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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PR-REITORIA DE GRADUAO
CENTRO DE CINCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
NELSON POERSCHKE
PATRICK MATOS MANDULO
RAFAEL JOS CAMELO DE SOUZA
WELLINGTON KENNEDY GOMES DA SILVA
TYAGO S RODRIGUES
Fsica Experimental I
Medidas e Erros
Relatrio
Boa Vista
2013
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SUMRIO
1. INTRODUO
...................................................................................................
03 2. OBJETIVO
..........................................................................................................
04 3. RESUMO
.............................................................................................................
05
4. FUNDAMENTAO TERICA
.......................................................................
06 5. MATERIAL UTILIZADO
..................................................................................
08 6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
.......................................................... 08 7.
RESULTADOS
....................................................................................................
10 8. APRESENTAO DOS CLCULOS
...............................................................
16
CONCLUSO
......................................................................................................
22
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
................................................................
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3
1 INTRODUO
Ao estudar um dado fenmeno fsico natural nos interessa entender
como certas propriedades ou grandezas associadas aos corpos e seus
aspectos participam desse fenmeno. Assim sendo, para a compreenso
de certo acontecimento, na natureza est implcito que devemos
avaliar quantitativamente uma ou mais grandezas fsicas e, portanto,
utilizar e realizar medidas fsicas.
Nesta experincia, realizamos medidas dos lados de uma face de um
paraleleppedo (representado por uma mesa de madeira) utilizando uma
rgua milimetrada; do dimetro externo e do dimetro interno de um
cilindro de metal; e do dimetro e da massa de uma esfera de metal
utilizando o paqumetro e a balana, respectivamente.
A rgua milimetrada: instrumento de madeira, marfim, celuloide ou
metal, de superfcie plana e arestas retilneas, prprio para traar
linhas retas e medir pequenas distncias. Onde, perto da sua borda h
uma escala, nesse caso em milmetros, e apresentando incerteza de 1
mm.
O paqumetro: (do grego: paqui (espessura) e metro (medida)) um
instrumento usado para medir as dimenses lineares internas,
externas e de profundidade de uma pea. Consiste em uma rgua
graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. Segundo
a literatura, desenvolvido por um francs chamado Pierre Vierner
(1580-1637), o qual inventou o mtodo de subdividir em partes
menores uma determinada diviso. Mais preciso que a rgua com uma
incerteza, nesse caso, de 0,05 mm.
A balana analtica mecnica tem passado por uma grande revoluo nas
ltimas dcadas, e usada para se obter massas com alta exatido. A
primeira balana analtica de um prato apareceu no mercado em 1946. A
velocidade e convenincia de se pesar com ela era muito superior
tradicional de dois pratos. Consequentemente, esta nova balana
passou a ser usada na maioria dos laboratrios. Neste experimento
sua incerteza de 0,01g.
Alm das medidas de incertezas, o clculo da densidade (relao
entre a massa de uma substncia e o volume que ela ocupa) de total
importncia para a anlise do experimento.
Nossa experincia foi realizada, em 20 de dezembro de 2012, no
Laboratrio de Fsica da UFRR.
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2 OBJETIVO
Os objetivos deste experimento so:
- aprender a usar rgua milimetrada, o paqumetro e a balana
analtica mecnica;
- calcular a rea, o volume e a densidade dos objetos utilizados
na experincia (esfera, paraleleppedo e cilindro com furo;
- levantar as possveis fontes de erro numa medida;
- discutir a preciso dos diferentes instrumentos de medida;
e
- calcular a propagao de erros nas medidas indiretas.
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3. RESUMO
Com o intuito de se medir corretamente as grandezas fsicas
usando instrumentos de medidas e algumas frmulas matemticas, este
experimento utiliza das medidas primrias, ou diretas, para se
encontrar as grandezas fsicas indiretas, ou derivadas.
Das medidas diretas foram determinados os desvios a partir das
incertezas geradas pelo equipamento utilizado. E para as derivadas,
as incertezas foram calculadas atravs da equao da propagao de
incertezas.
As medidas diretas foram realizadas com o uso da rgua, paqumetro
e balana analtica mecnica. As grandezas derivadas, como a rea, o
volume e a densidade, foram conceituadas atravs das suas definies
matemticas.
Foi possvel concluir que, apesar de pequena, a incerteza gera
certo constrangimento quanto aos resultados finais.
Notaes utilizadas:
dimetro
raio
volume
volume da esfera
volume do cilindro
densidade
massa
desvio/incertezas absolutos;
considerado 3,14;
rea da superfcie;
mdia aritmtica simples
nmero de elementos da amostra
valores da varivel x
varincia
desvio padro
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4. FUNDAMENTAO TERICA
Como tudo o que nos rodeia provido de alguma medida fsica; desde
a Antiguidade que se busca mtodos para defini-las. Porm, hoje a
questo no s defini-las, mas sim obter um valor prximo do valor
terico ou real.
Por mais simples que parea, o ato de medir as grandezas fsicas
no algo to simples. Ele est condicionado a muitos fatores, como a
preciso dos instrumentos e a habilidade do manipulador, paralaxe,
entre outros.
Para a determinao dos valores mdios (mdia aritmtica) utilizamos
a seguinte equao:
=
Para determinao da varincia das medidas, foi utilizada a
seguinte equao:
= ( )
Para determinao do erro padro amostral, foi utilizada a seguinte
equao:
=
Para o clculo do desvio padro mdio, utilizamos:
Para o clculo da incerteza padro, utilizamos:
= +
Com as medidas dos lados de uma face do paraleleppedo (um
retngulo) foi possvel chegar ao valor de sua rea, por meio da
relao:
=
A propagao de incerteza no clculo da rea do retngulo se d
conforme a equao:
= +
Com os dimetros medidos, na esfera e no cilindro foi possvel
chegar ao valor dos raios, conforme a relao:
= 2 =
Para o clculo do volume da esfera:
-
7
=
A propagao de incerteza no clculo do volume da esfera se d
conforme a equao:
=
J para conceituarmos a densidade da esfera, obedece-se a
equao:
=
e a propagao da incerteza
= =
= + +
Para o clculo do volume do cilindro com um furo no centro
calculamos o volume considerando, primeiramente, o raio do cilindro
externo e deste total subtramos o volume do cilindro interno.
= ( = ) ( = )
A propagao de incerteza no clculo do volume do cilindro se d
conforme a equao:
= +
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5. MATERIAL UTILIZADO
Para este procedimento, foram utilizados os seguintes
materiais:
- rgua milimetrada;
- paqumetro;
- balana analtica mecnica;
- paraleleppedo (uma mesa);
- esfera; e
- cilindro perfurado longitudinalmente.
6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
a. Generalidades
- Para o paraleleppedo (mesa) foram realizadas cinco medidas em
cada lado da face superior, cuja rea ser calculada.
- Para o cilindro mediu-se cinco vezes seu dimetro externo, seu
dimetro interno e sua altura.
- Para a esfera mediu-se cinco vezes seu dimetro e sua
massa.
A partir dos dados coletados, calculou-se o valor mdio, o desvio
padro, o desvio padro da mdia (a incerteza tipo A, A ). Em todas as
medies, a incerteza tipo B, B , foi considerada como sendo a
preciso do aparelho de medida e ser explicitada na tabela fornecida
a seguir. Ento, determinou-se a incerteza combinada, C , para cada
grandeza.
Com isto, pode-se determinar um bom valor para as medidas de
cada grandeza e, atravs do conceito de propagao de incertezas,
pode-se tambm calcular as incertezas relacionadas rea da face do
paralelogramo e aos volumes da casca cilndrica bem como o da
esfera. Em seguida, calculou-se a incerteza relativa de cada medida
de volume. Isso muito til por permitir ter uma boa noo da real
qualidade das medies efetuadas.
b. Procedimentos detalhados
No laboratrio.
1 passo - medir a largura e o comprimento do tampo da mesa.
Aferir a rgua com uma medida conhecida e anotar no Caderno de
Laboratrio a eventual discrepncia.
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Com a rgua milimetrada de acrlico de 50 cm medir cinco vezes a
largura e cinco vezes o comprimento do tampo da mesa anotando cada
medida no Caderno de Laboratrio.
2 passo - medir os dimetros externo e interno e a altura do
cilindro.
Aferir o paqumetro, fechando-o totalmente e verificando se suas
escalas esto zeradas e, eventualmente, anotar as discrepncias no
Caderno de Laboratrio.
Utilizando o paqumetro medir cinco vezes o dimetro externo,
cinco vezes o dimetro interno e cinco vezes a altura do cilindro
anotando as medidas no Caderno de Laboratrio.
3 passo - medir o dimetro da esfera.
Utilizando o paqumetro medir cinco vezes o dimetro da esfera
anotando as medidas no Caderno de Laboratrio.
4 passo medir a massa da esfera.
Aferir a balana analtica mecnica verificando se suas escalas
esto zeradas e realizar a regulagem necessria para zer-las.
Medir cinco vezes a massa da esfera anotando no Caderno de
Laboratrio os valores obtidos.
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7. RESULTADOS
INCERTEZA RESIDUAL PRECISO DOS INSTRUMENTOS
Rgua milimetrada
1
Paqumetro
0,05
Balana analtica mecnica
0,01
TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA A MESA
Instrumento: rgua milimetrada Medida Largura (mm) Comprimento
(mm)
1 788 1 1801 1 2 787 1 1799 1 3 788 1 1800 1 4 787 1 1800 1 5
788 1 1799 1
TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA A ESFERA DE
AO
Instrumentos: paqumetro e balana analtica mecnica Medida Dimetro
(mm) Massa (g)
1 17,95 0,05 23,85 0,01 2 18,00 0,05 23,83 0,01 3 17,95 0,05
23,85 0,01 4 17,95 0,05 23,84 0,01 5 18,00 0,05 23,85 0,01
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TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA O CILINDRO COM
FURO
Instrumentos: paqumetro e balana analtica mecnica
Medida Dimetro externo (mm) Dimetro
interno (mm) Altura (mm) Massa (g)
1 33,95 0,05 3,25 6,65 49,91 0,01 2 34,00 0,05 3,20 6,65 49,89
0,01 3 33,95 0,05 3,30 6,70 49,91 0,01 4 33,95 0,05 3,20 6,60 49,90
0,01 5 33,90 0,05 3,15 6,60 49,91 0,01
DETERMINAO DOS VALORES MDIOS (atravs da mdia aritmtica) DAS
MEDIDAS REALIZADAS
Objeto Largura (mm) Comprimento (mm) Mesa 787,6 mm 1 1799,8
Objeto Dimetro (mm) Massa (g) Esfera 17,97 0,05 23,844 0,01
Objeto Dimetro externo (mm) Dimetro
interno (mm) Altura (mm Massa (g)
Cilindro 33,95 0,05 3,22 0,05 6,64 0,05 49,904 0,01
DETERMINAO DA VARINCIA DAS MEDIDAS REALIZADAS Objeto Largura
Comprimento Mesa 0,3 0,7
Objeto Dimetro Massa Esfera 0,00075 0,00008
Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa
Cilindro 0,00125 0,00325 0,00175 0,00008
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DETERMINAO DO DESVIO PADRO DAS VARINCIAS ENCONTRADAS EM CADA
DIMENSO
Objeto Largura Comprimento Mesa 0,547722557 0,836660026
Objeto Dimetro Massa Esfera 0,027386127 0,008944271914
Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa
Cilindro 0,035355339 0,057008771 0,041833001 0,008944271914
DETERMINAO DO DESVIO PADRO MDIO DAS MEDIDAS ( ) Objeto Largura
Comprimento
Mesa 0,244948974 0,374165738
Objeto Dimetro Massa Esfera 0,012247448 0,004000069
Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa
Cilindro 0,015005532 0,025495097 0,018708286 0,004000069
DETERMINAO DA INCERTEZA PADRO Objeto Largura Comprimento
Mesa 1,029563 1,0677078
Objeto Dimetro Massa Esfera 0,05147814 0,010345142
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Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa
Cilindro 0,052203122 0,05612486 0,05338539 0,010770585
DETERMINAO DOS RAIOS A PARTIR DO DIMETRO MDIO Objeto Raio (mm)
Esfera 8,985
Objeto Raio do cilindro (mm) Raio do furo (mm)
Cilindro 16,975 1,61
MESA
DETERMINAO DA REA DA MESA
= = 1799,8 787,6 = 1417522,48
DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DA REA DA MESA
= + ,
= ,,
+ ,,
, = 0,0000003519 + 0,0000017088
= (0,0000003519 + 0,0000017088). (1417522,48 ) = 2034,87
0,144% de erro
ESFERA
DETERMINAO DO VOLUME DA ESFERA
= = . 8,985 = 3038,39 mm
= 3038,39 mm
DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DO VOLUME DA ESFERA
= ,
= ,,
-
14
,= 8,206 10
= 8,206 10 . (3038,39 mm ) = 8,70399
0,286%
DETERMINAO DA DENSIDADE DA ESFERA
= = ,,
= .1000 = 7,84758
= 7,84758
DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DA DENSIDADE DA ESFERA
= + ,
= ,,
+ ,,
= (0,000008206 + 0,00000018824). (7,84758 ) = 0,00227
0,29%
CILINDRO
DETERMINAO DO VOLUME DO CILINDRO
= ( = ) ( = )
= ( 16,975 . 6,64) ( 1,61 . 6,64) = 5956,80
= 5956,80
DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DO VOLUME DO CILINDRO
= + +
5956,80 =0,06101561
16,975 +0,05338539
6,64 +0,02806243
1,61
= (0,00001292 + 0,00006464 + 0,00204128). (5956,80 ) =
274,197
4,6031%
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15
DETERMINAO DA DENSIDADE DO CILINDRO
= = ,,
= .1000 = 8,3776
= 8,3776
DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DA DENSIDADE DO CILINDRO
= + ,
= ,,
+ ,,
= (0,0021188 + 0,00021583). (8,3776 ) = 0,4047
4,832%
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16
8. APRESENTAO DOS CLCULOS.
DETERMINAO DA VARINCIA DAS MEDIDAS REALIZADAS
Medida Largura (mm) Comprimento (mm)
1 788 1 1801 1 2 787 1 1799 1 3 788 1 1800 1 4 787 1 1800 1 5
788 1 1799 1
Determinao da varincia na medida da largura da mesa
= ( )
Determinao da varincia na medida do comprimento da mesa
= ( )
xi Fi xiFi
=14
65
=6
20
= 3101570 ( )
= 3101570
= =
= 0,3
787 2 1574 1238738
788 3 2364 1862832
5 3938 3101570
xi Fi xiFi
=14
145
=1420
= 16196403 ( )
= 16196403
= =
= 0,7
1799 2 3598 6472802
1800 2 3600 6480000
1801 1 1801 3243601
5 8999 16196403
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17
Determinao da varincia na medida do dimetro da esfera
Medida Dimetro (mm) Massa (g) 1 17,95 0,05 23,85 0,01 2 18,00
0,05 23,83 0,01 3 17,95 0,05 23,85 0,01 4 17,95 0,05 23,84 0,01 5
18,00 0,05 23,85 0,01
= ( )
Determinao da varincia na medida da massa da esfera
= ( )
xi Fi xiFi
=14
0,0155
=0,015
20
= 1614,6075 ( , )
= 1614,6075 ,
= , , = ,
= 0,00075
17,95 3 53,85 966,6075
18 2 36 648
5 89,85 1614,6075
xi Fi xiFi
=14
0,00165
=0,0016
20
= 2842,682 ( , )
= 2842,682 ,
= , , = ,
= 0,00008
23,83 1 23,83 567,8689
23,84 1 23,84 568,3456
23,85 3 71,55 1706,4675
5 119,22 2842,682
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18
Determinao da varincia na medida do dimetro externo do
cilindro
Medida Dimetro externo (mm) Dimetro
interno (mm) Altura (mm) Massa (g)
1 33,95 0,05 3,25 6,65 49,91 0,01 2 34,00 0,05 3,20 6,65 49,89
0,01 3 33,95 0,05 3,30 6,70 49,91 0,01 4 33,95 0,05 3,20 6,60 49,90
0,01 5 33,90 0,05 3,15 6,60 49,91 0,01
= ( )
Determinao da varincia na medida do dimetro interno do
cilindro
= ( )
xi Fi xiFi
=14
0,0155
=0,025
20
= 5763,0175 ( , )
= 5763,0175 ,
= , , = ,
= 0,00125
33,90 1 33,90 1149,21
33,95 3 101,85 3457,8075
34,00 1 34,00 1156
5 169,75 5763,0175
xi Fi xiFi
=14
0,0155
=0,025
20
= 51,855 ( , )
= 51,855 ,
= , , = ,
= 0,00325
3,15 1 3,15 9,9225
3,20 2 6,40 20,48
3,25 1 3,25 10,5625
3,30 1 3,30 10,89
5 16,1 51,855
-
19
Determinao da varincia na medida da altura do cilindro
= ( )
Determinao da varincia na medida da massa do cilindro
= ( )
xi Fi xiFi
=14
0,0155
=0,035
20
= 220,445 ( , )
= 220,445 ,
= , , = ,
= 0,00175
6,60 2 13,2 87,12
6,65 2 13,3 88,445
6,70 1 6,7 44,89
5 33,2 220,445
xi Fi xiFi
=14
0,0155
=0,0016
20
= 12452,0464 ( , )
= 12452,0464 ,
= , , = ,
= 0,00008
49,89 1 49,89 2489,0121
49,90 1 49,90 2490,01
49,91 3 149,73 7473,0243
5 249,52 12452,0464
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20
DETERMINAO DO DESVIO PADRO DAS VARINCIAS ENCONTRADAS EM CADA
DIMENSO
Objeto Largura Comprimento
Mesa = 0,3 = 0,7
Objeto Dimetro Massa
Esfera = 0,00075 = 0,00008
Objeto Dimetro externo Dimetro interno
Altura Massa
Cilindro = 0,00125 = 0,00325 = 0,00175 = 0,00008
DETERMINAO DO DESVIO PADRO MDIO DAS MEDIDAS Objeto Largura
Comprimento
Mesa 0,547722557
5
0,8366600265
Objeto Dimetro Massa Esfera
0,0273861275
0,008944271914
5
Objeto Dimetro externo Dimetro interno Massa
Cilindro 0,035355339
5
0,0570087715
0,008944271914
5
Altura
0,041833001
5
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21
DETERMINAO DA INCERTEZA PADRO Objeto Largura Comprimento
Mesa = 0,244948974 + 1
= 1,06 = 1,029563
= 0,374165738 + 1 = 1,13999999 = 1,0677078
Objeto Dimetro Massa Esfera
= 0,012247448 + 0,05
= 0,002649999 = 0,05147814
= 0,0026499 + 0,01
= 0,00010702197 0,010345142
Objeto Cilindro
Dimetro externo
= 0,015005532 + 0,05
= 0,002725165991 = 0,052203122
Dimetro interno
= 0,025495097 + 0,05
= 0,00314999997 = 0,05612486
Massa = 0,004000069 + 0,01
= 0,000116000552 = 0,010770585
Altura = 0,018708286 + 0,05
= 0,002849999965 = 0,05338539
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22
CONCLUSO
Apesar de se parecer simples, o ato de medir envolve diversas
condies. Pode ser observado que a qualidade do instrumento
utilizado influi muito no resultado da experincia.
Para medir adequadamente algum objeto necessrio atentar com o
grau de preciso do instrumento utilizado. Observar se o meio
ambiente no vai interferir na obteno do resultado. Alm de assumir o
erro na hora de manusear os equipamentos, o que vem afetar o
resultado do experimento.
O mtodo cientfico empregado nesse experimento bem claro e
relativamente simples, mas no pode ser ignorado, pois traz maior
preciso na coleta dos valores.
Na medio do furo do cilindro houve alguma dificuldade pois o
instrumento utilizado (paqumetro) no era o mais adequado para a
realizao daquela medida, fato comprovado nos resultados e na
disparidade que ocorreu no volume e, consequentemente, na densidade
do cilindro.
A rgua milimetrada mostrou-se eficaz para realizar a medida a
ela atribuda, mas quando se tratar de medio que exija um maior grau
de preciso, ela no deve ser usada. A medio foi prejudicada, ainda,
porque a rgua no era menor que o tamanho do objeto, o que demandou
medidas continuadas com marcao de incio e fim e contagem de quantas
rguas foram medidas. Para qualquer trabalho que exija alta preciso
o instrumento no pode ter dimenso menor que o objeto a ser
medido.
Os resultados foram satisfatrios e condizem com a realidade. Os
erros so explicados pela falta de experincia no manuseio dos
instrumentos, caso que dever ser minimizado com o decorrer das
novas experincias a serem realizadas.
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23
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
ABNT: NBR 14724: - Apresentao de trabalhos acadmicos - 2005.
MACEDO, Zlia S.; MAIA, Ana F.; VALERIO, Mrio E. G.; Apostila de
Laboratrio de
Fsica A; UFS; 2009.
MARTINS, Gilberto de Andrade e DONAIRE, Denis Princpios de
Estatstica Editora
Atlas S.A, - 4 Edio So Paulo 2006.
MORAES, Leandro Relatrio UFAM 2012
RASCHNY, J. R. Aspectos Elementares; Uso em um laboratrio de
Fsica Bsica; 2008.
S, Renato Laureano Apostila de erros e medidas para experimental
I. UFRR 2012.
S, Renato Laureano Guia de experimento: medidas e erros. UFRR
2012.
S, Renato Laureano Modelo de relatrio de atividades
experimentais. UFRR 2012.
SUAIDE, Alexandre Introduo s Medidas em Fsica Apostila
Departamento de Fsica
da USP - 2005