Matemticas 1 ESO
1. NMEROS NATURALES.- Los nmeros naturales fueron inventados por
el hombre para contar y ordenar. - El conjunto de los nmeros
naturales se denota por la letra N: N={0, 1,2,3,4,5,6,7,8.9, 10,
11,12,.........} Propiedades de la adicin y de la multiplicacin de
nmeros naturales: Para poder traducir a lenguaje matemtico el
enunciado de las propiedades, las Matemticas utilizan letras para
representar nmeros cualesquiera. De esta manera podremos escribir
la expresin general de cada una de las propiedades de la adicin y
multiplicacin de nmeros naturales: 1.- Propiedad conmutativa de la
adicin: a + b = b + a 2.- Propiedad conmutativa de la
multiplicacin: a b = b a 3.- Propiedad asociativa de la adicin: a+
(b + c) (a + b) + c 4.- Propiedad asociativa de la multiplicacin: a
(b c) = (a. b) c 5.- Propiedad distributiva de la multiplicacin
(respecto de la suma y de la diferencia): SUSTRACCIN (b + c) a = b
a + c a (b - c) a = b a - c a Dados dos nmeros, llamados minuendo y
sustraendo, se llama diferencia de ambos al nmero que hay que sumar
al sustraendo para obtener el minuendo: Sustraendo + Diferencia =
Minuendo. La operacin que permite obtener la diferencia, a partir
del minuendo y del sustraendo, se llama resta o sustraccin, y se
representa por el signo . Minuendo Sustraendo = Diferencia Minuendo
- Sustraendo = Diferencia SIGNIFICA: Sustraendo + Diferencia =
Minuendo Divisin. Dados dos nmeros, llamados dividendo y divisor,
se llama cociente de ambos al nmero que multiplicado por el divisor
es igual al dividendo: Cociente Divisor Dividendo A la operacin
que, a partir del dividendo y del divisor, permite hallar el
cociente se le llama divisin exacta o, simplemente, divisin, y se
representa por el signo , Dividendo Divisor = Cociente SIGNIFICA:
Cociente Divisor = Dividendo Propiedades de la divisin: 1.- Si el
divisor de una divisin exacta se multiplica o se divide por un
nmero, el cociente quedar, respectivamente, dividido o multiplicado
por este nmero. 2. Si el dividendo de una divisin exacta se
multiplica o se divide por un nmero, el cociente quedar,
respectivamente, multiplicado o dividido por este nmero. 3.- Si se
multiplican o dividen a la vez el dividendo y el divisor de una
divisin exacta por un mismo nmero, el cociente no vara: a b = (a n)
(b n) ab=(an)(b n). 4.- Propiedad distributiva.- Para dividir una
suma por un nmero se puede proceder dividiendo cada sumando por
dicho nmero y, a continuacin, sumar los resultados:
Juan Antonio Domnguez Rueda
1
Matemticas 1 ESO
(b + c + d) a = b a + c a + d a Anlogamente, para dividir una
diferencia por un nmero, se pueden dividir el minuendo y el
sustraendo por dicho nmero y, a continuacin, restar los resultados:
(b - c) a = b a - c a (En esta 4 propiedades se supone que las
divisiones de los 2 miembros son exactas) Divisin Entera o Eucldea:
La divisin entera o eucldea de dos nmeros naturales, llamados
dividendo y divisor, es la operacin que consiste en averiguar dos
nmeros naturales, uno llamado cociente y el otro llamado resto (que
debe ser menor que el divisor), que verifiquen la siguiente
relacin: Dividendo = Cociente Divisor Resto 2. NMEROS DECIMALES.
Orden en los nmeros decimales: Dados dos nmeros decimales, el mayor
de ellos es el que, para la misma unidad, representa una cantidad
mayor. Adicin y sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o
sustraer nmeros decimales procederemos como si se tratasen de
naturales, teniendo cuidado de que se correspondan las comas en la
misma columna. En el resultado colocaremos una coma debajo de la
correspondiente columna de comas. Multiplicacin de nmeros
decimales: El producto de dos nmeros decimales se obtiene
multiplicndolos como si fuesen nmeros naturales (prescindiendo de
la coma), y separando en el resultado tantas cifras decimales como
tengan conjuntamente los dos factores. Divisin de nmeros decimales:
Para dividir un nmero decimal por un nmero natural, utilizaremos la
misma tcnica que para dividir nmeros naturales, colocando la coma
en el cociente cuando bajemos del dividendo la cifra
correspondiente a las dcimas. Para dividir dos nmeros decimales,
primero se multiplican el dividendo y el divisor por un uno seguido
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y, una vez
transformado el divisor en natural, se efecta la divisin tal y como
hemos indicado en a regla anterior. Propiedades de las operaciones
con nmeros decimales: * La adicin y a multiplicacin de nmeros
decimales cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. * El
producto es distributivo respecto de la suma y de la diferencia: (b
+ c) . a = b . a + c a (b - c) a = b . a - c a * La divisin de
decimales tambin cumple las propiedades de la divisin eucldea.
POTENCIAS Una potencia es un producto de factores iguales. El
factor que se repite en una potencia se llama base y el nmero de
veces que se repite se llama exponente.
Juan Antonio Domnguez Rueda
2
Matemticas 1 ESO
Las potencias se representan, abreviadamente, escribiendo la
base , y a su derecha, algo ms alto, el exponente: be. Por
convenio, si a representa a un nmero cualquiera, a1 = a. El
producto de dos potencias con la misma base es otra potencia de
igual base y exponente igual a la suma de los exponentes: am an =
am+n. El cociente de dos potencias con la misma base es otra
potencia de igual base y exponente igual a la diferencia de los
exponentes: am/ an = am-n. Raz cuadrada Dado un nmero, llamado
radicando, se llama raz cuadrada de l al nmero que elevado al
cuadrado lo iguala. La operacin que, a partir del radicando,
permite hallar la raz cuadrada se llama radicacin, y su signo es a
. Clculo aproximado El redondeo de un nmero dado, a un determinado
orden de unidad decimal, se obtiene haciendo 0 todas las cifras de
dicho nmero que se encuentran a la derecha del orden elegido,
dejando la cifra correspondiente a este orden invariable si la
primera cifra anulada es menor que 5, incrementndola en 1 si la
primera cifra anulada es mayor o igual que 5. El error cometido al
redondear un nmero es igual a la diferencia entre e! valor exacto y
el redondeo (eligiendo como minuendo el mayor de ellos). Se llama
orden de magnitud del resultado de un clculo a su valor estimado
cuando todos los operandos se redondean a sus respectivas unidades
decimales de mayor orden. Ejemplo: El orden de magnitud del
producto 12.345 . 163 es 10.000 200 = 2.000.000 3. MULTIPLOS Y
DIVISORES. Un nmero natural a es un mltiplo de otro b, si es 0 el
resto de la divisin entera de a por b. Tambin se dice que a es
divisible por b, o que b es un divisor de a. Los mltiplos de a se
obtienen multiplicando a por cada uno de los nmeros naturales: 0a,
1a, 2a, 3a, 4a Propiedades de los mltiplos y divisores: 1.- La suma
de varios mltiplos de un nmero tambin es un mltiplo de este nmero.
2.- La diferencia entre dos mltiplos de un nmero tambin es un
mltiplo de dicho nmero. 3.- Si un nmero es divisor de otros, tambin
lo es de su suma. 4.- Si un nmero es divisor de otros dos, tambin
lo es de su diferencia. 5.- Al multiplicar un mltiplo de un nmero
por cualquier natural, el resultado tambin es un mltiplo de dicho
nmero. 6.- Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad. 7.- El
1 es divisor de cualquier nmero. 8.- Si un nmero es divisor de
otro, lo es tambin de cualquier mltiplo de ste. 9.- El O es mltiplo
de cualquier nmero, y no es divisor de ninguno. Criterios de
divisibilidad. La condicin para que un nmero natural sea divisible:
a) por 10: que termine en 0. b) por 2: que termine en 0, 2, 4, 6 u
8. c) por 5: que termine en o en 5.
Juan Antonio Domnguez Rueda
3
Matemticas 1 ESO
d) por 3: que la suma de sus cifras sea un mltiplo de 3. Nmeros
primos. Los nmeros naturales que slo tienen 2 divisores (l mismo y
el 1) se llaman nmeros primos. El 1 no se considera primo. Los
nmeros naturales que no son primos se llaman nmeros compuestos.
Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo. El mximo comn divisor
(m.c.d.) de varios nmeros es el mayor de los divisores comunes. El
mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros es el menor de los
mltiplos comunes distintos de cero.
MAGNITUDES La longitud, la extensin, la capacidad, el peso, son
cualidades de los objetos que pueden representarse mediante nmeros:
Son magnitudes. Tu estatura, tu peso, la superficie de tu pupitre,
son cantidades de magnitud. Para medir cantidades de una magnitud
hay que elegir una de ellas como unidad. UNIDADES DE LONGITUD En el
Sistema Mtrico Decimal, adoptado por la mayora de los pases, la
unidad de longitud es el metro, junto con sus mltiplos y
submltiplos decimales:
Cuando el nmero que representa a una medida est referido a
varias unidades, se llama nmero complejo. Ejemplo: 15 hm 56 m 75 dm
33 mm. Si est referido a una nica unidad, se llama incomplejo.
Ejemplo: 15,63533 hm. NOTACIN CIENTIFCA Escribir un nmero en
flotacin cientfica consiste en escribirlo como el producto de una
potencia de 10 por un nmero decimal con una sola cifra entera (la
de las unidades). Por ejemplo: 1 .234 = 1,234 x 1 Q3 UNIDADES DE
SUPERFICIE Unidades de superficie o de rea en el Sistema Mtrico
Decimal:
En las unidades de rea, cada unidad es CIEN VECES mayor que su
inmediata inferior. Las unidades agrarias son:
Juan Antonio Domnguez Rueda
4
Matemticas 1 ESO
UNIDADES DE CAPACIDAD En el Sistema Mtrico Decimal, la unidad de
capacidad es el litro, junto con sus mltiplos y submltiplos
decimales:
UNIDADES DE PESO En el Sistema Mtrico Decimal, la unidad de peso
es el gramo, junto con sus mltiplos y submltiplos decimales:
A los mltiplos del gramo hay que aadirles el quintal mtrico (Q)
= 100 kg, y la tonelada mtrica (Tm) = 1 .000 kg. 1 litro de agua
pesa, aproximadamente, 1 kilogramo.
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx FRACCIONES El nmero natural
situado debajo de la raya de una fraccin se llama denominador, e
indica el nmero de partes iguales (equivalentes) en que se divide
la unidad (o el todo). El nmero natural situado encima de la raya
se llama numerador, e indica el nmero de esas partes que se
consideran numerador.
Juan Antonio Domnguez Rueda
5