1.Apunte 0 de Repaso Algebra Basica

Profesora: Corina Claro Collado

FACULTAD DE INGENIERIA Y

ARQUITECTURA

APUNTE 0 ALGEBRA INT-11

REPASO DE ALGEBRA BASICA

______________________________________________________________

ALGEBRA INT-11 INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL 2

GUIA 1: REPASO ALGEBRA BASICA

I CONJUNTOS NUMERICOS

En primer trmino se recuerdan los conjuntos numricos:

a) Conjunto de los nmeros Naturales

N = {1, 2 , 3 , 4, ...... }

b) Conjunto de los nmeros Enteros

Z = {....., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5,....}

Enteros negativos: Z - = {.... 4, -3, -2, -1}

c) Conjunto de los nmeros Racionales

Q

0bZbZab

a , ,

Ejemplos

525 ,416 ,04

0

4

5

4

5

,102

20 ,

7

1 ,

15

1 ,

4

1

Los nmeros racionales se pueden expresar como nmeros decimales infinitos peridicos, en que alguna(s) cifra(s) decimal se repite:

...0000,10102

20 ...571428571428,0

7

1

...06666,015

1 ...250000,0

4

1

d) Conjunto de los nmeros Irracionales:

Hay nmeros que tienen infinitas cifras decimales, pero, las cifras no se repiten

Ejemplos: 21,24781204290865421749...

______________________________________________________________


...656854249,5...414213562,142420

..141592654.3

...236067977,25

...414213562,12

e) Conjunto de los nmeros Reales

Este conjunto est formado por los nmeros racionales e irracionales.

Ejemplos: 11

2,0,21,

3

4

Los nmeros reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una recta. A cada nmero real le corresponde un solo punto de la recta numrica y, recprocamente, a cada punto de la recta le corresponde un solo nmero real.

-2 -1 2

1 0 1 2 2 3

Operatoria en el conjunto de los nmeros racionales Q

Amplificar una fraccin: El valor de una fraccin no se altera si se multiplican numerador y denominador por un mismo nmero distinto de cero.

i) 21

12

3

3

7

4

7

4 ii)

30

72

65

612

5

12-

iii) 0 acon 26

25

a

a

26

25 iv)

0 b)(acon )(

)(

39

123

ba

ba

39

123

Simplificar una fraccin: Cuando tanto el numerador como el denominador se dividen por un mismo nmero distinto de cero, el valor de la fraccin no vara, obtenindose una fraccin equivalente a ella.

______________________________________________________________


9

2

259

252

225

50)

i

Simplificar una fraccin consiste en cancelar el mismo factor en el numerador y denominador.

7

9

)1(7

)1(9

7-

9- )

21

10

)21(4

)10(4

84

40- )

iiiii

iv) Encontrar una fraccin equivalente a 12

7 cuyo denominador sea 60.

60

35

512

57

12

7

Suma de fracciones:

Definicin: Para todo Qd

c

b

a, se tiene que:

bd

bcad

d

c

b

a

Ejemplos:

4

11

8

22

8

1210

24

3425

2

3

4

5 )

15

13

15

310

53

1352

5

1

3

2 )

ii

i

O bien empleando mnimo comn mltiplo (M.C.M.)

M.C.M.

4

11

4

65

4

325

2

3

4

5

Resta de fracciones: Toda resta de fracciones se transforma en suma, de la siguiente forma:

d

c

b

a

d

c

b

a

Ejemplo:

6

1

6

43

3

2

2

1

3

2

2

1

______________________________________________________________


Multiplicacin de fracciones:

Definicin: Para todo Qd

c

b

a, se tiene que

bd

ac

d

c

b

a

Ejemplos:

7

8

42

48

143

68

14

6

3

8)

10

3

20

6

45

32

4

3

5

2)

ii

i

O bien simplificando previamente

7

8

71

24

143

68

Divisin de fracciones:

Toda divisin de fracciones se transforma en multiplicacin, de la siguiente forma:

c

d

b

a

d

c

b

a

Ejemplos:

27

8

3

2

9

4

2

3:

9

4 )

10

21

2

7

5

3

7

2:

5

3) iii

Propiedades de la Operatoria con nmeros reales

En el conjunto de los nmeros reales hay dos operaciones definidas: adicin y multiplicacin. Sean a, b, c nmeros reales, entonces.

ADICION MULTIPLICACION

1) Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c) cbacba

2) Conmutativa

a + b = b + a abba

3) Elemento neutro

______________________________________________________________


Existe R0 tal que a + 0=0+a=a Existe R1 tal que aaa 11

Para todo Ra . Para todo Ra .

4) Elemento Opuesto Elemento Inverso

Para todo Ra , existe Ra )( Para todo Ra , siendo 0a

tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. existe a1 tal que:111 aa

aa .

5) Distributividad de la multiplicacin sobre la suma, por la izquierda y por la derecha:

cabacba acabacb

II EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En lgebra es comn el uso de letras, nmeros, smbolos y signos.

Ejemplos:

bax 23x b;2a ;5 22

En ,5 2x 5 representa el coeficiente numrico y 2x la parte literal del trmino.

Una expresin algebraica puede tener uno o ms trminos:

7 ax Monomio

7 ax 2a Binomio

cbaax

baax

327

357 Polinomios

Multiplicacin de expresiones algebraicas

Se recordarn la multiplicacin de potencias de igual base y la elevacin a potencia de una potencia.

NOTA 10 a 0a

______________________________________________________________


Multiplicar potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se eleva la base a la suma de los exponentes.

mnmn aaa

Ejemplos:

42331587 nn xxmmaaa 1n2 x m

Elevar una potencia a potencia

Para elevar a potencia una potencia, se eleva la base al producto de los exponentes.

nmnm aa Ejemplos:

2

462221234 5

c

ba

c

bxaa nn

n

32 a 5x

VER GUIA COMPLEMENTARIA DE POTENCIAS

Multiplicacin de monomios

Se multiplican los coeficientes numricos entre si y los factores literales entre s.

Ejemplo:

4242 34 34 baaaba

= 4312 ba

Multiplicacin de monomio por polinomio

Se multiplica cada trmino del polinomio por el monomio (Propiedad distributiva).

Ejemplo:

322322 36323 abbabababaab

Multiplicacin de Polinomios

Se multiplican trmino a trmino de los polinomios (Propiedad distributiva).

Ejemplo:

______________________________________________________________


xyyxxyyxxy

xyyx

2222 264263

223

Productos Notables:

Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin efectuar la multiplicacin.

1.- Cuadrado de un Binomio

222222

2

2

bababa

bababa

Ejemplo:

222222 3352535 yyxxyx

422 93025 yxyx

2.- Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

(a + b) (a b) = 22 ba

Ejemplo:

22

24

3

24

3

24

3

xa

xa

xa

416

9 22 xa

3.- Producto de dos binomios con un trmino comn

abxbaxbxax 2

Ejemplo:

)3(53535 2 xxxx

1522 xx

Factorizacin de expresiones algebraicas

Es el procedimiento que permite dar forma de producto a una expresin algebraica. En la descomposicin en factores de una expresin algebraica, se presentan

______________________________________________________________


diversos casos, los cuales estn relacionados con el desarrollo de los Productos Notables.

Sacar factor comn de un polinomio

Ejemplos:

1.- aa 22 , a es el factor comn de los dos trminos entonces

aa 22 = a ( a + 2)

2.- x(a + b) + m(a + b), el factor comn es (a + b), entonces:

x(a + b) + m(a + b) = (a + b) (x + m)

3.- (1 + 3a) (x + 1) 2a (x +1) + 3(x+1), el factor comn es (x + 1)

(1 + 3a) (x + 1) 2a (x +1) + 3(x+1) = (x + 1) (1 + 3a 2a + 3)

= (x + 1) ( a + 4)

Factor comn por agrupacin de trminos

Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay + by

Los dos primeros trminos tienen x como factor comn y los dos ltimos tienen y como factor comn, entonces.

ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a+b)y

Los dos trminos tienen (a + b) como factor comn entonces

ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a+b)y

= (a + b) (x + y)

Trinomio que es Cuadrado Perfecto

Segn el desarrollo del cuadrado de un binomio tenemos que:

222

222

2

2

bababa

bababa

Ejemplos

1. Factorizar 25102 aa

22 )5(2510 aaa

22 5 a52 a

______________________________________________________________


2. Factorizar 162492 xx

22 4) -(3x 16 24x - 9 x

22 4 43x2 3 x

Diferencia de cuadrados

bababa 22

Ejemplo:

Factorizar 2b - 9

bbb 339 2

Trinomio de la forma x2 + bx + c

El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer trmino es x; el producto algebraico de los segundos trminos de ambos factores es igual a c y la suma de estos dos trminos es igual a b.

Ejemplo:

Factorizar x2 + 9x + 14 = (x + 7) (x + 2)

(7 + 2) 27

Suma y Diferencia de Cubos

2233

2233

yxyxyxyx

yxyxyxyx

Ejemplo:

Factorizar 83 a

422-a 28 2333 aaaa Divisin de Expresiones Algebraicas

Potencias de exponentes negativos y divisin de potencias de igual base:

p

p

aa

1 ;

22

m

n

n

m;

n

na

a

1

; tntn xxx :

Ejemplos:

1) 23

5

xx

x 2)

2

2

9

7 1

xx

x

x 3)

24717)7(17717 : aaaaa

______________________________________________________________


Divisin de expresiones algebraicas:

a) Divisin de monomios:

4

3

6

2

2

5

62

25 2

2

4

2

4

b

a

b

b

a

a

ba

ba

b) Divisin de Polinomio por Monomio

22

223223

32a

3

9

3

6

3

3

3

963

bab

a

ab

a

ba

a

a

a

abbaa

c) Divisin de Polinomios

- Se ordenan el dividendo y el divisor con relacin a una misma letra.

- Se divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer trmino del cuociente. Este se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Si algn trmino de este producto no tiene trmino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenacin.

- Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, y tendremos el segundo trmino del cuociente. Se repite el proceso.

Ejemplos:

1) Dividir 9b 2apor 54513110 3223 babbaa

______________________________________________________________


Cuociente

baba

Divisor

ba

Dividendo

resto

bab

bab

abba

abba

baa

babbaa 22

32

32

22

22

23

3223 67592

0

5412

5412

6314

5114

4510

54513110

:

2.- Dividir yxyx 223 342521 por 7x + 5y

Se ordena el dividendo con relacin a x

22

23

32

22

22

22

23

2223 57357:

2525

2535

2535

3549

049

1521

2503421 yxyxyx

yy

yxy

yxy

xyyx

xyyx

yxx

yxyyxx

d) Divisin Sinttica: es una regla prctica para hallar el cuociente y el resto de la divisin de un polinomio en x por (x a), sin efectuar la divisin.

Ejemplo: Esta regla se puede aplicar en:

______________________________________________________________


1. 2:723 35 xxx , donde a = 2

2. 5:2535 24 xxxx , donde a = -5 ya que 55 xx

El cuociente es un polinomio en x cuyo grado es uno menos que el grado del dividendo.

Se explica la regla de la divisin sinttica, mediante el siguiente ejemplo:

44573223 ax-xxx tantolopor

Divisor

pordividido

Dividendo

Se ordenan los coeficientes del dividendo y el trmino a, segn el siguiente diagrama.

a 45732

Se baja el primer trmino 2

2

45732

Se multiplica 4 por 2 y este resultado se ubica bajo el trmino 3 y se suma. Se multiplica 4 por 5 y este resultado se ubica bajo el 7 y se suma, etc.

1032752

108208

45732

cuocientepolinomiodelesCoeficient

2752 El ltimo valor es el resto =

103

Por lo tanto, el cuociente es 27522 xx con resto 103.

NOTA: Al ordenar en la tabla los coeficientes del dividendo, se debe anotar todos, si alguna potencia no aparece, significa que su coeficiente es 0.

Ejemplo: xxx 52624 dividido por x + 7

______________________________________________________________


a = 7, ya que x + 7 = x (7)

Ordenacin:

6

42

705206

Terminar el ejercicio!

Operaciones con Fracciones Algebraicas

Suma y Resta de fracciones algebraicas:

Antes de sumar o restar las fracciones, se recomienda:

Simplificar las fracciones dadas, si es posible.

Determinar el mnimo comn denominador.

Ejemplos:

1) 26

2

2

3

a

a

a

No se pueden simplificar las fracciones dadas.

Determinar el MCM entre 2a y 6a2

22

2263a2MCM

326

22a

aa

aa

Se suma

2222 6

210

6

29

6

233

6

2

2

3

a

a

a

aa

a

aa

a

a

a

Se simplifica

222 3

15

6

152

6

210

a

a

a

a

a

a

2) Resolver: Faa

a

aa

a

a

a

65

6

6

2

4

1222

Primero hay que encontrar el MCM de los denominadores. Para eso se factoriza cada uno.

______________________________________________________________


2365

236

224

2

2

2

aaaa

aaaa

aaa

322 aaaesMCMEl

Se suma:

34193

322

193

322

1284434

322

262231

2

2

2

222

aa

a

aaa

a

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaaF

3) Resolver Rx

x

xx

x

x

8

126

42

32

2

232

Hay que encontrar el MCM

42284242

22

23

22

xxxx

xxxx

xx

422 2 xxxesMCMel

4221434

422

1266342842

422

126232422

2

2

2

22

2

2

xxx

xx

xxx

xxxxxx

xxx

xxxxxR

______________________________________________________________


Multiplicacin de fracciones algebraicas

Los trminos de las fracciones que se van a multiplicar se factorizan previamente y se simplifican.

Ejemplos:

1) 4

3ab

4

6

4

2 22ndosimplifica

a

b

b

a

2) xyx

yxyx

xyx

yxy

2

222

22

2

2

Factorizando

)2(

)(

)(

)2( 2

yxx

yx

yxx

yxy

Simplificando

2

)()(

x

yxy

x

yx

x

y

Divisin de Fracciones algebraicas

La divisin se transforma en multiplicacin invirtiendo el divisor.

Ejemplos:

1) ax

b

b

a

b

ax

b

a

2

9

15

4

9

2

15

4 3

2

2

32

2

Simplificando:

x

ab

x

ba

5

63

5

2

2) 22

6

3

1

6

22:

3

1

x

xxx Factorizando

)1(2

6

3

1

x

x Simplificando

16

6

______________________________________________________________


3) aa

aa

aa

a

93

3413

24

23

4

doFactorizan34

931

24

3

23

4

aa

aa

aa

a

)1)(3(

)3(3

)1(

)1)(1)(1(22

2

2

2

aa

aa

aa

aaa Simplificando

a

a )1(3

4) doFactorizanx

x

x

x

x

xx

x

23

1015

2

23

1015

2

ndoSimplifica 23

)23(5

2

x

x

x

x

x

x

5

2

Raices

Toda potencia de exponente fraccionario puede expresarse como raz:

n pn

p

aa

Ejemplos:

1) 3321

2) 4 34

3

22 3) a

a1

2

1

4)

33

1

yxyx

Races semejantes

Son aquellas que tienen el mismo ndice y la misma cantidad subradical.

Ejemplo:

______________________________________________________________


34- ,3 ,35 ,32 son semejantes.

Las races semejantes son las nicas que se pueden sumar o restar.

Ejemplos:

1) 5655453

2) 333 542 baabba

3) 983487129452

22131056

22132831856

273347329532

24933167349592

Multiplicacin de races de igual ndice

Equivale a extraer raz del producto de las cantidades subradicales.

nnn abba

Ejemplos:

22

333

))(( )2

4 64 416 )1

bababababa

Divisin de races de igual ndice

Equivale a extraer raz del cuociente de las cantidades subradicales.

nn

n

p

a

p

a

Ejemplos:

bba

bab

b

aab

b

aab

2::)2

392

18

2

18)1

______________________________________________________________


Extraer raz de un producto o de un cuociente

Equivale a extraer raz a cada uno de los factores:

Ejemplos

1) 1553259259 2) nnnn cbaabc

3) xxx 2883 333 3 4) baba 2)(

5) 3 23 2

3 3

32

3

4

3

64

27

64

27

x

a

x

a

x

a

NOTA: Slo se extrae raz a los factores de una cantidad subradical, no a sumandos.

babababa

ba

222

22

)(2

. sumandos los a raz extraer puede se No

Racionalizar el denominador de una fraccin

Es convertir la fraccin, cuyo denominador sea irracional, en otra fraccin equivalente cuyo denominador sea racional.

CASO I : cuando el denominador es monomio (raz cuadrada)

Ejemplo:

20

53

54

53

54

53

554

53

54

3

2

CASOII : cuando el denominador es binomio que contiene races cuadradas.

Ejemplo:

3434

34325

34

325

316

6383520

______________________________________________________________


13

31326

3213

3213

III ECUACIONES

Ecuaciones Irracionales

Son ecuaciones en las cuales la incgnita aparece bajo el signo radical.

Ejemplos:

1) Resolver 1359 2 xx Se asla la raz

1

66

16959

1359

/1359

22

22

2

22

x

x

xxx

xx

xx raizlaeliminarparadosaelevase

2) Resolver 4816 xx

17

258

/58

4088

/1688816

4816

/4816

2

22

2

x

x

x

x

raizlaaislarxxx

xx

xx

3) Resolver 162 x

______________________________________________________________


4

16

/16

2

2

x

x

x cuadradaraizextrayendo

4) Despejar q en la ecuacin 41

3 q

Se eleva a tres para eliminar la

raz.

q

qq

q

64

1641

641

41 3

3

3

Teorema de Pitagras:

En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

. b

c

a

AC

B

c = a + b2 2 2

______________________________________________________________


Encontrar el valor de x, en cada ejercicio

1)

2)

3)

x

13

5

AC

B

m + 1

x2m

A B

C

2

p - q

x

2pq

AC

B

2 2

12

12

144

/144

25169

513

135

2

2

222

222

x

x

x

x

x

x

x

11

/1

12

124

12

2

22

222

242

2422

2222

mx

mx

mx

mmx

mmmx

mmx

22

22

2222

2222

42242

2242242

22222

/

2

42

2

qpx

qpx

qpx

qpx

qqppx

qpqqppx

pqqpx

______________________________________________________________


Ecuaciones de Segundo Grado con una incgnita

A. La ecuacin de 2 grado completa t iene la forma:

02 cbxax .

Ejemplos:

0523 2 xx 085 2 xx 01032 xx

Estas ecuaciones se resuelven mediante la frmula

a

acbbx

2

42 .

Las soluciones o races de esta ecuacin pueden ser:

a) reales y distintas si 042 acb

b) reales e iguales si 042 acb

c) imaginarias si 042 acb

Ejemplo: Resolver 0253 2 xx .

3

21

6

156

156

24255

21

xx

x

En algunos casos de ecuaciones de 2 grado completas, es fcil factorizar y no es necesario usar la frmula.

Ejemplo: Resolver 01032 xx .

Factorizando se tiene que 0251032 xxxx , de donde

______________________________________________________________


25

0205

21

xx

xx

B. Las ecuaciones incompletas de segundo grado tienen la forma:

a) 02 cax No tienen el trmino x

b) 02 bxax No tiene el trmino independiente.

No es necesario usar la frmula para resolver estas ecuaciones:

Ejemplos:

1.- Resolver 0483 2 x .

44

4

16

16

483

0483

21

2

2

2

xx

x

x

x

x

x

2.- Resolver 035 2 xx .

Factorizando se tiene que 03535 2 xxxx , de donde

5

30

0350

21

xx

xx

C. Las ecuaciones de grado 4 de la forma 024 cbxax se llaman bicuadradas y pueden expresarse como una ecuacin de segundo grado, usando variable auxiliar.

Ejemplo: Resolver 03613 24 xx

Sea ux 2 , entonces la ecuacin se puede escribir como:

______________________________________________________________


036132 uu

23

49

49

2

5132

25132

14416913

22

21

xx

xx

uu

u

Resolucin de sistemas de ecuaciones

De Primer Grado con dos incgnitas

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas como:

seydx

cbyax

Se elimina una de las incgnitas combinando adecuadamente las ecuaciones, de modo que, resulte una ecuacin con slo una incgnita.

Se puede proceder de dos maneras.

A. Eliminacin por sustitucin:

Este mtodo consiste en despejar en una de las ecuaciones una de las incgnitas en funcin de la otra. Se sustituye el valor encontrado en la otra ecuacin.

Ejemplo:

2725

5264

yx

yx

______________________________________________________________


Se despeja x en la primera ecuacin *4

652 y-x , este valor se sustituye en

la segunda ecuacin.

438

15215238

1/15238

26010838

108830260

10886525

4/2724

6525

y

y

y

y

y

yy

yy

yy

Se sustituye este valor en *

74

284

46524

652

x

x

x

yx

B. Eliminacin por reduccin:

Este mtodo consiste en igualar en las dos ecuaciones, los coeficientes de la incgnita que se elige eliminar (sin considerar el signo), las ecuaciones se suman si las incgnitas a eliminar tienen signos distintos, en caso contrario se restan.

Ejemplo: Resolver

1834

2853

yx

yx

Se igualarn los coeficientes de x. La primera ecuacin se multiplica por 4 y la segunda por 3.

23/14/

1834

2853

yx

yx

______________________________________________________________


54912

1122012

yx

yx A la primera ecuacin se le resta la

segunda

5829 y 229

58 yy

El valor encontrado se reemplaza en 1 o en 2 , si se elige 2 , se tiene que

6

244

18234

x

x

x

Caso Especial

Es conveniente tratar en forma especial el sistema

byx

ayx

22

bay

bax

x es igual a la semisuma de a y by es igual a la semidiferencia de a y b

Ejemplos:

1. 9

19

yx

yx

52

919

142

919

y

x

2. 24

20

yx

yx

2

22

y

x

______________________________________________________________


GUIA 2: REPASO ALGEBRA BASICA

PRODUCTOS NOTABLES

EL CUADRADO DE UN BINOMIO 222 2)( bababa

a. b a a b b

a b

SUMA POR SU DIFERENCIA: 22 b - ))(( ababa

CUBO DE UN BINOMIO: 32233 33)( babbaaba

PRODUCTO ENTRE DOS BINOMIO DE LA FORMA:

abxbaxbxax )())((2

2). Desarrolla las expresiones:

1) (2m 4n) = 2) (a + 3b) = 3) (3n 2m) = 4)

2

4

3

2

1yx

5) ( 7 + ab)(7 ab)= 6)

8

3

5

4

8

3

5

4aa = 7) (3xy 1)=

8) (1,2m + 3,4p) = 9) (x 8)(x 12) = 10) (y + 9)( Y + 21)=

a 2

ab

______________________________________________________________


FACTORIZACIN Factorizar un nmero consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.

Ejemplo: Factoriza 20 en dos de sus divisores: 4 5, es decir 20 = 4 5 Y en lgebra, qu ser factorizar una expresin algebraica? Cuando realizamos las multiplicaciones:

i) 2x(x2 3x + 2) = 2x3 6x2 + 4x ii) (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorizacin es el proceso inverso de la multiplicacin. 1. FACTOR COMUN MONOMIO: EJERCICIOS. Halla el factor comn de los siguientes ejercicios:

1. 6x - 12 =

2. 24a - 12ab = 3. 14m2n + 7mn =

4. 8a3 - 6a2 = 5. b4-b3 =

6. 4x - 8y =

7. 10x - 15x2 = 8. 4m2 -20 am =

9. ax + bx + cx = 10. 4a3bx - 4bx =

11. 3ab + 6ac - 9ad = 12. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

13. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 14. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

2. FACTOR COMUN POLINOMIO: Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin:

Ejemplo n 1. Factoriza x(a + b) + y(a + b) = Existe un factor comn que es (a + b) = x(a + b) + y(a + b) =

______________________________________________________________


= (a + b) (x + y) EJERCICIOS.

1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 3. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 4. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 5. a( a + b ) - b ( a + b ) = 6. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = 7. ( a + 1 ) - b (a + 1 ) = 8. a(2 + x ) - ( 2 + x ) = 9. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 10. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )=

3. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS. Se trata de extraer un doble factor comn.

Ejemplo n1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimos p(a + b) + q(a + b) Se saca factor comn polinomio (a + b) (p + q) EJERCICIOS:

1. a2 + ab + ax + bx = 2. ab - 2a - 5b + 10 = 3. am - bm + an - bn = 4. 3x2 - 3bx + xy - by =

5. 3a - b2 + 2b2x - 6ax =

6. ac - a - bc + b + c2 - c = 7. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = 8. ax - ay - bx + by - cx + cy = 9. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 10. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

11. z7x5yz3

143xy

3

10xz

4

21x

4

15 2

12. bn5

16bm

5

4am

3

8am

3

2

______________________________________________________________


13. ab + 3a + 2b + 6 =

14. 2ab + 2a - b - 1 =

15. 3x - 9ax - x + 3a =

16. 6ab + 4a - 15b - 10 =

17. a + a + a + 1 =

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c EJERCICIOS: Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:

1. x2 + 4x + 3 = 2. a2 + 7a + 10 =

3. b2 + 8b + 15 = 4. x2 - x - 2 =

5. r2 - 12r + 27 = 6. s2 - 14s + 33 =

7. h2 - 27h + 50 = 8. y2 - 3y - 4 =

9. x2 + 14xy + 24y2 = 10. m2 + 19m + 48 =

11. x2 + 5x + 4 = 12. x2 - 12x + 35 =

5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2+ BX + C EJERCICIOS:

1. 5x2 + 11x + 2 = 2. 3a2 + 10ab + 7b2 =

3. 4x2 + 7x + 3 = 4. 4h2 + 5h + 1 =

5. 5 + 7b + 2b2 = 6. 7x2 - 15x + 2 =

7. 5c2 + 11cd + 2d2 = 8. 2x2 + 5x - 12 =

9. 6x2 + 7x - 5 = 10. 6a2 + 23ab - 4b2 =

11. 3m2 - 7m - 20 = 12. 8x2 - 14x + 3 =

13. 5x2 + 3xy - 2y2 = 14. 7p2 + 13p - 2 =

15. 6a2 - 5a - 21 = 16. 2x2 - 17xy + 15y2 =

17. 2a2 - 13a + 15 =

______________________________________________________________


6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJERCICIOS:

1. 9a2 - 25b2 = 2. 16x2 - 100 =

3. 4x2 - 1 = 4. 9p2 - 49q2 =

5. 36m2n2 - 25 = 6. 49x2 - 64t2 =

7. 169m2 - 196 n2 = 8. 121 x2 - 144 k2 =

9. 22 b36

49a

25

9 10. 44 y16

9x

25

1

11. 3x2 - 12 = 12. 5 - 180f2 =

13. 8y2 - 18 = 14. 3x2 - 75y2 =

15. 45m3n - 20mn = 16. 2a5 - 162 a3 =

7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 =

1 Halla la raz cuadrada del primer trmino 9x2: 3x 3x 2 Halla la raz cuadrada del tercer trmino 25 con el signo del segundo trmino -5 -5 luego la factorizacin de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2 EJERCICIOS:

1. b2 - 12b + 36 = 2. 25x2 + 70xy + 49y2 =

3. m2 - 2m + 1 = 4. x2 + 10x + 25 =

5. 16m2 - 40mn + 25n2 = 6. 49x2 - 14x + 1 =

7. 36x2 - 84xy + 49y2 = 8. 4a2 + 4a + 1 =

9. 1 + 6 + 9a2 = 10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

11. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 12. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

______________________________________________________________


EJERCICIOS DIVERSOS:

1. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 2. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

3. b2 - 3b - 28 = 4. a2 + 6a + 8 =

5. 5a + 25ab = 6. bx - ab + x2 - ax =

7. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 8. ax + ay + x + y =

9. 8x2 - 128 = 10. 4 - 12y + 9y2 =

11. x4 - y2 = 12. x2 + 2x + 1 - y2 =

13. (a + b )2 - ( c + d)2 = 14. a2 + 12ab + 36b2 =

15. 36m2 - 12mn + n2 = 16. x16 - y16 =

8. OTROS CASOS DE FACTORIZACIN 1. DIFERENCIA DE CUBOS: a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) Ejemplo: 8 x3 = (2 x) (4 + 2x + x2) 2. SUMA DE CUBOS: a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 3a + 1)

1. 64 x3 = 2. 8a3b3 + 27 =

3. 27m3 + 6n6 = 4. x6 y6 =

5. 27

8

8

1 3 x = 6. 64

13 x =

______________________________________________________________


FRACCIONES ALGEBRAICAS Factorice y simplifique:

7) ba

ba

55

22

= 8)

yx

yx

44

22 22

=

9) 54

12

2

zz

z= 10)

22

22

94

32

yx

xyyx

=

11) 502

1522

2

x

xx= 12)

245

892

2

aa

aa=

13) 345

23

24324

4282

xxx

xxx

= 14)

254

252042

2

x

xx=

15) 224

224

96

155

bbaa

baba

= 16)

pp

ppp

6436

3248183

23

=

17) 43

1624

4

xx

x= 18)

xxx

xx

baa

ba

22 2

22

=

19) xx

xx

aa

aa

2

332

= 20) xx

xxxx

22

22

32

3232

=

21) 22

221

22

a

a

= 22) 23

3223

33

22

xyx

yyxyxx

=

23) aa

aa

254

1523

2

= 24)

22

33

yx

yx

=

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

25)

9 -

4 -2

2

x

xx .

23 4 -

15 5

xx

x= 26)

6 - -

2

4 -

2 -

xx

x

x

x22

=

27) 2

2

2) (

4 2

x

xx :

4 -

8 - 2

3

x

x=

______________________________________________________________


28) 5

2510

352

7

152

3

a

aa

aa

a

aa

a

29) 23

1

6

3

107

5

aa

a

aa

a

aa

a=

30) 2

8

245

103

x

x

xx

xx= 31)

3612

25

152

183

cc

c

cc

cc=

32)

x

xxxx

x

422

646

= 33) 100

7132

3013

3722

2

r

rr

rr

rr=

34) 2510

255

2510

1252

2

2

3

aa

aa

aa

a=

35) 32 2

24

35142zzz

z

zzz

=

36)

216

216

36

3612653

3

2

22

a

a

a

aaaa=

37)

3146632411

1833

664162

2

2

2

cccc

cc

cc

ccc=

38) 2

2

16

163

4

3

4

8

w

w

w

w

w

= 39)

8103

13

276

222

zz

z

zz

z=

40) 22

4

ba

ab

ba

ba

ba

ba

=

Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

1) 4

8

2

1

2

12

www

2) 3

2

45

63

9

26 x

x

xx

______________________________________________________________


3) 6

5

32

53

31

382

2

ww

w

ww

ww 4)

9

16

1

1

1

1

z

zz

z

z

zz

z

5) 2

11

94

273

x

x

xx

x 6)

93

2

96

3

62 2

a

a

aaa

a

Problemas: Plantee y resuelva. 1. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 ms que

al menor. Cunto dinero le corresponde a cada uno? 2. La suma de dos nmeros es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le

resta 5, se obtienen dos nmeros tales que el primero es el doble que el segundo, Cules son los nmeros?

3. Encuentra dos nmeros tales que se suma sea 42 y su diferencia 6. 4. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. Cuntas monedas

de $10 y de $50 tiene?

5. Uno de los lados de un tringulo mide 4

5 del lado menor, mientras que el lado

mayor mide 3 centmetros ms que el ltimo. Si el permetro del tringulo es de 45 centmetros, encuentra la magnitud de cada lado del tringulo.

6. En un colegio, hay 300 alumnos de ambos sexos. Salen de excursin 155 de

ellos. Se sabe que la excursin fueron el 60% de los alumnos y el 40% de las alumnas. Cuntos son los alumnos y cuntas las alumnas en el colegio?

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas: 1) 2z (z 6)+5(z 6)= 0 2) (2x + 3)(x 2) + 5(x 3) = ( x 3)(x + 3)

3)

497

11

x

x

x

x

4) 04

2

xm

xm

xm

xm

______________________________________________________________


Problemas: Plantee y resuelva. 1) Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de hijos y nietos es 56, cuntos hijos y nietos tiene? R: 7 y 49 2) Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.

R: 64 y 66

3) El numerador de una fraccin es 3. Si se suman 4 unidades al denominador, el valor de la fraccin disminuye en 1. Cul es la fraccin original? 4) Durante la liquidacin de utensilios mdicos, una persona gast $231.000 en inyectables para su clnica. Si cada inyectable hubiera costado $1.250 menos, habra podido comprar 5 inyectables ms por la misma cantidad de dinero. Cuntos inyectables compr originalmente? Cul fue el precio original de cada inyectable?

______________________________________________________________


GUIA 3 REPASO ALGEBRA BASICA

Unidad: Ecuaciones de primer grado y segundo grado I Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes enteros:

a) 8324 xx f) xxx 26632

b) 712 xx =2x g) 321312115 xxx

c) 12323 xx h) 43759072 xxxxxx

d) xxx 713 22 i) xxxxxx 2722635385

e) 246152 xxx j) 222 8242 xxx II Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes fraccionarios;

a) 9

35

6

12

8

3

xxx f) 74

6

110

4

316

x

xx

b) 4

105

8

32

6

1

xxx g)

3

22

3

1

9

2

xx

xx

c) 2

73

12

3x

xxx

h)

2

253

3

325

4

525

xxx

d) 1323

112 xx i)

12

1

3

14

6

15

4

3213

x

xxx

e) 146

15

4

34

x

xx j)

21

65

10

7

14

15

20

113

xxxx

III Resuelve las siguientes ecuaciones con una incgnita en el denominador:

a) 32

7

3

5

xx f)

1

3

1

2

1

12

xxx

______________________________________________________________


b) 12

42

5

3

x

x

x

x g)

224

22

4

1

12

xxx

c) 023

3

13

2

x

x

x

x h)

16

24

4

4

4

42

xx

x

x

x

d) 2

1

8510

19952

2

xx

xx i) 6

1

35

275 2

xx

x

xx

e) 1

31

3

12

x

x

x

x j)

62

78

32

63

2

422

2

xx

x

x

x

x

x

IV Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes literales: a) aax 2 b) 42 bxax

c) 2

a

bx

b

ax d)

e) 32

3

2

4

ba

x f)

a

a

bxb

b

ax

g) axbbabxa 22 h) mxmx 66

i) 1ab

cx

ac

bx

bc

ax

V Problemas con enunciado.

1. De qu nmero hay que restar 4

15 para obtener la sexta parte de ese nmero?

R: 63/10

2. De un estanque lleno de parafina se consumi una cantidad equivalente a los 8

7

de su capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina slo llega a las 5

3partes. Cul

es su capacidad? R: 80 litros

aa

x

a

x

2

11

2 2

______________________________________________________________


3. Un depsito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. En cunto tiempo se llenar el depsito abriendo las dos llaves a la vez?

R: 1 hr. , 30 min. 4. La suma de dos nmeros es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por

10, la diferencia de los cuocientes es 6. cules son los nmeros? R:160 y 40

5. Hallar tres nmeros enteros consecutivos tales que la suma de los 5

3 del menor

con los 6

5 del mayor exceda en 31 al nmero del medio.

R: 70,71 y 72 6. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple

de la menor da 2 como cuociente y 40 de resto.

May: 200; men. 60

7. Jorge tiene 3

2 de lo que tiene Alicia, y Mnica tiene

5

3 de lo que tiene Jorge. Si

juntos tienen $ 24.800. Cunto tiene cada uno? J: 8.000; A: 12.000; M: 4.800

8. Marcela tiene 18 aos ms que Karla. Hace 18 aos, la edad de Marcela

equivala a los 2

5 de la edad de Karla. Hallar las edades actuales.

9. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $

25.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda.

10. Si me adivinas cuntas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta

parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte ms una nuez. Cuntas nueces tena Lucho?

11. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cay

prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte muri y se salvaron 25 soldados. De cuntos soldados se compona la patrulla?

______________________________________________________________


12. Si a un nmero se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un nmero que tiene 5 unidades menos que el nmero dado. Cul es el nmero?

13. Cierto nmero de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada

uno paga $ 435. faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. A cunto ascenda la cuenta y cuntas personas eran?

14. Un obrero puede hacer un trabajo en 12 das y otro en 15 das. En cunto

tiempo hacen el trabajo los dos juntos? 15. Un depsito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4

horas, pero una tercera puede vaciarlo en 6 horas. En qu tiempo se llenar el depsito abriendo las tres llaves a la vez?

16. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 aos, la edad de la

primera era el doble de la edad de la segunda y que 12 aos despus de la edad

actual, la edad de la segunda ser 4

3 de la edad de la primera.

17. Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique

reciba 4

3 de la parte de Luciano ms $ 180. y Luis

6

5 de la parte de Enrique ms

$ 120. Cunto recibe cada uno? 18. En una reunin hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de nios que

de hombres y mujeres juntos. Cuntos hombres, mujeres y nios hay si en total hay 156 personas?

19. Uno de los lados de un tringulo mide 4

5 del lado menor, mientras que el lado

mayor mide 3 centmetros ms que el ltimo. Si el permetro del tringulo es de 45 centmetros, encuentra la magnitud de cada lado del tringulo.

20. Los viajeros de un avin pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 65 personas. Colocando en orden decreciente los nmeros de los que

corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 3

2 del anterior.

Cuntos viajeros de cada nacionalidad hay?

______________________________________________________________


21. La suma de dos nmeros es 240. Si se divide el nmero mayor por el menor, el cuociente es 3 y el resto es 8. Cules son los nmeros?

Despeja la letra indicada en cada ejercicio

22. a, si r1

naraS

23. f, si

1

f

25

F

LM

24. f , 21

111

fff 25. a , 2

2

1tatvd i

26. vi , vf2 vi2 = 2ad 27. F , 329

5 FC

28. vf , t

vva if

Ecuacin cuadrtica o de segundo grado en una variable

Ejercicios: Resuelva utilizando cualquier mtodo de resolucin para las siguientes ecuaciones cuadrticas:

1. (2x + 3)(x 2) + 5(x 3) = ( x 3)(x + 3) R: x 1 = 2 ; x 2 = -6

2. 9x2 = 1 R: x1 = 3

1 , x2 = -

3

1

3. xx

xx 2

3

33

2

4

R: x1 = 31 ; x 2 = 31

4. 4x - 36 = 0 R: x 1 = 3; x 2 = -3

5. 4x + 4x 15 = R: x1 = 2

3 , x2 = -

2

5

Problemas de planteo:

1. Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de hijos y nietos es 56, cuntos hijos y nietos tiene? R. R: 7 y 49 2. Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.

______________________________________________________________


R: 64 y 66

3. El numerador de una fraccin es 3. Si se suman 4 unidades al denominador, el valor de la fraccin disminuye en 1. Cul es la fraccin original? 4. La superficie de un terreno rectangular es 360m y el largo excede al ancho en

dos unidades. Calcule el permetro del terreno. R. 75m 5. Dos nmeros estn en la razn 5:4 y su producto es 980. Calcule los nmeros. R: 28 y 35 6. Una caja rectangular mide 5cm de altura y su largo tiene 5cm ms que su

ancho. Si el volumen de la caja es 500cm, calcule el largo y el ancho de la caja. R. 20 y 15 cm 7. Se desea construir una caja de base cuadrada, y sin tapa, a partir de una pieza cuadrada de cartn. En cada esquina de esta pieza se cortarn cuadrados de 3 cm de lado, y luego se doblarn hacia arriba los rectngulos resultantes. Si se desea que la caja tenga un volumen de 432m Cuntos cm de cartn se tenan al principio? R. 324cm 8. Dos barcos abandonan el puerto al mismo tiempo y se dirigen uno hacia el Sur y el otro hacia el este. Horas mas tarde, se encuentran a 170 millas uno de otro. Si el barco que viaja hacia el Sur ha recorrido 70 millas ms que el otro Cuntas millas han viajado cada uno? (considere un tringulo rectngulo en el plano)

R. Barco al Sur 150 millas; Barco al Este 80 millas 9. Un negocio, al producir y vender x artculos, obtiene una utilidad U(en dlares) dada por la frmula: U=300x - x +5.520; para x 20Cuntos artculos hay que producir y vender para obtener una utilidad de US$ 9.795? R. 285 artculos

______________________________________________________________



Unidad: Ecuaciones de todos los tipos

I) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios

1. 5x

3

1x

2

1

R. 6

2. 3x

6

5

2

1x

3

1

R. 3

3. 1x

6

52x

4

3

R. 12

4. 3

5

x2

4

x6

2

x

R. 20

5.

3

2x

9

2

12

7x

4

3

18

xx

6

5

R. 5

6.

2

3x

10

31x

5

42x

8

3

R. -20/29

7.

4

3

2

x53

3

x35

6

3x8

8

5x4

R: 1/8

8.

9

1x2

4

1x

2

1

9

4x

4

3x

R. -5

9.

8

1x5

4

3x

3

1x21

2

5x3

R. 5

10.

10

5x8

3

x4

3

x7

4

1x

5

8x3

R. 17/23

II) Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado

1.

x6

x731

3

1

x4

9

x3

8

x2

7

R. 5/2

2.

x

32

x

11

R. 4

3.

x

3

2

3

x

5

R. 4/3

4. 0

72

13

x24

1

x12

1

x9

1

x8

1

R. 2

______________________________________________________________


5.

x14

11

4

1

x

1

x7

8

14

5

x4

3

R. -1

6. 25,1

x6,1

5

x8,0

3

R. 1/2

7.

x5,1

16

3

7

x6,0

5

R. 1

8. 2

3x

7

R.13/2

9. 0

2

5

2x

3

R. -16/5

10.

1x

3

1x

2

R. -5

11. 0

1x6

x6

1x3

2x3

R. 2/15

12. 0

3x

11

3x2

13

R. 8

13. 0

x2

5x2

3x

4x

R. -5/3

III) Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias

1.

xx

x

2

1

10

1

-5/2 y 2

2.

431

1

12

2

xx

x

x

0

3.

x

x

x

11

51

3/2

4. 1

3

3

x

x

3/2

5. 0

12432

xxx

2, -2 y 3

6.

xx

x

21

11

1 y -1

7.

51

1

x

x

3/2

______________________________________________________________


8. 0

12

3

2

2

x

x

x

x

2

739

9. 1

52

x

x

No hay sol. en R

10. 03

62

x

xx

102

11. 3

)1(4

868

)1(2

1102

2

x

xx

x

x

-1 /8

12.

8

7

7

6

5

4

4

3

x

x

x

x

x

x

x

x

6

13.

16

49

2

3

2

8

82

8

52

x

xx

x

x

No hay sol. en R

14.

1

214

11

4

1

123

2

4

2

23

xxx

x

x

x

xxxx

659

15. 0

2

6

2

332

xxxx

x

No hay sol. en R

IV) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales

1. 0321 xx 2

2. 0321 xx No tiene solucin

3. 2 xx 4

4. 2 xx 1

5. 4732 xx 114

6. 18233 xx 10 + 46 7.

411

1

xx

xx

9/16

8. 542522 2 xxx

25/4

9. 7212 xxxx 2

10

4

5

4

2

4

xx

x

12

______________________________________________________________


11.

24

6

6

4

x

x

x

x

1

12. 1224 22 xxxx 3 y 5/7

13.

x

x

x

x

4

4

204

4

14. 11 24 xxx

0 y 5/4

15. 32

32

2278

x

x

xx

11

16. mmxmmm 618243

4m

17. 7411354 2 xxx 4

18. xxx 233

9

19.

x

xx

2

1

1

2

1

1/16

20. 62

1

1

1

1

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

4 y -4

21. xx 1352

9

22.

xa

axaxa

5

1255

4a y 3a

23. xx 215 4

24.

21311 x

2601

______________________________________________________________



Calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las races

y de las potencias. (Suponer todas las cantidades sub-radicales positivas)

1)

ba

baba

ba

ba 2222 2: ba 2)

2222 2

1

2

1

yxyxyxyx

3) 3

3

2

6 313 4)

27

12

5

5 325 5)

66

2

6) 3 3 33 :

9 53 7) 4 xy 121

x 8)

4

22

a

aa

9) 3 4 3x 6 x x 10) 24250 11) 5

3

6 64

13

z

zz : 60 z

12) 116 2 x siendo x = 2

3

3

2 13)

n

n

nn

1

2

1

4

1

3

399

14) 22222 15) 65618193

16) Resolver la ecuacin exponencial.

15 32 xa : 20 94 xa =

30 278 xa 24 681 xa : 4 9a

17) )1()1()1( xxx

______________________________________________________________


18) 4 4913

4 175

ayx

yxa

4 55

4 94

yxb

xyb 19)

4

22

2

ba

b abb

ba

xx

x

20)

5,1

3

2

3

b

a:

2

12

6 35,0

ca

ba 21)

3 21

6632

16632

yxxyxxx

yx =

22)

6

2/1

3/12

3/1

2/1

4 1

3

b

a

a

b

b

a 23) nnn 4629

24)

c

b

a

bc

b

ac

b

ca

c

ba

c

ab

464

5

4

3

32

2

: 322

bc

ba 25)

4

31

5

221

221

xy

yx

xy

yx

26)

2

4

46

13

2

ab

ba:

ab

ba

27)

3

1

43

4

3

1

3

1

2

1

:: xaxxa

28)

a

aa

n n

n

n

n2

112

=

______________________________________________________________


Respuestas:

1) 2 2) - 22

2

yx

y

3) 3 4) 25 5)8

6) 3 7) 24 3xy 8) a

a 9)

6 5x 10) 44 2

11) 1 12) 6 13) 27 14) 32 312 15) 9 16)

10

3

17) (x-1)7/8 18)

3

x

y 19) x16(a-b) 20) a8 c2

21) yx

1 22) b4 b 23) 3n - 2n 24) 6

22

c

ba

c

a

25) 322

1

1

xx 26)

b

a3 27) 9

1

x 28) aa nn 1

1.Apunte 0 de Repaso Algebra Basica

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