1ccss_soluciones-tema3

8/8/2019 1ccss_soluciones-tema3

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L I T E R A T U R A Y M A T E M T I C A S

La mquina de leer los pensamientosDumoulin, conoce usted al profesor Windbag?Vagamente... Slo le vi el da que le devolvimos la visita... Me parecibrillante, untuoso y mediocre.Todos sus calificativos son justos... Windbag es, en efecto, un sermediocre que ensea aqu Pedagoga. Da clases sobre el arte de me-dir las aptitudes de un estudiante o el valor profesional de un maes-tro. Sabe revestir con sabidura un asomo de pensamiento. Fue lquien invent, para determinar la ecuacin personal de un alumno, la

siguiente frmula:

T significa el nmero de horas de las clases semanales; N, el nmerode alumnos del grupo; S, se me ha olvidado lo que era; A, la edad delos padres del alumno; P1, el tiempo que dur la educacin del padre,y P2, el tiempo de educacin de la madre.Est usted de broma, Hickey.Ojal, amigo mo, fuera una broma, pero no es as! Estas locuras seensean seriamente a los futuros profesores, que luego preparan, bajo lavigilancia del profesor Windbag, cualquier tesis increble sobre El pa-pel de la mujer de hacer faenas en los cursos superiores de las jvenesestudiantes.... Y no solamente se ensean estas cosas, sino que inspiranla mayor admiracin a ciertos seores y bienhechores nuestros.

ANDRMAUROIS

XT T N I S

AI

P

I

P

=

( )( )2 2 2

1 2

Opera en esa expresin hasta convertirla en una fraccinalgebraica con varias variables.

XT T N I S

AI

P

I

P

T T N I S P P =

=

( )( ) ( )( )2 2 2

1 2

2 2 2 1 22

1 2 2 1AP P IP IP

Polinomios y fracciones algebraicas3


2/36

ANTES DE COMENZAR RECUERDA

Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios.

a) x d) 4f8 g) 7xyz5

b) 5y e) 2xy2 h) 4ydf8

c) 7z5 f ) 5yzd3

a) Coeficiente: 1 Parte literal:x Grado: 1

b) Coeficiente: 5 Parte literal:y Grado: 1

c) Coeficiente: 7 Parte literal:z5 Grado: 5

d) Coeficiente:4 Parte literal: f8 Grado: 8

e) Coeficiente: 2 Parte literal:xy

2

Grado: 3f ) Coeficiente: 5 Parte literal:yzd3 Grado: 5

g) Coeficiente: 7 Parte literal:xyz5 Grado: 7

h) Coeficiente:4 Parte literal:ydf8 Grado: 10

Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto.

a) xyz,xyey b) ab, a2b y 7b c) 87xy2 y 7x2y

a) No b) No c) No

Haz estas operaciones.

a) 3xy+ 8xy+ 9xy c) 10xy2 6x2y

b) 11a2b 15a 2b + 7a 2b d) 15x8 : 3x3

a) 20xy c) 60x3y3

b) 3a 2b d) 5x5

Aplica la propiedad distributiva en las siguientes expresiones.

a) 7(x+ 2) c) (2x)(3x2 4x+ 7)

b) 3x(x5) d) 9(x4)

a) 7x+ 14 c) 6x3+ 8x2 14x

b) 3x2 15x d) 9x 36

Saca factor comn en las expresiones.

a) (2n+ 2)3n+ (2n+ 2)6 b) 4(7n7) (7n7)(4n8)

a) (2n+ 2)(3n+ 6)

b) (7n 7)(4 (4n 8))= 7(n 1)(12 4n)

Desarrolla las siguientes igualdades notables.

a) (x+ 3y)2 b) (3x3a2)2 c) (x+x3)(xx3)

a) x2+ 6xy+ 9y2

b) 9x6 6x3a 2+ a 4

c) x2x6

006

005

004

003

002

001

3SOLUCIONARIO

83


3/36

84

ACTIVIDADES

Dado P(x)= 43x2+xx213x, reduce este polinomio y halla su valornumrico para:

a) x= 0 c) x=1

b) x= 1 d) x= 3

P(x)=4x2 2x+ 3

a) P(0)= 3

b) P(1)=4 2+ 3=3

c) P(1)=4+ 2+ 3= 1

d) P(3)=36 6+ 3=39

Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numrico parax= 2.

a) P(x)= 43x2+xx2+ 1

b) P(x)=x443x2+xx2+ 13x43x

a) P(x)=4x2+x+ 5 P(2)=16+ 2+ 5=9

b) P(x)=2x4 4x2 2x 3 P(2)=32 16 4 3=55

Calcula el valor numrico de los siguientes polinomios parax= 1.

a) P(x)=x+ 1 c) P(x)=x3+ 1

b) P(x)=x2+ 1 d) P(x)=x4+ 1

a) P(1)= 2 c) P(1)= 2

b) P(1)= 2 d) P(1)= 2

Halla el valor numrico del polinomio P(x)=xn

+ 1 parax=1. Qu observas?P(x)=xn+ 1 P(1)= (1)n+ 1

Si n es par, entonces: P(1)= 1+ 1= 2

Si n es impar, entonces: P(1)=1+ 1= 0

Suma y resta cada par de polinomios.

a) P(x)= 3x3x4 Q (x)=x3x2+ 3

b) P(x)=x78x4+ 3 Q (x)=x5+ 3x36

c) P(x)= 10x4+x2+ 1 Q (x)=x5+ 7x2x

a) S (x)= (3x3x 4)+ (x3x2+ 3)= 4x3x2x 1

R (x)= (3x3x 4) (x3x2+ 3)= 2x3+x2x 7

b) S (x)= (x7 8x4+ 3)+ (x5+ 3x3 6)=x7+x5 8x4+ 3x3 3

R (x)= (x7 8x4+ 3) (x5+ 3x3 6)=x7x5 8x4 3x3+ 9

c) S (x)= (10x4+x2+ 1)+ (x5+ 7x2x)=x5+ 10x4+ 8x2x+ 1

R (x)= (10x4+x2+ 1) (x5+ 7x2x)=x5+ 10x4 6x2+x+ 1

005

004

003

002

001

Polinomios y fracciones algebraicas


4/36

85

Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios.

a) R (x)=x4x+ 1 S (x)=x2+ 1

b) R (x)=x+ 1 S (x)=x2+x1

c) R (x)= 5x7x8+ 1 S (x)=x2+x61

a) P(x)= (x4x+ 1)+ (x2+ 1)=x4+x2x+ 2

Q (x)= (x4x+ 1) (x2+ 1)=x4x2x

b) P(x)= (x+ 1)+ (x2+x 1)=x2+ 2x

Q (x)= (x+ 1) (x2+x 1)=x2+ 2

c) P(x)= (5x7x8+ 1)+ (x2+x6 1)=x8+ 5x7+x6+x2

Q (x)= (5x7x8+ 1) (x2+x6 1)=x8+ 5x7x6x2+ 2

Calcula el resultado de multiplicar los siguientes polinomios.

a) R (x)=x3+x+ 1 S (x)= 2x

b) R (x)=x31 S (x)=x

c) R (x)=x4+x S (x)=x+ 3

d) R (x)=x5+ 6x+ 2 S (x)=x3+x2

a) P(x)= (x3+x+ 1)2x= 2x4+ 2x2+ 2x

b) P(x)= (x3 1)x=x4x

c) P(x)= (x4+x)(x+ 3)=x4(x+ 3)+x(x+ 3)=

=x5+ 3x4+x2+ 3x

d) P(x)= (x5+ 6x+ 2)(x3+x2)=x5(x3+x2)+ 6x(x3+x2)+

+ 2(x3+x2)=x8+x7+ 6x4+ 6x3+ 2x3+ 2x2=

=x8+x

7+ 6x4+ 8x3+ 2x2

007

x8+ 5x7+ 1

x6+x

2 1

x8 5x7+x6+x2 1

x10+ 5x9x8 5x7+x6+x2 1

x14+ 5x13 x10+ 5x9x8 5x7+x6+x2 1

x14+ 5x13x10+ 5x9+x8 5x7+x6+x2 1

x2+x 1

x+ 1

x2+x 1

x3+ 1x2x+ 1

x3+ 2x2+ 2 1

x4x+ 1

x2+ 1

x4x

3+x

2x+ 1

x6x

3x

3+x

2x+ 1

x6+x

4x

3+x

2x+ 1

006

3SOLUCIONARIO


5/36

86

Indica el grado del polinomio resultante de esta operacin.

(x4 2x+ 1)(2x2x+ 1)

Es la suma de los grados: 4 + 2= 6.

Realiza las siguientes divisiones de polinomios, y seala las que son exactas.

a) (x1) :x

b) (x2 1 ) : (x+ 1)

c) (x2 5x+ 6 ) : (x2)

d) (x3

+ 2x2

+ 1 ) : (x2

+ 1)

Halla las divisiones y luego comprueba que P(x)= Q (x) C(x)+ R (x).

a) (x3

1) :xb) (x31) : (x+ 1)

c) (x31) : (x22)

d) (x31) :x3

x3 1= x x2 1

x3 1 x

x3

x2

x3 1

a)

010

x3 + 2x2 x + 1 x2 + 1

x3+ 2x2 x x + 2 No es exacta

x2 2x2 x + 1

x2 2x2 x 2

x3+ 2x2 x 1

d)

x2 5x + 6 x 2

x2+ 2x x 3 Es exacta

x2 3x + 6

x2+ 3x 6

x2 x 0

c)

x2 x 1 x+ 1

x2 x x 1 Es exacta

x2 x 1

x2

+ x + 1x

2 x + 0

b)

x 1 x

x 1 No es exacta

x 1

a)

009

008



6/36

87

x3 1= (x+ 1)(x2 x+ 1) 2=x3 + 1 2

x3 1= (x2 2)x+ 2x 1 =x3 2x+ 2x 1

x3 1=x3 1 1

Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) (x4+x35x2+ 2x5) : (x+ 3)

b) (x310x2+ 23x10) : (x3)

c) (x5x4x3+ 2) : (x1)

d) (x6x56x3+ 10) : (x+ 1)

e) (x7+ 2x6+x44x2+ 7x5) : (x+ 2)

f ) (2x5+ 6x4x2+ 9) : (x3)

Cociente:x3 2x2 +x 1. Resto: 2

Cociente:x2 7x+ 2. Resto: 4

Cociente:x4 x2 x 1. Resto: 1

1 1 1 1 0 0 2

1 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

c)

3 1 10 23 103 1 3 21 16

3 1 7 21 4

b)

3 1 1 5 2 5

3 1 3 6 3 3

3 1 2 1 1 2

a)

011

x3 1 x3

x3 1

x3 1

d)

x3

+ 2x 1 x2

2

x3+ 2x x

x3+ 2x 1

c)

x3 x

2 1 x+ 1

x3 x2 x2 x+ 1

x2x

2+x 1

x2+x

2+x

x2x

2+x 1

x2x

2x 1

x2x

2x 2

b)

3SOLUCIONARIO


7/36

88

Cociente:x5 6x2+ 6x 6. Resto: 16

Cociente:x6x3 2x2 7. Resto:9

Cociente:2x4+x 3. Resto: 0

Calcula el valor de m para que las divisiones sean exactas.

a) (x4+m) : (x1)

b) (2x5

+x3

+m) : (x+ 2)c) (6x3+x2+ 4x+m) : (x+ 1)

d) (2x74x62x3+x+m) : (x4)

Una vez que obtengas el valor de m, escribe el dividendo como producto

de dos factores.

m

+ 1= 0m

=1Descomposicin: (x 1)(x3+x2+x+ 1)

m 72= 0m= 72

Descomposicin: (x+ 2)(2x4 4x3+ 9x2 18x+ 36)

m 9= 0m= 9

Descomposicin: (x+ 1)(6x2 5x+ 9)

m+ 16.260= 0m=16.260,

Descomposicin: (x 4)(2x6+ 4x5+ 16x4+ 64x3+ 254x2+ 1.016x+ 4.065)

3 2 4 00 00 2 000.0 000.1 m

4 8 16 64 256 1.016 4.064 16.260

3 2 4 16 64 254 1.016 4.065 m+ 16.260

d)

3 6 1 4 m

1 6 5 93 6 5 9 m 9

c)

3 2 0 1 00 00 m

2 4 8 18 36 72

3 2 4 9 18 36 m 72

b)

3 1 0 0 0 m

1 3 1 1 1 1

3 1 1 1 1 m+ 1

a)

012

3 2 6 0 1 0 9

3 1 6 0 0 3 9

3 2 0 0 1 3 0

f)

1 1 2 0 1 0 4 7 05

2 1 2 0 0 2 4 0 14

1 1 0 0 1 2 0 7 09

e)

3 1 1 0 6 0 0 10

1 1 1 0 0 6 6 063 1 0 0 6 6 6 16

d)



8/36

89

Calcula, mediante el teorema del resto, el valor numrico del polinomio P(x)

para los valores dexindicados en cada apartado.P(x) =x3 7x2 +x 7

a) x= 1 c) x= 1 e) x= 3

b) x= 5 d) x= 7 f ) x= 5

a)

b)

c)

d)

e)

f )

Dado P(x) = x4 3x+ 2, halla, utilizando la definicin de valor numrico y mediante

el teorema del resto, su valor para:

a) x= 2 b) x= 1

a) P(x) =x4 3x+ 2 P(2) = 12

b) P(x) =x4 3x+ 2 P(1) = 6

Determina cunto vale a, sabiendo que el valor numrico de P(x) =x3 2x2 3x+ a,

parax= 2, es nulo: P(2) = 0.

1 2 3

2 2 0 6

1 0 3 6 6 0 6

= =

a

a a a

015

1 0 0 3 21 1 1 1 4

1 1 1 4 6 2 12

= P( )

1 0 0 3 2

2 2 4 8 10

1 2 4 5 12 2 12

= P( )

014

P(5) = 312

1 7 1 7

5 5 60 305

1 12 61 312

P(3) = 40

1 7 1 7

3 3 12 33

1 4 11 40

P(7) = 0

1 7 1 7

7 7 0 7

1 0 1 0

P(1) = 16

1 7 1 7

1 1 8 9

1 8 9 16

P(5) = 52

1 7 1 7

5 5 10 45

1 2 9 52

P(1) = 12

1 7 1 7

1 1 6 5

1 6 5 12

013

3SOLUCIONARIO


9/36

90

Calcula estos nmeros combinatorios.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)

Desarrolla las siguientes potencias, utilizando el binomio de Newton.

a) (2x5)3 b) (x3 + 2x)5

a) (2x 5)3 = 8x3 60x2 + 150x 125

b) (x3 + 2x)5 = x15 + 10x13 + 40x11 + 80x9 + 80x7 + 32x5

Comprueba si los siguientes nmeros son races del polinomio

P(x) = x4 + 3x3 2x2 + 6x8.

a) x= 1 b) x= 2 c) x= 1 d) x= 4

a)P

(1) = 14

+ 3 13

2 12

+ 6 1 8 = 0Por tanto,x= 1 es una raz del polinomio.

b) P(2) = 24 + 3 23 2 22 + 6 2 8 = 36

c) P(1) = (1)4 + 3 (1)3 2 (1)2 + 6 (1) 8 =18

d) P(4) = (4)4 + 3 (4)3 2 (4)2 + 6 (4) 8 = 0

Por tanto,x=4 es una raz del polinomio.

Calcula las races enteras de estos polinomios.

a)P

(x

) =x

3

1b) Q(x) = x3 9x2 x+ 105

La raz entera del polinomio es 1. Las races enteras son {3, 5, 7}.

Factoriza estos polinomios.

a) 2x3 8x2 + 2x+ 12

b) 3x3 8x2 20x+ 16

c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x

a) 2x3 8x2 + 2x+ 12 = 2(x+ 1)(x 2)(x 3)

b) 3x3 8x2 20x+ 16 = (x+ 2)(x 4)(3x 2)

c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x= x(x+ 3)(x+ 4)(2x+ 1)

020

1 0 0

1 1 1

1 1 1

1

1

0

1 97 7

1 2

5 5

1 3

1

14

15

15

0

105

105

0

a) b)

019

018

017

8

7

8

7 18

= =

!

! !

7

5

7

5 221

= =

!

! !

12

3

12

3 9

12 11 10

3 2 1220

= = =

!

! !

7

2

7

2 5

7 6

2 121

= = =

!

! !

8

7

12

3

7

5

7

2

016



10/36

91

Encuentra las races enteras de los polinomios.

a) 12x+ 2x3 + 4 + 9x2

b) x4 8x2 9

c) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2

Esta raz no es entera.

c) Sacamos factor comn: 2x2(x3 + 5x2 + 14x + 16)

Simplifica estas fracciones algebraicas.

Reduce a comn denominador.

b) , y4

4 1

12 1

4 1

12

2

2

2

2x

x x

x

x x

x x x

( )

( )

( )

( ) (

+ 11

4 1 2)

( )x x

a) y( )( )

( )

( )

( )

x y

x y y

x y x

x y y

+

1 1

1

2

1

b) yx

x x

x

( ),

1

3 1

42

a) yx

xy

x

y

+

1 21

023

b)( )( )( )( )

( )( )

( )(x x y y

x y x y

x+ +

+

=+3 3 4 4

2 3 4

32

yy

x y y

+

4

2 4

)

( )

a)( )

( )

x

x x

x

x

+

+

=+1

1

12

b)( )( )

( )( )

x y

xy x y

2 2

2

9 16

2 6 4

+

a)x x

x x

2 2 1

1

+ +

+( )

022

1 5 14

2 2 6

1 3 8

16

16

0

Las races enteras son {2, 0}.

1 0 8

3 3 9

1 3 1

3 3 0

1 0 1

0

3

3

3

0

9

9

0

b)

Las races enteras son {3, 3}.

2 1 01

2x x+ = =

2 9

2 4

2 5

2 4

2 1

12

10

2

2

0

4

4

0

a)

La nica raz entera es 2.

021

3SOLUCIONARIO


11/36

92

Resuelve las operaciones y simplifica el resultado.

Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

c)2 2 1 1

12 2 1 1

1

6

( )( )

( )( )

x x

x x

+ +

+ +

=

b)x y x

y x

x

x

( )

( ) ( )

=

1

3 1 3 12

a)4 1 4 12

2 2

x y

x y

x y

y

( ) ( )=

c) ( ) ( )2 41

6 34 4+

+

+

+xx

xx :

b)xy

x

y

x( ) 1

3

12:

a)4 12x

y

y

xy

025

f )6

2

6 4

2

1

2

5 1

2

3

2

3

2 2 2

x

x

x x

x

x

x

x

x

+

+=

+

e)( )( ) (x x

x

x x

x

x x

x

x x+

+ +

=

=1 1

1

3 1

1

2 3

1

2 32 2 ))

x 1

d)

=

+ 3 2 42 2x

x

x

x

x x

x

( )

c)y

y

y

y

y

y+

=

2 2 1( )

b)

+ =3 3

2 2

3

2 2

3

2 2

y

x y

x

x y

x y

x y

a)x

x y

x

x y

x x

x y

3 37 7 7 7+

=

+

f ) 33 2 1

2

2

2x

x

x

x

x

+

c) 1

2+

y

y

e) ( )xx x

x+ +

+

1

3 1

1

2

b) +32 2

x y

x

y

d)

32 2( )x

xa)

x

y

x

xy

2 7 1+

( )

024



12/36

93

Sean los polinomios P(x) =x3 5x2 + 2x3, Q(x) = x3 + 5x+1

y R(x) = 2x2 x+ 2.Determina los siguientes valores numricos.

a) P(2)

b) Q(1) e) R(1) + Q(2)

Encuentra el valor de a y b de modo que, para P(x) = 8x3 + ax2 + bx+ 1, se cumple

que P(1) = 29 y .

Realiza las siguientes operaciones.a) (3x+ 5)(x2)

b) (4x1)(4x+ 1)

c) (2x3)2

d) (3a + 6)2

e) (2p2 3q)2

f ) (3x2 1)2

g) (5a3b 2ab2)(5a3b + 2ab2)

g) ( )( )5 2 5 2 25 43 2 3 2 6 2 2 4a b ab a b ab a b a b + =

f ) ( ) = + +3 1 9 6 12 2 2x x x

e) ( )2 3 4 12 92 2 4 2p q p pq q = +

d) ( ) + = +3 6 9 36 362 2a a x

c) ( )2 3 4 12 92 2x x x = +

b) ( )( )4 1 4 1 16 12x x x + =

a) ( )( )3 5 2 3 102x x x x+ =

028

P a b a b( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = = 1 29 8 1 1 1 1 29 223 2

PP a1

24 8

1

2

1

2

3

=

+

+

+ = + =

21

21 4 2 12b a b

=

=

a

b

32

334

3

P1

24

=

027

f ) Q

= 2

3

55

27

e) R Q( ) ( ) + = + =1 2 1 3 4

d) P 2 4 2 13( ) =

c) R x x x R( ) = +

=2 21

212

b) Q x x x Q( ) ( )= + + = 3

5 1 1 3

a) P x x x x P ( ) ( )= + = 3 25 2 3 2 11

f ) Q

2

3c) R

1

2

d) P 2( )

026

3SOLUCIONARIO


13/36

94

Efecta y compara los resultados de estas operaciones.

a) 5(x2 x+ 1)2(x2 + 3)

b) 5(x2 x)+ 12x2+ 3

c) 5(x2 x)+ 1 (2x2 + 3)

d) 5x2 (x+ 1)(2x2+ 3)

e) (5x2 x+ 1)(2x2 + 3)

Los resultados son diferentes segn el orden de las operaciones determinado

por los parntesis.

Efecta y simplifica lo mximo posible.

a) (3x25)(x+ 3)x2+ 3x

b) (x+ y)2+ (xy)2

c) 3a25a(a2 2a)

d) (3a25a)(a22a)

Realiza las operaciones, siendo:

P(x)=x2 3x+ 5 Q(x)= 2x2+ 5 R(x)= 4x3

a) P(x)+ Q(x)R(x)

b) P(x)Q(x) R(x)

c) (P(x)Q(x)) R(x)

d) 3Q(x) (x+ 1) R(x)

e) P(x)+ 2Q(x)

f ) P(x)R(x)2

f ) P x R x x x ( ) ( ) = + 2 215 21 4

e) + = + +P x Q x x x ( ) ( )2 3 3 52

d) 3 1 6 15 1 4 3 22 2Q x x R x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( )( ) + = + + = ++ 12

c) ( ( ) ( )) ( )P x Q x R x x x x = +4 9 93 2

b) P x Q x R x x x x ( ) ( ) ( ) = + +8 7 23 203 2

a) P x Q x R x x x ( ) ( ) ( )+ = +3 7 72

031

d) ( )( )3 5 2 3 11 102 2 4 3 2a a a a a a a = +

c) 3 5 2 5 132 2 3 2a a a a a a = +( )

b) ( ) ( ) + + = +x y x y x x y y2 2 2 22 4 2

a) ( )( )3 5 3 3 3 8 8 152 2 3 2x x x x x x x + + = + +

030

e) ( )( )5 1 2 3 10 2 13 3 32 2 4 3 2x x x x x x x + + = + + +

d) 5 1 2 3 2 7 3 32 2 3 2x x x x x x + + = + ( )( )

c) 5 1 2 3 3 5 52 2 2( ) ( )x x x x x + + =

b) 5 1 2 3 3 5 42 2 2( )x x x x x + + = +

a) 5 1 2 3 3 5 12 2 2( ) ( )x x x x x + + =

029



14/36

95

Haz estas divisiones y comprueba su resultado.

a) (x32x2+ 4x3) : (x2+ 3x1)

b) (2x35x+ 2) : (x22x+ 1)

c) (x4+ 4x3) : (x22)

d) (x3+x214x16) : (2x4)

Comprueba si esta igualdad es cierta.

(x23x+ 2)(2x1)+ (3x2)= 2x37x2+ 10x4

( )( ) ( ) ( )x x x x x x x x2 3 23 2 2 1 3 2 2 7 7 2 3 2 + + = + + =

== + 2 7 10 43 2x x x

033

x x x x

x x x x

x x

3 2

3 2 2

2

14 16 2 4

21

2

3

24

3 14 16

+

+ +

+

+

3 6

8 16

8 16

32

2 41

2

3

24

2

2

x x

x

x

x x x( )

= + 32 14 163 2x x x

d)

x x x

x x x x

x x

x x

x

4 3 2

4 2 2

3 2

3

2

4 2

2 4 2

4 2

4 8

2 8

+

+ + +

+

+

+ xx

x

x

x x x x x x

+

+

+ + + + = +

2 4

8 4

2 4 2 8 4 4

2

2 2 4 3( )( )

c)

2 5 2 2 1

2 4 2 2 4

4 7 2

4

3 2

3 2

2

2

x x x x

x x x x

x x

x

+ +

+ +

+

+ 88 4

2

2 1 2 4 2 2 5 22 3

x

x

x x x x x x

+ + + = +( )( )

b)

x x x x x

x x x x

x x

x

3 2 2

3 2

2

2

2 4 3 3 1

3 5

5 5 3

5

+ +

+

+

+ 115 5

20 8

3 1 5 20 8 2 4 32 3 2

x

x

x x x x x x x

+ + = + ( )( )

a)

032

3SOLUCIONARIO


15/36

96

Encuentra P(x), Q(x), R(x) y S(x), tales que:

a) P(x) + (x2 3x+ 5) =x3 6x+ 2

b) 2x3 6x+ 3 Q(x) = x2 + 5x 2

Cunto deben valer a y b para que se cumplan estas igualdades?

a) (x 3)(ax+ b) = 2x2 7x+ 3 c) a(x2) + b(2x+ 1) = 13x 1

b) (ax+ 3)(4xb) = 8x2 + 6x 9 d) a(x2 + 2x) + b(3x+ 7) +x2 = 5x2 x 21

Realiza estas divisiones, empleando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto.

a) (x3 3x2 + 5x1) : (x 2) c) (2x4 + 3x2 + 5) : (x+ 1)

b) (2x3 +x2 4) : (x+ 3) d) (x3 2x) : (x3)

a) 1 3 5 1

2 2 2 6

1 1 3 5 3 52

= + = ( ) ( ) C x x x R x

036

d) a x x b x x x x a

b

( ) ( )2 2 22 3 7 5 214

3

+ + + + = =

=

c) a x b x x a

b( ) ( ) + + =

=

=

2 2 1 13 1

3

5

b) ( )( )ax x b x x a

b+ = +

=

=

3 4 8 6 9

2

3

2

a) ( )( )x ax b x xa

b + = +

=

=

3 2 7 3

2

1

2

035

2 5 5 4 2 1

2 3 4

6 5

3 2

3 2 2

2

x x x x

x x x x S x

x x

+ + +

+ =

+ +

( )

44

6 38 4

8 4

0

2

x xx

x

++

d) S x x x x x ( ) ( ) : ( )= + + +2 5 5 4 2 13 2

c) R x x x x x x ( ) ( ( ))( ) ( )( )= + = + = 1 3 2 1 2 4 4 1 42 2 xx x x3 24 7 2 +

b) Q x x x x x x x x ( ) ( )= + + = +2 6 3 5 2 2 11 53 2 3 2

a) P x x x x x x x x ( ) ( )= + + = 3 2 3 26 2 3 5 3 3

d)2 5 5 4

2 13 2x x x

S xx

+ += +

( )

c) 12 1

32

= +R x

xx

( )

( )

034



16/36

97

Completa las siguientes divisiones.

Determina el valor de m.

Utiliza la regla de Ruffini para decidir si el primer polinomio es divisible

por el segundo.a) P(x)=x43x3+ 2x210x+ 3 y Q(x)=x3

b) P(x)= 2x3+ 5x210x+ 8 y Q(x)=x+ 5

b)

No es divisible

2 5 10 8

5 10 25 75

2 5 15 67

a)

No es divisible

1 3 2 10 3

3 3 0 6 12

1 0 2 4 9

039

1 3 0

4 4 16 4 16 52

1 4 13 4 20 16 52 20

m

m m

m m m

= m = 2

1 m 3 0

4

20

038

c) 2 0 4

6 3 15

1 5

5 1

3 9

2 3 16

b) 2 2

2

2 5

4 7

1 2 5

2 7

a) 1 2

2 2

5 15

3 5

8 10

1 2

037

d) 1 0 2 0

3 3 9 21

1 3 7 21 3 7 212

= + + = C x x x R x ( ) ( )

c) 2 0 3 0 5

1 2 2 5 5

2 2 5 5 10 2 2 5 53 2

= + C x x x x R( ) (xx) = 10

b) 2 1 0 4

3 6 15 45

2 5 15 49 2 5 152

= + C x x x R x ( ) ( ) == 49

3SOLUCIONARIO


17/36

98


Comprueba, sin emplear la regla de Ruffini, si el primer polinomio es divisible

por el segundo.a) P(x) = 2x3 3x2 14x+ 15 y Q(x) =x3

b) P(y) =y3 + 2y2 6y9 y Q(y) =y+ 2

a) P(3) = 54 27 42 + 15 = 0 Es divisible

b) P(2) = 8 + 8 + 12 9 = 3 No es divisible

Calcula el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas ni emplear la regla de Ruffini.

a) P(x) =x4 + 2x3 x2 + 4x6 yQ(x) =x3 c) P(x) =x3 10x+ 3 y Q(x) =x1

b) P( t) = 2t3 + 4t8 y Q(t) = t+ 5 d) P(x)= 3xx3 10x2 yQ(x) =x+ 2

a) R = P(3) = 81 + 54 9 + 12 6 = 132 c) R = P(1) = 1 10 + 3 = 6

b) R = P(5) = 250 20 8 = 278 d) R=P(2) = 6 + 8 40 = 38

Qu valor debe tomar a para que el resto de dividirx3 + ax2 3xa entrex4 sea 67?

Determina a y b de manera que el polinomiox3 + ax2 + bx6 sea divisibleporx2 y porx+ 3.

Comprueba si M(x) = 2x3 5x2 + 4x4 es divisible porx2 y, en caso afirmativo,encuentra un polinomio N(x) que permita escribir M(x) de la forma:

M(x) = (x2) N(x).

Calculaxpara que se cumplan las siguientes igualdades.

a) x= 2 b) x= 10 c) x= a 5

Desarrolla y simplifica.

a) (x+ 3)4 c) (3p+ 2)4 i) (x2y3)5

b) (xy)5 d) (p+ 2p2)4 f ) (3p5p2)3 j) xx

2

61

+

h) 5 2 2

5

( )

g) 3 24

+( )e) 13

2

5

x

046

c) ax

a =

5

b) x x3 7 =

a)

8 86x

=

045

2 5 4 4

2 4 2 4

2 1 2 0 2 22

= + N x x x ( )

044

2 1

3 11

2

5

a b

a b

a

b

+ =

=

=

=

Si es divisible por x P a b+ = + =3 3 0 27 9 3 6 0 9 ( ) aa b =3 33

Si es divisible por x P a b a = + + = +2 2 0 8 4 2 6 0 4 2 ( ) bb = 2

043

R P a a a a= = + = = =( )4 67 64 16 12 67 15 15 1

042

041

040


18/36

99

j) xx

x2

6

2 61 6

0

6

1+

=

+

( )

+

( ) ( )x

xx

x

2 5 2 41 6

2

1

+

2

2 36

3

1( )x

x

33

2 2

4

6

4

1 6

5

+

+

+

( )x

x

+

x

x x

2

51 6

6

1

=

= + + + + + +

6

12 9 6 3

36 15 20 15 6

1 1x x x x

x x66

i) ( ) ( )x y x y2 5 2 535

0

5

1 =

+

+

+

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 4 2 3 235

23

5

3

+

+

( ) ( )

(

x y

x y

2 2 3

2

3

54 +

=

= +

3 55 3

15 90

4 5

10 5 8 4 6

) ( )

x y x y x yy x y x y3 4 2 2270 405 243 +

h) 5 2 25

05

5

15

5 5

( ) =

( ) +

( )) ( ) +

( ) ( ) +

+

4 3 2

2 25

25 2 2

5

3

( ) ( ) +

( ) +5 2 2 54

5 2 25

5

2 3 4

( ) =

= + +

2 2

25 5 250 2 400 5 800 2 320 5

5

128 2

g) 3 24

03

4

13

4 4

+( ) =

( ) +

( )

33 2 2

24

23 2

4

3

( ) +

( ) ( ) +

+

( ) ( ) +

( ) =

= + + + +

3 24

42

9 12 6 36 8 6 4

3 4

== +49 20 6

f ) ( ) ( ) =

+

3 5

3

03

3

12 3 3

p p p +

( ) ( ) ( ) ( )3 53

23 52 2 2p p p p 22 2 3

3 4 5

3

35

27 135 225

+

=

=

( )p

p p p 1125 6p

e)1

32

5

0

1

3

5

=

x +

+

5 4

5

1

1

32

5

2( )x

+

1

32

5

3

3

2( )x

+

+

1

32

5

4

1

3

2

3( )x

(( ) ( ) +

=

= +

25

52

1243

1081

402

4 5x x

x77

809

803

322 3 4 5x x x x +

d) ( ) ( ) + =

+

p p p2

4

0

4

12 4 4

+

+( ) ( ) ( )p p p p3 2 2 2 22

4

22

4

3

+

+

=

( ) ( )

( )

p p

p p

2

4

42

2 3

2 4 44 5 6 7 88 24 32 16 + +p p p p

c) ( ) ( ) (3 24

03

4

14 4

p p+ =

+

33 24

23 2

4

33 2 2

p p) ( ) +

+

33 24

42

81 216 216 96

3 4

4 3 2

p

p p x

+

=

= + + + xx + 16

b) ( ) (x y x x =

+

5 5 45

0

5

1yy x y x) ( ) (+

+

5

2

5

33 2 2 +

+

+

y x y) ( )

(

3 45

4

5

5yy x x y x y x y x y y)5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5= + +

a) ( )x x x+ =

+

+3

4

0

4

1

34 4 344

2

34

3

34

4

2 2 3

+

+

x x

=

= + + + +

3

12 54 108 81

4

4 3 2x x x x

3SOLUCIONARIO


19/36

100

Determina en los desarrollos los trminos que se indican.

a) Sptimo trmino de (x+ 2y)10.

b) Dcimo trmino de (x2 3)15.

c) Decimosexto trmino de (2p+ q2)28.

d) Decimocuarto trmino de (a+ 2)21.

Encuentra los trminos indicados de los siguientes desarrollos.

a) El trmino central de (3p2 2q)12.

b) El trmino que contienex12 en (2x2 + 1)9.

c) El trmino que contienex11 en .

Calcula, empleando la frmula del binomio de Newton, el valor de 5,13 y 0,992;

teniendo en cuenta que:

5,1 = 5 + 0,1 0,99 = 1 0,01

0,99 0,012 2 212

01

2

1= =

+

( )

+

=

= +

12

2

1

2( ) ( )0,01 0,01

0,02 00,0001 0,9801=

5,1 0,13 3 353

05

3

1= + =

+

( ) 553

25

3

3

2 2 +

+

0,1 0,1 0,11

7,5 0,15 0,001 132,651

3

125

=

= + + + =

049

c)10

3

2120

3

2 7

= x

x( )88

9603

14 11

xx x

b)9

62 1 5 3762 6 3 12

=( ) .x x

a)12

63 2 43 110 1442 6 6 12

=( ) ( ) . .p q p qq6

2 210

xx

048

d)21

132 1 666 990 0808 13 8

=( ) . . .a a

c)28

152 306 726 17413 2 15

=( ) ( ) . . .p q 7720 13 30p q

b) 159

3 98 513 4152 6 9 12

= ( ) ( ) . .x x

a)10

62 13 4404 6 4 6

=x y x y( ) .

047



20/36

101

Estas expresiones se obtienen al desarrollar algunas potencias. Hllalas.

a) 4x2+ 20x+ 25

b) 4a212a+ 9

c) 27x354x2+ 36x8

d) 81p4+ 216p3+ 216p2+ 96p+ 16

a) 4x2 + 20x+ 25 = (2x+ 5)2

b) 4a2 12a + 9 = (2a 3)2

c) 27x3 54x2 + 36x 8 = (3x 2)3

d) 81p4

+ 216p3

+ 216p2

+ 96p + 16 = (3p + 2)4

El sptimo y el octavo trminos del desarrollo de una potencia son 1.792x2y12

y 1.024xy14, respectivamente. Calcula la potencia.

Al ser dos monomios consecutivos y positivos, la potencia corresponde a un bino-

mio con dos trminos positivos.

Como las potencias de xen los monomios conocidos corresponden

al antepenltimo y al penltimo trminos del desarrollo del binomio de Newton,

y se trata de los trminos sptimo y octavo, entonces la potencia correspondiente

es 8.

La potencia es (x+ 2y2)8.

Factoriza estos polinomios.

a) 2x38x2+ 2x+ 12

b) 3x38x220x+ 16

c) 2x4+ 15x3+ 31x2+ 12x

d) x35x2+ 3x+ 9

e) 12x+ 2x3+ 4+ 9x2

f ) x48x29

g) 2x5+ 10x4+ 28x3+ 32x2

g) 2 10 28 32 2 2 3 85 4 3 2 2 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )

f ) x x x x x 4 2 28 9 3 3 1 = + +( )( )( )

e) 12 2 4 9 2 2 13 2 2x x x x x+ + + = + +( ) ( )

d) x x x x x 3 2 25 3 9 3 1 + + = +( ) ( )

c) 2 15 31 12 3 4 2 14 3 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )( )

b) 3 8 20 16 4 2 3 23 2x x x x x x + = + ( )( )( )

a) 2 8 2 12 2 3 2 13 2x x x x x x + + = +( )( )( )

052

8

628 1 792 28 64

8

62 12 2 12

= = =

. x y x y

=

x y

xy

2 2 6

1

2

8

78 1 024

( )

. 44 14 2 78 1288

72= =

x y x y( )

051

050

3SOLUCIONARIO


21/36

102

Determina las races de los siguientes polinomios.

a) (x3)(x+ 5)(x2) e) x3+ 8x2+ 17x+ 10

b) x(x2)2 (2x+ 1) f ) 3x3+ 7x222x8

c) (2x1)(3x+ 2)(x+ 3)2 g) 2x411x3+ 21x216x+ 4

d) x33x26x+ 8 h) x44x312x2+ 32x+ 64

De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que P(1)=6, que P(0)=3

y que una de sus races es 3. Determina ese polinomio.

Por ser de segundo grado, el polinomio es de la forma: P(x) = ax2 + bx+ c

Si P(1) = 6 a + b + c= 6

Como P(0) = 3 c= 3

Si 3 es una raz del polinomio: P(3) = 0 9a + 3b + c= 0

Entonces, tenemos que:

As, el polinomio es: P(x) = 2x2 5x 3

Obtn el valor de m para que el polinomio P(x)=mx36x24x+ 8 tenga 2

como raz.

Si 2 es una raz del polinomio:

P(2) = 0 8m 24 8 + 8 = 0 8m = 24m = 3

Halla el valor de n para que el polinomio P(x)= 2x3+ 2x2+ nx+ 3 tenga3

como raz.

Si 3 es una raz del polinomio:

P(3) = 054 + 18 3n + 3 = 03n = 33 n = 11

056

055

a b

a b

a

b

+ =

+ =

=

=

3

9 3 3

2

5

054

h) x x x x x x 4 3 2 2 24 12 32 64 4 2 4 2 + + = + ( ) ( ) { , }

g) 2 11 21 16 4 2 1 2 1 2 14 3 2 2x x x x x x x + + = ( ) ( )( ) , ,,1

2

f ) 3 7 22 8 2 4 3 1 2 41

3

3 2x x x x x x+ = + +

( )( )( ) , ,

e) x x x x x x 3 28 17 10 1 2 5 1 2 5+ + + = + + + ( )( )( ) { , , }

d) 4, 1x x x x x x3 23 6 8 4 1 2 2 + = + ( )( )( ) { , }

c) ( )( )( ) , ,2 1 3 2 31

2

2

332x x x + +

b) 0, 2x x x( ) ( ) , +

2 2 1

1

2

2

a) { 5, 2( )( )( ) ,x x x + 3 5 2 3

053



22/36

103

Escribe un polinomio de tercer grado cuyas races sean 2, 3 y 5, y otro polinomio

con el mismo grado que tenga como races2,1 y 4.

Encuentra un polinomio P(x) de segundo grado cuyas races sean 1 y2,

y tal que P(3)= 30.

Escribe un polinomio de tercer grado cuyas races sean 3,1 y1

y tal que Q(2)=18.

Descompn estos polinomios y calcula su mximo comn divisor.

a) 6x2y 12x3y2z 18xy3z2

b) 3x6 5x10 7x14

c) 8x+ 24 12x+ 36 20x+ 60

d) x2+x6 2x23x2

e) 3x2+ 9x12 2x2+ 4x16

f ) 4x2+ 16x+ 16 6x2+ 42x+ 60

g) 24x212x 90x2+ 135x90

h) x32x25x+ 6 2x37x2+ 2x+ 3

i) x3+ 5x2+ 6x 3x3+ 9x2

j) 3x37x2+ 5x1 x33x2+ 3x1

d) x x x x

x x x x

2

2

6 2 3

2 3 2 2 2 1

+ = +

= +

( )( )

( )( )+ = m.c.d. 6, 2( )x x x x x2 2 3 2 2

c) 8 24 8 3

12 36 12 3

20 60 20 3

x x

x x

x x

+ = +

+ = +

+ = +

( )

( )

( )

+ + + = +m.c.d. 24, 12 36, 20( )8 60 3x x x x

b) 3 6 3 25 10 5 2

7 14 7 2

x xx x

x x

= =

=

( )( )

( )

= m.c.d. 6, 5 10, 7( )3 14 2x x x x

a) m.c.d. ( , , )6 12 18 62 3 2 3 2x y x y z x y z x y=

060

Por tanto, el polinomio es: Q x x x x ( ) = 2 2 10 63 2

Si Q a a( ) ( )2 18 9 18 2= = =

Q x a x x a x x x ( ) ( )( ) ( )= + = 3 1 5 32 3 2

059

Luego, el polinomio es: P x x x ( ) = + 3 3 62

Si P a a( )3 30 10 30 3= = =

P x a x x a x x ( ) ( )( ) ( )= + = + 1 2 22

058

Q x x x x x x x ( ) ( )( )( )= + + = 2 1 4 10 83 2

P x x x x x x x ( ) ( )( )( )= = + 2 3 5 10 31 303 2

057

3SOLUCIONARIO


23/36

104

Obtn el valor numrico de estas fracciones algebraicas en los valores

que se indican.

Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas.

j)9 27

18 54

3 2

4 3

x x

x x

+

+

e)2

3 2

2

+ x

x

i)6 3

4 2

2ab a

b a

d)3 2

3

+ x

x

h)20 8 4

12 8

2 +

+

a a

ac)

3

6

2 3

5 3

a b d

b a

g) 3 53

2a aa

b) 128

2 3

2 3a b cb c

f )3 6

3

+ x

xa)

x yz

z x

2

2

062

d)( ) ( )

( )

+ =

1 2 3 1

3 2 17

2

b)2 3 8 3 6

3 10

2 +

=

c)2 2 2

6 2

12( ) ( )

( )

= a)3 1

3 3 2

10

11

2 +

+

=

d) para ey xy

x yx y

2 2

23 1

+

= = b) para2 8 6

13

2x x

xx

+

=

c) para2

62

2a a

aa

= a) parax

xx

2 1

3 23

+

+

=

061

j) 3 7 5 1 1 3 1

3 3 1 1

3 2 2

3 2

x x x x x

x x x x

+ =

+ =

( ) ( )

( ))( , )

3

3 2 3 23 7 5 1 3 3 1

+ + =m.c.d. x x x x x x

== = +( )x x x1 2 12 2

i) x x x x x x

x x x x

3 2

3 2 2

5 6 2 3

3 9 3 3

+ + = + +

+ = +

( )( )

( ) + + + =

= + = +

m.c.d. ( , )

( )

x x x x x

x x x x

3 2 3 2

2

5 6 3 9

3 3

h) x x x x x x

x x x

3 2

3 2

2 5 6 3 1 2

2 7 2 3

+ = +

+ + =

( )( )( )

(xx x x

x x x +

+3 1 2 1

2 5 6 23 2)( )( )

( ,m.c.d. xx x x x x x x3 2 27 2 3 3 1 4 3 + + = = +) ( )( )

g) 24 12 12 2 1

90 135 90 45 2 2

2

2

x x x x

x x x x

=

+ = +

( )

( )(

+ =

=1

24 12 90 135 90

3

2 2

)( , )m.c.d. x x x x

(( )2 1 6 3x x =

f ) 4 16 16 4 2

6 42 60 6 2 5

2 2

2

x x x

x x x x

+ + = +

+ + = + +

( )

( )( )

+ + + + =

= +

m.c.d. 16, 6( )

(

4 16 42 60

2 2

2 2x x x x

x )) = +2 4x

e) 3 9 12 3 1 4

2 4 16 3 2 4

2

2

x x x x

x x x x

+ = +

+ = +

( )( )

( )( ))

( )

(

+ + =

= +

m.c.d. 12, 23 9 4 16

3 4

2 2x x x x

x )) = +3 12x



24/36

105

3SOLUCIONARIO

Realiza estas operaciones y simplifica.

f )3

2

4

9

6 2

9

+

=+

x

x

x

x

e)a b

c

a

b

b

ac

2 3 2

2

8

6

3

8: =

d)3

2

8

9

4

3

2 3x

y

xy x =

c)a a a a a a a a2 2 2 23

8

3 11

12

2 1

6

3 9 6 22 8 4

2

=

+ +

44

3 14 524

2

=

= + a a

b)3 2

5

7

2

3 12

10

6 4 35 5 3 12

10

a a a a a a a

+=

+ + =

36

10

a)x x x x x x x +

+

+

=+ +

= +2

3

5 3

4

3 1

6

4 8 15 9 6 2

12

11 211

12

f )3

2

4

9

+

x

x

e)ab

c

a

b

2 3

2

8

6:

d)3

2

8

9

2x

y

xy

c)a a a a2 23

8

3 11

12

2 1

6

b)3 2

5

7

2

3 12

10

a a a

+

a)x x x+

+

+2

3

5 3

4

3 1

6

063

j) 9 2718 54

9 318 3

12

3 2

4 3

2

3x xx x

x xx x x

+

+

= +

+

=( )( )

e) 3 22 2+ xx

i)6 3

4 2

3 2

2 2

3

2

2ab a

b a

a b a

b a

a

=

=( )

( )d)

3 2

3

+ x

x

h)20 8 4

12 8

5 2

3 2

2 2 +

+

= +

+

a a

a

a a

ac)

3

6 2

2 3

5 3 2

a b d

b a

d

ab=

g)3 5

3

3 5

3

2a a

a

a=

b)

12

8

3

2

2 3

2 3

2

2

a b c

b c

a b

c=

f )3 6

3

1 2+=

+x

x

x

x

a)x yz

z x

x y

z

2

2=


25/36

106

Efecta estas operaciones y simplifica.

Realiza estas sumas y restas, y simplifica el resultado.

d)4

3 3 18

3

2 2 42 2x x x x

+ b)

x

x x

x

x x

+

+

+

1

6

2 3

32 2

c)2 3

4 4

1

2 4

1 2

42 2

+ +

+

+

a

a a a

a

aa)

3

3 6

1 2

6 122x x x

x

x++ +

+

065

g)3 1

4 12

2

4 12

3 9 3 3 2 6

4

2 2x

x

x

x

x x x x x x

+

+

= +

(( )( )x x

x x

x

+

=

=

3 3

2 15 3

4 36

2

2

f )3

2 6

1

3

3 2

2 6

1

2 6a a a a+

=

=

e)3 2

2

1

3

3 9 2 6 2 2

2

2 2

+

++

+

=+ + + + +

+

p

p

p

p

p p p p p p

p( )(( )p

p

p p+=

+

+ +3

11

5 6

2

2

d)3

2

1

2 4

2

3 6

18 3 4

6 2

11

6 12a a a a a+

+

+

=

+

=

+( )

c)a

a

a a

a

a a a a a2 3

2

3 33

8

3 11

12

2 1

6

3 9 6 22 8

=

+ aa a

aa a

a

3 2

2

2

4

2411 4 13

24

+=

= + +

b)1 2 5 3 2 2 5 3

2

2 2 2 3 2+

=+ + y

x

y x

y

x y x

x y

y y x y x x y++=

= + +

2

3 8 2

3

2

3 2 2

2

x

x y

x x y y y

x y

a)2 5 3 2 5 3 2 3

a b

a b

ab

b a a b

ab

a b

ab +

+=

+ +=

+

d)3

2

1

2 4

2

3 6a a a+

+

+

g)3 1

4 12

2

4 12

x

x

x

x

+

+

c)

a

a

a a

a

a2 3

2

3

8

3 11

12

2 1

6

f )3

2 6

1

3a a+

b)1 2 5 3 2

2

2+

y

x

y x

y

x y x

xy

e)3 2

2

1

3

+

++

+

p

p

p

pa)

2 5 3

a b

a b

ab +

+

064



26/36

107

Calcula y simplifica el resultado.

f )6 28

6

4

2

1

3

6 28

2 2

x

x x x x

x

x

+

=

:

xx

x

x x

x

x

=

=

6

3 14

6

6 28

3 142

2:

e)x

x

x

x

x

x

x x

x

+

+

+

=

+ +

+

2

9

2 6

3 6

1

2 6

2 2 3

32

( ) ( )

( ))( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x

x

x

x

x

x

+

=

=

3 3 2

1

2 3

2

3 3

1

2 3==

+

1 3

6 18

x

x

d) 3 31

21

3

22 3

+

+ +

= a

a 331

2

3 2

22

33 3

23 2

6 3 3 6 4

2

++

=

=

+ + =

= + + +

a a

aa

a a==

+a 15

2

c)1

21 2

2

3

2+

=

x

x

x

x:

xx

x

x

x x

x x

x

x:

( )( )

( )( )

=

=

4

2

3 2

2 4

3

4

b)x

yy

xx y y x

2 2

2

2

2

=

22

5 2 2

4

2 2

= x y x y

a)1

12

11 2

2x

x x

x

x

+

= +

: : ==

+

2 2

22

x

x x

f )6 28

6

4

2

1

32x

x x x x

+

:c)

1

21 2

2+

x

x

x:

e)x

x

x

x

x

x

+

+

+

2

9

2 6

3 6

1

2 62b)

xy

yx

2 2

d) 3 3

1

2 1

3

2 2

+

+ +

a

a a)

1

1 2 1x

x

+

:

066

d)4

3 3 18

3

2 2 4

8 8 9 27

6 3 22 2x x x x

x x

x x

+ =

+

+( )( )) ( )2

4 2

1

19

6 54 24 72

x

x

x x x

=

= +

+

c)2 3

4 4

1

2 4

1 2

4

4 6 8 12

2 2

2

+ +

+

+

=

= +

a

a a a

a

a

a a a aa a a a

a a

a a

a

2 2

2

2

4 2 4 4 8

2 2 2

11 6 8

2

+

+ =

= +

( ) ( )

33 2 2

4 8 16 8 16 + + a a a a

b)x

x x

x

x x

x x x x x

x x

+

+

+=

+ + +

+

1

6

2 3

3

2 4 3 6

32 2

2 2

( ))( )x

x x

x x x=

+

+ 2

4 7 4

6

2

3 2

a)3

3 6

1 2

6 12

6 6 12 2

6 2

2

2

x x x

x

x

x x x

x x+

+ +

+

=+ + +

+

=

( )

+ +

+

x x

x x

2

2

8 18

6 12

3SOLUCIONARIO


27/36

108

Demuestra esta igualdad.

Halla los valores deA y de B para que se cumpla la igualdad.

La relacin entre el dividendo (D), el divisor (d), el cociente (C) y el resto (R)

en una divisin se puede expresar como:

Es decir, si al dividirx2 + 3x+ 5 entrex+ 2 obtenemos como cocientex+ 1 y resto 3,

podemos escribir:

Expresa de esta manera las siguientes fracciones algebraicas.

2 3

22 3

9

2

2x x

xx

x

+

= + +

2 3 2

2 4 2 3

3 3

3 6

9

2

2

x x x

x x x

x

x

+

+ +

+

+

b)

x x

xx

x

x

2 3

4 4

+

+=

+

x x x

x x x

x

2

2

3 4

4

+ +

a)

d)2 2

1

3

2

x

x x

+

+

c)x x x

x x

3 2

2

2 5 1

2

+

+

b)2 3

2

2x x

x

+

a)x x

x

2

34

+

+

x x

xx

x

2 3 5

21

3

2

+ +

+

= + +

+

D

dC

R

d= +

069

A B

A B

A B

A B

A+ = + =

+ = =

1

4 2 16

1

2 8

===

3

2B

A

x

B

x

A x B x

x x

A B x A

++

=

+ +

+ =

+

2 4

4 2

2 4

4( ) ( )

( )( )

( ) ++

=

2

2 8

16

2 82 2

B

x x

x

x x

A

x

B

x

x

x x++

=

2 4

16

2 82

068

1

1

1

11

1 1 1

2x x x

x

x+

+

=+

22 1

1 1

1 1

1

1

=

+=

+

x

x

x

x x x( )( )

1

1

1

11

1 1

12x x x x+

+

= +

067



28/36

109

La igualdad (3x+ 5)2= 9x2+ 25 es falsa, porque: (3 2+ 5)2 9 22 + 25

Usa el mismo procedimiento para comprobar que las siguientes afirmaciones

son falsas, y despus escrbelas correctamente.

a) (32p)2= 94p2

b) (2x1)2= 2x24x+ 1

c) (53x)(5+ 3x)= 256x2

a) Respuesta abierta: (3 2 3)2

9 4 32

(3 2p)2 = 9 12p + 4p2

b) Respuesta abierta: (2 2 1)2 2 22 4 2 + 1

(2x 1)2 = 4x2 4x + 1

c) Respuesta abierta: (5 3 1)(5 + 3 1)2 25 6 12

(5 3x)(5 + 3x) = 25 9x2.

Cmo puedes factorizar el polinomio 8x22x15, sabiendo que es mltiplo

de 4x+ 5?

Cmo puedes factorizar el polinomio 8x210x3, sabiendo que una

de sus races es ?

Si es una raz, entonces 2x 3 es un factor del polinomio.

8 10 3 2 3 4 12x x x x = +( )( )

8 10 3 2 3

8 12 4 1

2 3

2 3

0

2

2

x x x

x x x

x

x

+ +

+

3

2

32

072

8 2 15 4 5 2 32x x x x = + ( )( )

8 2 15 4 5

8 10 2 3

12 15

12 15

0

2

2

x x x

x x x

x

x

+

+

071

070

2 2

12 2

3

2

x

x x

x+

+

= +

2 2 1

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 2

3 2

2

2

x x x

x x x x

x x

x x

+ +

+ +

+

+

00

d)

x x x

x xx

x

x x

3 2

2 2

2 5 1

21

2 1

2

+

+

= ++

+

x x x x x

x x x x

x x

x x

3 2 2

3 2

2

2

2 5 1 2

2 13 1

2

+ +

+

+

+

22 1x +

c)

3SOLUCIONARIO


29/36

110

Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P(x)= x3 2x2+ 3x+ 1 entre:

Determina un polinomio del que sabemos que:

a) Es de tercer grado. c) Se anula parax= 1.

b) Solo tiene dos trminos. d) P(2)= 28

Al ser un polinomio de tercer grado es de la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

Si se anula parax= 1: P(1) = 0 a + b + c+ d= 0

Como P(2) = 28 8a + 4b + 2c+ d= 28

Si solo tiene dos trminos, hay tres posibilidades:

Escribe dos polinomios cuyo mximo comn divisor sea ab2cy cuyo mnimo comn

mltiplo sea a3b2c2d.

Respuesta abierta.

P(x) = a3b2c

Q(x) = ab2c2d

Escribe dos polinomios cuyo mximo comn divisor sea 2(x3)(x+ 5)3 y cuyo

mnimo comn mltiplo sea 2 32(x3)3(x+ 5)3(x+ 7).

Respuesta abierta.

P(x) = 18(x 3)(x+ 5)3(x+ 7)

Q(x) = 2(x 3)3(x+ 5)3

076

075

3) Si yd b ca d

a d

a

c 0 0

0

8 28

4

4= =

+ =

+ =

=

=

= P x x( ) 4 43

2) Si yc b d

a c

a c

a

c

0 0

0

8 2 28

14

31= =

+ =

+ =

=

=

44

3

14

3

14

3

3

=

P x x x ( )

1) Si yb c da b

a b

a

b 0 0

0

8 4 28

7

7= =

+ =

+ =

=

=

= P x x x ( ) 7 73 2

074

1 2 3 12 2 2 2 2 5 2 4

1 2 2 5 2 2 5 2 3

2 2 52

= + ( ) +C x x x ( ) = 2 2 5 2 3R x( )

b)

1 2 3 1

1

2

1

2

3

4

9

8

13

2

9

4

17

8

3

2

9

4

2

= + = C x x x R x ( ) ( )117

8

a)

b) x 2a) x1

2

073



30/36

111

Calcula estas races, sabiendo que los dos polinomios son cuadrados perfectos.

Comprueba con varios ejemplos que si m y n son dos nmeros naturalesconsecutivos, entonces:

m2

+ n2

+ m2

n2 es un cuadrado perfecto.

Encuentra una demostracin general de esta propiedad.

En general:

El trmino general de la progresin aritmtica: 5, 8, 11, 14, 17, 20, es an = 3n + 2.

Calcula la expresin del trmino general de estas progresiones.

a) 1, 5, 9, 13, 17, b) 5, 3, 1, 1, 3,

c) 8, 3, 2, 7, 12,

d) 1, 4, 7, 10,

a) an = 4n 3

b) an = 2n 7

c) an = 5n + 13

d) an = 3n + 2

Completa esta tabla y determina el polinomio que expresa el nmero de diagonales

de un polgono convexo en relacin con su nmero de lados.

Si xes el nmero de lados, entonces: P xx x

x x( )( )

=

= 3

2

1

2

3

2

2

N.o de lados 3 4 5 6 7

N.o de diagonales 0 2 5 9 14

080

079

n m m m m m m m m m m= + + + + + = + + + + + +1 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 4 3 ( ) ( ) mm

m m m m m m

2

4 3 2 2 22 3 2 1 1

=

= + + + + = + +( )

Si ym n m n m n= = + + = =3 4 169 132 2 2 2 2

Si ym n m n m n= = + + = =2 3 49 72 2 2 2 2

Si ym n m n m n= = + + = =1 2 9 32 2 2 2 2

078

b) x x x x x x x x 4 3 2 2 2 26 7 6 1 3 1 3 1 + + + = = ( )

a) 9 12 4 3 2 3 22 2x x x x + = = ( )

b) x x x x 4 3 26 7 6 1 + + +

a) 9 12 42x x +

077

3SOLUCIONARIO


31/36

112

El director de un supermercado ha observado

que el nmero de clientes atendidos cada horapor un dependiente est relacionado con su

experiencia. Ha estimado que ese nmero

puede calcularse de forma aproximada

con la funcin: , donde d

es el nmero de das que el dependiente

lleva trabajando y Ces el nmero de clientes

atendidos en una hora.

a) Cuntos clientes por hora atendera undependiente que lleve trabajando

dos das?

b) El director sabe que un dependiente empieza a ser rentable a la empresa cuando

atiende a 32 clientes por hora. Cundo sucede eso?

c) Investiga lo que sucede con el nmero de clientes atendidos por dependientes

que tienen mucha experiencia. Puedes constatar alguna caracterstica

especial?

Si los dependientes tienen mucha experiencia, el nmero de clientes atendidos

se aproxima a 40, sin llegar a superarlo.

Una plancha de cartn mide 3040 cm. En cada uno de sus vrtices

recortamos un cuadrado dexcm de lado. Doblando las solapas que quedan

se forma una caja.

a) Expresa su volumen en funcin dex.

b) Calcula el volumen sixmide 2, 4, 6 y 8 cm.

c) Determina la medida dexpara que el volumen de la caja sea mximo.

40 cm

30 cm

x

x

082

N.o de das 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

N.o de clientes 38,83 39,88 39,99 39,99 39,99

c)

b) das40

332 40 32 96 8 96 12

d

dd d d d

+

= = + = =

a) clientesC( )2

40 2

2 3 16=

+=

C dd

d( )=

+

40

3

081



32/36

113

a) V(x) = x(40 2x)(30 2x)

b) V(2) = 1.872 cm3 V(4) = 2.816 cm3 V(6) = 3.024 cm3 V(8) = 2.688 cm3

c) V(5) = 3.000 cm3 V(7) = 2.912 cm3

Suponiendo que el lado tiene como longitud un nmero entero, el volumen es

mximo cuando x= 6 cm.

DeterminaA, B y Cpara que se cumpla que:

Fjate en la descomposicin que hemos hecho de la fraccin, para expresar

estas fracciones algebraicas como la suma de otras fracciones ms sencillas.

19 2

6

5

3

3

22

+ =

++

x

x x x x

19 2

6 3 2

19 2 2 3

2

+ =

++

= + + =

x

x x

A

x

B

x

x A x B x A( ) ( ) ( ++ ++ =

+ =

=

=B x A B

A B

A B

A

B) 2 3

2

2 3 19

5

3

b) x x x x 2 6 3 2+ = + ( )( )

x x

x x x x x

2

3 2 2

9

2 9

2

3

1

3

+ +

+ +

=

+

+

+

A C

A B C

B C

C A

A B A

+ =

+ =

+ =

=

+ + =

1

3 1

3 3 9

1

3 1 11

3 3 3 9

4 2

3 3 6B A

A B

A B

A

+ =

+ =

+ =

= 00

2

1

B

C

=

=

x x

x x

Ax B

x x

C

x

x x Ax B

2

3 2 2

2

9

2 9 3 39

+ +

+ +

=+

+

+

++ + = +( )(( ) ( )x C x x

Ax Ax Bx B C x C x C

+ + + =

= + + + + + =

=

3 3

3 3 3

2

2 2

(( ) ( ) ( )A C x A B C x B C+ + + + +2 3 3 3

a) x x x x x 3 2 22 9 3 3+ + = + +( )( )

A C

A B C

B C

C A

A B

+ =

+ + =

+ =

=

+ +

7

2 0

2 7

7

2 7 AA

B A

A B

A B

A

=

+ =

+ =

=

0

2 7 7

3 0

2 0

==

=

=

2

1

5

B

C

7 7

2

2 12

3 2

2

3 2

x

x x x

Ax B x C x x

x x x

+

=

+ + + +

( )( ) ( )

+ = + + + + =

= +

2

7 7 2 1

2

2 2

2

x Ax B x C x x

Ax A x Bx

( )( ) ( )

222 2

2

2B C x C x C

A C x A B C x B C+ + + =

= + + + + + +( ) ( ) ( )

b)19 2

62

+

x

x x

a)x x

x x

2

3 2

9

2 9

+ +

+ +

7 7

2 1 2

2

3 2 2

x

x x x

Ax B

x x

C

x

+

=+

+ +

+

083

3SOLUCIONARIO


33/36

114

PARA FINALIZAR...

Demuestra la propiedad que cumplen los nmeros combinatorios.

Los nmeros combinatorios verifican que:

As, para n = 4:

Anlogamente, si para n la suma es 2n, entonces para n + 1 la suma es:2n 2 = 2n + 1

Demuestra, utilizando el mtodo de induccin, las siguientes igualdades.

Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.

a) Si 1n = =+

11 1 1

2

( )

c) (

1 2 31

2

3 3 3 3

2

+ + + + =+

nn n )

b) ( )(2

1 2 31 1

6

2 2 2 2+ + + + =+ +

nn n n )

a)

(

1 2 3

1

2+ + + + =

+n

n n )

085

55

0

55

2

55

54

+

+ +

=

+

+ +55

1

55

3

555

55

b)n

m

n

n m

=

55

0

=

55

55

55

2

=

=

55

5355

1

55

54

=

55

3

55

52

40

41

42

4

+

+

+33

44

40

3

+

=

+00

31

31

3

+

+

+22

32

33

4

+

+

+44

3

0

3

1

=

=

+

+33

2

3

3

4

0

+

+

+33

1

3

2

4

4

+

+

=

== + = =8 8 8 2 24

n n

n

n

m01

= =

=nn

m

n

m

+

1

1

1

Si n =

+

+

3

3

0

3

1

3

2

+

= + + + = =3

31 3 3 1 8 23

Si 2n =

+

+

20

21

22

= + + = =1 2 1 4 22

a) Si 1n =

+

= + =1

0

1

11 1 2

b) 55

0

55

2

55

54

+

+ +

=

+

+ +

55

1

55

3

55

5

55

a)n n n

0 1 2

+

+

++ +

=

n

n

n2

084



34/36

115

Entonces para n = k+ 1:





Dados los polinomios:

P(x)= 3x4 + 8x3 15x232x+ 12

Q(x)= 2x4 + x3 16x2 + 3x+ 18

determina los polinomiosA(x) y B(x) de menor grado que cumplan que:

P(x

) A

(x

)+ Q

(x

) B

(x

)=

0

As, A(x) = 2x2 + x+ 3 y B(x) = 3x2 + 5x 2.

A x

B x

Q x

P x

x x x x

x

( )

( )

( )

( )

( )( )( )( )

(= =

+ + 2 1 3 2 3

+ + =

+

+ 2 2 3 3 1

1 2 3

2 3 1)( )( )( )

( )( )

( )(x x x

x x

x x ))

Q x x x x x x x x x ( ) ( )( )( )(= + + + = + + 2 16 3 18 2 1 3 2 34 3 2 ))

P x x x x x x x x x ( ) ( )( )( )(= + + = + +3 8 15 32 12 2 2 3 34 3 2 1)

P x A x Q x B x P x A x Q x B x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = 0 AA x

B x

Q x

P x

( )

( )

( )

( )=

086

1 2 3 11

213 3 3 3 3

2

+ + + + + + =+

+ + k kk k

k( )( )

( )33

2 23 2

4 3 2 32 1

43 3 1

2 4

=

=+ +

+ + + + =+ + + +k k k

k k kk k k k ( ) 112 4

4

6 13 12 4

4

1 2

4

2

4 3 2 2 2

k

k k k k k k

+=

=+ + + +

=+ +

=( ) ( ) (( )(( ) )k k+ + +

1 1 1

2

2

c) Si 1n = =+

11 1 1

2

32

( )

1 2 3 1

1 2 1

6 12 2 2 2 2 2

+ + + + + + =

+ +

+ + =

=

k k

k k k

k( )

( )( )

( )

22 3

62 1

2 9 13 6

61

3 22

3 2

k k kk k

k k k

k k

+ ++ + +

+ + +=

=+

( )( ++ +=

=+ + + +

2 2 3

61 2 2 1 1

6

)( )

( )( )( ( ) )

k

k k k

b) Si 1n = =+ +

11 1 1 2 1 1

6

2 ( )( )

1 2 3 1 12

1 3 22

1

2

+ + + + + + = + + + = + + =

=+

k k k k k k k

k k

( )

( )( ++=

+ + +2

2

1 1 1

2

) ( )(( ) )k k

3SOLUCIONARIO


35/36

116

Demuestra que, para cualquier nmero entero n, la siguiente expresin es mltiplo

de 24.

n4+ 2n3n22n

n4 + 2n3 n2 2n = (n 1)n(n + 1)(n + 2)

Como el polinomio es el producto de cuatro nmeros enteros consecutivos,

al menos uno de ellos ha de ser mltiplo de 3.

Siendo n un nmero entero, hay dos posibilidades:

1) Si n es impar, entonces n 1 y n + 1 son pares y, adems, son paresconsecutivos; por tanto, uno de ellos es mltiplo de 4. As, (n 1)(n + 1)

es mltiplo de 8, luego el polinomio es mltiplo de 24.

2) Si n es par; entonces n + 2 tambin es par, y como en el caso anterior,uno de ellos es mltiplo de 4. Por tanto, n(n + 2) es mltiplo de 8y el polinomio es mltiplo de 24.

Un polinomio P(x) verifica que:

P(2)= 3

es divisible por x+ 1.

Al dividirlo entre x5, el resto es 15.

Calcula el resto de la divisin P(x) : Q(x), siendo:

Q(x)= (x2)(x+ 1)(x5)

P(x) = C(x) Q(x) + R(x), siendo grado R(x) < grado Q(x) = 3

R(x) = ax2 + bx+ c

P(2) = C(2) Q(2) + R(2) 3 = C(2) 0 + R(2) 3 = 4a + 2b + c

P(1) = C(1) Q(1) + R(1) 0 + C(1) 0 + R(1) 0 = a b + c

P(5) = C(5) Q(5) + R(5) 15 = 25a + 5b + c

As, el resto es:

Completa la siguiente fila del tringulo de Tartaglia.1................3.003 2.002 1.001.................1

n

k

n

k n k

=

=1

30031 1

3.!

( )!( ( ))!. 0003 3 003 1 1 n k n k

n

k

! . ( )!( ( ))!=

= 22 002 2 002 2 002.!

!( )!. ! . !( )!

n

k n kn k n k

n

k

= =

+ 111001

1 11 00

=+ +

=.!

( )!( ( ))!.

n

k n k11 1 001 1 1 n k n k ! . ( )!( ( ))!= + +

089

R x x x ( ) ( )= +1

21

4 2 3

0

25 5 0

1

2

1a b c

a b c

a b c

a b

+ + = + =+ + =

= =22

0c =

088

087



36/36

Igualando cada par de expresiones:

Entonces la fila del tringulo est compuesta por:

Haz esta suma.

1

1

1 1

1

11

1

99

1

99

n n n nn n( )+ =

+

=

=

= =

22

1

2

1

3

1

3

1

4

+

+

+ +

=

= =

1

99

1

100

11

100

99

100

1

1 11 1

0

n n

A

n

B

nA n Bn A B n A

A B

A( )( ) ( )

+= +

+= + + = + +

+ =

==

=

= 1

1

1

A

B

1

11

99

n nn ( )+=

090

14

01

14

114

14

2

=

=

=

=

=9114

3364

14

41.0001

14

52002

14

63 00

=

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73432

14

83 003

1

=

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92 002

14

101001

14

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.

.111

36414

1291

14

13

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=14

14

141

2 002 3 003 1 12 002

. !( )! . ( )!( ( ))!

. !(k n k k n k k

= nn k k n k

k n k = + +

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(1 001 1 1

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12 1

5 3 32 3 1

)( )n k k

k nn k

n ===

149k

3SOLUCIONARIO

1ccss_soluciones-tema3

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