18. Kombinatorika a binomická veta 18.1 Faktoriál čísla ......c) 1 ! 3 ! 2 ! 4 ! 2 3 ! 5 ! n n n n n n 1 ! 3 2 1 ! 2 ! 4 3 2 ! 2 3 ! 5 4 3 ! n n n n n n n n n n n n 5 2! 4 3 n
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
18. Kombinatorika a binomická veta
18.1 Faktoriál čísla - !n
1. Vypočítajte:
a) !0!2 b) 22 !2!2!22 c) !!3!3
a) 3112!0!2
b) 3242442123412212!4122!2!2!22 2222
c) 72672061234566!66!123123!!3!3
2. Vypočítajte:
a) !4
!8 b)
!4!4
!8
c)
!4!4
!8
d)
!44
!8
a) 168056781234
12345678
!4
!8
b) 3512341234
12345678
!4!4
!8
c) 705271234
5678
12341234
12345678
!4!4
!8
d) 42056724
5678
12344
12345678
!44
!8
3. Zjednodušte:
a) !3!4!7
!6!5!2
b)
!30
!29!28 c)
!67!76
!66!77
a) 21
5
37
5
!23!4!67
!6!45!2
!3!4!7
!6!5!2
b)
29
1
!282930
291!28
!30
!29!28
c) 7
11
35
55
776!6
677!6
!67!76
!66!77
4. Upravte na spoločného menovateľa:
a) !13
7
!12
1 b)
!16
15
!15
1 c)
!6
2
!7
20
!5
3
a) !13
20
!13
713
!13
7
!12
1
b) !16
1
!16
1516
!16
15
!15
1
c) 42
1
!7
7220673
!6
2
!7
20
!5
3
5. Kráťte a určte podmienky pre n:
a)
!
!1
n
n c)
!1
!1
n
n e)
!2
!4
n
n g)
!12
!2
n
n
b) !2
!
n
n d)
!99
!100
n
n f)
!2
!4
n
n h)
!33
!23
n
n
a)
1!
!1
!
!1
n
n
nn
n
n, kde 0n
b)
1!2
!21
!2
!
nn
n
nnn
n
n, kde 2n
c)
nnn
nnn
n
n
1
!1
!11
!1
!1, kde 1n
d)
99
1
!10099
!100
!99
!100
nnn
n
n
n, kde 100n
e)
34!2
!234
!2
!4
nn
n
nnn
n
n, kde 2n
f)
32
1
!432
!4
!2
!4
nnnnn
n
n
n, kde 4n
g)
n
n
nn
n
n2
!12
!122
!12
!2
, kde 1n
h)
23!33
!3323
!33
!23
n
n
nn
n
n, kde 1n
6. Upravte, určte podmienky pre n:
a) !1!
1
n
n
n c)
!2
3
!3
5
!4
162
22
nn
n
n
n
b) !4
1
!3
nn
n d)
!2
42
!1
2
!
2
n
n
n
n
n
a) !1
1
!1
1
!1!
1
nn
nn
n
n
n, kde 0n
b)
!3
3
!3
3
!4
1
!3
nn
nn
nn
n, kde 4n
c)
!34
335424
!2
3
!3
5
!4
162
222
nn
nnnn
nn
n
n
n
!3
6
!3
33542 22
n
nn
n
nnn, kde 2n
d)
0!2
4222122
!2
42
!1
2
!
2
n
nnnnn
n
n
n
n
n
7. Upravte, určte podmienky pre n:
a)
!14
!
!3
!1
n
n
n
n c)
!1
!3
!2
!42
!3
!5
n
n
n
n
n
n
b)
!14
!
!3
!1
n
n
n
n d)
!1
!9
!1
!14
!
!1
n
n
n
n
n
n
a)
14
1
3
1
!14
!
!13
!1
!14
!
!3
!1
nnnn
n
nn
n
n
n
n
n
b)
14
1
3
1
!14
!
!13
!1
!14
!
!3
!1
nnnn
n
nn
n
n
n
n
n
c)
!1
!3
!2
!42
!3
!5
n
n
n
n
n
n
!1
!123
!2
!2342
!3
!345
n
nnn
n
nnn
n
nnn
223342!45 nnnnnn
d)
!1
!19
!1
!114
!
!1
!1
!9
!1
!14
!
!1
n
nn
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
n
n
8. Rozhodnite, ktoré z čísiel A a B je väčšie:
a) !73!70A b) !3! nnA
!72!71B !2!1 nnB
a) 7172731!70!73!70 A
BAB 7371!7072171!70!72!71
b) 1231!!3! nnnnnnA
BAnnnnnnnnB 31!211!!2!1
9. Dokážte, že platí:
a) 1!1002!1001
!1003!1000
b) 1
!1003!1005
!1002!1004
a) 1!1002!1001
!1003!1000
110031001
1001100210031
100211001!1000
1001100210031!1000
!1002!1001
!1003!1000
b) 1!1003!1005
!1002!1004
11100410051003
110031004
1100410051003!1002
110031004!1002
!1003!1005
!1002!1004
10. a) Koľkými nulami končí číslo 50! ?
b) Koľkými nulami končí číslo 100! ?
c) Koľkými nulami končí číslo 500! ?
11. Dokážte, že platí:
a) !!!1:0 , nnnnnn Z
b) 24!2!4!3!2:2 , nnnnnnn Z
c) 22!4!4!3!2:4 , nnnnnnn N
d) !!1!11!: 2 nnnnnnnnn N
e) 0!1!1:0 , 222 nnnnn Z
a) !!!1:0 , nnnnnn Z
11
!!
!11!
!!!1
nnnn
nnnn
nnnnn
b) 24!2!4!3!2:2 , nnnnnnn Z
11
44
4168
412731
4!23431!2
4!2!234!23!2
22
22
22
2
2
nn
nnn
nnnn
nnnnnn
nnnnnnnn
c) 22!4!4!3!2:4 , nnnnnnn N
11
22
244
21365
21332
2!41332!4
2!4!4!43!432
22
22
22
2
2
2
nn
nnn
nnnn
nnnn
nnnnnn
nnnnnnnn
d) !!1!11!: 2 nnnnnnnnn N
11
!111!
!1!1!1!
nnnn
nnnnnnn
e) 0!1!1:0 , 222 nnnnn Z
00
0!1!1
0!1!1
2222
222
nnnn
nnnn
12. Riešte rovnice s neznámou n Z:
a) !2!15 nn
b) !1!124!!2 nnnn
c) !!116!1 nnn
d) !89!914!90 nnn
a) !2!15 nn
3
25
!12!15
n
n
nnn
b) !1!124!!2 nnnn
4
6
4
12
241422
0242
242
!1!124!1!12
2
2,1
2
n
n
nn
nn
nnnnnn
c) !!116!1 nnn
4
16
016
161
!1!116!11
!!116!1
2
2
n
n
nnn
nnn
nnnnnn
nnn
d) !89!914!90 nnn
92
88
92290
2
3238432400180
08096180
8010179490
9089490
!919089!914!9190
2,1
2
2
n
n
nn
nnn
nnn
nnnnnn
13. Riešte rovnice s neznámou n Z:
a)
nn
n4
!2
!
b)
0!1
4
!1
1710
nn
n
c)
805!5
!4
!4
!6
n
n
nn
n
n
d)
50
!2
!1
!13
!3
!2
!12
n
n
n
n
n
n
a)
nn
n4
!2
!
5
05
04
41
4!2
!21
2
2
n
nn
nnn
nnn
nn
nnn
b)
0!1
4
!1
1710
nn
n
2
45
2
42
10441313
010134
0141710
041
1710
0!1
4
!11
1710
2
2,1
2
n
n
nn
nnn
nn
n
nnnn
n
c)
805!5
!4
!4
!6
n
n
nn
n
n
5
80543011
805456
22
n
nnnnn
nnnnn
d)
50
!2
!1
!13
!3
!2
!12
n
n
n
n
n
n
11
999
1001210
502
1312
n
n
nn
nnn
14. Riešte nerovnice s neznámou n Z:
a) !2!72 nn
b) !4624!2 nnn
c) !3!2!1 nnn
d) !4!45!2 nnnn
a) !2!72 nn
,9,8,7
10
7
2
28093
7030
1272
!12!72
2,1
2
n
n
nn
nn
nnnn
b) !4624!2 nnn
,5,4,3
4
3
2
4811
120
127624
34624
!234624!2
2,1
2
2
n
n
nn
nnn
nnn
nnnnn
c) !3!2!1 nnn
,3,2,1,0,1
2
20
233
!12321!1
n
n
n
nnn
nnnnn
d) !4!45!2 nnnn
,4,3,2,1,0,1,2,3,4
02
44366
0116
532
!4!45!432
2,1
2
n
Dn
nn
nnn
nnnnnn
15. Riešte nerovnice s neznámou n Z:
a)
nn
n1024
!2
!
c)
4622!2
!43
n
n
n
b)
1!4
!2
n
nn d)
2!3
!43
!2
!
n
nn
n
n
a)
nn
n1024
!2
!
,6,5,4,3,2
02
5611
014
10241
1024!2
!21
2,1
2
n
Dn
nn
nnn
nn
nnn
b)
1!4
!2
n
nn
,8,7,6,5,4
1
423
2
28366
076
132
1!4
!432
2,1
2
n
n
nn
nnn
n
nnnn
c)
4622!2
!43
n
n
n
2,1,0,1
35
2
6
12011
0103
4622343
4622!2
!2343
2,1
2
n
n
nn
nnn
nn
nnn
d)
2!3
!43
!2
!
n
nn
n
n
6,5,4,3,2
1
6
2
24255
065
2431
2,1
2
n
n
nn
nnnn
18.2 Kombinačné číslo, vlastnosti kombinačného čísla:
16. Nasledujúce kombinačné čísla
5
7 ,
2
7 ,
3
3 ,
2
5 vypočítajte troma
spôsobmi:
a) Vypočítajte ich podľa definície.
b) Výsledok vyhľadajte v Pascalovom trojuholníku.
c) Vypočítajte ich na kalkulačke.
a) Vypočítajte ich podľa definície.
1025!32
!345
3!2!
5!
2
5
11
1
!0!3
!3
3
3
2137!52
!567
5!2!
7!
2
7
21372!5
!567
2!5!
7!
5
7
b) Výsledok vyhľadajte v Pascalovom trojuholníku.
7
7
6
7
5
7
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
2
5
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
3
3
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
2
7
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
5
7
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
17. Výpočtom overte, že platí:
a)
2
9
3
93
4
93
5
9
3
10
4
102
5
10
5
12
b)
3
10
5
6
3
1
6
10
4
10
7
10
7
1122
c)
2
5105
2
10
3
5
3
10
3
15
a)
2
9
3
93
4
93
5
9
3
10
4
102
5
10
5
12
792792792
49789835731026738911
12
89
1234
67894
123
8910
1234
789102
12345
678910
12345
89101112
!7!2
!9
!6!3
!93
!5!4
!93
!4!5
!9
!7!3
!10
!6!4
!102
!5!5
!10
!7!5
!12
b)
3
10
5
6
3
1
6
10
4
10
7
10
7
1122
9450094500
240210210120330
831073107310431031011
23
89106
3
1
234
78910
234
78910
23
8910
234
891011
!3!7
!10
!1!5
!6
3
1
!4!6
!10
!4!6
!10
!3!7
!10
!4!7
!11
22
22
22
22
c)
2
5105
2
10
3
5
3
10
3
15
325325
25105952543101375
2
45105
2
910
2
45
23
8910
23
131415
!2!3
!5105
!2!8
!10
!2!3
!5
!3!7
!10
!3!12
!15
18. Koľkokrát je číslo
10
100M väčšie než číslo
90
99N ?
1010
100
!10!99
!9!100
!9!90
!99!10!90
!100
90
99
10
100
N
Mn
19. Ktoré z čísel K, L je väčšie?
a)
51
501 ,
50
500LK b)
61
120 ,
60
120LK
a)
51
501 ,
50
500LK
LK
51
5011
!5051
!500501
!50
!500
!450!51
!501
!450!50
!500
51
501
50
500
b)
61
120 ,
60
120LK
LK
61
1
60
1
!59!60
!120
61
1
!59!60
!120
60
1
!59!6061
!120
!5960!60
!120
!59!61
!120
!60!60
!120
61
120
60
120
20. Ktoré z čísel
k
100, kde 100,,3,2,1,0 k je najväčšie?
Najväčšie je vždy číslo v strede daného riadku Pascalovho trojuholníka.
V našom prípade je to 101. riadok (pre 100n ).Tento riadok obsahuje 101
členov a prostredný je teda 51. člen, t.j. číslo
50
100.
!50!50
!100
50
100
21. Dokážte a rozhodnite, pre ktoré Nn platí:
a)
1222
nnn c)
n
n
n
n 2122
b)
126
363
nnnn d)
n
n
n
n 313
2
3
a)
1222
nnn , podmienka: 2n
2; pre 00
1
!1!1
!1
!2!2
!212
!1!1
!
!2!2
!2
2
2
2
nZn
nnnn
n
nn
n
nnnn
n
n
n
nn
b)
126
363
nnnn , podmienka: 3n
3; pre 00
3323
1321
2
16
6
216
!1!1
!
!2!2
!6
!3!3
!6
2233
3
3
3
nZn
nnnnnnn
nnnnnnn
nnnnnn
n
n
n
n
n
n
nn
c)
n
n
n
n 2122 , podmienka: 0n
Zn
nn
n
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
pre 22
1
2
1
12
!1
2
!1
12
!
!122
!1
!122
!!
!2
!1!
!122
d)
n
n
n
n 313
2
3
Zn
nnn
nn
nn
n
nn
n
nn
n
pre 2
3
2
3
!122!
!133
!12!
!13
2
3
!2!
!3
!12!
!13
2
3
22. Vyjadrite jedným kombinačným číslom:
a)
9
17
8
17 d)
9
12
3
4
3
12
b)
5
11
7
11 e)
3
6
3
5
3
4
3
3
c)
9
11
0
10
1
10 f)
20
23
20
22
20
21
20
20
a)
9
18
9
17
8
17
b)
5
12
7
12
6
11
7
11
5
11
7
11
c)
10
12
2
12
2
11
1
11
9
11
1
11
9
11
0
10
1
10
d)
1
4
3
4
3
12
3
4
3
12
9
12
3
4
3
12
e)
4
4
3
3
3
6
3
5
3
4
3
3
3
7
4
7
3
6
4
6
4
6
4
5
3
5
3
6
3
5
4
5
4
5
4
4
3
4
3
6
3
5
3
4
4
4
f)
21
21
20
20
20
23
20
22
20
21
20
20
3
24
21
24
20
23
21
23
21
23
20
22
21
22
20
23
20
22
21
22
21
22
21
21
20
21
20
23
20
22
20
21
21
21
23. Ak viete, že 20025
14
, určte:
a)
9
14 b)
6
14 c)
4
14 d)
8
14
a) 20025
14
914
14
9
14
b) ?6
14
30032
32002
6
142002
5
14
3
2
6
14
3
2
9
1
6
1
!89!5
!14
!8!56
!14
!9!5
!14
!8!6
!14
5
14
6
14
xxxxx
c) ?4
14
10012
12002
6
142002
5
142
4
14
25
1
10
1
!9!45
!14
!910!4
!14
!9!5
!14
!10!4
!14
5
14
4
14
xxxxx
d) 30036
14
8
14
24. Jednotlivé zlomky najprv zapíšte pomocou kombinačných čísel a potom
použitím vlastnosti kombinačných čísel upravte (určte podmienky pre n, k, r):
a) !1!1
!
!!
!
kkn
n
kkn
n
b) !2!2
!
!1!1
!2
!!
!
rrn
n
rrn
n
rrn
n
a)
k
n
k
n
k
n
kkn
n
kkn
n 1
1!1!1
!
!!
!
b)
212
!2!2
!
!1!1
!2
!!
!
r
n
r
n
r
n
rrn
n
rrn
n
rrn
n
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n 2
1
11
211
18.3 Rovnice a nerovnice s kombinačnými číslami.
25. Riešte rovnice s neznámou Rx :
a)
6
12
4
10x
b)
3
4
2
1
1
52
3
6x
c)
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
1xx
d) 03
7:
4
8
2
2
0
52
xx
e) 03
5
3
7
25
62
2
2
xx
a)
6
12
4
10x
5
22
56
1112
!6!456
!101112
!6!4
!10
!6!6
!12
!6!4
!10
x
x
x
x
b)
3
4
2
1
1
52
3
6x
4
28
12220
210223
456
42
152
!3!3
!6
x
x
x
x
x
c)
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
1xx
3
81
133111
2
x
x
xx
d) 03
7:
4
8
2
2
0
52
xx
02
02
0!7
!3!4
!34!4
!78
0!4!3
!7:
!4!4
!8
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
212
31
2
811212,1
xxx
e) 03
5
3
7
25
62
2
2
xx, zavedieme substitúciu: a
x
2 za
podmienky, že 2x .
315962
1801441204512
0!2!3
!5
!3!4
!762
212,1
2
2
aaaaa
aa
zo substitúcie:
4,34,3
2
212,1
2
2
2411
06613!22
!3
2
562
111
2
12011
03030115!22
!15
2
xx
xxxxx
xx
xxx
xxxxx
xx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku: 6x
26. Riešte rovnice s neznámou Nx :
a)
5
88
x b)
4
7
1
66
xx c) 45
10
x
a)
5
88
x, nakoľko
3
8
5
8, má rovnica dve riešenia: 53 21 xx .
b)
4
7
1
66
xx, využijeme vlastnosť kombinačných čísel:
1
7
1
66
1
1
1 xxxk
n
k
n
k
n a
3
7
4
7, potom naša
rovnica dostáva tvar:
2331
41
3
7
4
7
1
721
2
1
xx
x
x
x.
c) 4510
x. Číslo 45 je kombinačné číslo 28
8
10
2
1021
xx .
27. Riešte rovnice s neznámou Rx :
a) 252
1
2
xx
b) 324
3
1
x
x
xx
c) 04
22
3
1
x
x
x
x
d) xx
x
x
x
2
5!4
2
4
4
62
e) 11
1
3
41
3
5
1
1
x
x
x
x
x
x
f)
1
1
02
17
85
x
x
x
xxx
x
x
g)
0
3
2
2
1
1211
1
2
xxxx
h)
4
7
3
1
2
1
3
3xx
x
x
x
a) 252
1
2
xx, podmienka: 1x
5502
50
5011
25!1!2
!1
!2!2
!
2
22
xx
xxxx
xxxx
x
x
x
x
b) 324
3
1
x
x
xx, podmienka: 4x
4;3232
323
xxxx
xxx
Z
c) 04
22
3
1
x
x
x
x, podmienka: 4x
52052
03212
032221
0!2!4
!22
!2!3
!1
xxxx
xxx
xxxx
x
x
x
x
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 5x .
d) xx
x
x
x
2
5!4
2
4
4
62 , podmienka: 2x
5005
05
204812760222
10241272
13011
1024342
156
!3!2
!5234
!2!2
!4
!2!4
!62
2
22
22
xxxx
xx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xx
x
x
x
e) 11
1
3
41
3
5
1
1
x
x
x
x
x
x, podmienka: 1x
152
64
2
20164054
01082
012210101
112
141101
2,1
2
2
2
xxxxx
xx
xxx
xxx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 5x .
f)
1
1
02
17
85
x
x
x
xxx
x
x, podmienka: 1x
452
91
2
8011020
04022
22405
11285
2,1
2
2
2
xxxxx
xx
xxxx
xxxx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 5x .
g)
0
3
2
2
1
1211
1
2
xxxx, podmienka: 3x
5153
652211
1322
11211
22
2
xx
xxxx
xxxx
h)
4
7
3
1
2
1
3
3xx
x
x
x, podmienka: 3x
56
291
32
280110703
70212702121
3521121
!3!4
!7
3
1
!3!2
!1
!3!3
!
2,1
2
323
3
3
xxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
x
x
28. Riešte nerovnice s neznámou Rx :
a) xx
x43
4
2
b) 5021
x
x
x
c)
2
4
2
4 xx
d) 445
8
1
1
x
x
x
x
e) 1002
4
2
2
2
xxx
f)
2
26
2
23
3
36
3 xxx
x
a) xx
x43
4
2
, podmienka: 4x
12
1 12 4;
1 12 1 12
01012010120112
1122
1113
2
481691301213
08665
8632
43!2!4
!2
212,1
2
2
x
xxxZx
xxxx
xxxxxx
xxxxx
xxx
xxx
xx
x
b) 5021
x
x
x, podmienka: 0x
16,,1,03,16
3
49
5021
xx
xx
c)
2
4
2
4 xx, podmienka: 6x
,7,62
1
816
209127
542
134
2
1
22
xx
x
xxxx
xxxx
d) 445
8
1
1
x
x
x
x, podmienka: 1x
13,,2,165,132
800110200
088112
44!3!5
!81
2
1
2,1
2
2
xxxx
xx
xx
e) 1002
4
2
2
2
xxx, podmienka: 0x
5,95,62
248930623
018693
20012723
100342
112
2
11
2
1
2,1
2
2
222
xxxxx
xx
xxxxxx
xxxxxx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením 6,5,4,3,2x .
f)
2
26
2
23
3
36
3 xxx
x, podmienka: 2x
,4,3,22
3216
23014
2
2157
692
22116
6932
221163
6932
2733
2332
296233
1232
23123
!!2
!26
2
23
!!3
!36
22
2
222
3
3
xx
x
xx
xx
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxxx
x
xxx
x
x
29. Riešte rovnice a nerovnice s neznámou Rx :
a)
x
xx
x
x
x
x
x
x
5
5
1
55
2
12
23
3
4
24
b) 2
33
2
33
1
33
xxx
a)
x
xx
x
x
x
x
x
x
5
5
1
55
2
12
23
3
4
24, podmienka:
3
2x
5
12
10
119
10
408190295
0104525
1050243921216
15101221331424
15512!2!23
!3
!2!4
!24
2,1
2
2
22
xxxxx
xx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
x
x
x
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 2x .
b) 2
33
2
33
1
33
xxx, podmienka: 1x
,4,3,21
123
33
13343233
334333332
22
33
!53!2
!3333
xx
x
xxxx
xxxx
x
x
xx
30. Riešte nerovnice a rovnice s neznámou Rx :
a)
1
82
8
xx c) 06
25
2
2
xx
b)
xx
72
1
7 d) 06!
25!
2
2
xx
a)
1
82
8
xx, podmienka: 8x
8,7,6,5,4339
29
!1
!2
!8
!9
!9!1
!82
!8!
!8
xxx
xx
x
x
x
x
xxxx
b)
xx
72
1
7, podmienka: 6x
6,5,4,3,23
535
127
!7!
!72
!6!1
!7
xxx
xx
xxxx
c) 062
52
2
xx, podmienka: 2x
Zavedieme substitúciu: ax
2
4,34,3
2
212,1
2
2,1
2
2
811
02211!2!2
!1
2
342
71
2
4811
0121216!2!2
!6
2
162
75
2
24255065
xx
xxxxx
xx
xxx
xxxxx
xx
aaaaa
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 4x .
d) 06!2
5!2
2
xx, podmienka: 2x
Zavedieme substitúciu: ax
!
2
xx
xxxx
aaaaa
1!2
632
!3!2
6!2
162
75
2
24255065 2,1
2
31. Vypočítajte celé čísla x, y tak, aby boli riešením sústavy:
a)
1
12
y
x
y
x
0332 yx
b) 4:51
1:
2
2
y
x
y
x
3:4: yx
c) 5
31
1
1:
y
x
y
x
4
31
2
2:
1
1
y
x
y
x
d) 7:6:52
1:
1:
1
y
x
y
x
y
x
a)
yxy
x
yxy
x
yxy
x
y
x
y
x22
!!1
!12
!!
!
1
12
63
03322
0332
xy
yy
yx
b) 4:51
1:
2
2
y
x
y
x
86
30152416
1224
52
3
4
24
52
4
5
2
2
3
4
3
4
4
5
!1
!1
!12
!12
3
4
4
5
!1
!!1
!!2
!2
3
4
3:4:
xy
yy
yy
yxy
x
yxy
x
x
y
yy
xx
y
x
x
yxy
yxy
x
y
x
yx
c) 5
31
1
1:
y
x
y
x
85153
35352032
2014
71
5
8
14
71
5
8
4
7
1
1
5
8
4
7
!2
!2
!21
!21
5
8
!1
!1
!1
!1
4
7
!2
!!2
!!1
!1
5
8
!1
!!1
!!
!
4
31
2
2:
1
1
xyy
yy
yy
yx
yx
y
x
y
x
x
y
yy
xx
x
y
yy
xx
x
yxy
yxy
x
x
yxy
yxy
x
y
x
y
x
d) 7:6:52
1:
1:
1
y
x
y
x
y
x
46
35423636
426
5121
7
6
6
51
217
61
7
62
7
6
1
26
51
7
6
!1
!12
!1
!
6
5
!1
!1
!
!1
7
6
!1
!21!2
!1!1
!
6
5
!
!1!1
!1!
!1
7:62
1:
1
6:51
:1
yx
xx
xx
xy
xyxyx
yx
y
xx
yy
y
x
xx
yy
y
x
x
yxy
yxy
x
x
yxy
yxy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
18.4 Pravidlo kombinatorického súčinu
32. Jana má päť rôznofarebných tričiek a tri rôzne sukne. Koľkými spôsobmi si
môže vziať tričko a sukňu, aby vždy vypadala inak?
1535
33. Do tanečnej prišlo 32 chlapcov a 34 dievčat. Koľko rôznych tanečných párov
môžu vytvoriť? Za predpokladu, že prvý pár je zadaný, každý pár spolu
tancuje 1 minútu a ďalšia výmena trvá 5 sekúnd, vypočítajte, ako dlho by
musel trvať tanečný večer, aby sa všetci v pároch vystriedali.
10883432 párov,
s35min38hod19
s35min1178s5435min1088s51087min1088
34. V reštaurácii majú na jedálnom lístku 3 druhy polievok, 7 možností výberu
hlavného jedla, 4 druhy múčnikov. Na pitie si možno objednať kávu,
malinovku alebo džús. Koľkými spôsobmi si hosť môže vybrať obed, za
predpokladu, že bude jesť
a) len polievku a hlavné jedlo,
b) polievku, hlavné jedlo a ďalej si objedná nápoj,
c) polievku, hlavné jedlo, múčnik a nápoj.
a) 2173
b) 63373
c) 2524733
35. V triede chodí 14 žiakov na nemčinu a 13 na francúzštinu. Každý žiak
navštevuje práve jeden z uvedených predmetov. Koľkými spôsobmi možno
vybrať dvojicu na týždennú službu tak, aby mal službu jeden žiak z oddelenia
nemčiny a jeden žiak z oddelenia francúzštiny? Koľko rokov by žiaci museli
chodiť do školy, aby sa všetky tieto dvojice vystriedali? (Počítajte, že školský
rok má 33 vyučovacích týždňov.)
dvojíc: 1821314
dĺžka školy v týždňoch: 182, v rokoch: 33:182 5 rokov a 17 týždňov
36. Maminka kúpila 10 rožkov a 8 žemlí. Martin si zoberie buď rožok, alebo
žemľu. Potom si Dávid zoberie 1 žemľu a 1 rožok. Kedy má Dávid viac
možností výberu, keď si Martin vzal rožok, alebo keď si Martin vzal žemľu?
- ak si Martin zoberie rožok: 7289
- ak si Martin zoberie žemľu: 70710
Z toho vyplýva, že Dávid má viac možností (o dve), ak si Martin zoberie rožok.
18.5 Variácie
37. Koľko rôznych prirodzených štvorčíselných čísel s rôznymi číslicami možno
zostaviť z číslic 1, 2, 3, 4, 5? Koľko z nich je deliteľných 5? Koľko z nich je
nepárnych?
- počet rôznych prirodzených štvorciferných čísel:
120!45
!554
V
- počet štvorciferných čísel deliteľných 5:
24!34
!443
V
- počet záporných čísel:
72243!34
!4343 3
V
38. Koľko rôznych prirodzených päťciferných čísiel s rôznymi ciframi môžeme
zostaviť z cifier 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9? Koľko z nich je deliteľných 4? Koľko
z nich je deliteľných 10? Koľko z nich je párnych?