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EJERCICIOS PROPUESTOS MAQUINAS HIDRÁULICAS

“TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS: BOMBAS ROTODINÁMICAS CAP. 19”

PRESENTADO POR:

FERNANDO FERNANDEZ JARABA

CARLOS PACHECO ESCORCIA

MAURICIO MACHADO CALDERON

JOSEPH SUAREZ MARTINEZ

ANTHONY ESCOBAR VARGAS

ZORAIDA POLO CHARRIS

PRESENTADO A:

ING. CRISTIAN ANTONIO PEDRAZA YEPES

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA MECANICA

VIII SEMESTRE

BARRANQUILLA, SEPTIEMBRE 03 DE 2012

Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.

2

19.1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3/h tiene una tubería de

aspiración de 400 mm y una de impulsión de 375 mm. El vacuómetro conectado en la tubería de

aspiración situado 80 mm por debajo del eje de la maquina marca una depresión de 2 m de

columna de agua y el manómetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una

sobrepresión de 12 m columna de agua. Calcular la altura útil que da la bomba.

Solución.

Con los datos del problema, tratándose de una bomba que está funcionando, es inmediato el

cálculo de la altura útil.

2 2

2

s E s Es E

P P v vH Z Z

g g

312000.3333 /

3600Q m s

2 2

4 (4)(0.3333)3.0180 /

(0.375)s

s

Qv m s

D

2 2(3.0180)0.4643

2 (2)(9.81)

svm

g

2 2

4 (4)(0.3333)2.6526 /

(0.400)E

E

Qv m s

D

2 2(2.6526)0.3586

2 (2)(9.81)

Evm

g

Sustituyendo las alturas dinamicas obtenidas, asi como los otros datos del problema, tenemos:

2 2

(12 2) (0.5 0.08) 14.6862

S Ev vH m

g

19.2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las pérdidas ni se tiene en cuenta el

estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las siguientes dimensiones:

D1 = 75 mm; D2 = 300 mm; b1 = b2 = 50 mm; β1 = 45°; β2 = 60°. La entrada en los alabes es radial

(caso ordinario de las bombas centrifugas). La bomba gira a 500 rpm. El fluido bombeado es agua.

Calcular: a)El caudal ; b) La altura que da la bomba ; c) El par transmitido por el rodete al fluido ; d)

La potencia de accionamiento.

Solución.

a)El caudal de una bomba en regumen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba.

La sección de entrada en los alabes del rodete es la superficie lateral de un cilindro, si no se tiene

en cuenta el espesor de los alabes, y la velocidad normal a dicha sección es la componente radial

C1m = C1 (entrada de la corriente radial). Es decir:

1 1 1mQ b DC


3

El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la

entrada τ1 < 1, de manera que:

1 1 1 1mQ b DC

En nuestro caso τ1 = 1. Asimismo a la salida:

2 2 2 2mQ b D C

Si los alabes son afilados a la salida (caso normal): τ2 = 1

1

1 (0.075)(500)1.964 /

60 60

D nu m s

1 1 1 1tan 45 1.964 /mC C u u m s

Sustituyendo

3

1(0.50)(0.075)( ) 0.0231 / 23.11 /mQ C m s L s

b) Si no hay perdidas Hr-int = 0


4

2 2 1 1 2 2u u uu

u C u C u CH H

g g

Ya que 1 0uC (entrada en los alabes radial).

2 2 2 1 1 1m mQ b D C b DC ( 2 1 )

Y 1 12 1

2 2

(50)(75)(1.964) 0.4909 /

(50)(300)m m

b DC C m s

b d

22 1

1

(300)(1.964) 7.854 /

(75)

Du u m s

D

Además 22 2

2

(0.4909)(7.854) 7.506 /

tan tan60

mu

CC u m s

Luego (7.854)(7.506)

6.0619.81

Hu H m

C) El par transmitido por el rodete al fluido viene dado por.

2 2 1 1( ) (0.0231)(1000)(0.15)(7.506) 26.268u uM Q r C rC m N

d) 1v h mn n n

Deducimos que (0.0231)(1000)(9.81)(6.061) 1375.4 1.3754P Q gH W KW

19.3. Entre el pozo de aspiración y el depósito de impulsión de una bomba de agua hay un

desnivel de 20m. La tubería de aspiración es de 300 mm de diámetro y de 6 m de longitud. Esta

provista de alcachofa, válvula de pie y de un codo de 90°. La tubería de impulsión es de 250 mm de

diámetro y de 140 m de longitud. Las tuberías de aspiración e impulsión son de hierro galvanizado.

La tubería de impulsión tiene una válvula de compuerta y dos codos de 90°. El caudal bombeado

es de 4800 l/min. El rendimiento hidráulico de la bomba = 70%. El rendimiento volumétrico = 1 y el

rendimiento mecánico = 85%. Todos los codos de las tuberías tienen una relación r/D = 0.25.

Calcular la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento de esa bomba.

Solución.

(1000)(9.81)16.487

(0.7)(1)(0.85)a

h v m

Q gH QHP QH

n n n

34.8

0.08 /60

Q m s

Designaremos con subíndice a los valores correspondientes a la aspiración, y con subíndice i los

correspondientes a la impulsión.


5

2 2

4 (4)(0.08)1.132 /

(0.300 )a

a

Qv m s

d

2 2

4 (4)(0.08)1.630 /

(0.250 )i

i

Qv m s

d

La velocidad de aspiración en las bombas se mantiene con frecuencia más baja que la de impulsión

para evitar la cavitación.

2

0.0652

aVm

g

2

0.1352

iVm

g

Para obtener H en este problema se ha de recurrir a la segunda expresión de la altura útil.

2

2

tZ A ra ri

vH z z H H

g

2 2

2 2

t iv v

g g 20Z Az z m

Calculo de las perdidas en la tubería de aspiración, Hra

2' ''

2

a ara a a a

a

L vH

d g

Donde '

a = 3.7 (alcachofa y válvula de pie) ; ''

a = 0.4 (codo90°, r/D=0.25)

5

6

(1.132)(0.300)Re 3.372 10

1.007 10

a aa

v dx

v x

(2H Ov a 20°C = 1.007x10-6 m2/s)

5

5

6

17 103.372 10

1.007 10a

k xx

d x

(k para hierro galvanizado = 17x10-5m)

Con los valores de Rea y k/da se lee en el diagrama de Moody 0.01844a

Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos:

26 (1.132)3.7 0.4 0.01844 0.292

0.300 2(9.81)raH m

Calculo de las perdidas en la tubería de impulsión, Hri

2' ''2

2

i iri i i i

i

L vH

d g


6

Donde '

i =0.2 (válvula compuerta abierta)

''

i = 0.4 (codo 90°, r/D = 0.25)

5

6

(1.630)(0.250)Re 4.046 10

1.007 10

i ii

v dx

v x

517 100.000680

0.250i

k x

d

En el diagrama de Moody se lee 0.01887i

Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos:

140 1.6300.2 2(0.4) 0.01887 1.566

0.250 2(9.81)riH m

Sustituyendo el la ecuación.

20 0.292 1.566 0.135 21.993H m

Finalmente la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento será.

3(0.08)(1000)(9.81)(21.993)29.009 10 29.009

(0.7)(1)(0.85)aP x W KW

19.4. Una bomba centrifuga radial de agua está diseñada para girar a 1450 rpm y para entrada

radial en los alabes del rodete. El caudal en el punto nominal (rendimiento óptimo) es 160000 l/h.

De esta bomba se conocen las siguientes características geométricas: relación de diámetros de

salida y entrada de los alabes: D2/D1 = 2. Diámetro exterior del rodete D2 = 300 mm. Ancho a la

salida del rodete: b2 = 20 mm. Angulo de los alabes a la salida: β2 = 45°. Se sabe además que para

el punto de optimo rendimiento: rendimiento hidráulico: 80%, rendimiento volumétrico: 90%,

rendimiento mecánico: 85%. Se despreciara el espesor de los alabes. La bomba se ha diseñado

para que la componente radial de la velocidad absoluta sea constante a la entrada y salida de los

alabes. Las tuberías de aspiración e impulsión de la bomba son iguales y los ejes de las bridas de

entrada y salida de la bomba se hayan a la misma cota. El manómetro conectado a la entrada de la

bomba marca una presión absoluta de 305 torr cuando el caudal es el arriba indicado. Calcular:

A) angulo de entrada en los alabes; velocidades u2 y u1; velocidad C2; componente radial de la

velocidad absoluta a la entrada y salida de los alabes; angulo de los alabes a la entrada de la

corona directriz de que esta provista la bomba. B) altura de Euler y altura útil. C) potencia interna

de la bomba. D) potencia de accionamiento. E) alturas de presión y dinámica del rodete y grado

de reacción de la bomba. F) presión absoluta del agua a la salida de la bomba.


7

Solución.

a)El caudal de la bomba es 31600.0444 /

3600Q m s

El caudal bombeado por el rodete es:

e i

v

QQ q q

n

Además.

1 1 2

2 2

2.62 /(0.3)(0.02)(0.9)

m m

v

Q QC C C m s

D b n

22

(0.3)(1.450)22.777 /

60 60

D nu m s

1 2

111.388 /

2

Du u m s

D

11

1

arctan 12.96mC

u

22 2 2 2

2

20.157 /tan

mu m

CC u u C m s

2 2

2 2 2 20.326 /m uC C C m s 22

2

arctan 7.41m

u

C

C

Para que no haya choque a la entrada de la corona directriz el alabe deberá estar construido con

este angulo α2 a la entrada de la misma.

b)La altura de Euler o altura teorica se deduce de la siguiente ecucacion. Haciendo 1 1 0uu C

2 2 1 1u uu

u C u CH

g

2 2 46.799u

u

u CH m

g


8

La altura útil será: (0.8)(46.799) 37.439h uH n H m

c)

int( )( )i e i rP Q q q H H g (0.0444)(1000)(9.81)(37.439)

22.671(0.9)(0.8)v h

Q g HKW

n n

d)La potencia de accionamiento será: 22.671

26.6720.85

a

m

PiP K

n

e)Altura dinámica del rodete: 2 2

2 1 20.7082

d

C CH m

g

Altura de presión del rodete: 26.091p u dH H H m

Grado de reacción de la bomba: 100 55.75%p

u

H

H

f) La presión absoluta a la entrada de la bomba, teniendo en cuenta el enunciado del problema

será: 2(0.305)(13600)(9.81) 40.692 /EP N m

Ahora bien, siendo 2 2

02

S Ev v

g

, por ser las tuberías de aspiración e impulsión de igual diámetro y

0S Ez z , por estar los puntos S y E a la misma cota.

S EP PH

g

y 2407.972 / 4.07972S EP P gH N m bar

19.5. Una bomba funcionando a 2520 rpm y suministrando un caudal de 16 l/s proporciona una

altura útil de 26 m. De sus curvas características se deduce que en dicho punto de funcionamiento

el rendimiento total de la bomba es 81%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba

en estar condiciones.

(0.016)(1000)(9.81)(26)5.038

0.81a

tot

Q gHP KW

n

19.6. Una bomba centrifuga de agua tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; D2 = 450

mm; b1 = 40 mm; b2 = 20 mm; β1 = 10°; β2 = 30°; n=1500 rpm. Entrada en los alabes radial; nh=88%;

ntot=82%; despreciese el espesor de los alabes; nv=1. Calcular: a)Caudal; b)altura teorica o altura

de Euler; c)potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido; d) altura útil; e)altura hidráulica

perdida en la bomba; f) potencia de accionamiento de la bomba.


9

Solución.

a) 1 1 1mQ b DC

1 1 tan10mC u (τ1 = 1)

11

(0.15)(1500)11.781 /

60 60

D nu m s

1 1 tan10 2.077 /mC u m s

3(0.04)(0.15)(2.077) 0.0392 /Q m s

b) 2 2uu

u CH

g (entrada en los alabes radial)

22 1

1

450(2.077) 35.43 /

150

Du u m s

D 2 2

2 2 2

2tan tan30

m mu

C CC u u

Por la ecuación de la continuidad:

1 12 1

2 2

(40)(150)(2.077) 1.385 /

(20)(450)m m

b DC C m s

b D

2

(1.385)(35.43) 32.944 /

tan30uC m s

(35.43)(32.944)118.690

9.81uH m

c) La potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido es la potencia interna:

(0.0392)(1000)(9.81)(118.690) 45.591i uP Q gH KW

d) La altura útil es: (0.88)(118.690) 104.447h uH n H m

e) La altura hidráulica perdida en la bomba es: int 14.243r uH H H m

f) La potencia de accionamiento de la bomba será:

(0.0392)(1000)(9.81)(104.447)48.927

0.82a

tot

PP KW

n

19.7. En una instalación de bomba centrifuga de agua la altura desde el pozo de aspiración hasta el

eje de la bomba es de 4m y desde el eje de la bomba hasta el nivel superior del depósito de

impulsión 56m. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm. La perdida de carga en la

tubería de aspiración asciende a 2m y en la tubería de impulsión (sin incluir las perdida a la salida

de la misma y entrada del depósito) a 7m. Las dimensiones del rodete son: D2 = 400mm; b2 =

25mm; β2 = 30°. La bomba gira a 1450 rpm. La entrada en los alabes es radial. El rendimiento

hidráulico es 82%. Desprecie el influjo del espesor de los alabes. Calcular: a) Caudal; b) la presión


10

del agua junto a la brida de aspiración; c) la presión del agua junto a la brida de la tubería de

impulsión.

Solución.

La velocidad periférica del rodete a la salida es:

22

(0.4)(1450)30.369 /

60 60

D nu m s

Por la ecuación de continuidad el caudal es el mismo a la salida del rodete y en la tubería;

llamando tv a la velocidad del agua en la tubería, tendremos:

2

2 2 24

tm t

dQ D b C v

2 2

2

2 2

1 0.1500.563

4 (0.4)(0.025)(4)

tm t t t

dC v v v

D b

Por el triangulo de velocidades a la salida: 22 2

2

30.369 0.974tan

mu t

CC u v

La altura teórica o altura de Euler será: 2

2 2 2 22

2

94.0122 3.016tan

u mu t

u C u CuH v

g g g

La altura útil será: (94.0122 3.016 )(0.82) 77.090 2.473u h t tH H n v v

Por otra parte con la segunda expresión de la altura útil.

2 2 2

60 2 7 692 2 2

t t tZ A ra ri

v v vH z z H H

g g g

Donde tv - velocidad del agua en la tubería.

Igualanado las 2 expresiones para la altura útil, se obtiene: 2 48.524 158.723 0t tv v

Resolviendo tenemos: 3.076 /tv m s y 2

0.4822

tvm

g

Sustituyendo, obtendremos: 2

69 69.4822

tvH m

g

a) El caudal será: 2

30.0544 / 55.44

tt

dQ v m s

l/s

b) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración y la entrada de la bomba:


11

2 2

2 2

A A E EA ra E

P v P vz H z

g g g g

2

0 0 0 2 42

E EP v

g g

6.482EPm

g 63.591 0.63591EP Pa bar

c) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las secciones S y el nivel superior del depósito de

impulsión Z:

2 2

0 02 2

S S tS ri Z

P v vz H z

g g g

56 7 63SP

g Ya que

S tv v

El mismo resultado se obtiene aplicando la misma ecuación de Bernoulli entre el pozo de

aspiración (punto A) y la salida de la bomba (punto S).

22

2 2

S SA AA ra S

P vP vz H H z

g g g g

Suponiendo S Ez z , tendremos:

0 0 0 2 69.482 4 0.482SP

g

2 69.482 4 0.482 63SPm

g

(63)(1000)(9.81) 618.030 6.18030SP Pa bar

19.8. En la tubería de aspiración de 150 mm de una bomba centrifuga de agua hay los siguientes

elementos: un codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 10m de tubería recta y otro

codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 5m de tubería recta. La perdida de carga en la

alcachofa y válvula de pie es el triple de la altura de velocidad en la tubería de aspiración. La

longitud total de los trozos de tubería recta es 8m. El agua tiene una temperatura de 50°C y el

caudal de la bomba es 2500 l/min. La presión absoluta en la brida de aspiración de la bomba ha de

mantenerse 100 mbar por encima de la presión de saturación del vapor. La tubería es de fundición

asfaltada. La presión barométrica es 750 Torr. Estimar la altura máxima permisible del eje de la

bomba por encima del nivel de agua en el depósito de aspiración.


12

Solución.

PS (a t=50°C) = 0.12335 bar 2

3(50 ) 988.20 /H O C Kg m

min 0.12335 0.100 0.22335EP bar 5 2750 (750)(13.6)(9.81) 1.0006 10 /ambP Torr x N m

32.50.04167 /

60Q m s

2 2

4 (4)(0.04167)2.358 /

(0.150)E

E

QC m s

d

2 2(2.358)0.283

2 (2)(9.81)

ECm

g

Ecuación de Bernoulli entre A y E (en presiones absolutas)

5 51000 10 10 5 8 0.22335 100 0 3 0.283 0.283 0.283

(988.20)(9.81) 0.150 (988.20)(9.81)S

x xH

6.8856 43.3933SH

0.10.00066667

150

k

d

6

(2.358)(0.150)Re 636.151

0.556 10

Cd

v x

En el diagrama de Moody se lee 0.0185

(6.8856)(43.3933)(0.0185) 6.0828SH m

Como comprobación se puede ahora calcular la altura útil H.

2 2

2

S E S ES E

P P v vH z z

g g

S Ev v S Ez z

63 ( 6.482) 69.482S EP PH m

g

19.9. Se bombea gasolina desde un tanque hasta un depósito nodriza situado 50 m por encima

del tanque con un caudal de 80 L/min. Densidad relativa de 0.84. Viscosidad dinámica=0.8x10-3

Pas. La longitud total de la tubería de aspiración y de impulsión y longitud equivalente es de 70 m.

la tubería de acero soldado oxidado de 75 mm. Despréciense las perdidas secundarias. Calcular la

potencia en el eje motor eléctrico si el rendimiento total de la bomba es de 50%.


13

Solución.

Para encontrar la potencia en el eje motor eléctrico, se emplea la sgte ecuación

total

Q gHPa

n

3 3

3

2

0.081.33 10 /

60

(0.84)(1000) 840 /

2

gasolina

tZ A ra ri

Q x m s

Kg m

vH z z H H

g

Determinamos velocidades de aspiración y de impulsión.

3 3

2

(4)(1.33 10 / )0.3018 /

(0.075 )a

x m sv m s

m

Teniendo en cuanta que tanto el tubo de aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. a iv v

23

2 2 2 2

4.64 102

2 2 2 2

a

a i i ta i

vx m

g

v v v vv v

g g g g


14

Hallamos el numero de Reynolds.

3

3

(0.3018)(0.075)(840)Re 23.76675 10

(0.8 10 )

a aa

v dx

x

Rugosidad sobre el diámetro.

430.4 10

5.33 100.075a

k xx

d

Con los valores de Re y k/da, se lee en el diagrama de Moody 0.032a

Ahora hallamos Hra.

0.0320.075

a ara a

a

L LH

d

Para las pérdidas de impulsión, será el siguiente valor.

0.0320.075

i iri i

i

L LH

d

Esto se debe a que a iv v y a id d

El valor de 50Z Az z m

Reemplazando los valores obtenemos H.

3(0.032)(0.3018)50 4.64 10

2(9.81)(0.075) 0.075

i aL LH x

Donde Li + La = 70m

3(0.032)(0.3018) 7050 4.64 10

2(9.81)(0.075) 0.075H x

50.143H m

Por último determinamos la potencia.

3(1.33 10 )(840)(9.81)(50.143)

0.5a

xP

1101868 1.1018aP W KW


15

19.10 Un manómetro conectado a la entrada1 de una bomba centrífuga indica una altura de

presión de 5,5 m por debajo de la presión atmosférica. En este instante la bomba proporciona un

caudal de 4000 l/min. La tubería de aspiración es de 150mm de diámetro y 15 m de longitud y está

provista de válvula de pie y alcachofa y un codo. La pérdida en el codo es equivalente a

m. el coeficiente de pérdida de carga de la tubería es =0,025. Calcular la cota del punto en que

está conectado el vacuómetro.

DATOS

Q=

SOLUCIÓN

Este ejercicio se ubica entre el punto de succión y el punto donde está conectado el vacuómetro.

Para la figura 19-18 del libro, estos puntos son el a y el e.

Aplicando la ecuación de Bernoulli:

(1)


16

Es igual al término

porque ambos puntos están ubicados en la misma tubería, y entonces

tienen el mismo diámetro.

El término

es la altura de presión, y es igual a 5,5 m, según el enunciado del ejercicio.

Son las pérdidas por fricción en tubería más las pérdidas en el codo, en las válvulas de pie y

alcachofa.

Velocidad=

Despejando la altura geodésica en la ecuación (1), se tiene:

El término

es cero, porque las velocidades son iguales, debido a que los dos puntos están

en la misma tubería, que tiene un solo diámetro.

El término

es negativo escrito en esta forma, con el término delante de , porque

es mayor. Entonces, por eso se antepone el signo negativo, y la diferencia de altura queda:


17

19.11. En una bomba que trabaja con agua fría el manómetro de impulsión situado 10 m por

encima del eje de la bomba marca una altura de presión de 80 m c. a. El vacuómetro situado a 50

cm por debajo del eje de la bomba marca una presión relativa de 200 Torr. Por la diferencia de

diámetros entre las tuberías de aspiración e impulsión se crea una altura dinámica de 1 / 2 m.

Calcular la altura útil de la bomba.

2 2

s s e es e

P V P VZ H Z

g g

e se s

P PH Z Z

Conversiones

80 m.c.a. = 800 Kpa = 800000 pascal = 800000 N/m² = 800000 Kg/ms²

200 Torr = 26.664 Kpa = 26664 pascal = 26664 N/m² = 26664 Kg/ms²

Reemplazando en la formula:

800000 Kg/ms² = 81.3265 m

9800 Kg/m²s²


18

26664 Kg/ms² = 207208 m

9800 Kg/m²s²

H = 81.63 + 2.72 + 9.5 = 93.85 m

H = 93.85 m

19-12. Una bomba centrifuga cuyo coeficiente de cavitación es 11.0 , desarrolla una altura útil

de 90m, la presión barométrica es 1bar. La presión de saturación del liquido bombeado (d=1.4)

para ka temperatura de funcionamiento es 0.030bar. Las pérdidas de la tubería de aspiración a

1,5m. a) Calcular la altura máxima permisible a la que puede colocarse la bomba con respecto al

nivel del agua en el depósito de aspiración.

Solucion.

H

h

hHg

PPHsmas ErA

SA

AP = Presión absoluta en el nivel superior del depósito de aspiración.

SP = Presión de saturación del vapor del líquido bombeado para temperatura de bombeo C.

ErAH = Perdida de carga en la tubería de aspiración.

h = Caída de altura de presión en el interior de la bomba, cuyo valor suministra el fabricante.

mh

mh

Hh

9,9

11.0*90

*

Para hallar la altura permisible debemos primero convertir bares a la unidad deseada.

2

5

2

225

*10

*

**1

10*1

sm

Kg

m

smKg

pascal

mN

bar

pascalbar


19

Ahora bien,

mHsmas

mHsmas

mmHsmas

hHg

PPHsmas

sm

kg

sm

Kg

s

m

m

Kg

sm

Kg

sm

Kg

ErA

SA

5,1

4,119800

97000

5,19,98,9*1000

3000*100000

22

2

23

22

*

*

**

19.13. En una bomba centrifuga de agua las tuberías de aspiración y de impulsión son de 300 mm de diámetro. La tubería de aspiración tiene 10 m de longitud y la de impulsión 150 m de longitud. Ambas tuberías son de hierro galvanizado. En la tubería de aspiración hay una válvula de pie y un codo, en la tubería de impulsión una válvula de compuerta. El caudal bombeado es de 6000l/min. Y la diferencia de niveles entre los pozos de aspiración y el depósito de impulsión es de 10m. El rendimiento de la bomba es del 65%. Calcular:

1. La potencia de accionamiento. Datos:

TA: Tubería de aspiración: Válvula de pie y un codo

Ti: Tubería de impulsión: Válvula de compuerta

DA, i: Diámetro de las tuberías de aspiración y de impulsión

DA, i = 300mm * mm

m

1000

1= 0.3 m

LA: Longitud de la tubería de aspiración = 10 m.

Li: Longitud de la tubería de impulsión = 150 m. Material: HIERRO GALVANIZADO. Q = Caudal Bombeado

Q= 6000l/min. = 6000min

lx

seg60

min1= 100

s

l

Q = 100s

l

∆A, i: Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión ∆A, i = 10m


20

ηTOTAL: Eficiencia total de la bomba ηTOTAL =65 % PA: Potencia de accionamiento PA = ? Solución. Para calcular la potencia de accionamiento empleamos la siguiente ecuación:

PA = TOTAL

Q gH

Puesto que me relaciona las variables que tengo en el ejercicio.

PA = TOTAL

Q gH

PA =

32

3

0.001(100 / )( )(1000 )(9.8 / )

1

0.65

m kgL s m s

L m

PA = 2 11507.6 / ( ) ( )Kg m s H m

s

PA = 1507.6 H La potencia de accionamiento me queda en función de la altura piezométrica H. Esta se obtiene gracias a la siguiente ecuación:

H = 2

( )2

tz a ra ri

vZ Z H H

g

En donde:

( )z aZ Z : Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión

( )z aZ Z = 10m.

raH : Perdidas por accesorios o aditamentos en la tubería de

aspiración

Donde:

2' ''

2

a ara a a a

a

L vH

d g


21

'

a : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de pie) '

a = 6.1

''

a : Coeficiente de pérdidas por accesorios (un codo)

''

a = 0.4

Va : Velocidad en la tubería de aspiración Esta es posible gracias a la siguiente ecuación:

Va; al reemplazarla con sus respectivos valores tenemos:

2

4a

a

QV

d

3

2

4 0.1 /

(0.3 )a

m sV

m

1.414 /aV m s

riH : Perdidas por accesorios y aditamentos en la tubería de impulsión

2

' ''22

i iri i i i

i

L vH

d g

En donde:

'

i : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de compuerta) '

i = 0.2

i : Factor de fricción

Para conocer el i (factor de fricción), es necesario calcular el número de Reynold (Rea), y la

rugosidad relativa ad

k , una vez obtenido estos valores, obtenemos de manera grafica el factor de

fricción. El número de reynold es posible gracias a la siguiente ecuación:


22

Rea = a

aa dv

.

En donde:

Va: Velocidad en la tubería de aspiración

da: diámetro en la tubería de aspiración ν: viscosidad cinemática del agua

VH2O a 20ºc = 1.007*10-6

s

m 2

Rea = 2

6

1.414 (0.3 )

1.007*10

mm

s

m

s

Rea = 4.212* 105

ad

k; En donde:

K es una rugosidad promedio para los diferentes tubos y se obtiene de acuerdo al material, este es posible ya que para nuestro problema el material es hierro galvanizado, dicho valor se encuentra en este rango: 0.15 ≤ k ≤ 0.20 Por lo que asumimos un k = 17 * 10-5 m Al reemplazarlo en la ecuación tenemos:

ad

k=

m

m

3.0

10*17 5

ad

k= 5.67* 10-4

A estos valores le corresponde un factor por fricción, el cual es:

i = 0.0226

Teniendo ya definido todos estos valores, procedemos a calcular las perdidas en cada una de las tuberías: Tubería de aspiración:

2' ''

2

a ara a a a

a

L vH

d g


23

2

2

10 (1.414 / )6.1 0.4 (0.0226)

0.3 2(9.8 /ra

m m sH

m m s

2 2

2

1.999396 /(7.253

19.6 /ra

m sH

m s

0.739raH m

Tubería de impulsión En esta tubería la velocidad es la misma que en la tubería de aspiración debido a que tiene el mismo diámetro y el caudal bombeado es constante, de tal forma que:

Va = Vi = 1.414m/s

2' ''2

2

i iri i i i

i

L vH

d g

2

2

150 (1.414 / )0.2 (0.0226)

0.3 2(9.8 / )ri

m m sH

m m s

1.173riH m

Ahora procedemos a reemplazar todos estos valores en la ecuación siguiente:

H = 2

( )2

tz a ra ri

vZ Z H H

g

H = 10m + 0.739m + 1.173m + 0.10201m H = 12.01m Ahora este valor lo reemplazamos en la ecuación de la potencia de accionamiento, y de esta forma determinamos lo que nos están pidiendo: PA = 1507.6 H


24

PA = 1507.6 (12.01) (W) PA = 18.112 Kw. 19.14 Una bomba centrifuga proporciona un caudal de 1000L/min a 1000 rpm el diámetro del

rodete 600mm. Ancho de salida 10 mm, brida entrada – salida se crea un diferencia de presión 3

Bar , ; de=1m, de=ds; rendimiento manométrico 70 % entrada del rodete radial.

Hallar Altura efectiva, potencia útil,

Primero determinamos la altura efectiva usando la ecuación de Bernoulli

Debido a ds=de entonces Vs=Ve = a cero, la presión de entrada es cero así nos queda:

Luego nos queda

Para determinar la potencia utilizamos la ec.

Reemplazando nos queda:

Sabiendo que:

Para determinar

Realizamos el triangulo de vela la salida:

12

60

D NU

=

Determinamos Hu


25

Luego utilizando la relación

2 2 1 1u uu

u C u CH

g

Pero como la entrada es radial entonces

2 2uu

u CH

g

Hallamos u

Determinamos el valor de C2 sabiendo que C2 es = a C2m

Entonces

Reemplazamos los valores:

Utilizando la relación de triángulos:

19.15 Una bomba centrifuga de agua proporciona una altura útil de 22 metros a una velocidad de

1.200 r.p.m. D1= 180 mm; D2= 300 mm. Entrada en los álabes del rodete, radial; Cm= constante en


26

todo el rodete; C2u= 25 m/s. Las perdidas perdidas hidráulicas en la bomba son iguales a 0.027 C22

m (C2 en m/s).

Calcular:

a) El rendimiento hidráulico.

b) Los ángulos álabes a la entrada y a la salida β1 y β2.

Datos de entrada:

H=22m Hr=0.027 C22

n= 1.200 r.p.m.

D1= 180 mm D2=300 mm

C2u=25 m/s Cm= constante

Consideraciones:

Dado que la entrada en los álabes es radial C1 = C1m

Desarrollo:

a) Para hallar el rendimiento hidráulico utilizamos la siguiente fórmula: ηh = H/HU ; donde H= Hu – Hr-int ; H: altura útil Hu: altura de Euler


27

a) Ahora procedemos a calcular el rendimiento hidráulico

b) Ahora procedemos a hallar los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida


28

19.16 Una bomba positiva de corona directriz tiene una altura geométrica de aspiración de 2 m y

una de impulsión de 14m referidas al eje de la bomba. La velocidad del agua en la tubería de

impulsión es de 2 m/s y Cm es contante en todo el recorrido e igual a 3 m/s; β2=60o.Se desprecian

las perdidas en el interior y7 fuera de la bomba. La entrada en los álabes es radial.

Calcular:

a) Velocidad periférica a la salida del rodete

b) Altura de presión a la salida del rodete.

c) Altura de la velocidad a la salida del rodete.

d) Angulo que deberá haber a la entrada de los alabes.

Análisis y datos de entrada:


29

Los subíndices 1 y 2 indican aspiración e impulsión respectivamente.

Datos conocidos:

-Cm: 3 m/s y es constante.

-β2 = 60o.

-V2= 2 m/s, velocidad de succión.

-La entrada en los alabes es radial por lo tanto C1u = 0.

-Se desprecian las perdidas en el interior y fuera de la bomba

Como se desprecian las perdidas dentro y fuera de la bomba la ecuación de Bernoulli está dada

por

Como los tanques son abiertos a la presión atmosférica, la presión es 0.

Se desprecia la fricción.

Despejando H:

Como la altura efectiva de la bomba es

, y las pérdidas son despreciables tenemos que

Según Euler , para bombas y como la entrada es radial C1u = 0.


30

Despejando:

C2u =

-Ecuación 1

Analizando el triangulo de velocidades para la salida (2)

Analizando el triangulo formado por Cm2, w2 y .

Tenemos que

Despejando

-ECAUCION 2

Igualando y resolviendo las ecuaciones las ecuaciones 1 y 2 tenemos una formula cuadrática

Resolviendo la mediante formula cuadrática encontramos la velocidad periférica es:

a)

b) Para la altura de presión a la salida del rodete tenemos que analizar desde el pozo hasta la salida de la bomba(nivel del eje de bomba)

Aplicando Bernoulli

-Como el tanque de suministro esta a la intemperie se va la presión de entrada

-Velocidad de entrada se desprecia pues el diámetro del tanque es mucho mayor que la tubería y

su velocidad es baja.

-como analizamos a nivel de eje de la bomba la altura 2 es 0.

Despejando


31

, a la salida del rodete es igual a C2 y la halamos mediante el triangulo de

velocidades

, analizando el triangulo formado por C2, C2u y Cm tenemos que

No tenemos

Reemplazando los valores obtenemos que

Teniendo este valor procedo a hallar por Pitágoras C2=12.17 m/s

Procedemos a reemplazar en la ecuación de Bernoulli ya encontrada

b)

seria la altura de presión en el rodete.

c) El ángulo q deberían tener los álabes directrices a la entrada seria igual a β1 y se hallaría

mediante el triangulo de velocidades para 1

Como la entrada a los álabes es radial el triangulo queda reducido a

tenemos solo de este triangulo Cm, pero utilizando la ecuación de Euler tenemos q

, pero C1U es igual a cero entonces para poder hallar el valor de µ1 le

damos un valor a la componente periférica de la velocidad absoluta muy pequeño (que tienda a

cero) solo faltaría despejar y hallar µ1.


32

Despejando tenemos que

La magnitud de , teniendo este valor procedemos a hallar β1 por trigonometría

.

19.17 Una bomba centrifuga que proporciona un caudal de 25 m3/h sirve para elevar agua a una

altura de 25 m. La resistencia total de la tubería de aspiración y de impulsión es de 6 m. El

rendimiento total de la bomba es de 0.7, y el rendimiento del motor eléctrico de accionamiento es

de 0.95.

Calcular la potencia de la red.

Datos de entrada:


33

Solución:

Se calcula primero la potencia interna de la bomba; la cual es función de la potencia de

accionamiento.

.

Pi es la potencia que necesita la bomba del motor eléctrico para vencer todas las perdidas y así

poder realizar el trabajo.

19.18 Una bomba centrífuga, cuyo rendimiento total es 60% bombea 2000L/min de aceite creando

un incremento de presión efectiva de 2 bar.

Pasamos el caudal a

Convertimos el a Kilopascales

Reemplazamos valores en la fórmula de la potencia de accionamiento


34

19.20. Entre las bridas de entrada y salida de una bomba, se coloco un manómetro en U de

mercurio. De él se ha extraído el aire de manera que al funcionar el resto del tubo manométrico se

encuentre lleno de agua. La bomba da una caudal de agua de 300 m3/h. la tubería de aspiración es

de 250 mm y la de impulsión de 200 mm. El eje de la bomba es horizontal. Entre los ejes de la

tubería en la toma manométrica de aspiración e impulsión hay un desnivel de 35 cm. El

manómetro indica un incremento en la altura del mercurio de 20 cm (más elevada en la rama

unida al tubo de aspiración).

Calcular la potencia útil de la bomba

La potencia útil será la invertida en impulsar el caudal (Q) a la altura útil (H). Lo cual se resume en

la siguiente fórmula:

P Q gH

El valor H se halla a continuación despejando el término de la ecuación de Bernoulli de la siguiente

manera:

2 2

2 2

e e s se e

P v P vZ H Z

g g g g

Despejando H tenemos:

2 2

2 2

s s e es e

P v P vH Z Z

g g g g

Reorganizando la ecuación encontramos:

2 2

2

s e s es e

P P v vH Z Z

g g

La altura manométrica igual a 20 cm que nos presentan en el ejercicio corresponde al siguiente

término de la ecuación:

s eP P

g


35

El segundo término de la ecuación es igual al desnivel de 35 cm que se presenta entre los ejes de

las tuberías:

s eZ Z

En el último término de la ecuación se calculan las velocidades en base a los diámetros

entregados con de las tuberías y reemplazándolos en la siguiente ecuación:

V= Q/A ; A =

Luego reemplazando:

AS = A = = 0,031 m2

AE = A = = 0,049 m2

Se hallan las velocidades:

VE = Q / A1 V1=

VE = 6122 m/h = 1,7 m/s

VS= Q / A2 V2 =

VS = 9677 m/h = 2,68 m/s

Se sustituye todo los valores en H:

2 2

2

2.68 / 1.7 /0.2 0.35

2(9.8 / )

m s m sH m m

m s

H = 0,2 m + 0,35 m + 0,22 m

H= 0,77 m

Por último se halla la potencia útil de la bomba según la ecuación 19,17 del libro “Claudio Mataix”

de maquinas hidráulicas:

P Q gH


36

P = (300 m3/h) (1000 Kg/m3) (9,8 m/s2) (0,77 m)

P = 2263800W = 2263,8 KW

19.21. Una bomba centrifuga de agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la

bomba es de 2,6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. Las

diferencias de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es

de 0,6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total

de la bomba es 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba.

Datos de entrada:

Q = 50 m3/h Pa = ?

P2 = 2,6 bar. Hm =?

P1 = 250 Torr

Z2 – Z1 = 0,6 m

η

31000 /Kg m

D1 = D2

Tenemos la ecuación de potencia de accionamiento

1aP

QgH

Para hallar la potencia de accionamiento necesitamos hallar la altura útil de la bomba o cabeza de

presión H.

Para hallarlo utilizamos la ecuación general de la energía:

2 2

1 1 2 21 2

( ) ( )

2 2l r

P v P vZ H h h Z

g g g g

Despreciamos las perdidas menores hL y no hay energía retirada hR. Entonces la ecuación queda

reducida a:

2 2

1 1 2 21 2

( ) ( )

2 2

P v P vZ H Z

g g g g


37

Despejando tenemos:

2 2

2 1 2 12 1

( ) ( )

2 2

P P v vH Z Z

g g g g

La velocidad expresada en términos de Q es: 2

2

2 4

16Qv

D

Cuando realizamos la diferencia entre velocidades 1 y 2:

2 2

2 2 2 4 2 42 1

2 1

16 16( ) ( )

2 2 2 2

Q Qv v D D

g g g g

Pero como sabemos que D1 = D2, entonces la diferencia de velocidades se hace cero.

La ecuación se reduce a:

2 12 1

P PH Z Z

g g

Ahora para resolver la ecuación necesitamos realizar una conversión de unidades:

2

2

2

1

1000002.6 260000 ( / )

1

133250 332250 ( / )

1

PaP bar Pa N m

bar

PaP Torr Pa N m

Torr

La presión 1 es negativa, porque es especificado que es una depresión medida por un vacuómetro.

3 31(50 / ) 0.0138 /

3600

hQ m h m s

s

Con esto ya podemos hallar la cabeza de presión:


38

2

3 2

2

3 2

260000 ( 332250 /0.6

1000 / 9.81 /

260000 (332250 /0.6

1000 / 9.81 /

N mH m

Kg m m s

N mH m

Kg m m s

29.89 0.6

30.49

H m m

H m

Ahora podemos hallar la potencia de accionamiento:

1aP

QgH

Reemplazando;

16657.54

0.62(1000)(0.0138)(9.81)(30.49)Pa w

19.22. Una bomba se emplea para impulsar agua a 10°C entre dos depósitos, cuyo desnivel es de

20m. Las tuberías de aspiración y de impulsión, cuyas longitudes son de 4 y 25m respectivamente,

son de fundición de 300 y 250 mm respectivamente. Las perdidas secundarias pueden

despreciarse. El caudal bombeado es de 800m3/h; ntot = 75%. Calcular: a) La altura efectiva de la

bomba; b) Potencia de accionamiento.

Agua a 10ºC

∆z = 20m

L de aspiración = 4m

L de impulsión = 25m

D de aspiración = 300mm

D de impulsión = 250mm

Q = 800m^3/h

η total = 75%


39

Buscamos en tablas los siguientes datos

ε=0.25mm

υ=1.03*10^-3

φ=999.7 kg/m^3

Ahora calcularemos el numero de Reynolds y las perdidas por fricción en las tuberías con las

siguientes ecuaciones

Re Sv D

v

2

2f

LVh f

D g

2

0.9

1.325

5.74ln

3.7

fE

D R

3 3800 / 0.22 /Q m h m s

Re 906513.6 48.33 10E

xD

Re 1087816.31 31 10E

xD

f = 0.012 hf =0.079

f2 = 0.02 hf2 = 2.05

Teniendo en cuenta que la energía de presión es cero y la energía cinética tiende a cero nuestra

ecuación queda de la siguiente forma


40

De 2 2

2 2

A A Z ZA r ext Z

P v P vz H H z

g g g g

Quedaría que:

H = 20 + 0.079 + 2.05 = 22.129 m

Ahora calculamos la potencia útil

( )P Q gH W

3 3 2(0.22 / )(999.7 / )(9.81 / )(22.129 ) 47.7445P m s Kg m m s m KW

Y calculamos la potencia de accionamiento

tot

Pn

Pa

47.744563.6593

0.75

KWPa KW

19.23. Una bomba centrífuga gira a 750 rpm. El desnivel geodésico entre los depósitos de aspiración e impulsión, abiertos a la atmósfera, junto con todas las pérdidas de carga exteriores a la bomba asciende a 15 m. El ángulo = 45°. La velocidad media del agua en las tuberías, así como la velocidad meridional en el interior de la bomba, se mantiene constante e igual a 2 m/s. La entrada de la corriente en los álabes es radial. El rendimiento manométrico de la bomba es 75%. Ancho del rodete a la salida 15 mm. Calcular:

a) Diámetro exterior del rodete. b) Altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja

espiral. c) Si el diámetro del rodete a la entrada es 0.4 el diámetro del rodete a la salida, calcular el

caudal y el ancho del rodete a la entrada. d) . e) Rendimiento de la bomba, si 0.9 y 1


41

Datos.

= 0.75 n= 750 rpm = 45° = 2 m/s = 15 mm 15 m Solución.

Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):

A partir de la ecuación de Bernoulli, determinamos que:

x

750 rpm


42

0, por estar abierto a la atmósfera.

, por mantenerse constante.

Por lo tanto, comprobamos que:

Ahora, se calcula la altura útil:

Sabiendo que

(1), se determina los valores de y con el segundo triángulo de

velocidades:

Donde

(2)

Reemplazando (2) en (1):

Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:

Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz.

Con el valor de , determinamos el diámetro externo:

Respuesta a)/: El valor del diámetro exterior del rodete es 383 mm.

Para determinar la altura dinámica , determinamos el valor de a partir del segundo triángulo de velocidades:


43

Respuesta b)/: La altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral es 8.67 m.

El caudal se calcula de la siguiente manera:

Como el caudal en la entrada es el mismo que en la salida, tenemos que:

(3)

Para determinar el diámetro del rodete a la entrada, se tiene la siguiente relación:

Con este dato, procedemos a calcular la anchura del rodete a la entrada a partir de (3):

Respuesta c)/: Según las condiciones diametrales, el caudal es y el ancho de rodete a la entrada es 0.0375 m.

El valor de , se obtiene a partir del primer triángulo de velocidades. Por lo que:

Respuesta d)/: El valor de es .

El rendimiento de la bomba, se determina a partir de:

Respuesta e)/: El rendimiento de la bomba es 67.5 %

19.24. Una bomba centrífuga de agua tiene as siguientes características: D1= 100 mm; D2/D1= 2; b1= 20mm; = 15°; = 30°; n= 1500 rpm. Las tomas de presión en la aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración marca una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65%, 96%; = 0.9. Supóngase la entrada en los álabes radial. Calcular:

a) Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete (los tres lados y los dos ángulos característicos).

b) El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).


44

c) La potencia en el eje de la bomba. d) La presión en bar del manómetro de impulsión.

Datos.

= 0.96 = 0.9 = 0.65 n= 1500 rpm = 15° = 30° = 100 mm = 2 = 20 mm = -4 m c.a. Solución.

Respuesta a)/: Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):

Del primer triángulo de velocidad, determinamos :

Para este caso, y

Del segundo triángulo de velocidad, determinamos :

x


45

Para el caudal, teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico es igual a 1, se procede a calcularlo así:

Respuesta b)/: El caudal es .

Para determinar la potencia del eje, se calcula como primera medida el rendimiento hidráulico:

Determinamos la altura útil H:

Determinamos la potencia interna:

Calculamos la potencia de accionamiento:

Respuesta c)/: La potencia del eje de la bomba es

Para hallar la presión en bar, se realizó una conversión de unidades a la presión en la aspiración:


46

Respuesta d)/: La presión en bar del manómetro de impulsión es

19.25 El rodete de una bomba centrifuga de gasolina ( 0.7 ) de 3 escalonamientos tiene un

diámetro exterior de 370 mm y un ancho a la salida de 20 mm ; 2 45 . Por el espesor de los

álabes se reduce un 8 % el área circunferencial a la salida; m = 80 %.

Calcular:

A) Altura efectiva cuando la bomba gira a 900rpm, suministrando un caudal másico de

3.500kg/min;

B) Potencia de accionamiento en estas condiciones.

SOLUCION:

D2 = 0.37 m

b2 = 0.02 m

β2 = 45º

ni = 0.85

nm = 0.80

N= 900rpm

Q = 3500 Kg/min= 0.085 m3/seg

Hallamos la velocidad meridional (C2m ):

2 2 2mQ D b c

Despejando tenemos:

C2m = (0.085) / ( x 0.02 x 0.37)

C2m = 3.44 m/seg

Luego hallamos la velocidad periférica a la salida del alabe (U2 ):

22

60

D nu


47

U2 = ( x 0.37 x 900) / 60

U2 = 17.43 m/s

Luego del triangulo a la salida mostrado en la figura 18.2 tenemos:

22 2

2

mu

cC u

tg

C2u = 17.43 m/seg – 3.44 m/seg

C2u = 13.98 m/seg

Luego hallamos la altura de euler:

2 2 1 1 2 2

u

u uu c u c u u cH

g g

Hu = (17.43 x 13.98) / (9.8) = 24.86 m

/h uH H

H = 3 (0.8) x (24.86) = 61.36 m ; Bomba de 3 escalonamientos

El ejercicio nos plantea un rendimiento interno pero el volumétrico al trabajar con un liquido se

toma como 1 por lo cual el rendimiento interno es igual al rendimiento hidráulico.

Conociendo la altura podemos hallar la potencia de accionamiento:

1

a

m

Q gHP

Pa = (680 x 0.085 x 9.8 x 61.367) / (0.80 x 0.85)

Pa = 51.649 Kw.

19.26 En este problema se desprecian las pérdidas. Una bomba centrífuga de agua tiene las

siguientes características: n=500rpm, D1=100mm, D2=400mm. Área útil del rodete a la

entrada=200cm2. Área útil del rodete a la salida=500cm2. Β1=45o, Β2=60o. Entrada en los álabes del

rodete radial. Calcular w1, w2 y la potencia de la bomba.

Datos:

n=500rpm Ae=200cm2 w1=?

D1=100mm As=500cm2 w2=?


48

D2=400mm β1=45o, β2=60o P=?

Solución. Como conocemos el número de revoluciones de la bomba y a la vez el ángulo a la

entrada procedemos a hallar la velocidad periférica en el punto 1, por lo que tendríamos:

El triangulo de velocidades a la entrada esta dado por:

Aplicando las relaciones trigonométricas podemos obtener

tanto el valor de la velocidad relativa a la entrada w1, como

el valor de C1m o C1.

Despejando la ecuación (1) tendríamos

Despejando la ecuación (2) tendríamos

Por la ecuación de continuidad asumimos que:

Ahora para la salida tenemos que , y despejando

Procedemos a hallar la velocidad periférica en la salida

C1= C1m

w1

β1


49

Y el triangulo de velocidades en la salida será

Para el triangulo azul aplicando las respectivas

relaciones trigonométricas obtendremos el valor de

w2 y obtener el valor de - C2u2.

Despejando w2 de la ecuación (3) tenemos

Despejando C2u2 de la ecuación (4) tenemos

Sabemos que , pero debido a que las pérdidas se despreciaran en este problema,

tenemos que . Si utilizamos la primera forma de la ecuación de Euler, obtendríamos:

Pero debido a que la entrada en los alabes es radial, , entonces:

Y la potencia de la bomba estaría dada por la siguiente expresión

19.27 Una bomba de agua da un caudal de

. Aspira en carga de un depósito abierto por

una tubería de estando el eje de la bomba por debajo del nivel de agua en el

depósito. Despréciense las pérdidas en la bomba y en las tuberías. La potencia de la bomba es de

.

C2m w2

β2

C2

C2u2

u2

-


50

Calcular:

1) La lectura de un manómetro situado en la brida de espiración por debajo del nivel del

depósito.

2) La lectura de otro manómetro situado en la tubería de impulsión por encima del nivel de

agua en el depósito.

SOLUCIÓN

Para empezar el desarrollo de nuestro ejercicio empezamos realizando las siguientes

conversiones:

Sea

Sea

1) Iniciaremos el análisis escogiendo los puntos en donde conocemos la mayor información sobre presión, velocidad y elevación. Siendo así analizaremos primero la superficie del recipiente y la sección de entrada a la bomba, en donde se encuentra ubicado el primer manómetro. Los puntos se ilustran a continuación:

La ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas será:

Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en

las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un

dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido y tampoco hay energía agregada

mediante un dispositivo mecánico (bomba) :

Conociendo que , luego entonces este término desaparece de la ecuación y así

mismo se cancelan algunos términos como:

5m

m

20m

Eje de Referencia

Bomba Depósito Abierto

Manómetro

1

Manómetro

2

A

B


51

, ya que =0 La superficie del recipiente está expuesta a la atmósfera (depósito

abierto).

, ya que =0 (Aproximadamente) El área superficial del recipiente es grande en

comparación a la de la entrada de la tubería.

=0 Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.

Luego la expresión se reduce a:

Puesto que tiene un valor dado de

y que el diámetro de la tubería es de ,

entonces podemos calcular la velocidad que lleva el fluido en el punto B.

Al despejar

de la ecuación:

Reemplazando los valores correspondientes:

Finalmente

Esta es la presión que registra el manómetro ubicado en la brida de aspiración 5m por debajo del

nivel de agua del depósito. El signo negativo indica que se trata de un vacuómetro.

2) Para la segunda parte del análisis escogeremos la sección de entrada a la bomba en donde se

ubica el primer manómetro y la sección en donde se encuentra ubicado el segundo manómetro.

Los puntos se ilustran a continuación:


52

Ahora nuevamente escribiendo la ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas tenemos:

Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en

las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un

dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido, pero SI hay energía agregada

mediante un dispositivo mecánico, en este caso la bomba :

Conociendo que , luego entonces este término se conserva en la ecuación bajo

la notación de y así mismo se cancelan algunos términos como:

=0 Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.

y

se cancelan El tamaño de la tubería es el mismo en la sección B y en la sección

C. La rapidez de flujo de volumen en cada punto es también la misma. Entonces, puesto que

, podemos concluir que .

Luego la expresión se reduce a:

B

5m

m

20m

Eje de Referencia

Bomba Depósito Abierto

Manómetro 1

Manómetro 2 C


53

Puesto que en el ejercicio nos indican que la bomba tiene una potencia de , y manejando el

concepto de que la potencia útil o la potencia añadida al fluido por la bomba es igual a:

En donde:

es el peso específico del fluido que fluye por la bomba y Q es la rapidez de flujo de volúmen del

fluido (caudal); de esta ecuación despejamos que es la energía añadida o agregada al fluido

mediante la bomba.

Así:

Finalmente al despejar

de la ecuación de Bernoulli reducida tenemos:

Al remplazar los valores correspondientes obtenemos:

19.28. En este problema se despreciaran las pérdidas. Una bomba centrifuga que produce un

caudal de agua de 300m3/h tiene las siguientes características: D1= 150mm; D2/D1= 3; b1= 40mm;

b2/b1= 1/2; β1= 60º; β2= 40º. Entrada radial.

Calcular:

a) rpm b) Altura de la bomba c) Par


54

d) Potencia e) Incremento de presión que se produce en el rodete

Solución

Datos:

Pérdidas: Hr-int.= 0

Caudal: Q= 300m3/h

Diámetro 1: D1= 150mm

Diámetro 2: D2= 3 D1

Arista de entrada: b1= 40mm

Arista de salida: b2/b1= ½ → b2= 20mm

Solución.

El caudal en una bomba en régimen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba.

Entonces se tiene que:

1cDbQ m111

Como la entrada es radial, se tendrá que el triangulo de velocidades a la entrada estará dado por:

Donde:


55

m150mm1000

m1mm150D

m040mm1000

m1mm40b

sm0830

s3600

h1

h

m300Q

60

entradalaaabsolutaVelocidadcc

1

1

33

1

m11

.

.

.

Despejando de (1) a c1m:

sm404c

sm404

m150m040

sm0830

Db

Qc

m1

3

11

m1

.

...

.

Aplicando trigonometría en el triangulo de velocidades de entrada, se obtiene que:

)(2u

c

u

cTan

1

m1

1

11

Despejando u1 de (2):

sm542

731

sm404

Tan

cu

1

m11 .

.

.

Pero como u1, según el Claudio Mataix Pág. 362, es igual a:

)(3wru 11

m07502

m150

2

Drr2D 1111 .

.

Despejando w de (3):

srad8733s8733

m0750

sm542

r

uw 1

1

1 ...

.

Como la velocidad angular w está dada por: (Pág. 361 Claudio Mataix)

)(42

w60n

60

n2w


56

Reemplazando valores en la ecuación (4):

)(.

..

arpm43323n

rpm433232

srad873360

n

Ahora, de la ecuación (19-4) del Claudio Mataix Pág. 386, se tiene que la expresión para el cálculo

de la altura es:

)(.int 5HHH ru

En donde Hu es la altura que el rodete imparte al fluido y Hr-int. equivale a las perdidas hidráulicas

en función de la altura.

Como en este caso especifico, las pérdidas se desprecian, la ecuación (5), se reescribe como:

)(

.int

6HH

HHH

u

ru

Donde según la ecuación (19-3) del Claudio Mataix Pág.385, Hu esta definida como:

)(7g

cuH

g

cucuH

u22

u

u11u22

u

Ya que c1u=0 (Entrada radial).

Por otra parte, como el caudal no varía igualamos las condiciones en la entrada y a la salida, se

puede deducir que:

m222m111 cDbcDbQ

Despejando c2m:

s

m932s

m404m1503m020

m150m040c

Db

Dbc m1

22

11m2 ..

..

..

Ahora, para cálculo de u2:

sm627

60

rpm43233m1503

60

nDu 2

2 ...).(


57

Al construir el triangulo de velocidades que corresponden a la salida de la bomba, obtenemos por

trigonometría lo siguiente:

sm134c

sm134

840

sm932

sm627c

Tan

cuc

Tan

ccu

cu

cTan

u2

u2

2

m22u2

2

m2u22

u22

m22

.

..

..

Reemplazando el valor de c2u en la ecuación (7), se tiene que:

bm213

sm819

sm134

sm627

H

2

u ..

..

El par transmitido por el rodete al fluido esta descrito por la ecuación (18-5) del Claudio Mataix en

la Pág. 361:

u11u22 crcrQM

Como el fluido con el que trabaja la bomba es agua, el =1000kg/m3. Reescribiendo todas las

variables por sus respectivos valores, resulta:

)(.

...

cNm717M

sm134m02250

mkg

1000s

m0830M 3

3

La potencia útil es la invertida en impulsar el caudal útil Q a la altura útil H. Luego, esto lleva según

Claudio Mataix (Pág. 381) a que la potencia está definida por:


58

dkw612P

w682613P

m213s

m819m

kg1000

sm0830P

gHQP

23

3

.

.

...

El incremento de presión creado por el rodete si la bomba está llena de agua será (Claudio Mataix,

Pág. 383):

ekPa5031p

Pa131490p

m213s

m819m

kg1000p

gHp

23

agua

.

.

..

19.29 UNA BOMBA CENTRIFUGA DE AGUA QUE GIRA A 1000 RPM, TIENE LAS SIGUIENTES

DIMENSIONES:

(Datos de Entrada)

D1= 180 mm

b1 = 30 mm b2 = 20 mm

β1 = 20o β2 = 30o

Eficiencias

ηH =81 % (hidráulica) ηm = 95 % (mecánica) ηmotor eléctrico = 0.85

Diámetro tubería de entrada: 220 mm

Diámetro tubería de salida: 200 mm

Entrada a los alabes radial, las bridas de entrada y salida se encuentran a la misma cota. El desnivel

entre el depósito de aspiración abierto a la atmosfera y la brida de aspiración asciende a 1,2 m.

Calcular:

a) Los triángulos de velocidad a la entrada y la salida del rodete. (c, u, w, cu, cm, α).


59

b) Caudal Q

c) Altura de Euler Hu

d) Altura de Presión a la entrada de la bomba

e) Energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba.

f) Altura de presión a la salida de la bomba.

Solución:

ESQUEMA DEL SISTEMA DE BOMBA

a) Triángulos de Velocidad

A la entrada del alabe

Se considera que el fluido agua entra a los alabes en forma radial, por lo tanto el triangulo de

velocidad a la entrada queda representado de la siguiente forma:

C1u = 0, La razón de que c1u sea cero, es porque la entrada del fluido al álabe es radial, por lo que

c1 se hace igual a c1m o la velocidad meridional, así c1 = c1m.

A la salida del álabe el triángulo de velocidades que representado así:


60

Calculo de las velocidades y ángulos de entrada y salida

a) Considerando el triangulo de velocidades a la entrada

Se determina u1

u1 =

Con

D1 = 180 mm β = 20o

N = 1000 rpm

u1 =

u1 = 9424.8

Se determina c1m

c1m = u1 tan β

c1m = (9424.8

) tan 20o

c1m = 3430. 3

Esta velocidad es igual a c1

C1 = 3430. 3

C1u = 0

Se determina w1


61

w1 =

w1 =

w1 = 10029.6

b) Para determinar el caudal Q

Q = b1 D1 c1m

Q = (30 mm) (180 mm) (3430.3

Q = 58.2 x 106

Se determina u2

u2 =

Con

D2 = 360 mm

N = 1000 rpm

u2 =

u2 = 18849.6

Para hallar c2m, por conservación de caudal y sin pérdidas volumétricas se usa la ecuación:

Q = b2 D2 c2m

Despejando c2m

c2m =

Con Q = 58.2 x 106

b2 = 20 mm

D2 = 360 mm

c2m =


62

c2m = 2572.7

Del triángulo de velocidades a la salida se determina: c2u

Considerando la figura

tanβ =

Despejando c2m se obtiene:

C2u =

Reemplazando los datos

C2u =

C2u = 14393.2

Se determina w2

De la figura

w2 =

w2 =

Para determinar c2 se utiliza el teorema de Pitágoras y del triangulo de velocidades a la salida:

c2 =

c2 = 45587.9

Para determinar el ángulo α, de la figura:

Tan α =

Despejando α

α = arctan (

α = arctan


63

α = 10.1o

c) Altura de Euler

Se usa la ecuación:

Hu =

Reemplazando los valores

Hu =

Hu = 27656 mm

Hu = 27.6 m

d) Altura de presión a la entrada de la bomba

Para hallar la altura de presión a la entrada de la bomba se aplicación ecuación de la energía entre

los puntos A y E del sistema

Se despeja la altura de presión

Ze= 0 A la misma altura

= perdidas a la entrada

Se determina hallando la altura útil y restándola de la altura de Euler o altura teórica.

Altura Útil H


64

De la ecuación de la eficiencia hidráulica:

ηH =

De los datos de entrada

La eficiencia hidráulica ηH =81 %

Despejando la altura útil H

H = ηHHu

H = (0.81)(27.6 m)

H = 22.4 m

La altura de pérdidas se expresa:

Hpe = Hu – H

Hpe = 27.6 -22.4

Hpe = 5.2 m

Se halla la velocidad a la entrada de la bomba Ve

De la ecuación de caudal

Q = VA = V

Despejando la velocidad V

V =

Reemplazando el Caudal y el diámetro.

Q = 58.2 x 106

= 0.0582

de= 220 mm = 0.22m

Ve= 1531.04

Reemplazando la velocidad

= 119,5 mm = 0.119 m


65

-5.2m – 0.119m – 0

- 5.319 m

e) La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba

Se halla la potencia útil

Pútil = QρgH

Pútil = (0.0582

(1000

Pútil = 12. 8 kW

Ahora se determina la potencia de accionamiento Pa

Es función de la potencia útil y la eficiencia total ηt

Pa =

=

Pa = 16.6 kW

Se determina la potencia suministrada por el motor eléctrico, con la eficiencia del motor eléctrico

ηmotor eléctrico= 0.85

Pmotor =

Pmotor =

La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento se determina con

Eeléctrica = Potencia motor x tiempo de funcionamiento

Eeléctrica = Pmotor x t = (19.5 kW x 6 h)

Eeléctrica = 117 kW

f) Altura de presión a la salida de la bomba


66

Aplicando ecuación de la energía en los puntos E y S

+ Hútil=

Pero

Ze = Zs = 0

Despejando la altura de presión a la salida

La velocidad Vs se determina con el caudal Q

Con diámetro de salida ds = 200 mm

Q = VA = V

Despejando la velocidad V

V =

Reemplazando el Caudal y el diámetro.

Q = 58.2 x 106

= 0.0582

de= 200 mm = 0.2m

Ve= 1852.6

Reemplazando la velocidad

= 175 mm = 0.175 m

Reemplazando

= 22.4 m – 5.319 m + 0.119 m – 0.175 m


67

= 17.02 m

19.30 Una bomba centrifuga que aspira directamente de la atmosfera ( = 740 torr) da un

caudal Q = 555

con una altura efectiva H= 13.5 m, girando a 750 rpm, el es 3.33

m, la temperatura del agua es 20 , las pérdidas de la aspiración ascienden a 0.54m.

Altura geodésica máxima de aspiración de la bomba

Numero especifico de revoluciones

DATOS

Bomba centrifuga

Q= 555

H= 13.5 m

n = 730 rpm

= 3.33 m

= 20

= 740 torr

Perdidas en tubo de aspiración= 0.54 m

=?

Altura geodésica de la bomba =?

=

(velocidad especifica)

Conversiones:

Q= 550

*

= 0.55

= 998

Luego hallamos la potencia. (P):

P= Q (W)

P= (0.55

) (998

)(0.98

)(13.5m)

P=7262 W = 7.262 Kw

Luego reemplazamos estos valores en la ecuación de la velocidad especifica


68

=

=

=75.8

Ahora procedemos a calcular la altura geodésica de la bomba:

=

- -

-

= -3.33m-0.54m

=-3.87m

0 la entrada de la bomba está por debajo del nivel de la carga.

19.31. Una bomba centrifuga bombea gasolina de densidad relativa 0.7 a razón de 200 m3/h. Un

manómetro diferencial mide una diferencia de presiones entre la entrada y la salida de la bomba

de 4,5 bares, el rendimiento total de la bomba es de 60%. Las tuberías de aspiración y de

impulsión tienen el mismo diámetro y los ejes de las secciones en que está conectado el

manómetro tienen la misma cota.

Calcular:

a) la altura útil de la bomba;

b) la potencia de accionamiento.

Solución.

sm

s

h

hm

hmQ

333

5556.03600

1200200


69

aguarelabs

agua

absrelaguarel m

kg

31000;7.0

33 70010007.0m

kgm

kgabs

Pabar

PabarbarP 450000

1

105.45.4

5

kPaPPP ES 450

Analizando

extr

ES

ES

ES Hg

VVZZ

g

PPH

2

22

En esta expresión tenemos que :

- debido a q los ejes están al misma altura entonces ZS-ZE = 0

- como la velocidad es 2

4

D

Q

;dependen de Q y de D y DS= DE entonces

VS= VE y esa expresión se hace igual cero

- por último debido los datos del ejercicio se debe suponer q no hay perdidas en el sistema

mH

sm

mkg

kPa

g

PPH ES

597.65

8.9700

450

23

Ahora para calcular la potencia de accionamiento

kWWP

ms

mm

kgs

mP

gHQP

002.2589.25002

6.658.970005556.0 23

2

Sabemos q Tot 60% entonces


70

kWP

kWPP

P

P

acc

Tot

acc

acc

Tot

671.41

6.0

002.25

19-32. Una bomba centrífuga de agua gira a 1490 rpm y absorbe una potencia de 300 kW; d2= 500 mm; b2= 25 mm; = 45°. La entrada en los álabes es radial. El rendimiento total se supondrá igual a 1. Calcular el caudal.

Para resolver este ejercicio, realizamos el triángulo de velocidades en la salida:

Con ello determinamos que

.

Si el rendimiento total es 1, tenemos que ; y

. Por lo cual:

Reemplazando los valores conocidos:

x


71

Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:

Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz.

Con el valor ya obtenido de , determinamos el caudal:

19.33. El eje de una bomba centrifuga de agua se encuentra 3,5 m por encima del nivel del pozo

de aspiración. La altura efectiva que da la bomba para caudal 0 es 21,4m se abre la válvula de

impulsión sin cebar la bomba.

Estimar la altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración

Solución

Hs = 3,5m

Q = 0


72

H = 21,4

La altura a la que se eleva la el agua en la tubería de aspiración la podemos estimar dependiendo

de la densidad del fluido. De acuerdo con esto

Y es igual para la bomba en los dos casos, así que lo hallamos utilizando la ecuación anterior

pero con la densidad del aire, de esta forma:

Para

Ahora tengo todos los datos para calcular H con

Así quela altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración

19.34. En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga de agua cuyo

diámetro exterior es de 200 cm y su velocidad periférica a la salida de rodete es de 10 m/s da un

caudal de 3000 L/min. La entrada en los alabes es radial. ηm = 92%; C2m = 15 m/s; β2 = 30°. Calcular

el momento motor del grupo.

Solución.

D2 = 200 cm ηm = 92%

u2 = 10 m C2m = 1.5 m/s

Q = 3000 L/min β2 = 30°


73

Realizamos el triangulo de velocidades para la salida de la bomba para hallar el valor de C2u2.

2 2 2uC x u ; donde 2 2cosx w y 2

2

2s

mCw

en

2 22 2 2 2 2

2 2

costan

m mu

C CC u u

sen

2 2

1.510 7.4 /

tan30uC m s

Para hallar el momento motor, dividimos la potencia de accionamiento entre la velocidad angular,

donde la potencia se calculara de esta forma:

m

Q gHP

n

Calculamos H, teniendo en cuenta que la entrada es radial entonces 1 1 1 0uu C

2 2 2 1 1 1 (10)(7.4)7.55

9.8

u uu C u CH m

g

331 1min

3000 0.05 /min 1000 60

L mQ m s

L s

Reemplazando los valores y considerando la densidad del agua 1000Kg/m3.

(0.05)(1000)(9.8)(7.55)4021.2

0.92P W

Y la velocidad angular es:

2 2r w u 22

2 2

2 (2)(10)10 /

2

uuw rad s

r D

El momento polar será:

4021.2402.12

10 /

P WM Nm

w rad s

19.35. Una bomba centrifuga proporciona una altura util de 40 m con un rendimiento

hidraúlico de 80%. Las tuberias de aspiracion e impulsion son de 150 mm.

; ; Las perdidas en las tuberias de

aspiración e impulsión (incluyendo las perdidas secundarias) .


74

Calcular:

a) El caudal de la bomba;

b) La diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de aspiración e impulsión,

si ambos están abiertos a la atmosfera.

Solución:

a) Inicialmente estableceremos el triangulo de velocidades de la siguiente manera:

ZA

Zz

Eje de Referencia

Bomba

Depósito Abierto

Manómetro 1

Manómetro 2


75

Calculemos la velocidad periférica del rodete:

Por continuidad tenemos que el mismo caudal que sale por el rodete es el mismo de la

tubería teniendo en cuenta que despreciamos los espesores de los alabes de los rodetes

por lo tanto tenemos que:

Con la ayuda del triangulo de velocidades a la salida dibujado anteriormente tenemos

que:

Asumimos que la entrada de los alabes es radial como lo es normalmente en las bombas

centrifugas y despreciamos los espesores de los alabes y tenemos:

y

Teniendo en cuenta esto calculemos la altura de Euler así:

Como el enunciado nos da la altura útil H=40m remplazando tenemos que:

Despejando tenemos que:


76

Teniendo el valor de la velocidad en la tubería podemos calcular el caudal remplazando

tenemos que:

Respuesta a):

b) Ahora para calcular la diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de

aspiración e impulsión, si ambos están abiertos a la atmosfera usamos la segunda

expresión de la altura útil así:

Como ambos depósitos están abiertos a la atmosfera tenemos que la altura de presión es

nula; y como ya están incluidas las perdidas primarias y secundarias podemos suprimir el

valor

de las pérdidas de tubería; teniendo estas consideraciones la ecuación de altura

útil quedaría así:

Remplazando los valores de H y dados en el enunciado tendríamos:


77

Respuesta b):

19.36 Una bomba centrifuga que tiene un rodete de 300 mm de diámetro gira a una velocidad de

1490 rpm si β2 = 30, C2M = 2 m /s, la velocidad de los alabes es radial

U1C1U = 0

N = 1500 RPM

D = 0.3 mts

C2M = 2 mts / seg

β2 = 30

Determinar el triangulo de velocidades a la salida

La altura teórica de Euler

Desarrollando para el primer punto:

12

60

D Nu

2

0.3 1500

60u

u2 = 23.56 mts/seg

Del triangulo se deduce por trigonometría determinando el valor de X


78

Ahora, la distancia C2U2 es la resta de X – U2, entonces

U2 – C2U2 = 23.56 – 3.46 = 19.99 mts/seg

Hallo el valor de W2 y C2 por medio de la ecuación de Pitágoras

C2 = =

W2 =

Y el ángulo ά lo determinamos mediante:

2

2

tan m

u

C

C Entonces

1 2tan 5.68

20.1

Para desarrollar el segundo punto hacemos a u1C1u= 0 ya que se sabe que los alabes radiales a la

entrada son radiales, de esto nos queda que:

2 2 1 1u uu

u C u CH

g

2 2uu

u CH

g

19.37 Una bomba centrifuga en la que se desprecian las perdidas, tiene las siguientes

dimensiones: d1= 100mm, d2= 300mm, b1= 50mm y b2= 20mm. La bomba da un caudal de agua

de 175m3/h y una altura efectiva de 12m a 1000 rpm.

Calcular

a. La forma de los alabes o sea β1 y β2.

b. La potencia de accionamiento.

Solución

a. Por ser centrifuga α1= 90°; C1ω= 0

Entonces los triángulos de velocidades son:


79

ω1

β1

α1= 90°;

C1= C1m

µ1 C2ω

ω2 C2m

β2 α2

µ2

Sabemos que:

β1= Arctan (

Calculamos entonces C1 y µ1

Donde;

µ1 =

= 5.2359 m/s

Ahora como sabemos que

Q=

Conocemos el valor de Q

Q= 175 m3/h x 1h/3600s =0.0486 m3/s

Ahora calculamos C1m despejando de la ecuación de Q

Entonces;

C1m =

=

= 3.09m/s

Entonces como ya tenemos los valores de C1m y µ1 procedemos a reemplazar en la ecuación de β1

β1 = Arctan

β1 = 30°,54

Y


80

Ahora de acuerdo con el segundo triangulo se puede deducir como se puede realizar el calculo del

ángulo β2

β2 = Arctan

Calculamos entonces C2m y también el valor de ‘y’

C2m =

=

= 2.5783m/s

De la formula siguiente tenemos que:

H = Hµ- Hr-int

Pero como sabemos por el enunciado que despreciamos las perdidas, entonces el segundo

termino de la ecuación se hace 0.

Entonces;

H = Hµ =

; C1ω= 0

Entonces;

H =

Despejamos C2µ2

C2ω=

Como no conocemos el valor de µ2procedemos a calcularlo

µ2 =

µ2 =

= 15.7079m/s

Ahora como y sabemos que g = 9.8m/s2 y H=12m, entonces reemplazamos los valores ya

conocidos en la ecuación de C2µ2

C2ω=

= 7.4866m/s

Conociendo ya estos valores estamos en capacidad de conocer el valor de ‘y’ mediante la siguiente

ecuación:

Y = µ2 - C2ω


81

Reemplazamos;

Y =15.7079m/s - 7.4866m/s

Y = 8.2212m/s

Ahora simplemente reemplazamos en la ecuación enunciada anteriormente para calcular el valor

de β2

β2 = Arctan

β2 = 17°,41

b) Sabemos que la potencia de accionamiento está definida por la siguiente ecuación:

Pa= QƍgH

Pa = (0.0486m3/s) (1000kg/m3) (9.8m/s2)(12m)

Pa= 5715.36 (Kg) (m2)/ s3

Pa = 5, 71536 Kw

19.38. Una bomba centrifuga bombea un caudal de salmuera (δ = 1.19) de 190 m3/h. Un

manometro diferencial colocado entre las tuberías de aspiración e impulsión marca 4.5 bar. La

tubería de aspiración es de 150 mm y la de impulsión de 125 mm. La diferencia de cotas entre los

ejes de las dos secciones a que están conectadas las tomas manométricas es de 1 m. Calcular: a)

La altura efectiva de la bomba; b) La potencia de accionamiento si el rendimiento total de la

bomba es de 60%

Datos:

Q =

Por ecuación de Bernoulli tenemos que:

Por ecuación de continuidad: , pero necesitamos


82

Para la impulsión tenemos que:

H = 379.20m

b)

, pero


83

19.39 Calcular la altura teórica Hu alcanzada por una bomba centrifuga a la cual se le conocen los

siguientes datos:

C1= 4 m/s,C2= 24 m/s; D1= 150 mm,D2= 150 mm; , ; n=1450rpm

Desarrollo:

La altura teórica se calcula a partir de la ecuación de Euler de las bombas (Ecu 19-3. Mataix) donde

son despreciadas las perdidas internas de la bomba

Donde U2, C2u, U1, C1u son componentes del triangulo de velocidades de entrada y salida de los

alabes de un rodete de una bomba.

Luego por los triángulos de velocidades tenemos:

u1 = velocidad absoluta del alabe a la entrada, u2 = velocidad absoluta del alabe a la salida

C1=velocidad absoluta del fluido a la entrada, C2=velocidad absoluta del fluido a la salida

α 1 = ángulo que forman U1, α2 = ángulo que forman U2,C2.

Remplazando y despejando los valores conocidos tenemos:


84

Para las velocidades U1, U2

Hallamos w a partir de n.

Volviendo a U1, U2

Teniendo todos los términos remplazamos en la ecuación 19.3 del mataix correspondiente a la

altura teorica.

2

2 2

2

26.572 / (23.475 / ) 11.388 / (1.0352 /

9.8 /

612.01 /62.4

9.8 /

u

u

m s m s m s m sH

m s

m sH m

m s

19.40. Una bomba centrifuga suministra un caudal de agua Q=100m3/h. Los diámetros de las

tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm y el desnivel entre los depósitos de aspiración e

impulsión abiertos a la atmosfera, es de 32 m. La potencia en el eje de la bomba es de 14 Kw. El

coeficiente total de pérdidas (sec 11.4) C=10.5. Calcular el rendimiento total de la bomba.

Datos

Q=100m3/h

Dasp=Dimp=150mm

∆Z=32m

Pa=14 Kw

C=10.5

Nt=?

A través de la ecuación de Bernoulli hallamos la altura útil (H):

H=

+ (Z2 - Z1) +

+ hL


85

Pero sabemos que el delta de presión se anula debido a que los tanques de aspiración e impulsión

están abiertos a la atmosfera y por tanto las presiones son iguales. Por otra parte las velocidades

a la entrada y a la salida al restarse se anulan ya que los diámetros de las tuberías son iguales:

H= (Z2 - Z1) + hL

El valor ∆Z nos los entrega el enunciado del ejercicio y hL corresponde a las pérdidas totales que

las podemos hallar a partir de:

hL =

Donde C es el coeficiente total de perdidas

V es la velocidad, la cual se mantiene constante

g es la gravedad.

Para el cálculo de la velocidad recurrimos a la siguiente fórmula de la cual no desconocemos

ningún término:

V=

V=

= 5658.8*

= 1.572

Ahora conociendo todos los valores para el cálculo de hL tenemos que:

hL =

hL=3.3m

Reemplazando

H=32 + 3.3

H=35.3m

Habiendo obtenido todos estos valores procedemos a calcular la potencia útil:

P=Q*δ*g*H P=100

*1000

*9.8

*35.3m*

P=9609.4W*

P=9.6Kw

Por último hallamos el rendimiento total de la bomba en donde se relaciona la potencia útil con la

potencia de accionamiento:

Nt=

Nt=


86

Nt=0.69.

19.41 Calcular las dos características principales de un rodete (diámetro exterior y ángulo de los

álabes a la salida del rodete). Si girando a , desarrolla una altura manométrica de ,

proporcionando un caudal de . Supóngase:

a)

b) Pérdida total en la bomba:

c) Área para el flujo a la salida del rodete:

d) Entrada Radial de la corriente en el rodete.

Datos:

Comenzamos diciendo que:

Por otra parte como:


87

Y como:

Reemplazando:

Se sabe que la altura teórica de la bomba está dada por:

Sin embargo debido a que la entrada del rodete es axial tenemos que:

Con lo que:

Donde:

Luego la ecuación queda:

Dado que:

Los datos en rojo constituyen el área de salida del rodete que según los datos de entrada es igual

a:

Reemplazando, tenemos:


88

Despejando:

Se construye el triángulo de velocidades a la salida del rodete como se muestra en la figura:

Vemos que al formar un triángulo rectángulo se debe cumplir que:

Remplazando tenemos que:

Remplazando los valores, tenemos que:

Resolviendo queda:

Ordenando la ecuación queda:

La iteración muestra el siguiente resultado:


89

Diámetro 0

0,25567 -0,00076008

0,25568 -0,00067973

0,25569 -0,00059936

0,2557 -0,00051898

0,25571 -0,00043858

0,25572 -0,00035817

0,25573 -0,00027774

0,25574 -0,00019729

0,25575 -0,00011684

0,25576 -3,6361E-05

0,25577 4,4128E-05

0,25578 0,00012463

0,25579 0,00020515

0,2558 0,00028569

0,25581 0,00036624

0,25582 0,00044681

0,25583 0,00052739

Vemos que la mejor aproximación al diámetro exterior es:

2 0.25577D m

Reemplazando este valor obtenemos las velocidades:

Si analizamos la otra mitad del triángulo tenemos que:


90

Sabiendo que:

Reemplazando tenemos que:

2 29.2


91

19.42 En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga tiene las siguientes

características: ; ; ; ; .

La entrada en los álabes del rodete es radial.

Calcular: a) β1; b) Altura que da la bomba; c) Altura de velocidad del agua a la salida del rodete

Solución.

19.43 Una bomba centrifuga para alimentación de una caldera de vapor que desarrolla una

alturas efectiva de 80 m bombea agua a 90 desde el depósito de aspiración abierto a la

atmosfera, hasta la caldera, la perdida de carga de la tubería de aspiración es de 0.5m, la presión

1mcc 11

1u1

2C 2

22uC 2u

2

mC2

2

smmrpmND

u /24.560

)1.0)(1000(

601

º97.15/24.5

/5.1tantan

1

11

sm

smArc

u

CArc m

smmm

smmmu

D

u

D

uw

wDu

/48.10100

)/24.5)(250(

22;

2

2

2

2

1

111

smsm

smC

uCCu

CTan m

u

u

m /38.7º30tan

/5.1/48.10

tan;

2

2

222

222

2

2

smsen

sm

sen

CC

sm

smArc

C

CArc

C

C

msm

smsm

g

CuH

m

u

m

u

m

u

/53.7º49.11

/5.1

º49.11/38.7

/5.1tantan;tan

89.7/8.9

)/38.7)(/48.10(

2

22

22

22

22

22

2

222


92

atmosférica es de 725 torr. El caudal es de 0,25 /s, el diámetro de la tubería es de 400 mm y el

coeficiente de cavitación es de 0,1.

a. A qué altura geodésica mas se podrá poner colocar la bomba.

b. Esquema de la instalación con indicación de la cota del eje de la bomba con respecto al nivel

superior del pozo.

c. si la presión de la caldera es de 8.2 bar y el eje de la bomba se encuentra debajo del nivel del

agua en la caldera ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba?

Solución. A)

=

:

Presión absoluta en el nivel superior de aspiración.

Presión de saturación del vapor a una temperatura dada.

= Perdida de carga en tubería de aspiración.

=caída de altura de presión en el interior de la bomba.

H= 80m

a 90 =0,7011 bar = 70110 Pa y a 90 =965,3 /Kg

=0,5 m

= =725 torr =96425 Pa

Q= 0, 25 /s

D= 0, 4 m

=

Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli para encontrar la otra altura que va desde el nivel del

tanque donde se está aspirando hasta la caldera.

Asumimos que DE = DS por ende vE = vS


93

Entonces nos queda:

; Tomando el punto de referencia desde el nivel h20 de

aspiración

donde Zs es la altura geodésica maxima

Solución. B)

19.44 Una bomba centrifuga tiene las siguientes características: d2=250mm ; d1=150mm;

b1=15mm; =45; cm=constante en todo el rodete; caudal 1500 l/min ; n=1000rpm

Calcular

a) Angulo de los alabes del rodete de la entrada

b) Angulo de los alabes de la corona directriz

Solución

Consideraciones

Si cm es constante en todo el rodete, podemos decir que c1m=c2m

Datos


94

d2=250mm d1=150mm b1=15mm

=45 Q=1500 l/min =0.025m3/s n=1000rpm

Tenemos que

Q= πb1d1c1m

Despejando c1m

c1m=

c1m=

c1m=3.53m/s

Haciendo el triangulo de velocidades para la salida del rodete

Tenemos que

c2m= w*sen = c1m

Con esto podemos concluir que

b) el triangulo de velocidades para la entrada del rodete tenemos

c1u= u1 - –

Donde

u1 es la velocidad tangencial o periférica del rodete

u1=

= 7.85m/s

c1u= u1 - –


95

c1u=7.85 –

= 4.32

Entonces

c1= c1u2+ c1m

2) = 5.57m/s

El ángulo que se forma entre el vector de la velocidad absoluta y la velocidad periférica es

=

= 39.25

El ángulo de corona directriz es aquel ángulo que se forma entre el vector tangente del alabe w y

el brazo del momento flector de c1

W C1

U1

α

l

Entonces el ángulo de la corona directriz es la sumatoria del ángulo (ángulo de los alabe del

rodete) y el ángulo α

Ángulo de la corona directriz= 45+39.29=84.29

19.45. Un grupo moto-bomba de agua tiene las siguientes características: caudal 2000 ; diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión iguales; entre los ejes de las tuberías de aspiración e impulsión hay un desnivel de 1 m; presión en la impulsión de 15 bar; temperatura del agua bombeada 60°C; depresión en la aspiración 200 mbar; rendimiento global del grupo 68%; rendimiento total de la bomba 80%. Calcular:

a) Potencia absorbida por la red. b) Potencia de accionamiento de la bomba.


96

Datos.

= 0.68

= 0.80 Q= 2000 m3/s = 1 m = 20 mm = 15 bar. = 200 mbar. Solución.

Para este ejercicio, la densidad del agua será igual a 983.2 kg/ m3 y no 1000 kg/ m3, debido a que se encuentra a 60°C. Además, se realizó una serie de conversiones de unidades en las presiones y el caudal para facilitar los cálculos:

Para determinar la potencia útil, se calculó la altura útil mediante la ecuación de Bernoulli:

Donde el valor

se desprecia por ser muy pequeño. Por lo que H será:

El valor de la potencia útil será:

El valor de la potencia absorbida por la red será entonces:


97

Respuesta a)/: La potencia absorbida por la red es 1249.7 kW.

El valor de la potencia accionamiento de la bomba será:

Respuesta b)/: La potencia accionamiento de la bomba es 1062.25 kW.


98

BIBLIOGRAFIA.

Ejercicios Capitulo 19; 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30,

31, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43. (Grupo Kevin Campo Rodríguez).

Ejercicios Capitulo 19; 23, 24, 32, 33, 35, 44, 45. (Grupo Stephanie Vargas).

Ejercicios Capitulo 19; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (Ejercicios Propuestos Libro Claudio Mataix).

173486820 ejercicios-maquinas-hidraulicas-resueltos

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