Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco 22 de abril de 2013 Geometria Analítica < 1° Semestre 2013 – 1ª Prova Nome:_____________________________________________________________________ ATENÇÃO: Soluções sem os respectivos desenvolvimentos, claramente explicitados, NÃO SERÃO CONSIDERADAS. 01. (3,5 pontos) Diversas quantidades em física são obtidas através de operações vetoriais. Observe atentamente as definições e responda os itens a seguir. Segunda Lei de Newton: ! ! = !! , onde ! ! é a força resultante que atua sobre uma partícula de massa ! e ! é a aceleração adquirida pela partícula. Trabalho de uma força constante: o trabalho ! de uma força resultante constante ! ! sobre uma partícula é calculado na forma ! = ! ! ∙ ! , onde ! = ! ! − ! ! é o deslocamento da partícula, desde a sua posição inicial ! ! até sua posição final ! ! . Força magnética: a força magnética experimentada por uma partícula de carga !, com velocidade ! em um campo magnético ! tem a forma ! ! = !(! × ! ). Campo elétrico: o campo elétrico produzido por uma partícula de carga ! no vácuo em um ponto ! do espaço tem a forma ! = !"! /! ! , onde ! é o vetor que liga a carga e o ponto !, ! é o vetor unitário que aponta na direção de ! e ! = 9 × 10 ! !! ! /! ! é a constante eletrostática do vácuo. a) (1,0) Calcule a aceleração resultante de uma partícula de massa ! = 2,0 !" que está sob ação das forças ! ! = 2! − 5! + 4! !, ! ! = −9! − 3! ! e ! ! = 7! + 15! + ! !. b) (1,0) Calcule o trabalho da força resultante anterior se a partícula vai da posição ! ! = −1, 0, 3 ! até ! ! = 5, 2, −3 !. c) (1,0) Calcule a força magnética de uma partícula de carga ! = −1,0 ! que no instante em que sua velocidade é ! = ! + 2! !/! e o campo magnético que atua sobre ela vale ! = 3! − 5! !. d) (0,5) Calcule o campo elétrico no ponto !, de coordenadas 1, 1, 1 !, que é produzido por uma carga igual a ! = 1/9 ! localizada na origem do sistema de coordenadas cartesianas. 02. (3,0 pontos) Duas partículas ! e ! possuem velocidades constantes e iguais a ! ! = −1, −3, 3 !/! e ! ! = −1, 2, −2 !/! . Quando ! = 0 ! , as posições das partículas ! e ! são 0, 2, −1 ! e 0, 1, 0 ! , respectivamente. a) (1,0) Calcule o ângulo entre as velocidades de ! e !. b) (1,0) Escreva as equações das retas que descrevem as trajetórias das partículas ! e !. b) (1,0) Calcule as coordenadas do encontro entre as duas partículas. 03. (2,0 pontos) As retas ! e ! pertencem a um mesmo plano ! e possuem equações ! = { !, !, ! ∈ ℝ ! /(!, !, !) = (1 − !, 0, !)} ! = { !, !, ! ∈ ℝ ! /(!, !, !) = (1 − !, −!, 0)} para ! em segundos e (!, !, !) em metros. a) (1,0) Escreva a equação geral do plano ! que contém as retas ! e !. b) (1,0) Determine a distância do ponto !(2, 1, 1) ao plano !. 04. (1,5 pontos) Considere os vetores ! ! = (1, 1, 1), ! ! = (1, 1, 0) e ! ! = (1, 0, 0). a) (1,0) Mostre que ! ! , ! ! e ! ! formam um conjunto linearmente independente. b) (0,5) Escreva o vetor ! = (5, −2, 4) como combinação linear de ! ! , ! ! e ! ! .