1. Tasa de variación media 2. Derivada de una función en un punto 3. Derivabilidad y continuidad 4. La recta tangente y normal 5. Función derivada 6. Cálculo de derivadas 7. Reglas de derivación 8. Regla de la cadena 9. Derivación implícita 10. Derivadas de funciones logarítmicas 11. Derivadas de funciones exponenciales 12. Derivadas de funciones trigonométricas 13. Derivadas de funciones trigonométricas inversas 14. La derivada como razón de cambio 15. La integral indefinida: cálculo de primitivas Derivadas.
44
Embed
1.Tasa de variación media 2. Derivada de una función en un punto 3. Derivabilidad y continuidad 4. La recta tangente y normal 5. Función derivada 6. Cálculo.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1. Tasa de variación media
2. Derivada de una función en un punto
3. Derivabilidad y continuidad
4. La recta tangente y normal
5. Función derivada
6. Cálculo de derivadas
7. Reglas de derivación
8. Regla de la cadena
9. Derivación implícita
10. Derivadas de funciones logarítmicas
11. Derivadas de funciones exponenciales
12. Derivadas de funciones trigonométricas
13. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
14. La derivada como razón de cambio
15. La integral indefinida: cálculo de primitivas
Derivadas.
Tasa de variación media.
Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b]
f b f a
b a
Ejemplo.- Un automóvil se mueve según
la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo
en segundos y e(t) el espacio que recorre
dicho móvil en línea recta en metros.
Calcular la velocidad media (tasa de
variación) durante los 10 primeros
segundos
10 0 200 020
10 0 10 0
e e ms
Hay que observar que la tasa media de f en
[a,b], es la pendiente de la recta secante a
f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))
Derivada de una función en un punto.
Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a:
Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a.
0
lim limb a h
f b f a f a h f af a
b a h
2 2
0 0
0
5 5 2 5 2 5lim lim
lim 20 2 ) 20
h h
h
e h e h
h hmh s
Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la
función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos
y e(t) el espacio en metros. Calcular la
velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5
Hay que observar que f’(a) (si existe) es la
pendiente de la recta tangente a f(x) en el el
punto (a,f(a))
Derivadas laterales
Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a a los
límites: 0 0
lim limh h
f a h f a f a h f af a f a
h h
La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):
2
1
1
x si xf x
x si x
Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función
Teniendo en cuenta que
0
2 2
0
1 11 lim 1
1 11 lim 2
h
h
hf
h
hf
h
Se deduce que f no es derivable en x = 1
Derivabilidad y continuidad
Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.
Hay que observar que:
Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a.
Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a
Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor
absoluto. 0
0
x si xf x x
x si x
f es continua ya que
0 0
lim (0) lim 0h h
h f h
Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que
0 0
0 lim 1 1 lim 0h h
h hf f
h h
Funciones derivables
Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable.
Hay que observar que:
Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos,
o también las funciones exponenciales.
Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades
de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable
La recta tangente y normal
Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA
TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
:tgr y f a f a x a
Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto
(a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
1:norr y f a x a
f a
La recta tangente y normal
Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1
: 1 1 1 1 2 1
2 1
1 1: 1 1 1 1
1 2
2 3
r y f f x y x
x y
s y f x y xf
x y
Función derivada
Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se obtiene
mediante el límite
0
limh
f x h f xf x
h
Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se
obtiene mediante el límite
0
limh
f x h f xf x
h
La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y
así sucesivamente
Función derivada
Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1
metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea
0
2 2
0
0
' lim
2 5 1 2 5 1lim 4 5
4 5 4 5'' lim 4
h
h
h
e t h e tv t e t
h
t h t h t tt
ht h t
a t e th
Cálculo de derivadas
Derivada de la función constante f(x) = k
0 0 0
0lim lim lim 0h h h
f x h f x k kf x
h h h
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0
Derivada de la función identidad f(x) = x
0 0 0
lim lim lim 1h h h
f x h f x x h x hf x
h h h
Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1
Cálculo de derivadas
Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural
0 0
1 2 2
1
0
lim lim
1 2lim
n n
h h
n n n
n
h
f x h f x x h xf x
h hn n nx h x h h
nn x
h
En general, también se cumple para n un número racional
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4
Cálculo de derivadas
Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
1 1lim
2
h h
h h
h
f x h f x x h xf x
h h
x h x x h x h
h x h x h x h x
x h x x
Cálculo de derivadas
Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x
0 0
20 0 0
1 1
lim lim
1 1lim lim lim
h h
h h h
f x h f x x h xf xh h
x x h
x h x h
h h x h x x h x x
Reglas de derivación
Si y = k.f(x)
0 0
0
( ) ( )lim lim
( ) ( )lim
h h
h
y x h y x k f x h k f xy
h hf x h f x
k k f xh
— —
—
Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x