2 2( 1) A · 20．如图，李⼤婶要借助院墙围成⼀个矩形菜园 ，⽤篱笆围成的另外三边总长为 ⽶， 的长为 ⽶，矩形⾯积为 ⽶ ． （1）求 与

1．已知� ，则下列⽐例式成⽴的是（ ）．

A．�

B．

C．�

D．� 【答案】B 91501bd7b02e40cba8164dbb4180c877

【解析】∵ ，

∴� ．

2．⼆次函数� 的图象的顶点坐标是（ ）．

A．�

B．�

C．�

D．� 【答案】A bdabaf6dc84a4f9585fec61a51252ea4

【解析】⼆次函数� 的图象的顶点坐标是� ．

3．如图，⾝⾼为 � ⽶的某学⽣想测量⼀棵⼤树的⾼度，她沿着树影 � 由 � 向 � ⾛去，当⾛到点 � 时，她影⼦的顶端恰好与树影⼦的顶端重合，测得� ⽶，� ⽶，则树的⾼度为（ ）．

A．� ⽶

B．� ⽶

C．� ⽶

D．� ⽶ 【答案】D 3c6e122c1fa84a41a472aefb0c8adf20 【解析】如图，∵ ，

∴� ，

∴� ，

∴� ，

5 7x y=

5 7x y=

7 5x y=

57

xy=

75x

y=

5 7x y=

7 5x y=

22( 1) 3y x= − − +

(1,3)

( 1,3)−

(1, 3)−

( 1, 3)− −

22( 1) 3y x= − − + (1,3)

1.5 BA B A C3BC = 1CA =

344.56

CD BE�ACD ABE�

: :AC AB CD BE=

1: 4 1.5 : BE=

/ 1 11

解得� ．

答：树的⾼度为� ⽶．

4．⼆次函数� 的图象与� 轴的⼀个交点坐标为� ，代数式� 的值为（ ）．

A．�

B．�

C．�

D．� 【答案】D 2a33c4948f8a48d7920ca65bc8a5c577

【解析】∵点� 在� 的图象上，

∴� ，

∴� ，

∴� ．

5．如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，连接 与对⾓线 相交于点 ，则 的值为 ff80808147342bac0147446cccc51d72 6．如图所⽰，⼩正⽅形的边长均为 ，则下列选项中阴影部分的三⾓形与 相似的是 9f743056fe164fbc8114cff5914eff12 7．如图，已知 ，那么添加下列⼀个条件后，仍⽆法判定 的是 ff8080814a39795c014a3da004ec0fe9

8．如图，⼆次函数 � 的图象与 � 轴交于 � 、 � 两点，与 � 轴交于 � 点，且对称轴为

� ，点 � 坐标为 � ，则下⾯的四个结论：① ；② ；③ ；④当 �时，� 或� ，其中正确的个数是（ ）．

A．�

B．�

C．�

D．� 【答案】B 40eb314966944956abfb5a1925646a2f 【解析】∵抛物线的对称轴为 � ，

∴� ，

∴� ， 故①正确．

6BE =6

2 3y x x= + − x ( ,0)m 2 2016m m+ +

2016201720182019

( ,0)m 2 3y x x= + −

2 3 0m m+ − =2 3m m+ =2 2016 3 2016 2019m m+ + = + =

2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ x A B y C

1x = B ( 1,0)− 2 0a b+ = 4 2 0a b c− + < 0ac > 0y <

1x < − 2x >

1234

1x =

12ba

− =

2 0a b+ =

/ 2 11

由图象可知，当� 时，� ， 故②正确． ∵函数图象开⼝口向下，

∴� ．

∵图象与� 轴交于正半轴上，∴� ，

∴� ，

故③错误．

∵对称轴为� ，点� 坐标为� ，

∴点� 的坐标为� ，

∴当当� 时，� 或� ，

故④错误． 综上，正确的说法有两个．

9．如图，在 � 中，边 � ，⾼ � ，边长为 � 的正⽅形 � 的⼀边在 � 上，其余两个顶点分别在� ，� 上，则正⽅形边长为（ ）．

A．�

B．�

C．�

D．� 【答案】B 3b171dc799c54cd1811379b82bca7115 【解析】设 交 于 ，如图，连接 、 ．

，

解得 ．

10．如图，在边长为 的正⽅形 中，动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 ff8080814694a7d30146bc67d24040c7

11．请你写出⼀个开⼜向下，并且经过� 点的抛物线的表达式__________．

2x = − 4 2 0a b c− + <

0a <y

0c >

0ac <

1x = B ( 1,0)−

A (3,0)

0y < 1x < − 3x >

ABC 12cmBC = 6cmAD = x PQMN BC

AB AC

3cm4cm5cm6cm

PN AD E PD DN1 1 1( ) ( ) 12 62 2 2BD CD x AD PE NE+ + + = × ×

4x =

(0,3)

/ 3 11

【答案】� （答案不唯⼀）

【解析】答案不唯⼀，如� ，� 等． 8af216b24d6549579a648e8765e53908

12．把⼆次函数� 化成� 的形式，其结果为__________．

【答案】�

【解析】� ．� 840fd6afdcce4dc0a70b06ab05cdb117

13．如图，要使� ，可以添加的⼀个条件是__________．

【答案】 或 或 f565168d5fde4b09be7af26331717c00 【解析】因为 为公共⾓，所以只要再找出⼀组相等的对应⾓即可， 即 或 ．

或添加对应边成⽐例， ．

故答案为： 或 或 ．

14．某⼆次函数图象如图所⽰，可知该图象对称轴为__________．

【答案】 70eb4a8e768d43739b8ecb3fcd405148

【解析】∵点 和点 是抛物线上关于对称轴对称的两点，

∴抛物线的对称轴为直线 ．

故答案为 ．

15．把⼆次函数 � 的图象先向右平移 � 个单位，再向下平移 � 个单位，所得的新的抛物线表达式为

2 3y x= − +

2 3y x= − + 22 3y x x= − + +

21 52 2

y x x= − + 2( )y a x h k= − +

21 ( 1) 22

y x= − +

2 2 21 5 1 1( 2 1) 2 ( 1) 22 2 2 2

y x x x x x= − + = − + + = − +

ABC ACD�

ADC ACB∠ =∠ B ACD∠ =∠

AD ACAC AB

=

A∠ADC ACB∠ =∠ B ACD∠ =∠

AD ACAC AB

=

ADC ACB∠ =∠ B ACD∠ =∠

AD ACAC AB

=

( 1,0)− (3,0)

1x =

1

22y x= − 3 2

/ 4 11

__________．

【答案】� a4982549d9f74f7d88c9dddab4464c26

【解析】把⼆次函数 � 的图象先向右平移 � 个单位，再向下平移 � 个单位，所得的新的抛物线表达

式为� ．

16．在平⾯直⾓坐标系中，正⽅形 的位置如图所⽰，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ff8080814518d52401452108890e0ead

17．已知：如图，在� 中，� 是� 上⼀点，� 是� 上⼀点，且� ．

（1）求证：� ．

（2）若� ，� ，� ，求� 的长．

1c6974f38ed949af9d137a17b448aa25

【解析】（1）∵ ， ，

∴ ．

（2）∵ ，

∴� ，

即� ，

解得� ．

18．（改编⼀下）在⼆次函数 中，函数 与⾃变量 的部分对应值如下表 58710714a7ae4095921c80e8bee3e6de

19．图中是抛物线形拱桥，当⽔⾯宽度 ⽶时，拱顶到⽔⾯的距离 ⽶， ff80808146ec1f920146f29b3ba40703

20．如图，李⼤婶要借助院墙围成⼀个矩形菜园 � ，⽤篱笆围成的另外三边总长为 � ⽶， � 的长为� ⽶，矩形⾯积为� ⽶� ．

（1）求� 与� 之间的函数关系式．

22( 3) 2y x= − − −

22y x= − 3 222( 3) 2y x= − − −

ABC D AB E AC AED ABC=��

AED ABC�

5AE = 9AB = 6CB = ED

AED ABC∠ =∠ A A∠ =∠

AED ABC�

AED ABC�

AE DEAB BC

=

59 6

DE=

103

DE =

ABCD 24 BC

x y 2

y x

/ 5 11

（2）求出菜园的最⼤⾯积． 569990b9021d4f019440641ac0b9e01b 【解析】（1）∵ 的长为� ⽶，三边总长为� ⽶，

∴ ，

∴� ．

（2）�

� ．

当� 时，� ．

答：菜园的最⼤大⾯面积为� ．

21．已知⼆次函数� ． （1）在所给的坐标系中画出函数图象（直接描点画图）．

（2）如果� ，� 是函数图象上的两点，且� ，请直接写出� 、� 的⼤⼩关系．

1e1abf2cdac6432292bf84471b6acd97 【解析】（1）列表如下：

描点作图如下：

BC x 2424 1122 2x

AB x−

= = −

21 112 122 2

y x x x x⎛ ⎞= ⋅ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 112 ( 24 144) 722 2

y x x x x= − + = − − + +

21 ( 12) 722x= − − +

12x = max 72y =

72

2 2 3y x x= − −

1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1x x< < 1y 2y

x

L

1−

0 4−

2

y

L

0

L 0

L 3− 3−

1 3

/ 6 11

（2）由图象可知，在� 左侧，函数单调递减，

∵ � ，

∴� ．

1x =

1 2 1x x< <

1 2y y>

/ 7 11

22．在矩形 � 中， � ， � ， � 为 � 的中点，连接 � ，过点 � 作 � ，垂⾜为� ．

（1）求证：� ． （2）求� 的长．

5f42835b187949d395c2a246181cdfef （1）在矩形� 中，有� ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

（2）在矩形� 中，� ，

∴ ，

∵ 为� 的中点，

∴ ，

又∵ ，在� 中，由勾股定理得� ，

∵ ，

∴� ，

即� ，解得� ．

23．如图，⼆次函数� 的图象与� 轴交于点� ，� ，与� 轴交于点� ． （1）求⼆次函数表达式．

（2）若点 � 是第⼀象限内的抛物线上的⼀个动点，且点 � 的横坐标为 � ，⽤含有 � 的代数式表⽰ �的⾯积，并求出当� 为何值时，� 的⾯积最⼤，最⼤⾯积是多少？

ABCD 10AB = 12BC = E DC BE A AF BE⊥

FBEC ABF�

AF

ABCD 90C ABC ABF EBC∠ =∠ =∠ +∠ = °

AF BE⊥

90AFB C∠ =∠ = °

90ABF BAF∠ +∠ = °

BAF EBC∠ =∠

BEC ABF�

ABCD 10AB =10CD AB= =

E DC

5CE =

12BC = Rt BEC 13BE =

BEC ABF�

AF ABBC BE

=

1012 13AF

=12013

AF =

2y x bx c= − + + x ( 1,0)A − (3,0)B y C

E E m m ECB

m ECB

/ 8 11

208f6ffd91d64e5c9d07e818f194282a

【解析】（1）∵⼆次函数� 的图象与� 轴交于点� ，� ，

∴⼆二次函数的解析式为� ．

（2）如图，连接� ，

易得� 的解析式为� ．

设点� 的坐标为� ，则点� 的坐标为� ，

∴� ，� ，� ，

当� 时，� 的⾯积最⼤，最⼤⾯积是� ．

24．阅读以下材料：

对于三个数 � ， � ， � ．⽤ � 表⽰这三个数的平均数，⽤ � 表⽰这三个数中最⼩的数．例

如� ，� ，� ．

O

y

x

C

BA

2y x bx c= − + + x ( 1,0)A − (3,0)B2( 1)( 3) 2 3y x x x x= − + − = − + +

BC

BC 3y x= − +

N

M

F

E

O

y

x

C

BA

E2( , 2 3)m m m− + + F ( , 3)m m− +

CM m= 3BN m= − 2 3EF m m= − +

1 ( )2EBCS EF CM BN= × +V

21 ( 3 ) 32

m m= × − + ×

23 9 2732 4 8m m⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

23 3 272 2 8m⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

32

m = −ECB

278

a b c { , , }M a b c min{ , , }a b c

1 2 3 4{ 1,2,3}3 3

M − + +− = = min{ 1,2,3} 1− = −

( 1)min{ 1,2, }

1 ( 1)a a

aa−⎧

− = ⎨− >⎩

�

/ 9 11

解决下列问题：

（1）填空：� __________．

如果� ，则� 的取值范围为__________．

（2）①如果� ，那么� __________．

②根据①，你发现了结论“ ，那么__________．”（填� ，� ，� 的⼤⼩关系）

（3）通过观察 � ， � ， � 的图象得出 � 的最⼤值为__________． 553a33528e45445c976b5aadaf9a6884

【解析】（1）� ．

∵ ，

∴� 且� ，

解得� 且� ，

即� ．

（2）① ．

∵

∴� ，

∴� 且� ，

∴� 且� ，

即� ．

②若� ，

则� ．

（3）如图，画出� ，� ，� 的图象，

观察图象可知，� 的最⼤值为� ．

�

25．参考⼩腾思考问题的⽅法，解决问题 ff80808146cd4fd00146dbd0b5750cc9

min{sin30 ,cos45 , tan30 }° ° ° =

min{2,2 2,4 2 } 2x x+ − = x

{2, 1,2 } min{2, 1,2 }M x x x x+ = + x =

{ , , } min{ , , }M a b c a b c= a b c

1y x= + 2( 1)y x= − 2y x= − 2min{ 1,( 1) ,2 }x x x+ − −

1 2 3 1min{sin30 ,cos45 , tan30 } min , ,

2 2 3 2⎧ ⎫⎪ ⎪

° ° ° = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

min{2,2 2,4 2 } 2x x+ − =

2 2 2x + � 4 2 2x− �0x� 1x�

0 1x��

2 1 2{2, 1,2 } 13

x xM x x x

+ + ++ = = +

{2, 1,2 } min{2, 1,2 }M x x x x+ = +

min{2, 1,2 } 1x x x+ = +

2 1x +� 2 1x x +�1x� 1x�1x�{ , , } min{ , , }M a b c a b c=

a b c= =

1y x= + 2( 1)y x= − 2y x= −

2min{ 1,( 1) ,2 }x x x+ − − 1

1O

y

x

/ 10 11

26．如果点 是点 关于原点的对称点，点 是图形 的顶点，那么在 轴上是否存在点 ff808081454eca70014553d16ce109fe

/ 11 11