INTEGRACIN DE FUNCIONES
UNIVERSIDAD LAICAELOY ALFARO DE MANAB
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMTICASSEGUNDO NIVEL ACLCULO INTEGRAL
INTEGRACIN DE FUNCIONESBASADO EN LA BIIBLIOTECA DE LA ULEAM
Presenta:JAMA MANZABA CARMEN ARACELY
Docente:ING. LEO CEDEO
MANTA, 01 DE MAYO DEL 2014
ndiceIntegracin de funciones, basado en la biblioteca de la Uleam
1.Introduccin42.Personajes y contribuciones de la antigedad53.Personajes y contribuciones del siglo XVI-XVII74.Nace el clculo85.Metodologa...126.Conclusiones137.Bibliografa14
1. IntroduccinLa palabra clculo proviene del latn calculus, que significa contar con piedra. Precisamente desde que el hombre ver la necesidad de contar, comienza la historia del clculo. El origen del clculo integral de remonta a la poca de Arqumides (287-212 a.c.) matemtico griego de la antigedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del rea encerrada por un segmento parablico. La derivada apareci veinte siglos despus de resolver otros problemas que en principio no tenan nada en comn con el clculo integral.En el presente fascculo nos basaremos en un artculo de la biblioteca de nuestra universidad, para conocer ms a fondo la historia y el nacimiento del clculo diferencial, se detallan cada uno de los precursores de esta materia as como los aportes que estos realizaron para llegar a lo que ahora nosotros conocemos como Clculo Integral.
2. Personajes y contribuciones de la antigedadEl trabajo prehelnico de los Egipcios y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y atencin a las caractersticas esenciales sobre la naturaleza lgica del pensamiento matemtico y su necesidad de pruebas deductivas, logr un acervo tal de clculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda, una clara influencia en los trabajos iniciales de los filsofos y matemticos griegos: Tales de Mileto. Fue quien inicialmente introdujo los mtodos deductivos no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad- a travs de procesos sistemticos de abstraccin, que ciertamente fueron la base para los Pitagricos. Para ellos la perfecta consonancia de la realidad observada con la naturaleza de los conocimientos matemticos les llevaron a pensar que las matemticas estaban en la realidad ltima, en la esencia del universo y por lo tanto, un entendimiento de los principios matemticos deba preceder cualquier interpretacin vlida de la naturaleza. Todo es nmero. Dios es un Gemetra. Zenn de Elea (450 a. de C. aprox.), formul un buen nmero de problemas (paradojas) basados en el infinito. Para los antiguos griegos, los nmeros como tales eran razones de nmeros enteros, por lo que no todas las longitudes eran nmeros. (Existan magnitudes geomtricas que no podan ser medidas por nmeros; nmeros como entidades discretas vs magnitudes geomtricas continuas.) Eudoxo (408 a. de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia Menor (Turqua).Mtodo de Exhaucin. El mtodo se llama as porque se puede pensar en expandir sucesivamente reas conocidas de tal manera que stas en cuenta ("dejen exhausta") del rea requerida. Cobra importancia como recurso para hacer demostraciones rigurosas en geometra. Arqumedes (225 a.de C.) de Siracusa. Hizo una de las ms significativas contribuciones griegas. Su primer avance importante fue mostrar que el rea de un segmento de parbola es 4/3 del rea de un tringulo con la misma base y vrtice, y 2/3 del rea del paralelogramo circunscrito. ste es el primer ejemplo conocido de la adicin de una serie infinita. Arqumedes utiliz el mtodo de exhaucin para encontrar una aproximacin al rea del crculo. Por supuesto, es un ejemplo temprano de integracin, el cual condujo a aproximar valores de.Entre otras integrales calculadas por Arqumedes, estn el volumen y rea de una esfera, volumen y rea de un cono, rea de una elipse, volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolucin y de un segmento de un hiperboloide de revolucin.Por un lado, las paradojas de Zenn provocaron el escepticismo griego que ms tarde plantea el cuestionamiento sobre la posibilidad de alcanzar el verdadero conocimiento, ya sea por la razn o la experiencia. Por otro lado, la ciencia aristotlica mostr que mediante la lgica y la observacin es posible -al menos- conseguir una representacin consistente del fenmeno estudiado; las matemticas, por lo tanto, vienen a ser con Euclides un patrn idealizado de relaciones deductivas. Los postulados inducidos por la observacin de la realidad, generan por la deduccin una consistente y funcional interpretacin de la naturaleza.La dificultad lgica que enfrentaron los antiguos matemticos griegos en sus intentos de expresar sus ideas intuitivas sobre razones o proporciones de lneas, que vagamente reconocan como continuas-, en trminos de nmeros, los que mantenan como discretos, los involucr con un concepto lgicamente insatisfactorio (pero intuitivamente atractivo): el infinitesimal. La imposibilidad de enfrentarlo ampliamente origin que los problemas sobre la variacin no fueran atacados cuantitativamente por los matemticos griegos. Estos problemas fueron retomados hasta el siglo XIV por los filsofos escolsticos, y su discusin, cualitativa en gran parte, pero apoyada en demostraciones grficas, hizo posible la introduccin posterior de la geometra analtica y la representacin sistemtica de cantidades variables.
3. Personajes y contribuciones del siglo XVI-XVIIUna poca de avances hacia la formulacin posterior del Clculo como estudio de la variacin, una poca en la que se enfrent la necesidad de herramientas matemticas que no tenan ms fundamento que la geometra arquimediana para tratar con los inconmensurables; mtodo cuya visin de rigor haba obstaculizado trabajar ms libremente con los infinitsimos, relacionados a la variacin y al continuo. Johannes Kepler (1571-1630). Naci en Leonberg, Sacro Imperio Romano, hoy Alemania. En su trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el rea de sectores de una elipse; para ello su mtodo consisti en determinar las reas como sumas de lneas. En cambio, en su trabajo Nueva Geometra Slida de los Barriles de Vino calcul en forma exacta o aproximada el volumen de ms de 90 slidos de revolucin, considerando el slido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volmenes conocidos. Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Public su Geometria Indivisibilis Continuorum Nova en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su mtodo consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volmenes o reas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas reas o volmenes se conocen. Se puede referir este procedimiento en forma general como un mtodo de Suma de potencias de lneas, que condujo a Cavalieri a un resultado correcto para con Pierre de Fermat (1601-1665). Trata de encontrar pruebas ms o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri. En su trabajo sobre curvas polinomiales , compara el valor de en un punto , con el valor , con como un intervalo cada vez ms pequeo alrededor de , de tal manera que encuentra el valor de antes de que .4. Nace el clculoIsaac Newton (1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones del concepto de lmite, idea bsica del clculo.Ofrece tres modos de interpretacin para el nuevo anlisis: Aqul en trminos de infinitesimales usado en su De analysi, su primer trabajo (1669, publicado en1711); Aqul en trminos de fluxiones, dado en su Methodus Fluxionum et Serierum Infinitorum (1671, publicado en 1736), en la que parece apelar con mayor fuerza a su imaginacin; Aqul en trminos de razones primeras y ltimas o lmites, dado particularmente en la obra De Quadratura Curvarum que escribi al final y public primero (1704), visin que l parece considerar ms rigurosa.Notacin utilizada:
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Sus resultados en el clculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el nombre de Calculus Summatorius". Introduce los elementos diferenciales para expresar la diferencia entre dos valores sucesivos de una variable continua . Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la variable misma, lo cual denota por .Leibniz siempre se dio cuenta que estaba trabajando con una nueva materia. Se especula que Newton, hasta que supo de esta postura de Leibniz consider l mismo su mtodo de fluxiones como una nueva materia tambin y un modo de expresin matemtica organizado ms que simplemente una til modificacin de reglas anteriores.El trabajo ms importante de clculo de Newton estuvo escrito de 1665 a 1676, pero ninguna de sus obras fue publicada durante ese tiempo. Se ha sugerido que la demora en la publicacin de sus tres principales trabajos fue ocasionada por el hecho de que estaba insatisfecho con los fundamentos lgicos de la materia. En su monografa De Analysi peraequationes numero terminorum infinitas" no hace explcito el uso de la notacin fluxionalni de la idea. En su lugar usa lo infinitamente pequeo, tanto geomtrico como analtico de manera similar a la que encontramos en Barrow y Fermat, y extiende su aplicabilidad por el uso del Teorema del Binomio. En este documento, Newton emplea la idea de un pequeo rectngulo indefinido o momento de rea y encuentra la cuadratura de las curvas como sigue:Sea la curva a ser dibujada por la abscisa x y la ordenada y, el rea es
Tomemos un , momento o incremento infinitsimo en la abscisa, siguiendo la notacin de James Gregory. La nueva abscisa ser entonces y el rea incrementada ser
Si en esta expresin aplicamos el teorema del binomio, dividimos por o y entonces negamos los trminos que an contengan o, el resultado ser:
Esto es, si el rea est dada por , la curva ser .Inversamente, si la curva es , es rea ser sta es una expresin para el rea a la cual se llega, no por la determinacin de la suma de reas infinitesimales, ni a travs de mtodos equivalentes usados por los predecesores de Newton desde Antifn a Pascal. En su lugar, como vemos, fue obtenida por la consideracin de incrementos momentneos en el rea en el punto en cuestin. En otras palabras, mientras que las cuadraturas previas haban sido encontradas a travs del significado o equivalencia de la integral definida como lmite de una suma, Newton determina la primera razn de cambio del rea y desde sta, encuentra la propia rea a travs de lo que ahora llamamos la Integral Indefinida de la funcin. Por su parte, Leibniz se esforz desde un principio en popularizar su nuevo anlisis publicando todas las reglas de operacin, an las ms simples, presentndolas como si fueran reglas de lgebra y sealando la relacin recproca entre sus sumas y diferencias como anloga a la de potencias y races. Aunque la existencia de sus elementos fundamentales la apoy en principios filosficos, no se preocup mucho en clarificar la naturaleza de lo infinitamente pequeo, no porque pretendiera hacer de ello un misterio, sino porque sostuvo que su Clculo era un modus operandi y por lo tanto apel slo a la inteligencia para enfatizar la naturaleza algortmica del mtodo. Tal vez por ello se le considera como uno de los fundadores de la corriente formalista en oposicin a la intuicionista en matemticas: Estaba seguro de que si formulaba apropiadamente los smbolos y las reglas de operacin, y si stas eran propiamente aplicadas, algn resultado correcto y razonable se debera de lograr an cuando fuera confusa la naturaleza de los elementos involucrados. El primer recuento de sus hallazgos, Leibniz lo titul Un Nuevo Mtodo para Mximos y Mnimos como para Tangentes tambin, el cual no se obstruye por Cantidades Fraccionarias o Irracionales, un tratado de seis pginas que aparece publicado en 1684 y posteriormente se incluye en el Acta Eruditorum. En su contenido se explicitan, sin pruebas, las reglas para las sumas, productos, cocientes, potencias y races, y unas pocas de aplicaciones a problemas de tangentes y clculos de mximos, mnimos y puntos de inflexin. Las cuadraturas las trata igualmente en publicaciones independientes posteriores, antes de ser incorporadas a su Acta Eruditorum. Tanto Newton como Leibniz establecen en su mtodo reglas operativas para sus principales elementos fluxiones y diferencias respectivamente- y ambos las combinan haciendo notoria la propiedad inversa fluente y suma, respectivamente. Sin embargo, para ambos, la Diferenciacin es la operacin fundamental; la Integracin se considera simplemente como la inversa de ella. Este es un punto de vista que prevalece en el Clculo elemental actual. Lo que es importante sealar es que a ambos Newton y Leibniz- se les considera como los Fundadores del Clculo precisamente por haber establecido las reglas de operacin y las relaciones descritas.5. MetodologaPara la realizacin de este trabajo se requiri de mtodos que faciliten este proceso, por lo consiguiente se necesit de la colaboracin de la investigacin bibliogrfica, la cual juega un rol muy importante en cualquier investigacin de distinta ndole puesto que, es fundamental contar con informacin veraz y ratificada al momento de definir la parte conceptual del mismo.En este caso se hizo uso de una herramienta innovadora, la web, que facilito la bsqueda de este proyecto para elaborar las tarea asignada por el docente. No est de ms reafirmar que para este tipo de trabajos tambin est presente el anlisis que va de la mano con la sntesis para una mejor compresin del contenido encontrado.
6. ConclusionesEl Clculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemtica ya no fue igual: la geometra, el lgebra y la aritmtica, la trigonometra, se colocaron en una nueva perspectiva terica. Detrs de cualquier invento, descubrimiento o nueva teora, existe, indudablemente, la evolucin de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atencin en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn momento en particular y a travs de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teora, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Clculo cristaliza conceptos y mtodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por ms de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los mtodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cientfica y matemtica que permitira construir el Clculo que utilizamos en nuestros das.Newton y Leibniz son considerados los inventores del clculo pero representan un eslabn en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Sin la contribucin de stos y de muchos otros hombres ms, el clculo de Newton y Leibniz seguramente no existira. Su construccin fue parte importante de la revolucin cientfica que vivi la Europa del siglo XVII.
7. BibliografaVillalba, M. C. (2002). El nacimiento del clculo. SD: SD.
Integracin de funciones: Basado en artculos de la biblioteca de la Uleam14
