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1razonamiento aritmético
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EJERCICIOS DE PRÁCTICA PARA LA PAA 1.
Juan comra 1! "u#ce$ or %& e$o$. Si a# "'a $i(uiente e# recio "e
ca"a "u#ce $e incremento a ) e$o$* cuanto $e a+orro Juan or "u#ce a#
comrar#o$ con e# recio anterior. ,A- ! e$o$ ,- e$o$ ,C- % e$o$ ,D-
e$o$ ,E- / e$o$ !. E# re$u#ta"o "e #a oeraci0n e$ ,A- ,- ,C- ,D- ,E- %.
Si a 2ue e$ i(ua# ,A- % ,- ) ,C- 3 ,D- !4 ,E- /5 5. Si a 2ue e$ i(ua# ,A- 6!
,- ! ,C- 61) ,D- %! ,E- 6%! /. Si %78/91&% "etermina a 2ue e$ i(ua# :
,A- ; ,- 3 ,C- 1& ,D- 3; ,E- 1&% ).Determina e# #a ? @ 1 % % 4 5 ) 1% ,A- ; ,- 3 ,C- 1& ,D- 11 ,E- 1! 4.
Determina e# #a ? @ 1 ! ! / % 5 14 ,A-
; ,- 3 ,C- 1& ,D- 11 ,E- 1! ;. Determina e# #a ? @ 1 1 ! ; % 5 )5 ,A- 3 ,- 1) ,C- !/ ,D- !4 ,E- ;1 3.
Determina #a =0rmu#a 2ue "a e# termino (enera# en =unci0n "e n en #a
$i(uiente $ecuencia %* )* 11* 1;* ,con$i"era e# rimer término cuan"o
n91- ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 1&. Determina #a =0rmu#a 2ue "a e# termino
(enera# en =unci0n "e n en #a $i(uiente $ecuencia !* /* 1&* 14*
,con$i"era e# rimer término cuan"o n91- ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 11. Si 7 e$
un nBmero ar* cu# "e #a$ $i(uiente$ e7re$ione$ re$u#ta nBmero
imar ,A- 7 − 5 ,- 7 8 5 ,C- ! ,7 8 1- ,D- 7 ,7 − 1- ,E- 7 8 1 1!. La
$uma "e "o$ nBmero$ entero$ imare$ con$ecutien una "e #a$ cuatro ca#iHcacione$ A* *
C F D. Si o>tienen A* o>tienen * o>tienen C F !& a#umno$ reci>en D.
Cunto$ e$tu"iante$ +aF en tota# en #a e$cue#a ,A- %& ,- )& ,C- 1&&,D- !&& ,E- 5&& 14. E# #ar(o "e un rectn(u#o $e incrementa 1/ F e#
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anc+o "e# rectn(u#o $e incrementa or !&. Determina e# orcentae
en 2ue e# rea $e incrementa. ,A- 1& ,- 1/ ,C- !& ,D- %; ,E-
5& 1;. Si $e tienen "o$ c'rcu#o$ "e ra"io 1cm F !cm re$ectio$ en #i$tone$ #o m$ #ar(o$ o$i>#e$ F "e
i(ua# #on(itu" $in 2ue #e $o>re materia#. ,A- / ,- 1& ,C- 1/ ,D- !/ ,E- 4/!/. A Juan F $u e$o$a #e$ a(an en "i=erente$ =ec+a$ a Juan ca"a1;
"'a$ F a $u e$o$a ca"a1/ "'a$. Si e# "'a "e +oF coinci"ieron* cunto$
"'a$ "e>en "e tran$currir ara 2ue e 2ue to"o$ tienen a# meno$ uno "e #o$ "o$ ,A- & ,- 5 ,C- )
,D- 4 ,E- 11 %!. En una rearatoria e# c#u> "e Matemtica$ tiene 1/
miem>ro$ F e# c#u> "e Ciencia$ tiene 1! miem>ro$. Si en tota# 1%
e$tu"iante$ ertenecen Fa $ea $o#amente a Matemtica$ o $o#amente aCiencia$* cunto$ e$tu"iante$ ertenecen a am>o$ c#u>e$ ,A- ! ,- )
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,C- 4 ,D- 1! ,E- 15 %%. 51) e$tu"iante$ tienen un io"* un ce#u#ar o
am>o$. Si %1) $on "ueo$ "e ce#u#ar* cunto$ $on "ueo$ "e io" ero
no "e ce#u#ar ,A- %) ,- 1&& ,C- 1%) ,D- 1;& ,E- %1) %5. En una
encue$ta rea#iza"a a %&& con$umi"ore$* $e o>tuo$ En
#a ta>#a anterior* $i $e e#i(e uno "e #o$ con$umi"ore$ a# azar* cu# e$ e#
orcentae "e ro>a>i#i"a" "e 2ue +aFa re=eri"o $o#amente en e#
ro"ucto "e tio ,A- )& ,- 1%.%5 ,C- %& ,D- 5).)4 ,E- /!
%/. En una encue$ta rea#iza"a a %&& con$umi"ore$* $e o>tuo$ En #a ta>#a anterior* $i $e e#i(e uno "e #o$ con$umi"ore$ a# azar*cu# e$ #a ro>a>i#i"a" "e 2ue no reHera e# ro"ucto tio A ni e# ,A-
&.1 ,- &.! ,C- &.% ,D- &.5 ,E- &./ %). Si a #a ra'z cua"ra"a "e #a
"i=erencia "e 7 F % $e #e aa"e / F "a como re$u#ta"o 3. Determina e#
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AD F C ara#e#o$. Cu# e$ #a me"i"a en (ra"o$ "e# n(u#o ADC ,A-
!!./ ,- 11!./ ,C- 5/ ,D- )4./ ,E- 11.!/ 5;. En #a $i(uiente H(ura*
* F #a recta L corta #o$ #a"o$ F en #o$ unto$ U F K. Si #a me"i"a "e#
n(u#o 1 e$ "e 1&/* cunto$ (ra"o$ mi"e e# n(u#o ! ,A- 4/ ,-1&/ ,C- %) ,D- 1;& ,E- 3& 53. E# n(u#o 7 e2uirea"a encent'metro$ cua"ra"o$ ,A- 1)! cm! ,- ;1 cm! ,C- 5&./ cm! ,D- !&.!/
cm! ,E- 1!1./ cm! /5. E# er'metro "e cua"ra"o e$ /
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e$a $emana ,A- )& ,- 4& ,C- 3& ,D- 1&& ,E- /& )!. Kna encue$ta
rea#iza"a a 1/&& a#umno$ $o>re $u$ re=erencia$ "eortio# 1; At#eti$mo 15 Xut>o# )! Deorte$ & ! 5 ) ; 1&
Acierto$ A#umno$ )5. La $i(uiente (rHca mue$tra #a$ (anancia$
anua#e$ "e una emre$a en un erio"o "e 4 ao$. En 2ué ao$ #a
(anancia =ue maFor ,A- 1 F ! ,- ! F % ,C- % F 5 ,D- 5 F / ,E- / F ) )/.Se rea#iza una encue$ta a )&& c#iente$ "e una ca=eter'a $o>re e# tio "e
ca=é 2ue m$ #e a(ra"a* F #o$ re$u#ta"o$ $on #o$ $i(uiente$* mo$tra"o$
en #a $i(uiente (rHca. Cunto$ toman E7re$$ ,A- /! ,- 3) ,C- 1!&
,D- 4! ,E- %1! & ! 5 ) ; 1& 1 ! % 5 / ) 4 Mi##one$ "e Euro$ ao$ T'tu#o
"e# (rHco Americano !& E7re$$ 1! Cauc+ino /! MoYa 1)
Tio$ "e ca=é )). En una c#a$e "e 1& a#umno$ #a$ ca#iHcacione$ en #a
materia "e Arte Hna#e$ =ueron 4*4*4*4*4*;*;*;*;*1& Cu# e$ #ame"iana ,A- 4 ,- ; ,C- 4./ ,D- ;./ ,E- 4 F ; )4. La $i(uiente ta>#a
mue$tra #a a$i$tencia a cinco $a#a$ "e cine "e# centro comercia#. Sa#a
A$i$tencia A %;) 5&& C !3& D 5/& E n Si #a me"iana "e #a a$i$tencia a
#a$ cinco $a#a$ e$ %;) F no +aF "o$ $a#a$ con e# mi$mo nBmero "e
a$i$tencia$* Cu# e$ e# maFor #e ara n ,A- %;& ,- %3&
,C- /&& ,D- %;/ ,E- %;) );. La$ temeratura$ en una $emana =ueron * *
Cu# e$ #a me"iana ,A- ,- ,C- ,D- ,E- )3. Si e# "'a rimero "e un me$e$ #une$ F e# me$ tiene %1 "'a$* Cu#e$ $on #o$ "'a$ "e #a $emana "e
mo"a en "ic+o me$ ,A- Lune$* marte$ F miérco#e$ ,- Domin(o* #une$
F marte$ ,C- $o#o miérco#e$ ,D- S>a"o* "omin(o F #une$ ,E- Jueo$ P#aFa "e# Carmen PuertoUa##arta Ueracruz Mazat#n Puerto E$con"i"o 5 / 1 % ! 5 % 1 ! ,A- /
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,- % ,C- 5 ,D- 1 ,E- ! 41. En una urna $e encuentran !& e$=era$ 4
>#anca$* / roa$ F ; azu#e$. Cu# e$ #a ro>a>i#i"a" 2ue a# $acar una
$ea azu# o roa ,A- ! ,- ,C- ,D- ,E- 4!. En un concur$o "e carta a un
ami(o $e encuentran !/& $o>re$ "e tre$ co#ore$ "i=erente$[ 14&re (ana"or $ea uno re no $ea amari##o ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 45. A# anotar e# co#or "e #o$
auto$ 2ue a$an en me"ia +ora en un unto "e carretera* $e o>tiene #a
$i(uiente in=ormaci0n #anco$ Roo$ Wri$e$ Ne(ro$ 3 4 5 1& Cu# e$ #a
ro>a>i#i"a" "e o>tener un auto "e co#or Roo ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 4/.aF 5/& a#umno$ "e tercer ao "e $ecun"aria F "e e##o$ 5&/ $e
(ra"uarn. ué arte "e# tota# no $e (ra"uar ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 4). E#
rome"io "e cuatro nBmero$ e$ %&* tre$ "e e##o$ $on 5/* %&* F !/. Cu#
e$ e# nBmero 2ue =a#ta ,A- 1&& ,- %/ ,C- 1!& ,D- !& ,E- 5& 44. Si e#
rome"io "e "o$ nBmero$ e$ 54 F uno "e e##o$ e$ !5* Cu# e$ e# otro
nBmero ,A- 35 ,- 4& ,C- 114 ,D- !% ,E- ;& 4;. La$ temeratura$
"urante una $emana en "etermina"a ciu"a" =ueron "e%!*!;*!/*!&*!/*!/*!4* Cu# =ue #a me"ia aritmética ,rome"io- "e
"ic+a$ temeratura$ ,A- 1;! ,- !/ ,C- %! ,D- !) ,E- !& 43. E#
rome"io "e 5 nBmero$ e$ 3[ e# rome"io "e otro$ / nBmero$ e$ ;.
Cu# e$ e# rome"io "e #o$ 3 nBmero$ ,A- ;.5 ,- 4.) ,C- ; ,D- 3 ,E- %;
;&. Materia$ Nota$ Ua#or E$ao# A 1& Matemtica$ A 1& In(#é$ ;
i$toria A 1& Arte C ) Ciencia$ io#o('a En #a ta>#a anterior $e
mue$tran #a$ ca#iHcacione$ "e A#=re"o en 4 materia$ "e octae o>tener en Ciencia$ F io#o('a ara 2ue $u rome"io
(enera# $ea "e ;. ,A- A*A ,- C*C ,C- A* ,D- * ,E- A*C ;1. Cu# "e #a$
$i(uiente$ ocione$ rere$enta e# "e$ee "e #a #e a "e #a
$i(uiente =0rmu#a ,A- ,- ,C- ,D- ,E- ;!. Cu# "e #a$ $i(uiente$
ocione$ rere$enta e# "e$ee "e #a #e U= "e #a $i(uiente
=0rmu#a ,A- ,- ,C- ,D- ,E- ;%. Cu# "e #a$ $i(uiente$ ocione$
rere$enta e# "e$ee "e #a #e r "e #a $i(uiente =0rmu#a ,A- ,-,C- ,D- ,E- ;5. Cu# "e #a$ $i(uiente$ ocione$ rere$enta e# "e$ee "e
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#a #e #e "e #a "i=erencia "e# cua"ra"o "e "o$ nBmero$ ,-
E# cua"ra"o "e #a "i=erencia "e "o$ nBmero$ mu#ti#ica"o or ! ,C- E#
"o>#e ro"ucto "e# cua"ra"o "e #a "i=erencia "e "o$ nBmero$ ,D- E#
"o>#e ro"ucto "e cua"ra"o "e un nBmero meno$ e# cua"ra"o "e# otro
,E- E# cua"ra"o "e #a "i=erencia "e "o$ nBmero$ meno$ e# "o>#e
ro"ucto "e e##o$ ;4. Enri2ue tiene 7 e$o$* Juan e# "o>#e "e #o "e
Enri2ue F Pe"ro #a tercera arte "e #o "e Enri2ue* #a $uma "e #o 2uetienen #o$ tre$ e$ menor "e 1&& e$o$. Cu# "e #a$ $i(uiente$
e7re$ione$ rere$enta #o 2ue #e =a#ta a #a $uma "e #o 2ue tiene #o$ tre$
ara tener #o$ 1&& e$o$ ,A- ,- , - ,C- , - ,D- ,E- , - ;;. Cu# "e #a$
$i(uiente$ ocione$ rere$enta en =orma a#(e>raica #a $i(uiente
e7re$i0n a# E# "o>#e "e un nBmero meno$ e# cua"ra"o "e otro. ,A-
!7 6 F ! ,- !7 6 % 6F ! ,C- !,76%-6F ! ,D- !76,%6F-! ,E- !76%,76F-! ;3.
Cu# "e #a$ e7re$ione$ rere$enta una $o#uci0n "e #a $i(uienteecuaci0n ,A- 79! ,- 796% ,C- 79) ,D- 796) ,E- 79% 3&. Cu# "e #a$
$i(uiente$ ocione$ rere$enta e# rea "e# rectn(u#o cuFo #ar(o mi"e
78% F e# anc+o mi"e 761 ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 31. Cu# "e #a$ $i(uiente$
ocione$ rere$enta #a $o#uci0n "e #a $i(uiente oeraci0n , - ,A- ,- ,C-
: ,D- ,E- 3!. Cu# "e #a$ $i(uiente$ ocione$ e2uirica +aF
%&& er$ona$* 11& $on cat0#ico$* 1!& $on +om>re$ F /& $on +om>re$
cat0#ico$. Cunta$ "e e$ta$ er$ona$ $on muere$ cat0#ica$ ,A- 13&
,- 4& ,C- 1!& ,D- 1;& ,E- )& 3). En #a $i(uiente H(ura* ué arte "e #a
circun=erencia rere$enta e# arco C ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 34. Lo$ ra"io$"e #o$ c'rcu#o$ A F e$tn en #a raz0n 1! Cu# "e #a$ $i(uiente$
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aHrmacione$ e$ cierta con re$ecto a# rea "e #o$ c'rcu#o$ ,A- E# rea
"e# c'rcu#o A e$ #a mita" "e# rea "e# c'rcu#o ,- E# rea "e# c'rcu#o e$
e# tri#e "e# rea "e# c'rcu#o A ,C- Cuatro
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5. % ^ / _ ,^4 ^ %- 9
Ni
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2 Jerarquía de operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis,
corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces .
3º.Efectuar los productos y cocientes .
4º.Realizar las sumas y restas .
Tipos de operaciones combinadas
1. peraciones combinadas sin paréntesis
1.1 !ombinaci"n de sumas y di#erencias.
9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =
Comenzano por la iz!uiera" #amos efectuano las
operaciones se$%n aparecen.
= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7
1.2 !ombinaci"n de sumas, restas y productos.
& ' 2 - 5 + 4 ' & - 8 + 5 ' 2 =
Realizamos primero los prouctos por tener mayor
prioria.
= 6 - 5 + (2 - 8 + () =
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Efectuamos las sumas y restas.
= 6 - 5 + (2 - 8 + () = (5
1.3 !ombinaci"n de sumas, restas, productos y
divisiones.
() * 2 + 5 ' & + 4 - 5 ' 2 - 8 + 4 ' 2 - (6 * 4 =
Realizamos los prouctos y cocientes en el oren en el
!ue los encontramos por!ue las os operaciones tienen lamisma prioria.
= 5 + (5 + 4 - () - 8 + 8 - 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + (5 + 4 - () - 8 + 8 - 4 = ()
1.4 !ombinaci"n de sumas, restas, productos,
divisiones y potencias.
2& + () * 2 + 5 ' & + 4 - 5 ' 2 - 8 + 4 ' 2 2 - (6 * 4 =
Realizamos en primer lu$ar las potencias por tenermayor prioria.
= 8 + () * 2 + 5 ' & + 4 - 5 ' 2 - 8 + 4 ' 4 - (6 * 4 =
e$uimos con los prouctos y cocientes.
= 8 + 5 + (5 + 4 - () - 8 + (6 - 4 =
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Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. peraciones combinadas con paréntesis
,(5 - 4 + & - ,(2 - 5 ' 2 + , 5 + (6 * 4 -5 + ,() - 2 &=
Realizamos en primer lu$ar las operaciones
contenias en ellos.
= ,(5 - 4 + & - ,(2 - () + ,5 + 4 - 5 + ,() - 8 =
uitamos par/ntesis realizano las operaciones.
= (( + & - 2 + 9 - 5 + 2 = (8
3.peraciones combinadas con paréntesis y corchetes
0(5 - ,2& - () * 2 1 ' 05 + ,& '2 - 4 1 - & + ,8 - 2 ' & =
rimero operamos con las potencias" prouctos y
cocientes e los par/ntesis.
= 0(5 - ,8 - 5 1 ' 05 + ,6 - 4 1 - & + ,8 - 6 =
Realizamos las sumas y restas e los par/ntesis.
= 0(5 -& 1 ' 05 + 2 1 - & + 2=
3peramos en los par/ntesis.
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= (2 ' 7 - & + 2
ultiplicamos.
= 84 - & + 2=
Restamos y sumamos.
= 8&
4.!on #racciones
rimero operamos con las productos y n$meros
mi%tos e losparéntesis .
3peramos en el primer paréntesis " !uitamos else$uno" simplificamos en el tercero y operamos en el
%lt imo.
Realizamos el producto y lo simpli#icamos .
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Realizamos las operaciones del paréntesis .
acemos
las operaciones el numerador " dividimos y simpli#icam
os el resultao.
&'ercicio de operaciones combinadas
(4 7 + 4 ' & - 0,-2 2 ' 2 - 61+ ,2 2 + 6 - 5 ' & + & - ,5
- 2& * 2 =
(rimero operamos con las potencias, productos y
cocientes de los paréntesis.
(4 07 + 4 ' & -,4 ' 2 - 61 + ,4 + 6 - 5 ' & + & - ,5 - 8 *2 =
peramos con los productos y cocientes de los
paréntesis.
(4 07 +(2 -,8 - 61 + ,4 + 6 - (5 + & - ,5 - 4 =
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)eali*amos las sumas y di#erencias de los
paréntesis.
(4 ,7 +(2 -2 + ,-5 + & - ,( =
(4 ,(7 + ,-5 + & - , ( =
+a supresi"n de paréntesis ha de reali*arse
considerando que
i el par/ntesis #a preceio el si-no " se
suprimir manteniendo su si-no los t/rminos !ue
conten$a.
i el par/ntesis #a preceio el si-no / " al suprimir
el par/ntesis :ay !ue cambiar de si-no a too los
t/rminos !ue conten$a.
(4 (7 - 5 + & - ( = / 0
3 #racciones
1 Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2 Calcular las potencias y raíces.
3 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4 Efectuar los productos y cocientes.
5 Realizar las sumas y restas.
Eem#o$
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1 Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los
paréntesis.
2 peramos en el primer paréntesis, !uitamos el se"undo, simplificamos en el
tercero y operamos en el último.
3 Realizamos el producto y lo simplificamos.
4 Realizamos las operaciones del paréntesis.
5 #acemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el
resultado.
4razones con proporciones
Proporción
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Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Constante de proporcionalidad
Propiedades de las proporciones
En una proporción del producto de los medios es igual
al producto de los extremos.
En una proporción o en una serie de razones iguales, la
suma de los antecedentes dividida entre la suma de los
consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
Si en una proporción cambian entre sí los medios o
extremos la proporción no varía.
Cuarto proporcional
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Es uno cualquiera de los términos de una
proporción.
Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de
los otros dos términos.
Medio proporcional
Una proporción es continua si tiene los dos medios
iguales . Para calcular el medio proporcional de una
proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de
los extremos.
Tercero proporcional
En una proporción continua , se denomina tercero
proporcional a cada uno de los términos desiguales.
Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los
términos iguales, dividido por el término desigual.
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Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando, almultiplicar o dividir una de
ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada
o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa
entre dos magnitudes cuando
! más corresponde más.
! menos corresponde menos.
Son magnitudes directamente proporcionales , el peso
de un producto " su precio.
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando, almultiplicar o dividir una de ellas
por un número cualquiera, la otra quedadividida o
multiplicada por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad
inversa entre dos magnitudes cuando
! más corresponde menos .
! menos corresponde más .
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Son magnitudes inversamente proporcionales , "a que
a más obreros tardar+n menos (oras.
' obreros -# (
obreros x (
Regla de tres compuesta
Regla de tres compuesta directa
/ueve gri0os abiertos durante -% (oras diarias (an
consumido una cantidad de agua por valor de #% 1. !veriguar
el precio del vertido de -2 gri0os abiertos -# (oras durante
los mismos días.
3 gri0os -% (oras #% 1
-2 gri0os -# (oras x 1
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Si 6 obreros realizan en 3 días traba4ando a razón de
(oras por día un muro de '% m. )*u+ntos días necesitar+n -%
obreros traba4ando 6 (oras diarias para realizar los 2% m de
muro que 0altan
6 obreros 3 días (oras '% m
-% obreros x días 6 (oras 2% m
Repartos directamente proporcionales
Se asocian tres individuos aportando 2%%%, 52%% " 3%%%
1. !l cabo de un a7o (an ganado $2% 1. )8ué cantidad
corresponde a cada uno si (acen un reparto directamente
proporcional a los capitales aportados
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24/57
Repartos inversamente proporcionales
9epartir $#% 1, entre tres ni7os en partes inversamente
proporcionales a sus edades, que son ', 2 " .
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25/57
Porcentaes
!l adquirir un ve(ículo cu"o precio es de 66%% 1, nos
(acen un descuento del 5.2:. )*u+nto (a" que pagar por el
ve(ículo
-%% 1 5.2 1
66%% 1 x 1
66%% 1 ; % 1 < !"#$ %
El precio de un ordenador es de -#%% 1 sin =>!. )*u+nto
(a" que pagar por él si el =>! es del -:
-%% 1 -- 1
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-#%% 1 x 1
) ro>#ema$ con roorcione$
(. ;na m!uina :a proucio ()) piezas en 4 :oras" < Cuntas
proucir en 6 :oras
> (5)? (8)C (4)@ (25
2. ;n transportista coAra & por caa 4 Bm < Cunto coArar por un recorrio e (2) Bm
> 6)? 9)C ())@ 75
&. >na reciAe 2( por cuiar e un nio urante & :oras. < Cunto coArar si lo cuia 2 :oras
> (2? (4C ()
@ (6
4. Clara :a tarao & :oras en mecano$rafiar (6 :oDas e su traAaDoe literatura < Cuntas por mecano$rafiar en una :ora y meia
> 8? ()C 9@ 6
5. i un ciclista tara 2"5 :oras en lle$ar a una ciua a una #elociae &) Bm:. < Cunto tarar en lle$ar a una #elocia e 25 Bm:
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> &? 2C 4@ 5
6. ;n c:ocolatero !uiere repartir AomAones en (5 caDas e 8uniaes caa una. 24? (8C 2)@ (5
7. Entre 6 compaeros relaizan un traAaDo en (2 :oras. 6? (8C 8@ ()
8. Con la paDa !ue ten$o pueo alimentar (5 #acas urante 6 ias.< Cuntas #acas por/ alimentar con la misma paDa urante 9 Fas
> ((
? 9C (2@ ()
9. >nano a 6) pasos por minuto taro 25 minutos en lle$ar a micasa. < Cunto tarar/ a 8) pasos por minuto
> 24 m.? (5 m.C 2) m. &) s$.@ (8 m. 45 s$.
(). 6 ami$os se reparten una caDa e $alletas" tocanoles a caa uno(5 $alletas < Cuntas $alletas les corresponerian si fueran 9 ami$os
> ()? (5C 8@ (2
4 oeracione con monomio$
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1. Suma "e monomio$
$ólo podemos sumar monomios seme%antes.
&a suma de los monomios es otro monomio !ue tiene la misma parte literal y
cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn= (a + b)xn
Eem#o
'x'y(z ) (x'y(z * +' ) (x'y(z * -x'y(z
$i los monomios no son seme%antes, al sumarlos, se otiene un polinomio.
Ejemplo:
'x'y( ) (x'y(z
!. Pro"ucto "e un nBmero or un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio seme%ante cuyo
coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.
Ejemplo:
- / +'x'y(z * 01x'y(z
%. Mu#ti#icaci0n "e monomio$
&a multiplicación de monomios es otro monomio !ue tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y cuya parte literal se otiene multiplicando las potencias !ue ten"an la misma ase, es decir, sumando los exponentes.
axn · bxm = (a · b)xn + m
Ejemplo:
+-x'y(z / +'y'z' * +' / - x'y()'z0)' * 01x'y-z(
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5. Di
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; oeracione$ con o#inomio$
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los
coe&icientes de los términos del mismo grado.
P?x@ < #x' A 2x ; '
8?x@ < $x ; 'x # A #x'
".'rdenamos los polinomios, si no lo est+n.
8?x@ < #x ' ; 'x# A $x
P?x@ A 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ A ?#x ' ; 'x# A $x@
(.)grupamos los monomios del mismo grado .
P?x@ A 8?x@ < #x ' A #x' ; ' x# A 2x A $x ; '
*.+umamos los monomios semeantes .
P?x@ A 8?x@ < $x '; 'x# A 3x ; '
9esta de polinomios
Ba resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el
opuesto del sustraendo.
P?x@ ; 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ ; ?#x ' ; 'x# A $x@
P?x@ ; 8?x@ < #x ' A 2x ; ' ; #x ' A 'x# ; $x
P?x@ ; 8?x@ < #x ' ; #x' A 'x# A 2x; $x ; '
P?x@ ; 8?x@ < 'x # A x ; '
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Cultiplicación de polinomios
Cultiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que t iene de grado el mismo delpolinomio " comocoe&icientes el producto de los
coe&icientes del polinomio por el n,mero .
' D ? #x ' ; ' x# A $x ; #@ < x ' ; 3x# A -#x ;
Cultiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos " cada uno de
los monomios que &orman el polinomio .
' x# D ?#x ' ; 'x# A $x ; #@ < x 2 ; 3x$ A -#x ' ; x#
Cultiplicación de polinomios
P?x@ < #x# ; ' 8?x@ < #x' ; 'x# A $x
+e multiplica cada monomio del primer polinomiopor todos los elementos segundo polinomio.
P?x@ D 8?x@ < ?#x # ; '@ D ?#x ' ; 'x# A $x@ <
< $x2 ; x$ A 6x' ; x' A 3x# ; -#x <
+e suman los monomios del mismo grado.
< $x2 ; x$ A #x' A 3x# ; -#x
+e o-tiene otro polinomio cuo grado es la suma de
los grados de los polinomios que se multiplican.
ambién podemos multiplicar polinomios de siguiente
modo
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Fivisión de polinomios
9esolver la división de polinomios
P?x@ < x2 A #x' ; x ; 6 8?x@ < x# ; #x A -
P/x0 1 2/x0
) la izquierda situamos el dividendo . Si el
polinomio no es completode4amos 3uecos en los lugares que
correspondan.
) la derec3a situamos el divisor dentro de una caa.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el
primer monomio del divisor.
x2 x # < x'
Multiplicamos cada término del polinomio divisor
por el resultado anterior lo restamos del polinomio
dividendo1
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>olvemos a dividir el primer monomio del dividendo
entre el primer monomio del divisor. G el resultado lo
multiplicamos por el divisor " lo restamos al dividendo.
#x$ x # < # x#
Procedemos igual que antes.
2x' x # < 2 x
>olvemos a (acer las mismas operaciones.
6x# x # < 6
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"$x 4 5 es el resto , porque su grado es menor que el
del divisor " por tanto no se puede continuar dividiendo.
x*6(x( 67x6! es el cociente .
Fivisión por 9u00ini
Si el divisor es un -inomio de la &orma x 8 a ,
entonces util izamos unmétodo más -reve para (acer
la división, l lamado regla de Ru&&ini .
9esolver por la regla de 9u00ini la divis ión
?x$ ;'x# A#@ ?x ;'@
"+i el polinomio no es completo9 lo completamos
a:adiendo los términos que &altan con ceros.
(Colocamos los coe&icientes del dividendo en una
l;nea.
*)-ao a la izquierda colocamos el opuesto del
término independendiente del divisor.
#Trazamos una raa -aamos el primer
coe&iciente.
7Multiplicamos ese coe&iciente por el divisor lo
colocamos de-ao del siguiente término.
8/18/2019 1razonamiento aritmético
35/57
5+umamos los dos coe&icientes.
olvemos a repetir el proceso.
>olvemos a repetir.
!El ,ltimo n,mero o-tenido , 75 , es el resto .
=El cociente es un polinomio de grado in&erior en
una unidad al dividendo cuos coe&icientes son los que
3emos o-tenido.
x* 6 * x( 6 5x 6"!
E4ercicios " problemas resueltos de polinomios
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"Fados los polinomios
P?x@ < $x# ; -
8?x@ < x ' ; 'x# A x ; #
9?x@ < x # A x A -
S?x@ < -H#x# A $
?x@ < 'H#x# A2
U?x@ < x#
A #
*alcular
"P?x@ A 8 ?x@ <
< ?$x# ; -@ A ? x ' ; 'x# A x ; #@ <
< x' ; 'x# A $x#A x ; # ; - <
8/18/2019 1razonamiento aritmético
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##P?x@ ; 9 ?x@ <
< #?$x # ; -@ ; ?x # A x A -@ <
< 6x# ; # ; x # ; x ; - <
< (x( 4 x 4 *
7S?x@ A ?x@ A U?x@ <
< ?-H#x# A $ @ A ?'H#x # A2 @ A ?x # A #@ <
< -H# x#
A 'H# x#
A x#
A $ A 2A # <
< *x( 6 ""
5S?x@ ; ?x@ A U?x@ <
< ?-H#x# A $@ ; ?'H#x # A2@ A ?x # A #@ <
< -H#x # A $ ; 'H#x# ; 2 A x# A # <
< "
(Fados los polinomios
P?x@ < x$ ; #x# ; x ; -
8?x@ < x ' ; x# A $
9?x@ < #x $ ;# x ; #
*alcular
P?x@ A 8?x@ ; 9?x@
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< ?x$ ;#x# ; x ; -@ A ?x ' ; x# A $@ ; ? #x $ ; #x ; #@
<
< x$ ;#x# ; x ; - A x ' ; x# A $ ; #x $ A # x A # <
< x$ ; #x$ A x' ;#x# ; x# ; x A # x ; - A $ A # <
< 4x# 6 x* 4 !x( 4 #x 6 7
P?x@ A # 8?x@ ; 9?x@ <
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(?x2 ; '#@ ?x ; #@
C/x0 > x# 6 (x* 6 #x( 6 !x 6 "5 R> $
* ?x$ ;'x# A# @ ?x ;'@
3ro"uct$ noa
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los
coe&icientes de los términos del mismo grado.
P?x@ < #x' A 2x ; '
8?x@ < $x ; 'x # A #x'
".'rdenamos los polinomios, si no lo est+n.
8?x@ < #x ' ; 'x# A $x
P?x@ A 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ A ?#x ' ; 'x# A $x@
(.)grupamos los monomios del mismo grado .
P?x@ A 8?x@ < #x ' A #x' ; ' x# A 2x A $x ; '
*.+umamos los monomios semeantes .
P?x@ A 8?x@ < $x '; 'x# A 3x ; '
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9esta de polinomios
Ba resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el
opuesto del sustraendo.
P?x@ ; 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ ; ?#x ' ; 'x# A $x@
P?x@ ; 8?x@ < #x ' A 2x ; ' ; #x ' A 'x# ; $x
P?x@ ; 8?x@ < #x ' ; #x' A 'x# A 2x; $x ; '
P?x@ ; 8?x@ < 'x # A x ; '
Cultiplicación de polinomios
Cultiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que t iene de grado el mismo del
polinomio " comocoe&icientes el producto de los
coe&icientes del polinomio por el n,mero .
' D ? #x ' ; ' x# A $x ; #@ < x ' ; 3x# A -#x ;
Cultiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos " cada uno de
los monomios que &orman el polinomio .
' x# D ?#x ' ; 'x# A $x ; #@ < x 2 ; 3x$ A -#x ' ; x#
Cultiplicación de polinomios
P?x@ < #x# ; ' 8?x@ < #x' ; 'x# A $x
+e multiplica cada monomio del primer polinomio
por todos los elementos segundo polinomio.
P?x@ D 8?x@ < ?#x # ; '@ D ?#x ' ; 'x# A $x@
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< $x2 ; x$ A 6x' ; x' A 3x# ; -#x <
+e suman los monomios del mismo grado.
< $x2 ; x$ A #x' A 3x# ; -#x
+e o-tiene otro polinomio cuo grado es la suma de
los grados de los polinomios que se multiplican.
ambién podemos multiplicar polinomios de siguiente
modo
Fivisión de polinomios
9esolver la división de polinomios
P?x@ < x2 A #x' ; x ; 6 8?x@ < x# ; #x A -
P/x0 1 2/x0
) la izquierda situamos el dividendo . Si el
polinomio no es completode4amos 3uecos en los lugares que
correspondan.
) la derec3a situamos el divisor dentro de una caa.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el
primer monomio del divisor.
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x2 x # < x'
Multiplicamos cada término del polinomio divisor
por el resultado anterior lo restamos del polinomio
dividendo1
>olvemos a dividir el primer monomio del dividendo
entre el primer monomio del divisor. G el resultado lomultiplicamos por el divisor " lo restamos al dividendo.
#x$ x # < # x#
Procedemos igual que antes.
2x' x # < 2 x
>olvemos a (acer las mismas operaciones.
6x# x # < 6
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"$x 4 5 es el resto , porque su grado es menor que el
del divisor " por tanto no se puede continuar dividiendo.
x*6(x( 67x6! es el cociente .
Fivisión por 9u00ini
Si el divisor es un -inomio de la &orma x 8 a ,
entonces util izamos unmétodo más -reve para (acer
la división, l lamado regla de Ru&&ini .
9esolver por la regla de 9u00ini la divis ión
?x$ ;'x# A#@ ?x ;'@
"+i el polinomio no es completo9 lo completamos
a:adiendo los términos que &altan con ceros.
(Colocamos los coe&icientes del dividendo en una
l;nea.
*)-ao a la izquierda colocamos el opuesto del
término independendiente del divisor.
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#Trazamos una raa -aamos el primer
coe&iciente.
7Multiplicamos ese coe&iciente por el divisor lo
colocamos de-ao del siguiente término.
5+umamos los dos coe&icientes.
olvemos a repetir el proceso.
>olvemos a repetir.
!El ,ltimo n,mero o-tenido , 75 , es el resto .
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=El cociente es un polinomio de grado in&erior en
una unidad al dividendo cuos coe&icientes son los que
3emos o-tenido.
x* 6 * x( 6 5x 6"!
E4ercicios " problemas resueltos de polinomios
"Fados los polinomios
P?x@ < $x# ; -
8?x@ < x ' ; 'x# A x ; #
9?x@ < x # A x A -
S?x@ < -H#x# A $
?x@ < 'H#x# A2
U?x@ < x# A #
*alcular
"P?x@ A 8 ?x@ <
< ?$x#
; -@ A ? x'
; 'x#
A x ; #@ <
< x' ; 'x# A $x#A x ; # ; - <
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< $x# ; - ; x # ; # <
< *x( 4 *
*P?x@ A 9 ?x@ <
< ?$x# ; -@ A ?x # A x A -@ <
< $x# A x# A x ; - A - <
< "$x( 6 x
##P?x@ ; 9 ?x@ <
< #?$x # ; -@ ; ?x # A x A -@ <
< 6x# ; # ; x # ; x ; - <
< (x( 4 x 4 *
7S?x@ A ?x@ A U?x@ <
< ?-H#x# A $ @ A ?'H#x # A2 @ A ?x # A #@ <
< -H# x# A 'H# x # A x# A $ A 2A # <
< *x( 6 ""
5S?x@ ; ?x@ A U?x@ <
< ?-H#x# A $@ ; ?'H#x # A2@ A ?x # A #@ <
< -H#x # A $ ; 'H#x# ; 2 A x# A # <
< "
(Fados los polinomios
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P?x@ < x$ ; #x# ; x ; -
8?x@ < x ' ; x# A $
9?x@ < #x $ ;# x ; #
*alcular
P?x@ A 8?x@ ; 9?x@ <
< ?x$ ;#x# ; x ; -@ A ?x ' ; x# A $@ ; ? #x $ ; #x ; #@
<
< x$ ;#x# ; x ; - A x ' ; x# A $ ; #x $ A # x A # <
< x$ ; #x$ A x' ;#x# ; x# ; x A # x ; - A $ A # <
< 4x# 6 x* 4 !x( 4 #x 6 7
P?x@ A # 8?x@ ; 9?x@ <
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< x# 6 x* 4 #x( 6 #x 6 *
"?x$ ;#x# A# @ D ?x # ;#x A'@ <
< x ;#x2 A 'x$ ; #x$ A $x' ; x# A #x#; $x A<
< x ;#x2 ; #x$ A 'x$ A $x' A #x# ; x# ; $x A <
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"?x$ ; #x' ;--x#A '%x ;#%@ ?x # A 'x ;#@
(?x A 2x$ A 'x# ; #x@ ?x # ; x A '@
* P?x@ < x2 A #x' ;x ; 6 8?x@ < x# ; #x A -
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# Dividir por Ru&&ini
" ?x' A #x A5%@ ?xA$@
(?x2 ; '#@ ?x ; #@
C/x0 > x# 6 (x* 6 #x( 6 !x 6 "5 R> $
* ?x$ ;'x# A# @ ?x ;'@
1&Iinomio al cuadrado
Iinomio de suma al cuadrado
Un -inomio al cuadrado ?suma@ es igual es igual al
cuadrado del primer término, más el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado segundo.
/a 6 -0( > a( 6 ( ? a ? - 6 -(
?x A '@# < x # A # D x D' A ' # < x # A x A 3
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53/57
Iinomio de resta al cuadrado
Un -inomio al cuadrado ?resta@ es igual es igual al
cuadrado del primer término, menos el doble producto del
primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
/a 4 -0( > a( 4 ( ? a ? - 6 -(
?#x ; '@# < ?#x@# ; # D #x D ' A ' # < $x# ; -# x A 3
Suma por di0erencia
Una suma por di&erencia es igual a di&erencia de
cuadrados .
/a 6 -0 ? /a 4 -0 > a ( 4 -(
?#x A 2@ D ?#x J 2@ < ?# x@ # ; 2# < $x# ; #2
Iinomio al cubo
Iinomio de suma al cubo
Un -inomio al cu-o ?suma@ es igual al cubo del
primero, más el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo.
/a 6 -0* > a* 6 * ? a( ? - 6 * ? a ? -( 6 -*
?x A '@' < x ' A ' D x # D ' A ' D xD ' # A '' <
< x ' A 3x# A #5x A #5
Iinomio de resta al cubo
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Un -inomio al cu-o ?resta@ es igual al cubo del
primero, menos el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
/a 4 -0* > a* 4 * ? a( ? - 6 * ? a ? -( 4 -*
?#x J '@' < ?#x@' J ' D ?#x@ # D' A ' D #xD ' # J '' <
< 6x ' J ' x # A 2$ x J #5
rinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del
primero, m+s el cuadrado del seguno, m+s el cuadrado del
tercero, m+s el doble del primero por el segundo, m+s el
doble del primero por el tercero, m+s el doble del segundo por
el tercero.
/a 6 - 6 c0 ( > a( 6 -( 6 c( 6 ( ? a ? - 6 ( ? a ? c 6 ( ?
- ? c
?x# ; x A -@# <
< ?x#@# A ?;x@# A -# A# ? x# ? ?;x@ A # x # ? - A
# ? ?;x@ ? - <
< x$ A x# A - ; #x ' A #x# ; #x <
< x$ ; #x' A 'x# ; #x A -
Suma de cubos
a* 6 -* > /a 6 -0 ? /a ( 4 a- 6 - (0
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6x' A #5 < ?#x A '@ ?$x # J x A 3@
Fi0erencia de cubos
a* 4 -* > /a 4 -0 ? /a ( 6 a- 6 - (0
6x' ; #5 < ?#x ; '@ ?$x # A x A 3@
Producto de dos binomios que tienen un término común
/x 6 a0 /x 6 -0 > x ( 6 / a 6 -0 x 6 a-
?x A #@ ?x A '@ <
< x# A ?# A '@x A # ? ' <
< x# A 2x A
*ocientes notables
11>inomio$ conu(a"o$
3..2 inomios con'u-ados
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El proucto e os n%meros por su iferencia es i$ual al cuarao el primer n%meromenos el cuarao el se$uno n%mero.
Consieremos el proucto*
Es ecir
E G E H 3 *
ultiplicar
3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero*
Cuarao el se$uno n%mero*
>sF pues"
E G E H 3 *
ultiplicar
3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero*
Cuarao el se$uno n%mero*
>sF pues"
E G E H 3 *
ultiplicar3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero*
Cuarao el se$uno n%mero*
>sF pues"
E G E H 3 *
ultiplicar
3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero e la iferencia*
Cuarao el se$uno n%mero e la iferencia*
>sF pues"
1!3..3. inomio con un término com$n
El proucto e os Ainomios el tipo es i$ual al cuarao el primer t/rmino" ms el proucto e la suma e los os se$unos t/rminos por el primer t/rmino" ms el proucto e los se$unos t/rminos.
e trata e emostrar !ue .
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57/57
Lenremos !ue*
Es ecir " tal como !uerFamos emostrar. E G E H 3 *
ComproAar !ue .
3H;CIJK* Lenremos . E G E H 3 *
ComproAar !ue
3H;CIJK* Lenremos .
E G E H 3 *
ComproAar !ue .
3H;CIJK* Lenremos . E G E H 3 *
ComproAar !ue .
3H;CIJK* Lenremos .
1%