FRONTE D'ONDA
FRONTE D'ONDA
Fronte d'onda è il luogo geometrico dei punti dello spazio che, in un dato istante, è raggiunto dalla perturbazione ondosa generata dalla sorgente, cioè che vibrano concordemente, in modo tale che per ciascuno di essi lo spostamento dalla posizione di equilibrio assuma lo stesso valore in ogni istante.
Ovviamente considerando istanti differenti otterremo fronti d'onda differenti. Scegliendo in modo opportuno i vari istanti in cui "fotografare" i fronti d'onda (ad esempio tutti a distanza di un periodo) possiamo ottenere una descrizione dell'onda particolarmente efficace
In un mezzo omogeneo e isotropo (che presenta le stesse proprietà fisiche in tutti i punti e lungo tutte le direzioni) la direzione di propagazione è sempre perpendicolare al fronte d'onda.
Per identificare la direzione di propagazione si utilizzano i raggi (rette perpendicolari ai fronti d'onda)
I fronti d'onda possono avere forme diverse:
●Onde piane
●Onde circolari
●Onde sferiche
fronte d'onda piano: i raggi sono tutti paralleli tra loro
fronte d'onda curvilineo: i raggi sono tutti paralleli tra loro
fronte d'onda circolare: la sorgente delle onde è un punto al centro
COME SI DESCRIVE UN'ONDALa descrizione completa di un'ondasi presenta complessa per duemotivi: • l'onda è un fenomeno esteso nello spazio e variabile nel tempo;
• esiste una grande varietà di onde che differiscono sia per la natura di "ciò che oscilla", sia per il "modo in cui ciò lo fa"
Il problema può essere superato
introducendo una funzione
matematica ψ(x;t) detta funzione d'onda, dipendente dal tempo e dalla
distanza dalla sorgente.
Esaminiamo un caso molto
semplice: quello di un singolo
impulso che si propaga in una
corda senza cambiamento di
forma.
Immaginiamo di avere una corda in cui il punto di sinistra (che chiameremo S come sorgente, in rosso) sia forzato a muoversi in direzione y perpendicolare alla corda secondo una certa legge oraria ψ(0;t).
L'interpretazione fisica della funzione d'onda è:
spostamento verticale dei punti della
corda rispetto alla posizione non
perturbata della corda stessa.
Ci chiediamo quale sarà la legge oraria con cui si spostano i punti della corda posti a distanza x dalla sorgente.
(uno di questi punti è evidenziato in blu nell'animazione)
Indicheremo tale legge oraria con y=ψ(x;t).Al tempo t = 0 possiamo scattare una fotografia dell'onda: avremo la funzione ψ(x;0).
Scattiamo un'altra fotografia dopo un intervallo Δt . Avremo la funzione ψ(x;Δt).
ψ(x,Δt)=ψ(x-Δx,0)ma Δx=vΔt con v=velocità di traslazione
ψ(x,Δt)=ψ(x-vΔt,0)
ψ(x,t)=ψ(x-vt,0)In un generico istante t la funzione d'onda ha equazione:
Si parla di onda periodica se il moto
della sorgente è un moto periodico.
La funzione d'onda della sorgente
ψ(0;t) è periodica.
ONDE PERIODICHE
Essendo valida la relazione ψ(x,t)=ψ(x-vt,0)
ci aspettiamo che la funzione d'onda ψ(x,t) sia anch'essa una funzione periodica, cioè tale che ψ(x,t)=ψ(x,t+kT) k Є Z
Se la sorgente oscilla seguendo la
legge del moto armonico si parla di
onda armonica
ONDE PERIODICHE ARMONICHE
GRANDEZZE CARATTERISTICHE DELLE ONDE ARMONICHE
LUNGHEZZA D'ONDA ( λ )la distanza tra due fronti d'onda misurata in direzione perpendicolare ai fronti d'onda stessi (distanza tra due creste o due gole)
AMPIEZZA ( A): il massimo spostamento di unpunto oscillante dalla sua posizionedi equilibrio.PERIODO ( T ) : l'intervallo di tempo che intercorre trafra due massimi (o minimi) consecutivi dell'oscillazione di un qualsiasi punto del mezzo in cui l'onda si propaga
FREQUENZA ( f ): il reciproco del periodo(è il numero di volte che un punto del mezzo oscilla nell'unità di tempo)
VELOCITA' di propagazione di un'onda ( v ) :
il rapporto fra la lunghezza d'onda e il periodo dell'onda
Tv λ=
Prendiamo in considerazione onde unidimensionali (si propagano in una sola direzione) longitudinale o trasversale.
Supponiamo che all'istante t=0 il profilo dell'onda di ampiezza A e lunghezza λ sia una funzione di equazione:
EQUAZIONE DI UN'ONDA ARMONICA
( )
λπ⋅=ψ xcosA;x 20
( ) ( )
−
λπ⋅=−ψ=ψ vtxcosA)t;vtx(t;x 2
All'istante t la curva è traslata verso destra di x=vt, allora l'equazione della funzione d'onda è:
λ−
λπ⋅= vtxcosA 2
Poiché allora
l'equazione della funzione d'onda si può scrivere così:
Tv λ=
( )
−
λπ⋅=ψ
TtxcosAt;x 2
Tv 1=λ
Oss: se la velocità di propagazione è verso sinistra (rispetto al verso positivo dell'asse x) l'equazione diventa:
( )
+
λπ⋅=ψ
TtxcosAt;x 2
Ricordando le formule degli angoli opposti anche le seguenti equazioni rappresentano le funzioni d'onda di un'onda che si propaga:
( )
+
λ−π⋅=ψ
TtxcosAt;x 2 verso destra
verso sinistra ( )
−
λ−π⋅=ψ
TtxcosAt;x 2
Utilizzando la pulsazione ω= 2π/T e il numero d'onda k=2π/λ (=periodicità dell'onda nello spazio), l'equazione si può scrivere:
( ) ( )tkxcosAt;x ω−⋅=ψ
vT
Tk 122 ⋅ω=
λ⋅π=
λπ=
vk ω=
mrad
Si chiama fase dell'onda ed è una quantità adimensionale espressa in radianti.
tkx ω−
La sua forma più generale è:α+ω− tkx
α è la fase dell'onda per x=0 e t=0
Nell'equazione
la fase α è nulla.
( ) ( )tkxcosAt;x ω−⋅=ψ
( )tkxsenA ω−⋅=
Se, per es. α = - π/2, l'equazione dell'onda è:
( ) =
π−ω−⋅=ψ
2tkxcosAt;x
Le due curve risultano sfasate di - π/2