____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – Département TC –J.F.Ferraris – Math – S1 – CalcAn – CoursEx – Rev2014 – page 33 sur 69 4 1 er degré : introduction à la programmation linéaire Programmation linéaire : Recherche du maximum ou du minimum d'une fonction (économique le plus souvent) compte tenu de certaines contraintes représentées par des équations ou des inéquations du premier degré. Nous travaillerons ici exclusivement sur des problèmes linéaires et à deux variables (cas plus complexes traités en deuxième année et – heureusement - sur tableur). Malgré la simplicité (non apparente) de ce que nous traiterons au-dessous, la méthodologie que nous allons suivre est très générale : c’est celle de la mise en équation d’un problème, quel qu’il soit. Progressons par étapes, en suivant un exemple "fil rouge". Exemple fil rouge : Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements : * par bouteilles d'un litre et demi, vendues 80 € le lot de cent bouteilles, * par bouteilles d'un demi litre, vendues 30 € le lot de cent bouteilles. Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers : atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h, atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h. Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour chaque lot de 100 bouteilles à produire (les données sont volontairement simplistes, voire irréalistes, pour faciliter les calculs dans le cadre de cet exemple) : atelier 1 atelier 2 atelier 3 1,5 L 3 h 3 h 1 h 0,5 L 1 h 2 h 2 h Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ? 4.1 Mise en équation des contraintes Les temps maximum passés dans chaque atelier ne permettent pas de produire à l'infini… TD4.1 : Système de contraintes a. Que sont ici les variables ?
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1er degré : introduction à la programmation linéaire
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4 1er
degré : introduction à la programmation linéaire
Programmation linéaire :
Recherche du maximum ou du minimum d'une fonction (économique le plus souvent) compte
tenu de certaines contraintes représentées par des équations ou des inéquations du premier
degré.
Nous travaillerons ici exclusivement sur des problèmes linéaires et à deux variables (cas plus
complexes traités en deuxième année et – heureusement - sur tableur). Malgré la simplicité (non
apparente) de ce que nous traiterons au-dessous, la méthodologie que nous allons suivre est très
générale : c’est celle de la mise en équation d’un problème, quel qu’il soit.
Progressons par étapes, en suivant un exemple "fil rouge".
Exemple fil rouge :
Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements :
* par bouteilles d'un litre et demi, vendues 80 € le lot de cent bouteilles,
* par bouteilles d'un demi litre, vendues 30 € le lot de cent bouteilles.
Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers :
atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h,
atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h,
atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h.
Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour
chaque lot de 100 bouteilles à produire (les données sont volontairement simplistes, voire
irréalistes, pour faciliter les calculs dans le cadre de cet exemple) :
atelier 1 atelier 2 atelier 3
1,5 L 3 h 3 h 1 h
0,5 L 1 h 2 h 2 h
Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ?
4.1 Mise en équation des contraintes
Les temps maximum passés dans chaque atelier ne permettent pas de produire à l'infini…
TD4.1 : Système de contraintes
a. Que sont ici les variables ?
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b. Sur quelles grandeurs l’énoncé pose-t-il des contraintes ?
c. Pour ces quantités produites variables x et y, comment exprimer le temps passé dans
l'atelier 1 ?
d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3
e. Récapituler l'ensemble des contraintes imposées aux quantités x et y dans un système
unique, où chaque inéquation sera écrite sous sa forme réduite.
4.2 Représentation graphique - polygone des contraintes
Une inéquation linéaire du premier degré à deux inconnues a pour forme cartésienne :
Ax + By + C < 0 , et pour forme réduite : y < ax + b ou y > ax + b ou x < c ou x > c.
Ses solutions sont les couples (x, y) correspondant aux points d'un demi-plan délimité par la
droite d'équation y = ax + b ou d'équation x = c.
Les solutions d'un système composé de telles inéquations sont les couples (x, y)
correspondant aux points communs aux demi-plans solutions de chaque équation.
On pratique là un régionnement du plan.
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TD4.2 : Polygone des contraintes
a. Représenter ci-dessous, dans un repère orthogonal, les droites issues des inéquations du
système de contraintes obtenu au TD1 : on légendera correctement les axes du repère ainsi
que les droites tracées
Mettre en évidence la région du plan solution du système.
Marquer en gras le polygone des contraintes, frontière de cette région.
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b. Donner les coordonnées des sommets de ce polygone.
c. L'entreprise peut-elle produire 5 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 15 lots de 0,5 L ?
d. L'entreprise peut-elle produire 20 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 20 lots de 0,5 L ?
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