17 t Statistika d - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statistika/ST09 Regresi dan... · Universitas Gadjah Mada Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan Progam Studi

UniversitasGadjahMadaDepartemenTeknikSipildanLingkunganProgamStudiMagisterTeknikSipil

StatistikaCurveFitting:RegresidanInterpolasi

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

1

CurveFitting• Acuan• Chapra,S.C.,CanaleR.P.,1990,NumericalMethodsforEngineers,2ndEd.,McGraw-HillBookCo.,NewYork.• Chapter11dan12,pp.319-398.

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

2

CurveFitting• Mencarigaris/kurvayangmewakiliserangkaiantitikdata• Adaduacarauntukmelakukannya,yaitu• Regresi• Interpolasi

• Aplikasidibidangenjiniring• Polaperilakudata(trendanalysis)• Ujihipotesis(hypothesistesting)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

3

CurveFitting• Regresi• Apabiladatamenunjukkantingkatkesalahanyangcukupsignifikanataumenunjukkanadanyanoise

• Untukmencarisatukurvatunggalyangmewakilipolaumumperilakudata

• Kurvayangdicaritidakperlumelewatisetiaptitikdata

• Interpolasi• Diketahuibahwadatasangatakurat

• Untukmencarisatuatauserangkaiankurvayangmelewatisetiaptitikdata

• Untukmemperkirakannilai-nilaidiantaratitik-titikdata

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

4

CurveFitting• Ekstrapolasi• Miripdenganinterpolasi,tetapiuntukmemperkirakannilai-nilaidiluarkisarantitik-titikdata

• Ekstrapolasitidakdisarankan

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

5

CurveFitting terhadapDataPengukuran• Analisispolaperilakudata• Pemanfaatanpoladata(pengukuran,eksperimen)untukmelakukanperkiraan

• Apabiladatapersis(akurat):interpolasi• Apabiladatatakpersis(takakurat):regresi

• Ujihipotesis• Pembandinganantarahasilteoriatauhasil hitungandenganhasilpengukuran

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

6

BeberapaParameterStatistik• Rata-rataaritmatik,mean

• Deviasistandar,simpanganbaku,standarddeviation

• Varian (‘ragam’),variance

• Coefficientofvariation!!sy

2 =Stn−1

!!y = 1

nyi∑

!!sy =

Stn−1 !!

St = yi −y( )2

∑

!!c.v.=

syy100%

merep

resentasikanse

barandata

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

7

DistribusiProbabilitas

X

frek DistribusiNormalsalahsatudistribusi/sebarandatayangseringdijumpaiadalahdistribusinormal

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

8

REGRESIRegresiLinear

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

9

Regresi:MetodeKuadratTerkecil• Mencarisatukurvaatausatufungsi(pendekatan)yangsesuaidenganpolaumumyangditunjukkanolehdata• Datanyamenunjukkankesalahanyangcukupsignifikan• Kurvatidakperlumemotongsetiaptitikdata

• Metode• Regresilinear• Regresipersamaan-persamaantak-linearyangdilinearkan• Regresipolinomial• Regresilinearganda• Regresitak-linear

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

10

Regresi:MetodeKuadratTerkecil• Bagaimanacaranya?• Programkomputer• Spreadsheet (MicrosoftExcel)

• Programaplikasigratis,miripMatLab• Octave• Scilab• Freemat

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

11

RegresiLinear• Mencarisuatukurvalurusyangcocokmenggambarkanpolaserangkaiantitikdata:(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)

• MicrosoftExcel• INTERCEPT(y1:yn;x1:xn)• SLOPE(y1:yn;x1:xn)

yreg =a0 + a1xa0 : intercepta1 : slope

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

12

RegresiLinear• Kesalahanatauresidu(e)adalahperbedaanantaranilaiysesungguhnya(datay)danynilaipendekatan(yreg)menurutpersamaanlineara0 +a1x.

• Minimumkanjumlahkuadratresidutersebut

!!e= y−a0 −a1x

!!min Sr!

"#$=min ei

2∑!" #$=min yi −a0 −a1xi( )

2

∑!"'#$(

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

13

RegresiLinear• Bagaimanacaramencarikoefisiena0 dana1?• Diferensialkanpersamaantersebutduakali,masing-masingterhadapa0 dana1.

• Samakankeduapersamaanhasildiferensiasitersebutdengannol.

• Selesaikanpersamaantsbuntukmendapatkana0 dana1.

( )

( ) 02

02

101

100

=---=¶¶

=---=¶¶

å

å

iiir

iir

xxaayaS

xaayaS

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

14!!

a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑n xi

2∑ − xi∑( )2

a0 = y −a1 x

ContohRegresiLinear

i xi yi = f(xi)0 1 0.51 2 2.52 3 23 4 44 5 3.55 6 66 7 5.5

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6 7

y=f(x

)

X

Tabeldata Grafik/kurvadata

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

15

HitunganRegresiLineari xi yi xi yi xi2 yreg (yi−yreg)2 (yi−ymean)2

0 1 0.5 0.5 1 0.910714 0.168686 8.576531

1 2 2.5 5 4 1.75 0.5625 0.862245

2 3 2.0 6 9 2.589286 0.347258 2.040816

3 4 4.0 16 16 3.428571 0.326531 0.326531

4 5 3.5 17.5 25 4.267857 0.589605 0.005102

5 6 6.0 36 36 5.107143 0.797194 6.612245

6 7 5.5 38.5 49 5.946429 0.199298 4.290816

∑= 28 24.0 119.5 140 ∑= 2.991071 22.71429

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

16

HitunganRegresiLinear

a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑

n xi2∑ − xi∑( )

2=

7 119.5( )−28 24( )7 140( )− 28( )2

= 0.839286

!!

y = 247=3.4

x = 287= 4

a0 =3.4−0.839286 4( ) =0.071429

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

17


01234567

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

data

regresi

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

18

RegresiLinear• Kuantifikasikesalahan• Kesalahanstandar

• Perhatikankemiripannyadengansimpanganbaku

!!sy x =

Srn−2

!!sy =

Stn−1 !!

St = yi −y( )2

∑

!!Sr = yi −a0 −a1xi( )

2

∑

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

19

RegresiLinear• Bedaantarakeduakesalahantersebutmenunjukkanperbaikanataupengurangankesalahan

r2 =St − Sr

St

=1−Sr

St

r =n xiyi∑ − xi∑( ) yi∑( )

n xi2∑ − xi∑( )

2n yi

2∑ − yi∑( )2

koefisiendeterminasi(coefficientofdetermination)

koefisienkorelasi(correlationcoefficient)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

20


!!

Sr = yi −a0 −a1xi( )2

∑ =2.991071

St = yi −y( )2

∑ =22.71429

!!

r2 =St −SrSt

=1−SrSt=1− 2.991071

22.71429=0.868318

r =0.931836

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

21

Contoh#2

i xi yi = f(xi)0 1 5.51 2 62 3 3.53 4 44 5 25 6 2.56 7 0.5

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6 7

y=f(x

)

X

Tabeldata Grafik/kurvadata

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

22

REGRESIRegresipersamaantak-linearyangdilinearkan

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

23

RegresiLinear• Linearisasipersamaan-persamaantak-linear• Logaritmikmenjadilinear• Eksponensialmenjadilinear• Pangkat(polinomialtingkatn >1)menjadilinear(polinomialtingkat1)

• Dll.

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

24

LinearisasiPersamaanNon-linear

x

y ln y

1

ln a

!y =aebx

!!lny = lna+bx

x

b

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

25


1

x

y log y

logx

b!y =ax

b

!!logy = loga+blogx

!!logb

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

26


1/y

1!y =a x

b+ x

1/x

y

x

!!

1y=b+ xax

=1a+ba1x

!!1 a!b a

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

27

REGRESIRegresiPolinomial

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

28

RegresiPolinomial• Sebagiandatabidangteknik,walaupunmenunjukkanpolayangjelas,namunpolatsbtidakdapatdiwakiliolehsebuahgarislurus• Metode1:transformasikoordinat(linearisasipersamaantak-linear)• Metode2:regresipolinomial

• Polinomialtingkatm

• Jumlahresidukuadrat

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

29

!!y =a0 +a1x+a2x2 +...+amx

m

!!Sr = ei

2

i=1

n

∑ = yi −a0 −a1xi +a2xi2 +...+amxi

m( )2

i=1

n

∑

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

30

• Metodekuadratterkecilyangdiperluasuntukregresipolinomialtingkatm

• Persamaan-persamaandikananinidisamakandengannoldandisusunsedemikianrupamenjadisistempersamaanlinear

!!

∂Sr∂a0

=−2 yi −a0 −a1xi +a2xi2 +...+amxi

m( )i=1

n

∑

∂Sr∂a1

=−2 xi yi −a0 −a1xi +a2xi2 +...+amxi

m( )i=1

n

∑

∂Sr∂a2

=−2 xi2 yi −a0 −a1xi +a2xi

2 +...+amxim( )

i=1

n

∑

.

.

.∂Sr∂am

=−2 xim yi −a0 −a1xi +a2xi

2 +...+amxim( )

i=1

n

∑

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

31!!

a0n+a1 xii=1

n

∑ +a2 xi2

i=1

n

∑ +...+am xim

i=1

n

∑ = yii=1

n

∑

a0 xii=1

n

∑ +a1 xi2

i=1

n

∑ +a2 xi3

i=1

n

∑ +...+am xim+1

i=1

n

∑ = xiyii=1

n

∑

a0 xi2

i=1

n

∑ +a1 xi3

i=1

n

∑ +a2 xi4

i=1

n

∑ +...+am xim+2

i=1

n

∑ = xi2yi

i=1

n

∑

.

.

.

a0 xim

i=1

n

∑ +a1 xim+1

i=1

n

∑ +a2 xim+2

i=1

n

∑ +...+am xi2m

i=1

n

∑ = ximyi

i=1

n

∑

§ Adam+1persamaanlineardenganm+1variabeltakdiketahui,yaitua0,a1,a2,…,am

§ Persamaan-persamaanlinearinidapatdiselesaikandenganmetode-metode• EliminasiGauss• Gauss-Jordan• IterasiJacobi• Inversimatriks

Contoh• Temukanlahkurvapolinomialtingkat2yangmewakilipolasebarandatapadatabeldisisikananini

• Jawab

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

32

xi yi0 2.1

1 7.7

2 13.6

3 27.2

4 40.9

5 61.1

!!y =a0 +a1x+a2x2

!!

y =2.47857+2.35929x+1.86071x2

r2 =1−SrSt=1− 3.74657

2513.39=0.99851

r =0.99925

REGRESIRegresiLinearGanda(MultipleLinearRegression)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

33

RegresiLinearGanda• Misalvariabely adalahfungsilinearduavariabelbebasx1 danx2

• Koefisiena0,a0,a0 padapersamaandiatasdapatditemukandenganmetodekuadratterkecilkesalahan(error)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

34

!!y =a0 +a1x1+a2x2

!!Sr = yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )

2

i=1

n

∑

RegresiLinearGanda

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

35!!

∂Sr∂a0

=−2 yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )i=1

n

∑

∂Sr∂a1

=−2 x1i yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )i=1

n

∑

∂Sr∂a2

=−2 x2i yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )i=1

n

∑

§ Diferensialparsialpersamaantersebutterhadapmasing-masingkoefisien

!!

na0 + x1i a1i=1

n

∑ + x2i a2i=1

n

∑ = yii=1

n

∑

x1i a0i=1

n

∑ + x1i2 a1

i=1

n

∑ + x1i x2i a2i=1

n

∑ = x1iyii=1

n

∑

x2i a0i=1

n

∑ + x1i x2i a1i=1

n

∑ + x2i2 a2

i=1

n

∑ = x2iyii=1

n

∑

§ Samakanpersamaandiferensialtsbdengannoldanatursuku-sukudalampersamaan

RegresiLinearGanda

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

36!!

n x1ii=1

n

∑ x2ii=1

n

∑

x1ii=1

n

∑ x1i2

i=1

n

∑ x1i x2ii=1

n

∑

x2ii=1

n

∑ x1i x2ii=1

n

∑ x22

i=1

n

∑

"

#

$$$$$$$$

%

&

''''''''

a0a1a2

(

)**

+**

,

-**

.**

=

yii=1

n

∑

x1i yii=1

n

∑

x2i yii=1

n

∑

(

)

****

+

****

,

-

****

.

****

§ Persamaan-persamaanlineartersebutdapatdituliskandalambentukpersamaanmatriks

Contoh• Temukanlahpersamaanlinearyangmewakilipolasebarandatadalamtabeldisampingini.

• Jawab

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

37

x1 x2 y

0 0 5

2 1 10

2.5 2 9

1 3 0

4 6 3

7 2 27

!!y =5+4x1 −3x2r2 =1

RegresiLinearGanda• Regresilineargandadapatdipakaipadakasushubunganantarvariabelyangberupapersamaanpangkat(powerequations)

• Persamaandiatassangatbermanfaatpadakasusfitting dataeksperimen

• Persamaandiatasditransformasikanmenjadipersamaanlinear

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

38

!!y =a0x1a1x2

a2 ...xmam

!!logy = loga0 +a1 logx1+a2 logx2 +...+am logxm

REGRESIBentukUmumPersamaanRegresiLineardenganMetodeKuadratTerkecil

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

39

RegresiLinear(KuadratTerkecil)• Tigajenisregresiyangtelahdipaparkan,yaituregresilinear,regresipolinomial,danregresilineargandadapatdituliskandalambentukumummodelkuadratterkecil

• z0,z1,…,zm adalahfungsi-fungsiyangberjumlahm+1• m+1adalahjumlahvariabelbebas• n+1adalahjumlahdata

• Persamaandiatasdapatdituliskandalambentukpersamaanmatriks

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

40

!!y =a0z0 +a1z1+a2z2 +...+amzm

!Y{ }= Z!" #

$ A{ }

RegresiLinear(KuadratTerkecil)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

41

!Y{ }= Z!" #

$ A{ }

!!

Z!" #$=

a01 a11 . . . am1

a02 a12 . . . am2

. . .

. . .

. . .a0n a1n amn

!

"

%%%%%%%%

#

$

&&&&&&&&

§ {Y}adalahvektorkolomvariabeltakbebas

§ [Z]adalahmatriksdatanilaivariabelbebas

§ {A}adalahvektorkolomkoefisienyangtidakdiketahui

!Z!" #$TZ!" #$ A{ }= Z!" #

$TY{ }

!!Sr = yi − ajzji

j=1

m

∑#

$%%

&

'((

2

i=1

n

∑

RegresiLinear(KuadratTerkecil)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

42

!Z!" #$TZ!" #$ A{ }= Z!" #

$TY{ }

§ Strategipenyelesaian• DekomposisiLU• MetodeCholesky• Inversimatriks

!!A{ }= Z!" #

$TZ!" #$

!"%

#$&

−1

Z!" #$TY{ }

INTERPOLASIMetodeNewtonMetodeLagrange

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

43

Interpolasi

linear kuadratik kubik

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

44

Interpolasi• Situasi• Keperluanuntukmemperkirakannilaivariabeldiantaradataakuratyangdiketahui

• Metodeyangpalingseringdipakaiuntukkeperluantersebutadalahinterpolasipolinomial

• Bentukumumpersamaanpolinomialtingkatn

• Hanyaadasatupolinomialtingkatn atautingkatyanglebihkecilyangmelaluisemuan+1titikdata

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

45

!!f x( ) =a0 +a1x+a2x2 +...+anxn

Interpolasi• Penyelesaianpersamaanpolinomialtingkatnmembutuhkansejumlahn +1titikdata

• Metodeuntukmencaripolinomialtingkatn yangmerupakaninterpolasisejumlahn +1titikdata:• MetodeNewton• MetodeLagrange

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

46

InterpolasiLinear:MetodeNewton

x

f(x)

f(x1)

f1(x)

f(x0)

x0 x1x !!

f1 x( )− f x0( )x− x0

=f x1( )− f x0( )

x1 − x0

f1 x( ) = f x0( )+f x1( )− f x0( )

x1 − x0x− x0( )

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

47

InterpolasiKuadratik:MetodeNewton

!!

f2 x( ) =b0 +b1 x− x0( )+b2 x− x0( ) x− x1( )=b0 +b1x−b1x0 +b2x

2 +b2x0x1 −b2xx0 −b2xx1= b0 −b1x0 +b2x0x1( )

a0

! "### $###+ b1 −b2x0 −b2x1( )

a1

! "## $##x+ b2( )

a2

%x2

!!f2 x( ) =a0 +a1x+a2x2

!!

a0 =b0 −b1x0 +b2x0x1a1 =b1 −b2x0 −b2x1a2 =b2

"

#$

%$

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

48

InterpolasiKuadratik:MetodeNewton

!!b2 =

f x2( )− f x1( )x2 − x1

−f x1( )− f x0( )

x1 − x0x2 − x0

= f x2 ,x1 ,x0"#

$%=

f x2 ,x1"#

$%− f x1 − x0"

#$%

x2 − x0

!!b0 = f x0( )

!!b1 =

f x1( )− f x0( )x1 − x0

= f x1 ,x0"#

$%

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

49

InterpolasiPolinomial:MetodeNewton

!!fn x( ) =b0 +b1 x− x0( )+...+bn x− x0( ) x− x1( )... x− xn−1( )

!!

b0 = f x0( )b1 = f x1 ,x0!

"#$

b2 = f x2 ,x1 ,x0!"

#$

.

.

.bn = f xn ,xn−1 ,...,x1 ,x0!

"#$

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

50


!!

f xi ,xj!"

#$=

f xi( )− f x j( )xi − xj

f xi ,xj ,xk!"

#$=

f xi ,xj!"

#$− f x j ,xk!

"#$

xi − xk

f xn ,xn−1 ,...,x1 ,x0!"

#$=

f xn ,xn−1 ,...,x1!"

#$− f xn−1 ,nn−2 ,...,x0!

"#$

xn − x0

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

51

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]01110

012100100

,...,,...

...,,,

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxf

nnn

n

-----++--+-+=


i xi f(xi)LangkahHitungan

ke-1 ke-2 ke-3

0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0]

1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]

2 x2 f(x2) f[x3,x2]

3 x3 f(x3)

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

52

InterpolasiPolinomial:MetodeLagrange

!!

fn x( ) = Li x( ) f xi( )i=0

n

∑

Li x( ) =x− xj

xi − xjj=0j≠i

n

∏

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

53

Contohinterpolasi

i xi f(xi)

0 1 1.5

1 4 3.1

2 5 6

3 6 2.101234567

0 1 2 3 4 5 6 7f(x

)X

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

54

SPLINELinearKuadratikKubik

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

55

Interpolasi:Spline• Jumlahtitikdatan+1® interpolasipolinomialtingkatn• Tingkatbesar,n>>, mengalamikesulitanapabilatitik-titikdatamenunjukkanadanyaperubahantiba-tibadisuatutitiktertentu(perubahangradiensecaratiba-tiba)

• Dalamsituasitsb,polinomialtingkatkecil,n <<,dapatlebihrepresentatifuntukmewakilipoladata

• Spline• Cubicsplines(n =3)• Quadraticsplines• Linearsplines

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

56

InterpolasiPolinomialvsSpline§ Polinomialtingkatn

n =1n » n =1n »

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

57

LinearSplines• Spline tingkat1 :garislurus• Dataurut :x0,x1,x2,…,xn

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

58!!

f x( ) = f x0( )+m0 x− x0( ) x0 ≤ x ≤ x1f x( ) = f x1( )+m1 x− x1( ) x1 ≤ x ≤ x2...

f x( ) = f xn−1( )+mn−1 x− xn−1( ) xn−1 ≤ x ≤ xn( ) ( )

ji

jii xx

xfxfm

--

=+

+

1

1

gradien:

LinearSplines• Linearspline• Dengandemikian,linearspline adalahsamadenganinterpolasilinear• Kekuranganlinearspline adalahketidak-mulusankurvainterpolasi• Terdapatperubahanslope yangsangattajamdititik-titikdataataudititik-titikpertemuankurvaspline (knot)

• Derivatifpertamafungsilinearspline diskontinudititik-titikknot• Kelemahanlinearsplinetersebutdiatasidenganpemakaianpolinomialyangmemilikitingkatlebihtinggiyangmenjaminkemulusankurvaspline diknots dengancaramenyamakannilaiderivatifdititik-titikknot

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

59

QuadraticSplines• Quadraticsplines• Untukmendapatkankurvayangmemilikidiferensial/laju-perubahanke-m kontinudititikknot,makadiperlukankurvaspline yangbertingkatpalingkecilm +1.

• Yangpalingbanyakdipakaiadalahspline tingkat3(cubicspline):diferensialpertamadankeduakontinudititik-titikknot.• Ketidak-mulusandiferensialketiga,keempat,dst.umumnyatidakbegitutampaksecaravisual

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

60

QuadraticSplines• Tujuan:mencaripolinomialtingkat2untuksetiapintervaltitik-titikdata.

• Polinomialtingkat2tsbharusmemilikidiferensialpertama(lajuperubahan)yangkontinudititik-titikdata.

• Polinomialtingkat2:

• Untuk(n+1)titikdata(i =0,1,2,…,n),terdapatn interval,sehinggaterdapat3n koefisienyangharusdicari(ai,bi,ci),i =1,2,...,n.

• Perlupersamaansejumlah3n.

( ) iii cxbxaxf ++= 2

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

61

QuadraticSplines• Ke-3n persamaantsbadalahsbb.

1. Kurvasplinememotongtitik-titikdata(knot):intervali- 1danibertemudititikdata{xi- 1,f(xi- 1)}

2. Kurvaspline diintervalpertamamemotongtitikdatapertama(i =1)dankurvaspline diintervalterakhirmemotongtitikdataterakhir(i =n)

i =2,3,…,n2(n- 1)pers.

!!

ai−1xi−12 +bi−1xi−1+ci−1 = f xi−1( )

aixi−12 +bixi−1+ci = f xi−1( )

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

622 pers.( )( )nnnnnn xfcxbxa

xfcxbxa

=++

=++2

0101201

QuadraticSplines• Ke-3n persamaantsbadalahsbb.

3. Diferensial(gradien)kurvaspline diduaintervalberurutanadalahsamadititikdatayangbersangkutan

4. Diferensial kedua(lajuperubahangradien)kurvaspline dititikdatapertamasamadengannol

i =2,3,…,n(n- 1)pers.

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

63

!!!f x( ) =2ax+b ⇒ 2ai−1xi−1+bi−1 =2aixi−1+bi

1pers.!!ai =0

Konsekuensi:2titikdatapertama(i =0dani =1)dihubungkandengangarislurus

QuadraticSplines• Dengandemikian,jumlahpersamaanseluruhnya:

2(n – 1)+2+(n – 1)+1=3n

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

64

CubicSplines• Tujuan:mencaripolinomialtingkat3untuksetiapintervaltitik-titikdata.• Polinomialtingkat3tsbharusmemilikidiferensialpertama(gradien)dandiferensialkedua(lajuperubahangradien)yangkontinudititik-titikdata.

• Polinomialorde3:

• Untuk(n+1)titikdata(i =0,1,2,…,n),terdapatn interval,shg.terdapat4n koefisienyangharusdicari(ai,bi,ci,di),i =1,2,...,n.• Perlupersamaansejumlah4n.

!!fi x( ) =aix3+bix2 +ci x+di

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

65

CubicSplines• Ke-4n persamaantsbadalahsbb.

1. Kurvasplinememotongtitik-titikdata(knot):intervali- 1danibertemudititikdata{xi- 1,f(xi- 1)}® (2n- 2)pers.

2. Kurvaspline diintervalpertamamemotongtitikdatapertamadankurvaspline terakhirmemotongtitikdataterakhir® 2pers.

3. Diferensialpertamakurvaspline diduaintervalberurutanadalahsamadititikdataybs.® (n- 1)pers.

4. Diferensialkeduakurvaspline diduaintervalberurutanadalahsamadititikdataybs.® (n- 1)pers.

5. Diferensialkeduakurvaspline dititikdatapertamadanterakhirsamadengannol® 2pers.

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

66

CubicSplines• Ke-4n persamaantsb.• Syaratkelimamembawakonsekuensisbb.

• Kurvaspline diintervalpertamadanintervalterakhirberupagarislurus• duatitikdatapertamadihubungkandengansebuahgarislurus• duatitikdataterakhirdihubungkandengansebuahgarislurus

• Adasebuahsyaratalternatifsebagaipenggantisyaratkelimatsb• Derivatifkeduadititikknot terakhirdiketahui

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

67

CubicSplines• Diperoleh4n persamaanyangharusdiselesaikanuntukmencari4nkoefisien,ai,bi,ci,di2(n – 2)+2+(n – 1)+(n – 1)+2=4n

• Dimungkinkanuntukmelakukanmanipulasimatematisshgdiperolehsuatuteknikcubicsplines yanghanyamemerlukann– 1penyelesaian(lihaturaiandibukuacuan• Chapra,S.P.,Canale,R.P.,1985,NumericalMethodsforEngineers,McGraw-HillBook

Co.,NewYork,hlm.395-396).

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

68

CubicSplines

!!

fi x( ) =!!f xi−1( )

6 xi − xi−1( )xi − x( )

3+

!!f xi−1( )6 xi − xi−1( )

x− xi−1( )3

+f xi−1( )xi − xi−1( )

−!!f xi−1( ) xi − xi−1( )

6

#

$%%

&

'((xi − x( )

+f xi( )xi − xi−1( )

−!!f xi−1( ) xi − xi−1( )

6

#

$%%

&

'((x− xi−1( )

!!

xi − xi−1( ) ""f xi−1( )+2 xi+1 − xi−1( ) ""f xi( )+ xi+1 − xi( ) ""f xi+1( ) =6

xi+1 − xi( )f xi+1( )− f xi( )#$

%&+

6xi − xi−1( )

f xi−1( )− f xi( )#$

%&

2unknowns disetiapinterval:

!!!!f xi−1( ) !!dan!! !!f xi( )

!!

n!interval!!f x0( ) =0!!f xn( ) =0

"

#$$

%$$

⇒ n−1( ) !pers.

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

69

3-Oct-17

http://istia

rto.staff.u

gm.ac.id

70

17 t Statistika d - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statistika/ST09 Regresi dan... · Universitas Gadjah Mada Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan Progam Studi

Documents