19. Tema 19: Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al cálculo del rango de una matriz. Índice 19. Tema 19: Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al cálculo del rango de una matriz. ................................................................................................................. 1 19.1. Introducción........................................................................................................................................................................ 1 19.2. Permutaciones ................................................................................................................................................................... 2 19.3. Determinante de una matriz cuadrada ................................................................................................................... 2 19.4. Propiedades de los determinantes ............................................................................................................................ 3 19.5. Desarrollo de un determinante por una línea ...................................................................................................... 5 19.6. Cálculo de determinantes de orden elevado......................................................................................................... 6 19.7. Matrices regulares ............................................................................................................................................................ 7 19.8. Cálculo del rango de una matriz ................................................................................................................................. 7 19.9. Resumen ............................................................................................................................................................................... 8 19.10. Conclusión ......................................................................................................................................................................... 9 19.11. Bibliografía........................................................................................................................................................................ 9 Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)
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19. Tema 19: Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al ...
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El cálculo matricial tiene importantes aplicaciones, como la resolución de sistemas deecuaciones lineales.Otrasaplicacionesseencuentranal trabajaral trabajarenFísicaCuánticaoenTeoríadeGrafosyseutilizanencomputaciónporlasimplicidaddesumanipulación.
Sin embargo, y aunque es un concepto inherente a muchos otros trabajados en cursosanteriores,comoes laresoluciónolaexistenciaonodesolucionesasistemasdeecuaciones,noeshastasegundocursodeBachilleratocuandoelconceptodematriz,determinanteysusaplicacionesaparecenenelcurrículo.
En este curso, se pretende utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión, etc. eidentificaryusarlosdistintostiposdematricespararepresentardatosprovenientesdetablasografosypararepresentarsistemasdeecuacioneslineales.Además,el/laalumno/aaprendeareconocerlasmatrices como cuadros de números y valorar su utilidad para organizar y manejar informaciónformandoparte esencial de los lenguajesdeprogramación, así comoa realizar adecuadamente lasoperacionesdefinidasentrematricesymanejarlaspropiedadesrelacionadasconosdeterminantesdeformamanualoconelapoyoderecursostecnológicos.
O.D.
Lossistemasdeecuaciones linealestienenuna importanciaespecial,yaqueenmultituddesituacionesdelascienciastantodelanaturaleza,comodelafísica,laquímica,etc.,comodelascienciashumanas y sociales, como la economía, la psicología, la sociología, etc., aparecen frecuentementesituaciones cuya expresión cuantitativa conduce de forma natural a grandes sistemas de muchasecuacioneslinealesconmuchasincógnitas.
Actualmentemuchosprogramasparaordenadoresutilizanelconceptodematriz.Unejemploson las hojas de cálculo, utilizadas en gestión empresarial y en gestión científica, y que funcionanutilizandounainmensamatrizconcientosdefilasycolumnasencuyascasillaspuedenintroducirsedatosyfórmulasapartirdelascualesserealizanloscálculosagranvelocidad.
Sabemos que el estudio de los determinantes puede realizarse también a través de lasaplicaciones multilineales, pero no será éste el enfoque que daremos a nuestro desarrollo porconsiderarlo,actualmente,pocoutilizadoenelniveldeenseñanzasecundaria.
HISTORIA
El primero en tratas de sistematizar el tratamiento de los sistemas lineales fue el granmatemáticoalemánLeibniz,quienen1693introdujolanocióndedeterminante.En1750,Cramer,dioconuna reglapara la resolucióndirectade los sistemasusandodeterminantes.En1773,Lagrangeobservólaconexiónentreelvolumendeltetraedroenelespaciotridimensionalyelvalordeunciertodeterminante.
EsamediadosdelsigloXIXcuandoSylvester(1814‑1897)introduceporprimeravezeltérminodematriz para referirse a un cuadro rectangular de números. El desarrollo inicial de la teoría dematrices se debe a Hamilton (1805‑1865), y es Cayley (1821‑1895) quien introduce la notaciónmatricialcomounaformaabreviadadeescribirunsistemalinealdemecuacionesconnincógnitas.
deltipo±a1ha2k…anltalesque:encadaproductohayunelemento,ysólouno,decadafiladeAy,ala vez, hay un, y sólo uno, elemento de cada columna de A; el signo± es + ó – según que lapermutación(h,k,…,l)de(1,2,…,n)seaparoimpar,respectivamente.
Observandoahoraelvalordelasumadelostérminosquecontienenunaijcualquiera,vemosquedichoelementosepuedetrasponerallugarqueocupaa11mediantetrasposiciones,respectivamente,delai-ésimafilaycolumnajconcadaunadelas(i–1)filasy(j–1)columnasprecedentes,deformatalquelasrestantesfilasycolumnasguardanenelnuevodeterminanteA’lamismaposiciónrelativaqueenelA.Teniendoencuentaquecada cambio de línea o columna produce otro cambio de signo, se tiene:
Puestoque lasumadetodos los términosdeldeterminanteA’quecontienenaij,elcualocupaahora laprimera fila y primera columna, acabamos de ver que vale aijαij, resulta:
Porúltimo,recordandoqueencadatérminodeldesarrollodeAapareceunsoloelementodecadalíneaprefijada,porejemplo, la fila i-ésima,haceque sepuedadistribuir eldesarrollodedichodeterminanteenngrupossintérminoscomunes,formadoselprimeroporaquellosquecontienenai1;elsegundoai2,...,hastaelque
reducir cualquier determinante (bien sacando fuera del determinante, como factor del mismo, uno de suselementos,otambiénrestandodoslíneasparalelasquetengandoselementosquedifieranen1;etc.).Lovamosademostrarpara4ºorden,porejemplosi :
Es fácil comprobarque:SiAes invertible lamatrizBverificandoA ·B=B ·A= In esúnica.Enefecto:SupongamosqueexisteB’∈Mn/B’·A=A·B’=In.Entonces:B=B·In=B·(A·B’)=(B·A)·B’=In·B’=B’⇒B=B’.
Se llamamenor de orden p de A al determinante de una submatriz cuadrada que se obtiene de Aeliminandom-pfilasyn-pcolumnas.UnmenoresnonulosidichodeterminanteesdistintodeceroytodomenornonulodeordenpdeAsedenominamenorprincipaldeordenp.
SedicequeAtienerangop(rg(A)=p)cuandoenellaexiste,porlomenosunmenordeordenpdistintodecero, siendonulos losmenores posibles de orden superior a p. Con esto, estamos diciendo que hay alguna
13 21,a a
1det(A)ij jib A=
1,0,i k
Ii k=ì
= í ¹î
1
1 1 1
1 , si i=k1,1componente de -ik de AA componente -ik de I
Teorema: La característica de una matriz coincide con el número máximo de sus filas ó columnaslinealmenteindependientes.
Demostración:ParaprobarelteoremavamosaverquesilacaracterísticadeA(matrizdadaanteriormente)eshyαrepresentaunmenorprincipaldeordenhdelamisma,cadaunadelasfilasdeAquenofiguranenαes una combinación lineal de las h filas que constituyen dicho menor, las cuales son linealmenteindependientes.Enefecto,supongamosparasimplificarlanotaciónqueunmenorprincipalestáconstituidopor loselementoscomunesa lashprimeras filasy columnasdeA.Entonces—paraunvalor cualquiera Icomprendidoentreh+1ym,ambosinclusive,ytodoslosvaloresj=1,...,nsetiene:
puesparaj=1,...,h,estedeterminantetienedoscolumnasiguales,yparaj=h + 1, ..., n, es un menor de la matriz A cuyo orden es mayor que lacaracterísticah.Desarrollado (5)por loselementosde laúltimacolumna,tendremos: a1j α1 + ... + ahj αh + aIj α = 0, donde α1, ..., αh denotan,respectivamente,losadjuntosdeloshprimeroselementosdedichacolumna.
Enprimerlugar,seintroduceelconceptodepermutacionesytrasposición,conelobjetivodeasentarlasbases del concepto de determinante de una matriz cuadrada de orden n, donde se presentan losdeterminantesdesegundoytercerordenylaspropiedadesdelosdeterminantes:
6. Unamatrizcuadradacondosfilasodoscolumnasproporcionalestienedeterminantenulo.7. Si los elementos de cualquier fila o columna de unamatriz cuadrada son sumas de igual número detérminos,entoncessudeterminanteasociadoesigualalasumadetantosdeterminantescomosumandosfigurenenlafilaocolumna.
En el apartado dedesarrollo de un determinante por una línea, se define los conceptos demenorcomplementarioyadjuntodeunelementodeunamatrizasícomoeldesarrollodeundeterminanteporunafilaocolumnahaciendousodeestos.
ES Elconceptodematrizesunodelosmásfructíferosdetodalamatemáticaydegranimportancia
para el desarrollo de todas las ciencias, actualmente en campos como la física, la informática, laestadística,laeconomía,etc.,y,engeneralsiemprequetrabajamosconungrannúmerodedatos,loscualesseorganizanenmatricesparasuposteriormanipulación:calendarios,basesdedatos,horarios…