2 DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE 2.1 Newtonovi zakoni Newtonovi zakoni su temelji mehanike. Na osnovu ovih zakona izvedeni su zakoni i principi kao što su rad, potencijalna i kinetička energija, količina kretanja, impuls, moment količine kretanja i moment impulsa. a) Prvi Newtonov zakon glasi: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod djelovanjem sila nije prinuđeno da to stanje promijeni. Iz ovog slijedi da materijalna tačka ne može sama po sebi izmijeniti stanje kretanja. Ovaj zakon ukazuje na osnovno svojstvo materije da sama po sebi ustraje u određenom stanju kretanja. Ovo svojstvo materije naziva se inercija. Prema ovom zakonu za izoliranu tačku ili sistem sila u ravnoteži vrijedi: (2.1) dv a 0 dt
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2 DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE
2.1 Newtonovi zakoni
Newtonovi zakoni su temelji mehanike. Na osnovu ovih zakona izvedeni su
zakoni i principi kao što su rad, potencijalna i kinetička energija, količina
kretanja, impuls, moment količine kretanja i moment impulsa.
a) Prvi Newtonov zakon glasi: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili
jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod djelovanjem sila nije
prinuđeno da to stanje promijeni.
Iz ovog slijedi da materijalna tačka ne može sama po sebi izmijeniti stanje
kretanja. Ovaj zakon ukazuje na osnovno svojstvo materije da sama po sebi
ustraje u određenom stanju kretanja. Ovo svojstvo materije naziva se
inercija.
Prema ovom zakonu za izoliranu tačku ili sistem sila u ravnoteži vrijedi:
(2.1)dv
a 0dt
b) Drugi Newtonov zakon glasi: Promjena kretanja prporcionalna je sili koja
djeluje na tijelo i vrši se na pravcu i smjeru djelovanja sile.
Masa je faktor prporcionalnosti.
(2.1)
U ovom zakonu je sadržan i zakon inercije, jer za
(2.2)
Ako silu i ubrzanje razložimo na pravougle koordinate možemo napisati:
(2.3)
dvF m m a
dt
F 0 a 0 v const
x
y
x
F m x
F m y
F m z
U slučaju krivolinijskog kretanja silu razlažemo na tangencijalnu i normalnu
komponentu.
Slika 2.1 Krivolinijsko kretanje
U ovom zakonu je sadržan i zakon inercije, jer za
Za kružno kretanje:
(2.4) (2.5)
2
t t 2
2
n n
d sF m a m
dt
vF m a m
r
t t
2
n n
F m a m r
F m a m r
Kada tijelo slobodno pada u vakumu sila kojom ga privlači Zemlja je:
S obzirom da Zemlja ima oblik kugle i ubrzanje zemljine teže se mijenja u
funkciji položaja tačke na Zemlji. Na nivou mora ubrzanje se može izračunati
na osnovu izraza:
(2.6)
Za sjevernu hemisveru može se usvojiti g=9,81 m/s2
Drugi Newtonov zakon može se napisati i u obliku:
(2.7)
koji je općenitiji jer obuhvata promjenu mase.
(2.8)
G m g
2 2
2
mg 9,78049 1 0,0052884sin 0,0000059sin 2
s
d m vF
dt
0
2
2
mm
v1
c
c) Treći Newtonov zakon glasi: Akciji je uvijek suprotna reakcija, ili uzajamna
djelovanja dva tijela uvijek su jednaka i suprotnog su smjera.
Masa je faktor prporcionalnosti.
(2.9)
Slika 2.2 Međudjelovanja dva tijela
(2.10)
2 1F F
2 11 21 2
1 21 2
1 2
2 1
F m a F m a
m a m a
a m
a m
2.2 Zadaci i metode dinamike
Zadaci dinamike mogu biti:
1) Prvi zadatak dinamike: je da se na osnovu poznatog kretanja materijalne
tačke zadane mase odredi sila koja djeluje na tačku u svakom trenutku
djelovanja.
Kretanje tačke je dato jednačinom koja daje zavisnost koordinata tačke
vremena u vektorskom obliku.
(2.11)
Jednačina (2.11) može se raspisati za različite koordinatne sisteme.
Za pravougli sistem:
(2.12)
2
2
dv d rF m a m m
dt dt
2
x 2
2
y 2
2
z 2
d xF m
dt
d yF m
dt
d zF m
dt
Za cilindrični koordinatni sistem:
(2.12)
Za sferni koordinatni sistem:
(2.13)
22
r 2
2
2
2
z 2
d r dF m r
dt dt
dr d dF m 2 r
dt dt dt
d zF m
dt
2 22
r 2
2
2
2 2
c
d d dF m cos
dt dt dt
1 d d dF m cos sin
dt dt dt
1 d dF m cos
cos dt dt
Za prirodni koordinatni sistem:
(2.14)
Za izračunavanje sile koja djeluje na neslobodnu materijalnu tačku
primjenjujemo izraz:
(2.15)
t
2
n
dvF m
dt
vF m
r
i NF F m a
2) Drugi zadatak dinamike: odnosi se na određivanje zakona kretanja
materijalne tačke zadane mase, ako su poznate sile koje djeluju na tačku.
Rješavanje drugog zadatka dinamike svodi se na integraciju diferencijalnih
jednačina kretanja.
Za rješenje diferencijalnih jednačina pored sile potrebno je poznavati i
početne uslove kao što su početni položaj tačke i početna brzina tačke.
U opštem slučaju integracijom diferencijalnih jednačina potrebno je izračunati
šest integracionih konstanti na osnovu početnih uslova x0, y0, z0, y0x, v0y, v0z.
U slučaju kretanja u ravnini imamo četiri konstante: x0, y0, y0x, v0y.
(2.16)
2
2
0
0 0
F td ra f t
dt m
v v f t dt
r r v t f t dt dt
3) Treći zadatak dinamike: može biti takav da je za njih poznato nešto o
silama, a nešto o kretanju, pa treba odrediti i dio kretanja i dio sila.
Takav problem se naziva miješani problem dinamike.
Primjer takvog problema je kada se radi o neslobodnoj materijalnoj tački kod
koje je poznata trajektorija kretanja i ukupna aktivna sila, a traži se zakon
kretanja i sile veza.
Pri rješavanju zadataka dinamike treba utvrditi:
1) O kakvom se kretanju radi, šta je poznato a šta nepoznato;
2) Koji su parametri dinamike poznati a koje treba odrediti;
3) Je li dinamički proces sastavljen od više faza ili je isti;
4) Trenutak kada dinamički proces počinje i završava ili njegova pojedina
faza.
2.3 Pravolinijsko kretanje materijalne tačke
Pri pravolinijskom kretanju materijalne tačke inercijalne sile su sile koje se
suprostavljaju promjeni stanja kretanja.
Slika 2.3 Pravolinijsko kretanje materijalne tačke
Ako je poznata sila koja djeluje na materijalnu tačku treba odrediti zakon
kretanja materijalne tačke.
(2.17)x
2
x 2
m x X m a
d xm y Y a x
dt
m z Z
(2.18)
Dvostrukom integracijom dolazi se do puta:
(2.19)
Početni uslovi se definišu u slijedećem obliku:
(2.20)
Iz početnih uslova određuju se integracione konstante C1 i C2, pa opšte
rješenje (2.19) ima oblik:
(2.21)
0 0 0t 0 x x x x v
2
2
d xx f t,x,x
dt
1 2x f t,C ,C
0 0x f t,x ,v
2.3.1 Kretanje materijalne tačke kada je sila konstantna
Ako na materijalnu tačku djeluje konstantna sila F, tada je i ubrzanje tačke
konstantno a=const.
(2.22)
Diferencijalna jednačina kretanja može se napisati:
(2.23)
Izrazi za brzinu i put su:
(2.24)
(2.25)
dxm F X
dt
x a const
1
Fx t C
m
2
1 2
F tx C t C
2 m
Ako su zadati početni uslovi:
(2.26)
Diferencijalna jednačina kretanja može se napisati:
(2.27)
(2.28)
Kod razmatranja pravolinijskog kretanja slobodne materijalne tačke pod
uticajem sile teže na malim visinama smatramo privlačnu silu konstantnom.
Ovdje imamo tri zadatka:
-vertikalni hitac naviše;
-vertikalni hitac naniže;
-slobodni pad.
0 x 0t 0 x x v v
2
0 0
1 Fx t v t x
2 m
0 2 x 0 1x x C x v v C
Ako transformižemo koordinate može se napisati:
(2.29)
Ubrzanje teže je:
(2.30)
(2.31)
Znak (-) odnosi se na kretanje naviše, a znak (+) naniže.
2
0 0
1 Fy y v t t
2 m
Fg
m
2
0 0
1 Fy y v t t
2 m
2.3.2 Slobodan pad u vazdušnom prostoru
Pad u sredini sa otporom nijeisti kao u vakumu, pa stoga jednačinu kretanja
treba korigovati. Otpor sredine zavisi od gustine medija, brzine i oblika tijela.
(2.32)
gdje je:
c-koeficijent oblika tijela;
ρ-gustina medija (kg/m3);
A-površina projekcije tijela u rani normalnoj na pravac kretanja;
v-brzina tijela.
Slika 2.4 Pad kroz sredinu sa otporom
2
wF c A v
Na tijelo djeluju slijedeće sile:
(2.33)
Diferencijalna jednačina prevolinijskog kretanja je:
(2.34)
Ako uvedemo prikladnije označavanje dobijamo jednostavniji oblik jendačine