集合論の基礎(1) 集合演算、デカルト積 (教科書:1.1~1.3) 藤田 聡 (広島大学)
集合論の基礎(1)
集合演算、デカルト積(教科書:1.1~1.3)
藤田 聡
(広島大学)
集合と要素
対象(object)の集まりを集合(set)という
集合を構成する対象を、集合の要素(element)、または元という
例: Vを英語の母音の集合とすると、
V ={ a,e,i,o,u }であり、
たとえばaはVの要素
集合はその要素を含む(contain)あるいは要素は集合に属す(belong to)という
要素aが集合Sに属すとき、a∈Sとかく
2つの集合A,Bが条件a∈A ↔ a∈B を満たすとき、AとBは等しい(equal)といい、A=Bと記す
例
要素を明示することによって集合を表記することができる。たとえば
• N ={ 0,1,2,… } 自然数全体の集合
• Z ={ …, -2, -1, 0, 1, 2, … } 整数集合
• R ={ x | xは実数 } 実数集合– Nはnatural number, Rはreal numberからきており、Zはドイツ語のZahlenからきている
定義から、{1,3,5} ={5,3,1}
空集合
要素をひとつも含まない集合を空集合(empty set)と呼びΦであらわす
Φ={ }
部分集合
AがBの部分集合(subset)であるとは、Aの要素がつねにBの要素であるときであり、A⊆Bと表示する
A⊆B = ∀x(x∈A→x∈B)
任意の集合Sに対して
Φ⊆S ∧ S⊆S
真部分集合
A⊆BかつA≠Bのとき、AをBの真部分集合(proper subset)と呼びA⊂Bと表記する
集合の濃度
集合Sがちょうどn個の要素をもつとき、Sを有限集合(finite set)と呼ばれる。またこのときnをSの濃度(cardinality)と呼び、|S|などであらわす
有限集合でない集合は無限集合である
例
定義からΦは有限集合であり、|Φ|=0
いっぽうN, R, Zは無限集合
• 無限集合の濃度については後述する
べき集合
• 集合Sを与えたときSのべき集合(power set)はSの部分集合の集合であり、P(S)と表記する
例
• S = { 0,1,2 }ならば、
• P(S) = { Φ, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1,2}, {2,0}, {0,1,2} }
• S = Φならば P(S) = {Φ}
• S ={Φ}ならばP(S)=P({Φ})={Φ, {Φ}}
直積(デカルト積)
• 順序対を(a1, a2, …, an)と表記する
• AとBの直積(Cartesian product)をA×Bであらわす: A×B={(a,b)|a∈A∧b∈B }
例
• A={ 0,1,2 }, B={ a,b }とすると、
• A×B={ (0,a), (1,a), (2,a), (0,b), (1,b), (2,b) }
集合演算
集合和(union): A∪B={ x|x∈A∨x∈B }
集合積(intersection):
A∩B={ x|x∈A∧x∈B }
集合差(difference):
A-B={ x|x∈A∧x∉B }
補集合(complement):
A={ x|x∉A}=U-A (U: universe)
例
• 等式 A∩B=A∪B を証明しよう
例
• x∈ A∩Bとせよ
• x ∉A∩Bすなわちx∉A又はx∉Bが成立
• これはx∈A∪B、したがって
A∩B ⊆ A∪B
例
• 逆に、x∈ A∪Bとせよ
• x∉A又はx∉Bすなわちx∉A∩Bが成立
• これはx∈A∩B、したがって
A∩B⊇A∪B
両方から
A∩B=A∪B
集合論の基礎(2)
関係(教科書:1.4~1.8)
二項関係
• 集合Aと集合Bの直積A×Bの部分集合Rを二項関係と呼ぶ
• A=Bのとき、RをA上の関係という
• (a,b)∈Rのとき、aとbはRの関係にあるといい、aRbまたはR(a,b)などとかく
• 項の数をnとしたn項関係も自然に定義できる
関係の定義域と値域
• 関係R⊆A×Bの定義域(domain)は、
{ a∈A | (a,b) ∈ R }
• 関係R⊆A×Bの値域(range)は、
{ b∈B | (a,b) ∈ R }
例
• A = { 1, 2, 3, 4 }
• A上の大小関係Rは以下のように定義される:
• R = { (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }
• Rの定義域は{ 1,2,3 }、Rの値域は{ 2,3,4 }
関係の性質(1)
• 反射性–任意のa∈Aについて(a,a)∈Rのとき、Rは反射的であるという
• 対称性–任意のa,b∈Aについて(a,b)∈Rならば(b,a)∈Rのとき、Rは対称的であるという
• 推移性–任意のa,b,c∈Aについて(a,b)∈Rかつ(b,c)∈Rならば(a,c)∈Rのとき、Rは推移的であるという
関係の性質(2)
• 反反射性
–任意のa∈Aについて(a,a)∉Rのとき、Rは反反射的であるという
• 反対称性
–任意のa,b∈Aについて(a,b)∈Rかつ(b,a)∈Rならばa=bであるとき、Rは反対称的であるという
同値関係
• 集合A上の関係Rが反射的、対称的、推移的であるとき、Rは同値関係であるという
• 「通常の意味での」同値をイメージすればOK
–数字に対する等号
–集合の意味での等号
– リストの意味での等号、etc..
– 「3で割った余りが等しい」というのも同値関係
同値類と代表元
• A上の同値関係Rを考える。任意のa∈Aに大して集合[a]R = { x | (a,x)∈R }をaのRによる同値類といい、aを同値類[a]Rの代表元と呼ぶ
集合の分割
• Aが空でないとき、{ S1, S2, …, Sm }は以下の条件を満たすときAの分割(partition)という:
1. 各Si が空でないこと
2. 任意のi,jについて(i≠j)、Si∩Sj =φであること
3. S1∪S2∪ … ∪Sm= Aであること
商集合
• Aの同値関係Rに対して、すべての同値類の集合{ [a]R | a∈A }をAのRによる商集合と呼び、A/Rとかく
• Aの同値関係Rによる商集合A/Rはひとつの分割である
順序関係(ordered relation)
• 以下の3つの法則が成立するような関係≦を順序関係(ordered relation)と呼ぶ
1) 反射法則(reflexive law): x≦x
2) 反対称法則(asymmetric law):
x≦y かつ y≦x ならば x=y
3) 推移法則(transitive law):
x≦y かつ y≦z ならば x≦z
順序集合(ordered set)
• 元の間に順序関係が定義された集合Xを順序集合と呼ぶ
• 元a∈Xは、任意のx∈Xに対してx<aとならないとき極小(minimal)であるという
ハッセ図
111
011101110
001010100
000
整列集合(well ordered set)
• 順序集合Xが、条件∀x、y∈X(x≦y∨y≦x)を満たすとき、全順序(total ordered)であるという
• 全順序集合Xの空でない任意の部分集合が極小元(実際には最小元)をもつとき、Xを整列集合という
例
• 非負整数の集合は,通常の順序のもとで整列集合である
• 整数の集合は整列集合ではない
• X={a,b,c,d}とし、2Xを考える。通常の集合間の包含関係で順序を定めると,2Xは全順序ではないので整列集合ではない
• 非負実数の集合は通常の順序のもとで整列集合ではない。たとえば部分集合(1,2)は最小元をもたない
数学的帰納法(Mathematical Induction)
• 非負整数nに対する性質P(n)を証明するとき,
1.基底段階(base step):
P(0)が正しいことを示す
2.帰納段階(induction step):任意の非負整数nについて、P(n)→ P(n+1)が正しいことを示す(P(n)を帰納法仮定(induction hypothesis)と呼ぶ)
数学的帰納法(Mathematical Induction)
• 要するに,
(P(0)∧∀n (P(n)→P(n+1)))→∀n P(n)
※∀n P(n)を仮定しているわけではないことに注意
数学的帰納法が正しいことの証明(1)
• (P(0)∧∀n(P(n)→P(n+1)))がTであるにも関わらず∀nP(n)がFであると仮定する
• したがってあるnが存在してP(n)=F
• S={ n: P(n)=F }とすると、S≠Φであるから、最小元kが存在する(整列集合だから)
数学的帰納法が正しいことの証明(2)
• P(0)=Tであるからk≠0である
• k-1は非負整数であり,k-1<kであるから、k-1はSには属さない。すなわちP(k-1)=T
• ところがP(k-1)→P(k)はTだからこれは矛盾。証明終わり
集合論の基礎(3)
関数,濃度(教科書: 1.9, 1.10)
藤田 聡
(広島大学)
関数(function)とは?
• AとBを集合とする
• AからBへの関数とは、Aの各要素に対するBの要素の割当てである
• b∈Bをa∈Aに対して割当てられた要素とすると、b=f(a)とあらわす
• Aを領域(domain)、Bを終集合(co-domain)、b=f(a)をaの像、f(A)={f(a)|a∈A}を値域(range)とよぶ
例
• A={ 春, 夏, 秋, 冬 },
• B={ コーヒー, 紅茶, ミルク }とする
f
春 コーヒー
夏 紅茶
秋 ミルク
冬
関数の種類(1)
• 単射(injective)又は一対一(one-to-one)
※ f(x)=f(y) ⇒ x=y を満たすとき
a 1
b 2
c 3
こんなことが起こらない
関数の種類(2)
• 全射(surjective)又は上への関数(onto) ※B=f(A)であるとき
a 1
b 2
c 3
こんなものがないとき
関数の種類(3)
• 全単射(bijection)又は一対一対応(one-to-one correspondence)
a 1
b 2
c 3
関数の合成(composition)
• g: A→B, f: B→Cとする
• f○gを(f○g)(x)=f(g(x))で定義する
A B Cg f
例
• f(x)=2x+3, g(x)=3x+2とする
(f○g)(x)=f(g(x))=f(3x+2)
=2(3x+2)+3 = 6x+7
(g○f)(x)=g(f(x))=g(2x+3)
=3(2x+3)+2=6x+11
逆関数
• f: A→Bを全単射とする
• f-1: B→Aを、
f(A)=B のときf-1(B)=A
によって定義する
例
• f(x)=x+1のとき、
f-1(y)=y-1
濃度(cardinality)
• 集合AとBの間に一対一対応があるとき、AとBの濃度は等しいという
• 自然数と同じ濃度をもつ集合を可算集合(countable set)とよぶ
例
• 奇数の自然数のみならなる集合は可算である
f(n)=2n-1
とすれば、f(n)は奇数の集合と自然数の集合との間の一対一対応を与える
なぜか?
例
1) f(n)は単射である
f(n)=f(m) とすると、2n-1=2m-1よりn=mが結論される
2) f(n)は全射である
あきらか
例
• 実数集合は非可算(uncountable)である
なぜか
(対角線論法という方法で証明できる)
例3
• 実数区間(0,1)ですら可算でないことを示す(可算であるとして矛盾を導く)
• 可算であるから、N(自然数の集合)と(0,1)の間の一対一対応が存在する
r0 0.d00d01…
r1 0.d10d11…
r2 0.d20d21…
…
例3
r 0.d1d2… を以下のように定める:
もしdnn≠4ならばdn=4
もしdnn=4ならばdn=5
するとあきらかにr≠rn(n=0, 1, 2, …)
よって矛盾 →実数集合は非可算である
列(sequence)とは?
• 非負整数(あるいは自然数)の集合からある集合への関数を列という
• 数nに対する像をAnとかき、その列の項(term)とよぶ
• geometric progression, arithmetic progression, etc.
級数(summation)
• nのことを上限(upper limit)、mのことを下限(lower limit)、jのことを和の添字(index of summation)とよぶ
nm
n
mj
mj aaaa
1
例 幾何数列(等比数列)
※幾何級数のことをgeometric series、
等差級数のことをarithmetic seriesという
n
j
jarS0
例 幾何数列(等比数列)
1
)1( 1
r
raS
n
)1( 11
00
1
nnn
j
jn
j
j raSaraararrS
関数の増加速度
• ビッグO記法(Big-O notation)
f(x)=O(g(x))であるのは、ある定数c>0とk>0が存在して、任意のx>kに対して
|f(x)| ≦ c|g(x)|
を満たすことである
例
• f(x)=6x2+2x+3とすると、
f(x) = O(x2)
f(x) = O(x3) だけれども
f(x) ≠ O(x)
例
• n!を考える
n! = 1・2・…・n ≦ nn
したがって
log(n!) ≦ n log n =O(n log n) = O(n2)
関数の増加速度(2)
• ビッグΩ記法(Big-Ω notation)
f(x)=Ω(g(x))であるのは、ある定数c>0とk>0が存在して、任意のx>kに対して
|f(x)| ≧ c|g(x)|
を満たすことである
例6
• f(x)=6x2+2x+1とすると、
f(x) = Ω(x2)
f(x) = Ω(x) だけれど
f(x) ≠ Ω(x3)