1era parte solucionario libro matematica 5to grado Cobeñas Naquiche,hecho en autocad

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CAPITULO 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

(17x-19)°(11-13x)°

Resolución:

Colocando los ángulos en sentido antihorario (po

sitivo) tenemos :

(17x-19)°(13x-11)°

(17x-19)°+(13x-11)°+90°+90°=360°

30x-30=180

30x=210

x=7

EJERCICIO 2 De la figura,hallar " x " en térmi

nos de α , β, θ

α

β

θ

x

Resolución:

Colocando los ángulos en sentido antihorario (po

sitivo) tenemos :

- α

β

- θ

x

del gráfico : β - α = 90° .....( I )

x - θ = 180°......( II)

de ( I ) : 2 β - 2 α = 180°

igualando con ( II)

x- θ = 2 β - 2 α

x = θ + 2 β - 2 α

EJERCICIO 3 A partir del gráfico,hallar :

a

m

+

b

n

+

c

p

(ax²+bx+c+120)°

(mx²+nx+p-150)°

Resolución:

Colocando los ángulos en sentido antihorario (po

sitivo) tenemos :

(ax²+bx+c+120)°

- (mx²+nx+p-150)°

(ax²+bx+c+120)°- (mx²+nx+p-150)°+ 90°= 360°

ax²+bx+c = mx²+nx+p

por comparación tenemos :

a=m ; entonces a/m=1

b=n ; entonces b/n=1

c=p ; entonces c/p=1

a

m

+

b

n

+

c

p

= 1 + 1 +1 = 3

EJERCICIO 4 Del gráfico,hallar la relación que

cumplen los ángulos α , β y θ

α

β

θ

Resolución:

Colocando los ángulos en sentido antihorario (po

sitivo) tenemos :

EJERCICIO 1 Del gráfico hallar " x " .

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CAPITULO 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

- α

β

θ

del gráfico tenemos : θ - α + β = 2 vueltas

θ - α +β = 720°

EJERCICIO 5 En la figura ,expresar " " en tér

minos de " "

θ

α

θ

α

O

Resolución:

θ

O

360°- α

del gráfico : (360° - α ) - θ = 2 vueltas

360°- α -θ = 720°

θ = -360° - α

EJERCICIO 6 De los siguientes ángulos,indi-

car cuáles son coterminales :

= -3106° ; = 854° y = 5186°α

β

θ

Resolución:

serán coterminales si al dividirlos entre 360°,dejan

el mismo residuo:

-3106° 360°

9134°

854° 360°

2134°

5186° 360°

14146°

son coterminales : y α

β

EJERCICIO 7 En la figura ,calcular el valor que

toma " x "

11x+50°

-560°

o

Resolución:

cambiando de signo al ángulo positivo tenemos:

- (11x+50°)

-560°

o

del gráfico se puede apreciar que :

( -560° ) +[ -(11x+50°)] = -2 vueltas

-560° - 11x - 50° = -720°

11x = 110°

x = 10°

EJERCICIO 8 Se tienen 3 ángulos coterminales

tal que el menor de ellos es un ángulo agudo.Ha -

llar la medida del mayor si se sabe que dichos án-

gulos son proporcionales a los números 1, 7 y 13.

Resolución:

sean : = 1k , = 7k y = 13kα βθ

entonces :

α

β

=

1k

7k

por lo tanto : β

=

7α

además: como es agudo entonces viene hacer

el residuo en la división entre 360°

α

7k 360°

nk

entonces :

7k = 360°. n + k

6k = 360°.n

k = 60°.n ; n Є Z

+

para que cumpla la condición que = k ,sea agudo

entonces n = 1 , por lo que k=60° , =7(60°)=420°

y = 13(60°)=780°( el mayor )

α

β

θ

EJERCICIO 9 Dos ángulos coterminales son

entre sí como 19 es a 3 .Hallar la medida del ma-

yor de ellos ,si el menor ángulo toma su mínimo

valor positivo.

Resolución:

sean : = 19k y = 3k α β

entonces :

α

β

=

19k

3k

por lo tanto :

=

α

19

3

β

como son coterminales de cumplirse:

-α

β

=

360°.n reemplazando :

19

3

β

- β

=

360°.n

β

=

360°.n

β

=

67,5°.n ; n Є Z

+

se obtendrá el menor ángulo cuando " n " tome

su mínimo valor positivo osea n=1, = 67,5°β

=

α

19

3

β

=

α

19

3

(67,5°)

=

α427,5=427°30´

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CAPITULO 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

EJERCICIO 10

Sean α =(7x²+1)° y β =(1-3x²)°

ángulos coterminales ,tal que x Є R . Hallar el míni

mo valor que puede tomar " α "

Resolución:

como son coterminales de cumplirse:

-α

β

=

360°.n reemplazando :

(7x²+1)° - (1-3x²)° = 360°.n

+

10x² = 360°.n

x² = 36°.n ; n Є Z

+

será mínimo cuando sea mínimo osea cuando

n = 1 , entonces = 36°

"α"

x²

x²

Sean α =(7x²+1)°

α = 7(36°)+1

α = 253°

EJERCICIO 11

La suma de dos ángulos cotermi

nales es 600° . Hallar la medida del menor de ellos

,si el mayor esta comprendido entre 400° y 600°

Resolución:

como son coterminales de cumplirse:

-α

β

=

360°.n , además

+α

β

=

600°

resolviendo las dos ecuaciones :

2α

=

600° + 360° .n

α

=

300° + 180° .n

y " α " esta comprendido entre 400° y 600°

400°< 300° + 180° .n < 600°

100°< 180° .n < 300°

10°< 18° .n < 30°

0.56< n < 1.67

; n Є Z

n = 1

-α

β

=

360°

+α

β

=

600°

}

α

β

=

=

480°

120°

EJERCICIO 12

A partir del gráfico,hallar el su-

plemento de " x "

α°

β°

x°

Resolución:

colocando a " β " en sentido horario y cambiando

su signo tenemos :

α°

-β°

x°

-α

β + 90° + x° +90° =360°

x° =180°- α +β

suple. x = α - β

EJERCICIO 13

En la figura se cumple que :

3θ + 2x = 18° . Hallar E= θ + x

3x

2θ

O

Resolución:

del gráfico tenemos :

2θ + 90° - 3x = 180°

2θ - 3x = 90° ........( I )

3θ + 2x = 18° .........( II )

resolviendo ( I) y (II)

}

θ = 18°

x = -18°

E = θ + x = 0°

EJERCICIO 14

Dos ángulos coterminales son

entre sí como 1 es a 5 .Hallar la medida del mayor

de ellos ,si el menor está comprendido entre 100° y

200°

Resolución:

sean : = 1k , = 5kα β

entonces :

α

=

1k

5k

por lo tanto : β

=

5α

β

β

=

α +360°.n

=

α +360°.n5α

}

=

90°.nα

100°< 90°.n < 200°

1.11< n < 2.22 ; n Є Z

n = 2 ;=

90°.n = 180° ;α β

=

5α = 900°

EJERCICIO 15

Con respecto a los ángulos :

= 1370° ; = 2450° y = -3310°α

β

θ

Resolución:

1370° 360°

3290°

2450° 360°

6290°

-3310° 360°

10290°

α ,

β y θ son coterminales

,podemos afirmar que :

suple. x = 180 ° - ( 180° - α + β )

Page 4

CAPITULO 2

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

NIVEL I

EJERCICIO 1

Si se cumple que :

36 ° < > A ........1

g

B ° < > 60 ......... 2

calcular M = 3B - 4A

Resolución: se sabe que ;

S

9

=

C

10

Reemplazando valores :

36

9

=

A

10

B

9

=

60

10

g

}

A = 40

B = 54

M = 3B - 4A

M = 3(54) - 4(40)

M = 2

EJERCICIO 2

Efectuar :

45° + 30

g

π9

rad.

=

E

Resolución: Pasando todos los ángulos a un sólo

sistema angular ,utilizando la siguiente relación:

S

180

=

C

200

=

R S

9

=

30

10

S

= 27°

S

180

=

π9

rad.

π S

= 20°

45° + 27°

=

E

20°

=

3,6

Reemplazando valores :

EJERCICIO 3 Reducir la expresión :

(2C + S)(2C-S)

400R²

=P

Resolución:

( 4C²-S²)

400R²

=P

S

9

=

C

10

S²

=

100

81C²

C

200

=

R

rad.

R²

=

C²

200²

( 4C²-S²)

400R²

=P

Reemplazando valores :

( 4C²-S²)

400R²

=

(

4C² -

100

81C²

)

400

C²

200²

=

P

=

100

319

400

200²

=

319

EJERCICIO 4

Determinar la medida de un án

gulo en el sistema sexagesimal,si se cumple:

2S-9

3

=

C+4

2

Resolución:

S

9

=

C

10

C =

10S

9

2S-9

3

=

C+4

2

2S-9

3

=

10S

9

+

4

2

4S-18

3

=

10S +36

9

2S = 90°

S = 45°

EJERCICIO 5 Hallar la medida de un ángulo

expresado en radianes,tal que : C - S = 3

Resolución:

C - S = 3

- S = 310S

9

S = 27°

S

180

=

R

rad.

27

180

=

R

rad.

R=

3

20

rad.

EJERCICIO 6 Sabiendo que :

48

rad.< > A° B´ , calcular : √ 3

5

B

A

Resolución:

S

180

=

R

rad.

S

180

=

48

}

S= 3.75°

S= 3.75°

S= 3° 0.75x60´

S= 3° 45´

Reemplazando valores :

√ 3

5

B

A

= A° B ´ } A= 3 ; B= 45

=√ 3

5

(45)

3

= √3 27 =3

EJERCICIO 7

Reducir la expresión :

[ 2R+ ]

( 10S-9C )

=E

Resolución:

10S-9C= 10S - 9

(

10S

9

)

=

0

[ 2R+ ]

=E =

1

EJERCICIO 8 Hallar la medida de un ángulo

expresado en radianes tal que se cumple:

S = 2 ( n + 1 ) ; C = 3n - 4

0

π rad.

π²

π²

π

π²

π²

π²

π²

π²

π

π

π

π

π

π

ππ

π

Page 5

CAPITULO 2

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

Resolución:

S

9

=

C

10

2(n + 1 )

9

=

3n - 4

10

20(n + 1 ) 9 ( 3n - 4 )

=

56 7n

=

8 n

=

S = 2 (n + 1 ) = 2 ( 8 + 1 ) = 18

S

180

=

R

rad.

R =

18

180

rad.

R =

10

rad.

EJERCICIO 9 Hallar la medida de un ángulo

en el sistema radial ,si cumple la siguiente condi-

ción :

S

6

+

C

5

=

14

Resolución:

S

9

=

C

10

C =

10S

9

Reemplazando valores :

S

6

+

5

=

14

10S

9

S = 36

S

180

=

R

rad.

Reemplazando valores :

36

180

=

R

rad.

R =

5

rad.

EJERCICIO 10 Expresar " " en radianes:

α

α = 1°+2°+3°+........+360°

Resolución:

a + a

1 n

n

2

( )

Sn =

recordando que la suma de térmi-

nos en una P.A. es la siguiente :

α = 1°+360°

( )

360

2

α = 361° x180

S

180

=

R

rad.

sustituyendo

361 x180

180

=

R

rad.

R = 361

NIVEL II

EJERCICIO 1

Si A° B' C" < > 13 90 , cal

cular : A + C

B

gm

Resolución:

13 90 = 13,90 ;luego utilizamos la relación :

gm

g

S

9

=

C

10

S

9

=

10

13,90

S

=

12,51°

S

=

12,51°

=

12° 0.51° x 60' = 12° 30,6'

S

= 12° 30,6' =12° 30' 0,6' = 12° 30' 0,6 x60"

S

= 12° 30' 0,6 x60" = 12° 30' 36"

S

= 12° 30' 36" = A° B' C"

Comparando: A = 12 ; B = 30 y C = 36

Reemplazando valores :

A + C

B

=

12 + 36

30

=

1,6

EJERCICIO 2

Reducir la expresión :

( C² - S² )

76 R²

U =

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

180

=

C

200

=

R

rad.

=

n

( 200² n² - 180² n²)

76 n²

U =

( 200 - 180 ) (200 + 180)

76

U = = 100

EJERCICIO 3

Determinar la medida de un

ángulo en radianes si se cumple que :

1

S

+

1

C

=

19

72

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

9

=

C

10

=

n

}

S = 9n

C = 10n

Reemplazando valores :

1

9n

+

1

10n

=

19

72

19

90n

=

19

72

10n=8

C

200

=

R

rad.

}

C = 8

8

200

=

R

rad.

R =

25

rad.

EJERCICIO 4

Los ángulos de un triángulo se

encuentran en progresión aritmética de razón 12°

.Hallar la medida del menor de dichos ángulos ex-

presada en radianes.

Resolución:

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π²

π²

π²

π

π π

π

Page 6

CAPITULO 2

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

A

B

C

x-12°

x-12°

x

debe cumplirse que : en

todo triángulo la suma de

sus ángulos interiores es

180°

( x - 12° ) + x + ( x + 12° ) = 180°

3x = 180°

x = 60°

El menor mide : A = 60° -12 ° = 48°

Expresando dicho ángulo en radianes :

S

180

=

R

rad.

48

180

=

R

rad.

R =

15

4 rad.

EJERCICIO 5

Del gráfico , hallar " x ".

A

D

B

C

15

)(( 13x-10 )°

25( x + 1 )

Resolución: E n todo cuadrilátero se cumple que

la suma de sus ángulos interiores es igual a 360°.

g

Expresando todos los ángulos en el sistema sexa

gesimal.

S

9

=

C

10

S

9

=

10

25(x+1)

S=

2

45(x+1)

*

*

S

180

=

R

rad.

=

rad.

S

180

15

)(

S = 12x

∑ ángulos interiores = 360°

2

45(x+1)

+ + 90 = 360( 13x+10 ) +

12 x

26x+20+45x+45+24x+180 = 720

95 x = 475

x = 5

EJERCICIO 6 Hallar la medida de un ángulo

expresado en radianes si se cumple que :

4S - 3C + 10R = 12 +

Resolución: Pasando los ángulos al sistema radial.

S

180

=

C

200

=

R

rad.

Reemplazando valores :

4 - 3 + 10R = 12 +

180R

( )

200R

( )

720R - 600R + 10 R = (12 + )

120R + 10 R = ( 12 + )

10R ( 12 + ) = ( 12 + )

R =

10

EJERCICIO 7 Determinar la medida de un

ángulo expresado en radianes , si cumple la sigui-

ente condición :

=

2C + S

2C - S

5 + 9R

5 - 9R

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

9

=

C

10

=

n

}

S = 9n

C = 10n

Reemplazando valores :

=

5 + 9R

5 - 9R

2(10n) + 9n

2(10n) - 9n

=

5 + 9R

5 - 9R

29

11

145 - 261R = 55 + 99R

90 = 360R

EJERCICIO 8 Hallar el número de radianes

contenidos en un ángulo si se cumple que :

S = x² - 1 ; C = 9x - 2 ; tal que x Є Ζ

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

9

=

C

10

9

=

10

x² - 1 9x-2

10x²-81x+8=0

10 -1 -1x

1 -8 -80x

-81x

(10x-1)(x-8) = 0

* 10x-1=0 ; x=0,1 Є Z

* x - 8 =0 ; x= 8 Є Z

S = x² - 1 = (8)² - 1 = 63

S

180

=

R

rad.

63

180

=

R

rad.

7

20

EJERCICIO 9

En la figura ABC es un trián-

gulo equilátero. Si AD y AE son trisectríces del án

gulo A , hallar " x - y " expresado en radianes .

R =

7

20

R =

rad.

4

1

4

BD E C

H

A

x

y

π

ππ

π

π

π

xπ

π

xπ

ππ

π

π

π π

ππ

π

π ππ

π rad.

π

π

π

π

π

π

π π

π

π

π

π

π

Page 7

CAPITULO 2

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

( 5x-3 )°( 7x- 25 )

g

S

9

=

C

10

9

=

10

S 7x - 25

=

10

S

63x - 225

10

63x - 225

=

5x -3

63x - 225 = 50x - 30

13x = 195

1

15

x = 15

S = 5x - 3 = 5(15) - 3 = 72°

< desigual : 180°- 2(72°) = 36°

S

180

=

R

36

180

=

R

5

1

R =

5

EJERCICIO 4 Se tiene 3 ángulos consecuti

vos cuya suma es igual a la cuarta parte de un

ángulo llano .Sabiendo que se hallan en progresi

ón aritmética y que el mayor es igual al cuadrado

del menor .Hallar el menor de ellos en radianes.

Resolución:

sabemos por dato que la suma de estos es la

cuarta parte de un ángulo llano :

x + ( x+r)+(x+2r) =

4

=

3x + 3r =

4

180°

1 1

60°

15°

1

x + r = 15° ; reemplazando " r " :

x = 15° ; x - x - 30° = 0

+

x - x

2

2

2

(x+6°)(x-5°)=0

*

x=-6°

*

x= 5° ( menor ángulo)

S

180

=

R 5

180

=

R

36

1

R =

36

EJERCICIO 5 A partir del gráfico ,calcular :

√ 75x

4y

3

x

x+ r

x

+

2

r

=

x

2

r

x - x

2

2

x

y"m

O

Resolución:

x

- y"m

x = - y"

m

y

x

=

9

-10

(

100

3600)

5

18

y

x

=

9 ( 18 )

-5

multiplicando ambos

miembros por :

4

75

4 y

75 x

=

9. ( 18 )(4)

-5 ( 25)(3)

1

3

=

6

-5

3

3

Extrayendo raiz cúbica a ambos miembros :

√ 75x

4y

3 √3=

6

-5

3

3

=

6

-5

EJERCICIO 6 Determinar la medida de un án

gulo expresado en radianes,si cumple la condición

2S

9

-

C

10

-

1

[ ]

( C - S - 1 )

=1

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

9

=

C

10

=

n

}

S = 9n

C = 10n

Reemplazando valores :

2(9n)

-

-

1

[ ]

( 10n - 9n - 1 )

=1

9

10n

10

[ 2n - n - 1 ]

( n - 1 )

=1

[ n - 1 ]

( n - 1 )

=1

1

[ n - 1 ]

=

1

n = 2

Reemplazando "n" :

S = 9n = 9(2)= 18°

18

180

=

R

10

1

R =

10

EJERCICIO 7

Siendo " a " el número de minu

tos sexagesimales y " b " el número de grados cen

tesimales que tiene un mismo ángulo ,calcular :

√ a-5b

b

E =

πrad.πrad.

πrad.

πrad. πrad.

πrad.

πrad.

πrad.

180°

Page 8

CAPITULO 2

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

Resolución:

Por condición del problema se tiene :

a' = b

g

a

60

=

9 b

10

a = 54 b

a = ( 5b + 49b)

{

a - 5b = 49 b

Dividiendo entre " b "ambos

miembros :

a - 5b = 49 b

bb

Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros :

a - 5b =

b√ √49 √ a-5b

b

E = =

7

EJERCICIO 8

Hallar el máximo valor que pue

de tomar " α " expresado en radianes,si se cum

ple :

α = [ 14 + 4x - x ]° ; x Є R

2

Resolución:

x Є R

x - 2 ; Є R

( x - 2 ) ≥ 0

2

( todo número real elevado al cua

drado es mayor o igual a cero)

desarrollando el cuadrado de un binomio:

x - 4x +4 ≥ 0

2

multiplicando por (- 1 ) a ambos miembros y cam

biando el sentido de la desigualdad se tiene :

-x + 4x - 4 ≤ 0

2

sumando a ambos miembros ( 18 ) se tiene :

-x + 4x + 14 ≤ 18

ordenando [ 14 + 4x - x ]° ≤ 18°

2

2

el máximo valor será de 18°

α = 18°

S

180

=

R18

180

=

R

10

1

R =

10

EJERCICIO 9A partir del gráfico,hallar el má

ximo valor positivo del ángulo " φ "

-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18

+ -

C O A

B

120°

a

b

+

b

a

( )

φ

Resolución:

Del gráfico se puede observar que :

120° -

a

b

+

b

a

( )

φ

=

180°

a

b

+

b

a

( )

φ

=

- 60°

Si φ es positivo entonces la expresión

a

b

+

b

a

( )

es negativa ; es decir :

a

b

+

b

a

( )

≤ 0

que desarrollando es igual a decir :

a + b

( )

≤ 0

a.b

22

como : a + b , siempre será positivo entonces

a.b es negativo y diferente de cero.

2

2

a Є R y b ϵ R

( a + b) ≥ 0

2

( todo número real elevado al cua

drado es mayor o igual a cero)

desarrollando el cuadrado de un binomio:

a + 2a.b + b ≥ 0

2

2

a + b ≥ - 2a.b

22

dividiendo ambos miembros entre (a.b) y teniendo

presente que (a.b) es negativo por lo tanto el sen

tido de la desigualdad cambia.

a + b ≤ - 2 ;

2

2

a.b

a

b

+

b

a

≤

- 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3-2

-1 0 1 2 3 4

+ -

el máximo valor será de -2

Reemplazando en la siguiente expresión:

a

b

+

b

a

( )

φ

=

- 60°

}

- 2 φ = -60°

φ = 30°=

6

EJERCICIO 10Hallar la medida de un ángulo

en radianes ,si cumple la siguiente condición:

S

36

+

C

40

+

5R

π

=

2 ( S + C + R )

5 55

44 4

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

180

=

C

200

=

R

=

n

S.S

36

+

C.C

40

+

R.5R

π

=

2 ( S + C + R )

44

4

44 4

180n.S

36

4

200n.C

40

4

π.n.5R

π

4

+ + =

2 ( S + C + R )

4 4 4

5n.S + 5n.C + 5n.R

4 44

2 ( S + C + R )

44 4

=

5n ( S + C + R ) =

4 4 4

2 ( S + C + R )

44 4

5n = 2 ; n =

2

5

R

=

n

R =

5

πrad. πrad.

πrad.

πrad.

πrad.

πrad.

2πrad.

Page 9

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

NIVEL I

EJERCICIO 1

Hallar la longitud de arco de un

sector circular si su ángulo central mide 20° y su

radio es de 9m.

Resolución:

20°

L

r

=

9

m

L = θ.r ; θ en radianes

S

180

=

R

20

180

=

R

R =

9

1

9

Reemplazando valores :

L

=

9

( )

9m.

=

EJERCICIO 2 En la figura , hallar " x "

2 rad.

( 3x + 4 )m

(

2

x

+

1

)

m

O

A

B

Resolución:

L = θ.r

Reemplazando valores :

3x + 4 = ( 2 )( 2x + 1 )

2 = x

EJERCICIO 3

Del gráfico ,calcular " L "

45°

L

2π m.

O A C

B

D

3rr

Resolución:

45° =

π

4

rad.

L =

CD

θ.R

Reemplazando valores :

2 π = . 4r ; r = 2 m.

π

4

L =

AB

θ.R

Reemplazando valores :

= . r ; r = 2 m.

π

4

L

AB

= . 2 ;

π

4

L

AB

L

AB

=

π

2

m

EJERCICIO 4 De la figura , calcular :

S

1

S

2

( O centro )

2α

S

2

S

1

O

A

B

C

D

Resolución:

α

S = θ. R

2

2

Sea : OB = r ; OC = 2r

S

1

=

α.r

2

2

S

2

=

(2α).( 2r )

2

2

=

S

2

4α.r

2

S

1

S

2

=

α.r

2

2

4α.r

2

S

1

S

2

=

1

8

EJERCICIO 5 De la figura , hallar " x " .

2

x

m

O

A

B

π

2x

rad.

3π m

Resolución:

S = θ. R

2

2

Reemplazando valores :

=

2

3π

π

2x

.( 2x )

2

; =

2

π

2x

. 4 x

2

3π

x = 3

2

(

πrad.

πrad.

πrad.

π

π m.

Page 10

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

EJERCICIO 6 Del gráfico ,hallar " S "

π

=

22

7

( )

1

2

m

4

m

S

45°

O

A

B

D

C

Resolución:

45° =

π

4

rad.

Del gráfico se aprecia que :

S = S - S

OCD OAB

π

4

( 16 )

2

-

π

4

( 12 )

2

2

2

S

=

S

=

14 π

=

14

22

7

( )

S

=

44 m

2

EJERCICIO 7

De la figura ,hallar : L + L (AOB

y CAD son sectores circulares).

12

O C B

D

A

L

L

2

1

24 m.

30°

Resolución:

O C B

D

A

L

L

2

1

24 m.

30°

OB = OA = 24m.

OCA es notable de 30° , 60° con una

longitud de hipotenusa de 24m ( 2x12)

por lo tanto AC= 1x12 = 12m

60°

12m

2

4

m

π

3

< >

π

6

< >

60°

30°

Nota :

L =

π

3

.12m

=

1

4

1

4π m.

L =

π

6

.24m

=

2

4

1

4π m.

L

1

+

L

2

=8π m.

EJERCICIO 8 Del gráfico ,hallar : √ S

2

S

1

A

B

D

C

S

1

O

5m

3m

S

2

θrad.

Resolución:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

3 m.

OA =

θ

3m

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

5 m.

*

*

OC =

θ

5m

(

( (

(

2

2

S

=

1

θ

3

( )

=

2θ

9

m

2

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

2

n

=

3 + 5

2

[ ]θ

5

-

θ

3

( )

S

=

2

θ

8

m

2

Dividiendo : S entre S

21

√ θ

8

√ S

2

S

1

= = √16

9

√ S

2

S

1

=

4

3

EJERCICIO 9 Del gráfico ,hallar " θ "

θ

2θ

9

A

B

D

C

O

4m

2mθrad.

2

m

Resolución:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

2 m.

OA =

θ

2m

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

4 m.

*

*

OC = OA + 2

(

( (

(

Page 11

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

OC 2

=

θ

2

+

L = θ .OC ;

CD

(

4 = θ. 2

θ

2

+

)(

4 = 22 θ

+

θ = 1

A

B

D

C

O

x+1

x-1θrad.

x

EJERCICIO 10

Del gráfico ,hallar " α "

9

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

=

( x- 1) + ( x+1)

2

[ ] 9

x

9 = x

2

x = 3

NIVEL II

EJERCICIO 1

O

D

C

B

A

2L

α rad.

3L

Resolución: Trazamos el arco BH con centro en O

de radio OB , y que por pasar por el punto medio

B, es lamitad de la medida del arco CD osea 1,5L

O

D

C

B

A

2L

α rad.

3L

1,5L

H

Sea OA = R ; tenemos.

1,5 L = α .R ......(I)

*

3,5 L = .R .....(II)

*

π

2

3,5

1,5

=

α

π

2

7

3

=

2α

π

α

=

14

3π

Dividiendo ( I ) ÷ ( II )

R

De la figura hallar " x ".

EJERCICIO 2

Calcular el área de la región

coloreada.

OB

D

C

A

72°

√ 5 m

Resolución:

Resolución:

O

BD

C

A

√ 5 m

R

r

2π

5

rad.

*En el OBC : ( Pitágoras )

R² = r ² + ( ) ²

√ 5

R² - r ² = 5 ........( I )

*

color

2π

5

. R

2

2π

5

. r

2

2

2

=

S

color

-

=

S

color

π

5

(R - r .....( II )

)

22

Reemplazando ( I ) en ( II ) :

=

S

color

π

5

( 5 )

=

S

color

π m

2

Además : S = S COD - S AOB

Page 12

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

O

A

D

F

C

A partir del gráfico , hallar

EJERCICIO 3 L

r

r

3

m

2

m

4m L

14m

E

B

Resolución:

O

A

D

F

C

r

3

m

2

m

4mL

14m

E

B

θ rad.

De la figura se tiene:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

4 m.

*

( (

4 = θ.r ......( I )

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

L ; OC = ( r + 3 )

*

( (

L = θ.( r + 3 ) ......( II )

L = θ .OE ;

EF

L =

EF

14m. ; OE = ( r + 5 )

*

( (

14 = θ.( r + 5 )

14 = θr + 5θ .......( III )

Reemplazando ( I ) en ( III ) , tenemos :

14 = 4 + 5θ θ = 2 r = 2

Reemplazando en ( II ) tenemos :

L = θ.( r + 3 ) L = 2 ( 2 + 3 ) ; L= 10 m

L

r

=

10

5

=

2

EJERCICIO 4 Calcular el área de la región

coloreada siendo BAC un sector circular ,además

: AB = BD = 2√2 m.

DC A

B

Resolución:

DC A

B

2√2

π

4

45°

=

2√2

*

color

Además : S = S COD - S BAC

π

4

.

22

=

S

color

-

=

S

color

2√2

( )

2

2√2

( )

2√2

( )

4 - π

EJERCICIO 5 Hallar la longitud del radio de

la circunferencia mostrada,en términos de "L" y "α"

α°

O

A

B

C

L

Resolución:

α°

o

A

B

C

L

r

r

2α°

BC = 2α ; por ser

(

ángulo inscrito que

a la vez tiene la mis

ma medida que el

ángulo central.

Pasando 2α° a radia

nes tenemos :

S

180

=

R

πrad.

2α

180

=

R

πrad.

R =

απ rad.

90

1

90

Reemplazando valores :

L

=

απ90

( )

r r

=

90L

( )

απ

EJERCICIO 6 Las áreas de los sectores circu

lares AOB y COD son proporcionales a 1 y 4 res-

pectivamente. Calcular :

L

2

L

1

Resolución:

Page 13

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

B

D

O

L

L

12

A

C

Resolución:

B

D

O

L

L

12

A

C

S

3S

L

2α

S

=

2

Utilizando la formula del área

de un sector circular en función

de su arco y su ángulo central.

Reemplazando:

L ......... ( I )

2α

S

=

2

α rad.

1

2α

4S

=

2

2L .......... ( II )

DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )

4

=

2

2L

2

1

L

2

L

1

L

=

2

EJERCICIO 7

√ S

1

S

2

A partir del gráfico ,calcular :

3

O

A

D

F

C

1

m

2

m

3

m

S

S

E

B

1

2

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

Resolución:

Reemplazando:

O

A

D

F

C

1

m

2

m

3

m

S

S

E

B

1

2

α rad. α

3α

6α

α + 3α

2

[ ]

S

=

2

1

S

=

1

4α m

2

3α + 6α

2

[ ]

S

=

3

2

S

=

2

α m

27

2

2

Dividiendo : S entre S

21

√ 1

4

√ S

1

S

2

= = √ 8

27

√ S

1

S

2

=

2

3

2

27

3 33

3

EJERCICIO 8

Hallar el área de la región co

loreada.

B

D

O

10m

8m

A

C

2

m

Resolución:

B

D

O

10m

8m

A

C

2

m

θ rad.

r

De la figura se tiene:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

8 m.

*

( (

8 = θ.r ......( I )

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

10 ; OC = ( r + 2 )

*

( (

10 = θ.( r + 2 ) ......( II )

DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )

8

10

=

θ( r+2 )

8

10

=

r+2

r

θ r

10r = 8r +16 ; r = 8 m.

S

Reemplazando r = 12m. en la ecuación ( I )

8 = θ.r θ

=

8

8

1

1

= 1 rad.

2

2

S

=

θ .r1

( 8 )

2

2

S

=

32 m

2

Page 14

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

EJERCICIO 9

Del gráfico , hallar aproxima-

damente el valor de " a " , si S = S

21

B

D

O

S S

A

C

a

-

1

Resolución:

a

+

1

12

S = θ. R

2

Sea : OA = a+1

S

1

=

θ.( a+1) ....(I)

2

B

D

O

S S

A

C

a

-

1

a

+

1

12

θ rad.

Como S = S , entonces

tenemos :

=

2S

1=

θ. [( a+1)+( a - 1)]

2

S = θ. a .....( II )

1

Igualando ( I ) y ( II )

θ.( a+1)

2

=

θ. a

( a + 1 )² = 2a²

²

²

²

²

²

²

a + 2a + 1 = 2a

²

a - 2a - 1 = 0

²

Completando cuadrados :

a - 2a - 1 = 0 ; ( a - 2a ) -1 = 0

²

+ 1 - 1

+ 1

- 1

( a - 1 ) = 2 ²Extrayendo raiz cuadrada.

( a - 1 ) = √2

a = √2 +1

²

a = 2,41

1 2

EJERCICIO 10

Del gráfico , hallar: siendo

S = S

y

x

12

O

E

D

α rad.

C

y

A

x

α

r

a

d

.

S

1

S

2

B

Resolución:

O

D

α rad.

C

y

A

x

α

r

a

d

.

S

1

S

2

B

x

S

1

S = θ. R

2

Sea : OA = x

S

1

=

α x ....(I)

2

Como S = S , entonces

tenemos :

2S

1=

α y ........( II )

2

Dividiendo ( I ) entre ( II )

²

²

²

1 2

1

2

=

α x

2

²

α y

2

²

1

2

=

x ²

y ²

1

√2

=

x

y

x

y

=

0,71

NIVEL PREUNIVERSITARIO

EJERCICIO 1

Del gráfico , hallar el perímetro

de la región coloreada.

OB

A

C

12m.

12m.

Resolución:

OB

A

C

12m.

12m.

1

2

m

.

P

1

2

m

.

45°

60°

1

5

°

π

3

< >

π

6

< >

60°

30°

Nota :

π

4

< >45°

π

12

< >15°

*

colorAdemás : P =

L +

AC

(

L + AP

CP

(

Page 15

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

color

P = L +

AC

(

L + AP

CP

(

P = color

π

3

12 +

( )

π

12

12 + 12

( )

P = 5π + 12 m.color

EJERCICIO 2

De la figura,calcular el área de

la región coloreada. OA = OB = BC = 2√3 m.

OA

B

C

Resolución:

OA

B

C

60°

60°

60°

*

Además : S = S BOA - S BOC

color

2√3

2√3

π

2

.

2

2√3

( )

2

= -

π

3

.

2

2√3

( )

2

S

color

= π m

S

color

²

EJERCICIO 3

De la figura,hallar " θ "

B

D

O

5m

2m

A

C

2

m

Resolución:

²

θ rad.

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

para calcular L tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n ; L = 2m. ; S = 5 m

1

²

n = 2 m. ; L = ?

2

2

B

D

O

5m

A

C

2

m

²

θ rad.

L

²

L = 2m

1

Reemplazando ,valores y calculando " L "

²

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

2 + L

2

[ ]

5

=

2

2

L

²

=

3 m.

De la figura se tiene:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

r m.

*

( (

2 = θ.r ......( I )

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

3 ; OC = ( r + 2 )

*

( (

3 = θ ( r + 2 ) .....( II )

r

m

.

DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )

3

2

=

θr

θ ( r + 2 )

2r + 4 = 3r

r = 4 m.

Reemplazando " r = 4m. en ( I ) , tenemos :

2 = θ.r ; 2 = θ (4) θ = 0,5

EJERCICIO 4

Hallar el área de la región colo

reada.

O

1

m

2m

C

B

A

2°

1°

Resolución:

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

Sea : 1° = θ ; 2 ° = 2θ

OA = r.

S

180

=

R

πrad.

1° =

π rad.

180

=

θ

Page 16

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

O

1

m

2m

C

B

A

2θ

θ

r

P

Q

√ r² - 2²

√ r² - 1²

θr

2θr

S

1

S

2

θ√ r² - 1² 2θ√ r² - 2²

[

θr + θ√ r ² - 1

2

] [

r - √ r ² - 1

2

]

S

=

1

Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :

[ r ² - r ² + 1 ] ;S

=

1

θ

2

S

=

1

θ

2

[

2θr + 2θ√ r ² - 2²

2

][

r - √ r ² - 2²

2

]

S

=

2

Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :

*

*

[ r ² - r ² + 2² ] ;S

=

2

2θ

2

S

=

2

4θ

Sumando S con S y reemplazando " θ "

12

S + S =

θ

2

+

4θ

1 2

S + S =

1 2

9θ

2

=

9

2

π180

[ ]

=

π

40

m²

OP² = r²-1² ; ....T.Pitágoras.

OQ² = r²-2² ; ....T.Pitágoras.

EJERCICIO 5

Del gráfico , hallar: siendo

S = S

L

L

2

O

E

D

2θ

C

A

S

1

S

2

B

1

2

1

θ

L

1

L

2

Resolución:

O

E

D

2θ

C

A

S

1

S = S

2

B

θ

L

1

L

2

*

S =2S

3

R

θR²

2

S

=1

R

*

2 θR²

2

S

=3

S 2 S

=3 1

1

L

2α

S

=

2

Utilizando la formula del área de un sector circular

en función de su arco y su ángulo central.

Reemplazando:

L ......... ( I )

2θ

S

=

1

1

1

S DOE = 3 S 1

L ..... ( II )

2(2θ)

=

²

2

²

DIVIDIENDO ( I ) ENTRE ( II )

L

2θ

S

=

1

1

²

1

L

2(2θ)

=

²

2

3 S

1

3

=

2L

²

1

L

²

2

Extrayendo

raíz cuadrada

L

²

1

L

²

2

=

1

√6

=

6

√6

EJERCICIO 6

En la figura : S = 2S .Hallar "θ"

1 2

Resolución:

S

1

S

2

AO

D

B

C

θ rad.

2√2m 1m

S

1

S

2

AO

D

B

C

θ rad.

2√2m 1m

β rad.

S = θ. R

2

Sea : OA = x

S

1

=

β(2√2)²

2

²

S

2

=

θ( 1 )²

2

Igualando : S = 2 S

β(2√2)²

2

=

2θ( 1 )²

2

θ = 4β

Del gráfico : β + θ =

π

2

θ

4

+ θ=

π

2

11

θ =

2π

5

Page 17

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

EJERCICIO 7 Hallar el área máxima de un tra

pecio circular sabiendo que su perímetro es de 8m

Resolución:

B

D

O

L

L

12

A

C

n

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

y reemplazando( ) tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

S

n

P = L + L + 2n

1 2

8 = L + L + 2n

1 2

L + L = 8 - 2n

1 2

L + L

12

8 - 2n

2

[ ]

S

=

n

1

4 1

S = 4 - n²

" S " será máxima cuando 2 n² = 0

S = 4 - n²máx.

=0

S = 4 m²

EJERCICIO 8 En la figura : R + r = 4m.

R . r = 2m² . Hallar el área de la región coloreada.

O O

rR

45°

Resolución:

O O

rR

45°

45°

* Además : S = S ABCD - ( S + S )

color

B

S

1

S

2

r

√

2

R

√

2

A

D

C

1 2

R

r

π

2

.

2

R

( )

2

*

S

1

=

-

( R)( R )

2

=

πR²

4

-

R²

2

π

2

.

2

r

(

*

S

2

=

-

( r )( r )

2

=

πr²

4

-

r²

2

)

2

S ABCD =

( r√2 )( R√2 )

=

2Rr

Reemplazando ,valores y calculando" S "

color

S = S ABCD - ( S + S )

color

1

2

πR²

4

-

R²

2

)([

+

πr²

4

-

r²

2

)(]

=

2Rr -

colorS

R + r = 4

( R+r)²=16

R²+2Rr+r²=16

R² + r²=16-2(2)

R²+r²=12

[

π

4

-

1

2

)(]

=

2Rr -

colorS

( R² + r² )

=

2(2) -

colorS

[

π

4

-

1

2

)(]

12

=

colorS4 - ( 3π - 6)

=

colorS( 10 - 3π ) m²

EJERCICIO 9 Hallar la longitud de arco de un

sector circular cuyo perímetro es √2m y su área es

la máxima posible.

Resolución:

O

S L

r

r

P = 2r + L = √2 r = √2 - L

2

S

=

L r

2

=

L

2

√2 - L

2

( )

S

=

√2 L - L²

4 4

S

=

8 4

-

√2 L

4

+

1

8

( )

S

=

1 - L

8 2

-

√2

4

( )²

} }

máximo

mínimo = 0

L

2

√2

4

=

L

√2

2

=

EJERCICIO 10 De la figura hallar

S

2

S

1

B

D

O

S S

A

C

12

Resolución:

L 1

2

-

Page 18

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

B

D

O

S

S

A

C

12

r

R

*

S + SCOD S =

12

r

R

Reemplazando ,valores y calculando :

R ( R + r ) = r R + R + r r

22 2

( )

R² + Rr = Rr + Rr + r²

R² - Rr - r² = 0

__ r²

4

+

__ r²

4

{

R

_ r

2

- =

___ √5r

R

_ r

2

-

( )² =

___ 5r²

4

R =

_____ √5r + r

R =

_______

r(√5 + 1)

2

2

__ r

R

=

_______ 2

(√5 + 1)

Racionalizando

__ r

R

=

_______ 2

(√5 + 1)

x

_______

(√5 - 1)

(√5 - 1)

2

Extrayendo raiz cuadrada y tomando su valor

positivo :

__ r

R

=

_______

(√5 - 1)

2

Completando

cuadrados.

S

1

=

Rr

2

S

2

=

2

( )

r

R + r

___ S

2

S

1

=

R + r

R

=

1 +

__ r

R

Reemplazando el valor de

___ S

2

S

1

=

R + r

R

=

1+

______

(√5 - 1)

2

___ S

2

S

1

=

______

(√5 + 1)

2

__ r

R

" "

-

Page 19

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

NIVEL I

EJERCICIO 1 De la figura calcular :

E = Tg α + Sec α

C

A

B

a-1

a

+

1

4

α

Resolución:

Por el Teorema de Pitágoras tenemos :

(a+1)² = (a-1)² + 4²

a² + 2a + 1 = a² - 2a +1 +16

4a = 16

a = 4

Reemplazando el valor de " a " en el triángulo

ABC , tenemos :

C

A

B

5

4

α

E = Tg α + Sec α

E =

_ 3

4

+

_ 5

4

E = 2

3

EJERCICIO 2 En el triángulo rectángulo ABC

, recto en B , se cumple que :

Cotg A =

__ 5

12

Resolución:

B

A

C

H

=

1

3

5

12

Calcular M = Sen A - Sen C

Por el T. Pitágoras

H² = 12² + 5²

H² = 144 + 25

H² = 169

H = 13

Reemplazando el valores :

M = Sen A - Sen C

M =

__ 12

13

-

__ 5

13

M =

__ 7

13

EJERCICIO 3 Del gráfico, calcular :

A M B

C

13 5

E =

____

Tgα

Tgθ

θ

α

Resolución:

Por el T. Pitágoras

13² = AB² + 5²

169 = AB² + 25

AB² = 144

AB = 12

Reemplazando el valores :

AM = MB = 6

A M B

C

13 5

θα

66

E =

____

__ 5

6

__ 5

12

= 2

EJERCICIO 4 De la figura , calcular :

Cosecβ - Tgβ

Cotgβ - Secα

P =

A B

C

8

β

9 6

α

Resolución:

A B

C

8

β

9 6

α

H² = 15² + 8²

H² = 225 + 64

H² = 289

H = 17

H

=

1

7

Por el T. Pitágoras ABC

CP² = 6² + 8²

CP² = 36 + 64

CP² = 100

CP = 10

Por el T. Pitágoras PBC

P

1

0

Page 20

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Reemplazando el valores :

Cosecβ - Tgβ

Cotgβ - Secα

P =

__ 17

8

-

__ 8

15

__ 15

8

-

__ 10

8

P =

_______ 225 - 64

120

__ 15

8

==

____ 161

120

__ 5

8

=

___ 161

75

P = 2,2

EJERCICIO 5 De la figura , calcular :

Senα + Cosθ

Q =

5 √

3

A B

C

D

15

25

24

α

θ

Resolución:

CB² = 25² - 24²

CB² = 625 + 576

CB² = 49

CB = 7

Por el T. Pitágoras ABC

CD² = 25² - 15²

CD² = 625 - 225

CD² = 400

CD = 20

Por el T. Pitágoras ADC

Reemplazando el valores :

Senα + Cosθ

Q =

5 √

3

__ 7

25

+

__ 20

25

A B

C

D

25

24

α

θ

15

20

7

5

Q =

3

√

____ 27

125√

3

Q =

Q =

__ 3

5

Q = 0,6

EJERCICIO 6 Calcular " x " , siendo:

Sen ( 4x + 12°) = Cos ( 3x + 8° )

Resolución:

Sen α = Cos β

Tg α = Cotg β

Sec α = Cosec β

{

α + β= 90°

Sen ( 4x + 12°) = Cos ( 3x + 8° )

( 4x + 12° ) + ( 3x + 8 ) = 90°

7x + 20° = 90°

x = 10°

EJERCICIO 7 Calcular " x " , sabiendo que:

Tg ( 2x + 17° ) .Cotg ( x + 34° ) = 1

Resolución:

=

____

Tgθ

1

Cotgθ

Nota :

Tg ( 2x + 17° ) .

Tg ( x + 34° )

1

=

1

Tg ( 2x + 17° )

=

Tg ( x + 34° )

2x + 17° = x + 34°

x = 17°

EJERCICIO 8 Sabiendo que :

Tg ( x + y ) = Cotg 40° ...........1

Sen ( x - y ) .Cosec 30° = 1 ...........2

Resolución:

=

____

Senθ

1

Cosec θ

Nota :

x + y +40° = 90°

x - y = 30°

2x = 80°

x = 40° y = 10°

x + y = 50°

__ x

y

=

___ 40°

10°

=

4*

EJERCICIO 9 Del gráfico , hallar " x " en térmi

nos de " a " y " α "

A B

H

α

x

C

a

Resolución:

Tg α

=

__ a

AB

AB = a.Cotg α

Page 21

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

A B

H

α

x

C

a

a.Tg α

Cos α

=

______

x

aCotgα

x = aCos α .Cotg α

EJERCICIO 10 Calcular " x " en términos de "a"

y " θ ".

A B

θ

C

a

xD

θ

Resolución:

En el Tg θ

=

___ BD

a

BD = a.Tg θDBC:

A B

θ

C

a

x

D

θ

aTgθ

En el Tg θ

=

_______ a

ABC:

x + aTgθ =

_____

Cotgθ

1

Tgθ

Nota :

_____

Cotgθ

1

=

_______ a

x + aTgθ

x + a Tgθ = a Cotg θ

x = a( Cotg θ - Tg θ )

NIVEL II

EJERCICIO 1 En un triángulo rectángulo ABC

( C = 90° ),se cumple : Sen A . Sen B

=

__ 4

9

Calcular : E = √ Cotg A + Cotg B

Resolución:

A C

B

a

b

c

Sen A . Sen B

=

__ 4

9

__ a

c

.

__ b

c

=

__ 4

9

___ a.b

c²

=

__ 4

9

Por T.Pitágoras:

a² + b² = c²

_____

a² + b²

a.b

=

__ 4

9

E = √ Cotg A + Cotg B

Reemplazando el valores :

__ b

c

+

__ a

b

_____

a.b

=

__ 9

4

a² + b²

=

_____

a.b

=

__ 9

4

a² + b²

√

√ √

=

__ 3

2

E= = 1,5

EJERCICIO 2 Del gráfico ,calcular " Tg α "

DA

B

2

M

√13

α

Resolución:

AB² = (√13)² - 2²

AB² = 13 - 4

AB² = 9

AB = 3

Por el T. Pitágoras ABD

BM = AM =

__ 3

2

DA

B

M

√13

α

__ 3

2

__ 3

2

En el MBD

Tg α

=

__ 2

1

__ 3

2

=

4

3

2

EJERCICIO 3 En la figura ,CM es mediana.Cal

cular " Cotg θ "

A MB

C

2

1

θ

Resolución:

Si CM es mediana entonces : AM = MB

Por el T. Pitágoras ACB

AB² = 2² - 1²

AB² = 4 - 1

AB² = 3

AB = √3

A MB

C

2

θ

CM : Mediana relativa a la hipotenusa del triángu

lo ACB por lo tanto AM=MB=MC

Trazamos MH ∟ CB , y por teorema de los pun

1

_ 1

2

_ 1

2

θ

H

Page 22

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

tos medios : MH =

AC

2

=

2

2

=

1

En el Cotg θ CHM:

=

1

=

_ 1

2 _ 1

2

EJERCICIO 4 En un triángulo rectángulo la hi

potenusa mide el triple del cateto menor .Calcular

la tangente del mayor ángulo agudo de dicho trián

gulo.

Resolución:

DA

B

x

3x

θ

AB² = ( 3x)² - x²

AB² = 8x²

AB = √8 x

AB = 2√2 x

Por el T. Pitágoras ABD

2

√

2

x

=

_____ 2√2 x

x

Tg θ

=

Tg θ 2√2

EJERCICIO 5 Simplificar la expresión :

W = Sen 20°.Tg 40°.Tg 50°.Sec 70°

Resolución:

Sen α = Cos β

Tg α = Cotg β

Sec α = Cosec β

Si : α + β= 90°

Sen α.Sec β = 1

Tg α .Tg β = 1

Sec α .Sen β = 1

W = Sen 20°.Tg 40°.Tg 50°.Sec 70°

Ordenando W :

W = Sen 20°.Sec 70°.Tg 40°.Tg 50°

W = 1.1 = 1

EJERCICIO 6 Reducir la expresión :

Sen 25° + Tg 35° + Sec 24°

Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°

=

K

Resolución:

Sen 25° = Cos 65°

Tg 35° = Cotg 55°

Sec 24° = Cosec 66°

Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°

=

K

Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°

=

1

EJERCICIO 7 En un triángulo rectángulo, el

perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de

sus ángulos agudos es . Hallar la longitud de

la hipotenusa de dicho triángulo.

__ 12

13

DA

B

12k

13k

θ

5

k

Resolución:

AB² = ( 13k)² - (12k)²

AB² = 25 k²

AB = 5k

Por el T. P. ABD

Perímetro = AB + BD + AD = 90 cm.

Reemplezando :

P = 5K + 12K + 13K = 90

30K = 90

K = 3

Hipotenusa : AD = 13(3) = 39 cm.

EJERCICIO 8 Si Cos (2x - θ).Cosec ( x+3θ) = 1

Calcular :

Sen 3x - Cos 2θ

Tg (x + θ)

=

K

Resolución:

Cos (2x - θ).Cosec ( x+3θ) = 1

Cosec (x + 3θ)

1

=Cos (2x - θ)

=Cos (2x - θ)

Sen (x + 3θ)

( 2x - θ ) + ( x + 3θ ) = 90°

3x + 2θ = 90°Sen 3x = Cos 2θ

Sen 3x - Cos 2θ

Tg (x + θ)

=

K

=

Tg (x + θ)

0

=

0

=

____

Senθ

1

Cosec θ

Nota :

EJERCICIO 9 A partir gráfico ,calcular :

AC

B

M

M = Cotg α - Tg θ

α

θ

Page 23

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

AC

B

α

θ

a

a

x

M = Cotg α - Tg θ

___ a+x

a

-

_ x

a

=

M

_ a

a

+

_ x

a

-

_ x

a

=

M

=

M 1

EJERCICIO 10 Del gráfico,hallar :

W = Tg 2θ . Cotg θ

B

C

DA

C

1

4

3θ

2θ

Resolución:

BC

DA

E

1

4

3θ

2θ

2θθ

F

F

3

a

b = 3a

En el Tg 2θ

=

_ 1

a

EAF:

En el Tg 2θ

=

_ 3

b

CDF:

_ 1

a

=

_ 3

b

b = 3a

}

b = 3a

En el EFB:

3θ = 2θ + <B <B=θ

( ángulo exterior )

W = Tg 2θ . Cotg θ

W

=

__ 4

4a

.

__ 3a

1

=

3

M

NIVEL PREUNIVERSITARIO

EJERCICIO 1 En un triángulo rectángulo ABC

( B = 90°),se cumple que :

=

Cosec C

3-Cotg A

Sen A

Hallar el valor de : U = Tg A + Tg C

Resolución:

CA

B

a

b

c

_ a

b

=

-

__ c

a

__ b

c

3

a

=

3ac - c²

a

=

Cosec C

3-Cotg A

Sen A

a² + c² = 3ac

3

=

a² + c²

ac

=

U

a² + c²

ac

=

3

U = Tg A + Tg C=

__ a

c

+

__ c

a

EJERCICIO 2 Sabiendo que :

√2

=

4

2

Secθ

Secθ

; ( θ: < agudo )

Calcular el valor de : E = 9 Tg²θ - √7 Cosecθ

Resolución:

√2=

4

2

Secθ

Secθ

2

Secθ

3

2

= 2

2

Secθ

3

2

2

=

Secθ

=

4

3 θ

4

3

√7

E = 9 Tg²θ - √7 Cosecθ

√7

3

( )²

9 -

√7

( )

√7

4

=

E

=

E 7 - 4 = 3

EJERCICIO 3 En la figura : Cos θ = ;

__ 5

13

AD = 52 m. Hallar " AB "

A C

D

B

θ

θ/2

Page 24

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

A C

D

B

θ

θ/2

1

3

k

=

5

2

5k = 20

12k=48

P

52

θ/2

θ/2

a b

AC² = AD² - DC²

AC² = (13k)²-(5k)²

AC² = 144k²

AC = 12k

Por el T. Pitágoras ACD

Cosθ =

___ 5k

13k

=

___ DC

AD

=

___ DC

52

13k = 52

k = 4

DC = 5k = 20

AC = 12k = 48

prolongamos CD ,por el

punto D una longitud igu

al a AD osea 52 ,forman

dose el triángulo isóceles

ADP, y como el < D exte

rior es θ , por lo tanto los

otros dos son θ/2

En el ACP : Tag θ/2

=

__ 48

72

=

__ 2

3

En el BCD : Tag θ/2

=

__ 20

b

=

__ 2

3

b = 30

AB = a = 18

EJERCICIO 4 En un triángulo rectángulo ,el

cuadrado de la hipotenusa es al producto de los

catetos como 13 es a 6 .Hallar el valor de la tan-

gente del menor ángulo de dicho triángulo.

Resolución:

A C

B

c

b

a

___ c²

a.b

=

___ 13

6

Sea A el ángulo

menor ( a < b ).

c² = a² - b²

Por el T. Pitágoras ACB

c²

=

_____ 13a.b

6

_____ 13a.b

6

=

a² + b²

6a² - 13a.b + 6b² = 0

2a

3a - 2b

- 3b

( 3a - 2b ) = 0

( 2a - 3b ) = 0

=

___ a

b

=

___ 2

3

=

___ a

b

=

___ 3

2

; ( a< b ) ok

; ( a> b )

( no cumple)

EJERCICIO 5 En la figura , Tgθ .Calcular =

_ 3

7

M = Cotg α + Cosec α

Resolución:

AC

B

α

θ

1

0

√

5

8

86

AC

B

α

θ

1

0

√

5

8

86

3k= 30

7k

BC² = CH² - BH²

BC² = (3k)²+(7k)²

Por el T. Pitágoras BHC

H

(10√58 )² = (3k)²+(7k)²

5800 = 9k² + 49k²

5800 = 58k²

100 = k²

k = 10

HC = 7k = 7(10) = 70

AH = 86 - 70 = 16

BH = 3k = 3(10) = 30

16

M = Cotg α + Cosec α

Reemplazando :

M

=

__ 16

30

+

__ 34

30

AB² = 16² + 30²

AB² = 1156

AB = 34

34

=

__ 50

30

M

=

__ 5

3

T. Pitágoras AHD

EJERCICIO 6 Del gráfico mostrado , hallar:

S = OA + OB + OC + OD + .................

θ

θ

θ

θ

θ

O

E

D

C

B

A

1

Page 25

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

θ

θ

θ

θ

θ

O

E

D

C

B

A

1

En el ABO

Cos θ

=

__ OB

1

OB=Cosθ

*

En el BCO

Cos θ

=

__ OC

*

OB

OC = Cos²θ

En el CDO

Cos θ

=

__ OD

*

OC

OD = Cos³θ ; y asi sucesivamente

OE = Cos θ

4

Reemplazando valores :

S = OA + OB + OC + OD + .................

S = 1 + Cos θ + Cos²θ + Cos³θ + Cos θ + ...........

4

Factorizando el Cosθ en el segundo miembro:

S = 1 + Cos θ ( 1 + Cosθ + Cos²θ + Cos³θ + .....)

S

S = 1 + S.Cosθ

S - S.Cos θ = 1

S( 1 - Cos θ ) = 1

S

=

_______ 1

(1-Cosθ)

Cos²θ

C

o

s

θ

C

o

s

³

θ

C

o

s

θ

4

EJERCICIO 7 A partir del gráfico , hallar :

E = 2 + Tg θ

A B

C

1

D4

θ

θ

Resolución:

A B

C

1

D

4

θ

θ

a

Sea : BD = a

En el ABC

Tg θ .......( I )

=

____ 1

4 + a

*

En el CBD

Tg θ ....( II )

=

__ a

1

*

Igualando ( I ) y ( II )

____ 1

4 + a

=

__ a

1 a² + 4a - 1 = 0

( a + 2 )² - 4 -1 = 0

( a + 2 )² = 5

( a + 2 ) = √5

a = √5 - 2

Reemplazando valores :

E = 2 + Tg θ

E = 2 + √5 - 2

E = √5

EJERCICIO 8 En la figura,calcular el valor de

" Cotg α "

A

D

3

G

CB

E

E1

α

Resolución:

A

D

3

G

CB

F

E1

α

2

H

3,5

1,5

En el trapecio ABCG

FH es mediana ,por

lo tanto :

FH = ( AB + CG ) /2

FH = ( 5 + 2 ) / 2

FH = 3,5

Cotg α = 1,5/3,5

Cotg α

=

__ 3

7

En el EHF*

EJERCICIO 9 A partir del gráfico , calcular el

valor de " Cotg θ " ( O y O : centros )

1

O

B

A

O

1

Resolución:

OB

A

r

r

r

√

2

r

r√2

θ

θ

O1

H

P

Sea " r " el radio de la

circunferencia de cen-

tro O ; trazamos OH ,

en la cual se cumple

O H = O P = OP = r ;

O O = r√2 ; OH = OB

entonces PB = r√2

En el BPO

Ctag θ

=

____ r√2

r

*

Ctag θ √2

=

11

1

1

Page 26

Trazamo BH ∟ OC

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

EJERCICIO 10 De la figura ,hallar el valor de:

13 Cosec α - 12 Cotg β

Cotg α

P

=

A

C

O

B

12

5

β

α

Resolución:

A

C

O

B

12

5

β

α

β

H

OC² = AO² + AC²

OC² = (12)² + ( 5)²

Por el T. P. OAC

OC = 13

formandose el trián

gulo BHC ,los cuales

sus lados son propor

cionales a : 5k,12k,13k

Si AC = 13 ,entonces

HC = 12k y OH=(13-12k)

BH = 5k y la figura que

daría de la siguiente

manera:

1

3

-

1

2

k

1

2

k

1

2

5

k

13k

Reemplazando valores :

13 Cosec α - 12 Cotg β

Cotg α

P

=

4 + A

=

_ 1

2

______ 13-12k

5k

( )

_ 1

1

( )²

13(12) - 12(12k)

P

=

13-12k

12 ( 13 - 12k )

P

=

13-12k

P 12.

=

13

NIVEL I

EJERCICIO 1 Siendo : A= 4Sen30° + Tg²45°

B = √Sec 60° √2 Cosec 30°

Calcular : A + B

Resolución:

30°

60°

45°

45°

k

k

√3k

k

2k

√2k

3 A

=

B

=

_ 2

1

( )

2

_ 2

1

( )

√ √

2 B

=

EJERCICIO 2

Si (Tgα) = √2 ; α: < agudo,

Cotgα

Calcular E = 2 Secα.Cosecα

Resolución:

(Tgα) = √2

Cotgα

(Tgα) = ( 2)

Cotgα

1_

2

=

_____

Cotgθ

1

Tgθ

Nota :

Cotgα =

__ 1

2

1

2

√5

α

E = 2 Secα.Cosecα

Reemplazando valores :

2 . E

=

_

1

( )

_

2

( )

5 E

=

√5 √5

EJERCICIO 3

Si Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°) ,

Calcular M = Tg(x+3°) + Tg5x

Resolución:

30°

60°

√3k

k

2k

75°

15°

1

(2+√3)

(

√

6

+

√

2

)

13 - 12

___ 12k

5k

)(

__ 12

5k

)(

P

=

Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°) (5x+8°)+(2x-2°)=90°

x = 12°

Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°)

Reemplazando valores :

M = Tg(x+3°) + Tg5x

M = Tg(12°+3°) + Tg5(12°)

M = Tg 15°+ Tg 60°

M = ( 2 - √3 )+ √3

M = 2

Page 27

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

EJERCICIO 4 De la figura,hallar "Cotgα"

37°

α

Resolución:

37°

α

3k

2k2k

4k

53°

A B

C

ABC notable de 30°,60°

de lados proporcionales a 3k,

4k y 5k

Reemplazando valores :

En el MBC

Cotag α

=

__ 3

2

EJERCICIO 5 De la figura,calcular

__ b

a

B

C

37°

A

a

Resolución:

B

C

37°

D

a=

5k

3k

4k3k

D

b

45°

A

b=

45°

3√2k

Completando los triángulos notables tenemos :

__ b

a

Reemplazando valores :

=

____ 3√2 k

5k

=

___ 3√2

5

EJERCICIO 6 En la figura,hallar " PQ "

A PB

Q

C

74°

45°

38

Resolución:

Q

C

74°

45°

38

7k

24k

2

5

k

74°

Sea k = 2

14

48

5

0

74°

10

10 4

14

AB

P

1

0

√

2

PQ = 10√2

EJERCICIO 7 Calcular el valor de :

P = Tg 75° + Cotg75°

75°

15°

1

(2+√3)

(

√

6

+

√

2

)

Resolución:

P = Tg 75° + Cotg75°

P = ( 2+√3) + ( 2-√3)

P = 4

EJERCICIO 8 Del gráfico,hallar AP

AC

B

1

0

2

3

°

37°

P

Resolución:

AC

B

2

3

°

37°

P

67°

30°

10=5k

k=2

k =6=3k

1

1

2

=

2

k

H

EJERCICIO 9 Del gráfico,hallar " Tagθ "

1

A

C

C

P

60°

θ

16°

16°

4

2

Page 28

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

A

C

B

P

60°

θ

4

2

60°

H

√3

5 1

El ABC ,es Equilátero

Trazamos PH ∟AC,for

mandose el triángulo de

30°, 60° ( PHC), donde

HC= 1 , PH= √3 ,AH = 5

Reemplazando valores :

Tg θ =

___ √3

5

EJERCICIO 10 De la figura, hallar AE.

45°

37°

30°

A

B

C

D

E

12

Resolución:

45°

37°

30°

A

B

C

D

E

4k=12

k= 3

9

1

5

1

5

1

5

√

2

=

√

3

x

AD= 15√2 = √3x

=

5√6 x

AE = 2x = 2 ( 5 √6)

AE = 10 √6

5√6

10 √6

NIVEL II

EJERCICIO 1 Del gráfico hallar BC.

BC

A

60°

37°

1

0

Resolución:

BC

A

60°

37°

1

0

3х2=6

4х2=8H

B

A

60°

H

C

A

37°

1

0

3х2=6

4х2=8H

8

2

k

=

8

4

4√3

8

≠

Para que BC = 12 la gráfica debe ser de la sigui

ente manera.

C

37°

1

0

3х2=6

4х2=8H

8

4

60°

A

A´

B

AH= 4√3

A´H=6

EJERCICIO 2 Sabiendo que :

Tg 3α.Tg 2β = 1

Cos 2α .Sec (3β-5°) =1

Calcular : N = Sen²( α +β - 5°) +Tg² 3β

Resolución:

Tg 3α.Tg 2β = 1 3α + 2β = 90° ......( I )

Cos 2α .Sec (3β-5°) =1 2α = 3β - 5° ....(II)

Resolviendo ( I ) y ( II )

α = 20°

β = 15°

Reemplazando valores :

N = Sen²( α +β - 5°) +Tg² 3β

N = Sen² 30° +Tg² 45°

N

_

2

( )²

_

1

( )²

1 1

+= = 0,25 +1 = 1,25

Page 29

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

EJERCICIO 3 Calcular el valor de " x " en :

x Cos 60° + Tg 45°

x Cos 60° - Tg 45°

=

Cosec 53°

Resolución:

Reemplazando valores :

_

2

1

=

_

2

( )

1

x + 1

_

2

( )

1

x - 1

_

4

5

=

x + 2

x - 2

x = 18

EJERCICIO 4 Del gráfico hallar BC.

45°

B

C

A

O

Resolución:

45°

B

C

A

O

1

1

1

1

45°

H

1

√2

AB = √2 +1BC=

EJERCICIO 5 Del gráfico hallar CD.

A C

B

D

28

45°

53°

Resolución:

AC

B

D

28

45°

53°

28

4k

3k4k

5k

Del gráfico se tiene :

AC = 7k = 28 k = 4

CD = 5k = 5(4) = 20

EJERCICIO 6 Del gráfico,hallar " BP " en tér

minos de " a " y " θ "

B

A

C

P

45°

θ

a

Resolución:

B

A

C

P

45°

θ

a

45°

BP

BPCosθ

BPSenθ

BPSenθ

a

4

5

°

Del gráfico tenemos :

a = BPCosθ + BPSenθ

a = BP( Cosθ +Senθ )

( Cosθ +Senθ )

a

BP

=

Page 30

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

EJERCICIO 7 De la figura,hallar " Tg α "

AB

Q

C

P

D

37°

α

Resolución:

En el QAD

Sea AD = 3K entonces AQ = 4K,pero AB=3K ,

entoces BQ = K

AB

Q

C

P

D

37°α

3k

4k

k3k

53°

3k

4

Tg α

=

__

3k

__ 3k

4

=

__ 1

4

= 0,25

Reemplazando valores :

En el QBP

El lado BQ ha sido

dividido por 4,por lo

que PB tambien será

divido por 4

EJERCICIO 8 Del gráfico, calcular " Cotg θ "

AC

B

37°

H

M

θ

Resolución:

A C

B

37°

H

M

θ

53°

θ

θ

12

9

6

8 8

P

En el AHB

Sea BH = 12 = 4(3)

AH = 3 (3) = 9

En el BHC

Sea BH = 12 = 3 (4)

HC = 4 (4) = 16

Por el teorema de los

puntos medios tene -

mos : MP=12/2=6 ;

HP=PC=16/2=8

Formamos el triángu

lo APM ,para aprove

char el punto medio

M,del triángulo BHC

Reemplazando valores :

Cotg θ

=

__ 6

17

En el AMP

EJERCICIO 9 De la figura,hallar :

P = 5 Sen α.Cosec β

Resolución:

AC

B

M

β

α

53°

45°

AC

B

M

β

α

53°

45°

5√2

5√2

4

√

2

5

5

x

Reemplazando valores :

P = 5 Sen α.Cosec β

P = 5 .

H

P

___ 4√2

x

( )

__ x

5

( )

P = 4√2

EJERCICIO 10 De la figura ,calcular " Cotg θ "

Si ABC es un triángulo equilátero.

AM Q

C

N

B

P

θ

Page 31

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

AM Q

C

N

B

P

θ

60°

√3

1

√3

1

√3

Sea el lado del cuadrado

√3,en el PQC , QC

= 1 , PQ = √3 , de igual

forma para el AMN

AM = 1 y MN = √3

Reemplazando valores :

Cotg θ

=

____

√3

√3+1

En el AQP

=

____

√3

√3+1

__ √3

( )

√3

=

____

3

√3+3

NIVEL PREUNIVERSITARIO

EJERCICIO 1 Del gráfico calcular " Cotg α "

α

37°

Resolución:

α

37°

53°

A HP D

C

B

3

7

°

3

7

°

64

48

80

100

75

En el CHP ( sea CP = 80 )

HP

C

3

7

°

4k

3k

5k

53°

≈

HP

C

3

7

°

4

3

5

53°

х16

х16

х16

≈

HP

C

3

7

°

64

48

80

53°

En el BCP

CP

B

5

3

°

60

80

100

37°

≈

CP

B

5

3

°

3

4

5

37°

х20

х20

х20

En el BPC

PC

B

3

7

°

100

75

125

53°

≈

PC

B

3

7

°

4

3

5

53°

х25

х25

х25

α

HP D

C

64

4875

En el CHD

Cotg α

=

_____

64

48+75

Reemplazando valores :

Cotg α

=

___

64

123

EJERCICIO 2 De la figura ,hallar " Tg θ "

AE B

D C

F

37°

θ

Resolución:

AE B

D C

F

37°

θ

37°

20

12

16

20

15

1

En el DAE ( sea DE = 20 )

AE

D

3

7

°

4k

3k

5k

53°

≈

AE

D

3

7

°

4

3

5

53°

х4

х4

х4

≈

AE

D

3

7

°

16

12

20

53°

En el FBE ( EB = 20 )

Page 32

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

E B

F

37°

4х5

3х5

5х5

≈

E B

F

37°

20

15

25

Y como AD = 16 y FB = 15 , entonces CF = 1

En el DCF

Tg θ

=

___

1

32

Reemplazando valores :

Tg θ

=

32

D C

F

θ

32

1

EJERCICIO 3 En el gráfico : DC = 2 AD.

Calcular : " Tg α "

α

53°

Resolución:

α

53°

53

7

4

37°

8

3

4

A D

C

B

H

P

En el BPD

Tg α

=

__

8

3

Reemplazando valores :

EJERCICIO 4 En la figura hallar BP.

BC

A

P

82°

7

7

Resolución:

BC

A

P

82°

7

7

45°

5

3

°

H

3

34

5

Trazamoz PH ∟ BC ,

formandose los trián

gulos PHC y PHB los

cuáles son notables

Sea PH = 3 ,comple

tamos los triángulos

quedando la figura

de la siguiente manera.

En el PHB

BP = 5

EJERCICIO 5 Si se cumple que :

Tg ( 3x -20° ).Sen 62°

√2 Cos28° .Cos 45°.Cotg ( 5x + 30° )

= 1

Resolución:

Sen α = Cos βSi : α + β= 90°

Sen 62° = Cos 28°

Cos 45°

=

___

1

√2

Reemplazando valores :

Tg ( 3x -20° ).Sen 62°

√2 Cos28° .Cos 45°.Cotg ( 5x + 30° )

= 1

Tg ( 3x - 20° ) = Cotg ( 5x + 30°)

( 3x - 20° ) + ( 5x + 30° ) = 90°

8x + 10° = 90°

x = 10°

Calcular E = Sen 4x - Cos 5x

Reemplazando valores :

E = Sen 4x - Cos 5x

E = Sen 40° - Cos 50° Sen 40° = Cos 50°

E = 0

EJERCICIO 6 Del gráfico ,hallar " PC "

B

C

A

P

45°

b

a

Page 33

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

B

C

A

P

45°

b

a

x

x(a - x )

√2x

φ

H

En el PHB

Tg φ

= .....( I )

____

(a-x)

x

En el ACB

Tg φ

= .....( II )

__

a

b

Igualando ( I ) y ( II ) tenemos :

____

(a-x)

x

=

__

a

b

ax = b(a-x)

a.x = a.b - b.x

x

___

a+b

a.b

=

Reemplazando valores :

PC = √2 xPC

_____

a+b

√2 a.b

=

EJERCICIO 7 Del gráfico ,hallar "AB" ( O :

centro )

37°

O

BC

A

20

Resolución:

37°

O

B

C

A

20

37°

20

20

15

P

H

Trazamos OH y

OP perpendicular

a BC y AB respec

tivamente forman

dose los triángulos

notables OHC y

APO.

OH = 20 ( radio de

la circunferencia )

OP = 20 (radio de la circunerencia luego com-

pletamos los triángulos notables quedando la grá

fica sigiente.

Del gráfico AB = 15 + 20 = 35

EJERCICIO 8 De la figura ,hallar " Cotg θ "

BC

A

θ

D

45°

37°

Resolución:

B

C

A

θ

D

45°

37°

45° 45°

4

3

√

2

4

√

2

43

3

H

Trazamos DH

∟a la prolon-

gación de BC

formandose el

triángulo DHC

Completamos

los triángulos

notabes quedan

do la gráfica de la siguiente forma:

En el DHB

Cotg θ

____

3

4+3

= =

__

3

7

EJERCICIO 9 Del gráfico,calcular " Cotg θ "

O

N

B

M

P

A

Resolución:

O

N

B

M

P

A

θ

θ

H

1

1

Trazamos MH∟PN

Sea OB=OA=2 ,en-

tonces ON=HN=1 ,

PN² = OP² - ON²

PN² = ( 2 )² - ( 1 )²

Por el T. P. PNO

PN = √3

PH = ( √3 - 1)

En el PHM

Cotg θ

____

1

√3-1

= =

2

1

(√3 - 1)

√3-1

Page 34

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

EJERCICIO 10 En la figura ,hallar √7.Cosα

B

C

A

N

M

60°

α

Resolución:

B

C

A

N

60°

α

M

60°60°

2

2

1

1

√3

H

Trazamos CH ∟ a la prolongación de BM inter

sectandola en el punto " H ".

AM=MC=BM ( Propieda de la mediana relativa

a la hipotenusa ).

Sea AM=MC=BM=2.

En el triángulo CHM ,si CM=2 entonces MH=1

por propiedad de triángulo notable ( 30°,60° )

HC = √3.

En el CHN por el T.Pitágoras tenemos :

CN² = CH² + HN²

CN² = ( √3 )² +( 2 )²

CN = √7

√7

En el CHN

√7 Cosα

√7 .

___

2

√7

=

2

Page 35

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

NIVEL I

EJERCICIO 1

Del gráfico ,calcular :

M = 5 Senα.Cosα

(-2;1)

O

α

x

y

Resolución:

(-2;1)

O

α

x

y

-2

1

OA² = ( 1 )² + (-2)²

OA = √5

A

√5

M = 5 Senα.Cosα

Reemplazando valores :

__ 1

√5

( )

__ -2

√5

( )

5

=M

=M -2

EJERCICIO 2

De la figura,hallar " Cosec θ "

(-3;-1)

O

θ

x

y

Resolución:

A(-3;-1)

O

θ

x

y

-3

-1

√10

OA² = ( -1)² + (-3)²

OA = √10

Cosec θ

Reemplazando valores :

=

___

-1

( )

√10

Cosec θ

=

- √10

EJERCICIO 3

Del gráfico ,calcular :

E = 8 Senα.Cosecβ + 7 Cosα.Secβ

(-4;3)

(-7;-24)

O

β

α

x

y

Resolución:

A(-4;3)

B(-7;-24)

O

β

α

x

y

-4

-7

-24

3

25

5

▪ OA² = (-4)² + (3)²

OA = 5

▪ OB² = (-7)² + (-24)²

OB = 25

Reemplazando valores :

E = 8 Senα.Cosecβ + 7 Cosα.Secβ

__ 3

5 ( )

___ 25

-24 ( )

8

=E -5 + 20 = 15

__ -4

5 ( )

___ 25

-7 ( )

7

+=E

EJERCICIO 4

De la figura,hallar " Tg α "

O

x

y

α

(-5; y)

13

Resolución:

▪ 13² = (-5)² + (y)²

169 = 25 + y²

y² = 144

y = ± √144

y = ± 12 y = 12

Page 36

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

O

x

y

α

(-5; y)

13

-5

12

Reemplazando valores :

__ 12

-5 ( )

=Tg α

__ 12

5

=Tg α -

EJERCICIO 5 Si Sec θ ; θ Є Qз ,

___

2

√13

-

=

hallar : N = 4 Tg θ + 9 Cosec² θ

Resolución:

O

x

y

(-2; y)

-2

√13

θ

▪ (√13)² = (-2)² + (y)²

y = ±3

y = -3

-3

Reemplazando valores :

N = 4 Tg θ + 9 Cosec² θ

__ -3

-2

( )

4

___ √13

-3( )

9

+=E

2

=

E 6 + 13

=E 19

EJERCICIO 6 Si Cos² α ; α Є Q ,

___

25

9

= 4

Calcular : A = Cotg α - Cosec α

Resolución:

O

y

Cos α , es (+) en el Q

4

___

25

9

=

Cos²α

__

5

3

=

Cos α

α

3

5

-4

( 3 ; y)

▪ ( 5 ) ² = ( 3 )² + (y)²

y ² = 16

y = ± 4 y = 4

Reemplazando valores :

A = Cotg α - Cosec α

A =

__ 3

-4

( )

-

__ 5

-4

( )

0,5

=

x

EJERCICIO 7 Sabiendo que : α Є Q y β Є Qз

2

Hallar el signo de la expresión :

Sen α + Tg β

Cos α.Cotg β

= E

Resolución:

O

β

α

x

y

+

+

-

-

+

▪ Sen α ( +)

▪ Cos α ( - )

▪ Tg β ( + )

▪ Cotg β ( + )

Reemplazando valores :

Sen α + Tg β

Cos α.Cotg β

= E

=

( + ) + ( + )

( - ) . ( + )

=

( + )

( - )

=

( - )

EJERCICIO 8 Indicar el signo de la expre-

sión :

Sen 160° . Cos 230°. Tg 350°

Cotg 80° .Sec 200°. Cosec 300°

= B

Resolución:

y

+

+

-

-

+

+

+

-

+

+

▪ Sen 160° ; II Q ( +)

▪ Cos 230° ; III Q ( - )

▪ Tg 350° ° ; IV Q ( - )

▪ Cotg 80° ; I Q ( +)

▪ Sec 200° ; III Q ( - )

▪ Cosec 300° ; IV Q ( - )

Reemplazando valores :

Sen 160° . Cos 230°. Tg 350°

Cotg 80° .Sec 200°. Cosec 300°

= B

( + ) . ( - ) . ( - )

( + ) . ( - ) . ( - )

= B

( + )

( + )

= =

( + )

Page 37

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

EJERCICIO 9 Hallar los límites entre los cuales

varia " n " , si Sen α

____

3

2n -1

=

Resolución:

-1 ≤ Sen α ≤ 1

Reemplazando valores :

____

3

2n -1

-1 ≤ ≤ 1

-3 ≤ ≤ 3 2n -1

-2 ≤ 2n ≤ 4

-1 ≤ n ≤ 2

n Є [ -1 ; 2 ]

EJERCICIO 10 En que cuadrante el seno y el

coseno tienen signos diferentes.

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

NIVEL II

EJERCICIO 1

Siendo A ( 60;-11) un punto del

lado final de un ángulo " α " en posición normal .

Calcular K = Tg α + Sec α

Resolución:

O

x

y

A(60;-11)

60

-11

▪ OA² = (60)² + (-11)²

OA = 61

61

__ -11

60 ( )

___ 61

60 ( )

+=K

α

__ 50

60

=K

__ 5

6

=K

K = Tg α + Sec α

EJERCICIO 2 Si Tg θ = √2 ; θ Є Qз ,hallar el

valor de : M = 2Sec θ.Cosec θ + 3√3 Sen θ.

O

x

y

A(-1; -√2)

-1

θ

-√2

▪ OA² = (-1)² + (-√2)²

OA = √3

√3

Resolución:

Reemplazando valores :

M = 2Sec θ.Cosec θ + 3√3 Sen θ.

__ √3

-1 ( )

___ √3

-√2

( )

2

___ -√2

( )

3√3

+=M

√3

=M 3√2

-3√2

=M 0

EJERCICIO 3 De la figura ,calcular :

R = 2 Cosec α + Sec β

(-12;-5)

O

β

α

x

y

(7;24)

Resolución:

B(-12;-5)

O

β

α

x

y

A(7;24)

25

24

7

-5

-12

13

▪ OA² = (7)² + (24)²

OA = 25

▪ OB² = (-12)² + (-7)²

OB = 13

R = 2 Cosec α + Sec β

__ 25

24 ( )

___ 13

-12 ( )

+

=K

2 = 1

Page 38

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

EJERCICIO 4 Si √1 + √ Tg θ + 1 = 2

además : θ Є Qз , hallar " Sec θ "

Resolución:

√1 + √ Tg θ + 1 = 2

1 + √ Tg θ + 1 = 4

√ Tg θ + 1 = 3

Tg θ + 1 = 9

Tg θ = 8

O

x

y

A(-1; -8)

-1

θ

- 8

√65

Tg θ

__ -8

-1

=

▪ OA² = (-1)² + (- 8)²

OA = √65

Reemplazando valores :

Sec θ

__

-1

=

√65

=

- √65

EJERCICIO 5 Si se cumple que :

25 Sen² α + 5 Sen α -12 = 0 , además α Є Q ,

2

hallar M = Sen α - Cos α + Tg α

Resolución:

25 Sen² α + 5 Sen α -12 = 0

-3 -15Senα

4 20Senα

5 Sen α

5 Sen α

5 Senα

▪ 5 Senα - 3 = 0

Senα ,Si α Є Q entonces Senα es ( + )

__ 3

5

= 2

▪ 5 Senα + 4 = 0

Senα , Si α Є Q ,no puede ser negativo

__ -4

5

=2

O

x

y

α

(-5; y)

5

- 4

3

Reemplazando valores :

__ 3

5

=M -

__ -4

5

+

__ 3

-4

__ 7

5

=M -

__ 3

4

__ 13

20

=M

=0,65

M = Sen α - Cos α + Tg α

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Senα

__ 3

5

=

Si [ Tg θ ] = √2 ; θ Є Qз,

Cotag θ

EJERCICIO 6

Calcular : P = 10 Senθ. Cosθ

Resolución:

[ Tg θ ] = √2

Cotag θ

[ Tg θ ] = 2

Cotag θ

1

2

Tg θ = 2

__ -2

-1

=

O

x

y

A(-1; -8)

-1

θ

- 2

√5

▪ OA² = (-1)² + (- 2)²

OA = √5

Reemplazando valores :

P = 10 Senθ. Cosθ

__ -2

=P

__ -1

( )( )

√5 √5

10

P = 4

EJERCICIO 7 Si Sen α < 0 y Sec α > 0 , ha-

llar el signo de la expresión:

Cos α - Tg α

Cotg α.Cosec α

= E

Resolución:

O

y

α

+

+

-

x

α Є Q

4

Reemplazando valores :

Cos α - Tg α

Cotg α.Cosec α

= E

( + ) - ( - )

( - ) . ( - )

= E

( + )

( + )

= E

Page 39

=

x

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

EJERCICIO 8 Hallar los valores que puede

tomar " a " si cumple que :Tg² α + Tg α + a² = 0

Resolución:

Ax² + Bx + C = 0 , Ecuación Cuadrática

-B ± √ B² - 4AC

2A

B² - 4AC ≥ 0

Tg² α + Tg α + = 011

a²1² - 4(1)(a²) ≥ 0

1² - 4(1)(a²) ≥ 0

1 - 4 a² ≥ 0

2a + 1 = 0

a

__ -1

2

=

2a - 1= 0

a

__ -1

2

=

__ 1

2

+-+

4 a² - 1 ≤ 0

( 2a + 1 )( 2a - 1 ) ≤ 0

__ 1

2

a Є

[

__ -1

2

;

__ 1

2

]

EJERCICIO 9 Siendo " α " , " β " y " θ " ángu

los coterminales en posición normal, y además:

Tg α = √2 y Sec β = -√3

Hallar el valor de : G = Sen α + 2 Sen β + 3 Sen θ

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

Tg α ( + )

Sec β ( - )

}

Se presenta en el Qз

O

x

y

A(-1; -√2)

-1

α

-√2

√3

Tg α

___

-1

=

-√2

}

R² = (-√2)² + ( -1)²

R = √3

β

como α , β y θ son coter

minales entonces :

Senα = Senβ = Senθ

Reemplazando valores :

__

=G + +

( )

G = Sen α + 2 Sen β + 3 Sen θ

-√2

√3

2

__

( )

-√2

√3

3

__

( )

-√2

√3

___

=G

-6√2

√3

___

=G

-6√2

√3

__

( )

√3

√3

___

=G

-6√6

3

=G -2√6

EJERCICIO 10 En la figura ,hallar :

E = ( Sen α - Cos β )²

Resolución:

β

x

y

(3; -1)

α

α

x

y

β

(3; -1)

(-3; 1)

Reemplazando valores :

E = ( Sen α - Cos β )²

R² = (-3)² + ( 1)²

R = √10

√10

√10

3

-1

-3

1

___

=E -

( )

-1

√10

___

( )

-3

√10

]²[

=E 0,4

Page 40

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

NIVEL PREUNIVERSITARIO

EJERCICIO 1

Si Tg θ < 0 y Sec θ = 4 , hallar

A = 16 Sen θ.Cos θ

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

Tg θ ( - )

Sec θ ( +)

}

Se presenta en el Q

Secθ

___

1

=

}

AH² = (4)² - ( 1)²

AH = - √15

4

4

O

y

θ

x

1

4

A

H

- √15

Reemplazando valores :

A = 16 Sen θ.Cos θ

___

=A

__ 1

()( )

4

16

-√15

4

=A

-√15

EJERCICIO 2 Si se cumple que :

[ ]

Cotag α +1

√2 = 8 ; α Є Qз

calcular " Cosec α "

Resolución:

[ ]

( Cotag α +1 )

2 =

1

2

з

[ 2 ]

( Cotag α +1 )

1

2

=

3

Cotag α +1

=

6

Cotag α

=

5

Cotag α

=

___

-1

-5

O

x

y

A(-5; -1)

-5

α

- 1

√26

Cosec α

___

-1

= =

-√26

EJERCICIO 3 Hallar entre que valores varía

" n " si se cumple que : Sen θ

__

n

=

1

+

1

Resolución:

EJERCICIO 4

Si Sec θ < 0 y Tg θ > 0 ,indicar

el signo de :

( 2 + Cos θ ).Sen θ

2 - Sen θ

= R

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

Reemplazando valores :

( 2 + Cos θ ).Sen θ

2 - Sen θ

= R

( + ) - ( - )

= R

( + )

= R

-1 ≤ Cos θ ≤ 1

-1+2 ≤ Cos θ+2 ≤1+2

1 ≤ Cos θ + 2 ≤ 3

{

+

( + ) ( - )

( - )

=

( - )

▪ Sabemos que :

-1 ≤ Sen θ ≤ 1 ; reemplazamos :

__

n

1

+

1

-1 ≤ ≤ 1 ; restamos ( - 1 )

__

n

1

-2 ≤ ≤ 0 ; invertimos ( n ) teniendo presente

que cambia el sentido de la desi

gualdad y como son valores ne-

gativos proximos a cero la divisi

on entre cero tiende al infinito ne

gativo

n - ∞ < ≤

__

2

-1

n

< ≤

__

2

-1

__

0

1

-

]

- ∞ ;

__

2

-1

Page 41

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

EJERCICIO 5 De la figura, hallar " Cosec α "

(2a-1;a+4)

O

α

x

y

5√2

Resolución:

(2a-1;a+4)

O

α

x

y

5√2

2a-1

a+4

( 5√2 )² = ( a+4)² + ( 2a -1)²

50 = a²+ 8a + 16 + 4a² - 4a + 1

50 = 5a² + 4a + 17

0 = 5a² + 4a - 33

5a - 11

a + 3

a

=

___

5

11

a

= - 3

▪ ( 2a -1 ) ,tiene que ser negativo y eso sólo se

consigue cuando : a = -3

(-7; 1)

O

α

x

y

5√2

- 7

1

Cosec α

=

___

1

5√2

=

5√2

EJERCICIO 6 En que cuadrante se encuentra

" Φ ", si se cumple que :

√1- Cos α

Sen Φ

< 0

Resolución:

√1- Cos α

Sen Φ

< 0

√1- Cos αSiempre será ( + )

Entonces Sen Φ tiene que ser

negativo y esto se da cuando

Φ Є Qз y Q4

EJERCICIO 7 Si ( a+1; a-1 ) es un punto del

lado final de un ángulo " α " en posición normal ,

donde la longitud de su radio vector es la mínima

posible ,calcular :

E = Sec α.Cosecα

Resolución:

R² = ( a+1)² + ( a-1)²

R² = a² + 2a +1 + a² - 2a + 1

R² = 2a² + 2

R² - 2 = 2a²

√

R² - 2

2

a

=

{

mínimo = 0

R² - 2

2

=

0

=R

√2

a 0

=

O

y

x

1 H

-1

√2

α

Reemplazando valores :

E = Sec α.Cosecα

√2 ___

1

( )

√2 ___

-1

( )

E

=

E

=

-2

EJERCICIO 8 Del gráfico ,calcular

K = Tg α.Cotg β

A(-7;-5)

O

β

x

y

B(-1; 7)

N

M

α

Resolución:

Page 42

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

AM =

__

3

1

AB

Sea " M " de coordenadas ( x;y)

[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]

__

3

1

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]

__

3

1

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 2 ; 4)]

x = -5 ; y = -1 M ( -5 ; -1 )

AN =

__

3

2

AB

[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]

__

3

2

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]

__

3

2

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 4 ; 8)]

x = -3 ; y = 3 N ( -3 ; 3 )

Sea " N " de coordenadas ( x;y)

Reemplazando valores :

O

β

x

y

B(-1; 7)

N(-3;3)

M(-5;-1)

α

-5

-3

3

-1

K = Tg α.Cotg β

__ 3

( )

-3

__ -5

( )

-1

K =

K = - 5

EJERCICIO 9 De la figura ,calcular

E = Cotg α.Cotg β

O

x

y

B(0; 12)

A(-5; 0)

D

C

β

α

Resolución:

O

x

y

B(0; 12)

D

C

β

α

12

13

-5

H

12

5

13

13

12

5

P

17

Los AHD , AOB y BPC son congruentes,es

decir sus lados tienen medidas iguales

A

Reemplazando valores :

E = Cotg α.Cotg β

___ -17

( )

5

-12

( )

17

E =

___

___ 12

5

E = =

2,4

EJERCICIO 10 En la figura el área de la región

coloreada es de 60 u²,determinar el valor de :

E = 2mTg α + 3n Cotg α + 12

O

α

x

(3;10)

y

(9;1)

(m ; n)

Resolución:

m n

9 1

3 10

m n

9n

3

10m

m

90

3n

S

___ 1

2

=

│( m+90+3n) - (9n+3+10m)│

Area de un Triángulo

60

___ 1

2

=

│ -9m -6n+87│

120 =

│ -9m -6n+87│

40 =

│ -3m -2n+29│

40 =

-3m -2n + 29

-11

=

3m + 2n ......( I )

Page 43

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

O

α

x

(3;10)

y

(9;1)

(m ; n)

n

m

Reemplazando valores :

E = 2mTg α + 3n Cotg α + 12

__ n

( )

m

__ m

( )

n

E =

2m 3n

+ +

12

E = 2n + 3m + 12

E = -11 +12

E = 1

{

-11

270°

180°

0°

90°

360°

+∞-∞

-1 1 0

270°

180°

0°

90°

360°

0

-∞

+∞

LINEA COSENO

LINEA TANGENTE

LINEA SENO

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Page 44

CAPITULO 6

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

NIVEL I

EJERCICIO 1

¿ En qué cuadrante la línea se

no es positiva y decreciente ?

Resolución:

LINEA SENO

En Q es positiva y decreciente

2

EJERCICIO 2

¿ En qué cuadrante las líneas

coseno y tangente son creciente ?

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

270°

180°

0°

90°

360°

-∞-∞

-1 1 0

LINEA COSENO

Resolución:

Creciente en Qз ,de -1 a 0

Cuadrante Variación Comportamiento Signo

Q

Q

Q

Q

1 a 0

0 a -1

-1 a 0

0 a 1

Decreciente

Decreciente

Creciente

Creciente

+

+

-

-

1

2

3

4

270°

180°

0°

90°

360°

0

-∞

+∞

LINEA TANGENTE

Creciente en Qз , de -∞ a 0

Cuadrante Variación Comportamiento Signo

Q

Q

Q

Q

0 a +∞

-∞ a 0

0 a +∞

-∞ a 0

Creciente

Creciente

+

-

+

-

1

2

3

4

Creciente en Q ,de 0 a 1

4

Creciente en Qз , de 0 a +∞

Creciente

Creciente

EJERCICIO 3

¿ Cuántas líneas trigonométri

cas son decrecientes en el Q ?

4

Resolución:

Son decrecientes en Q :

4

▪ Cotangente

▪ Secante

▪ Cosecante

EJERCICIO 4

Hallar el área de la región colo

reada.

B´

A´

α

B

A

O

C.T.

Page 45

CAPITULO 6

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Resolución:

B´

A´

α

B

A

O

C.T.

1

α

α

Senα

Cosα

AREA =

___ 1

2

Senα.Cosα.

EJERCICIO 5

Hallar el área de la región colo

reada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

1 1

Tg α

∆ A´AT

S =

___

1

2

( 1+1 )( Tg α )

∆ A´AT

S = Tg α

EJERCICIO 6

Hallar el área de la región colo

reada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

1

α

Cotag α

∆ OBT

S =

___ 1

2

( 1 )Cotag α.

∆ OBT

S =

___ 1

2

Cotag α.

EJERCICIO 7

Hallar el área de la región colo

reada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

Q

P

M

α

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

Q

P

M

α

1

Sec α

α

Cosec α

Page 46

CAPITULO 6

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

∆ POQ

S =

___ 1

2

( Sec α )(Cosec α )

∆ POQ

S =

___ 1

2

Sec α.Cosec α

EJERCICIO 8

Calcular el área de la región co-

loreada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

P

Q

α

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

P

Q

α

1

α

1

Sen α

Sen α

Cosα

∆ A'PQ

S =

___ 1

2

( 2 Senα )(1 + Cos α )

∆ A'PQ

S = Senα ( 1 + Cos α )

EJERCICIO 9

Siendo α Є

;

__

2

π ,hallar

π

los límites entre los cuales está comprendido la

expresión : E = 2 Cos α + 3

Resolución:

Por dato tenemos que :

< α <

__

2

π

π

Aplicando la función Coseno :

< Cos α < π Cos Cos

Cos 180° < Cos α < Cos 90°

-1 < Cos α < 0

-2 < 2 Cos α < 0

1 < 2 Cos α + 3 < 3

__

2

π

" α " Є al Q

2

1 ; 3

Tg θ ; además ,

2 a - √3

3

=

EJERCICIO 10 Si

;

__

6

, hallar los límites entre los cuales

π

θ Є

varía " a ".

Resolución:

__

3

π

< θ <

__

6

π __

3

π

< Tg θ <Tg 30°

Tg 60°

__

3

√3

√3 < Tg θ <

__

3

√3

√3 < <

2 a - √3

3

___

3

3√3

√3 < <2 a - √3 3

2√3 √3 < <2 a 4

√3 √3 < < a 2

; √3 √3 2a Є

NIVEL II

EJERCICIO 1

Señalar con ( V ) las proposicio-

nes verdaderas y con ( F ) las falsas :

I . Sen 20° < Cos 20°

II. Tg 20 ° < Cotg 20°

III. Sec 20° < Cosec 20°

Resolución:

Escribiendo en función de sus cofunciones :

I . Sen 20° < Sen 70°

II. Tg 20 ° < Tg 70°

III. Sec 20° < Sec 70°

I . Sen 20° < Sen 70°

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

LINEA SENO

20°

70°

Sen 20° < Sen 70° ........ ( V )