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P~im.era. edici&n. ar1ti."1-iz1"1.d-.1- 1.h.iT~ la CODECCION
HISTORIA Y Ji'I LOSOFIA DE LA CIENCIA
Queda hecho el deptcitc que pre:1~ir.r.e la. ley N'! 11.723
Toda.s las catacterlsticas grficas de esta. coleccin ha,n. 'fido
rcg-i.strada~ en la oficina de Paientes 11 Ma.rcas de
la Naci&n.
Copuright b11 Cia.. Edito,::. Esp1Um-Calpe Argentina, S. A.
3"""'' A ir B, :i 945. ~
PRINTED IN ARGEN7'1NE
Acabado ck imprimir d dfo 20 de a.bril de 1945.
8ebnstin dt. A.m9_rrorfo e hij()s, S. R L .. C6rdoba. 2028.
Bu.eno.-; Aire.e-
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INDICE
PREFACIO ................ .; .......... .. ...... .
CAPT ULO I LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLDEO
1-5.
6.
7-1 O.
El postulado de las para. las entre los ge-metras griegos . . .
. . . . . ... ........ .
El po~t,1lado de las l)ataleias entre los rabe~
............................... .
El po~tul 1do de las paraleias durante ei Re nacimiento y el
siglo XVII ...........
"' C . .i ?iTULO II
LOS PRECURSORES DE LA GEOMETRA NO EUCLIDIANA
Pg.
15
rn
26
29
" 11-17. Gerolamo Saccheri (1667-1733) . . . . . . . . . . 37
18-22. Juan Emique Lambert (1728-1777) . . . . . . 56 23-26. Los
gemetras franceses de fines del si-
27-28. 29. 30.
glo XVIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 63 Adriano Maria Legendre (1752-1833) . . . . . . 66 Wolfgang
Bolyai (1775-1856) . . . . . . . . . . . . 70 Federico Luis
'\Yachter (1792-1817}....... 72
CAPTULO III
LOS FUNDADORES DE LA 1;EOMETRA NO EUCLIDIANA
31-34. 35. 36.:{8
Cados Federico Gau:;s (17"77-1855) ...... . . Femando Carlos
Schweikart (1780-1859) .. Frar1cisco Adolf,-. Taurinus (1794-1874)
... .
75 81 83
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NOTA (1 )
En los ltimos aos se oye por dondequiera un mo-ntono treno sobre
la cultura fracasa,da y concluda. Filisteos de todas la.s lenguas y
todas las observancias se inclinan ficticianumte compungidos sobre
el cadver de esa cultura, que ellos no han engendrado ni nutrido.
La guerra mundial, que no ha sido tan mundial como se dice, parece
ser el sntoma y, al par, la causa de la defflmei6n.
La verkd es que n-0 se comprende cmo una guer ra puede destruir
la cultura. Lo ras a que puede aspirar el blico suceso es a
supriniir las personas que la crean o transmiten. Per.o la cultura
misma queda siempre intacta de la espada .y el plomo. Ni se
sospecha de qu otro nwdo pueda sucumbir :u:na cultura que no sea
por propia detencin, dejando de produdr nuevos pensa-mientos y
nuevas normas. lrfientras la idea de ayer sea corregla por la idea
de hoy, no podr hablarse de f rdcaso cultural.
Y, en efecto, Lejos de existir ste, acont~e que, al menos la
ciencia, experimenta en nuestros df.as un in-comparable crecimiento
de 1titalidad. Desde 1900, co-incidiendo peregrinamente en la.fecha
inicial del nuevo siglo, comienza11. a elevarse sobre el ko:rizmte
ir..te-Zectu.al pensamientos de nue11a trayectoria.
Espordica-mente, sin percibir su radical parentesco, aparecen en
unas y otras ciencias teorias que se caracterizan por disentir de
las dominante3 en. el siglo XIX y lograr su superacin. Nadie hasta
ahora se haba fijado en q.u.e toda.s esas ideas que se hallan en su
hora de oriente, a pesar de referirse a los asuntos ms disparejos,
po-seen una fisonoma comn, una rara y sugestiva uni-dad de
estilo.
(1 ) Escrita por don Jos Ortega y Gasset para Ja 1~ ed.,
pu-b1icada por Calpe en su coleccin Bibliote~a de ideas del si-glo
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12 NOT A
Desde hace tiempo sosiengo en mis escritos que existe ya un
organismo de ideas peculia1es a e,~te si glo XX que ahora pasa por
nosotros. La ideologf.a, del siglo XIX, vista desde ese organismo,
parece 1ma pobre cosa tosca, manitica, imprecis, inelegante y sin
re-medio periclitada.
Esto, que era en 1nis escritos poco ?ns que una pri-vada
afirmacin, podr recibir ahora und prueba bri-llante con la
Biblioteca de Ideas del siglo XX.
Bn ella reno las obras ms caracterstica$ del tiem-po nuevo,
donde principian su vida pensamientos antes no pensados. Desde la
matemtic.a a la esttica y la historia, procurar esta coleccin
mostrar el nuevo es-pritu labrando su miel futura sobre toda la
flora in-telectual. Claro es que tratndose de una ideologL en plena
mocedad no podr pedirse que extstan ya trata-dos clsicos donde
aparezca con una perfeccin siste-mtica. Es ms, algunos de estos
libros contienen, junto a las ideas de nuevo perfil, residuos de la
anti-gua manera, y como las naves al ganar la ribera, mien-tras
hincan ya la proa en la arena aun se hunde su timn en la
niarina.
.. .. *
Hablar de ideas del siglo XX frente a ideas del siglo XIX slo
puede parecer caprichoso a quien no advierte que las ideas estn en
ima relacin con las pocas muy parecida a. la que sufren las plantas
en los climas. Una poca viene a ser un clima intelectual, el
predominio de ciertos princ-ipios atmosfricos que fa-vorecen o
agostan determinadas cosechas. Un claro ejemplo de esto es lo
ocurrido con las tendencias de renovacin matemtica que bajo el
ttulo de geome-tras no euclidianas se inid.aron en la pasada
centuria. L
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PREFACIO
El material reunido hace ya tiempo acerca de los orgenes y
desarrollo de la Geometra no euclidiana, el inters que han
adquirido las exposicicnes histri-cocrticas de los fundamentos de
las disciplinas cien-tficas, me han impelido a ensanchar los lmites
de la primera parte de mi artculo iSobre la teora de las paralelas
y la Geometra no euclidiana:., includo, aho-ra hace seis aos, entre
las (1) , reunidas y coordinadas por el profesor F. ENRIQUES.
El artculo, completamente rehecho para la versin alemana de
aquella obra, trata preferentemente la par-te constructiva del
tema; este libro est dedicado, en cambio, a una difusa exposicin de
la historia de las paralelas y al desarrollo histrico de las
geometras de LoBATSCHEFSKI-B-OLYAl y de ,,RIEMANN.
En el captulo primero, partiendo de . EUCLIDES y de los
comentadores ms antiguos del V postulado, he re-producido los
razonamientos ms caractersticos, con los que los griegos, los
rabes. y los gemetras del Re-nacimiento pretendieron establecer
sobre bases ms slidas la teora de las paralelas. En el captulo II,
principalmente con la obra de SACCHERI, LAMBERT y LEGENDRE, he
procurado poner bien a la vista el trn-sito de las antiguas a las
nuevas ideas, ocurrido a principios del siglo XIX; en los captulos
III y IV, a travs de las investigaciones de GAUSS, SCHWEIKART,
TAURINUS, y la obra constructiva de LOBATSCHEFSKI y BOLYA, he
expuesto los fundamentos del primero de los sistemas geomtricos
edificados sobre la negacin de la hiptesis V de EUCLIDES. En el
captulo V he trazado sintticamente los ulteriores desarrollos de la
Geometra no euclidiana, que surgen de las indagacio-nes de RIEMANN
y HELMHOLTZ sobre la estructura
( 1 J Bo!onia, ZanicheHi, 1900.
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16 PREFACIO
del espacio y de la extensin proyectiva de CAYLEY del concepto
de propie
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PREFACIO 17 ---------
He aqu, brevemente, el contenido cter libro. Antes de confiar
esta modesta obra al juicio de los
lectores benvolos, siento el deber de dar vivamente Is gracias a
mi amado maestro, el profesor FEDERICO ENRIQUES, por los preciosos
consejos con que me ha auxiliado en la disposicin y en el
contenido. crtico de la materia; al profesor CoRRADO SEGRE, ql!e
amabl&-mente ha puesto a mi disposicin el manuscrito de un
Curso de lecciones sobre la Geomet:ra no euclidiana explicado por
l, hace ahora tres aos, en la Univer-sidad de Turn; al querido
amigo profesor JUAN V Al-LATI, por las preciosas indicachmes
proporcionadas acerca de la Geometra griega y la ayuda prestada en
la revisin de las pruebas.
Finalmente, tambin al inmejorable Comm. CSAR ZANICHELLI, que ha
acogido solcitamente mi trabajo en su coleccin de obras cientficas,
se dirige asimismo mi ms sentida gratitud.
Pava, marzo 1906. ROBERTO BONOLA.
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GEOMETRAS NO EUCLIDIANAS
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CAPITULO PRIMERO
LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLfDEO
EL POSTULADO DE LAS PARALELAS ENTRE LOS GEMETRAS GRIEGOS.
l. EUCLIDES ( 330-275, aproximadamente, antes de J. C. ) llama
paralelas a dos rectas coplanarias que, prolongadas cuanto se
quiera, no se encuentran ( Def. XXIII) (1). Demuestra (Prop. XXVII,
XXVIII ) que dos rectas que forman con una transversal suya n-gulos
alternos internos iguales, o bien ngulos corres-pondientes iguales,
o ngulos internos de un mismo lado suplementarios, son paralelas ..
Para demostrar despus las inversas- de estas proposiciones,
EUCLIDES se apoya en el siguiente postulado (V) :
Si una lnea recta que corta a otras dos forma n-gulos internos
del mmw lado de la secante cuya suma sea menor de dos rectos,
aquellas dos, prolongadas ha-cia este lado, se encuentran.
La teora euddea de las paralelas se completa des-pus con los
siguientes teoremas:
Lneas rectas paralelas a una misma recta son pa-raielas entre s
(Prop. XXX).
Por un punto dado se puede trazar una sola recta paralela a una
recta dada (Prop. XXXI).
Los segmentos comprendidos entre segmentos igua-les y paralelos
son iguales y paralelos (Prov. XXXII).
Del ltimg teorema se deduce la equidistancia de las dos
oaralelas. Entre las consecuencias ms notables de e.sta -teora se
encuentra el conocido teorema sobre Ja
( 1 ) Para cuanto "e :elaciona con el texto eudideo nos
refe-riremos siempre a la edicin crtica de J. L. HEIBERG (Leipzig,
Teubner, 1883) .
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20 GEOMETRJAS NO EUC LIDIANAS
suma de los ngulos de un tringulo y las propiedades de las
figuras semejantes.
2. Desde los ms antiguos, todos Jos comentado-res del texto
eucldeo opinaron que el postulado V no era bastante evidente para
aceptarlo sin demostracin, por lo cual trataron de deducirlo
como"consecuencia de otras proposiciones. Para conseguir este
objeto, substituyeron a veces la definicin eucldea de las
paralelas, de forma gramatical negativa, con otras de-finiciones
que no presentasen dicha forma, supuesta defectuosa.
PROCLO ( 410-485) , en su Comentario al libro l de Euclides (1
), nos transmite preciosas noticias acerca de las primeras
tentativas hechas con este propsito. RefieJ:"e, por ejemplo, que
POSIDONIO (siglo I antes de J. C.) haba propuesto se llamasen
paralelas a dos rectas coplanarias y equidistantes. Esta definicin
y la eucldea corresponden, sin embargo, a dos hechos que pueden
presentarse separadamente, y PROCLO (pgi-na 177), refirindose a un
tratado de GEMINO (siglo I antes de J. C.), aduce a este propsito
los ejemplos de la hiprbola y de la concoide y de su posicin con
las respectivas asntotas, para mostrar que podra ha-ber lneas
paralelas en el sentido eucldeo, esto es, l-neas que prolongadas
hasta el infinito no se encuen-tran, y, sin embargo, no paralelas
en el sentido de POSIDONIO, esto es, no equidistantes.
Tal hecho es calificado por GEMINO, siempre al de-cir de PROCLO,
como el ms paradjico ( ?ta:pa:oo~'t"a:rnv) de toda la Geometra.
Queriendo luego concordar la definicin eucldea con la de
PosIDONIO, es necesario demostrar que dos rec-tas que no se
encuentran son equidistantes, o bien que el lugar de los puntos
equidistantes de una recta es una recta. Para tal demostracin,
EUCLIDES se apoya precisamente en su postulado.
PROcw (pg. 364) rehusa por elfo considerarlo en-tre los
postulados, observando, en confirmacin de tal opinin suya, que su
inversa (La suma' de dos ngulos
( 1 ) Para cuanto se relaciona con el texto de PROCLO nos
re-eri:reinos a la edicin dirigida p-0.r G. FRIEDLEIN. Procli
Diado-hi in primum Euclid;s eleme?ttOTtcm librum .Commcntarii (
Leip-zii., Teubner, 1873).
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LOS DEMOS1'RADORES DEL V POSTULADO EUCL!DEO 21
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de un tr.ngulo es m.enor que dos ngulos rectos) es un teorema
demostrado por EUCLIDES (Prop. XVII), no parecindole posible que
una proposicin cuya in-versa es demostrable no sea a su vez
demostrabl~. Pone tambin en guardia contra las abusivas llamadas a
la evidencia e insiste sobre la posible (hipottica) exis-tencia de
rectas asintticas (pgs. 191-2).
TOLO MEO (siglo n despus de J. C.), siempre al de-cir de PROCLO
(pgs. 362-5), intent resolver la cues-tin con este curioso
razonamiento. Sean A B, CD
" B
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dos paralelas; F G, una transversal; o; y p, los dos ngulos
internos a la izquierda de F G, y o;' y r los dos ngulos internos
de la derecha. Entonces la suma o; + p ser o mayor o menor o bien
igual a dos ngulos rectos. Admtase que si para un par de paralelas
se verifica, por ejemplo, el primer caso (a:+ p > 2 re~tos),
otro tanto ocurrir. para todos los dems pares. En-tonces, puesto
que las rectas F B, G D son paralelas entre s, como son paralelas
las rectas F A, G C, de
......... /' a: + ~ > 2 rectos se deduce: a:' + p' > 2
rectos.
De aqu se sigue: ~ + p + a'+ ~ > 4 rectos, lo que es
manifiestamente absurdo. Luego no puede ser a + ~ > 2 re-;t'os.
Del mismo modo se de~uestra que no puede
.........
ser a + p < 2 rectos; por consiguiente, ser a: + ~ =
.........
2 rectos (PROCLO, pg. 365) . De este resultado se deduce
fcilmente el postulado
eucldeo.
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22 GEOMETR1AS NO EUCLIDIANAS
~ 3. PROCLO (pg. 371), despus de haber critica-do el
razonamiento de TOLOMEO, intent alcanzar el mismo objeto por otro
camino. La demostracin de PROCLO reposa sobre la siguiente
proposicin, que l considera comQ evidente: La distancia entre dos
puntos situados sobre dos rectas que se cOTtan puede hacerse tan
grande como se quiera, prolongando suficiente-mente las dos rectas
(1). De sta se deduct; el lema:
Una recta que encuentra a una de dos paralelas en-cuentra
necesariamente tambin a la otra.
He aqu la demostracin del lema dada por PROCLO: Sean A B, C D
dos paralelas, y E G una transversal,
E---=--=- F e A ~G
e 1> Fiir.ira 2
incidente en F sobre la primera. La distancia de un punto
variable sobre el rayo F G a la recta A B crece ms all de todo
lmite cuando el punto se aleja inde-finidamente de F, y puesto que
la distancia de dos paralelas es finita, la recta E G deber
necesariamen-te encontrar a CD.
PROCLO introduce, por consiguiente, la hiptesis de que la
distancia de dos paralelas se mantiene finita, hiptesis de la que
lgicamente se deduce la de EU-CLIDES.
4. Que el postulado de EucLides fuese objeto de discusiones e
investigaciones entre los griegos, resul-ta tambin de la siguiente
pradjica argumentacin, con la cual, al decir de PROCLO (pg. 369),
se preten-da demostrar que dos rectas cortadas por una tercera no
se encuentran, aun cuando la suma de los ngulos
( 1 ) Esta proposicin, considerada como evidente, es apoyada por
PROCLO con la autoridad de .;\RISTT:::LES: Cfr. cDe Coelo, I, 6~.
Una rigurosa demostracin de la proposicin en cuestin fu dada por el
padre G. SACCHERI, en la obra -citada en la p-gina 37.
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LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLtDEO 2S
internos de un mismo lado sea menor que dos ngulos rectos.
Sea A Cuna transversal de las dos rectas A By CD, y E el punto
medio de A C. Hacfa el lado de A C, en que la suma de .los ngulos
internos es menor que dos ngulos rectos, se toman sobre A B y C D
los segmen-
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Figura 3
tos A F y C G, iguales a A E. Las dos rectas A B y C D no pueden
encontrarse entre los puntos A, F y C, G, porque, en un tringulo,
cada lado es menor que la suma de Jos otros dos.
Uniendo despus los puntos F, G, a partir del seg-mento F G, se
repite Ja precedente construccin, esto es, se determinan sobre A B
y C D los dos segmentos F K, G L, cada uno igual a la mitad de F G.
Las dos rectas A B y CD no podrn encontrarse entre los puntos F, K
y G, L. Y puesto que esta operacin puede repetirse indefinidament
e, se concluir que las dos rectas A B y CD no se pueden encontrar
jams.
El vicio principal de la argumentacin reside ..131 emitJeQ del
mfm1to, puesto que los segme~_AF, t . . . podran, por disminuciones
sucesivas, tender a cero y su serie ser hnit. El autor de
la-"Pa_r.a.do.ia ha hecho uso del mismo principio con el g_p~Z..ENN
1:495-435 antes de J. C.) pretella!ademostrar Qlle AquILEs no
alcanzara a Ja foi.fiiiii, aun movindose con una velociaaa @e. de
la veJocjdad a.e esta filtiii.
Esto fu ooservado, bajo otra forma, por PROCLO (pgs. 369-70),
diciendo que lo que as se demuestra es que, con el susodicho
proceso, no se puede alcan-zar el punto de encuentro (determinar:
o(l!l:etv), no que ste no exista.
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24 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS
PROCLO observ adems que cpuesto que la suma de . dos ngulos de
un tringulo es menor que dos ngulos
rectos (Eucr,IDES, XVII), existen rectas que, cortadas por una
tercera, se encuentran hacia el lado en que la suma de los ngulos
internos es menor que dos ngulos rectos; as, a quien afirme que
para una diferencia cualquiera entre dicha suma y dos ngulos rectos
lap dos rectas no se encuentran, se puede responder que para
diferencias menores las . rectas se encuentram.
. De lo que siga resultar que la duda aqu presentada por PROCLO
tiene fundamento solamente en el caso en que el segmento A C de la
transversal (fig. 3) perma-nezca. invariable, mientras las dos
rectas del par, gi-rando alrededor de los puntos A y G, hacen
variar su diferencia.
5. Otra demostracin bastante antigua del pos-tulado V, referida
en el Comento rabe d\f AL-NIRI-ZI (1) (siglo IX), llegada hasta
nosotros a travs de la traduccin latina de GERARDO DE CREMONA (2 )
(si-glo XII), es atribuda a AGANJS ().
La parte de este comentario relativa a las defini-ciones,
postulados y axiomas contiene frecuentes re-ferencias al nombre de
SAMBELICHIUS, que se identi-fica fcilmente con SIMPLICIUS, el
clebre comentaiis-
( 1 ) Cfr. R. 0. BESTHORN y J. L. HE:!BERG. Cod.$x Leid~s, 399,
I. Euclid~ ElMtUmta. X intsrwetaticne Al-Ha
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26 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS
dos partes iguales, y as sucesivamente M Z, en dos partes
iguales, etc ... , hasta que uno de los puntos me-dios P, M, ...
caiga en el segmento L Z. Si ste, por ejemplo, es el punto M,
trcese por M la recta perpen-dicular a E Z, que encontrar en N a la
Z D. Constr-yase finalmente sobre Z D el segmento Z C, mltiplo de Z
N, como Z E es mltiplo de Z M. En nuestro caso es: Z C = 4.Z N. El
punto C as . obtenido es el punto de encuentro de las dos rectas A
B y G D.
Para probar esto necesitaramoa demostrar que los segmentos
consecutivos e iguales Z N, NS, ... de la recta Z D tienen
pr,oyecciones iguales sobre la Z E. No nos detenemos en esto porque
tendremos que volver a ello en seguida (pg. 27). Por lo dems, el
razona-miento lo sugiere la figura misma de AGANIS.
Descubramos la caracterstica de la precedente cons-trucc~n:
estriba en el uso (implcito) del llamado postulado de Arqumedes,
necesario para fijar el seg-mento M Z, submltiplo del E Z y menor
que el L Z.
.~ EL POSTULADO DE LAS PARALELAS ENTRE LOS ARABES
~. Los rabes, sucesores de los griegos en la su-premaca de las
Matemticas, se ocuparon como stos en el V postulado. Algunos, sin
embargo, aceptaron sin ms las ideas y las demostraciones de sus
maestros, como, por ejemplo, AL-NIRIZI (siglo IX), cuyo comentario
a \as definiciones, postulados y axiomas del libro I est modelado
sobre la introduccin a los Elementos debida a SIMPLICIUS, y cuya
demostracin de la V hiptesis eucldea. es la arriba indicada ( 5) de
AGANIS.
Otros llevaron su contribucin personal a la cues-tin.
NASiR-EDDiN (1201-1274), por ejemplo, aunque demuestra el
postul,ado V, . adaptndose al criterio se-guido por AGANIS, merece
ser. recordado por 1 idea original de anteponer explcitamente el
teorema sobre la suma de losngulos de un tringulo y por la forma
acabada de su razonamiento (1).
He aqu la parte esencial de la hiptesis que l ad-mite: Si dos
rectas r y s, son la primera perpendicular,
l') Cfr. Euclidi8 elemento1-um libri XII ~tudio Nll.asiredini
(Roma, 1594). Esta obra, escrita en rabe, iu reproducida en 1657 y
1801. No existe ninguna traduccin de ella en otra lengua.
'Y
1 . , f'
1 i ,-
~ ...... ~~~~-- " - ~
LOS DEM OSTRADORES DEL V POSTU LADO EUCLtDEO !l.7
la otra oblicua al segmento A B, los segmentos de las
perpendiculares bajadas desde s sobre r son menores que A B en la
regi6n en que A B forma con s ngulo agudo, y mayores que A B en la
regin en que A B forma con s ngulo obtuso. Siguese inmediatamente
que si dos segmentos iguales, A B, A' B', caen hacia una misma
regin y perpendicularmente sobre la rec-ta B B', la recta A A' ser
perpendicular tambin a los dos segmentos dados. Adems se tendrS.:
AA'= BB', y, en suma, la figura AA' B'B es un cuadriltero con los
ngulos rectos y los lados opuestos iguales, esto es, un
rectngulo.
De este resultado NAsiR-EDDiN obtiene fcilmente que la suma de
los ngulos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos. Para el
tringulo rectngulo la cosa es manifiesta, puesto que es la mitad de
un rec-tngulo; para un tringulo cualquiera se obtiene el resultado
mediante la descomposicin del tringulo en dos tringulos
rectngulos.
Sentado esto, he aqu, rpidamente, cmo el gemetra rabe demuestra
el postulado ewde-0 (cfr. AGANIS) :
Sean A B y C D dos rayos, uno oblicuo y otro per-pendicular a la
recta A C. Sobre A B fjese el segmen-to A H, y desde H bjese la
perpendicular H H' sobre A C. Si el punto H' ae en C, o -bien en la
regin opues-ta a A respecto de C, los dos rayos A B y CD se en-
oc M. 'K.' H' A Figura 5
cuentran sin ms. Si H' cae entre A y C, trcese el segmento A L
perpendicular a A C e igual a H H'. Entonces, por todo lo
anteriormente dicho, ser: H L =AH'. Consecutivamente a AH tmese H
K, igual
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28 GEDMETRtAS NO zuCLIDIANAS
'AH, y desde K _ bjes Ia ~pe~~ndfoular K K' sobre A C . Siendo K
K' > ;H H'~ :t.lllgi,1$..f;;t!-)t~':~~,,;;.-.~ ~ .
. . .. : .. ~ ~~:ffi~~,i' .. , (?)_La, demo:rtnrei~;:;ae .
NA!$~JQ.lB~~}~..:ffo~ V _est
. daarrollil.da,detalladamen~ por eF:~~ in~ J.- WALLIS, en~:.et
; vo1Um.e!Ll_ di;m:-_obr_U., (c#;~{jl...9'?.-~ ~.Ia;;:pgina 32),
YPQr; G:1.C"..umr.r.oN, 'elf' 'm"trabafd11~-qumt!J .. ,
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LOS Dt::!'>!OSTRADORES DJ::L V POSTULADO EUCLtDEO 28
EL POSTULADO DE LAS PARALELAS DURANTE EL RENACIMIENTO Y EL SIGLO
XVII
7. Tanto las primeras versiones de los Elementos; hechas en los
siglos m y XIII sobre. los textos rabes, como las sucesivas;
redactada.a sobre. los textos griegos a fines del XV y en la
primera mitad del .XVI, no llevan, en general, ninguna observacin-
-crtica al V postulado. La critica renace despus de 1550, 0
principalmente a impulsos del Comento de .POOCLO (l}.' J>ara
mejor .se-guirla; citemos brevemente los
-
; ,. .;{' :;;.:..o jf rf~11
~(~ftt fil~i ~~;-~~ Ei~~-
~5t{~ ~~ 1tk~
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~.~-~-:~i llf
,i~~~ ~~~'.
30 . -GEOMETJUAS NO EUCLIDIANAS
~tfa ,znea>recta. lit, .taciz.~ siempf,;cQtt stt. ,punto'
8Zt~enw, . y)m.todO su curso es>pet-p_endii.,UUir./ii:iJulla; su
otro . .. )punt(i extremo describir_ ,?I- ~~mommientc '.una lnea .
..
. recta. . ;:;_- ~:-- .... . ,,,,:,:;.\(.';:.:,'. . . .. . >'
, .-~.Sucesivamente . iie~u~tra __ Q.U:.;~(iSs rectas perpendi-.
caja:rS: ~L' qna ter~ei:;;;:;~91{'.eqjqjfetantesijr: _9efine
Ia.s
. P'aralelii.s como rectasfeqtiidistruif&i:Sigue Ia teora '
de -~a8,_~~:1~ (l)-. J .. '.~t ::;s~w4~;::-_ -.: .. ._ : .+ ft';
GIORDANO Vfl'ALE:.: (l~S:-"1711); volviendo al
concepto de equidistancia f on,i:il;ilajlt:} por ; PsmoNIO,
siente con PROCLO la. ri.ecesidruf-;tl{.'rechazar qu,e las
paralelas de EUCLIDES puedan eomportarse de un modo asinttico. A
este fin define ~la8 ; ;paralelas como. dos rectas equidistantes, y
trata .de\:probar que el lugar de los puntos equidistantes de..'una
recta es una rec-ta (2). . '
La demostracin reposa substancialmente sobre es-~ te lema: Si
entre dos puntos -A:;1J:C, . tomest -hacia X, se traza la recta A
C, y si desde-Zs:'infini.tos puntos del arco A C se trazan
perpendicUlres ,:a lguna recta;
G F
~ IB " .... = ~ . :::>- .O ' -:
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.1.f~':> ~-}~: . rt .. ,~~ - . t;._ .,. : ~ tt: . ._ 1t:; ..
:'. - l ,. '
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r. ~i . } f ,., . ' t. ir ;. t ' ' , . . ,. ;
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' ,
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:~
SZ GEOMETRtAS NO EUCLIDIANAS
+ s. J. W.ALL'I& (1616-1703); abandonando el con-. cepto de
. equidi~cia, . explotado : in~ente por }?s
precedentes , geom~tras,. da :.una .;nue-ya demostracton .del
postUlado :V, :fmld:ild0se eli ;~ .. nocin comn: . De toda f
igu.ro, exis"te. #ita, semeic,,.Jite (Le magnitud
a.rbi-trq,f'..ia,.: IIe aqu, rpidamente; c4mO:procede WALLIB (
1}
/.s~: o,y b dos :r~cortada&:enAY B por la trans-.. ver-Sal
'e; y a. y ~ IosrigU1osintemos de i.ln mismo lado de "c itales que
+~sea merior'tt,ue ~ dos ngulos rectos. Ti:azad por A la reeta b~~
de-Iiodo que b y b' formen con'i ' ngulos correspndien,teS~iguales,
es claro que b' caer en el ngulo adyacente. a . %. ~ Si ahora
transpor-t amos continuamente la recta--b-de modo que B recorra
b' 6 a b b.b.
ry"" r\rJr\rt "" e - B ~S
el segmento A B y que el nglo que forma con e se mantenga
constantemente iguaJ ,a:. ~.J.a recta b, antes de alcanzar la
posicin finar :bi~Jlbr necesariamente encontrar a. o,. Queda as
.:dererminado: un tringulo A Bi C1 con los ngulos n/.~-,;-;.i''..B1
r~pectivamente iguales : a a y ~' Pero, por la ;hipts~s :,d~
;WALLIS sobre Ja~ .eJQ5teJ:ici.a . _de. las figura(a,~J;iieJan~i
.sobre A B, _eo;n~;rado : liom?Jogo .de. 4~~~~ef~;. co18tnrir un
ttj~ito.19 A B,C semeJan~:_.l~WO. .NB1 C1, lo que \~)tX :; \; ...
.. ,: .. : .. . :?':7JL:-1;ct'::.~: ". _ .. :: (.~).; (Jfr:.
$ALI.IS: Da poat1'It0:. Q_;into; . 6' :P.efin.iti01U Qiiin.-
. ta;;. 111.dieada con Tll. d. P. ,,
. ~ ; ' :-~ .. ';'-
;~~~t1?>7~~~~6~ .. ~~~~~
:1.
~-
: :::-
t:
Ji. LOS DEM OSTR ADOR.ES DEL V POST ULADO EUCLJDEO 3 8
J- ~
-~t~~ ~ ~-.
significa que las rectas a y b deben Concurrir en .un punto,
esto es, :fl el tercer vrtice C del tritjgulo A B"C.' Luego, etc .
. ._. . .. . . . :'i'." .. ' .. "
WALLIS trata despuS d jffic'f:i i{ iiilnaf.idea obSel"Vando que
EucLIDEs-,: potlando".Ia.wstencia''d~ un creUlo de centi:o: y radio
daQos (po~ '111)", ad- . mi te en substazici: el pflcipi'.: e 18:
'semejanza pata. lo8 crculos. Pero1 aun ,. cando .'JA . intuicin:
apoya fa~ rablemente este' punto ~ vista}: el eone'i>to de
orii:la' independiente:de,la extensin . de un~digur constituye una.
hiptesis no :ciertamente;zns evidente que el : pos-r tulado de .
EUCLID!'.S. . -. : /-, ;
Observemos todava que WALi.rs poda .ms sencilla-mente admitir la
existencia de .tringulos con ngulos iguale8, o, como veremos en lo
, que sigue, de dos solos tringulos desiguales, con los ngulos dos
a. . dos igua-les [cfr. pg. 43, nota (1) ].
10. La obra crtica de los precedentes gemetras es suficiente
para dar a "conoeer-la evolucin histrica de nuestro problema en fos
siglS XVI y XVII, por lo que juzgamos superfluo hablar de otros
insignes investiga-dores, como fueron, por ejemplo, OLIYIERO DI
BURY (1604), LUCA VALERIO (1613)/'H. SAVILE (1621), A. TAQUET
(1654), 1( AltNAULD '(1667) (1), Estimamos ms necesario decir
algunas pajabras sobre el lugar que ocupa en el organismo geomtrico
la hiptesis eu-cLdea entre los . derentes comentaristas de los
Ele-mentos. > ;
En fa edicin latina de los 'Elementos- (1482); hecha soore los
textos rabes' por-CAMPANO (siglo xm); la hiptesis en cue8tin figura
entre fos". postulados.-otro binto Curre en.' la traduccin latina
hecha del griego por B. ZAMBERTr ( 1505); , en ls ediefones de LUCA
PACIOLO . (1509), di N. TARTAGLI (1543)', de F; CoM-MANDINO (1572),
de A. BoREI..L:; (1658)~ .
En cambio la primera impresin de lOs Elementos _en lengua griega
(Basilea, 1533) ' contiene la hiptesis entre los axiomas ( awionio,
XI) .
-
34 . GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS
VIO. J1574). _GIO&DANO ,Y~Ai: (1680) . y tambin
G.B.E-GOd)Eu;Y::(l,79~ni: en su ~~~:.".ers.inJatjna d las obras e
CLIDES ._. "'- '-. ' . '11'
. .'.;.PaJ.-.i,inte.ritar .wirse ,~~~. de '~~ diferencias, Jas
c~~~t~-mas: que a Io~i'~:teaiclos~atres, se i:ejon:-~;:a ;'.98
CdieS -traBmtti4os>'.cfo.:os gtlegos,. con~ v.etrdri : abei,::qu
sigf.fJ~o:~attihuyeron estos l-.
.. fiiif a:-..ia:s alabras':"''"' '-, s' iif, . . . axiomas
.:xa,~i~~Y~{;; .-:N~;~;:4IBs.:) ~ palabra . ~aqu:;
signi~(-lQ'~lie.~':ECI:dJJES, en . su texto; . ua..a
;~noCi(>ne.::comuni~(1'~~1:M~~i).:;. , .
~:e ~Eii' PRocLo estn indada.s:'tres" maneras diferentes
de~:entender'. la derenci8;~.eXis.terite .:entre los axiomas y Is:
.. postlados. :.''':t'ri'.gs. 575-681
t~~T~~l"i -1906).: .
---:~k .. A~~,.""' .. ,_, . . . .., .. y .... -~ .. ~~~~~
''.-';.,. ,.,..f-_q~.: ....... r. -. .~t ....... '.;;-... ?~~ ~. .
- . ~~'-0f-~b~~~~~m-~~ .. ~ ~ .... '4'.-.... -
."-
'.-
~
..
.......
-..}
LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLJDEO 35
ximadamente al de las nociones C-Omunes de EUCLIDES, mientras la
palabra postulado tiene en ARISTTELES. un sentido diferente de cada
uno de los dos arriba in- dicados ( 1). , Ah.ora, segn que se
adopte una u otra de estas dis-tinciones entre las dos palabras,
una determinada . pro-posicin podr clasificarse entre:loa
postuladas o entre los a;i;iomaa~ Aptando la pr imera, de los cinco
. postu-lados eucldeos, slo los t res pr imeros; segn .PROCLO;
mereceran' este nombre, por cuanto' en ellos solamente se pide
poder hacer ula conatrccin (unir dos pun- ' tos, prolongar una
recta, describir n circulo de centro y radio arbitrarios). El IV
(los ngulos rectos son igales) y el V deberan, en cambio,
clasificarse entre los axiomas (2). . . .
Aceptando, en cambio, la seginda o la tercera dis-tincin, los
postulados eucldeos . deben todos, los cinco, incluirse entre los
postulados.
(1} Cfr. lUSTTELES: An.alytica Poateriora, l , 10. Traslade-mos
ntegramente el pasaje, nn poco obscuro, en que el filsof o habla
del postulado:
~oO'a b . "" llrnmi 611r4 A4/3rn civrck 1 15"~"' -rawe ir O
ooa:oirr .. A~ T~ .a.11fJl'Orr< irro'Tl8ercu. K .. i llO''TIJI
ox ..iis irr08EU.M ff'/X>s . mi11011 6.,o,,. 'Ecfl U ~
Jl.1)/Se.la,s 11007s /S~s -l) "2 &a.nws bouo'i)s ')..4.fJ,,.,,,
.,.; .. .,.,. ctlreTCJ,,. Kei -rofrnt ISUl.f/>ln v.,68e's , ir1d
. ..;r1.a., O'-r ')..ii.p .,r1.a. ro lnraerrw ,....s JUU8110rros
.Ti ~-. ~} Es ~porluiio observai-~qne el postulado. V: pnede
enunciarse
asi: Se.~ con.-truir el 'plinto:'coma culos recta.., cuando;utai
r~ cO'l"tadq por ua4 traiuvnal:fo'rmcin dos ngulos' iatehioa' cU
:tm fniam, :la40 Cit11a hftA:.ff:menoi-' iu: ds ' xqulo rectos;
De-esto TeSlllta .qeQ afirnia;.eomo1os' ti:-es primeros,"
la''poaibi: lidad de una. ccnatrw.:cin. Este. c:aieter.desapareee,
sin. embargo,. totalmente si se le'. enuncii, wr ejemplo',~ a8: Por
n Jiunto ptiaa. U1CCI sola 'Pf&~la: iittM. reda, o. bien( D06
f'fl= paral
-
... ,-L:(-' l.f~4- !;~ ' r. ' ~-~~~tL ~ '$~ ~~~ ... \ t
''
t-~~ .{ )1 -i~ ' ir.: .. ;.
:. e !;
- ~-
86. ' GEOMETRlAS NO EUCUDIANAS
.. ::~-~.~.~to. el.?rige. n:d~~ diver~~.ric~~s entre los varios
c6di~ es4cilrilente '.iplicable::.: Para avalorar esta u-
... , ~plic3ci6x;i.; ' Pdemos aadir fa 1incettii0 EUCLIDI~A
GEROLAMO SACCHERI (1667-1733)
11. La obra del padre GEROLAMO SACCHERI Eu-clides ab omni naevo
'Vi:n.dicatus: sive cona.tus geome-tricus quo stabiliuntur prima .
ipsa, universae Geome-triae Principi,a (Miln, 1733) est dedicada en
su ma-yor parte a la demostracin del posttilado V. La idea
directriz de las investigaciones geomtricas de SAc-CHERI se
encuentra en su LOgica demonstrativa (Tu-rn, 1697), precisamente en
un tipo especial de razo-namiento, ya usado por EUCLIDES (Lib. IX,
Prop. XII), por el cual, aunque se admita como hiptesis la
false-dad de la pro1J()sicii que se quiere demostrar, . se llega
igualmente a. concluir. que es verdadera (1).
Conforme con esta idea, el autor toma como datos las veintisis
primeras :Proposiciones de EUCLIDES, y supuesta como hiptesis la
falsedad del . posttdado ' V, busca, entre las consecuencias de
esta hiptesis, , una proposicin .cualquiera"' que , le autorice a
afirmar .. la verdad del postulado mismo. . ,
AnteS de exponer la. obra saccheriana' recordemos que EUCLIDES,
'para demostrar su proposicin XVI (el ngulo externo de un
tri.D.gulo e.s mayo!'. que cada' uilo d los niulos internos
'opuestos), adririte linplfciti:rien-te que la recia" sea infinita,
estando' silbStanciablln~. filndad su razonamiento en la
existencia"" de -.riD,;_.sego. ment doble de un segmento dado . : '
-; ~, ,, , . ~-' ;:,_:_;,;,
De la posibilidad de 'llegar esta hlpt:esitf ha~ en lo que
sigue; por ahora obser'Vemo8 que SdHERI'
. ~ . ;L -~_~~~ -- . (1) Cfr. G. VAlLATI: Sobre una obro.
oividad.a 1i"ej>.{:~b-.,ia...
mo Sa.cheri, Rvista Filosofica (1903) , :, ..
-~,;:::;:~!;,~~-~fW.i;~~ ~w~~~,~rbJ~~~~~~
i.l
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~ 3 4 ~
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'~1 1 ~J ;H
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!tz"t " J~~~ ~~-~~!~ ,,, t , ~ ..
r: -~~:
~
68 GEOM.ET.R!AS 'NO l:UCLIDIANA.~
u( a4mite tcitamente, puegto,;que en el curso . de su -Ohra'
h1lCe uso de la proposiCinc Q A, I>or-"ei ,'. . l . .
~ C
. ' .A 0 1 B
F'ia=a 9
citado lema ser A O > D O'; por tanto, A B > CD . En la
hiptesis ngulo agudo estas desigualdades cam-bian de sentido; por
tanto, A B < C D.
El teorema demostrado se invierte razonando por reduccin al
absurdo (prop. IV).
Si en un solo caso es verdadera la hiptesis del n-gulo recto, es
verdadera en todos los dems casos (prop. V).
Supongamos verificarla en el cuadriltero bir rectn-gulo issceles
A BCD la hip. ng. recto. Tomados en AD y B C los . puntos JI y K,
equidistantes de A B,
p Q M N
E> e H K
A B , J ~10
frmese el cuadriltero A B K H. Si H K ea jefI>enai:-cular a A
H. y- B K. tambin en el nuev, '.c~ro sera verdadera la hip. ng.
recto. Por.'. el :~ont6irlo, supngase AffK agudo y, por
consi.gienie; -: 8~ :;~-
. /"'.. . .., . '-'. ~ '"t '-'"~-~ ... '
cente DHK obtuso. EntonceS, en el eudrl1.ter61A'BKH, po:c'la
hip. .ng. agudo, sera .A: B '
-
r ,IR .. ,;;;;
:~1. l. .)/ : d : :~
. ~- .-,~4~-
.....
'
~
~
.&.! GEOM ETR1AS NO EUCLIDIANAS : . . ...-.. .,,,.....,,
:~Siendo Jos ngulos K y H obtusog;:- la perpendic~ en K a KB
encontrar al segmento A H en el punto M, ':fubn~cio el ngulo A MK
obtuso .. .(teor. ngUio . exte~n:o}: - -Entonces eri A B KM ser.
(lema primero)
~B ); KM. Toriando ahora sobre A B el segmento H K MD "'
A N B Figura 12
B N igual a M K, puede construirse el cuadriltero birrectngulo
issceles B KM N, con el ngulo MNB obtuso, como externo al tringulo
A N M. Entonces en el nuevo cuadriltero vale tambin 1a hip. ng.
obtuso.
Con esto el teorema est completamente demostrado. Si en un solo
caso es verdadera la, hiptesis del n-
guJ,o agudo, es verdadera en todos los ca,sos (prop; VII). El
teorema se demuestra inmediatamente por reduc-
cin al absurdo.
is. De estos ltimos teoremas deduce SACCRERI fcllriiente -iina
importante consecuencia . re}~tiva a l.os trlrigruos.:-$egn que se
verifique Za,hip6.te8i8:'del n-i;ul0.'f.ecto0:za ltiptesis &l
.ngul-0 .obtus .o.lti 'litpOtesis
tUZ'~6:itgUUJ''aguao, la suma 'de los ngUfusc'lentrin-, ;~
:.~et~ '~eapectivamen~ .ig(z],; inayor o menor que
. c,.l/iiiz41:igif!)J8:iectos (pro:P: IX). - . -:.: .. : . - ;
:.~~t~~~,~';B: c..,.tjri trWigulo ~ rectn~o en : B. Compltese
.Fizura 1S
tri.. ~~ii":;;q:-t~.~~~~~,~~~~~'-
1:' ..... -_ ...
~~. ~(~
~:<
:>:
~~;
LOS PRECURSORES DE LA GEOM ET RtA NO EUCLIDIAN A . 4.f
el cuadriltero trazando AD igual a _B C y PerPendi.:. cular a A
B, uniendo despus D con C. .
En la hip . . ng. recto, los dos tringulos A B C y - . . . '
............. ,,,-....
A O D son iguales; por lo cual B A C.= D. C A. Sigue-se.
inmediatamente,, en el tringulo .A B C :-.
............. ,/'.. ,,,,-.... . .,,,-....
A + B + C = 2 retos. En ia kip. ng. obtUBo, siendo A B> De,
ser.
-.....-... .,,.,,......... . . ..
A C B > D AC (1), por lo cual en el tri.ngtilo en cues'-tin
tendi"mos:
........... ,,-... ./"'... ............... A + B + C > 2
rectos.
En la hip. ng. agudo, siendo A B < D C, . sguese: /'-.
,.,....,,
A C B < D A C, y de aqu, en el mismo tringulo: ...........
,,,,,....... ,,,.,....... .,,,,,,.,......
A + B + C < 2 rectos. El teorema demostrado, que se extiende
fcilmente
a un tringulo cualquiera, con la descomposicin. de la figura en.
dos tringulos :rectngulos, viene invertido por SACCHERI en la
proposicin XV, mediante un ra-zonamiento . por reduccin al .
absurdo.
Una :fcil consecuencia de estos resultados es el si-guiente
teorema:
Si en un. solo tringulo la suma de L.os ngUloB es igual, mayor o
mnor que d
-
~
44 GEOMETR!AS -NO EUCLIDIANAS
un. siglo _despus. Debera llamarse, _ por consiguiente, terem':
de SACCHERI, -y no teorema~ de LEGENDRE,
-como"."se hace ordinariamente. --- .e:: -~};" --" - ,_ - ;
AB,1 -
29 _Si o bien f los ngulos BAC y DCA son obtusos. E'F'FE A+ FE C
= 2 rectos. Y puesto que se tiene
/""' B A I + D e I, se deduce:
~ ,......._ ,,,,,.,......,_ ,...... ,,,,.........
B A C + D CA > F I A + F I C > 2 rectos. 1
l Errtr ~ f " B F D
Fla=s 15
j
. 'J -r r !.~ ';'.o~ ":'._-~
~~ 11 "'.'-~ ::-
1
1 1 . ! . '
-
~~.~ti ~:/j (.:.
~
'~ ;:;~ '.~
!'
46 GEOMETR!AS. NO EUCLIDIANAS
Ahora, por la igualdad de los dos Igulos :B AC y .,.,-.... . '
-
D C A, se obtiene:
- -B A C > 1 recto. l. q. d. cL . suPngamos, en segundo
1ugar; ':E' F' < A B. Enton-
ces prolonguemos F' E' hasta obtener el segmento F' r =A B y
unamos I' con C y_ A.~ "' .
Verifcanse las siguientes ~aciones ~ F'f--A' = BAI'; F"-?= 'ncr;
I'AE' >!'CE'; . F'I' A < F'? C.
Combinando estas relaciones,'. se deduce, en primer lugar:
BAI' 1 recto, entonces M N >A B; ./"'-. - -si B A C = D C
A,< 1 recto, entonces M N
-
7;i.Sli; (~~;2~~-:tf:~
t~;~:~ll ,i~ :; ,;:,-
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t O~ 1 - , -
i ~
~
48 GEOMETR1AS . NO EUCL!DIAN AS ~
ri ,B AM =1 ricio, tambiifi { ,,...._ 1 _;,...._
K H M -, = 1 recto; KRP s
,,,..... ,,...._ { si B A M > 1 recto, tambin ,.-._ 1 ,.-._ K
H M l > 1 recto; ,,.... r KRP. J
. . f-"- 1 ,,...._ ,,--... * K H M L ,.-..
si B A _ M < 1 recto, tambin I ,.-.. J < 1 recto.
L-KRP
Estas propiedades, como : fclmente se comprende, se verifican
tambin si el punto P cae entre M y N.
En resumen, los tres ltimos teoremas, que mani-fiestamente
coinciden con los de SACCHERI, relativos a los cuadrilteros
birrect.Iigulos issceles, es decir: si en un. solo caso es
verdadera, respectivamente, la hi-ptesis deL ngulo recto, del ngulo
obtuso o del ngulo agwk>, seT verdadera en cualquir otro caso,
estn demostrados independientemente del postulado de Ar-qumedes
.
. Queriendo ahora pasar de los:. teoremas sobre los cuadrilteros
a los teoremas -sobre: los tringulos, enun-ciados al principio de
este pn:~o, podemos desde lue-
. go .referirnos a los razonamients .. de .SACCHERI (cfr. pg.
42), puesto que aquellos razruuriientos no depen-den- en absoluto
del postulado :en;, cuestin. Con esto queda obtenido el resultadO-
que nos babfamos pro-pusto.
15. Para hacer ms breve la"'exposicin de la obra E
A K fura 18
e : -~
. :~eriana~ extraigam08 -de las proposiciones XI y ~TI el
contenido del siguiente lema.. segundo:
~~~:-.t..:'$~.,;~"""'"'.ct~s0.1':'r:~ti-J~~~~
j j ;J ,
,,,:_
LOS PRECURSORES DE LA GEOMETRtA NO EUCLIDIANA 4!}. ' Sea A B C
un trin,qulo rectngulo en C; sean H el pu,nto medio de . A B y K el
pie de la perpendicular bajada desde H sobre A C.
Tendremos entonces: A K = K e, en za hip. ng. recto; A K < K
C, en la hip. ng. obtuso; A K > K C, en la hip. ng. agudo.
La parte relativa a la ._}iip. ng. recto es inmediata. En la
hip. .n.g. obtuso, siendo la suma de los ngulos de un cuadriltero
mayor que cuatro ngulos rectos,
- .,,,...... ..,,,,,..... .
ser A H K < H B C. Bajada despus desde H la H L,
perpendicular a B C, los dos tringulos A H K y H B L, con las
hipotenusas iguales, en virtud de la precedente relacin, dan lugar
a la siguiente desigualdad: A K < H L. P~ro en el cuadriltero
trirrectngulo H K C L, el nguloH es obtuso (hip. ng. obtuso), por
lo cual ser H L < K C, de donde A K < K C. - Del mismo modo
se demuestra la tercera parte del lema.
/t. A ,.., A~ Ficura 19
La siguiente proposicin es una eXtensin fcil de este lema:
Si sobre un lado de un ngulo de vrtice A se tommi los segmentos
consecuti-oos fguales A A 1, A 1 A 2, A 2 A,, _ . . y se cn3truyen
las respectivas proyec~ A A'1 , A'1 A'2 , A'2 .4.'3 sobre el
segundo lado del ngulo, se 1Je-rifican. las siguientes relaciones:
A A' 1 = A' 1 A' 2 =A' 2 A' 3 = .... en la hip.- ng., recto; AA' 1
A''!, A'3 > ... , . en la .kip. : n{." ag'lido. Omitimos, por
brevedad, la fcil deinostrcln~
Veamos desde luego qu imi>ortantes '_ con.Secencis pueden
deducir8e de egta propo,scii{n' l Jiip; 11.g. recto y en la hip.
.ng. obtwto.
,.i
~, ,
1
'
-
~
50 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS
Sean AC y B D dos reetas: la primera, oblicua.; la segtinda,
"perpendictila.r; a la recia A B. Sobre A C, del
. . ............. . .: . . ;.. lado del ngul agudo CA By de
l~)erpenaicular B D.
/\ At :s . . F'iS'= 20
e
~
se toma el segmento arbitrario A A 1, y se construye su
proyeccin A A' 1 sobre - A B. Determnese despus un nmero n bastante
gJ:"ande, para que el ensimo mltiplo de A A' 1 sea mayor que A B;
despus, sobr A C, del lado de A1, constryase el segment A An,
mltiplo de A A 1, segn el nmero n (1 ). Bajando despus desde An la
perpendicular An A' n sobre A B, tendremos: -
AA'n =(AA'!) n >A B, ~7t la, hip. ng. Tecto; AA'n > (AA'1
) n >A B, en' l. hip. ng. obtuso. Por esto, la B D,
perpendicUlar ai lado AA' n d~l
tringulo rectngulo. AAn A'n ncori.trar necesaria-mente la
hipotenusa AA,,; es decir:
En la, hip6tesis del ngui ,.recto y e~ la hiptesis del .ngulo
obtuso, una perpe'fi4,icula,r :Y una oblicua a na' misma recta. se
encuentrii?t.':(p~p: XI; XII) (2).
.. De aqu. se .deduce el siguiente teorema: 5En la hiptesis del
ng~)8c.to.~ii,.-en :za del ngulo
obiuiio es verdadero el V .posila4i(g,;EUdid (prop. . \X];II}. .
, .-L ....
..
... (>,). El" postulado de ARQUMEDES, de que . .se .liare
aquf uso, apa-rece : en tal forma. que incluye implcitainnte la
.infinidad de la re~ . . .:. ~ ,,-; - ,'. -
:~)_' ~_l mtodo se~ido- por S:f"cc~'"'pm d#.ostrar esta pro- .
posicin'\ es : s11bstanc1almente idntico ar. de; ~AS1K-EDDl.N.
NA-
~-~E~Il;l.~ .se-}efere, sin embargo, solamen.te a --la hip. ?tg.
recto, .li..~~_d9_, .. !lem,ostrado anteriormente:.~e la ~uma .de
_los ngulos -de':uiitninglo es igual dos nglos rectos. Es oportuno
ob-
. 5ervaiqu SA.CCHllRI conoci y 'critic la obra del gemetra rabe.
. . .
. ~ ...
.t
~->
-:' ,.:
LOS PRECURSORES DE LA GEOMETR!A NO EUCLIDIAN A 51
e
A H D Figura 21
Sean A B y C D dos rectas cortadas por la recta A C. Supongamos
que sea
.,,...._ ,,-.... _,..._
B A C + A C D < 2 rectos . ,,,-.... ....--.
Entonces uno de los ngulos B A C o A CD, por ejemplo, el
primero, ser agudo. Desde C bjese la per-pendicular CH sobre A B.
En el tringulo A CH, en virtud de las hiptesis hechas, ser
_.-...,,,,,........ ,..........._ /""'-...
A + C + H 7 2 rectos. Pero por hiptesis tenemos tambin:
_,..._ ,,..... ....--.
B A C + A C D < 2 rectos. Combinando estas dos relaciones se
obtiene:
_,,...., _,,,...._
H>HCD. ...-':.'< ~,, ,,,,,........
Y puesto que H es recto, el ngulo H C D resulta agudo. Luego, en
virtud de las proposiciones XI y XII, las rectas CD y A B se
encuentran (1).
Este resultado permite a SACCHERI concluir que la hiptesis ..
del ngulo obtuso es .falsa, (prop. XIV). En .efecto,- en .. esta
hiptesis se verifica el postulado eucldeo (prop. XIII), y, por
consiguiente, se verifican los teoremas ordinarios que de este
postulado se dedu-cen. Pero entonces en cl. cuadriltero fundamental
la suma de los ngulos es igual a cuatro ngulos rectos, es decir, es
verdadera la hip. rtg. recto (2) .
( 1 ) Tambin esta demostracin se encuentra en la obra de
NASta-EDDN, en la .que evidentemente se ha- inspirado SA.CCHERI en
sua investigaciones.
( 2 ) Es "oportuno observar que en esta demostracin SACCHE-RI
hace ulio de aqul tipo especial de razonamiento de que b.ablamos
.en el J 11. En efecto: au~ o admita como -verdaderB la. "J.ip. ng.
obtiuo, ae UtJga. a concluir qUtJ eB- verda-deni l4
.Ji.ip;.,'1&g. recto. Es sta .una forma earacteiistica que en
al~os asos puede tomar el razonamlent() ordinario por reduccin ar
absurdo.
JI
'J J .
1 , . l ! 1 '
1 l
-
1 . l 1
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, 1 1 1 i ~ j
. , _:; t l
... ,. 1
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::~:~ ,,.
: -:~~~-- . .:::-- ~: ' j:-'
'
~
52 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS-
~ 16. Queriendo SACCHERI probar que el postular do V -es vlido
incondicionalmente, se dispone a des-truir tambin la hip. ng.
agudo.
l)
"
" .e
Figura 22
Entre tanto ser bueno observar que en esta hip-tesis existen una
perpendicular y una oblicua a una misma recta que no se encuentran
(prop. XVII). Para construirlas, desde el vrtice B del tringulo A B
C, rectngulo en C, trcese la recta B D, de modo que
_,..._ ,.,.--.
sea A B D = B A C. Entonces, por la hip. ng. agudo el ngulo e BD
es agudo y las dos rectas e A y B D, que no se encuentran
(EUCLIDES, XXVII), son una oblicua y la otra perpendicular a la B
C.
.De ahora en adelante nos referiremos exclusivamen-te a la hip.
ng. agudo.
Sean a y b dos rectas coplanarias no incidentes. Des-de .los
puntos A 1 y A 2 de a bjense las perpendiculares
. ~. _,,,,......_~ .
A1 B1 y A2 B2 sobre b. Los ngulos A1 y A2 del cua-driltero
obtenido pueden ser: 19, uno reeto y u:ri.o
~ Al ~ IZ
~ ~ 1 ' .1 'B,
'
Figura 23
agdq-; 29, ambos agudos; 39, uno agudo y otro obtu!l(). Eii
eCprinier caso existe_ desde luego la perpendicular
ji' ~ -_~_ /_~,!1. , .. ,_~-" .. '-,.:
--~ ,~
~ ;~ -~ -~ '_:_ ~~1.':. ;;_' ... ~
~ -~
-
~;
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~ ~ ~ \:' ( : ~' '!--.
\;'-~ r f (
~i;J
54, GEOMETil.tAS NO EUCLIDIANAS
.En virtud del principio -O.e la. contirluidad, existen do8
,rectas, p y q, que dividen al haz en dos parteS!" A
la~pnnera parte pertenecen.ias- rects incidentes so-bre ,b; a la
segunda parte, _: _1a,s rectas no incidentes - so}?re b, y teniendo
con b u na ~ prpendicular comn.
En cuanto a las rectas .p y. ,q, se demuestra que no per-teneeen
ni a una ni a _la otra parte. En efecto, que p no ~ incidente sobre
b . es maniestO. Para probar
,. que 0 p no admite perpendi~~ar icomn con b, razona-mos ~ por
reduccin al absr do; . -Sea P B la hipottica
perpendicular a las dos reet3.a. _p y b. Bajada desde A I
"perpendicular A M sobre b, y. tomando sobre b el
A p
LEE: ~ M B B' Figura 2S
punto B', del lado opuesto a M . respecto de B, elvese la B' P'
perpendicularmente a b; luego bjese la per-pendicular A P' sobre B'
P'. La .recta A P' no es inci-dente sobre B, porque admite con b
una perpendicular comn y encuentra a la P B el un punto R, El
ngulo
,......... .. ..: .--- -=-~/:_.-~ .- /". , A R .B, suplementario
del ngulo agudo B R P, es ob-
. - - c.,~-. : , -- ~ - - - ~- . . . . - - ,,,,,-.... . tuso,
por lo cual el rayo A R caer en el ngulo M A P. Pero entonces AR
sera al mismo tiempo secante y no .secante respecto de b. Esta
contradiccin 'obliga a ,desechar la hiptesis de una pe~dcular comn
a .}> :-y) p. Concluiremos, por tanto; qu:Ja8_ dos rectas p
y
q .son asintticas~ a la recta b (1).
C) En la . obra de SACCHERI, antes de- este resultado, se
en-cuentran o_tras muchas., propos~cio_nes in;r~~iltes, entre las
cuales e_s dlgna de mencion la s1gmente: s~ fB> ;ectaa se
apro-:J:i1114n coda vez ms, y $2' distancia se man.tune s~mpre
stt:pe-rior : a. . it ~rto . segnumto asignable, la kip_6u"8 del
ngul-0 ai;rt.ido iieia: :Uutrula; Aai que postular ia auSencia de
rectas asinttica8 . "equivale a admitir el postulado euclideo.
,_
7~@if~~~~~~t;~~~~~~~~~~~~;tt?~.~:
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56 GEOMETRJAS NO EUCLIDIANAS
JUAN ENRIQUE :~,-MBERT (i728-l 777). . . 18. Qu influencia
'tuviese la . obra de SACCRERI
sobre. los gemetras del;. sig-1 XVIII :no se puede prec~-sar;
todava es . probabl~::que ,el .gei:netra suizo LAM-BERT la
conociese (1-), P.J..~tO que en su Theorie der
Parallellinien . (1766) -:eiuF JJM-' disertacin de G. S. KL'OGEL
(1739-1812) ' (~)'~ '.~iton'..is~ analiza detallada-mente la obra
del ge6metratliano. . La Theorie dr Pa?:ciiie1li~/;de LAMBERT:
publica-
da . en 1786, despus de}:l:'.nti.Jrte del autor, por G.
BERNOULLI y C. F. HIN#~1JJ.tG . (3), est dividida en tres partes.
La primera,-.de 'n~tiiraleza crtica y filos-fica, expone la doble
cuestin . qtie podemos proponer-nos sobre el postulado V, :e8to.
es, si puede demostrarse oon el simple auxilio . de "IOs
ptecdentes, o si, por el contrario, 'no se exige el empIIX> de
alguna otra hip-tesis. La segunda parte est dedicada a la exposicin
de varias tentativas, en las que' el postulado eucldeo se reduce a
proposiciones senciilisimas, las cuales, sin embargo, deberan ser a
su vez 'l.emostradas. La ter-cera, la ms importante; contiene un
sistema de in-vestigaciones semejante8 a laa: del padre SACCHERI,
que rpidamente resumiremos.
~ 19. La figura fundamental . de LAMBERT es un cuadriltero
trirrectngulo~ i~~;exponen las tres hip-tesis sobre la naturaleza
del '.citarlo -ngulo. La primera es la hip. ng. recto; la sgund;:Ia
hip~ ng. obtuso, y la tercera, la hip. ng. ttgUdO.:.Tambin en la
manera de tratar estas hiptesis el autor' se aeerca al mtodo
saccheriano.
. . .-
':p) Cfr.''SEG\U:: Cmjetu~ iz.c~~ .d-. ~ infltumcio. de
Giro-lamo Saceheri sob-re la formaci.-n. -'de ]a.,g-fra no
euelidi
-
~:!: .,,_.---1 --tii~~;
58'~ GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS
ttinguio,. es menor que dos ngulos . rectos; y, yendo in(Ls '.
all que SACCHERI, descubre que la deficieru;ia, de
w,_:~igqnq, esto es, la derencia entre. 2 ( n - 2)
n-g:iO,S-:rectos y la suma de los ngulos -de un poligono
ea:'~cional al rea del mismo "-Polgono. Este re-sulto se obtiene
ms fcilmente observando que tanto el,: l:ea cuanto fa deficiencia
-de un .polgofio suma,de otro8': varios son respectivamente fa suma
-de las. reas :Y- ,de ;:las deficiencias de los polgonos que lo
compo-nen/(-1,)~ -
-S 20. Otro descubrimiento notable de LAMBERT se . refiere a la
medida de las magnitudes geomtricas. Consiste precisamente en que,
mientras en la geome-tra ordinaria a la medida de los segment-Os
correspon-de solamente un significado relativo a la eleccin de una
particular unidad, en la geometra fundada en la tercera kipte:ris
se puede, en cambio, conferirle un
-~ significado absoluto. Es necesario ante todo aclarar la.
distincin "que se
presenta- entre absoluto y relativo. -En muchas cues-tiones
acontece que los elementos que se suponen da-dos se pueden dividir
en dos grupos, de modo que los del primer grupo permanezcan fijos
en todo el campo de .nuestras consideraciones, mientras que los del
se-gunil-0 . {J'MtPO puedan variar en una multiplicidad de
, casI' --Posibles. Cuando esto ocurre, . se suele
frecuente-~te; :preaeindir de la , exjHcita ~mencin de los datos
deL:J>:diner-grupo, y considerar como relati'UO'- todo lo
:_ 'q~~'-5;i' -ejemplo, en la tora de los citmps de ~ . :; _ -;
_-i, .;::_.~;_se toman como datos del . seg!!tMo g~o ,(da-
:., ]!o~l~les-) ciertas irracionales elementales
{cons-'titUyeh.~(1~-'!ma base), y como datos de~ Primr_ grupo
~3~(1},; . que frecuentemente se omite~ por. ser
~;~~~-:};1~~i~*~~. ~ . ~ . - .~ ... ~1);'-~!i! -observar que
SACCHERI babia ya enc'!\':'~.>:::'..-=bit~."iiit@dJii!_,g;g
-
~
~~i:
60 GEOME'.l'R.tAS NO EUCLIDIAN A S
Para ver despus, del modo ms sencillo, cmo a to-do >segmento
puede coordinarse un ngulo y obtener asFuna. representacin numrica
absoluta de los seg-mentos; imaginemos construido. sobre todo
segmento un tringulo equiltero . . Fodemos sociar a cada seg-mento
. el ngulo del tringulo respectivo y luego la
:: medida de este ngulo; ya , qe .&iste una correspon-denCia
.biunvoca entre ItiS\ seg-lDentos y los ngulos comprendidos entre
ciertO)):ll.i_t~; . . ; La obtenida representacin .numrica de los
segmen-tos ri~ goza, .sin embargo, P.e ia: propiedad distributiva
que . corresponde a la long~tud1 porque sumando dog segmentos no
resultan sumados: los ngulos correspon-dientes. Se puede, sin
embargo, . determinar una fun-cin del ngulo que goce de . esta
propiedad y asociar a un segmento, no el ngulo en cuestin, sino
esta funcin del ngulo. Tal funcin, para todo valor del ngulo
comprendido entre ciertos. limites, nos da una medida absoluta de
los segmentos. La unidad absoluta es aquel segmento para el cual.
la. funcin toma el va-lor l. ,
Si se observa despus qu'e cuando una cierta funcin del ngulo sea
distributiva en el . sentido arriba indi-cado, tambin el producto
de esta funcin por una constante arbitraria goza de : la ..
niisnia.' propiedad, es claro que se podr disponer siempre. de esta
constante, de modo que la unidad absolu~ .. de .}os segmentos sea
aquel segmento que corres)ori.de.;;i ~un llgulo determi-nado;. por
ejemplo, al ngulo::i de;~'.45~~ La posibilidad de construir, dado
el . nguloi.( la"(lmidad absoluta de loi segmentos est ligada: -a
,lti .r~soluci6n del siguiente
!i- ptQblema: Construir en. za. hip; ''.dngc~;-Udo un
trin-:iJ1d:'. equiltero de determiiUuf,::d/iCienCa. ::,. P.ara
cuanto se refiere a la .-:Died.ida : bsoluta de las
.. :rji&S'h)oligonales; Qbservemoi; que 'st dada, desde
lii'eg&/p
-
- ~:: . - ~;!;
:~': ----~ ~;.
:.: '!,
iit .. ~}~
~-f.5
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r:..
t -.. ,.
~1~
~ -
62 G EOME TR1AS NO EUCLIDIAN AS
En Alemania, donde con frecuencia se sucedan los estudi0s sobre
este asunto, la conviccin haba ya adop-tado una forma bastante
preeisa~' -Lli. encontramos en A..:G . : KAEsTNER (1719-1800),
-gran, cultivador de .las inveStigaciones sobre paralelas. ( 1);: y
en su discpulo G. S. KLGEL, autor de la apreciable critica sobre
1as 'ms clebres tentativas para fa' 'Cfomostracin . del pos-tUlado
V, citada en la pgina; 5tL(not 2) &n este .tra-bajo, KLGEL,
hallando insufi_c.n,te cada una.- ie fas demdstraciones propuestas,
. eXniina. -la posibilirui .- d~ que . -rectas que no se.
encuentran . sean .divergentes (Moglieh ware es freitich dass:
Girade die sich nwht schneiden, von einander abweichen), y aade que
la apariencia de contrasentido que esto presenta no es el resultado
de una prueba rigurosa ni una consecuencia de los determinados
conceptos de las lneas rectas o curvas, sino ms bien algo que se
deduce de la expe-riencia y del juicio de nuestros sentidos. (Dass
so etwas widersinnig ist, wissen wir nicht in Folge strenger
_., Schlusse oder vermoge deutlicher .Begrif fe von der ge- .
reden und der krummen Linie, vielmehr durch die Er-
fahrung und durch dass Urteil unserer Augen.) Las
investigaciones de SACCHERI y LAMBERT propen-
den a apoyar la opinin de KLGEi.; pero no pueden suponerse como
prueba de la indemostrabilidad de la hiptesis .eucldea. Y ni
siquiera se alcanzara una prue-ba si, continuando el camino abierto
por los dos ci-tados . gemetras, se dedujeran - todas cuantas
proposi-d9n.e5 se quisieran, no contradictorias con loS
.princi-.J>.ps:reocupacin saccheriana. de descubrir en l
con-
-) :W~Jci.9!es, constituye, . en la_ hi.sfu.i:ii,' e1 .:P~~;~rw
eiilidiiL'M8. -_
. ..f;:pfr~';l~e la obra de sA.ccm:Ifry .. LAMBE&T a la de
>i3AT$CWSKI y BOLYAI, qrie;S~ ~fofrm:in err la idea aqut;:
{!xpresada, debe pasar todava ms .de medo sig1?_.;'.. '.
( 1 ) Para cualquier noticia relativa a KAEBTNE2 cir.
STlCX&Ii y ENGSL::Tk. de-r P., pgs. 139-141.
.: -ii"?t;;J.'f_., .: .. ;~:.~-r .. ~-~ -: ~~~-i~t4'i!~:
-~
l
,''
-~ .. ; -r ,~
-~ :~; ;,i
.._.-:.;_ _._ .. ;..,
>::-~~~ .... ~.;:.
... ~:-~ --~ ;:~:
LOS P RECURSORES DE L A G EOMETR!A NO EUCLI DIANA . 63
LOS GEMETRAS FRANCESES DE FINES DEL SIGLO :>..-VIII 23. La
crtica sobre las paralelas, que ya en Ita-
lia y en Alemania haba conducido a resultados. de gran inters,
tuvo tambin en Francia, a fines del siglo XVIII y 'principios del
XIX. un notable impulso.
D'ALEMBERT. (1717.,.1783), en un articulo suyo sobre Geometra
(1759), declara qu_e; La dfi'fl4ticm et les proprits de la ligne
droite, ~insi qiie des lignes para],.. leles ~ s0nt l'cue et 'pur
ain8i'.:dif e--f,e BCtLndale des lments de Gomtrie ( 1 ) . Sostiene
que con una buena definicin de lnea recta se d'b'enan eVitr ambas
difi-cultades. Propone llamar par.Iela a una recta dada, a
cualquier ' otra recta coplanaria que line dos puntos equidistantes
y situados en una misma regin de aqu-lla. Esta definicin permite
construir inmediatamente las paralelas ; sin embargo, serla
necesario demostrar que estas paralelas son equidistantes. Este
teorema fu propuesto por D'ALEMBERT, casi .como desafo, a sus con
temporneos.
24. DE M ORGAN, en su coleccin de paradojas, cuenta que LAGRANGE
(1736-1813), hacia el fin de s u vida, escribi una Memoria sobre '
las paralelas. Pre-sentada a la Academi francesa; . interrumpi su
lectu-ra exclamando: ll fa.ut que j'y songe encore!, y retir el
manuscrito (2). . :
Adems, HOEL refiere que ' 4-GRANGE, conversando con BIOT,
afirmaba la independ:l.i.cr&'. dtda: trigonome-tra esfrica del
postulado de,:Efiffe.@'.(J/ Para ava~ lorar esta afirmain puede
''afidire',q,ti>LAGRANGE se ocup con especial
inters''il.ega~.,trfgooometria es-frica ( 4 ) y que fu el
inspirador;.-si 0rih .atitor, de una
. . ;~ -.. ~ .... -:_~ .... ~ . .
. ( 1 ) Cfr. D'AL!:llll!ERT: Mlanges ~:'~a'Nrfl, ffHiatcire et
de Philogophie, t. V; 1 XI (1759)-.~;"tambin: Encycl-Op11difl
, M thodiq11.e M ath>rnatil{ll.fl, t . II, ' pg": .. 619,
artculo Paro.Ue-IH (1785) , .. ,: .. ._
(') A. DE M;oBGAN: Budget of. Paradous, pg. 173 (Lon-dres, 1872)
.
( 1 ) Cfr. J . HoiiEL: Eaaai critique aur lu priw.cipeB fonda
mentauz de la Go1Mtris Um.mtawe, pg. 84, nota. (Paris, G. Villars,
1883.)
(')Mi sullanea Taurine-naia, t . II, pgs. 299- 822
(1760-61).
1
1 1
t~
l t i
! l j
-; l !
-
1 1
1 -
1 1
1 l
1 1
1
! . 1 ~ ;_' ~ ; 1 1 1
i ~r ~-,,.~~~{,~?.ii~l
-
1
{i*i1 :,~_:_~_:. ,~_-t - i
: -1--ir_ ... _ -,_ ~ -., -ll'
1;f; f$~ ,, ; :
-fi -; - j '!,
-
r--
~~j r. ~; e::-:21;
1?6 GEOMET .RtA.S NO EUCLIDIA NAS" (W~ . J3@~YA.+, N.
LoBATSCHEFSKI, DE _TILLY). E:ii ~ste s,~J!ti4 la discusin entre
FouRr~ y MONGE tiene su p)iesto entre los primeros documentos que
se refieren a:_-i Ge0metra no emlidiana (1 ). .
~ . . .
ADRIANO MARA LEGENDRE (1752-18S3) 27. Los precedente3 gemetras
se limitaron a ex-
:Ponerlas dificultades y a emitir juicios acerca del pos..:
tulado; quien. intent, en cambio,. transformarlo en teorema .fu
LEGENDRE, cuyas investigaciones, espar-'idas en ls diferentes
ediciones de sus Elments de Gomtrie (1794-1823), estn resumidas en
las R,. flxions sur dif f rentes manieres de dmontrer la tho-rie
des paralleles ou le thoreme sur la somme des trois angles du
triangle (Mm. Academie Sciences, Pars, t. XIII, 1833) .
En las ms interesantes tentativas, LEGENDRE, como antes
SACCHERI, ataca la cuestin por el lado de la ~ma de' los ngulos de
un tringulo, suma que l quiere demostrar igual a dos ngulos
rectos.
A este fin trata desde el principio de descartar la hiptesis
saccheriana del . ngulo obtuso, estableciendo que en cual(uier
tringtilo la suma de los ngulos es numor (hip. ng. agudo) o igual
(hip. ng. recto) a dos ngulos rectos. r
. E~ongamos una sencilla y elegante demostracin de LEGENDRE.
Sean, sobre una recta, n segmentos iguales y con-secutivos A1A2,
A2A3, A,,An+i, sobre los cuales, en-na.misma regn de Ja recta, se
construyen n trin-itilos iguales, teniendo por terceros vrtices los
puntes Bl,;B2, '-'. Bn.
:{:Ls '.segmentos B1B2, B2B3, ... Bn-1Bn, que unen e!!tos:,
:ltimos vrtices, son iguales, y pueden conside-rarse '.como . bases
de otros n - 1 tringulos iguales: Bi.A2B;; 'B2AaB3, ... Bn-1 AnBn.
Compltese la figura .cQn'.,eJ,,;'tringulo B 11An+1 B n+1. igual a
los precedentes. ; : : ... , .... -- ..
( 1 } .:Afiadain:
-
68 GEOMETRtAS NO EUCLIDIANAS'
_ .He.laqu ahora cmo LEGENDRE demuestra que lq; suma de los tres
ngulos de un tring.ulo es igual a dos angulos rectos. .
. . .,,,........ ............. ,,,-...... ,,,-.....
.En eltringulo ABC supngase A+B+C ~
:; .. ~ ~ '! t -~ ~
~ .-: ~
;~: 'T
....
,.
~ "' ?
.
~l ! .
"";; ...
it .,
LOS PRECURSORES DE LA GEOMETRiA NO EUCLIDIANA 69
'terior de un ngulo se puede siempre trazar una recta que
encuentre a los dos. lados del ngulo (1).
:lle aqu cmo procede: Sea A B C . un tringulo, -en el cual, si
es posible, la
sma de los ngulos sea menor que dos ngulos rectos~ ,/"'-...
....-..... ,,-...... .,,....... .
Siendo: 2 rectos - A - B - C = a: (deficiencia), constryase el
punto A: simtrico del A respecto ~
L AA
A B B. Figura 29
lado B C. La deficiencia del nuevo tringulo C B A' es tambin a.
Despus, en virtud de la hiptesis arriba enunciada, trces-e por A'
uiia transversal que encuen-
~ tre en B 1 y C1 a los lados del ngulo A. La deficiencia del
tringulo A B1 C1, como fcilmente se verifica, es Ja suma de las
deficiencias de los cuatro tringul08 que lo componen (cfr. tambin
L.urnERT, pg. 5-7), y, por tanto, mayor que 2 a;. Repitiendo,: a
partir del tringu-lo A B1 C1, la precedente construccin, se obtendr
n nuevo tringulo de deficiencia mayor que 4 a. Despu~ de n
operaciones de igual naturaleza, .se habr construi-do un tringulo
de deficiencia mayor que 2na. Pero para n bastante grande es 2na
> 2 rectos (postulado
Arqui~des), lo que es absurdo. Por tanto, a= O, y de ~ /""--.
,,,,-..... ......-.
aqu: A+ B + C = 2 rectos. Esta demostracin est apoyada en el
postulado. de
Arqumedes. He aqu cmo se podra evitar el uso de tal
postulado:
(') De esta hiptesis ya se habia ser:vido J, F,_ Loro:NZ para el
mismo fin: cfr. G-rundr".ss aer reien und att17
-
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.. \ .;.-i> ~ .:;~ ~~l.'.. ,~.. r~ ~; {.' : ..... ~~ F . :~~
;.~ :-;
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;;;;;111. ,.f
t~i; ,
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~'
70 GEOlr!ETRtAS NO EUCLIDIANAS
:S~ AB y HK una oblicua y una perpendicular a AH; Constryase la
recta A B'; simtrica de A B re.s-Pctcde' A H. Por el punto H, en
virtc:I de la hiptesis 'dk~RE. pasa una rectar, que 'ecuentra a
Iosdqs fados del~-ngulci B A B' . . Si esta recta es distinta d la
Ei>Jt tambin su simtrica r', respecto a A H, goza de ta lnislna
propiedad, y, por consiguiente, tambin la
~ A
B Figura 30
H K. Entonces, una perpendicular y una oblicua a la ~ecta AH se
encuentran siempre. De este resultado sguese la teora ordinaria de
las paralelas, y, por
. ............... ..,.,,,.....__ ,,,........... .,,,........
-
tan_to, A + B + C = 2 rectos. En otras demostraciones, LEGENDRE
hace uso de ra-
zonamientos analticos y, tambin errneamente, de magnitudes
infinitas.
C.on esta obra tan varia LEGEND&E crey, al fin, re-suelta la
inextricable aificultad escondida en el prin-cipfo de la Geometra.
En substancia, sin embargo; no aade,Iiada de: verdaderamente nuevo
al material; y a l.s-'.:con:Vicciones ganadas por sus predecesores.
Su ma-ii' .~riti, est en la forma sencilla y elegante que sup0
4il;~:t~~~ de sus investigaciones, por 1 :que St.as hl~n;
aquella difusin que tanto contribuy' a ilanciJar el crculo de los
cultivadores de las nuevas f~;~q~~:~entonces estaban formndose.
:.: ~:~~~~~:~;~:~;.~ :~;_ /':.: WOLFGANG BOLYAI (1775-1856) ,-_
., .......... _;.,.
- ~,,__
':29;':i'.E7i;este captulo se ha mencionado ya .al ge-me~L~~g~~o
W. BOLYAI, que se ocup de las para-
~J:Cu ;-;.--: .--:;:;,:~;;;;i~-:;_;(;~,,,~~--
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LOS PRECURSORES DE LA GEOMETR!A NO EUCLIDIAN.4. 71
lelas desde la poca en que estudiaba en Gottinga (1796:.. 1799),
probablemente por consejo de KAEsTNER y del joven profesor de
Astronoma K. F. SEYFFER (1762-1822), con quien teia relaciones de
amistad.
En 1804 envi a GAuss, su compaero de estudio en Gottinga, una
Theoria Parallelarum, conteniendo una tentativa para demostrar la
existencia de rectas equi-distantes (1 ). GAuss impugn esta
demostracin. BoL-YAI no ces por esto de ocuparse del axioma XI,
consi-guiendo solamente substituir el axioma por otros de mayor o
menor evidencia. Llega as a dudar de su de-mostrabilidad y a intuir
la imposibilidad de reducir la hiptesis eucldea., porque (afirma)
las consecuencias derivadas de la negacin del axioma XI no pueden
con-tradecir los principios de la Geometria, en cuanto la ley de la
interseccin de dos rectas, como quiera que sea admitida, representa
un nuevo dato, independiente de los vtros que le preceden (2 ).
WOLFGANG rene sus ideas acerca de los principios de las
matemticas en la obra Tentamen juventutem studiosa in elementa
Matheseos (1832-33), y en par-ticular sus investigaciones sobre el
axioma XI, rro-niendo en evidencia en cada- tentativa la nueva
hip-tesis a introducir para hacer rigurosa la demostracin.
Un notable postulado, del que WoLFGANG deduce el de EUCLIDES, es
el siguiente: Tres puntos no en lnea recta yacen siempre sobre .una
esfera, o lo que .es lo mismo: tres puntos rw en lnea. recta
pertenecen siempre a una. circunferencia (3 ).
He aqu cmo puede deducirse el postulado eucldeo, Sean A A' y B
B' dos rectas, una oblicua y la otra
perpendicufar a A B. Tomado 'el punto M en el segmri:. to A B y
los simtricos de M .respecto a las rectas A A' y B B', se obtendrn
dos puntos, M', M", no en lfoea
( 1 ) La Theoria ParaZlela.rum fu publicada en latILY.
tradu-cida al alemn por STACKEL y ENGEL en el t. XLIX de Math.
Ann,, pgs. 168-205 (1897).
( 2 ) Cfr. STlCXEL: Die Entdeckung der Nchteuklidise~;.
Geom.strie durch J. Bolyai. Math. u. Natnrwissenschaf . . Berich.
AU$ Ungarn, t. XVII (1901) .
(') Cfr . . W. BOLYAI: Kurzer G.,-zmdriss Bines 'Vers11cha,
etc., pg. 46 (Maros Vsrhely, J8fil ') .
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72 . GEOMETR1AS NO EUCLIDIANAS
recta-con . M. Estos t_res puntos M, M', M" pertenecen a . una
c~r.cunferencia, y entoncs las dos rectas A A' Y.
.. .
.... ... ::: .. ""B~----B,-
M" Figura 31
~
B B', debiendo ambas pasar por el centro del crculo, se
encuentran.
Pero del hecho que una perpendicular y una oblicua a una misma
recta se encuentren se deduce, desde lue-go, la singularidad de la
paralela.
FEDERICO LUIS WACHTER (1792-1817) ~ 30. Visto cmo el postulado
eucldeo depende de
la posibilidad de trazar un circulo por tres puntos
cua-lesquiera no en lnea recta, se presenta espontnea la idea ' de
establecer la existencia- de tal crculo anterior-mente a -toda
investigacin sobr~ las _ paralelas . . _;_ 1Jna tentativa en esta
direccin fu hecha por F. L. WAbHTER. .
WACIITER, discpulo de GAUsS en Gottinga (1809) y pi'QfE!gr de
Matemticas en. el gimnasio .de Dantzig, .se30e.u:P6 repetidas vees
de la .demo8fracin del postu-
~~~'Y:. ~r~y haber alcanzado el objeto, primero en una ,
carp>)i.'-GAss (diciembre 1816), despus en un peque--
o'ti:ii~.lo impreso en Dantzig en 1817 (1.); :: -~rLesta
publicacin es donde trata d establecer que
-p-OJ.:::uatro. puntos arbitrarios -del espacio (no
perte-necientes-:a".'un pfano) pasa una esfera, sirvindose del
s~ente' .. postulado: Cuatro puntos _arbitrrio's dei es-pacpj
~_eJ?riinan completamente una iuperfcie (su-
pedfoi~~ d~c los cuatro puntos), y dos de estas
superfi--(i)'i~2~~~1"atio aziomatis goomtrici in Euclideis
undecimi.
"i
l ( .1
f'
.;.
J
~- \
d _)
~ ~
"":
LOS PRECURSORES DE LA. GEOMETR1A NO EUCLIDIANA 73
ces se cortan en una sola lnea, completamente deter-minada por
tres puntos.
Es intil seguir .el razonamiento con que W ACHTER trata de
demostrar que la superficie de los cuatro pun-tos es una esfera,
porque, faltando en su opsculo una definicin precisa de aquella
superficie, sus deduccio-nes tienen solamente carcter .
intuitivo.
Merece, en cambio, especial atencin un pasaje de su carta de
1816, escrita despus de una conversacin con GAUSS, en la que se
haba hablado de -una geometra antieucldea .
En e11ta carta, W ACHTER, refirindose a la superfi-cie lmite de
una esfera cuyo radio tiende al infinito, que en la hiptesis
eucldea se identifica con el plano, afirma que sobre ella, aun en
el caso de falsedad del postulado V, sera vlida una geometra
idntica a la del plano ordinario.
La afirmacin e.s de la mayor importancia, porque nos presenta
uno de los ms notables resultados vli-dos en el sistema geomtrico
-correspondiente a la hi-ptesis saccheriana del ngulo agudo (cfr.
LBATS-CHEFSKI, ~ 40) (1).
/
( 1 ) Para cuanto se refiere a W A.CHTER cfr. P. STACKEL:
Frie-d.erich. Ltui'Wg WMh.ter, ein Beitrdge zu,. Guchichte der
nicll.teuk-/idi.schMI. Geom~trie; lliath. An11., t. LIV, pgs. 49-85
(1901). En este articulo se exponen _ las cartas de WACHTER sobre
este asunto y el opsculo de 1817 arriba citado,
.:'. ;.'-\ ~-. r.o-~~- ... ~~~~ ....
~;:c!-;r.A";;:.--:n"'-..~~:m":~"T.n'.f~~~~~Si~2,1.7~~~'~};.-~~"tt,~.~~
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4-
CAPTULO. III
LOS FUNDADORES DE LA GEOMETRfA NO EUCLIDIANA
CARLOS FEDERICO GAUSS (1777-1855) ~ 31. Veinte siglos de intiles
esfuerzos, y seala-
damente las ltimas investigaciones infructuosas sobre el
postulado V, indujeron a muchos gemetras de prin-cipis del siglo
pasado a la conviccin de que la orga-nizacin definitiva de la teora
de las paralelas cons-tituye un problema irresoluble~ La escuela de
Gottinga,
desd~ 1763, haba declarado oficialmente la necesidad de
someterse a la hiptesis eucldea, y esta idea, ex-presada por KLGEL
en su Conatuum (cfr. pg. 62), fu compartida y sostenida por su
maestro A. G. KAEsTNE&, entonces profesor en la Universidad de
Gottinga (1 ).
No obstante, el inters por nuestro asunto fu siem-pre vivo y,
aun no dejando de fatigar intilmente a los indagadores de la
presunta demostracin del postulad-O, gui finalmente al
descubrimiento de los ntievos siste-mas geomtricos, los cuales,
fundados tambin en la intuicin, se desarrollan en un campo ms
vasto, ha-ciendi>, caso omiso del principio contenido en el
!)Ostu~ lado eudideo.
Toda la dificultad para penetrar en el nuevo orden de ideas
aparece manifiesta a quien, refirindose a aquel . tiempo,
reflexiona en las concepciones entonces dominantes de la filosofa
kantiana.
32. Fu GAUSS el primero en tener una VJSn clara de una geometra
independiente del posttdado V, visin que durante unos cincuenta aos
permaneci encerrada en la mente del ilustre gemetra y que di
( 1 ) Cfr. STACXELy ENGEL: Th. d~ P., pi
-
lf, li,il::\flf~ ~i~;f:L~ if1'.:'1~
'):~~ -~ -~-mrt
/:? . :
76 . GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS ~
ii"Juz solamente despus de las obras de LoBATSCHEFS-KI
,-.(1829-30) y BOLYAI (1832).
:Los documentos que permiten una reconstruccin a.proXimada de
las investigaciones gaussianas sobre las p.ralelas son la
correspondencia de GAuss con W. BoL-YAij'"OLBERS, SCHUMACHER,
GERLING, TAURINUS y
)3EssEL (1799-1844); dos pequeas notas en Giitt. ge-_:
Z6krt..Anzigen (1816-1822), y algunos .apuntes encon-
.. ,'fiados entre sus cartas (1831) . (1 ). t/CnfrOritando
varios pasaje$ de las cartas de GAuss : '.es''P.sihle fijar como
punto de partida de sus medita-
cio?ies el ao 1792. El siguiente trozo de una carta a W. BOLYAI
(17 di-
ciembre 1799) prueba que GAuss, como antes SAcdHERI i. .LAMBERT,
ha intentado demostrar el postulado V tomando como hiptesis su
falsedad . .
. Casi todos, es cierto, quisieran dar a esto el ttulo
qe:;a"xioma; yo no; podra, en efecto, .ocurrir que, por lejanosque
entre s estuviesen los .vrtices de un trin-
. W
-
78 GEOMETR1AS NO EUCLIDIANAS
"Y-Los apuntes encontrados entre - 1~ manuscritos de
GAuss contienen un rpida .esbozo de la nueva teora de hts
paralelas, y deball.: t
-
~~. ;=.: 1.r,. jf ~%~ ' j
~~.-:-;:', ' ".]!.'
,~::-.. -' ... ~..:. ~
.
80
GEOMETBIAS NO EUCLIDIANAS
la circunferencia; no es una. circunferencia . . _ljiJ tres .
de. sus puntos. .-0 pertenecen nunca a:. una
circunferencm. Semejan . te linea puede concebirse como lmite de
una cir-r . 1 . - :7 o . 'curiferencia cuyo . radio
tiende ' al infinito. ' GAUSS no prosigui .su
redaccin-porque en 1832 conoci la obra de JUAN BOLYAI sobre la
Geome-ti-ia absoluta.
Por cartas anteriores Flirura 3 y posteriores a la inte-
rrumpida redaccin sabe-. . . mos tambin que GAUSS
haba , descubierto en su Geometra una unidad abso-luta_ para los
segmentos (cfr. LAMBERT, LEGENDRE), ~- y~:que:.en sus frmulas
aparece una constante k, cono-
cjda Ja; cul se: puede resolver cualquier problema ccart a:
GERi.rna). . Con:ins precisin, en 1831 (carta a SCHUMACHER)
deteniilil.a la longitud de la circunferencia de:. radio r bajo
la forma: . . r.k(} _;i).
'":A '.propsito 'Cie k.dice que cuando se quiera poner de
_cuerdo.~ _nueva G:eoiJ?.etr.a coh la eX:periencia, preci-
. s 8uPQnerf infinitamente grande respecto a todas las magrutdeS
merisurab1es:~/-.' ./ Para Je = co, .;l~~expres1n iaussiana se
convierte en
'.. '._.:~~=~;i~f~~~~~~fa ~?~~~;;~~ h\ cttcunferencia (1 ). Esta
: .,':-:-: \.~.{1)~-iPar.it .:,verlo . subs.!itYase. a ,ca~a
exponencial el desarrollo
. - ?.i:j;:~~r~iw.~c:t)Il~~o~:: r . . r3 ~
-
~
82. GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS
_ 1~>.Si esta constante fUes~ . para , nosotros el semieje .
l;err~tre (y en consecuencia de esto;''toda linea recta 'ttazada
entre dos estrellas.fijas que:diStan entre si 90
.:serla . tangente a la esfera terresti~) .serla infinita-.ment
grimde r~pecto a las dimerisiO:ri.es que se pre-
-:seritali. en la vida cotidiana. :;>La geometra euclidea se
verifica en la hiptesis de
::que 'la constante sea infinitamente granP,e. Slo enton-.ces es
verdad que la suma' de-los .tres. ngulos de todo ti-f.ngulo es
igual a dos rectos, y esto se deja demos-
Figura 85
trar fcilmente, tan slo si se admite como dato que la constante
sea infinitamente grande (1) .>
La Geometria astral de SCHWEIKART es la no eucli-diana. de
GAUSS, correspondiendo enteramente al siste-. ma de SACCHERl y
LAMBERT en la h.ip. ng. agdo. Ms 'bien el contenido de fa
precedente noticia deriva inme-'di.tamente de 'las prposiicines de
:SACcHERI expuestas
.,: ~~ el Conatuum, de KL'GEL, y dL teorema de"LAY-. --~ \ ;
BERT sobre el rea del triri.gulo. Y ya que SCHWEIKART,
.: :_ :'-'": tn u TMrie de 1807, cita las obra de estos '-dos
:l-< :;: \"~:riibs autores, queda as:a:fumad la
'inilueri.C,ia;--ditecta :X:-.;}/de:-~. indirecta, al menos;-de
SACCHERIJ:SObre ..... ~ '~':)as':inveiitigaciones de ScRWEIKART
(2). ~. :/En: marzo de 1819, GAUSS, respondiendo a:-GERLING ~to' a
la. Geometra a.8tral, ensalza a:. SCHWEIKART,
_ .y :'deelara que~concuerda con todo cuanto contiene el fo-:
';:Jleto gue _le ha enviado. Aade que l ha desarrollado
~ ~ ~~ '.r~~-:~, :~:;/ ~ ,; , _ '_ :.'.
-
~~ff '~ . .i.1 v~tl. -~~i [e~ ; ' ~?f
~l-;..;...t ' 1 \': . ~-~r . IS~> '. g~~--- ;-} ~r .. (i.'' .
"; -r,.-, Ji:l/ 'i'
... ;
. ~ .. _-:,:. _ .....
" r-f- ~ "rt'-
.,11:. , ... _ ,: ~~
~ -~.t.
. ~f~' r\J:-~-~ ~ f. -f,~~:
;'(, .
:iiY ~ ~f?~ ~ ~-'f. ,~t ~ ~-. ~
~ .... ;. ~ ~~~- J:
84. GEOMETRtAS NO EUCLIDIANA S
ner., mejoradas, las investigaciones de 1825. El trabajo
cilcluye con un importantsimo apndice en el que el autor' demuestra
cmo se puede efectivamente construir
mi' sistema geomtrico (analtico) correspondiente a la M:p. ng.
agudo (1). -~ A este fin TAURINOS parte de la frmula fundamen-
tal de la Trigonometra esfrica: a b e b -e
coa= cos k cos k + sen k sen k cos a; Y. en .ella substituye el
radio real k por el radio ima -
gi,~ario ik (donde i = '\f=l). La frmula obten'id~ por TAURINOS
puede escribirse, mediante el uso-de las fum;iones hiperblicas (2
), en la siguiente forma:
a b e b e Ch-=Ch- Ch - - Sh-Sh- cosa k k k k k . [1] 'l' Esta es
la frmula fundamental de la Geometra lo-
:-
gartmico-esfrica (logarithmisch-sphiLrischen Geome-trie) de
TAURINUS .
Es fcil demostrar que en la Geometra log.-esf rica la suma de
los ngulos de un tringulo es menor que 180. Refirmonos, para mayor
sencillez, al tringulo
(1) Para cuanto se refiere a la eventual influencia de
SA.CCHE-RI y LAMBERT sobre TAURlNUS cfr. las Con;eturas de SEGRE,
citadas en Ja pg. 66. . _' (a) Para comodidad del lector recordamos
~ definicin .ana-lltica y las propiedades :fundamentales de las
funcianu hip.r-
. bolicaa:
Sh X
.,,.(I) : ? Ch X ---~~~\' '.
Tb X=
-x xi xi ... c~e -~+-+-+ .... - 11 3! . 51 .
x' x+e-x -=-+-+. e = 1 + 2! .4!
- e-x
c+e-x
- -- -~.;:: .:;-';:" ~
Cth x = ex+e--x tf&-e-x
t '<
~~
t ,.,
'
LOS F UNDADORES DE LA G EOM E T RtA NO EUCLIDIANA 88
equiltero poniendo en la [1] a= b =c. Re.solvien!lo respecto a
cos a, tendremos
~
Pero
cosa:
Ch2 .!!:.: _:_ ch _::_ k k
Ch.!:_ k
---------- = - ------
a Sh' 1 +Ch.!:_ k
a 1( )2 l()' Ch-=l+- - . +- - +-- k 2 1 k 4! k Notando luego que
las :funciones circulares sen :z:, coa ii:,
tg :z: , son susceptibles tambin de una definicin analtica, Y qe
precisamente
'"'. ~ "--;~-"' ~ ;, -;; + ~ - . (II) ix +. e -ix x2 X" cosx= "
=l---"-+-- .... 2 21 41
tg 1 ix . x -- e -e-tz iix ix e +e -ix , ctg x = i e +e -tz eix
. ,
-e-i.:z:
es fcil ver que las funciones circulares y las hiperblicaa estn
ligadas por las aigmentes relaciones:
{ Sh x = sen (~); (III) Ch X= 008 (tz); iThx = tg (ix) - i Cth
:t = ctg (iz).
Estas ltimas permiten transtormar las :f6rmulu :fundamen-tales ,
de la goniometrla, en las correspondientes para laa fun-ciones
hiperblicas.. Las cuales son las siguientes:
f Ch.2 z-Sh'x= 1 ~i~~~=~x~y~y~z
l Ch (x y) = Ch x Ch y Sb z Sh y.
..
... -~1 .
),1 :.U
~
~ rj ri
:ti
' f
.- il ~
I;
J ~ 4 ,; I .Ki: ~.~;~:)
-
d t>--,_ l ~" 1,>:r.- ;iV.< ~-
,~~i ,, . ~lli' -:
. \ ; . ~ . . .
f. -
;
-~
-"
'. __ ,_, ' .;.
86 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANA S
_ pqr consiguiente, - . _. 1 ( a ) 2 1 ( a ) i +- -_ +- - + . .
- 21 k 4! k
~ . 2+- ~ +- ~ + (*) cosa == 1 (. )! 1 ( ) 4 - 21 k 4! k
~
~.
Esta fraccin evidentemente es mayor._ que ~ , por fo cual ser a:
< 60 , de donde la suma de los ngulos d~l tringulo es menor que
180
Adems es oportuno notar que l. 1 Im COS a;= - 2 '
a=O es decir, el lmite de a, tendiendo a- a cero, es 60. Por lo
cual en la Geometr:L log.-esfrica la suma de los ngulos de un
tringulo t iende a 180 cuando los lados tienden a cero. Sobre la
frmula (*) podemos hacer las siguientes observaciones:
l. 1 un cosa:= - 2 k= ct:J
o bien: para k, tendiendo al infinito, - a tiende a 60 . Esto
es: si se supone la constante k infinitamente grande, el ngulo del
tringulo equiltero es de 60, como en la Geometria ordinaria. _ Ms
generalmente se podrl.a.: ver que la [1], -para k == _oo, se
convierte en
a,2 = b2 + c2 - 2bc cos a;, ,.-_ o . sea la frmula fundamental
de la trigonometra pla-
( na' .euclidea. Este resu'ltado puede, ventajosamente, r-'-'
lacion.rse con las afirmaciones de GAUSS y -ScHWEI-:ICABT.
' -.
"-;c--37. La-segunda frmuia fundamental de la.
trigo-nometra-esfrica -
. . G _ -. _ ._ cos a = - cos ~ cos + sen ~ sen 1'. co8c-,
. coi~:n: simple cambio del coseno circulti.r -en el coseno :-
~i~i.~~~ico,. se convierte en la segunda frmula -funda-
mentar~ de- la Geometra log.-esf rica:
t .
. ' ~ .. ,,,.-.-~-~~~j~"o(\.~~:,,i.c-~.'"o:.:~,i~~r- ;.;.~~~ ..
.sJ.:,!:-~$~,~~,.~
'\..;... OJ
~
LOS FUNIJADORES DE LA GEOll!ETRtA N O EVCLl DlANA 87 a
[2] cos a = - cos ~ cos + sen ~ sen "f Ch T Para a = O y~ =;= 90
se obtiene: ~
a 1 [3] Ch-k-= -- sen~
El tringulo correspondiente a esta frmula tiene un ngulo nulo y
los dos lados que lo forman _de lon-
.e B
~ a \.?o ( A e \
Fia'u