1 Interludio: El Movimiento Armónico Simple (MAS) 1. Definición Es el movimiento oscilatorio de la proyección sobre el diámetro cualquiera de un punto que se mueve con movimiento circular uniforme, según se muestra en la Fig. 1.1. Fig. 1 (a) Representaciones del MAS: aun cuando el móvil emplea el mismo tiempo en ir de un punto a otro, los espacios recorridos en tiempos iguales son tanto mayores cuanto más próximo a su posición de equilibrio se encuentra el móvil, es decir, en el MAS, la velocidad del móvil es tanto mayor cuanto más lejos se encuentra el móvil de los extremos de su trayectoria, siendo nula en esos puntos y máxima en el centro. Las líneas verticales representan las proyecciones de cada posición de la partícula sobre la recta AB. (b) y (c) Las flechas señalan el movimiento en cuestión. (d) Gráfica del movimiento de la proyección. (e) El movimiento de un sistema masa-resorte también se mueve con MAS. (a) (b) (c) Sombra con MAS (d) Aquí, la velocidad es cero y la aceleración es máxima. Aquí, la velocidad es cero y la aceleración es máxima Aquí, la velocidad es máxima y la aceleración es cero. O Posición de equilibrio x Longitud de onda () Amplitud A MCU ¡ Importante: el MAS no es un movimiento circular uniforme ¡ como puede apreciarse por la gráfica. + Elongación Longitu (e) MAS Proyección Proyección ortogonal P P’
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Interludio: El Movimiento Armónico Simple (MAS)
1. Definición
Es el movimiento oscilatorio de la proyección sobre el diámetro cualquiera de un punto que se
mueve con movimiento circular uniforme, según se muestra en la Fig. 1.1.
Fig. 1 (a) Representaciones del MAS: aun cuando el móvil emplea el mismo tiempo en ir de un
punto a otro, los espacios recorridos en tiempos iguales son tanto mayores cuanto más próximo a
su posición de equilibrio se encuentra el móvil, es decir, en el MAS, la velocidad del móvil es
tanto mayor cuanto más lejos se encuentra el móvil de los extremos de su trayectoria, siendo nula
en esos puntos y máxima en el centro. Las líneas verticales representan las proyecciones de cada
posición de la partícula sobre la recta AB. (b) y (c) Las flechas señalan el movimiento en cuestión.
(d) Gráfica del movimiento de la proyección. (e) El movimiento de un sistema masa-resorte
también se mueve con MAS.
(a) (b) (c)
Sombra
con MAS
(d)
Aquí, la velocidad es
cero y la aceleración
es máxima.
Aquí, la velocidad es cero
y la aceleración es máxima
Aquí, la velocidad es máxima
y la aceleración es cero.
O
Posición de equilibrio
x
Longitud de onda ()
Amplitud
A
MCU
¡ Importante: el MAS no es un
movimiento circular uniforme ¡
como puede apreciarse por la
gráfica.
+
Elongación
Longitu
(e)
MAS
Proyección
Proyección
ortogonal P
P’
2
La explicación del movimiento de la “sombra” proyectada por el movimiento de la partícula con
MCU, sobre el diámetro según se muestra en la Fig. 1, es la siguiente:
1. Se proyecta el movimiento de la partícula P (mostrado en la Fig. 1a), sobre el diámetro ,
donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro. P' se mueve con movimiento
oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo
de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo
largo del diámetro AB , es decir, cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación
sobre el diámetro. Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P, su
proyección ortogonal sobre el diámetro determina igualmente la posición, velocidad y
aceleración de P'.
2. Cuando el móvil va de A a O o de B a O, su movimiento es acelerado (+a); mientras va de O
a A o de O a B, su movimiento es retardado (a) por alejarse del centro.
3. En el MAS, el movimiento es acelerado siempre que el móvil se dirige hacia el centro o su
posición de equilibrio y retardado siempre que se aleja de ella.
4. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues
constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza
y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que
lo define es función del seno o del coseno.
5. El movimiento armónico simple se puede estudiar desde el punto de vista de la cinemática, la
dinámica y la energía.
6. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los
tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que
realizan los cuerpos elásticos.
7. Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables
del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir se repiten los
valores de las magnitudes que lo caracterizan.
8. Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en
los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un
mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene sobre
una misma trayectoria.
9. Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y tiene su origen en el
punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son
iguales.
3
10. Un movimiento vibratorio es armónico cuando la posición, velocidad y aceleración se puede
describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armónico puede ser
compuesto de forma que estén presentes varios períodos simultáneamente. Cuando haya
un solo período, el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armónico Simple (MAS).
Además de ser el más sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de
muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza.
11. Oscilaciones y Vibraciones.-Es frecuente en la naturaleza la existencia de movimientos en
los cuales la velocidad y aceleración no son constantes. Un movimiento que presenta tales
características es el movimiento vibratorio u oscilatorio. En los movimientos oscilatorios el
cuerpo va de una posición extrema y regresa a la posición inicial pasando siempre por la
misma trayectoria. Algunos ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de
movimiento son: el latido del corazón, el péndulo de un reloj, las vibraciones de los átomos.
12. Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los fenómenos ondulatorios
relacionados con el sonido y la luz. Como ejemplos de movimientos vibratorios existe la
vibración de las columnas de aire de los instrumentos musicales, la vibración de un edificio o
un puente por efecto de un terremoto, las ondas electromagnéticas que viajan en el vacío, una
masa unida al extremo de un resorte, etc. Entre los infinitos tipos de movimientos vibratorios
que existen en la naturaleza el más importante es el armónico simple.
2. Dinámica del MAS
Para estudiar algunas de las características relacionadas con los objetos que vibran se considera el
caso de un resorte estirado que se mueve en una superficie horizontal sin fricción, como el
ilustrado en la Fig. 2. Cuando un objeto en un resorte (a) se desplaza respecto de su posición de
equilibrio x = 0 y (b) se suelta, el objeto adquiere un MAS. El tiempo que le toma completar un
ciclo es el periodo de oscilación T.
Fig. 2 Caso típico: sistema masa-resorte. Cuando se separa un resorte de su posición
de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un MAS (a-e).
4
La fuerza F recuperadora, de la cual se habla es proporcional al desplazamiento x, pero de sentido