Streckungen (181) - Figuren strecken (185) - Streckungen im Koordinatensystem (189) - Streckungen und Kongruenzabbildungen
verketten (193) 11 Verhältnisgleichungen an
Strahlensatzfiguren aufstellen und den ersten und den zweiten Strahlensatz wiedergeben
- Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen (197)
12, 13 mithilfe der Strahlensätze fehlende Streckenlängen ermitteln
- Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen (197)
- Berechnungen mit den Strahlensätzen (201) 14, 15, 16
die Strahlensätze zum Lösen von Sachaufgaben anwenden
Feedback-Bogen — Jetzt prüfe ich selbst, was ich kann!
Was ich im Kapitel „Ähnlichkeit” gelernt habe:
Ich kann ... Meine Bewertung ähnliche Figuren erkennen und die Eigenschaften ähnlicher Figuren beschreiben.
maßstäbliche Abbildungen konstruieren und mit dem Maßstab rechnen. die Auswirkungen maßstabgetreuer Vergrößerungen und Verkleinerungen auf Winkelgrößen, Streckenlängen und Flächeninhalt beschreiben.
Streckzentrum und Streckfaktor aus Original und Bild einer zentrischen Streckung ermitteln und Eigenschaften zentrischer Streckung nennen.
zentrische Streckungen konstruieren. Verhältnisgleichungen an Strahlensatzfiguren aufstellen und den ersten und den zweiten Strahlensatz wiedergeben.
mithilfe der Strahlensätze fehlende Streckenlängen ermitteln. die Strahlensätze zum Lösen von Sachaufgaben anwenden.
Ich habe noch nicht verstanden: Ich möchte noch üben:
Wie ich die Aufgaben bearbeitet habe:
Meine Bewertung Ich habe die Aufgabenstellungen verstanden. Ich konnte meine Antworten schriftlich formulieren. Ich konnte meine Antworten durch eine Zeichnung ergänzen. Ich konnte zusätzliche Informationen zum Thema finden und nutzen. Ich habe die im Unterricht besprochenen Themen so gut verstanden, dass ich mit ihrer Hilfe Lösungen zu neuen Problemen finden konnte.
Ich konnte die Zeit, die ich für die Bearbeitung der Aufgaben benötigt habe, richtig einschätzen.
Anleitung zum Feedback-Bogen – Wie schätze ich mich selbst ein?
Alles klar!? Die Teste-dich!-Seiten bieten dir eine Möglichkeit zu überprüfen, ob du den Inhalt des Themas verstanden hast und neu erlernte Arbeitstechniken anwenden kannst.
Wieder alles vergessen!? Die meisten Inhalte merkt man sich am besten, wenn man die Zusammenhänge verstanden hat. Einige Inhalte müssen aber auch auswendig gelernt oder häufig geübt werden.
Was kannst du und was weißt du? Bearbeite zuerst alle Aufgaben auf den Teste-dich!-Seiten. Gleiche deine Lösungen mit den Lösungsbogen ab. Aber nicht schummeln! Erst lösen, dann nachschlagen. Ordne deinen Lösungen einen Smiley zu: Ich konnte die Aufgabe richtig lösen. Ich konnte die Aufgabe nicht komplett lösen. Ich konnte die Aufgabe nicht lösen. Auf dem Feedback-Bogen kannst du nun den Lerninhalten jeweils einen Smiley zuordnen: , oder .
Wie gut bist du? Beobachte dich selbst beim Lernen. Konntest du die Aufgaben des Testes lösen? Auf welche Schwierigkeiten bist du gestoßen? Der Feedback-Bogen hilft dir bei deiner Selbsteinschätzung. Verwende wieder die Smileys , und .
Achtung! Die Feedback-Bögen können nicht immer alle Inhalte eines Kapitels abfragen. Sammle die Feedback-Bögen in deinem Hefter. Hast du dich im Laufe der Zeit verbessern können?
1 Welche „k“s sind ähnlich zu dem umrandeten k? Begründe mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren.
2 Wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. a) In ähnlichen Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang. b) Zwei Rechtecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich lang sind. c) Der Maßstab beschreibt ein Verhältnis von Strecken ähnlicher Figuren. d) In ähnlichen Figuren stimmen entsprechende Winkelgrößen überein.
3 Warum ist Figur A nicht ähnlich zur Figur B? Nenne mehrere Gründe.
1 Welche „k“s sind ähnlich zu dem umrandeten k? Begründe mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren.
Die grauen „k”s sind ähnlich zum
markierten „k”, da sie die gleiche
Form haben und sich nur in der
Größe unterscheiden.
2 Wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. a) In ähnlichen Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang. Falsch. Ähnliche Figuren können verschieden groß sein. b) Zwei Rechtecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich lang sind. Wahr. Beim maßstäblichen Vergrößern oder Verkleinern ändern sich die Seitenverhältnisse nicht. c) Der Maßstab beschreibt ein Verhältnis von Strecken ähnlicher Figuren. Wahr. Der Maßstab gibt an, wie entsprechende Seiten gestreckt oder gestaucht werden. d) In ähnlichen Figuren stimmen entsprechende Winkelgrößen überein. Wahr. Beim maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern ändern sich die Winkelgrößen nicht.
3 Warum ist Figur A nicht ähnlich zur Figur B? Nenne mehrere Gründe.
Beispiel: Die Grundlinie ist gleich lang
geblieben, aber die Höhe hat sich
veranderthalbfacht.
Die Streckenverhältnisse stimmen nicht überein. Die entsprechenden Winkel sind nicht gleich groß.
4 Zeichne folgende Rechtecke: R1 mit a = 12 cm; b = 8 cm und R2 mit a = 9 cm; b = 6 cm. Verwende dazu die Rückseite dieses Blattes.
a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Bestimme gegebenenfalls den Maßstab. b) Bestimme jeweils die Flächeninhalte und vergleiche sie miteinander.
5 Berechne die fehlenden Größen (a = Originalgröße; b = Bildgröße; k = Maßstab). a) a = 20 cm; b = 25 mm; k =
b) a = ; b = 4 cm; k = 1 : 25 000
c) a = 32 m; b = ; k = 3 : 4000 6 Bestimme jeweils den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor. a) Ein DIN A5-Arbeitsblatt soll auf dem Fotokopierer auf DIN A4-Format vergrößert
werden. b) Ein DIN A3-Arbeitsblatt soll auf DIN A4-Format verkleinert werden.
7 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen der Katheten a und b bekannt.
Welche der Dreiecke A’B’C’ sind zu ABC ähnlich? a) a = 3 cm; b = 5 cm
4 Zeichne folgende Rechtecke: R1 mit a = 12 cm; b = 8 cm und R2 mit a = 9 cm; b = 6 cm. Verwende dazu die Rückseite dieses Blattes.
a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Bestimme gegebenenfalls den Maßstab. b) Bestimme jeweils die Flächeninhalte und vergleiche sie miteinander. a) Die Rechtecke sind ähnlich. Der Maßstab ist 4 : 3 bzw. 1 : 4
3 .
b) A1 = 96 cm2; A2 = 54 cm2; A2 ist um ( 4
3 )2 bzw. k2 kleiner als A1.
5 Berechne die fehlenden Größen (a = Originalgröße; b = Bildgröße; k = Maßstab). a) a = 20 cm; b = 25 mm; k = 1 : 8
b) a = 1 km ; b = 4 cm; k = 1 : 25 000
c) a = 32 m; b = 2,4 cm ; k = 3 : 4000
6 Bestimme jeweils den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor. a) Ein DIN A5-Arbeitsblatt soll auf dem Fotokopierer auf DIN A4-Format vergrößert
werden. b) Ein DIN A3-Arbeitsblatt soll auf DIN A4-Format verkleinert werden. a) k = 2 ;
b) k =21 =
21
7 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen der Katheten a und b bekannt.
Welche der Dreiecke A’B’C’ sind zu ABC ähnlich? a) a = 3 cm; b = 5 cm
8 Zeichne die Dreiecke ABC und A’B’C’ mit A(0 | 1), B(3 | 3), C(1 | 5) und A’(6 | −3), B’(15 | 3), C’(9 | 9) in das Koordinatensystem ein.
a) Liegt eine zentrische Streckung vor? Begründe deine Antwort. a) Die Seitenverhältnisse stimmen in beiden Dreiecken überein, also liegt eine zentrische Streckung vor. b) Gib gegebenenfalls den Streckfaktor und das Streckzentrum an. b) Streckfaktor k = 3, Streckzentrum Z(−3 | 3)
9 Führe an Z eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 0,5 bzw. k = −1,5 durch.
Wie wirkt sich die zentrische Streckung jeweils aus auf a) die Winkelgrößen? a) Die Winkelgrößen verändern sich nicht.
b) die Seitenlängen? b) Die Seitenlängen ändern sich um den jeweiligen
Streckfaktor.
c) den Flächeninhalt? c) Der Flächeninhalt ändert sich um k2.
10 Zeichne das Fünfeck ABCDE mit A(3 | 5), B(2 | 4), C(2 | 2), D(4 | 2) und E(4 | 4). Führe an Z(0 | 0) eine zentrische Streckung mit den angegebenen Streckfaktoren durch.
a) k = 0,5 b) k = 1,5 c) k = −1 d) k = −0,75
11 Stelle alle Verhältnisgleichungen auf, die nach dem 1. und 2. Strahlensatz gelten.
12 Berechne die fehlenden Streckenlängen.
a) a = 8,4 cm; g = 14 cm; d = 4 cm; e = 7,2 cm b) b = 5,4 cm; c = 16 cm; h = 25 cm; f = 22,5 cm
10 Zeichne das Fünfeck ABCDE mit A(3 | 5), B(2 | 4), C(2 | 2), D(4 | 2) und E(4 | 4). Führe an Z(0 | 0) eine zentrische Streckung mit den angegebenen Streckfaktoren durch.
a) k = 0,5 b) k = 1,5 c) k = −1 d) k = −0,75
11 Stelle alle Verhältnisgleichungen auf, die nach dem 1. und 2. Strahlensatz gelten.
RMRS =
QPQS ;
SQSP =
SRSM ;
MRSM =
PQSP ;
MPRQ =
MSRS ;
MPRQ =
PSQS
12 Berechne die fehlenden Streckenlängen.
a) a = 8,4 cm; g = 14 cm; d = 4 cm; e = 7,2 cm a) b = 5,6 cm; c = 6 cm; f = 12 cm; h = 10 cm b) b = 5,4 cm; c = 16 cm; h = 25 cm; f = 22,5 cm
der Öffnung einer Lochkamera entfernt. Wie weit muss die Rückwand der Lochkamera von der Öffnung entfernt sein, damit das Bild mindestens 10 cm groß ist?
15
Bestimme die Breite des Flusses.
16 Beschreibe, wie man mithilfe eines Stabes und eines Maßbandes bei Sonnenschein die
Berechne die fehlenden Längen. 13 a = 6,25 cm; b = 4 cm;
c = 7,5 cm; d = 6 cm
14 Eine 16 cm lange Kerze steht 40 cm von
der Öffnung einer Lochkamera entfernt. Wie weit muss die Rückwand der Lochkamera von der Öffnung entfernt sein, damit das Bild mindestens 10 cm groß ist?
Die Rückwand muss mindestens 25 cm von der Öffnung entfernt sein. 15 Bestimme die Breite des Flusses.
Der Fluss ist etwa 30,1 m breit.
16 Beschreibe, wie man mithilfe eines Stabes und eines Maßbandes bei Sonnenschein die
Höhe eines Gebäudes bestimmen kann. Wenn der Stab so aufgestellt
wird, dass sein Schatten mit dem
des Hauses zusammenfällt wie in
der Skizze, kann man mit dem
zweiten Strahlensatz die Höhe
des Hauses berechnen. Die Höhe des Stabes und die Schattenlängen lassen sich mit dem Maßband ermitteln.
Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen Alle Arbeitsblätter liegen in zwei Niveaustufen vor: Niveau 2 zielt auf das Grundniveau, Niveau 1 stellt ein Differenzierungsangebot für schwächere Schülerinnen und Schüler dar. Die Niveaustufe 1 bietet gleiche Inhalte und ähnliche Aufgaben wie Niveaustufe 2, verwendet aber einfacheres Zahlenmaterial und gibt zusätzlich Hilfestellungen. Beide Arbeitsblätter können parallel im Unterricht eingesetzt werden. Inhalt:
• Ähnliche Figuren erkennen ______________________________________________ 165 • Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen ____________________________________ 169 • Streckungen erkennen __________________________________________________ 173 • Streckungen im Koordinatensystem erkennen ________________________________ 177 • Zentrische Streckungen _________________________________________________ 181 • Figuren strecken _______________________________________________________ 185 • Streckungen im Koordinatensystem _______________________________________ 189 • Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten ___________________________ 193 • Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen __________________________ 197 • Berechnungen mit den Strahlensätzen ______________________________________ 201 • Anwendungen zu Strahlensätzen __________________________________________ 205
1 Markiere mindestens drei unterschiedliche Figuren. Wie viele ähnliche Figuren gibt es jeweils zu der Figur?
z.B.: 2 regelmäßige Sechseck in der Mitte und großes Sechseck; gleichseitige Dreiecke (20 Stück); Kreisausschnitte mit der Winkelgröße 60° (6 Stück)
2 Welche Figuren sind ähnlich?
Begründe deine Antwort. und ; und Bei den ähnlichen Figuren stimmen jeweils alle Winkel- größen überein und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten sind gleich groß.
3 Sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke
zueinander ähnlich? Begründe.
Die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse der Seiten und die beiden übrigen Winkel nicht übereinstimmen.
Streckungen im Koordinatensystem erkennen (Niveau 1)
1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (4 | 4); B (6 | 4) und C (5 | 6) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Dreiecke durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.
a) D (2 | 2); E (3 | 2); F (2,5 | 3) b) G (8 | 8); H (10 | 8); I (9 | 10,5) c) J (8 | 4); K (12 | 4); L (10 | 8) d) M (4,5 | 2); N (5,5 | 2); O (5 | 3)
Streckungen im Koordinatensystem erkennen (Niveau 1)
1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (4 | 4); B (6 | 4) und C (5 | 6) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Dreiecke durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.
a) D (2 | 2); E (3 | 2); F (2,5 | 3) b) G (8 | 8); H (10 | 8); I (9 | 10,5) ja Nein, es stimmen nicht alle Za = (0 | 0) Seitenverhältnisse der Dreiecke ka = 0,5 überein. c) J (8 | 4); K (12 | 4); L (10 | 8) d) M (4,5 | 2); N (5,5 | 2); O (5 | 3) ja ja Zc = (0 | 4) Zd = (5 | 0) kc = 2 kd = 0,5
Streckungen im Koordinatensystem erkennen (Niveau 2)
1 Zeichne das Viereck ABCD mit A (1 | 1); B (2 | 2); C (3 | 2) und D (0 | 3) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Vierecke durch zentrische Streckung aus dem Viereck ABCD entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.
a) E (−0,5 | −2); F (2 | 0,5); G (4,5 | 0,5); H (−3 | 3)
b) I (−3,5 | −3,5); J (−4 | −4); K (−4,5 | −4); L (−3 | −4,5)
c) M (1 | −2); N (4,5 | 2); O (6,5 | 2); P (−2 | 5) d) Q (−4,5 | −1); R (−3,5 | 0); S (−2,5 | 0); T (−5,5 | 1)
Streckungen im Koordinatensystem erkennen (Niveau 2)
1 Zeichne das Viereck ABCD mit A (1 | 1); B (2 | 2); C (3 | 2) und D (0 | 3) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Vierecke durch zentrische Streckung aus dem Viereck ABCD entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.
a) E (−0,5 | −2); F (2 | 0,5); G (4,5 | 0,5); H (−3 | 3)
b) I (−3,5 | −3,5); J (−4 | −4); K (−4,5 | −4); L (−3 | −4,5)
ja ja Za = (2 | 3) Zb = (−2 | −2) ka = 2,5 kb = −0,5 c) M (1 | −2); N (4,5 | 2); O (6,5 | 2); P (−2 | 5) d) Q (−4,5 | −1); R (−3,5 | 0); S (−2,5 | 0); T (−5,5 | 1) Nein, es stimmen nicht alle Das Viereck wurde verschoben. Seitenverhältnisse der Vierecke überein.
1 Strecke das Viereck ABCD. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.
a) Za (0 | 0); ka = 0,5 b) Zb (0 | 0); kb = 2 A´ B´ A´´ B´´ C´ D´ C´´ D´´ c) Zc (−4 | 0); kc = 2 d) Zd (−2 | 2); kd = −1 A´´´ B´´´ A´´´´ B´´´´ C´´´ D´´´ C´´´´ D´´´´
1 Strecke das Viereck ABCD. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.
1 Strecke das Fünfeck ABCDE. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.
a) Za (0 | 0); ka = 3 b) Zb (−6 | −2); kb = 0,5 A´ B´ A´´ B´´ C´ D´ C´´ D´´ E´ E´´
1 Strecke das Fünfeck ABCDE. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.
Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten (Niveau 1)
1 Wie können die Figuren auseinander hervorgegangen sein? Zeichne gegebenenfalls Streckzentrum, Spiegelachse, Drehpunkt, … ein.
z.B.: a) Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 2; dann Achsenspiegelung an g. z.B.: b): Streckung an Z mit k = 2; Drehung um 90° an Z
2 Ähnliche Dreiecke a) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze für Dreiecke, dass die Dreiecke ABC und DEF
zueinander ähnlich sind.
ABC = EFD = 90°; AB :DF= 3 : 1,5 = 2 : 1 =BC :EF Daraus folgt ∆ABC ist ähnlich zu ∆DEF, nach dem Ähnlichkeitssatz sws. b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet.
Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden? Ja, z.B. zuerst eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum B und dem Streckfaktor k=
Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten (Niveau 2)
1 Wie können die Figuren auseinander hervorgegangen sein? Zeichne gegebenenfalls Streckzentrum, Spiegelachse, Drehpunkt, … ein.
z.B.: a) Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 2; dann Achsenspiegelung an g. z.B.: b): Streckung an Z mit k = 2; Drehung um 90° an P; Verschiebung um den Verschiebungspfeil r . 2 Ähnliche Dreiecke a) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze für Dreiecke, dass die Dreiecke ABC und DEF
zueinander ähnlich sind.
BAC = EDF = 90°; AB :DF= 3 : 2 = 6 : 4 =AC :DE Daraus folgt ∆ABC ist ähnlich zu ∆DEF, nach dem Ähnlichkeitssatz sws. b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet.
Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden? Ja, z.B. zuerst eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum A und dem Streckfaktor k=
1 Eine Rampe kann zum Entladen von Containern in verschiedenen Stufen ausgefahren werden. Bei einer Länge der Schrägen von 15,0 m wird eine Höhe von 2,5 m erreicht.
a) Die Schräge wird auf eine Länge von 9 m ausgefahren. Welche Höhe wird erreicht?
b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um eine Höhe von 2 m zu erreichen?
2 Ein kegelförmiges Kelchglas mit einem inneren Randdurchmesser von 6,5 cm und einer
inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe mit Wasser gefüllt. Wie viel Kubikzentimeter Wasser sind dann in dem Glas?
1 Eine Rampe kann zum Entladen von Containern in verschiedenen Stufen ausgefahren werden. Bei einer Länge der Schrägen von 15,0 m wird eine Höhe von 2,5 m erreicht.
a) Die Schräge wird auf eine Länge von 9 m ausgefahren. Welche Höhe wird erreicht?
x : 9 m = 2,5 m : 20 m; x = 1,5 m
Eine Höhe von 1,5 m wird erreicht.
b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um eine Höhe von 2 m zu erreichen? x : 2 m = 15 m : 2,5 m; x = 12 m
Die Schräge muss auf 12 m ausgefahren werden.
2 Ein kegelförmiges Kelchglas mit einem inneren Randdurchmesser von 6,5 cm und einer
inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe mit Wasser gefüllt. Wie viel Kubikzentimeter Wasser sind dann in dem Glas?
Hinweis: VKegel = 31 πr2 · h
Die Menge des halb gefüllten Glases nimmt den Raum eines Kegels mit
8 cm Höhe ein. Der Durchmesser von 3,25 cm lässt sich mithilfe der
Strahlensätze berechnen.
Kegel des halb gefüllten Glases: G ≈ 8,30 cm2; V ≈ 22,11 cm3
1 Eine Rampe kann zum Entladen von Containern in verschiedenen Stufen ausgefahren werden. Bei einer Länge der Schrägen von 15,0 m wird eine Höhe von 2,5 m erreicht.
a) Würde ein Ausfahren der Schrägen auf 4,0 m reichen, um einen 80 cm hoch stehenden Container zu entladen?
b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um stufenlos einen Container in einer
Höhe von 1,2 m zu entladen?
2 Ein kegelförmiges Kelchglas mit einem inneren Randdurchmesser von 6,5 cm und einer
inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe gefüllt. Wie viel Prozent des maximal in das Glas einzufüllenden Volumens entspricht diese Menge?
1 Eine Rampe kann zum Entladen von Containern in verschiedenen Stufen ausgefahren werden. Bei einer Länge der Schrägen von 15,0 m wird eine Höhe von 2,5 m erreicht.
a) Würde ein Ausfahren der Schrägen auf 4,0 m reichen, um einen 80 cm hoch stehenden Container zu entladen?
x : 4 m = 2,5 m : 15 m; x ≈ 0,67 m
Ein Ausfahren der Rampe auf 4,0 m reicht nicht, denn die erreichte Höhe
beträgt nur etwa 67 cm.
b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um stufenlos einen Container in einer Höhe von 1,2 m zu entladen?
x : 1,2 m = 15 m : 2,5 m; x = 7,2 m
Die Schräge muss auf 7,2 m ausgefahren werden.
2 Ein kegelförmiges Kelchglas mit einem inneren Randdurchmesser von 6,5 cm und einer
inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe gefüllt. Wie viel Prozent des maximal in das Glas einzufüllenden Volumens entspricht diese Menge?
Die Menge des halb gefüllten Glases nimmt den Raum eines Kegels mit
8 cm Höhe ein. Der Durchmesser von 3,25 cm lässt sich mithilfe der
Strahlensätze berechnen.
Kegel des halb gefüllten Glases: G ≈ 8,29 cm2; V ≈ 22,11 cm3
Kegel des ganz gefüllten Glases: G ≈ 33,17 cm2; V ≈ 176,89 cm3
Die Menge des halb gefüllten Glases entspricht 12,5 % der Menge, die
Methoden, Infotexte und Spiele Die Methoden, Infotexte und Spiele dienen der Einführung, der Wiederholung und der Festigung von mathematischen Inhalten. Die Hinweise auf dieser Seite bieten unter anderem Anregungen wann die Materialien im Unterricht eingesetzt werden können. Inhalt:
• Der Daumensprung; Bastelvorlage − Försterdreieck; Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre: Einige Messgeräte und Messtechniken machen sich die Strahlensätze zunutze. Beispiele hierfür bieten die Bastelvorlagen und der Infotext.
• Bastelvorlage − Pantograph:
Mit einem Pantographen oder auch Storchenschnabel können Zeichnungen vergrößert und verkleinert werden. Auch der Pantograph macht sich die Strahlensätze zunutze. Die Bastelvorlage bietet eine einfache Version eines Pantographen.
• Bastelvorlage − Lochkamera:
Mithilfe von Lochkameras können die Strahlensätze veranschaulicht werden. „Wie verändert sich das Bild, wenn man sich vom Gegenstand entfernt bzw. sich dem Gegenstand nähert?“; „Warum erscheint das Bild auf dem Kopf?“; … Das Arbeitsblatt bietet eine einfache Bastelvorlage für eine Lochkamera.
• Vorlagen zur Rastertechnik:
Mithilfe der Rastertechnik können Bilder leicht maßstabsgetreu abgezeichnet werden. Mit ihrer Hilfe kann die zentrische Streckung eingeführt und der Maßstab wiederholt werden. Das Arbeitsblatt enthält Vorlagen zum Abzeichnen und entsprechende Raster zum Vergrößern und Verkleinern.
Visierst du deinen Daumen am ausgestreckten Arm einmal mit dem linken und einmal mit dem rechten Auge an, so scheint der Daumen hin und her zu springen. Diesen Effekt kannst du nutzen, um die Entfernung zu einem Gegenstand zu bestimmen, dessen Breite du kennst oder gut schätzen kannst. Dazu musst du den Abstand deiner Pupillen und den Abstand deines Daumens von deinen Augen kennen.
Material: Maßband 1 Miss die Breite des Gegenstands aus, zu dem die Entfernung bestimmt
werden soll. 2 Stell dich nun in einer gewissen Entfernung zum Gegenstand auf und
visiere mit dem linken Auge seine rechte Seite an. Wechsle dann auf das rechte Auge. Schätze die Strecke, die dein Daumen „überspringt“.
3 Berechne jetzt deine Entfernung zum Gegenstand. Die Nebenstehende
Zeichnung hilft dir dabei. Welche Längen sind mit den Bezeichnungen a, d, e und s gemeint?
4 Stelle eine Formel auf, mit der die Entfernung eines Objekts in Ab-
hängigkeit von deinen Körperdaten – also deinem Augenabstand und dem Abstand vom Auge zum Daumen – bestimmt werden kann.
Material: Wollfaden (circa 30 cm), Schraube oder ähnlicher Gegenstand (dient zum Beschweren des Fadens), Klebeband
Klebe das Dreieck auf starke Pappe und schneide es mit Halter aus. Befestige die Schraube an einem Ende des Wollfadens. Klebe das andere Ende des Wollfadens am markierten Punkt auf das Dreieck. Fertig ist das Försterdreieck!
Klebe die Bastelvorlage auf Karton und schneide die einzelnen Bauteile sorgfältig aus.Verbinde die Bauteile an den gekenn-zeichneten Löchern mit Postklammern, dass du eine Figur wie auf dem Foto erhältst. Fixiere den Pantographen am schwarzen Punkt auf dem Untergrund.
Klebe die Vorlagen für den Messkeil und die Messlehre auf Pappe und schneide sie aus. Beschreibe, wie man mit dem Messkeil und der Messlehre die Weite einer Öffnung bzw. die Dicke eines Stabes messen lässt. Führe verschiedene Messungen durch. Messkeil
Bau einer Lochkamera Material: Vorlage für die Lochkamera aus Pappe, Transparentpapier-Quadrat, Stecknadel Durchführung: Schneide aus dem Karton die Lochkamera aus. Die weißen Rechtecke sind Klebekanten. Schneide diese Klebekanten auseinander.
Klebe die Lochkamera wie folgt zusammen. Achtung! Dabei müssen die schwarzen Flächen innen sein.
Steche in die Mitte der Vorderseite ein kleines Loch mit der Stecknadel. Klebe nun auf die Rückseite Transparentpapier oder Butterbrotpapier.
Verkleinere die Schnecke mithilfe der beiden Gitter auf der Vorlage. Wie stark ist die Schnecke geschrumpft?
Zeichne eigene Raster und übertrage die Motive darauf. Du kannst auch eigene Bilder (z.B. aus Zeitschriften, von Fotos) mithilfe der Rastertechnik zeichnen. Dafür musst du über den Bereich, der abgezeichnet werden soll ein Raster legen.