2. A CFD ALAPEGYENLETEINEK LEVEZETÉSE · 2019-12-07 · NGM_JF006_1: Numerikus Áramlástan Széchenyi Egyetem Előadók: Feszty D., Jakubík T. Audi Hungaria Járműfejlesztési

NGM_JF006_1: Numerikus Áramlástan Széchenyi Egyetem Előadók: Feszty D., Jakubík T. Audi Hungaria Járműfejlesztési Tanszék

_____________________________________________________________________________________

1

2. A CFD ALAPEGYENLETEINEK LEVEZETÉSE

A tömegmegmaradás, a lendületmegmaradás (impulzus tétel) és az energiamegmaradás törvényeinek egy végtelenül kis folyadékelemre való alkalmazása vezet a numerikus áramlástan (“Computational Fluid Dynamics” vagy rövidítve “CFD” a továbbiakban) alapegyenleteihez (“governing equations” angolul). Ezeket aztán a numerikus matematika módszereivel, számítógép segítségével oldjuk meg a CFD-ben. A három törvény közül az egyik - mégpedig a lendületmegmaradás törvénye – vezet az ún. “Navier-Stokes egyenletekhez”, amelyet sokszor azonosítanak vagy kevernek az alapegyenletek fogalmával az irodalomban. Ebben a fejezetben ezeket az alapegyenleteket, - beleértve a Navier-Stokes egyenleteket is, - fogjuk levezetni. A levezetés nagy része az amerikai John D. Anderson könyvére épül (amelyet a McGraw-Hill kiadó adott ki, s amely pontos bibliográfiai adatai megtalálhatóak a Tantárgyi Leírásban). 2.1. Az alapegyenletek története és alapvetései 2.1.1. A CFD alepegyenleteinek története Az alapegyenletek 3 alapvetése – azaz a megmaradási törvények - egymástól függetlenül lettek levezetve a történelem folyamán. Például, a tömegmegmaradás törvényének megalkotása többezer évre, azaz az ókori Görögország idejére nyúlik vissza, míg a lendületmegmaradás törvénye csak a 18. századra tehető (Isaac Newton hires 2. törvénye fogalmazta ezt meg). Ez utóbbit aztán csak a 19. században alkalmazták először egy végtelenül kicsi folyadékelemre (mégpedig egymástól függetlenül a francia Navier és az ír Stokes). 2.1.2. Alapvetések

A CFD alapegyenleteinek levezetése arra az alapvetésre épül, hogy egy dx, dy, dz méretekkel

rendelkező végtelenül kicsi folyadékelemre (lásd az alábbi képet) alkalmazzuk a 3 sarkalatos megmaradási törvényt, azaz:

- a tömegmegmaradás törvényét - a lendületmegmaradás törvényét (amelyek az ún. Navier-Stokes egyenletek) - az energiamegmaradás törvényét


_____________________________________________________________________________________

2

2.1.3. A Navier-Stokes (N-S) egyenletek története A Navier-Stokes egyenleteket egymástól függetlenül vezette le a francia Claude-Louis Navier 1822-ben és az ír matematikus George Gabriel Stokes 1845-50-ben. Mindketten kiváló és sokoldalú tudósok voltak, akik más területeken is maradandót alkottak. Például Naviert gyakran a szilárdságtan egyik atyjának tüntetik fel, mert pl. ő írta le először a tartók hajlításánál keletkező neutrális vonal egyenletét, vagy ő definiálta először az elasztikus modulust. Stokes pedig a kinematikus viszkozitás fogalmának bevezetésével vált híressé, de ugyanúgy maradandót alkotott az optika és spektroszkópia területein is. A Folyadékok Mechanikája szempontjából fő felfedezésük az volt, hogy ők voltak az elsők, akik Newton 2. törvényét (amely a lendület megmaradását írja le) egy végtelenül kicsi, viszkóz folyadékrészecskére alkalmazza. Stokes volt az első, aki megfogalmazta azt a feltevést is, hogy hogyan lehet egymáshoz viszonyítani a nyírófeszültséget és a viszkozitást. Ez az, amit Stokes törvényének nevezünk, s amelyet a mai napig eredeti formájában alkalmazunk, s amelyet hamarosan matematikai formájában is megismerhetünk. 2.1.3. A Navier-Stokes egyenletek “polcra tétele” és “leporolása” a történelem által Amint azt később látni fogjuk, a Navier-Stokes egyenletek - a tömeg- és energia- megmaradás törvényeivel egyetemben – egy másodrangú parciális differenciális egyenletrendszert (“set of Partial Differential Equations – PDE” angolul) alkotnak, amelyek analitikus (azaz kézi) megoldása komplexitásuk miatt tulajdonképpen lehetetlen, erre legalábbis eddig nem került sor. Ennek ellenére ezek az egyenletek tökéletesen leírják azokat az egyszerű természeti törvényeket, amelyek egy folyadékelem viselkedését irányítják a közegben. Megoldhatatlanságuk miatt ezek az egyenletek levezetésük után a “polcra kerültek” s több, mint 100 évig várattak arra, hogy a gyakorlatban is használható számítógépek megalkottassanak az 1960-as években. Ekkor, úgymond “levették a polcról” s “leporolták” a Navier-Stokes egyenleteket, hogy a másik két megmaradási egyenlettel együtt megkíséreljék azok számítógépes megoldását a numerikus matematika módszereivel. Először csak nagyon egyszerű feladatokon, mint pl. síklapon való határréteg, vagy egy szárnyprofil körüli inviszkóz


_____________________________________________________________________________________

3

áramlás szimulálását tudták elvégezni általuk. Manapság viszont, amikor nagyteljesítményű több-processzoros számítógépek, vagy akár katonai szuperszámítógépek állnak rendelkezésünkre, lehetővé vált olyan komplex problémák megoldása is, mint pl. repülőgépek, rakéták, szélfarmok vagy teljes autók körüli áramlások szimulálása. 2.2. AZ ALAPEGYENLETEK LEVEZETÉSÉBEN ALKALMAZOTT MATEMATIKAI ELVEK Mielőtt belevágnánk a CFD alapegyenleteinek levezetésébe, érdemes áttekintenünk azokat a matematikai elveket, amelyeket eközben használni fogunk. 2.2.1. A folyadék állapotának matematikai leírása a folyadékelemben Feltételezzünk:

- egy 3D kartézi koordináta-rendszert x, y, z koordinátákkal - jelöljük az időt “t”-vel

- feltételezzünk az időben és térben változó sűrűséget, azaz (x,y,z,t)

- feltételezzünk az időben és térben változó sebességvektort, azaz V(x,y,z,t), amely

komponensei a következők:

ahol u(x, y, z, t)

v(x, y, z, t) a sebesség 3 komponense

w (x, y, z, t)

i

j az x, y, z irányban levő

k egységvektorok

A folyadék sebességét, sűrűségét vagy más tulajdonságait (nyomás, hőmérséklet), általában a fenti matematikai módon írjuk le a számítógépben. Olyan függvényekként tekintünk rájuk, amelyek többváltozósak.

2.2.2. A parciális (𝝏

𝝏𝒕) és totális (

𝒅

𝒅𝒕) deriválás közti különbség

A matekmatikában különböző módokon végezhetjük el a deriválást, ezek közül is a lokális (vagy

parciális) (𝜕

𝜕𝑡), és a teljes (vagy totális) (

𝑑

𝑑𝑡) deriválások a legfontosabbak számunkra az N-S

egyenletek levezetéséhez. Éppen ezért a kettő közti különbség megértése nagyon fontos.


_____________________________________________________________________________________

4

LOKÁLIS (vagy PARCIÁLIS) DERIVÁLT (𝝏

𝝏𝒕,

𝝏

𝝏𝒙,

𝝏

𝝏𝒚,

𝝏

𝝏𝒛):

Vegyünk egy folyadéktulajdonságot (vagy változót), amely több, mint egy paraméter függvénye, például:

( x, y, z, t)

Ez esetben a sűrűség () parciális deriváltjai nem lesznek mások, mint a individuális deriváltjai (azaz változásai) az egyes paraméterek alapján, azaz

a sűrűség parciális deriváltja az x alapján (𝝏𝝆

𝝏𝒙)

a sűrűség parciális deriváltja az y alapján (𝝏𝝆

𝝏𝒚)

a sűrűség parciális deriváltja a z alapján (𝝏𝝆

𝝏𝒛)

a sűrűség parciális deriváltja az idő (t) alapján (𝝏𝝆

𝝏𝒕)

TELJES (vagy TOTÁLIS) DERIVÁLT (𝒅

𝒅𝒕 ):

Vegyük ismét ugyanazt a folyadéktulajdonságot (vagy változót), mint fentebb, azaz a sűrűséget, amely ez esetben több, mint egy paraméter függvénye, tehát:

( x, y, z, t)

Ekkor, a totális deriváltja (𝒅𝝆

𝒅𝒕) a differenciálszámításban megismert láncszabály

(“chain rule”) alapján a következőképpen alakul:

s ha a fenti egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a dt kifejezéssel, akkor ezt kapjuk:

és mivel

ezért a teljes (vagy totális) derivált a következő lesz::


_____________________________________________________________________________________

5

Matematikában a totális derivált megjelöléséhez ugyanúgy használhatjuk a (𝑑

𝑑𝑡) mint a

(𝐷

𝐷𝑡) kifejezést, azaz a totális derivált általános egyenlete (figyeljük meg, hogy ezúttal

hiányzik a mint konkrét változó, azaz ez bármelyik változóra érvényes lehet, amely x,

y, z, t függvényében változik):

(𝑑

𝑑𝑡) =

Mivel a kartézi koordinátarendszerben a ∇ vector operator a következőképpen fejezhető

ki:

ezért a totális derivált általános matekatikai megjelölése a következő lesz:

2.3. A TÖMEGMEGMARADÁS TÖRVÉNYE EGY FOLYADÉKELEMRE Vegyük az alább ábrázolt folyadékelemet dx, dy, dz méretekkel, amely rögzítve van a térben és

amelyen keresztül folyadék áramlik. Egyben idézzük fel az 1.4.2. szakaszból, hogy a tömegmegmaradás törvénye a következőt mondja ki: kiáramló tömeg – beáramló tömeg = CV-ben való tömegcsökkenés tömegváltozás mértéke a CV-ben


_____________________________________________________________________________________

6

A fenti folyadékelemre, (amelyet egy apró Ellenőrző Térfogatnak, azaz angolul “Control Volume”-nak – CV is feltételezhetünk), vezessük le először az egyenlet bal oldalát:

beáramló tömeg x irányban:

kiáramló tömeg x irányban: tömegváltozás a CV-ben az x irányban: És hasonlóan, a másik két irányban a következő kifejezéseket kapnánk:

tömegváltozás a CV-ben az y irányban: tömegváltozás a CV-ben az z irányban:


_____________________________________________________________________________________

7

Ezért, a fenti kifejezés bal oldala a fenti 3 kifejezés összege lesz, azaz:

A tömegmegmaradás törvényének job oldala pedig a következő matematikai egyenlettel fejezhető ki:

a tömegcsökkenés időben való változása = −𝝏

𝝏𝒕(𝝆. 𝒅𝒙. 𝒅𝒚. 𝒅𝒕)

A tömegmegmaradés törvényének bal, ill. job oldalát kifejező kifejezések matematikailag egyenlőek lesznek, azaz:

És felismerve, hogy a bal oldalon levő második kifejezés nem más mint , a következő egyenletet kapjuk:

Tömegmegmaradás egy rögzített folyadékelemre

Érdemes megjegyezni, hogy ez a tömegmegmaradás törvényének egy végtelenül kicsi folyadékelemre alkalmazott formája parciális differenciális alakban. A fenti kifejezés átírható a következő ekvivalens alakra mozgó (azaz nem rögzített, mint feljebb volt) folyadékrészecskére (lásd Anderson könyvét a részletekért). Ebben az esetben a tömegmegmaradás törvénye a következő alakot veszi fel:

Tömegmegmaradás egy mozgó folyadékelemre


_____________________________________________________________________________________

8

2.4. A LENDÜLETMEGMARADÁS TÖRVÉNYE EGY FOLYEDÉKELEMRE Vegyük az alább ábrázolt végtelenül kicsi folyadékelemet dx, dy, dz méretekkel, amely mozog a térben és amelyen keresztül folyadék áramlik. (Megj.: az egyszerűség kedvéért csak az x-

irányú erőket tüntetjük fel):

Idézzük vissza az 1.4.3. szakaszból, hogy a lendület-megmaradás törvénye (azaz Newton 2. törvénye) a következőt jelenti matematikailag:

�⃗� = 𝑚�⃗� = 𝑚𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡

Az egyenlet bal oldala egy erőt fejez ki, amely folyadékelem esetében a következő összetevőkből tevődik össze :

- testerők, azaz a test tömegével összefüggő erők (pl. gravitációs erők) - nyomásból eredő erők - felületi erők


_____________________________________________________________________________________

9

Testerők:

- definiáljunk egy általános változót, amely az

egységnyi tömegre eső testerőt jelöli: f

- konkrétan a gravitáció esetében: f = (dm.g/dm) = g

- ennek fényében a folyadékelemre ható testerő ez lesz: f (dx dy dz)

Nyomáserők: - ezúttal csak az x komponenset vesszük

- a nyomáserő mindig normál irányban hat a folyadékrészecske belseje felé - a nettó nyomáserő az x irányban ez lesz:

Felületi erők: - ismét csak az x komponenset vesszük

- két fajta feszültség fog a folyadékelem felületén hatni: - normál feszültség: amely a folyadékelem térfogatának változásával hozható összefüggésbe

- nyírófeszültség: amely a nyírási deformációval hozható összefüggésbe


_____________________________________________________________________________________

10

- A feszültségek jelölése:

jk azt a k irányú feszültséget jelenti, amely egy olyan felületre merőleges, amely

felület normálja j irányú.

Példa: yx nyírófeszültség az x irányban

xx normálfeszültség az x irányban

- Fizikai jelentés: - Normál feszültség: amelyet a felületre merőleges erők hoznak létre (1.2.4. szakasz) - Nyírófeszültség: a felülettel párhuzamosan ahtó súrlódás hozza létre (1.2.4 szakasz)

Mindezeket figyelembe véve a szakasz elején ábrázolt folyadékelemre a következőképpen

írhatjuk fel a folyadékra ható erők összegét az x irányban:

+ 𝜌 𝑓𝑥 (𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧) Elvégezve az összedaást és az egymást semlegesítő kifejezéseket elhagyva:

xy

xx

Erők összege az

x irányban


_____________________________________________________________________________________

11

Ezen a ponton idézzük vissza, hogy a lendületmegmaradás törvénye tulajdonképpen Newton 2. törvénye, amely ezt mondja:

�⃗� = 𝑚�⃗� = 𝑚𝑑�⃗�

𝑑𝑡

Ebben az egyenletben épp az imént vezettük le a bal oldali kifejezést matematikailag, de csak

az x irányban. Azaz, az F erő x komponense (Fx) a következő lesz:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑑𝑢

𝑑𝑡

Hátravan még, ennek (a legutolsó) egyenletnek a jobb oldalának a levezetése. Kezdjük a tömeg

(m) meghatározásával a folyadékelemben:

𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 = 𝜌 (𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧) A gyorsulás az x irányban (ax) pedig a következő lesz:

𝑎𝑥 =𝑑𝑢

𝑑𝑡≡

𝐷𝑢

𝐷𝑡

Az előző eredmények összegzése a lendületmegmaradás törvényének x irányra levezetett

egyenletéhez vezet:

És hasonló módon juthatunk el az y és z irányú komonensekhez is:


_____________________________________________________________________________________

12

Ez az a 3 egyenlet, amelyet Navier és Stokes egymástól függetlenül 1822-ben, illetve 1845-ben vezettek le. Éppen ezért ezeket nevezzük a Navier-Stokes egyenleteknek.

De itt még nincs vége a levezetésnek: a nyírófeszültséget Stokes 1845-ben tett javaslata szerint a következőképpen fejezhetjük ki:

Ezeket a kifejezéseket visszahelyettesítve a fenti (rövidebb) Navier-Stokes egyenletekbe kapjuk meg a Navier-Stokes egyneletek teljes formáját:

Stokes hipotézise:


_____________________________________________________________________________________

13

2.5. ENERGIAMEGMARADÁS TÖRVÉNYE EGY FOLYADÉKELEMRE Vegyünk egy dx, dy, dz méretű folyadékelemet, amelyre az energiamegmaradás törvényét

alkalmazzuk. Ez tulajdonképpen nem más, mint a Termodinamika első törvénye, azaz: = + A = B + C Most bontsuk ki ezeket az elemeket egyenként: “A” kifejezés: az energia idővel való változásának mértéke a folyadékelemen belül

- az energia két komponensből áll: belső energia és kinetikus energia

Navier-Stokes egyenletek (Lendület

megmaradásá-nak törvénye

egy folyadékelemre

alkalmazva)

Az energia

változásának

mértéke a

folyadékelemben

A folyadékelembe

áramló nettó

hőmennyiségé-

nek változása

(heat flux)

A folyadékon

végzett munka

változásának

mértéke


_____________________________________________________________________________________

14

- ezeket általában nem abszolút értékben, hanem specifikus energia formájában (azaz energia egységnyi tömegre kifejezve) fejezzük ki, azaz

energia

specifikus energia = ---------------------------

tömeg

- belső energia (E):

o a molekulák véletlenszerű mozgásával összefüggő energiát (E) jelöli

o a specifikus belső energiát (e) tehát így fejezhetjük ki:

𝑒 =𝐸

𝑀

- kinetikus energia (Ek):

o a folyadék mozgásával összefüggő energia o specifikus kinetikus energia formájában így fejezhetjük ki:

𝑒𝑘 =𝐸𝑘

𝑀=

12 𝑀𝑉2

𝑀=

𝑉2

2

- teljes specifikus energia (egységnyi folyadéktömegre kifejezve):

𝑒𝑇 = 𝑒 + 𝑒𝑘 = 𝑒 + 𝑉2

2

- teljes energia a folyadékelem tömegére (m) vonatkoztatva :

𝐸𝑇 = 𝑒𝑇𝑚 = (𝑒 +𝑉2

2) 𝜌𝑑𝑉 = (𝑒 +

𝑉2

2) 𝜌. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧

- az energia változásának mértéke a folyadékelemen belül ennek a kifejezésnek a

totális deriváltja lesz, azaz

𝐷𝐸𝑇

𝐷𝑡≡

𝑑𝐸𝑇

𝑑𝑡= 𝜌

𝜕

𝜕𝑡(𝑒 +

𝑉2

2) 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = “A” kifejezés


_____________________________________________________________________________________

15

“B” kifejezés: A folyadékba áramló nettó hő mennyiségének változása (heat flux)

- ismét, ez két forrásból tevődik össze: o volumetrikus fűtés (mint pl. elnyelés vagy sugárzás) o hőmérsékletgradiensek okozta hőátadás a folyadékelem felületén keresztül

(pl. kondukció által)

- hőáramlás a volumetrikus fűtés miatt (heat flux due to volumetric heating)

o a specifikus volumetrikus fűtés mértéke (azaz egységnyi idő alatt egységnyi tömegre kifejezve, például J/kg/s egységben)

�̇� =�̇�

𝑀=

1

𝑀(

𝜕𝑄

𝜕𝑡)

o folyadékelem volumetrikus fűtésére egységnyi idő alatt szükséges hő

�̇� = �̇�𝑀 = �̇�(𝜌. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧) = “B1” kifejezés

- hőáramlás (heat flux) a folyadékelemen keresztül tapasztalt kondukciótól

o hőáramlás x irányban, azaz a hőenergia, amely egységnyi idő alatt kondukció

által lett átadva az x irányban, azaz a folyadékelem (dy.dz) oldalán át (pl. J/m2/s mértékegységben lehetne kifejezni)

�̇�𝑥 =𝜕𝑄𝑥

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡(

𝜕𝑄

𝜕𝑥)

o a hő, amely egységnyi idő alatt a folyadékelem (dy.dz) oldalán keresztül

kerül átadásra

�̇�𝑥(𝑑𝑦. 𝑑𝑧)

o nettó x irányú hőáramlás (net heat flux) (azaz a nettó hőátadás egységnyi idő

alatt):

o a kondukció által a folyadékelemnek egységnyi idő alatt átadott teljes

hőenergia (amely mindhárom irány – azaz x, y, z - nettó hőáramlásának

összege):

= “B2” kifejezés


_____________________________________________________________________________________

16

o Fourier törvényéből pedig a következőképpen fejezhetjük ki a hőátadás

időbeni változását:

o Végezetül tehát, a folyadékelembe áramló nettó hő a “B1” és “B2” kifejezések összege lesz:

“B” kifejezés = “B1” kifejezés + “B2” kifejezés=

=

“B” kifejezés = “C” kifejezés: A folyadékon a test- valamint felületi- erők által végzett munka változásának

mértéke


_____________________________________________________________________________________

17

- munka változása = a munka időben való változásának mértéke = elhasznált energia

𝜕𝑊

𝜕𝑡=

𝜕(𝐹. 𝑠)

𝜕𝑡= 𝐹

𝜕𝑠

𝜕𝑡= 𝐹. 𝑣

- a testerő (Fb) által végzett munka változásának mértéke,

Fb = m.f = m.g

ahol f az általános specifikus testerő, pl. g a gravitáció esetében

(lásd a 2.4 szekciót)

�̇�𝑏 = 𝐹𝑏𝑽 = 𝑚𝑔𝑽 = (𝜌. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧). 𝑔. 𝑽 = 𝜌. 𝒇. 𝑽(𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧)

- a felületi erők által végzett munka változásának mértéke:

o felületi erők

nyomásból eredő erők : (p . dx . dy)

nyíróerők: (yx . dx. dz) o a fenti erők által végzett munka időbeni változásának mértéke (megintcsak az

F.v képlet használata a munka változásának kifejezésére):

- a “C” kifejezés tehát a fenti kifejezések összege lesz:


_____________________________________________________________________________________

18

Így tehát az energiamegmaradás törvénye – egy folyadékelemre alkalmazva – a következőképpen néz majd ki: = + A = B + C

Energiamegmaradás törvénye egy mozgó folyadékelemre

Az energia

változásának

mértéke a

folyadékelemben

A folyadékelembe

áramló nettó hő

mennyisége

(heat flux)

A folyadékon

végzett munka

változásának

mértéke


_____________________________________________________________________________________

19

2.6. ZÁRÓEGYENLETEK (CLOSING EQUATIONS) Megfigyelhetjük, hogy a 3 megmaradási törvény alkalmazásával összesen 5 egyenletünk lett (1 a tömegmegmaradásra, 3 a lendületmegmaradásra és 2 az energiamegmaradásra), de ezekben 6 ismeretlen tűnik fel:

, u, v, w, p, e

Mindez azt jelenti, hogy egy újabb, hatodik egyenletre van szükségünk az egyenletrendszer “bezárására”. Ezt nevezzük záróegyenletnek. A legtöbb CFD által vizsgált áramlástani probléma gázokkal foglalkozik, (ez hatványozottan igaz a járművekre, ahol a “folyadék” nem más, mint a levegő), amelyekre feltételezhetjük, hogy a gáz ideális gázként működik. Ilyen esetben pedig az “állapotegyenlet” érvényes. A legtöbb CFD szimulációban tehát ezt alkalmazzuk a 6., avagy “záró egyenletként”.

𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 Ideális gáz egyenlet (vagy “állapotegyenlet”) (1. záróegyenlet)

R: univerzális gázállandó (287.053 J/kg/K levegőre)

T: hőmérséklet (K)

A helyzet fonákja viszont az, hogy ez az egyenlet egy újabb, immár hetedik változót hoz be az egyenletrendszerbe a hőmérséklet (T) formájában. Éppen ezért egy újabb, 7. záróegyenletre is szükségünk van, amely ezt az új változót (T) köti bármelyik korábbi áltozóhoz a 6 közül.

Megintcsak: gázok esetében az egyik legnépszerűbb választás a kalorikus állapotegyenlet alkalmazása erre a célra, amelynek a következő a formája:

e = cV T

Kalorikus állapotegyenlet (2. záróegyenlet)

cV: állandó térfogatnál jelentkező specifikus hő,

azaz az a specifikus hő, amely 1 kg folyadék 1 K-nel való felmelegítéséhez szükséges konstans térfogat mellett (pl. J/kg/K mértékegységben)

2.7. ZÁRÓMEGJEGYZÉSEK A fentiekben a Computational Fluid Dynamics (CFD) alapegyenleteit vezettük le. Ezek egy 7-ismeretlenes, 7 egyenletből álló parciális differenciális egyenletrendszert alkotnak. Ahhoz, hogy egy parciális differenciálegyenlet-rendszert megoldhassunk, matematikailag


_____________________________________________________________________________________

20

- kezdeti feltételekre (initial conditions)

(azaz a , u, v, w, p, e, T értékeinek ismeretére a t = 0 időben)

- peremfeltételekre (boundary conditions) (azaz a , u, v, w, p, e, T értékeinek

ismeretére a számításos domén szélein) van szükségünk. Habár a Navier-Stokes egyenletek szigorúan értelmezve csak 3 egyenletet jelentenek a 7-ből, a CFD-ben mégis gyakran a teljes, 7 egyenletből álló egyenletrendszert nevezzük a “teljes Navier-Stokes egyenleteknek”. Ezek az egyenletek közel 200 éve lettek először levezetve és tulajdonképpen úgy is értelmezhetőek, mint a természet 7 egyszerű szabálya, amelyeket minden folyadékelemnek be kell tartania (és valójában be is tartják) az áramlás során. Hasonló ez azokhoz az egyszerű szabályokhoz, amelyeket mi, mint emberek alkalmazunk a forgalomban való vezetés során: nem mehetünk át az előttünk haladó autón, a sztrádát csak a kijáraton át hagyhatjuk el, nem mehetünk szembe a forgalommal, az előttünk és utánunk haladók sebességéhez kell alkalmazkodnunk, stb., hogy ne kerüljünk balesetbe. Ezen egyszerű szabályokból épül fel - madártávatból nézve - egy nagyváros összetett, mégis szervezett forgalma, amely valóban hasonlít a folyadékelemek (azaz autók) és a komplex csőrendszerekben való áramlás (azaz utca-hálózatokon található forgalom) viselkedéséhez. Mivel a fenti parciális differenciál-egyenletrendszert (legalábbis egyelőre) nem tudtuk analitikusan, azaz papíron megoldani, ezért szükség volt a számítógépek feltalálásához ahhoz, hogy a numerikus (és nem az analitikus) matematika módszereivel oldjuk meg őket. A következő fejezetek azt fogják bemutatni, hogy hogyan lehet átalakítani ezeket az alapegyenleteket úgy, hogy numerikusan megoldhassuk őket, valamint hogy hogyan válasszuk meg a kezdeti- és perem- feltételeiket ahhoz, hogy stabil medoldásokat kapjunk.

2. A CFD ALAPEGYENLETEINEK LEVEZETÉSE · 2019-12-07 · NGM_JF006_1: Numerikus Áramlástan Széchenyi Egyetem Előadók: Feszty D., Jakubík T. Audi Hungaria Járműfejlesztési

Documents