1F - KTH · 9 1.1 Olika typer av tal Innehåll: n Naturliga tal n Negativa tal n Prioriteringsregler och parenteser n Rationella tal n Något om irrationella tal n Reella tal Lärandemål:

Page 1

Forbered

andekurs

imatematik1

Till

de

tta

ku

rsm

ate

ria

lfin

ns

pro

vo

ch

lara

rep

aIn

tern

et.

Page 2

De

tta

ma

teri

ala

re

nu

tskri

ftav

de

tw

ebb

ase

rad

ein

ne

ha

llet

i

wiki.math.se/wikis/sommarmatte1

Stu

die

ma

teri

ale

tho

rtill

en

ku

rsso

mg

es

isa

ma

rbe

tem

ella

nfle

raav

lan

de

ts

ho

gsko

lor

och

ce

ntr

et

MA

TH

.SE

.

An

ma

lan

och

till

ga

ng

till

foru

m,

ex

am

ina

tio

no

ch

pe

rso

nli

gm

en

tor

An

ma

lan

till

ku

rse

nske

rfo

rtlo

pa

nd

eu

nd

er

are

tg

en

om

ett

ele

ktr

on

iskt

form

ula

r

pawww.sommarmatte.se

och

ma

nfa

rda

dire

kte

tta

nva

nd

arn

am

no

ch

lose

no

rd

so

mg

er

tillg

an

gtill

dis

ku

ssio

nsfo

rum

,su

pp

ort

,u

pp

foljn

ing

och

pro

v.D

ufa

r

ocksa

en

pe

rso

nlig

me

nto

rso

mh

jalp

er

dig

att

lycka

sm

ed

din

astu

die

r.A

llexa

-

min

atio

nske

rvia

Inte

rne

te

fte

rh

an

dso

md

ua

rbe

tar

me

dku

rse

ns

avsn

itt.

Ob

se

rve

raa

ttfu

llsta

nd

iga

losn

ing

ar

till

ovn

ing

su

pp

gifte

rna

ate

rfin

ns

io

nlin

em

a-

teri

ale

t.

Ko

nta

kti

nfo

rma

tio

n:www.math.se/kontakt.html

Page 3

För

ber

edan

de

kurs

im

atem

atik

1

Inne

håll

Väl

kom

men

till

kurs

en3

Hur

går

kurs

entil

l?.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.5

Sågå

rex

amin

atio

nen

till

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.7

1.N

umer

isk

räkn

ing

91.

1O

lika

type

rav

tal

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.9

1.2

Bråk

räkn

ing

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

201.

3Po

tens

er.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.29

2.A

lgeb

ra40

2.1

Alg

ebra

iska

uttr

yck

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

402.

2Li

njär

aut

tryc

k.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

502.

3A

ndra

grad

sutt

ryck

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

63

3.R

ötte

roc

hlo

gari

tmer

733.

1R

ötte

r.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.73

3.2

Rot

ekva

tione

r.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

823.

3Lo

gari

tmer

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.87

3.4

Loga

ritm

ekva

tione

r.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.96

4.Tr

igon

omet

ri10

44.

1V

inkl

aroc

hci

rkla

r.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.10

44.

2Tr

igon

omet

risk

afu

nktio

ner

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.11

54.

3Tr

igon

omet

risk

asa

mba

nd.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.13

04.

4Tr

igon

omet

risk

aek

vatio

ner

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.13

7

5.Sk

riva

mat

emat

ik14

55.

1Sk

riva

mat

emat

iska

form

ler

iLA T

EX.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

145

5.2

Mat

emat

isk

text

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

155

Faci

ttil

lövn

ings

uppg

ifte

r16

7

För

fulls

tänd

iga

lösn

inga

r,se

nast

eve

rsio

nen

avm

ater

iale

t,ex

tern

alä

nkar

,m

m.,

sest

udie

mat

eria

letp

åIn

tern

etwww.math.se/wiki

Page 4

3 Väl

kom

men

till

kurs

en

Vad

gjor

deat

tElin

blev

intr

esse

rad

avm

atem

atik

?

Titt

apå

vide

ondä

rElin

Ott

ergr

en,m

ento

rpå

kurs

enoc

htid

iga-

renä

tstu

dent

,ber

ätta

rom

hur

henn

esm

atem

atik

intr

esse

väck

-te

s.(http://smaug.nti.se/temp/

KTH/

film

6.ht

ml)

Nu

finns

ette

nkel

tsät

tatt

kom

ma

bätt

reru

stad

till

dina

högs

kole

stud

ier

Den

här

kurs

enär

tillf

ördi

gso

msk

alä

saen

utbi

ldni

ngdä

rmat

emat

ikin

går,

och

som

vill

vara

orde

ntlig

tfö

rber

edd

infö

rku

rsst

arte

n.K

urse

när

ocks

åbr

afö

rdi

gso

mav

andr

aan

ledn

inga

rvi

llfr

äsch

aup

pdi

naku

nska

per

imat

emat

ik.

Kur

sen

ären

över

bryg

gnin

gfr

ångy

mna

siet

inih

ögsk

olan

.Äve

nom

dukl

arat

ma-

tem

atik

enm

ycke

tbr

atid

igar

ere

kom

men

dera

rvi

dig

att

läsa

kurs

en.D

enbe

rätt

igar

tills

tudi

emed

eloc

hka

nlä

sas

helt

via

Inte

rnet

.Kur

sen

ges

isam

arbe

tem

ella

nfle

raav

land

ets

högs

kolo

roc

hce

ntre

tMA

TH

.SE

.D

ube

stäm

mer

själ

vnä

rdu

vill

stud

era

och

kan

lätt

anpa

ssa

stud

iern

aef

ter

dina

övri

gapl

aner

.

Anm

älan

och

till

gång

till

foru

m,s

uppo

rt,e

xam

inat

ion

och

pers

onli

gm

ento

r

Kur

slitt

erat

uren

äröp

pett

illgä

nglig

via

Inte

rnet

.Anm

älan

tillk

urse

nsk

erfo

rtlö

pand

eun

der

året

geno

met

tel

ektr

onis

ktfo

rmul

ärpå

www.math.se

och

dufå

rdå

dire

ktet

tan

vänd

arna

mn

och

löse

nord

som

ger

tillg

ång

tilla

lltku

rsm

ater

ial,

disk

ussi

onsf

orum

,su

ppor

t,up

pföl

jnin

goc

hpr

ov.D

ufå

roc

kså

enpe

rson

ligm

ento

rso

mhj

älpe

rdi

gat

tly

ckas

med

dina

stud

ier.

Han

dled

ning

och

exam

inat

ion

Du

kan

närs

omhe

lstp

ånä

tetd

isku

tera

med

stud

ieka

mra

ter,

stäl

lafr

ågor

och

fåha

nd-

ledn

ing

avlä

rare

.Exa

min

atio

nsk

ervi

aIn

tern

etef

terh

and

som

duar

beta

rmed

kurs

en.

Vis

saav

våra

högs

kolo

rer

bjud

erha

ndle

dnin

goc

hsa

tsni

ngar

påpl

ats

som

kom

ple-

men

ttill

dets

omsk

erpå

Inte

rnet

.

4

Obs

erve

raat

tm

ater

iale

ti

denn

aku

rsär

utfo

rmat

för

att

man

ska

arbe

tam

edde

tuta

nhj

älp

avm

inir

äkna

re.

När

duko

mm

ertil

lhög

skol

anko

mm

erdu

näm

ligen

inte

att

fåan

vänd

am

inir

äkna

repå

dina

”ten

tor”

,åtm

inst

one

inte

pågr

undk

urse

rna.

Påhö

gre

kurs

erim

atem

atik

har

man

knap

-pa

stnå

gon

anvä

ndni

ngfö

rm

inir

äkna

re,e

fter

som

mat

ema-

tiken

dåm

erha

ndla

rom

att

förs

tåpr

inci

per

änat

tut

föra

räkn

eope

ratio

ner.

Det

ärex

empe

lvis

vikt

igar

eat

tför

stå

varf

ör7+

3är

dets

amm

aso

m3+

7,än

attk

unna

utfö

-ra

addi

tione

noc

hfå

fram

svar

et10

.

Såhä

rly

ckas

dum

edku

rsen

:

1.Bö

rja

med

attl

äsa

geno

mgå

ngen

tille

ttav

snitt

och

tänk

aig

enom

exem

p-le

n.

2.A

rbet

ase

dan

med

övni

ngsu

ppgi

fter

naoc

hfö

rsök

att

lösa

dem

utan

mi-

nirä

knar

e.K

ontr

olle

raat

tdu

kom

mit

fram

tillr

ätt

svar

geno

mat

tkl

icka

påsv

arsk

napp

en.H

ardu

inte

det,

såka

ndu

klic

kapå

lösn

ings

knap

pen,

för

atts

ehu

rdu

ska

göra

.

3.G

ådä

reft

ervi

dare

och

svar

apå

fråg

orna

igr

undp

rove

tso

mhö

rtil

lav

-sn

ittet

.

4.Sk

ulle

dufa

stna

,se

efte

rom

någo

nst

ällt

enfr

åga

omju

stde

tta

iavs

nitt

ets

foru

m.S

täll

anna

rsen

fråg

aom

duun

drar

över

någo

t.D

inlä

rare

(elle

ren

stud

ieka

mra

t)ko

mm

erat

tbes

vara

den

inom

någr

atim

mar

.

5.N

ärdu

ärkl

arm

edöv

ning

supp

gift

erna

och

grun

dpro

ven

iett

avsn

ittså

ska

dugö

rasl

utpr

ovet

för

attb

ligo

dkän

dpå

avsn

ittet

.Där

gälle

rde

tatt

svar

arä

ttpå

tre

fråg

orif

öljd

för

attk

unna

gåvi

dare

.

6.N

ärdu

fått

alla

rätt

påbå

degr

undp

rov

och

slut

prov

,så

ärdu

godk

änd

påde

nde

len

och

kan

gåvi

dare

tilln

ästa

deli

kurs

en.

P.S.

Tyck

erdu

att

inne

hålle

ti

ett

avsn

ittkä

nns

välb

ekan

t,så

kan

dute

sta

att

gådi

rekt

tillg

rund

prov

etoc

hsl

utpr

ovet

.Du

mås

tefå

alla

rätt

pået

tpro

v,m

enka

ngö

raom

prov

etfle

ragå

nger

,om

duin

tely

ckas

påfö

rsta

förs

öket

.Det

ärdi

ttse

nast

ere

sulta

tsom

visa

sis

tatis

tiken

.

Page 5

5 Hur

går

kurs

enti

ll?

Elin

stip

still

dig

som

ska

läsa

mat

tepå

högs

kola

n.V

adka

nva

rabr

aat

tvet

a?

Titt

apå

vide

ondä

rEl

inO

tter

gren

,men

tor

påku

rsen

och

tidi-

gare

”nät

stud

ent”

,tip

sar

dig.

(http://smaug.nti.se/temp/

KTH/

film

7.ht

ml)

Akt

uell

aku

nska

per

ökar

dina

chan

ser

attl

ycka

s

Kur

sen

ären

över

bryg

gnin

gfr

ångy

mna

siet

inih

ögsk

olan

och

går

igen

omnå

gra

avde

basf

ärdi

ghet

erso

mvi

tyck

erär

vikt

iga

attd

uha

rfu

lltup

pdat

erad

ein

för

dina

hög-

skol

estu

dier

.Du

läse

rhe

ltfle

xibe

ltid

enta

ktso

mpa

ssar

dig

själ

v.

Såhä

rär

dett

änkt

attd

usk

aar

beta

med

kurs

en:

■Bö

rja

med

att

läsa

geno

mgå

ngen

till

ett

avsn

ittoc

htä

nka

igen

omex

empl

en.

■A

rbet

adä

reft

erm

edöv

ning

supp

gift

erna

och

sva-

rapå

fråg

orna

igr

undp

rove

tso

mhö

rtil

lav

snitt

et.

Skul

ledu

fast

na,s

eef

ter

omnå

gon

stäl

lten

fråg

aom

just

dett

aia

vsni

ttet

sfo

rum

,ann

ars

stäl

len

fråg

asj

älv.

■N

ärdu

ärkl

arm

edöv

ning

supp

gift

erna

och

grun

d-pr

ovet

iet

tav

snitt

sågö

rdu

slut

prov

etfö

rat

tbl

igo

dkän

dpå

avsn

ittet

.

■N

ärdu

klar

atal

lagr

und-

och

slut

prov

pånå

gota

vka

pitle

n2,

3el

ler

4så

får

duen

inlä

mni

ngsu

ppgi

ftso

mdu

ska

lösa

och

skic

kain

för

rätt

ning

.

Din

pers

onli

gam

ento

rst

öder

dig

När

dulo

ggat

inm

eddi

ttan

vänd

arna

mn

kom

mer

dutil

l”St

u-de

ntlo

unge

”.D

ärhi

ttar

dum

aila

dres

soc

hte

lefo

nnum

mer

till

din

pers

onlig

am

ento

rso

mdu

kan

kont

akta

,om

dukö

rfa

stpå

enup

pgif

telle

rha

rnå

gotd

ube

höve

rfr

åga

om.

Men

tore

rna

har

tagi

tna

mn

som

Alb

ert

Eins

tein

,K

urt

Göd

el,

Ark

imed

esos

v.,m

enba

kom

dem

finns

enhe

lgru

pppe

rson

er,

6

vilk

aär

lära

reoc

h/el

ler

stud

ente

rpå

någo

nhö

gsko

lain

omM

AT

H.S

E.D

inm

ento

rvi

llin

geth

ellr

eän

atth

jälp

adi

g.V

årtg

emen

sam

ma

mål

ärat

tal

laso

mbö

rjar

påku

rsen

ska

klar

aav

den

och

fåen

bra

grun

dat

tstå

påin

för

sina

högs

kole

stud

ier.

För

oss

finns

inga

dum

ma

fråg

or,b

ara

deso

min

test

älls

!

Page 6

7 Sågå

rex

amin

atio

nen

till

Du

exam

iner

ason

line

Exam

inat

ione

nbe

står

avtv

åsj

älvr

ätta

nde

prov

per

av-

snitt

och

enin

läm

ning

supp

gift

tillk

apite

l2,3

och

4.V

aroc

hen

avku

rsen

s5

dela

rm

otsv

arar

1hö

gsko

lepo

äng

och

rapp

orte

ras

iallm

änhe

ttill

Lado

kva

rför

sig

påde

nhö

gsko

ladä

rdu

ärku

rsre

gist

rera

d(f

örvi

ssa

kurs

tillf

äl-

len

sker

rapp

orte

ring

när

hela

kurs

enär

klar

).K

ursb

e-ty

ger

hålle

snä

ral

lafe

mm

omen

ten

ärgo

dkän

da.S

ombe

tyg

påku

rsen

ges

unde

rkän

telle

rgo

dkän

t.

Gru

ndpr

oven

och

slut

prov

enrä

ttas

via

dato

rn

Till

varj

eav

snitt

ikur

sen

finns

detb

åde

ettg

rund

prov

och

etts

lutp

rov.

Länk

tillp

rove

nfin

nsid

in”S

tude

ntLo

unge

”so

mdu

kom

mer

tilln

ärdu

logg

atin

med

ditt

pers

onlig

aan

vänd

arna

mn.

Du

kan

inte

bli

unde

rkän

dpå

dess

apr

ov,u

tan

mis

slyc

kas

dum

ednå

gotp

rov

såär

detb

ara

attg

öra

omtil

lsdu

får

alla

rätt

.Sl

utpr

oven

best

årav

tre

slum

pmäs

sigt

gene

rera

defr

ågor

som

rätt

asau

tom

atis

ktav

dato

rn.

Här

ska

duku

nna

lösa

ett

prob

lem

påpa

pper

och

skri

vain

rätt

svar

påsk

ärm

en.D

um

åste

svar

arä

ttpå

sam

tliga

tre

frå-

gor

iföl

jdfö

rat

tbli

godk

änd.

Om

dusv

arat

felp

ånå

gon

fråg

aka

ndu

göra

ettn

ytt

förs

ök.D

ufå

rnu

tre

nya

vari

ante

rpå

fråg

orna

som

dusk

alö

sa(ä

ven

omdu

skul

leha

klar

atnå

gon

elle

rnå

gra

avde

tidig

are

fråg

orna

ska

dual

ltså

klar

aal

latr

efr

ågor

ide

nna

omgå

ngpå

nytt

).Tä

nkpå

att

det

ärdi

ttse

nast

ere

sulta

tso

mre

gist

rera

si

stud

iest

atis

tiken

.

Inlä

mni

ngsu

ppgi

ften

ären

vikt

igde

lav

exam

inat

ione

n

Inlä

mni

ngsu

ppgi

fter

naär

form

ellt

den

fem

tede

len

avku

rsen

,m

endu

löse

rde

mlä

mpl

igen

isam

band

med

attd

ulä

ser

mot

svar

ande

kapi

tel.

Via

enlä

nkid

inst

uden

tlo

unge

kom

mer

duåt

inlä

mni

ngsu

ppgi

fter

naoc

hde

blir

var

och

entil

lgän

glig

efte

rat

talla

prov

ärgo

dkän

dapå

mot

svar

ande

kapi

tel.

När

dusk

icka

rlös

ning

arna

tille

nin

läm

ning

supp

gift

erna

ärde

tvik

tigta

ttde

ärvä

lfö

rkla

rade

,res

onem

ange

nty

dlig

aoc

hpr

esen

tatio

nen

geno

mar

beta

d.Ik

apite

l5fin

nsen

besk

rivn

ing

omva

ddu

ska

tänk

apå

närd

usk

rive

rlös

ning

ar,f

örnä

rvar

ande

gälle

r

8

attd

uin

tesk

aan

vänd

ala

tex

för

atts

kriv

ain

lösn

inga

rpå

inlä

mni

ngsu

ppgi

fter

,lat

exär

dock

myc

keta

nvän

dbar

tian

dra

sam

man

hang

,t.e

x.ik

urse

nsfo

rum

.In

läm

ning

sfor

mul

äret

ärte

xtba

sera

t,de

tin

nebä

rat

tvi

inte

har

stöd

för

late

x.D

uka

nis

tälle

tskr

iva2^3

föru

pphö

jttil

l,roten(4)

förr

oten

uroc

hiö

vrig

tvar

ano

ggra

nnm

edat

tför

klar

ava

ddu

gör.

Var

nogg

rann

med

atta

nvän

dapa

rent

eser

,vad

ärtä

ljare

och

näm

nare

ined

anst

åend

eex

empe

l?V

ikan

inte

sede

t!

e^3x

-5/

x^2-2x

+4

Om

duin

tebl

irgo

dkän

dpå

enin

läm

ning

supp

gift

ska

dulä

saig

enom

kom

men

tare

rna

från

den

rätt

ande

lära

ren

och

förb

ättr

adi

nlö

snin

gin

nan

dusk

icka

rin

den

igen

.Det

taup

prep

astil

lsdu

blir

godk

änd.

Page 7

9 1.1

Oli

katy

per

avta

l

Inne

håll

:

■N

atur

liga

tal

■N

egat

iva

tal

■Pr

iori

teri

ngsr

egle

roc

hpa

rent

eser

■R

atio

nella

tal

■N

ågot

omir

ratio

nella

tal

■R

eella

tal

Lära

ndem

ål:

Efte

rde

tta

avsn

ittsk

adu

halä

rtdi

gat

t:

■Be

räkn

aut

tryc

kso

min

nehå

llerh

elta

l,de

fyra

räkn

esät

ten

och

pare

ntes

er.

■Ve

task

illna

den

mel

lan

natu

rlig

ata

l,he

ltal,

ratio

nella

talo

chir

ratio

nella

tal.

■O

mva

ndla

bråk

talt

illde

cim

alfo

rmoc

hom

vänt

.■

Avg

öra

vilk

etav

två

bråk

tals

omär

stör

st,d

els

med

deci

mal

bråk

sutv

eck-

ling,

dels

geno

mfö

rlän

gnin

gav

bråk

en.

■A

nge

ettn

ärm

evär

detil

ldec

imal

talo

chbr

åkta

lmed

ettg

ivet

anta

ldec

i-m

aler

.

Räk

neop

erat

ione

rmed

tal

Att

arbe

tam

edta

linn

ebär

attm

anut

för

enra

drä

kneo

pera

tione

r.D

egr

undl

ägga

nde

ärde

fyra

räkn

esät

ten.

Ifig

uren

som

följe

rfin

nsnå

gra

begr

epp

som

ärbr

aat

tkun

nafö

rat

tför

stå

mat

emat

isk

text

.N

ärm

anad

dera

rta

lär

sum

man

inte

bero

ende

aviv

ilken

ordn

ing

term

erna

adde

-ra

s3+

4+

5=

3+

5+

4=

5+

4+

3=

12.

När

tals

ubtr

aher

asär

natu

rlig

tvis

ordn

inge

nvi

ktig

5−

2=

3m

edan

2−

5=

−3.

Om

vipr

atar

omdi

ffer

ense

nm

ella

ntv

åta

lmen

arvi

vanl

igtv

issk

illna

den

mel

lan

det

stör

reoc

hde

tmin

dre.

Såle

des

men

arvi

attd

iffer

ense

nm

ella

n2

och

5är

3.

10

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

3+4=

7

term

summa

13−4=

9

term

differens

3·4

=12

faktor

produkt

8 4=

2

taljare

nam

nare

kvot

Figu

ren

visa

rd

efy

rarä

knes

ätte

noc

hna

mne

npå

de

olik

ad

elar

som

ingå

r.

När

talm

ultip

licer

asär

ordn

inge

nm

ella

nfa

ktor

erna

inte

vikt

ig

3·4

·5=

3·5

·4=

5·4

·3=

60.

Vid

divi

sion

äror

dnin

gen

avbe

tyde

lse

6 3=

2m

edan

3 6=

0,5.

Räk

neor

dnin

giu

ttry

ck(P

rior

iter

ings

regl

er)

När

flera

räkn

esät

tför

ekom

mer

iett

mat

emat

iskt

uttr

yck

ärde

tvik

tigta

ttm

anha

ren

över

ensk

omm

else

omiv

ilken

ordn

ing

oper

atio

nern

ask

aut

föra

s.Fö

ljand

egä

ller:

■Pa

rent

eser

(par

ente

sen

”län

gsti

n”fö

rst)

■M

ultip

likat

ion

och

divi

sion

(frå

nvä

nste

rtil

lhög

er)

■A

dditi

onoc

hsu

btra

ktio

n(f

rån

väns

ter

tillh

öger

)

Exem

pel1

a)3−(2

· (3+

2)−

5)=

3−(

2·5

−5)

=3−

(10−

5)=

3−

5=

−2

b)3−

2· (

3+

2)−

5=

3−

2·5

−5=

3−

10−

5=

−7−

5=

−12

c)5+

3·( 5

−−

4 2

)−

3·(

2+

(2−

4))=

5+

3·(

5−(−

2))−

3·(

2+(−

2))

=5+

3·(

5+

2)−

3·(

2−

2)=

5+

3·7

−3·0

=5+

21−

0=

26

Page 8

11 ”Osy

nlig

a”pa

rent

eser

Vid

divi

sion

ska

tälja

reoc

hnä

mna

rebe

räkn

asva

rför

sig

inna

ndi

visi

onen

utfö

rs.M

anka

ndä

rför

säga

attd

etfin

ns”o

synl

iga

pare

ntes

er”

omkr

ing

tälja

reoc

hnä

mna

re.

Exem

pel2

a)7+

52

=12 2

=6

b)6

1+

2=

6 3=

2

c)12

+8

6+

4=

20 10=

2

Spec

iellt

vikt

igtä

rde

tta

vid

anvä

ndan

deta

vm

inir

äkna

re.D

ivis

ione

n

8+

42+

4

mås

tesk

riva

s(8

+4)

/(2

+4)

påm

inir

äkna

ren

föra

ttde

tkor

rekt

asv

aret

2sk

aer

hålla

s.Et

tvan

ligtm

isst

agär

atts

kriv

a8+

4/2+

4,vi

lket

avm

inir

äkna

ren

tolk

asso

m8+

2+

4=

14.

Oli

katy

per

avta

l

De

tal

vian

vänd

eros

sav

för

att

besk

riva

anta

loc

hm

ått,

mm

.,ka

llas

sam

man

fatt

-ni

ngsv

isfö

rde

reel

lata

len

och

kan

illus

trer

asm

edhj

älp

aven

talli

nje:

−3

−2

−1

01

23

−π

−4 3

0,5

√2

e355

113

De

reel

lata

len

”fyl

ler”

talli

njen

,dvs

.ing

ahå

lelle

rm

ella

nrum

finns

någo

nsta

nslä

ngs

talli

njen

.Var

jepu

nktp

åta

llinj

enka

nan

ges

med

hjäl

pav

enfö

ljdav

deci

mal

er.M

äng-

den

avde

reel

lata

len

äral

lade

cim

alta

loc

hbe

teck

nas

med

R.T

allin

jen

visa

roc

kså

tale

nis

torl

ekso

rdni

ng;e

ttta

ltill

höge

rär

allti

dst

örre

änet

ttal

tillv

änst

er.M

anbr

u-ka

rde

laup

pde

reel

lata

len

iföl

jand

ety

per

avta

l:

Nat

urlig

ata

l(sy

mbo

liser

asva

nlig

enm

edbo

ksta

ven

N)

De

tals

oman

vänd

snä

rm

anrä

knar

anta

l:0,

1,2,

3,4,

...

12

Hel

tal(

Z)

De

natu

rlig

ata

len

och

dera

sne

gativ

am

otsv

arig

hete

r:..

.,−

3,−

2,−

1,0,

1,2,

3,..

.

Rat

ione

llata

l(Q

)

Alla

tals

omka

nsk

riva

sso

men

kvot

mel

lan

helta

l(br

åk),

t.ex.

−3 4,

3 2,37 12

8,os

v.

Obs

erve

raat

täve

nhe

ltale

nrä

knas

som

ratio

nella

tal,

efte

rsom

−1=

−1 1

,0=

0 1,1=

1 1,2=

2 1,os

v.

Ettr

atio

nellt

talk

ansk

riva

spå

flera

olik

asä

tt,e

fter

som

t.ex.

2=

2 1=

4 2=

6 3=

8 4=

100

50=

384

192

osv.

Exem

pel3

a)A

ttm

ultip

licer

atä

ljare

och

näm

nare

hos

ettr

atio

nellt

talm

edsa

mm

afa

ktor

kalla

sfö

rlän

gnin

goc

hfö

ränd

rar

inte

tale

tsvä

rde

1 3=

1·2

3·2

=2 6=

1·5

3·5

=5 15

osv.

b)A

ttdi

vide

ratä

ljare

och

näm

nare

hos

ett

ratio

nellt

talm

edsa

mm

ata

lkal

las

förk

ortn

ing

och

förä

ndra

rin

tehe

ller

tale

tsvä

rde

75 105=

75/5

105/

5=

15 21=

15/3

21/3

=5 7

osv.

Irra

tione

llata

l

De

tal

påta

llinj

enso

min

teka

nsk

riva

sso

mbr

åkka

llas

irra

tione

llata

l.Ex

empe

lpå

irra

tione

llata

lär

defle

sta

rött

er,s

om√

2oc

h√

3,m

enäv

enta

letπ

t.ex.

Dec

imal

form

Alla

type

rav

reel

lata

lkan

skri

vas

påde

cim

alfo

rm,m

edet

tgod

tyck

ligta

ntal

deci

ma-

ler.

Dec

imal

erna

som

skri

vstil

lhög

erom

deci

mal

kom

mat

ange

rant

altio

ndel

ar,h

und-

rade

lar,

tuse

ndel

ar,o

sv.,

påsa

mm

asä

ttso

msi

ffro

rna

tillv

änst

erom

deci

mal

kom

mat

ange

ran

tale

tent

al,t

iota

l,hu

ndra

tal,

osv.

Page 9

13

1234,5678

tusental

tiotal

tiondel

tusendel

decim

alkomma

hundratal

ental

hundradel

tiotusendel

Exem

pel4

1234

,567

8=

1000

+20

0+

30+

4+

5 10+

6 100+

710

00+

810

000

Ett

ratio

nellt

talk

ansk

riva

spå

deci

mal

form

geno

mat

tut

föra

divi

sion

en.S

åled

esär

tale

t3 4

sam

ma

som

”3di

vide

ratm

ed4”

,dvs

.0,7

5.Lä

som

ligga

nde

stol

enpå

wik

iped

ia.

Exem

pel5

a)1 2=

0,5=

0,50

b)1 3=

0,33

3333

...=

0,3

c)5 12

=0,

4166

666

...=

0,41

6

d)1 7=

0,14

2857

1428

57..

.=0,

1428

57

(und

erst

rykn

inge

nm

arke

rar

deci

mal

erso

mup

prep

as)

Som

syne

sha

rde

ratio

nella

tale

nov

anen

peri

odis

kde

cim

alut

veck

ling,

dvs.

deci

mal

-ut

veck

linge

nsl

utar

allti

dm

edat

ten

viss

följd

avde

cim

aler

uppr

epas

iall

oänd

lighe

t.D

etta

gälle

rfö

ral

lara

tione

llata

loc

hsk

iljer

dess

afr

ånde

irra

tione

lla,v

ilka

inte

har

någo

tper

iodi

sktm

önst

eris

inde

cim

alut

veck

ling.

Om

vänt

gälle

roc

kså

att

alla

talm

eden

peri

odis

kde

cim

alut

veck

ling

ärra

tione

llata

l.

14

Exem

pel6

Tale

nπ

och√

2är

irra

tione

llata

loc

hha

rdä

rför

inge

tpe

riod

iskt

mön

ster

isi

nde

cim

alut

veck

ling.

a)π=

3,14

159

265

358

979

323

846

264

3..

.

b)√

2=

1,41

421

356

237

309

504

880

168

8..

.

Exem

pel7

a)0,

600

...=

0,6=

6 10=

3 5

b)0,

35=

35 100=

7 20

c)0,

0025

=25

1000

0=

1 400

Exem

pel8

Tale

tx=

0,21

5151

515

...ä

rra

tione

llt,e

fter

som

det

har

enpe

riod

isk

deci

mal

ut-

veck

ling.

Vi

kan

skri

vade

tta

ratio

nella

tal

som

enkv

otav

två

helta

lpå

följa

nde

sätt

. Mul

tiplic

erar

vita

letm

ed10

förs

kjut

sde

cim

alko

mm

atet

tste

gåt

höge

r

10x=

2,15

1515

...

och

mul

tiplic

erar

vita

letm

ed10

·10·1

0=

1000

flytt

asde

cim

alko

mm

attr

est

egåt

höge

r10

00x=

215,

1515

...

Nu

ser

viat

t10

00x

och

10x

har

sam

ma

deci

mal

utve

cklin

gså

diff

eren

sen

mel

lan

tale

n10

00x−

10x=

215,

1515

...−

2,15

1515

...

blir

etth

elta

l99

0x=

213.

Allt

såär

x=

213

990=

71 330.

Page 10

15 Avr

undn

ing

Efte

rsom

detä

rop

rakt

iskt

attr

äkna

med

lång

ade

cim

alut

veck

linga

rså

avru

ndar

man

ofta

talt

illet

tläm

plig

tant

alde

cim

aler

.Öve

rens

kom

mel

sen

som

gälle

rär

atts

iffro

rna

0,1,

2,3

och

4av

rund

asne

dåtm

edan

5,6,

7,8

och

9av

rund

asup

påt.

Via

nvän

der

sym

bole

n≈

(är

unge

fär

lika

med

)för

attm

arke

raat

ten

avru

ndni

ngha

rsk

ett.

Exem

pel9

Avr

undn

ing

till3

deci

mal

ers

nogg

rann

het:

a)1,

0004

≈1,

000

b)0,

9999

≈1,

000

c)2,

9994

999≈

2,99

9

d)2,

9995

0≈

3,00

0

Exem

pel1

0

Avr

undn

ing

till4

deci

mal

ers

nogg

rann

het:

a)π≈

3,14

16

b)2 3≈

0,66

67

Jäm

före

lse

avta

l

Man

ange

rst

orle

ksfö

rhål

land

etm

ella

nta

lmed

hjäl

pav

sym

bole

rna>

(är

stör

reän

),<

(är

min

dre

än)o

ch=

(är

lika

med

).St

orle

ksfö

rhål

land

etm

ella

ntv

åta

lkan

avgö

ras

dels

geno

mat

tsk

riva

tale

ni

deci

mal

form

,elle

rge

nom

att

skri

vara

tione

llata

lso

mbr

åkm

edge

men

sam

näm

nare

.

Exem

pel1

1

a)V

ilket

ärst

örst

avta

len

1 3oc

h0,

33?

Vih

arat

tx=

1 3=

100

300

och

y=

0,33

=33 10

0=

99 300.

16

Allt

såär

x>

yef

ters

om10

0/30

0>

99/3

00.

Alte

rnat

ivts

åka

nm

anse

att1

/3>

0,33

efte

rsom

1/3=

0,33

33..

.>0,

33.

b)V

ilket

talä

rst

örst

av2 5

och

3 7?

Skri

vta

len

med

gem

ensa

mnä

mna

re,t

.ex.

35:

2 5=

14 35oc

h3 7=

15 35.

Allt

såär

3 7>

2 5ef

ters

om15 35

>14 35

.

Råd

för

inlä

snin

g

Gru

nd-o

chsl

utpr

ovEf

ter

attd

uha

rlä

stte

xten

och

arbe

tatm

edöv

ning

arna

ska

dugö

ragr

und-

och

slut

prov

etfö

rat

tbli

godk

änd

påde

tta

avsn

itt.D

uhi

ttar

länk

entil

lpro

ven

idin

stud

entl

oung

e.

Att

tänk

apå

Var

nogg

rann

!Mån

galö

snin

gar

blir

felp

ågr

und

avm

isst

agia

vskr

ifte

nel

ler

andr

aen

kla

fel,

och

inte

för

attd

usk

ulle

hatä

nktf

el.

Läst

ips

För

dig

som

vill

förd

jupa

dig

ytte

rlig

are

elle

rbe

höve

ren

läng

refö

rkla

ring

såvi

llvi

tipsa

om

■Lä

sm

erom

Ari

tmet

ikie

ngel

ska

Wik

iped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Ar

ithm

etic

)

■Ve

mup

ptäc

kte

Nol

lan?

Läs

mer

i”Th

eM

acTu

tor

His

tory

ofM

athe

mat

ics

arch

ive”

(http://www-

groups.dcs.st-

and.ac

.uk/

~his

tory/H

istT

opic

s/Ze

ro.

html

)

■Li

ggan

dest

olen

—en

besk

rivn

ing

(http://www.fritext.se/matte

/gru

nder

/pos

i3.h

tml)

■V

isst

edu

att0

,999

...=

1?(http://en.wikipedia.org/wik

i/0.

999.

..)

Länk

tips

Hur

mån

gafä

rger

behö

vsde

tfö

rat

tfä

rglä

gga

enka

rta?

Hur

mån

gagå

nger

mås

tem

anbl

anda

enko

rtle

k?V

ilket

ärde

tst

örst

apr

imta

let?

Finn

sde

tnå

gra

Page 11

17

”tur

num

mer

”?V

ilket

ärde

tva

ckra

ste

tale

t?Ly

ssna

tilld

enkä

nda

förf

atta

ren

och

mat

emat

iker

nSi

mon

Sing

h,so

mbl

and

anna

tber

ätta

rom

dem

agis

kata

len

4oc

h7,

ompr

imta

len,

Kep

lers

höga

roc

hom

nolla

n.

■Ly

ssna

påBB

C-p

rogr

amm

en”5

Num

bers

”(http://www.bbc.co.uk/radio4

/sci

ence

/5nu

mber

s1.s

html

)

■Ly

ssna

påBB

C-p

rogr

amm

en”A

noth

er5

num

bers

”(http://www.bbc.co.uk/radio4

/sci

ence

/ano

ther

5.sh

tml)

18

1.1

Övn

inga

r

Övn

ing

1.1:

1

Berä

kna

(uta

nhj

älp

avrä

kned

osa)

a)3−

7−

4+

6−

5b)

3−(7

−4)

+(6

−5)

c)3−(7

−(4

+6)

−5)

d)3−(7

−(4

+6))−

5

Övn

ing

1.1:

2

Berä

kna

a)(3

−(7

−4))(

6−

5)b)

3−(((7

−4)

+6)

−5)

c)3·(−

7)−

4·(

6−

5)d)

3·(−

7)−(4

+6)

/(−

5)

Övn

ing

1.1:

3

Vilk

aav

följa

nde

talt

illhö

rde

natu

rlig

ata

len?

helta

len?

ratio

nella

tale

n?ir

ratio

nella

tale

n?a)

8b)

−4

c)8−

4

d)4−

8e)

8·(−

4)f)

(−8)

·(−

4)

Övn

ing

1.1:

4

Vilk

aav

följa

nde

talt

illhö

rde

natu

rlig

ata

len?

helta

len?

ratio

nella

tale

n?ir

ratio

nella

tale

n?

a)4 −8

b)−

8−

4c)

√2 3

d)(

4 √2) 2

e)−

πf)

π+

1

Övn

ing

1.1:

5

Ord

nafö

ljand

eta

list

orle

ksor

dnin

g

a)2,

3 5,5 3

och

7 3

b)−

1 2,−

1 5,−

3 10oc

h−

1 3

c)1 2,2 3

,3 5,5 8

och

21 34

Övn

ing

1.1:

6

Ang

ede

cim

alut

veck

linge

nm

edtr

eko

rrek

tade

cim

aler

till

a)7 6

b)9 4

c)2 7

d)√

2

Page 12

19 Övn

ing

1.1:

7

Vilk

aav

följa

nde

talä

rra

tione

lla?

Skri

vde

ssa

som

enkv

otm

ella

ntv

åhe

ltal.

a)3,

14

b)3,

1416

1416

1416

...

c)0,

200

100

100

1..

.

d)0,

1010

010

0010

000

1..

.(e

n1:

a,en

0:a,

en1:

a,tv

å0:

or,e

n1:

a,tr

e0:

oros

v.)

20

1.2

Brå

kräk

ning

Inne

håll

:

■A

dditi

onoc

hsu

btra

ktio

nav

bråk

tal

■M

ultip

likat

ion

och

divi

sion

avbr

åkta

l

Lära

ndem

ål:

Efte

rde

tta

avsn

ittsk

adu

halä

rtdi

gat

t:

■Be

räkn

aut

tryc

kso

min

nehå

ller

bråk

tal,

defy

rarä

knes

ätte

noc

hpa

rent

e-se

r.■

Förk

orta

bråk

sålå

ngts

omm

öjlig

t.■

Best

ämm

am

inst

age

men

sam

ma

näm

nare

(MG

N).

Förl

ängn

ing

och

förk

ortn

ing

Ettr

atio

nellt

talk

ansk

riva

spå

mån

gasä

tt,b

eroe

nde

påvi

lken

näm

nare

man

välje

rat

tan

vänd

a.Ex

empe

lvis

har

viat

t

0,25

=25 10

0=

1 4=

2 8=

3 12=

4 16os

v.

Vär

deta

vet

trat

ione

lltta

länd

ras

inte

när

man

mul

tiplic

erar

elle

rdi

vide

rar

tälja

reoc

hnä

mna

rem

edsa

mm

ata

l.D

essa

oper

atio

ner

kalla

sfö

rlän

gnin

gre

spek

tive

förk

ortn

ing.

Exem

pel1

Förl

ängn

ing:

a)2 3=

2·5

3·5

=10 15

b)5 7=

5·4

7·4

=20 28

Förk

ortn

ing:

c)9 12

=9/

312

/3=

3 4

Page 13

21

d)72 10

8=

72/2

108/

2=

36 54=

36/6

54/6

=6 9=

6/3

9/3=

2 3

Man

bör

allti

dan

geet

tbrå

kfö

rkor

tat

sålå

ngts

omm

öjlig

t.D

etta

kan

vara

arbe

tsam

tnä

rst

ora

talä

rin

blan

dade

,var

för

man

reda

nun

der

enpå

gåen

deut

räkn

ing

bör

förs

ö-ka

hålla

bråk

iså

förk

orta

dfo

rmso

mm

öjlig

t.

Add

itio

noc

hsu

btra

ktio

nav

bråk

Vid

addi

tion

och

subt

rakt

ion

avta

libr

åkfo

rmm

åste

bråk

enha

sam

ma

näm

nare

.Om

såin

teär

falle

tm

åste

man

förs

tfö

rlän

gare

spek

tive

bråk

med

läm

plig

ata

lså

att

ge-

men

sam

näm

nare

erhå

lles.

Exem

pel2

a)3 5+

2 3=

3·3

5·3

+2·5

3·5

=9 15

+10 15

=9+

1015

=19 15

b)5 6−

2 9=

5·3

6·3

−2·2

9·2

=15 18

−4 18

=15

−4

18=

11 18

Det

vikt

iga

ärhä

rat

tås

tadk

omm

aen

gem

ensa

mnä

mna

re,m

enm

anbö

rst

räva

ef-

ter

att

hitt

aen

sålå

gge

men

sam

näm

nare

som

möj

ligt.

Idea

letä

rat

thi

tta

den

min

sta

gem

ensa

mm

anä

mna

ren

(MG

N).

Man

kan

allti

der

hålla

enge

men

sam

näm

nare

ge-

nom

attm

ultip

licer

ade

inbl

anda

denä

mna

rna

med

vara

ndra

.Det

taär

dock

inte

allti

dnö

dvän

digt

.

Exem

pel3

a)7 15

−1 12

=7·1

215

·12−

1·1

512

·15=

84 180−

15 180=

69 180=

69/3

180/

3=

23 60

b)7 15

−1 12

=7·4

15·4

−1·5

12·5

=28 60

−5 60

=23 60

c)1 8+

3 4−

1 6=

1·4

·68·4

·6+

3·8

·64·8

·6−

1·8

·46·8

·4=

24 192+

144

192−

32 192=

136

192=

136/

819

2/8=

17 24

d)1 8+

3 4−

1 6=

1·3

8·3

+3·6

4·6

−1·4

6·4

=3 24

+18 24

−4 24

=17 24

22

Man

bör

vara

såpa

sstr

änad

ihuv

udrä

knin

gat

tman

snab

btka

nhi

tta

MG

Nom

näm

-na

rna

ärav

rim

ligst

orle

k.A

ttal

lmän

tbes

täm

ma

den

min

sta

gem

ensa

mm

anä

mna

ren

kräv

erat

tman

stud

erar

vilk

apr

imta

lsom

ingå

rso

mfa

ktor

erir

espe

ktiv

enä

mna

re.

Exem

pel4

a)Be

räkn

a1 60

+1 42

.

Del

arvi

upp

60oc

h42

iså

små

helta

lsfa

ktor

erso

mm

öjlig

t,så

kan

vibe

stäm

-m

ade

tm

inst

ahe

ltal

som

ärde

lbar

tm

ed60

och

42ge

nom

att

mul

tiplic

era

ihop

dera

sfa

ktor

erm

enun

dvik

aat

tta

med

för

mån

gaav

fakt

orer

naso

mta

len

har

gem

ensa

mt

60=

2·2

·3·5

42=

2·3

·7

}⇒

MG

N=

2·2

·3·5

·7=

420.

Vik

andå

skri

va 1 60+

1 42=

1·7

60·7

+1·2

·542

·2·5

=7 42

0+

10 420=

17 420.

b)Be

räkn

a2 15

+1 6−

5 18.

Min

sta

gem

ensa

mm

anä

mna

revä

ljsså

att

den

inne

hålle

rpr

ecis

såm

ånga

prim

tals

fakt

orer

såat

tden

blir

delb

arm

ed15

,6oc

h18

15=

3·5

6=

2·3

18=

2·3

·3

⇒

MG

N=

2·3

·3·5

=90

.

Vik

andå

skri

va

2 15+

1 6−

5 18=

2·2

·315

·2·3

+1·3

·56·3

·5−

5·5

18·5

=12 90

+15 90

−25 90

=2 90

=1 45

.

Mul

tipl

ikat

ion

När

ett

bråk

mul

tiplic

eras

med

ett

helta

l,m

ultip

licer

asen

dast

tälja

ren

med

helta

let.

Det

ärup

penb

arta

ttom

t.ex.

1 3m

ultip

licer

asm

ed2

såbl

irre

sulta

tet

2 3,d

vs.

1 3·2

=1·2 3

=2 3.

Page 14

23 Om

två

bråk

mul

tiplic

eras

med

vara

ndra

,m

ultip

licer

astä

ljarn

am

edva

rand

raoc

hnä

mna

rna

med

vara

ndra

.

Exem

pel5

a)8·3 7

=8·3 7

=24 7

b)2 3·1 5

=2·1

3·5

=2 15

Inna

nm

ange

nom

för

mul

tiplik

atio

nen

bör

man

allti

dko

ntro

llera

omde

tär

möj

ligt

att

förk

orta

bråk

et.D

etta

utfö

rsge

nom

att

stry

kaev

entu

ella

gem

ensa

mm

afa

ktor

eri

tälja

reoc

hnä

mna

re.

Exem

pel6

Jäm

för

uträ

knin

garn

a:

a)3 5·2 3

=3·2

5·3

=6 15

=6/

315

/3=

2 5

b)3 5·2 3

=✁✁3·2

5· ✁✁3

=2 5

Att

stry

katr

eorn

ai

6bin

nebä

rju

bara

att

man

förk

orta

rbr

åket

med

3i

ett

tidig

are

sked

e.

Exem

pel7

a)7 10

·2 7=

❆ ❆7 10·2 ❆ ❆7

=1 10

·2 1=

1❆ ❆2·5

·❆ ❆2 1=

1 5·1 1

=1 5

b)14 15

·20 21=

2·7

3·5

·4·5

3·7

=2· ❆ ❆7

3·5

·4·5

3· ❆ ❆7

=2 3· ✁✁5

·4· ✁✁5 3

=2 3·4 3

=2·4

3·3

=8 9

24

Div

isio

n

Om

1 4de

las

i2så

blir

svar

et1 8.O

m1 2

dela

si5

såbl

irre

sulta

tet

1 10.V

ihar

allts

åat

t

1 4 2=

1 4·2

=1 8

och

1 2 5=

1 2·5

=1 10

.

När

ettb

råk

divi

dera

sm

edet

thel

tal,

mul

tiplic

eras

allts

ånä

mna

ren

med

helta

let.

Exem

pel8

a)3 5/

4=

3 5·4

=3 20

b)6 7/

3=

6 7·3

=2· ✁✁3

7· ✁✁3

=2 7

När

ett

tal

divi

dera

sm

edet

tbr

åk,

mul

tiplic

eras

tale

tm

edbr

åket

inve

rter

at(”

upp-

och-

nerv

änt”

).A

ttt.e

x.di

vide

ram

ed1 2

ärju

sam

ma

sak

som

att

mul

tiplic

era

med

2 1,

dvs.

2.

Exem

pel9

a)3 1 2

=3·2 1

=3·2 1

=6

b)5 3 7

=5·7 3

=5·7 3

=35 3

c)

2 3 5 8

=2 3·8 5

=2·8

3·5

=16 15

d)

3 4 9 10

=3 4·10 9

=✁✁3 2· ❆ ❆2

·❆ ❆2·5

✁✁3·3

=5 2·3

=5 6

Page 15

25 Hur

kan

bråk

divi

sion

förv

andl

astil

lm

ultip

likat

ion?

Förk

lari

ngen

ärat

tom

ett

bråk

mul

tiplic

eras

med

sitt

inve

rter

ade

bråk

blir

prod

ukte

nal

ltid

1,t.e

x.

2 3·3 2

=❆ ❆2 ✁✁3·✁✁3 ❆ ❆2

=1

elle

r9 17

·17 9=

❆ ❆9 ✚✚ 17·✚

✚ 17 ❆ ❆9=

1.

Om

man

ien

bråk

divi

sion

förl

änge

rtä

ljare

och

näm

nare

med

näm

nare

nsin

vert

erad

ebr

åk,f

årm

anal

ltid

1i

näm

nare

noc

hre

sulta

tet

blir

tälja

ren

mul

tiplic

erad

med

den

ursp

rung

liga

näm

nare

nsin

vert

erad

ebr

åk.

Exem

pel1

0

2 3 5 7

=

2 3·7 5

5 7·7 5

=

2 3·7 51

=2 3·7 5

Brå

kso

man

dela

r

Rat

ione

llata

lär

allts

åta

lsom

kan

skri

vas

ibrå

kfor

m,o

mva

ndla

stil

ldec

imal

form

,el-

ler

mar

kera

spå

enta

llinj

e.I

vårt

vard

aglig

asp

råkb

ruk

anvä

nds

ocks

åbr

åknä

rm

anbe

skri

ver

ande

lar

avnå

got.

Här

neda

nge

snå

gra

exem

pel.

Lägg

mär

ketil

lhur

vian

-vä

nder

orde

t”av

”,vi

lket

kan

bety

daså

välm

ultip

likat

ion

som

divi

sion

.

Exem

pel1

1

a)O

llesa

tsad

e20

kroc

hSt

ina

50kr

.

Olle

san

delä

r20

50+

20=

20 70=

2 7oc

hha

nbö

ral

ltså

få2 7

avvi

nste

n.

b)H

urst

orde

lutg

ör45

krav

100

kr?

Svar

:45

krär

45 100=

9 20av

100

kr.

c)H

urst

orde

lutg

ör1 3

liter

av1 2

liter

?

Svar

:1 3

liter

är

1 3 1 2

=1 3·2 1

=2 3

av1 2

liter

.

d)H

urm

ycke

tär

5 8av

1000

?

26

Svar

:5 8·1

000=

5000 8

=62

5

e)H

urm

ycke

tär

2 3av

6 7?

Svar

:2 3·6 7

=2 63·2·

63 7=

2·2 7

=4 7

Bla

ndad

eut

tryc

k

När

bråk

före

kom

mer

irä

kneu

ttry

ckgä

ller

natu

rlig

tvis

met

oder

nafö

rde

fyra

räk-

nesä

tten

som

vanl

igt,

sam

tpr

iori

teri

ngsr

egle

rna

(mul

tiplik

atio

n/di

visi

onfö

read

di-

tion/

subt

rakt

ion)

.K

omoc

kså

ihåg

att

tälja

reoc

hnä

mna

rei

ett

divi

sion

sutt

ryck

be-

räkn

asva

rfö

rsi

gin

nan

divi

sion

enut

förs

(”os

ynlig

apa

rent

eser

”).

Exem

pel1

2

a)1

2 3+

3 4

=1

2·4

3·4

+3·3

4·3

=1

8 12+

9 12

=1 17 12

=1·12 17

=12 17

b)

4 3−

1 64 3+

1 6

=

4·2

3·2

−1 6

4·2

3·2

+1 6

=

8 6−

1 68 6+

1 6

=

7 6 9 6

=7 ✁✁6·✁✁6 9

=7 9

c)3−

3 52 3−

2=

3·5 5

−3 5

2 3−

2·3 3

=

15 5−

3 52 3−

6 3

=

12 5 −4 3

=12 5

·( −3 4)

=−

3· ✁✁4 5

·3 ✁✁4=

−3·3 5

=−

9 5

d)

11 2+

1 3

−3 5·1 3

2 3/1 5−

1 4−

1 32

=

13 6+

2 6

−3·1

5·3

2 3·5 1

−

3 12−

4 122

=

1 5 6

−1 5

10 3−

−1 12 2

Page 16

27

=

6 5−

1 510 3

+1 24

=1

80 24+

1 24

=1 81 24

=24 81

=8 27

Råd

för

inlä

snin

g

Gru

nd-o

chsl

utpr

ovEf

ter

attd

uha

rlä

stte

xten

och

arbe

tatm

edöv

ning

arna

ska

dugö

ragr

und-

och

slut

prov

etfö

rat

tbli

godk

änd

påde

tta

avsn

itt.D

uhi

ttar

länk

entil

lpro

ven

idin

stud

entl

oung

e.

Tän

kpå

att:

Strä

vaal

ltid

efte

rat

tsk

riva

ett

uttr

yck

ien

klas

tm

öjlig

afo

rm.

Vad

som

är”e

nkla

st”

bero

rdo

ckof

tast

påsa

mm

anha

nget

.D

etär

vikt

igt

att

duve

rklig

enbe

härs

kar

bråk

räkn

ing.

Att

duka

nhi

tta

enge

men

sam

näm

nare

,för

kort

aoc

hfö

rlän

gaet

c.Pr

inci

pern

aär

näm

ligen

grun

d-lä

ggan

denä

rm

ansk

arä

kna

med

ratio

nella

uttr

yck

som

inne

hålle

rva

riab

ler

och

för

attd

usk

aku

nna

hant

era

andr

am

atem

atis

kaut

tryc

koc

hop

erat

ione

r.R

atio

nella

uttr

yck

med

bråk

som

inne

hålle

rva

riab

ler

(x,y

,...

)är

myc

ket

vanl

iga

närm

anst

uder

arfu

nktio

ner,

spec

iellt

ändr

ings

kvot

er,g

räns

värd

enoc

hde

riva

ta.

Läst

ips

För

dig

som

vill

förd

jupa

dig

ytte

rlig

are

elle

rbe

höve

ren

läng

refö

rkla

ring

.

■Lä

sm

erom

bråk

och

bråk

räkn

ing

ieng

elsk

aW

ikip

edia

(http://en.wikipedia.org/wik

i/Fr

acti

on_(

math

emat

ics)

)

■Br

åkrä

knin

g—

Frit

ext

(http://www.fritext.se/matte

/bra

k/br

ak.h

tml)

Länk

tips

■Ex

peri

men

tera

inte

rakt

ivtm

edbr

åk(http://nlvm.usu.edu/en/nav/

fram

es_a

sid_

105_

g_2_

t_1.

html

)

■H

ärka

ndu

fåen

bild

avhu

rde

tgår

tilln

ärm

anlä

gger

ihop

bråk

.(http://www.theducation.se/k

urse

r/ex

peri

ment

/gym

a/ap

plet

s/ex

13_

brakaddition/Ex13Applet.html

)

28

1.2

Övn

inga

r

Övn

ing

1.2:

1

Skri

vpå

gem

ensa

mtb

råks

trec

k

a)7 4+

11 7b)

2 7−

1 5c)

1 6−

2 5

d)1 3+

1 4+

1 5e)

8 7+

3 4−

4 3

Övn

ing

1.2:

2

Best

ämm

inst

age

men

sam

ma

näm

nare

a)1 6+

1 10b)

1 4−

1 8c)

1 12−

1 14d)

2 45+

1 75

Övn

ing

1.2:

3

Berä

kna

följa

nde

uttr

yck

geno

mat

tanv

ända

min

sta

gem

ensa

mm

anä

mna

re:

a)3 20

+7 50

−1 10

b)1 24

+1 40

−1 16

Övn

ing

1.2:

4

Före

nkla

följa

nde

uttr

yck

geno

mat

tskr

iva

påge

men

sam

tbrå

kstr

eck.

Bråk

etsk

ava

rafä

rdig

förk

orta

t.

a)

3 5 7 10

b)

2 7 3 8

c)

1 4−

1 53 10

Övn

ing

1.2:

5

Före

nkla

följa

nde

uttr

yck

geno

mat

tskr

iva

påge

men

sam

tbrå

kstr

eck.

Bråk

etsk

ava

rafä

rdig

förk

orta

t.

a)2

1 7−

1 15

b)

1 2+

1 31 3−

1 2

c)

3 10−

1 57 8−

3 16

Övn

ing

1.2:

6

Före

nkla

2

3+

1 2

+

1 21 4−

1 31 2−

3

2−

2 7

.

Page 17

29 1.3

Pote

nser

Inne

håll

:

■Po

sitiv

helta

lsex

pone

nt■

Neg

ativ

helta

lsex

pone

nt■

Rat

ione

llex

pone

nt■

Pote

nsla

gar

Lära

ndem

ål:

Efte

rde

tta

avsn

ittsk

adu

halä

rtdi

gat

t:

■K

änna

tillb

egre

ppen

bas

och

expo

nent

.■

Berä

kna

uttr

yck

med

helta

lsex

pone

nt.

■H

ante

rapo

tens

laga

rna

iför

enkl

ing

avpo

tens

uttr

yck.

■Ve

tanä

rpo

tens

laga

rna

ärgi

ltiga

(pos

itiv

bas)

.■

Avg

öra

vilk

etav

två

pote

nsut

tryc

kso

mär

stör

stba

sera

tpå

jäm

före

lse

avba

s/ex

pone

nt.

Hel

tals

pote

nser

Via

nvän

derm

ultip

likat

ions

sym

bole

nso

met

tkor

tare

skri

vsät

tför

uppr

epad

addi

tion

avsa

mm

ata

l,t.e

x.4+

4+

4+

4+

4=

4·5

.

Pået

tlik

nand

esä

ttan

vänd

spo

tens

erso

met

tkor

tare

skri

vsät

tför

uppr

epad

mul

tipli-

katio

nav

sam

ma

tal:

4·4

·4·4

·4=

45 .

Siff

ran

4ka

llas

för

pote

nsen

sba

soc

hsi

ffra

n5

dess

expo

nent

.

Exem

pel1

a)53

=5·5

·5=

125

b)10

5=

10·1

0·1

0·1

0·1

0=

1000

00

30

c)0,

13=

0,1·0

,1·0

,1=

0,00

1

d)(−

2)4=

(−2)

·(−

2)·(−

2)·(−

2)=

16,m

en

−24

=−(2

4 )=

−(2

·2·2

·2)=

−16

e)2·3

2=

2·3

·3=

18,m

en(2

·3)2

=62

=36

Exem

pel2

a)( 2 3) 3

=2 3·2 3

·2 3=

23 33=

8 27

b)(2

·3)4

=(2

·3)·(

2·3)·(

2·3)·(

2·3)=

2·2

·2·2

·3·3

·3·3

=24

·34=

1296

Det

sist

aex

empl

etka

nge

nera

liser

astil

ltvå

anvä

ndba

rarä

kner

egle

rfö

rpo

tens

er:

( a b) m=

am bmoc

h(a

b)m=

ambm

.

Pote

nsla

gar

Med

defin

ition

enav

pote

nsfö

ljer

ytte

rlig

are

någr

arä

kner

egle

rso

mfö

renk

lar

berä

k-ni

ngar

med

pote

nser

inbl

anda

de.M

anse

rt.e

x.at

t

23·2

5=

2·2

·2︸

︷︷︸

3st

·2·2

·2·2

·2︸

︷︷︸

5st

=2·2

·2·2

·2·2

·2·2

︸︷︷

︸(3+

5)st

=23+

5=

28

vilk

etge

nere

lltka

nsk

riva

s

am·a

n=

am+

n.

Vid

divi

sion

avpo

tens

erka

noc

kså

berä

knin

garn

afö

renk

las

ompo

tens

erna

har

sam

-m

aba

s27 23

=2·2

·2·2

· ❆ ❆2· ❆ ❆2

· ❆ ❆2❆ ❆2· ❆ ❆2

· ❆ ❆2=

27−3=

24 .

Page 18

31 Den

allm

änna

rege

lnbl

ir

am an=

am−

n.

När

man

råka

rutf

ören

pote

nsav

enpo

tens

finns

ytte

rlig

are

enan

vänd

barr

äkne

rege

l.V

iser

att (5

2 )3=

52·5

2·5

2=

5·5

︸ ︷︷︸

2st

·5·5

︸ ︷︷︸

2st

·5·5

︸ ︷︷︸

2st

=5·5

·5·5

·5·5

︸︷︷

︸3

gång

er2

st

=52·

3=

56 .

och

(53 )

2=

53·5

3=

5·5

·5︸

︷︷︸

3st

·5·5

·5︸

︷︷︸

3st

=5·5

·5·5

·5·5

︸︷︷

︸2

gång

er3

st

=53·

2=

56 .

Allm

äntk

ande

tta

skri

vas

(am)n

=am

·n.

Exem

pel3

a)29

·214

=29+

14=

223

b)5·5

3=

51·5

3=

51+3=

54

c)32

·33·3

4=

32+3+

4=

39

d)10

5·1

000=

105·1

03=

105+

3=

108

Exem

pel4

a)310

0

398=

3100−

98=

32

b)710 7

=710 71

=710

−1=

79

32

Om

ettb

råk

har

sam

ma

pote

nsut

tryc

kib

åde

tälja

reoc

hnä

mna

reså

intr

äffa

rfö

ljand

e:

53 53=

53−3=

50sa

mtid

igts

om53 53

=5·5

·55·5

·5=

125

125=

1.

För

attr

äkne

regl

erna

för

pote

nser

ska

stäm

ma

gör

man

allts

åde

nna

turl

iga

defin

itio-

nen

attf

öral

laa

som

inte

är0

gälle

rat

t a0=

1.

Vik

anoc

kså

råka

utfö

rat

tex

pone

nten

inäm

nare

när

stör

reän

den

itäl

jare

n.V

ifår

t.ex.

34 36=

34−6=

3−2

och

34 36=

✁✁3· ✁✁3

· ✁✁3· ✁✁3

✁✁3· ✁✁3

· ✁✁3· ✁✁3

·3·3

=1 3·3

=1 32

.

Vis

erhä

rat

tenl

igtv

åra

räkn

ereg

ler

mås

tede

nne

gativ

aex

pone

nten

bety

daat

t

3−2=

1 32.

Den

allm

änna

defin

ition

enav

nega

tiva

expo

nent

erär

att,

för

alla

tal

aso

min

teär

0gä

ller

att

a−n=

1 an.

Exem

pel5

a)712

93

7129

3=

71293−

1293

=70

=1

b)37

·3−

9·3

4=

37+(−

9)+

4=

32

c)0,

001=

110

00=

1 103=

10−

3

d)0,

008=

810

00=

1 125=

1 53=

5−3

e)( 2 3) −

1=

1( 2 3) 1

=1·3 2

=3 2

Page 19

33

f)(

1 32) −

3=

(3−

2 )−

3=

3(−

2)·(−

3)=

36

g)0,

015=

(10−

2 )5=

10−

2·5=

10−

10

Om

base

nie

ttpo

tens

uttr

yck

är−

1så

blir

uttr

ycke

talte

rner

ande

−1

elle

r+1

bero

ende

påex

pone

nten

svä

rde (−

1)1=

−1

(−1)

2=

(−1)

·(−

1)=

+1

(−1)

3=

(−1)

·(−

1)2=

(−1)

·1=

−1

(−1)

4=

(−1)

·(−

1)3=

(−1)

·(−

1)=

+1

osv.

Reg

eln

ärat

t(−

1)n

ärlik

am

ed−

1om

när

udda

och

lika

med

+1

omn

ärjä

mn.

Exem

pel6

a)(−

1)56

=1

efte

rsom

56är

ettj

ämnt

tal

b)1

(−1)

11=

1 −1=

−1

efte

rsom

11är

ettu

dda

tal

c)(−

2)12

7

2130

=(−

1·2)1

27

2130

=(−

1)12

7·2

127

2130

=−

1·2

127

2130

=−

2127−

130=

−2−

3=

−1 23

=−

1 8

Byt

eav

bas

Man

bör

vara

uppm

ärks

ampå

attv

idfö

renk

ling

avut

tryc

kom

möj

ligtf

örsö

kask

riva

ihop

pote

nser

geno

mat

tväl

jasa

mm

aba

s.D

etha

ndla

roft

aom

attv

älja

2,3

elle

r5so

mba

soc

hdä

rför

bör

man

lära

sig

attk

änna

igen

pote

nser

avde

ssa

tal,

exem

pelv

is

4=

22 ,8=

23 ,16

=24 ,

32=

25 ,64

=26 ,

128=

27 ,..

.

9=

32 ,27

=33 ,

81=

34 ,24

3=

35 ,..

.

25=

52 ,12

5=

53 ,62

5=

54 ,..

.

34

Men

även

1 4=

1 22=

2−2 ,

1 8=

1 23=

2−3 ,

1 16=

1 24=

2−4 ,

...

1 9=

1 32=

3−2 ,

1 27=

1 33=

3−3 ,

...

1 25=

1 52=

5−2 ,

1 125=

1 53=

5−3 ,

...

osv.

Exem

pel7

a)Sk

riv

83·4

−2·1

6so

men

pote

nsm

edba

sen

2.

83·4

−2·1

6=

(23 )

3·(

22 )−

2·2

4=

23·3·2

2·(−

2)·2

4

=29

·2−

4·2

4=

29−4+

4=

29

b)Sk

riv

272·(

1/9)

−2

812

som

enpo

tens

avba

sen

3.

272·(

1/9)

−2

812

=(3

3 )2·(

1/32 )

−2

(34 )

2=

(33 )

2·(

3−2 )

−2

(34 )

2

=33·

2·3

(−2)·(−

2)

34·2

=36

·34

38=

36+4

38=

310 38=

310−

8=

32

c)Sk

riv

81·3

22·(

2/3)

2

25+

24så

enke

ltso

mm

öjlig

t.

81·3

22·(

2/3)

2

25+

24=

34·(

25 )2·22 32

24+

1+

24=

34·2

5·2·22 32

24·2

1+

24=

34·2

10·22 32

24·(

21+

1)

=

34·2

10·2

2

32 24·3

=34

·210·2

2

32·2

4·3

=34−

2−1·2

10+

2−4=

31·2

8=

3·2

8

Page 20

35 Rat

ione

llex

pone

nt

Vad

händ

erom

ettt

alhö

jsup

ptil

len

ratio

nell

expo

nent

?G

älle

rfo

rtfa

rand

ede

defin

i-tio

ner

och

räkn

ereg

ler

viha

ran

vänt

oss

avov

an?

Efte

rsom

exem

pelv

is

21/2·2

1/2=

21/2+

1/2=

21=

2

såm

åste

21/2

vara

sam

ma

sak

som

√2

ioc

hm

edat

t√

2de

finie

ras

som

det

tal

som

uppf

ylle

r√

2·√

2=

2.A

llmän

tkan

vigö

rade

finiti

onen

a1/2=

√a.

Vim

åste

dåfö

ruts

ätta

att

a≥

0,ef

ters

omin

get

reel

ltta

lm

ultip

licer

atm

edsi

gsj

älv

kan

geet

tneg

ativ

ttal

.M

anse

roc

kså

atte

xem

pelv

is

51/3·5

1/3·5

1/3=

51/3+

1/3+

1/3=

51=

5

som

inne

bär

att

51/3=

3√5,

vilk

etka

nge

nera

liser

astil

latt

a1/n=

n√a.

Gen

omat

tkom

bine

rade

nna

defin

ition

med

enav

detid

igar

epo

tens

laga

rna((

am)n

=am

·n)

får

viat

t,fö

ral

laa≥

0gä

ller

att

am/

n=

(am)1/

n=

n√am

elle

ram

/n=

(a1/

n)m

=(

n√a)m

.

Exem

pel8

a)27

1/3=

3√27

=3

efte

rsom

3·3

·3=

27

36

b)10

00−

1/3=

110

001/

3=

1(1

03)1

/3=

1

103·

1 3=

1 101=

1 10

c)1 √8=

181

/2=

1(2

3 )1/

2=

123

/2=

2−3/

2

d)1

16−

1/3=

1(2

4 )−

1/3=

12−

4/3=

2−(−

4/3)=

24/3

Jäm

före

lse

avpo

tens

er

Om

man

utan

tillg

ång

till

min

iräk

nare

vill

jäm

föra

stor

leke

nav

pote

nser

,kan

man

ivi

ssa

fall

avgö

rade

tta

geno

mat

tjäm

föra

base

nel

ler

expo

nent

en.

Om

base

ni

enpo

tens

ärst

örre

än1

såbl

irpo

tens

enst

örre

just

örre

expo

nent

enär

.Är

däre

mot

base

nm

ella

n0

och

1så

blir

pote

nsen

min

dre

istä

llet

när

expo

nent

envä

xer.

Exem

pel9

a)35/

6>

33/4

efte

rsom

base

n3

ärst

örre

än1

och

den

förs

taex

pone

nten

5/6

ärst

örre

ände

nan

dra

expo

nent

en3/

4.

b)3−

3/4>

3−5/

6ef

ters

omba

sen

ärst

örre

än1

och

expo

nent

erna

uppf

ylle

r−

3/4>

−5/

6.

c)0,

35<

0,34

efte

rsom

base

n0,

3är

mel

lan

0oc

h1

och

5>

4.

Har

enpo

tens

enpo

sitiv

expo

nent

såbl

irpo

tens

enst

örre

just

örre

base

när

.Det

mot

-sa

tta

gälle

rom

expo

nent

enär

nega

tiv:d

åbl

irpo

tens

enm

indr

enä

rba

sen

blir

stör

re.

Exem

pel1

0

a)53/

2>

43/2

efte

rsom

base

n5

ärst

örre

änba

sen

4oc

hbå

dapo

tens

erna

har

sam

ma

posi

tiva

expo

nent

en3/

2.

b)2−

5/3>

3−5/

3ef

ters

omba

sern

aup

pfyl

ler

2<

3oc

hpo

tens

erna

har

den

nega

tiva

expo

nent

en−

5/3.