16/09/12 1 Prof. Emanuele Papo5o Algebra di BOOLE L’algebra di Boole è un sistema algebrico sviluppato a metà dell’‘800 dal matematico e logico inglese George Boole, per formalizzare la sillogistica aristotelica mediante una logica delle classi. Essa fu interpretata dallo stesso autore anche come una struttura di relazioni logiche tra proposizioni, mostrando così le affinità profonde esistenti tra la logica e l’usuale algebra.
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2 algebra degli enunciati - Libero Community · 16/09/12 2 Algebradi’BOOLE’! L’algebra di Boole è rimasta pressoché ignorata per oltre 80 anni, cioè fino al 1937, quando
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Prof. Emanuele Papo5o
Algebra di BOOLE � L’algebra di Boole è un sistema algebrico sviluppato a metà
dell’‘800 dal matematico e logico inglese George Boole, per formalizzare la sillogistica aristotelica mediante una logica delle classi.
� Essa fu interpretata dallo stesso autore anche come una struttura di relazioni logiche tra proposizioni, mostrando così le affinità profonde esistenti tra la logica e l’usuale algebra.
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Algebra di BOOLE � L’algebra di Boole è rimasta pressoché ignorata per oltre 80 anni,
cioè fino al 1937, quando lo scienziato americano Claude Elwood Shannon propose per primo di applicarla all’analisi e alla sintesi di circuiti a relè, che sono caratterizzati dai due stati di funzionamento “aperto” e “chiuso”.
� Da allora l’algebra di Boole viene impiegata per la progettazione dei circuiti elettronici di tutti i computer.
Proposizioni e valori di verità � In informaDca spesso si ricorre ai principi della logica degli enunciaD, una branca della matemaDca che studia l’algebra delle proposizioni che prende il nome di algebra booleana
� Quando esprimiamo il nostro pensiero, lo facciamo parlando, pronunciando dei discorsi. Ogni discorso, semplice o complesso, si compone di un insieme di frasi, le proposizioni: frase o espressione autonoma di senso compiuto formata almeno da un sogge5o e da un predicato.
� L’enunciato è una proposizione della quale si può dire con certezza se è vera o è falsa
� Sono esempi di proposizioni: � il 25 dicembre è Natale � la Sicilia è un’isola � il numero 7 è divisibile per 2 � Milano è una ci5à del Piemonte
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Proposizioni e valori di verità � La verità (V oppure 1) o la falsità (F oppure 0) di un enunciato sono de5e valori di verità.
� Un enunciato può essere o vero o falso, ma non entrambe le cose � il 25 dicembre è Natale � la Sicilia è un’isola � il numero 7 è divisibile per 2 � Milano è una ci5à del Piemonte
La prima e la seconda sono proposizioni vere (V ), la terza e la quarta sono false (F ).
EnunciaD semplici � Noi ci occuperemo solo di proposizioni e gli argomenD tra5aD rientrano nello studio della logica a due valori (o binaria…0 1 sempre loro ;-‐)) ) proprio perché, come vedremo, ogni proposizione sarà vera o falsa e il verificarsi di uno dei due casi esclude l’altro.
� Indicheremo le proposizioni con le5ere minuscole dell’alfabeto, per esempio: p, q, r, …
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EnunciaD semplici � per esempio:
p: il 25 dicembre è Natale q: il numero 7 è divisibile per 2
� Se una proposizione, come la p, è vera scriveremo: p=V
� se è falsa, come la q, scriveremo: q=F � è possibile anche idenDficare il valore V con la cifra 1 e il valore F con la
cifra 0; in tal modo, per le proposizioni precedenD potremo scrivere:
p=1 q=0
EnunciaD composD � Alcuni enunciaD posso essere composB, cioè formaD da so5oenunciaD collegaD tra loro dai conneCvi: Operazioni logiche
ConneCvo logico
ConneCvo Lingua italiana
ConneCvo Lingua inglese
Negazione ¬ non not
Congiunzione e and
Disgiunzione o Or
Disgiunzione esclusiva xor O esclusivo xor
∧
∨
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EnunciaD composD � ecco alcuni esempi:
piove e il mare è calmo non piove e il mare è calmo piove e il mare non è calmo
non piove e il mare non è calmo piove o il mare è calmo
EnunciaD composD � Consideriamo ora una delle proposizioni precedenD:
r = p and q r = piove e il mare è calmo
� Il problema che ci poniamo è stabilire quando r è vera o falsa,
� Per dare una risposta occorre:
� conoscere il valore di verità delle proposizioni semplici p, q � conoscere il significato della parola “and” che collega p con q.
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Tabella di verità and p q p and q V V V V F F F V F F F F
La congiunzione di due proposizioni è vera solo quando le due proposizioni componenB sono entrambe vere E’ falsa in tud gli altri casi
Tabella di verità and p q p and q V V V V F F F V F F F F
Si osservi che solo il primo enunciato p and q è VERO gli altri sono falsi
p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5
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Tabella di verità or p q p or q V V V V F V F V V F F F
La disgiunzione di due proposizioni è vera solo quando almeno una delle due proposizioni componenB è vera E’ falsa quando entrambe le proposizioni componenD sono false
Tabella di verità or p q p or q V V V V F V F V V F F F
Si osservi che solo l’ulBmo enunciato p or q è FALSO gli altri sono veri
p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5
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Tabella di verità not p not p V F F V
Data una proposizione p, preme5endo il connedvo “not”, si odene : not p significa inverDre il valore di verità di p:
se p è vera not p è falsa, se p è falsa not p è vera Esempio: p: “6 è divisibile per 3” ( p = V) not p: “6 non è divisibile per 3” (not p = F)
Tabella di verità xor p q p xor q V V F V F V F V V F F F
Si osservi che quando le proposizioni p xor q sono entrambe vere o false l’enunciato risulterà FALSO
p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5
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Forme enunciaDve � not (p and not q) � Nella costruzione della tabella dobbiamo sempre tener presente: � Nelle prime colonne me5ere tu5e le combinazioni dei valori che possono assumere le variabili
� Se ho n variabili: Righe della tabella = 2 n
� Ordine esecuzione operazioni: not, and, or
p q not q p and not q not (p and not q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
not (p and not q) and (p or r) p q r not q p and not q not (p and not q) p or r not (p and not q)
and (p or r)
V V V F F V V V
V V F F F V V V
V F V V V F V F
V F F V V F V F
F V V F F V V V
F V F F F V F F
F F V V F V V V
F F F V F V F F
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Esercizi (p and q) or (p or q)
(p or q) and r (p or q) and (p or z) not ( (p or q) and r)
Proprietà dei connedvi logici � Analogamente alle operazioni aritmeDche, anche i connedvi logici godono di alcune proprietà e precisamente:
� commutaBva: A AND B = B AND A A OR B = B OR A
� associaBva: A AND B AND C = (A AND B) AND C = A AND (B AND C) A OR B OR C = (A OR B) OR C = A OR (B AND C)
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Proprietà dei connedvi logici � idempotenza: A AND A =A A OR A =A
� distribuBva: dell'OR rispe5o all'AND (A AND B) OR C = (A OR C) AND (B OR C) dell'AND rispe5o all'OR (A OR B) AND C = (A AND C) OR (B AND C)
� doppia negazione (involuzione): NOT (NOT A) = A
Proprietà dei connedvi logici � Oltre alle proprietà appena enunciate che possono essere facilmente dimostrate uDlizzando le tavole di verità, rivestono grande importanza altre due proprietà meglio note come le leggi di De Morgan: Prima legge: NOT(A OR B)= (NOT A) AND (NOT B) Seconda legge: NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
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Esercizio � Verifica alcune proprietà dei connedvi logici creando le relaDve tavole di verità