19. Dielektrische Eigenschaften (I) · • Frequenzabhängige Dielektrizitätszahl 𝜺(𝝎) (Optik): Brechungsindex: =𝑓(𝜔): Dispersion 𝜔 hat einen Realteil und einen Imaginärteil:

Prof. Beatriz Roldán Cuenya [email protected] http://ep4.rub.de

19. Dielektrische Eigenschaften (I)


Einführung

Zwei Beschreibungen der Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit Festkörpern: Makroskopisch: Maxwell-Theorie, Festkörper wird durch Materialkonstanten ,

beschrieben. Mikroskopisch: z.B. Absorption eines Photons bei Erzeugung eines Phonons Hier: Verknüpfung beider Beschreibungsweisen - Reaktion eines Festkörpers auf ein elektrisches Feld : Metallen: es bewirkt einen Strom Isolatoren: dielektrische Polarisation, piezoelektrischen Effekt, ...


Makroskopische Beschreibung

Dielektrische Polarisation: EP e

0 χe = elektrische Suszeptibilität

(in Vakuum χe =0)

ε0 = Permitivität des Vakuums

= 8,8542 · 10-12 C2 J-1 m-1

Die dielektrische Polarisation ergibt sich durch die Ausrichtung mikroskopischer

elektrischer Dipole, die entweder bereits vorhanden sind oder durch das Feld induziert

werden.

Dipolmoment:

qp q = Ladung

δ = Abstandsvektor

(es zeigt von der negativen zur positiven Ladung)

qV

Np

V

NP

Suszeptibilität: 1 e ε = Permitivität / Dielektrizitätskonstante

(nur für kleine elektrische Felder; es gilt nicht, wenn

starke elektrische Felder vom Laser verwendet

werden)


Makroskopische Beschreibung

Beispiel: elektrische Polarisation in einem ebenen Plattenkondensator

0

E

(a) Ladungen auf den

Platten des Kondensators

ohne Dielektrikum

(b) Polarisation des Dielektrikums

zwischen den Platten

(c) Oberflächenladungs-

dichte des Dielektrikums

an der Grenzfläche

zwischen Platte und

Dielektrikum

A= Plattenfläche

d = Abstand

σ = Oberflächenladungs-

dichte auf den Platten

d

AC 0

Kapazität:

00

1

PE

d

AC 0

Kapazität:

Gauss

Gesetz

EEEEPE e

0

0

0

0

00

1)1(

111


Mikroskopische elektrische Polarisation

Im elektrischen Feld wird die Kugelsymmetrie des Atoms gebrochen

und die negativen und positiven Ladungen werden verschoben, was

zu einem elektrischen Dipolmoment führt:

Ep

α = atomare Polarisierbarkeit oder Verschiebungs-

polarisation

Mechanismen, die zu einer mikroskopischen elektrischen Polarisation führen:

(a) Elektrisches Feld polarisiert alle Atome im Festkörper.

(b) Festkörper mit Ionenbindung (z.B. NaCl) das Gitter

wird im elektrischen Feld polarisiert lokale elektrische

Dipolmomente die positiven Ionen verschieben sich in

Richtung des äußeren Feldes und die negativen in

entgegengesetzte Richtung. Ionenpolarisation

(Das gestrichelte Gitter kennzeichnet die Lage der Ionen

ohne ein äußeres Feld).


Mikroskopische elektrische Polarisation

(c) Permanente Dipole richten sich im Feld aus (z.B. H2O) sie können sich frei

drehen, und sie orientieren sich selbst parallel zum elektrischen Feld

Orientierungspolarisation.

(Typisch fur Flüssigkeiten oder Gase).

Verschiebungspolarisation

Ionenpolarisation

Orientierungspolarisation


Das lokale Feld

EV

Np

V

NEP

0)1(

E = mittleres elektrisches Feld im Dielektrikum =

äußeres E Feld + E durch Polarisation

N

V0)1(

Polarisierte mikroskopische Dipole

in einen Dielektrikum in einem

äußeren Feld. E = mittlere interne

Feld im Dielektrikum

Jeder einzelne Dipol spürt

E + E’, weil die

umliegenden Dipole eine

Felderhöhung bewirken

Lokales Feld: EElok

)2(

3

1

E’ = Feld, das erzeugt wird, wenn ein

Dipol aus dem Dielektrikum entfernt wird

EV

NE

V

NP lok

)2(

3

Polarisation:

N

V03

)2(

)1(

Polarisierbarkeit: Clausius-Mossotti-Gleichung


makED

0 Materialgleichung

makE

P

0 Dielektrische Suszeptibilität:

P

0

1

Durch Polarisation erzeugtes Feld:

• Die dielektrischen Eigenschaften werden durch die Dielektrizitätskonstante 𝜀(𝜔) (dielektrische Funktion) beschrieben optische Eigenschaften der Materie.

Dielektrische Verschiebung oder Elektrische Flussdichte

• Festkörper in makroskopischem elektrischen Feld 𝐸𝑚𝑎𝑘: Dielektrische Verschiebung (oder Elektrische Flussdichte):

𝑃: Polarisation, 𝜀: relative Dielektrizitätskonstante (reine Zahl), 𝜒: dielektrische Suszeptibilität • Wenn das makroskopische elektrische Feld mit einer Frequenz 𝜔 variiert:

makmakmak EEPED

000 1


Luft = 1.0006

Glas = 5 - 10

Ge = 1.6

H2O = 81.1 (18°C)

SrTiO3 = 310

Für das Vakuum gilt: 𝜀 = 1

Für Festkörper gilt: 𝜀 ≥ 1

• Frequenzabhängige Dielektrizitätszahl 𝜺(𝝎) (Optik):

Brechungsindex: 𝑛 = 𝑓(𝜔): Dispersion

𝑛 𝜔 hat einen Realteil und einen Imaginärteil:

n

ωniωnωn

Aufgabe der Festkörperphysik: Mikroskopische Begründung von 𝑛(𝜔) bzw. 𝜀(𝜔)

• Statische Dielektrizitätszahl: 𝝎 = 𝟎

Statische und Dynamische Dielektrizitätszahl


• Entstehung von Polarisation:

Induziertes Dipolmoment (Atome): Verschiebung des Schwerpunktes von positiver und negativer Ladung

Ionenpolarisation (Ionen): Positive und negative Ionen werden im Feld verschoben

Orientierungspolarisation (Moleküle): Orientierung (Ausrichtung) von permanenten Dipolen im Feld

• Dipolmoment:

heitVolumenein

pi

i

P

lokEp

𝛼: Polarisierbarkeit: atomistische Eigenschaft der Atome, Moleküle, Dipole usw

𝐸𝑙𝑜𝑘: lokales elektrisches Feld am Ort eines Atoms im Festkörper

• Polarisation: Summe aller Dipolmomente in einer Volumeneinheit bezogen auf das Volumen dieser Einheit:

Polarisation


n

n

nrqp

𝑟 𝑛: Ort der Ladung qn

Rqrqrqp

2211

-

+

2r

R1r

1q

2q

• Beispiel: H2O: -

+ + H+ H+

OHp2

1p 2p

O2-

q qcos22

HOOH pp

• Feld eines Dipols 𝑝 im Abstand 𝑟 :

pE

35

0

2 1~

4

3

rr

prrrprE

• Dipolmoment:

Dipolmoment

Für 2 Ladungen 𝑞1, −𝑞2:


Probe0 EEElok

0E

lokE

Probe

• Idealisiert:

i i

iiiilok

r

prrrpEE

5

2

i

0

0

3

4

1

𝑝 𝑖: Dipolmoment des i-ten Atoms bzw. der i-ten Elementarzelle am Ort 𝑟 𝑖

• Entscheidend für die Polarisation eines Gitteratoms ist das lokale elektrische Feld am Ort des Atoms.

Die Summe ist im Allgemeinen nicht ausführbar.

• Lösung: Dipolbeiträge in kleinem Bereich explizit berechnen. In größerer Entfernung lässt sich die Wirkung der Einzeldipole durch Oberflächenladungen beschreiben

Lokales Feld am Ort eines Atoms im Festkörper


3210Probe0 EEEEEEElok

𝐸0: Äußeres Feld. Wird von Ladungen außerhalb der Probe hervorgerufen.

𝐸1=EN: Entelektrisierungsfeld (oder Depolarisationsfeld). Wird durch Polarisationsladungen auf der äußeren Oberfläche erzeugt. Wirkt dem äußeren Feld entgegen (Influenzladung, vergrößert die Kapazität)

𝐸2 = EL: Lorentz-Feld. Erzeugt durch Polarisationsladungen auf der Innenseite einer fiktiven ausgeschnittenen Kugel. Dipolfeld der Fernordnung.

𝐸3 = Ed: Feld der Dipole innerhalb des Kugelvolumens.

Beiträge zum lokalen elektrischen Feld

(Kugelvolumen enhält viele

Einheitszellen des

Festkörpers, ist kleiner als die

Wellenlänge)


• Erzeugt durch induzierte Ladungen an der Oberfläche des Dielektrikums.

• Hängt von der Probenform ab.

0

1

PfE

𝑓: geometrie- abhängig

0E

Dünne Platte: Kugel: Rotationsellipsoid:

𝐸0 𝐸1

𝐸0 𝐸1

𝑓 = 1 𝑓 = 13

𝐸0

c a

1 2 3 4 5 6 7

𝑓

c/a

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

𝑬𝟏= EN: Entelektrisierungsfeld

𝑓 = 0 (EN und EL

kompensieren

sich)

1E


Makroskopisches elektrisches Feld

+qi

-qi

+q0……+q0

-q0………-q0

d U=const

0

1

P

fE

(f=1, E perp. dünne Platte)

E0= U/d

(E Richtung ist diejenige einer

+q Test-Ladung im

Kondensator)

Ei

• Makroskopisches Feld 𝐸𝑚𝑎𝑘: Besteht aus dem außen angelegten Feld 𝐸0 und der Summe aller Felder aller Ladungen, die im Körper enthalten sind:

• Anwendung auf dünne Platte: 0

0

PEEmak

10 EEEmak

00

0

ˆ

PE

P

d

xUE mak

𝑥


• Betrachten eine Kugel, innerhalb der die Polarisation näherungsweise homogen ist.

• Feld, das von Polarisationsladungen auf der Oberfläche eines fiktiven Hohlraumes (Hohlkugel) herrührt:

Eigenschaften von 𝐸2:

Ist dem äußeren Feld gleichgerichtet.

Da man immer Kugelgestalt annimmt, ist immer: 𝒇 = 𝟏 𝟑

In einer kugelförmigen Probe heben sich 𝐸1 und 𝐸2 auf.

0

23

1

PE

𝑬𝟐: Lorentz-Feld

2E


• Eigenschaften von 𝐸3:

• Variiert auf atomarer Skala, deshalb ist Integration nicht erlaubt

• Hängt von der Kristallstruktur ab.

• Für kubische Symmetrie: 𝐸3 = 0

(Summation wird ausgeführt über alle Dipolfelder im Zentrum der Kugel, wobei die Dipole ausgerichtet auf Gitterplätzen sitzen.)

• Allgemein:

PSE

3

𝑆 hängt von der Kristallsymmetrie ab.

𝑆 = 0 bei kubischer Symmetrie, d.h. in kubischen Kristallen gibt es keine Dipolfelder und keine Dipolwechselwirkung.

E3

𝑬𝟑: Feld im Innern der Kugel (Nahfeld)


in

mak

E

E

EE

lok

PS

PPfEE

3

20

0001

03

1

𝑆 = 0 für kubische Symmetrie

00

32

0

010

3

PS

PEEE

PfEEEE

EEE

in

mak

inmaklok

𝐸𝑖𝑛: internes Feld

03

1

PEE maklok

Lorentz-Beziehung

𝑬𝒍𝒐𝒌: Lokales Feld

• Annahme: Probe in der Form einer dünnen Platte

Zusammengefasst:


lokEp

Allgemein: lok

jiji Ep

𝛼𝑖𝑗:Tensor

pV

Np

VP

i

i

1

lok

i

lok

ii EV

NE

VP

1

mit:

03

1

PEE maklok

00 33

1

PE

V

NP

PE

VP mak

i i

maki

Polarisation

• Dipolmoment:


i

i

i

i

i

i

V

VV

0

00

3

11

3

113

1

2

i

i

i

imak

V

V

E

P

03

11

i

i

i

i

i

i

i

i

mak

V

V

V

V

E

P

0

0

0

0

0

3

11

1

1

3

11

1

i

iV

03

1

2

1

i

iV

03

11

32

Clausius-Mosotti‘sche Gleichung

• Nach 𝑃 auflösen:

V

N

03

1

2

1

Clausius-Mosotti-Gleichung

𝜀 = 1 + 𝜒

𝛼: Polarisierbarkeit


1. Orientierung permanenter Dipole in Molekülen

z. B. H2O-Molekül

CO2-Molekül

2. Ionische Polarisierbarkeit (Verschiebungspolarisation)

durch Verschiebung der Ionen gegeneinander.

z.B. NaCl

H+

-

+

+

OHp2

O2

- 104

H+

-

+

+

O C O

p(H2O)=1.9 Debye

(1𝐷 ≅ 3 ∙ 10−30 𝐶 ∙ 𝑚)

1 Debye Elektrische Ladung·Atomabstand = 3 ∙ 10−30 𝐶 ∙ 𝑚

Atomarer Ursprung der Polarisation

p(CO)=0


𝑝

+

Ze

Eext=0 Eext0

+

Ionischer und dipolarer Beitrag sind bei hohen Frequenzen gering (wegen Trägheit der Ionen und Moleküle)

3. Elektronische Polarisierbarkeit (Verschiebungspolarisation)

entsteht durch Verschiebung der Elektronenhülle relativ zum Kern

Atomarer Ursprung der Polarisation


Frequenzabhängigkeit der Polarisierbarkeit


• Zur Beschreibung der elektronischen Polarisierbarkeit wird das Oszillatormodell eines schwingenden Elektrons mit der Auslenkung 𝑥 aus der Ruhelage 𝑥0 betrachtet (in Ionenkristallen oder Molekülkristallen).

Bewegungsgleichung: e

lok

m

eExxx

2

0

NVe

e-

𝛾 =1

𝜏: Dämpfungskonstante

𝜏: Relaxationszeit 𝜔0: Resonanzfrequenz ohne Dämpfung

titi

loklok exxeEE 0

0

Lösungsansatz:

0

0

2

000

2 i lok

e

Em

exxx i22

0

0

0

lok

e

E

m

ex

Einsetzen:

Frequenzabhängigkeit der elektronischen Polarisierbarkeit


• Modell ist recht grob

• Wichtig: Die Polarisierbarkeit wird für kleine 𝝎 unabhängig von der Frequenz und gleich dem statischen Wert:

2

0

2

0 0

e

elelm

e

i22

0

02

0

e

lok

m

Ee

xep

Wegen: 𝑝 = 𝛼𝑒𝑙𝐸0𝑙𝑜𝑘 gilt:

i

122

0

2

e

elm

e

• Induziertes Dipolmoment:

Elektronische Polarisierbarkeit


el

el

V

N

V

N

0

0

3

11

1

1

• Nach Clausius-Massotti:

3

i

11

i

1

31

i

1

12

22

0

2

22

00

2

22

00

2

p

p

e

e

V

N

m

e

V

N

m

e

• Einsetzen von der frequenzabhängigen Polarisierbarkeit:

wobei 𝜔𝑝 die Plasmafrequenz des

freien Elektronengases: e

pm

e

V

N

0

22

Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten


i~

11

22

2

p

3

~2

2

0

2 p

Hier haben wir die durch die elektronische Polarisation abgeänderte Resonanzfrequenz 𝜔 eingesetzt:

Typische Resonanzwerte liegen im UV-Bereich: 𝜔 ≈ 1016𝐻𝑧 .



ImiRe

Am

eNp

e

V 2

0

2

b 22~ c

• Berücksichtigtigung einer Phasenverschiebung zwischen Polarisation und elektrischem Feld führt zur komplexen Dielektrizitätskonstanten:

Setzt man:

Im

22

Re

22i1

i

i

i1

cb

Ac

cb

Ab

cb

cb

cb

A

2222

2

2222

222

~~

~

1)(

ppi

Komplexe dielektrische Funktion

dann folgt durch Erweiterung:



𝜀 0 = 1 + 𝜔𝑝2

𝜔𝑝


2222

2

2222

22

2

~Im

~

~

1Re

pp ε(ω)ε(ω)



a) Resonanzabsorption, wenn: Im𝜀(𝜔) groß ist.

b) Anomale Dispersion, falls 𝜕(Reε)𝜕𝜔

< 0

d.h., Brechungsindex nimmt ab mit steigender Frequenz

n normale anomale

nnormale anomale Dispersion

Spektrales Auflösungsvermögen eines Prismas:

d

dnb

d

Normale Dispersion: Brechkraft nimmt mit Wellenlänge ab

Anomale Dispersion: Brechkraft nimmt mit Wellenlänge zu

Normales Prisma: bei anomaler Dispersion drehen sich die Farben um

𝑏: Basis

Diskussion von 𝜺(𝝎)


c) Totalreflexion: Oberhalb von 𝜔 gibt es einen Bereich mit:

Re 𝜀 𝜔 < 0 und Im 𝜀(𝜔)0

Brechungsindex:

d) Transparenz: Für 𝜔 > 𝜔𝑝 wird die Materie wieder transparent.

ReiReImiRe

00

n

Reflexionskoeffizient (normaler Einfall) wird 1 : Totalreflexion

Elektromagnetische Welle wird in dünner Oberflächenschicht gedämpft.

Diskussion von 𝜺(𝝎)


V

N

03

1

2

1

Clausius-Mosotti‘sche Gleichung:

323210 EEEEEEEE maklok

Lokales Feld:

Polarisation: lok

lok

i

i

i EV

NE

VP

1

i~

11

22

0

2

V

N

m

e

e

e

Vp

m

eN

0

22

Dielektrizitätszahl:

Plasmafrequenz:

Dipolmoment: lokEp

Elektronische Polarisierbarkeit:

i

122

0

2

e

elm

e

Zusammenfassung

Prof. Beatriz Roldán Cuenya [email protected] http://ep4.rub.de 34

UHF

IR

Visible optics

UV

dipolar

ionic

electronic

x-rays

1

0

Zusammenfassung

19. Dielektrische Eigenschaften (I) · • Frequenzabhängige Dielektrizitätszahl 𝜺(𝝎) (Optik): Brechungsindex: =𝑓(𝜔): Dispersion 𝜔 hat einen Realteil und einen Imaginärteil:

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