16. Sorozatok · PDF fileFibonacci-sorozatnak nevezzük a következő rekurzív módon megadott sorozatot: ... A sorozatok első, harmadik és ötödik tagja...

1

16. Sorozatok

I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma

Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza.

Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete számhalmaz. (Az alábbiakban számsorozatokkal foglalkozunk, de röviden sorozatot írunk.)

Az 푎 sorozat n-edik tagja: 푎 , az n pozitív egész számhoz rendelt érték.

Sorozatok megadhatók

a tagokat meghatározó egyértelmű utasítással, képlettel. Például:

o 푎 : az n-edik prímszám;

o 푏 = 2 − 3; 푛 ∈ ℤ .

rekurzív módon: Megadjuk a sorozat első néhány tagját, majd egy olyan képletet, amellyel a további tagok a megelőző tagokból meghatározhatók.

Például: 푐 = 7, 푐 = 3,푐 = 2 ∙ 푐 ∙ c , ha푛 ∈ ℤ .

Nevezetes sorozatok

Számtani sorozatnak nevezzük az olyan számsorozatot, amelyben bármelyik tag (a másodiktól kezd-ve) és az azt megelőző tag különbsége állandó. A sorozatra jellemző állandót differenciá-nak/különbségnek nevezzük és d-vel jelöljük.

A definíció szerint 푎 = 푎 + 푑; 푛 ∈ ℤ .

Mértani sorozatnak nevezzük az olyan számsorozatot, amelyben bármelyik tag (a másodiktól kezdve) és az azt megelőző tag hányadosa állandó. A sorozatra jellemző állandót kvóciensnek (quotiens)/hányadosnak nevezzük és q-val jelöljük.

A definíció szerint 푎 = 푎 ∙ 푞;(푎 ≠ 0, 푞 ≠ 0) 푛 ∈ ℤ .

Fibonacci-sorozatnak nevezzük a következő rekurzív módon megadott sorozatot:

푓 = 1, 푓 = 1,푓 = 푓 + 푓 ,ahol푛 ∈ ℤ .

Az (푎 ) sorozatból képzett sornak nevezzük a következő sorozatot:

푏 = 푎 ,

푏 = 푎 + 푎 +…+ 푎 = 푎 .

A mértani sorozatból képzett sort mértani sornak nevezzük.

2

Összefüggések:

számtani sorozat mértani sorozat

a sorozat tagjai közötti kapcsolat

푎 = 푎 + (푛 − 1) ∙ 푑 푎 = 푎 ∙ 푞 푎 = 푎 + (푛 − 푘) ∙ 푑 푎 = 푎 ∙ 푞

푎 =푎 + 푎

2 푎 = 푎 ∙ 푎

az első n tag összege 푆 =

2푎 + (푛 − 1) ∙ 푑2

∙ 푛 =

=푎 + 푎

2∙ 푛

푆 =푛 ∙ 푎 ,ℎ푎푞 = 1

푎 ∙푞 − 1푞 − 1

, ℎ푎푞 ≠ 1

A sorozatok, mint függvények tulajdonságai:

Az (푎 ) sorozat szigorúan monoton nő (szigorúan monoton csökken), ha tetszőleges 푛 ∈ ℤ ese-tén 푎 < 푎 (푎 > 푎 ).

Az (푎 ) sorozat felülről korlátos, (alulról korlátos), ha van olyan K valós szám (k valós szám), amelynél a sorozat minden tagja kisebb vagy egyenlő (nagyobb vagy egyenlő), azaz 푎 ≤ 퐾, (푎 ≥ 푘).

Korlátos egy sorozat, ha alulról és felülről is korlátos.

Konvergens, divergens sorozatok:

Az (푎 ) sorozat konvergens és határértéke az A valós szám, ha tetszőleges 휀 pozitív számhoz van olyan N pozitív egész szám, hogy |푎 − 퐴| < 휀, ha 푛 > 푁.

Jelölések: lim→

푎 = 퐴, lim푎 = 퐴, 푎푛 → 퐴

Azokat a sorozatokat, amelyeknek nincs határértéke, divergens sorozatoknak nevezzük.

A divergens sorozatok közül jelentősek az alábbiak:

Az (푎 ) sorozat a +∞ -hez tart, ha tetszőleges K valós számhoz van olyan N pozitív egész szám, hogy ha 푛 > 푁, akkor 푎 > 퐾. (Jelölés: lim

→∞푎 = +∞, lim푎 = +∞, 푎 → +∞.)

Az (푎 ) sorozat −∞ -hez tart, ha tetszőleges k valós számhoz van olyan N pozitív egész szám, hogy ha 푛 > 푁, akkor 푎 < 푘. (Jelölés: lim

→∞푎 = −∞, lim푎 = −∞, 푎 → −∞.)

Tételek:

Az (푎 ) sorozat határértéke az A valós szám pontosan akkor, ha tetszőleges 휀 pozitív szám esetén a sorozatnak legfeljebb csak véges sok tagja nincs az ]퐴 − 휀;퐴 + 휀[ intervallumban. (Ezt az intervallumot az A szám 휺 sugarú környezetének nevezzük.)

Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.

Minden konvergens sorozat korlátos.

3

Ha az (푎 ), (푏 ), (푐 ) sorozatokra lim→

푎 = 퐴, lim→

푐 = 퐴 és 푎 ≤ 푏 ≤ 푐 minden n pozi-

tív egész számra teljesül, akkor a (푏 ) sorozat konvergens és határértéke A. (rendőrelv)

Ha lim→

푎 = 퐴, lim→

푏 = 퐵 (ahol A, B valós számok) és k tetszőleges valós szám, akkor

a (푘 ∙ 푎 ) sorozat is konvergens és lim→

(푘 ∙ 푎 ) = 푘 ∙ 퐴;

az (푎 + 푏 ) sorozat is konvergens és lim→

(푎 + 푏 ) = 퐴 + 퐵;

az (푎 − 푏 ) sorozat is konvergens és lim→

(푎 − 푏 ) = 퐴 − 퐵;

az (푎 ∙ 푏 ) sorozat is konvergens és lim→

(푎 ∙ 푏 ) = 퐴 ∙ 퐵;

ha továbbá 퐵 ≠ 0, a 푏 ≠ 0 feltételt teljesítő tagokra értelmezett sorozat is konvergens,

és lim→

푎푛푏푛 = 퐴퐵.

Ha 푎 ≥ 0 minden n pozitív egész szám esetén és lim→

푎 = 퐴, akkor 푎 sorozat is

konvergens és lim→

푎 = √퐴.

Néhány nevezetes sorozat határértéke:

o lim→

1 + = 푒 (e az Euler-féle szám, értéke:푒 ≈ 2,718);

o lim→

1 + = 푒 ;

o lim→

(푞 ) =

+∞,ha푞 > 11,ha푞 = 10,ha|푞| < 1nemlétezik,ha푞 ≤ −1

;

o Az (푎 ∙ 푞 ) sorozatból képezett mértani sor konvergens,

ha |푞| < 1 és lim→

푎 ∙ = ;

(Konvergens végtelen sor határértékét a sor összegének nevezzük.

A 푎 sor határértékét így jelöljük: 푎 . )

o Ha 푎 > 0 , akkor az √푎 sorozat konvergens és lim→

√푎 = 1.

II. Kidolgozott feladatok

1. Hányadik tagja az alábbi sorozatoknak a 9?

푎)푎 =30푛 − 213푛 + 13 푏)푏 = 푛 − 10푛 − 2

4

Megoldás:

a) 30푛 − 21 = 27푛 + 117 ⟹ 푛 = 46. Az 푎 sorozat 46. tagja a 9.

b) 푛 − 10푛 − 11 = 0 Ennek pozitív egész gyöke 푛 = 11.A 푏 sorozat 11. tagja 9.

2. Egy számsorozat első tagja 5. Adjuk meg a sorozat első hat tagját, ha tudjuk, hogy 푎 = 2푎 + 1, ahol 푛 ∈ ℤ ! Fejezzük ki a sorozat n-edik tagját n segítségével!

Megoldás:

푎 = 5, 푎 = 2 ∙ 5 + 1 = 11, 푎 = 2 ∙ 11 + 1 = 23, 푎 =47, 푎 = 95, 푎 = 191.

Ha a felírt számok között nem fedezünk fel kapcsolatot, akkor próbálkozhatunk így is:

푎 = 2푎 + 1

푎 = 2푎 + 1 = 4푎 + 3

푎 = 2푎 + 1 = 8푎 + 7

푎 = 2푎 + 1 = 16푎 + 15

푎 = 2푎 + 1 = 32푎 + 31.

Megfigyelhetjük, hogy 푎 együtthatója egy 2 hatvány, a konstans pedig ennél eggyel kisebb szám, illetve, ha a sorozat n-edik tagját 1-gyel növeljük 2 ∙ (푎 + 1) -et kapunk.

Tehát a sejtés: 푎 = 6 ∙ 2 − 1 = 3 ∙ 2 − 1. Ezt teljes indukcióval igazolhatjuk.

푎 = 3 ∙ 2 − 1 = 5.

Tegyük fel, hogy az állítás n-re teljesül: 푎 = 3 ∙ 2 − 1! (*)

Bizonyítsuk be, hogy n+1-re is fennáll, azaz igaz, hogy 푎 = 3 ∙ 2 − 1!

A feltétel szerint 푎푛+1 = 2푎푛 + 1. Az indukciós feltételt (*) figyelembe véve kapjuk:

푎푛+1 = 2 ∙ (3 ∙ 2푛 − 1) + 1 = 3 ∙ 2푛+1 − 1, amit bizonytani szerettünk volna.

Tehát a sorozat n-edik tagja: 푎 = 3 ∙ 2 − 1.

2. Egy számtani sorozat első három tagjának összege −3, szorzata 63. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:

A feltétel szerint:

푎 + 푎 + 푎 = −3 푎 ∙ 푎 ∙ 푎 = 63.

Az első egyenletből (푎 − 푑) + 푎 + (푎 + 푑) = −3 ⇒ 푎 = −1. Ezt a második egyenletbe be-helyettesítve kapjuk: (−1 − 푑) ∙ (−1) ∙ (−1 + 푑) = 63. A másodfokú egyenlet gyökei -8 és 8.

5

Tehát két sorozat van: 푎 = 7é푠푑 = −8,valamint푎 = −9é푠푑 = 8. Ezek a feltételnek meg-felelnek, mert a két sorozat első három tagja: 7; -1; -9, illetve -9; -1; 7, összegük -3, szorzatuk 63.

3. Egy számtani sorozat első 10 tagjának összege 337,5, közülük a páros indexű tagok össze-

ge 177,5. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:

Alkalmazzuk a számtani sorozat első 10, illetve első 5 tagjára az összegképletet!

푎 + 푎 + 9푑2

∙ 10 = 337,5

푎 + 푑 + 푎 + 9푑2

∙ 5 = 177,5

Az egyenleteket rendezzük: 10푎 + 45푑 = 337,510푎 + 50푑 = 355 .

Ebből 푑 = 3,5. Ezt visszahelyettesítve az egyik egyenletbe, 푎 = 18 adódik.

A keresett sorozat első tagja 18, differenciája 3,5.

4. Egy számtani sorozat első hat tagjának az összege negyede a következő hat tag összegé-nek. Adjuk meg a sorozatot, ha az első tizenkét tag összege 1080!

Megoldás:

A feltétel szerint 4 ∙ 푆 = 푆 − 푆 . Innen 5 ∙ 푆 = 푆 .

Alkalmazzuk a számtani sorozat első 6, illetve első 12 tagjára az összegképletet!

5 ∙2푎 + 5푑

2∙ 6 =

2푎 + 11푑2

∙ 12.

Ebből rendezés után 15(2푎 + 5푑) = 12푎 + 66푑, majd 푑 = −2푎 adódik.

Ezt visszahelyettesítjük az 푆 -re kapott képletbe:

푆 = 12푎 + 66푑 = −6푑 + 66푑 = 60푑. Tudjuk tehát, hogy 60푑 = 1080, ahonnan 푑 = 18 és푎 = −9 , így a számtani sorozat első tagja -9, differenciája 18.

5. Egy mértani sorozat első, harmadik és ötödik tagjának összege 98, ezek reciprokának ösz-szege . Adjuk meg ezt a sorozatot!

Megoldás:

A feltételek szerint

푎 + 푎 ∙ 푞 + 푎 ∙ 푞 = 98 ⟹ 푎 (1 + 푞 + 푞 ) = 98

1푎+

1푎 ∙ 푞

+1

푎 ∙ 푞=18⟹

푞 + 푞 + 1푎 ∙ 푞

=18

Az első egyenletből (1 + 푞 + 푞 )-t kifejezzük és behelyettesítjük a második egyenletbe.

6

98푎 ∙ 푞

=18

푎 ∙ 푞 = 784.

Ebből 푎 = 푎 ∙ 푞 =±28 adódik. Az első egyenlet alapján 푎 és ezzel együtt 푎 ∙ 푞 is pozitív, tehát 푎 ∙ 푞 = 28. Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe :

28푞

+ 28 + 28푞 = 98,

innen 푞 − 2,5푞 + 1 = 0.

Az egyenletből a 푞 = 2,illetvea푞 = értékeket kapjuk.

Tehát négy sorozatot kaptunk:

I. 푎1 = 14, 푞 = √2;

II. 푎1 = 14, 푞 = −√2;

III. 푎1 = 56,푞 = √ ;

IV. 푎1 = 56,푞 = √ .

A sorozatok első, harmadik és ötödik tagja 14, 28 és 56, illetve 56, 28 és 14, amelyek a feladat fel-tételeinek megfelelnek.

6. Egy értékpapírért 500000 forintot fizetünk. a) Ha hat év múlva 1,5 millió forintot fizet a bank, akkor milyen átlagos kamatlábbal

számolt? b) Hány év múlva vehetünk fel 1,5 millió forintot, ha az éves kamatláb 8%?

Megoldás:

a) A keresett átlagos kamatláb legyen p%. Ekkor 6 év múlva

5 ∙ 10 ∙ 1 +푝100

= 1,5 ∙ 10 .

1 +푝100

= 3

1 +푝100 = √36 ≈ 1,2009

Innen 푝 = 20,1% , tehát a bank átlagosan 20,1%-os kamatlábbal dolgozik.

b) Ha a befektetett pénz után n év elteltével 8%-os kamatláb mellett 1,5 millió forintot kapunk, akkor a következő egyenlőség áll fenn:

5 ∙ 10 ∙ 1,08 = 15 ∙ 10 .

7

Innen 1,08 = 3.

Vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát, majd alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vo-natkozó azonosságot!

푛 ∙ 푙푔1,08 = 푙푔3

푛 =푙푔3

푙푔1,08≈ 14,27

A tizenötödik év folyamán nő az összeg 1,5 millió forintra, tehát a 15. év végén vehetjük fel a kívánt összeget.

7. Egy számtani sorozat első kilenc tagjának az összege 171. A sorozat első, nyolcadik és 36. tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Adjuk meg a mértani sorozat há-nyadosát!

Megoldás:

Az első feltétel szerint

ퟐ풂ퟏ + ퟖ풅ퟐ

∙ ퟗ = ퟏퟕퟏ.

Ebből 푎 + 4푑 = 19(= 푎 ).

A mértani sorozat szomszédos tagjai:

푏 = 푎 = 19 − 4푑, 푏 = 푎 = 19 + 3푑, 푏 = 푎 = 19 + 31푑.

A mértani sorozat bármely tagjának négyzete, (a másodiktól kezdve) a tőle szimmetrikusan elhe-lyezkedő tagok szorzatával egyenlő. Így (19 + 3푑) = (19 − 4푑) ∙ (19 + 31푑). A kijelölt műveletek elvégzése és rendezés után kapjuk: 133푑 − 399푑 = 0. A másodfokú egyenlet két gyöke: 푑 = 0és푑 = 3. 푑 = 0 esetén a számtani sorozat mindegyik tagja 19. (Az első kilenc tag összege 9 ∙ 19 = 171.) A mértani sorozat hányadosa 푞 = 1. 푑 = 3 esetén a számtani sorozat első tagja 푎 = 7. (Az első kilenc tag összege ∙ 9 = 171.)

A mértani sorozat szomszédos tagjai rendre: 7, 28 és 112, hányadosa = = 4.

8. Legyen egy sorozat n-edik tagja 푎 =( )( )

, ahol 푛 ∈ ℤ . Adjuk meg az első 100

tag összegét!

Megoldás:

Vizsgáljuk meg nem írható-e fel két tört összegeként az adott tört! Határozzuk meg azokat az a és b

valós számokat, amelyekre ( )( )

= 푎 + 푏 fennáll!

8

Ha van ilyen számpár, akkor ezekre 푎(4푛 + 5) + 푏(4푛 + 1) = 4. Rendezés után kapjuk 4푛(푎 + 푏) + 5푎 + 푏 = 4.

Mivel tetszőleges n-re teljesül az egyenlet, ezért 푎 + 푏 = 0 ⟹ 푏 = −푎 ⟹ 4푎 = 4⟹ 푎 = 1, 푏 = −1. Így 푎 = 4

(4푛+1)(4푛+5) = 4푛+1 − 4푛+5.

Az első száz tag összege:

푎 + 푎 + 푎 +⋯+ 푎 =15−19

+19−113

+113

−117

+⋯+1401

−1405

=

=15−

1405

=80405

=1681.

(Általában két egymást követő tag:

푎 =1

4푘+ 1−1

4푘+ 5 ,푎 =1

4(푘 + 1)+ 1−1

4(푘+ 1)+5 =1

4푘 + 5−

14푘 + 9

.

Az összegből a közbülső tagok kiesnek. Az ilyen összeget teleszkópikus összegnek nevezzük.)

9. Ábrázoljuk derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi sorozatokat!

푎)푎 =5푛4 ; 푏)푏 =

3푛 − 4n + 1 ; 푐)푐 = 3 ∙ (−1) ; 푑)푑 = 3 ∙ 2 ; 푒)푒 = −

12

Megoldás:

9

10

11

10. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából!

a) 푎 = 푛 − 9 b)푏 = c) 푐 =

Megoldás:

a) 푎 = (푛 + 1) − 9 = 푛 + − 9 = 푎 + > 푎 ⟹ a sorozat szigorúan monoton nő, és

ezért alulról korlátos, legnagyobb alsó korlátja 푎 = − . A sorozat felülről nem korlátos, mert tetszőleges P szám esetén van olyan n pozitív egész

szám, amelyre 23푛 − 9 > 푃. Ez teljesül, ha 푛 > (푃 + 9).

b) 푏 = = = 1 − < 1 , így a sorozat felülről korlátos.

푏 = 1 − > 1 − = 푏 , mert 푛 + 4 > 푛 + 3 ⟺ < ⟺ 1 − > 1− . Tehát a 푏 sorozat szigorúan monoton nő, ezért alulról is korlátos, legkisebb alsó korlátja 푏 = 0.

c) 푐 = 3 + > 3 + = 푐 alapján a sorozat szigorúan monoton csökken. Ezért felülről

korlátos, legkisebb felső korlátja 푐 = ; alulról is korlátos, mert minden tagja nagyobb 3-nál.

11. Mutassuk meg a határérték definíciójának felhasználásával, hogy n

lim = !

Megoldás: Jelöljön ε tetszőleges pozitív számot! Meg kell mutatni, hogy a sorozat tagjainak -tól való elté-rése, egy tagtól kezdve kisebb, mint 휀. Ehhez oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget n-re!

2푛 + 53푛 − 1

−23< 휀

Közös nevezőre hozás és rendezés után kapjuk:

6푛 + 15 − 6푛 + 23(3푛 − 1)

< 휀

173(3푛 − 1)

< 휀.

n pozitív egész szám, ezért 17

3(3푛 − 1)=

173(3푛 − 1)

. A ( ) < 휀 egyenlőtlenséget 3(3푛 − 1) pozitív kifejezéssel szorozva kapjuk

17 < 휀(9푛 − 3). Ebből 푛 > .

Minden lépés megfordítható. Az 휀-hoz tartozó küszöbszám 푁 = .

([푥] (x egész része) az x valós számnál nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb.)

12

Így tetszőleges 휀 pozitív számhoz van olyan N küszöbszám, hogy 푛 > 푁 esetén − < 휀,

ezért a sorozat határértéke .

12. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat konvergencia szempontjából! Adjuk meg a konver-gens sorozatok határértékét!

푎 = (−1) ∙ 푛 푏 =5푛 − 4푛 + 32푛 − 푛 − 2

푐 =푛 − 11

푛 + 4푛 + 3휋 푑 =

13푛 − 7푛 + 8푛√2푛 − 2푛 + 1

푒 = 4푛 − 6푛 − 2푛 푓 =3

4 + 5 푔 =

5 − 2 ∙ 32 ∙ 5 + 4

ℎ =2푛 + 1푛 + 5

Megoldás:

Az 푎 = (−1) ∙ 푛 sorozat divergens, mert nem korlátos. Megmutatjuk, hogy a sorozat például felülről nem korlátos. Legyen P tetszőleges pozitív szám és n páros pozitív szám. (−1) ∙ 푛 > 푃, ha 푛 > √푃. Tehát a sorozat összes, √푃-nél nagyobb páros indexű tagja, P-nél nagyobb szám.

lim→

푏 = lim→

5푛 − 4푛 + 32푛 − 푛 − 2

= lim→

5 − 4푛 +

3푛

2 − 1푛 −

2푛

=52.

Felhasználtuk, hogy tetszőleges k konstans esetén , sorozatok 0-hoz tartanak, valamint ilyen sorozatok összege/különbsége is 0-hoz tart. A számláló 5-höz, a nevezőbeli sorozat 2-höz tart, így a hányados határértéke .

A következőkben felhasználjuk, a konvergens sorozatok összegének, különbségének, szorzatának, illetve hányadosának határértékére vonatkozó tételeket, valamint a pozitív tagú konvergens sorozat négyzetgyökének határértékére vonatkozó tételt.

lim→

푐 = lim→

푛 − 11푛 + 4푛 + 3휋

= lim→

푛푛

∙1 − 11

푛1 + 4

푛 +3휋푛

= lim→

1푛

= 0.

lim→

푑 = lim13푛 − 7푛 + 8푛√2푛 − 2푛 + 1

= lim→

13푛−2푛

∙1 − 7

13푛 +8

13푛

1 − √22푛 −

12푛

= lim→

−13푛2

= −∞.

lim→

푒 = lim→

4푛 − 6푛 − 2푛 = lim→

√4푛 − 6푛 + 2푛4푛 − 6푛 − 4푛

= lim→

푛 4 − 6푛 + 2

−6푛=

= −16∙ (2 + 2) = −

23.

A következő két sorozat esetében felhasználjuk, hogy

13

lim→

푞 = 0, ha|푞| < 1.

lim→

푓 = lim→

34 + 5

= lim→

35

∙3

14 ∙

45 + 1

= 0 ∙ 3 = 0.

lim→

푔 = lim→

5 − 2 ∙ 32 ∙ 5 + 4

= lim→

55

∙25 − 6 ∙ 3

5

2 + 4 ∙ 15

=252.

lim→

ℎ = lim→

2푛 + 1푛 + 5

= lim→

2 + 1푛

1 + 5푛

= √2.

13. Írja fel két egész szám hányadosaként a 12,345̇6̇ végtelen szakaszos tizedes törtet!

Megoldás:

ퟏퟐ,ퟑퟒퟓ̇ퟔ̇ = ퟏퟐퟑퟒퟏퟎퟎ

+ퟓퟔퟏퟎퟒ

+ퟓퟔퟏퟎퟔ

+ퟓퟔퟏퟎퟖ

+⋯

Az 푎 = , 푞 = mértani sor összegképlete alapján

12,345̇6̇ = 1234100

+5610

∙1

1 − 1100

=1234100

+569900

=1222229900

=611114950

.

III. Ajánlott feladatok 1. Egy számtani sorozat első tagja 20, n-edik tagja 174. Határozzuk meg n értékét, ha az első

n tag összege 2231. Tagja-e a sorozatnak a 2014?

2. Egy számsorozat első tagja 2, második tagja 1, a sorozat további tagjait az

푎 = 2푎 − 푎 , 푛 ∈ ℤ képlet alapján képezzük. Adjuk meg a sorozat 2000. tagját, valamint az első 2000 tag összegét!

3. 2013 darab különböző pozitív egész szám összege 4052167. Mutassuk meg, hogy a szá-mok között legalább két páros szám van!

4. Egy számtani sorozat negyedik, tizenegyedik, tizenhetedik és huszonnegyedik tagjának összege 3960. Számítsuk ki a sorozat tizennegyedik tagját és az első 27 tag összegét!

5. Egy számtani sorozat tízedik tagja 22, a századik tag 202. Hagyjuk el a sorozat minden olyan tagját, amelynek utolsó számjegye 2! Számítsuk ki a megmaradt sorozat első 200 tagjának összegét! (Felvételi feladat külföldi ösztöndíjra pályázók részére 1990.)

14

6. Egy szupermarketben azt a feladatot kapják a kereskedelmi tanulók, hogy a narancsokból rakjanak gúlát az alábbiak szerint: a legfelső sorban egy narancs, az alatta levőben 3 na-rancs, az ez alatti sorban 6 narancs legyen. Általában felülről számítva az n-edik sorba n-nel több narancs kerüljön, mint a fölötte levő sorba.

a) Ha húsz rétegből álló gúlát szeretnénk, akkor hány narancsot tegyenek a legalsó sorba?

b) Hány narancsból lehet egy ilyen gúlát megépíteni? Oldjuk meg általánosan is a felada-tot!

c) A gúlához egy szabályos háromszög alakú keretet készítenek, hogy ne guruljanak szer-teszét a narancsok. Milyen hosszú legyen annak a háromszögnek az oldala, amelyik a legalsó sorban levő narancsokat tartja össze, ha feltételezzük, hogy a narancsok 10 cm átmérőjűek?

d) Egy másik részlegen bonbonos dobozokból építettek 20 emeletes tornyot a tanulók. Legalulra 117 doboz került és emeletenként azonos számmal csökkent a beépítésre ke-rülő dobozok száma. Pakolás közben kiderült, hogy az alsó 10 sorhoz háromszor annyi dobozra volt szükség, mint a felső 10 sorhoz. Hány bonbonos doboz került a legfelső szintre? Összesen hány dobozt használtak fel a toronyhoz?

7. Egy számtani sorozat tagjai különböző pozitív egész számok.

a) Bizonyítsuk be, hogy nem lehet a sorozatnak mindegyik tagja prímszám!

b) Bizonyítsuk be, hogy nem lehet a sorozatnak mindegyik tagja négyzetszám!

8. Egy erős fájdalomcsillapítót a betegeknek infúzióban adnak. A tele zsák térfogata 500 ml. Az infúzió csepegési sebességét úgy állítják be, hogy az első órában percenként 14 csep-pet, minden további órában percenként fél cseppel kevesebbet kap a beteg. Egy csepp tér-fogata 0,05 ml, és az infúziós oldat 4 mg gyógyszert tartalmaz milliliterenként.

a) Hány milliliter infúzió csepeg le az első 5 órában?

b) Hány mg gyógyszert kap a beteg összesen az első 5 órában?

15

c) Melyik órában kap a beteg 96 mg gyógyszert?

d) Mikor kell lecserélni az infúziós ballont, mert kiürült?

9. Egy mértani sorozat első tagja 5. Az első n tag összege 605, az első n tag reciprokának

összege 405121 . Keressük a sorozat első n tagját!

10. Három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Ha az első két szám válto-zatlanul hagyása mellett, a harmadik számból elveszünk 80-at, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Ha ezek közül a középsőt 10-zel csökkentjük, akkor ismét egy mértani sorozat szomszédos tagjaihoz jutunk. Határozzuk meg az eredeti három számot!

11. Róbert 2600$-t szeretne befektetni. A bank fix, évi 7%-os kamatlábat ígér. a) Hány dollár lesz Róbert számláján 4 év elteltével, ha a bank minden év leteltével tőké-

sít? b) Változatlan kamatláb mellett hány év alatt növekedne fel a befektetett összeg a kétsze-

resére?

12. Karcsi bácsi tíz év múlva megy nyugdíjba. A nyugdíját ki szeretné egészíteni, ezért tíz éven keresztül minden év elején betesz a bankba 500000 forintot. Nyugdíjba vonulásától számított 20 éven keresztül minden hónap elején azonos összeget vesz fel. A bank e har-minc éven keresztül végig évi 6%-os kamatlábbal számol. (p %-os éves kamatláb esetén a havi kamatláb %) Mekkora összeggel tudja kiegészíteni havi nyugdíját Karcsi bácsi, ha a 20. év végére el-fogy a pénze?

13. Határozzuk meg az 푎 = (푛 ≠ 10) sorozat 휀 = 0,01 sugarú környezethez tartozó küszöbszámot, ha tudjuk, hogy a sorozat határértéke A=5!

14. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat konvergencia szempontjából! Adjuk meg a konver-gens sorozatok határértékét!

푎 = 2 + (−1) ∙푛 + 4푛

푏 =3푛 − 4푛 − 82푛 − 푛

푐 =1 + 2 + 3 +⋯푛(5푛 − 2) ∙ (푛 − 3)

푑 = √푛 + 4 − √푛

푒 = √푛 ∙ √푛 + 4 − √푛 푓 =√4푛 − 9푛 + 3

√푛 + 6 푔 =

푛√푛 − √푛 + 4

ℎ =7 + (−1)

7

푖 =√8푛 − 5푛푛 + 2

푗 = 1 +1푛

푘 = 1 +13푛

푙 = 1 −1푛

푚 = 2+1푛

푝 =12+1푛

푞 =푛 + 6푛 − 1

푟 =2푛 + 62푛 + 1

16

15. Az x valós paraméter mely értékei mellett lesz konvergens az (푎 ) = (푥 − 4)(푥 − 2) (푛 ∈ ℤ )sorozat?

16. Az ábrán félkörök rajzolásával egy csigavonal rajzát kezdtük el. Mindegyik körív sugara fele az előzőnek. Az AB szakasz hossza 20 cm.

a) Milyen hosszú az n-edik félkörív? b) Milyen hosszú az első 10 félkörívből álló csigavonal? c) Hány félkörívből álló csigavonal hossza körülbelül 60 cm? d) Hány félkörívből álló csigavonal hossza 100 cm? e) Milyen hosszú lesz a csigavonal, ha az ábra rajzolását nem hagyjuk abba?

17. Tekintsünk egy egységoldalú négyzetet! Osszuk fel az oldalakkal párhuzamos egyenesek segítségével kilenc egybevágó négyzetre, majd hagyjuk el a középső négyzetet. A megma-radt nyolc négyzettel ismételjük meg az eljárást. Adjuk meg az n-edik lépés után keletkező síkidom kerületét (a határoló szakaszok hosszának összegét) és területét!

17

Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Egy számtani sorozat első tagja 20, n-edik tagja 174. Határozzuk meg n értékét, ha az első

n tag összege 2231. Tagja-e a sorozatnak a 2014?

Megoldás:

Az első n tag összege: 2231 = ∙ 푛. Innen 푛 = 23.

푎 푎 + 22푑.

Az adatokat behelyettesítve 174 = 20 + 22푑, ahonnan 푑 = 7.

Tegyük fel hogy 2014 a sorozat k-adik tagja!

2014 = 20 + (푘 − 1) ∙ 7

Ebből 푘 − 1 = , ami nem egész, ezért 2014 nem tagja a sorozatnak.

2. Egy számsorozat első tagja 2, második tagja 1, a sorozat további tagjait az 푎 = 2푎 − 푎 , 푛 ∈ ℤ képlet alapján képezzük. Adjuk meg a sorozat 2000. tagját, valamint az első 2000 tag összegét!

Megoldás:

푎 = 2, 푎 = 1, 푎 = 0, 푎 = −1, 푎 = −2, 푎 = −3, 푎 = −4,…

18

Megfigyelhetjük, hogy a sorozat számtani és általános tagja 푎 = 3 − 푛 képlettel adható meg.

A sejtést teljes indukcióval igazoljuk.

Az első néhány tagra teljesül az állítás.

Feltéve, hogy a sorozat n-edik, illetve (푛 + 1)-edik tagja 푎 = 3 − 푛 , illetve

푎 = 3 − (푛 + 1) = 2 − 푛, bizonyítjuk:푎 = 3 − (푛 + 2) = 1 − 푛.

A képzési szabály és az indukciós feltétel alapján:

푎 = 2푎 − 푎 = 2(2 − 푛) − (3 − 푛) = 1 − 푛, amit bizonyítani akartunk.

A bizonyított szabály alapján a sorozat tetszőleges, így a 2000. tagja is egyszerűen felírható:

푎 = 3 − 2000 = −1997.

A számtani sorozat első 2000 tagjának összege: 푆 = ( ) ∙ 2000 = −1995000.

3. 2013 darab különböző pozitív egész szám összege 4052167. Mutassuk meg, hogy a szá-mok között legalább két páros szám van!

Megoldás:

Ha a számok között vannak párosak, akkor páros soknak kell lenniük, mert ha páratlan sok páros szám lenne köztük, akkor a páratlanok száma páros lenne, s így az összegük biztosan páros, tehát nem 4052167.

Megmutatjuk, hogy a 2013 különböző szám között biztosan van páros szám.

Ha mindegyik szám páratlan lenne, akkor az összegük az első 2013 pozitív páratlan szám összegé-nél nem lehet kisebb. Az első 2013 pozitív páratlan szám összege ∙ ∙ 2013 = 2013 =4052169. Mivel a feladatban szereplő számok összege ennél kisebb, ezért nem lehet mindegyik szám páratlan. A fentiek szerint, ha van köztük páros, akkor legalább kettő szám páros. (A megol-dásban kihasználtuk, hogy a feladat különböző pozitív egész számokról szólt.)

(Illik megmutatni, hogy van is ilyen 2013db pozitív szám. Ezek lehetnek például, ha az első 2013 pozitív páratlan szám közül 2011-et kiválasztunk, a maradék kettőt pedig kicseréljük a náluk egy-gyel kisebb számmal.)

4. Egy számtani sorozat negyedik, tizenegyedik, tizenhetedik és huszonnegyedik tagjának összege 3960. Számítsuk ki a sorozat tizennegyedik tagját és az első 27 tag összegét!

Megoldás:

푎 + 푎 +푎 + 푎 = 3960.

푎 + 3푑 + 푎 + 10푑 + 푎 + 16푑 + 푎 + 23푑 = 3960

4푎 + 52푑 = 3960

푎 + 13푑 = 990.

Ez éppen a sorozat 14. tagja. Az első 27 tag összege:

푆 =2푎 + 26푑

2∙ 27 = (푎 + 13푑) ∙ 27 = 990 ∙ 27 = 26730.

19

Megjegyzés:

Gyorsabban megkaphatjuk a válaszokat, ha észrevesszük, hogy a megadott tagok indexei a 14-re szimmetrikusak. Fejezzük ki az összes, a feladatban szereplő tagot 푎 segítségével!

푎 − 10푑 + 푎 − 3푑 + 푎 + 3푑 + 푎 + 10푑 = 3960

4푎 = 3960

푎 = 990.

푆 =푎 − 13푑 + 푎 + 13푑

2∙ 27 = 푎 ∙ 27 = 26730.

5. Egy számtani sorozat tízedik tagja 22, a századik tag 202. Hagyjuk el a sorozat minden olyan tagját, amelynek utolsó számjegye 2! Számítsuk ki a megmaradt sorozat első 200 tagjának összegét! (Felvételi feladat külföldi ösztöndíjra pályázók részére 1990.)

Megoldás:

Először meghatározzuk az adott sorozat differenciáját és első tagját.

푎 = 푎 + 90푑 ⟹ 202 − 22 = 90푑 ⟹ 푑 = 2,

푎 = 22 − 9푑 = 22 − 18 = 4.

A sorozat minden ötödik tagja végződik 2-re (12, 22, 32, 42,…). Tehát az eredeti sorozat minden ötödik tagját hagyjuk el. Az elhagyott számok egy olyan számtani sorozat tagjai, amelynek első tagja 12, differenciája 10. A keresett 200 szám összegét megkapjuk, ha az eredeti sorozat első

∙ 200 = 250 tagjának összegéből kivonjuk az elhagyott sorozat első 50 tagjának összegét.

푆 =2 ∙ 4 + 249 ∙ 2

2∙ 250 −

2 ∙ 12 + 49 ∙ 102

∙ 50 = 63250 − 12850 = 50400.

6. Egy szupermarketben azt a feladatot kapják a kereskedelmi tanulók, hogy a narancsokból rakjanak gúlát az alábbiak szerint: a legfelső sorban egy narancs, az alatta levőben 3 na-rancs, az ez alatti sorban 6 narancs legyen. Általában felülről számítva az n-edik sorba n-nel több narancs kerüljön, mint a fölötte levő sorba.

a) Ha húsz rétegből álló gúlát szeretnénk, akkor hány narancsot tegyenek a legalsó sorba? b) Hány narancsból lehet egy ilyen gúlát megépíteni? Oldjuk meg általánosan is a felada-

tot!

20

c) A gúlához egy szabályos háromszög alakú keretet készítenek, hogy ne guruljanak szer-teszét a narancsok. Milyen hosszú legyen annak a háromszögnek az oldala, amelyik a legalsó sorban levő narancsokat tartja össze, ha feltételezzük, hogy a narancsok 10 cm átmérőjűek?

d) Egy másik részlegen bonbonos dobozokból építettek 20 emeletes tornyot a tanulók. Legalulra 117 doboz került és emeletenként azonos számmal csökkent a beépítésre ke-rülő dobozok száma. Pakolás közben kiderült, hogy az alsó 10 sorhoz háromszor annyi dobozra volt szükség, mint a felső 10 sorhoz. Hány bonbonos doboz került a legfelső szintre? Összesen hány dobozt használtak fel a toronyhoz?

Megoldás:

a) A képzési szabály szerint

푎 = 푎 + 푛;푎 = 1

Írjuk fel ezt az összefüggést a sorozat első n tagjára!

푎 = 1

푎 = 푎 + 2

푎 = 푎 + 3

푎 = 푎 + 4

⋮

푎 = 푎 + 푛 − 1

푎 = 푎 + 푛

Adjuk össze a fenti n egyenletet!

푎 + 푎 + 푎 +⋯+ 푎 + 푎 = 푎 + 푎 + 푎 + ⋯+ 푎 + (1 + 2 + 3 + ⋯+ 푛)

Vonjuk ki a közös (푛 − 1) tag összegét!

푎 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 푛 =푛 ∙ (푛 + 1)

2

így a legalsó réteg 210 narancsból áll.

b) Az 푎 = ∙( ) = (푛 + 푛) sorozat első 푛 = 20 tagjának az összegét kell meghatároznunk.

푆 =12(1 + 1 + 2 + 2 + ⋯+ 푛 + 푛) =

12[(1 + 2 +⋯푛 ) + (1 + 2 + ⋯푛)]

Alkalmazzuk az első n pozitív egész szám és az első n pozitív egész szám négyzetének az ösz-szegképletét!

푆 =12

푛 ∙ (푛 + 1) ∙ (2푛 + 1)6

+푛 ∙ (푛 + 1)

2=푛 ∙ (푛 + 1)

12∙ (2푛 + 1 + 3) =

=푛 ∙ (푛 + 1) ∙ (푛 + 2)

6

A húsz réteghez 1540 narancsot kell beépíteni.

21

c) Olyan szabályos háromszög alakú keretet kell építeni, amelynek az oldalai mellett 20-20 narancs található.

A szabályos háromszög oldala

18 ∙ 10 + 2 ∙ 5 + 5 ∙ √3 = 190 + 10√3 ≈ 207,32(cm).

Tehát 208 cm oldalú szabályos háromszög alakú keretet kell készíteni.

d) A sorokban lévő dobozok száma egy számtani sorozat első 20 tagja. Számozzuk a sorokat fe-lülről! A feltételek szerint

푎 = 117, 푆 − 푆 = 3 ∙ 푆 .

푆 = 4 ∙ 푆 .

Alkalmazzuk számtani sorozat első 20, illetve első 10 tagjának összegképletét, majd rendez-zük az egyenletet

2푎 + 19 ∙ 푑2

∙ 20 = 4 ∙2푎 + 9 ∙ 푑

2∙ 10

20푎 + 190 ∙ 푑 = 40푎 + 180 ∙ 푑

푑 = 2푎

푎 = 푎 + 19푑 = 39푎

117 = 39푎

푎 = 3

푆 =6 + 19 ∙ 6

2∙ 20 = 1200.

(A felső 10 sorba ∙ ∙ 10 = 300, az alsó 10 sorba 1200-300=900 doboz került.

Ezek aránya 1:3.)

Tehát a bonbonos építményhez 1200 dobozra volt szükség és a legfelső sorába 3 doboz került.

7. Egy számtani sorozat tagjai különböző pozitív egész számok.

A B

C

22

a) Bizonyítsuk be, hogy nem lehet a sorozatnak mindegyik tagja prímszám! b) Bizonyítsuk be, hogy nem lehet a sorozatnak mindegyik tagja négyzetszám!

Megoldás:

a) Ha a sorozat egyik tagja p prímszám, akkor a 푝, 푝 + 푑, 푝 + 2푑, 푝 + 3푑,… pozitív egész számok közül 푝 + 푝푑 = 푝(1 + 푑) már biztosan összetett szám, mert a feltétel szerint 푑 > 0, és így két 1-től különböző egész szám szorzatára bontható. (Tehát ha a pozitív egész tagú sorozat első tagja p prímszám, akkor a (p+1)-edik tagja biztosan nem prímszám, feltéve, hogy 푑 ≠ 0).

b) Tegyük fel, hogy a sorozat minden tagja négyzetszám! Legyen a sorozat n-edik tagja 푎 = 푘 ! A következő tag 푎 = 푎 + 푑 nem lehet kisebb a következő négyzetszámnál, azaz

푎 + 푑 ≥ (푘 + 1) ,

푘 + 푑 ≥ (푘 + 1) .

Ebből 푑 ≥ 2푘 + 1 adódik, ahol d a sorozatra jellemző állandó. Ez az állandó nem lehet na-gyobb egy tetszőleges pozitív számnál.

(Ha például d=11, akkor k=6 esetén 푎 = 6 , a következő négyzetszám a 49, de

푎 = 36 + 11 = 47 < 49. )

Ellentmondásra jutottunk a feltétellel, tehát nem lehet sorozat minden tagja négyzetszám.

8. Egy erős fájdalomcsillapítót a betegeknek infúzióban adnak. A tele zsák térfogata 500 ml.

Az infúzió csepegési sebességét úgy állítják be, hogy az első órában percenként 14 csep-pet, minden további órában percenként fél cseppel kevesebbet kap a beteg. Egy csepp tér-fogata 0,05 ml, és az infúziós oldat 4 mg gyógyszert tartalmaz milliliterenként. a) Hány milliliter infúzió csepeg le az első 5 órában? b) Hány mg gyógyszert kap a beteg összesen az első 5 órában? c) Melyik órában kap a beteg 96 mg gyógyszert? d) Mikor kell lecserélni az infúziós ballont, mert kiürült?

Megoldás:

a) A feladatban szereplő adatok három számtani sorozatot határoznak meg. (Jellemzőiket a táblá-zat tartalmazza.)

cseppek száma az oldat (ml) hatóanyag (mg)

az első órában 14 ∙ 60 = 840 840 ∙ 0,05 = 42 42 ∙ 4 = 168

a második órában 13,5 ∙ 60 = 810 810 ∙ 0,05 = 40,5 40,5 ∙ 4 = 162

a sorozatra jellemző állandó 퐷 = −30 푑 = −1,5 푑∗ = −6

Az első 5 órában összesen 푆 = ∙ ∙( , ) ∙ 5 = 195ml oldat csepeg le.

b) Az első 5 órában a beteg 195 ∙ 4mg = 780mg gyógyszert kap.

23

c) 푎∗ = 푎∗ + (푛 − 1)푑∗ ⟹ 96 = 168 + (푛 − 1)(−6). Innen 푛 = 13. Tehát az infúzió megin-dításától számított 13. órában kap a beteg 96 mg gyógyszert.

d) Keressük azt a legnagyobb n pozitív egész számot, amelyre 푆 ≤ 500 .

2 ∙ 42 + (푛 − 1)(−1,5)2

∙ 푛 ≤ 500.

Rendezés után:

1,5푛 − 85,5푛 + 1000 ≥ 0

Az egyenlet gyökei: 푛 , = , ± , ∙ , ∙ = 40,5716,43

A 16. óra eltelte után ki kell cserélni az infúziós ballont, mert az a 17. óra folyamán kiürül.

9. Egy mértani sorozat első tagja 5. Az első n tag összege 605, az első n tag reciprokának

összege 405121 . Keressük a sorozat első n tagját!

Megoldás:

5(1 + 푞 + 푞 +⋯+ 푞 ) = 605

15+

15푞

+15푞

+⋯+1

5푞=121405

Közös nevezőre hozás után kapjuk

푞 + 푞 + 푞 …+ 15푞

=121405

.

Az első egyenlet baloldalának ötöd része a tört számlálója.

1215푞

=121405

.

Ebből 푞 =81 adódik.

Alkalmazzuk a mértani sorozat első n tagjának összegképletét! (푞 ≠ 1,mert푞 =81.)

24

5 ∙푞 − 1푞 − 1

= 605

푞 − 1 = 121(푞 − 1)

81푞 − 1 = 121푞 − 121

120 = 40푞

푞 = 3

3 = 3

푛 = 5.

A keresett öt szám 5, 15, 45, 135, 405. Ezekre teljesülnek a feladat feltételei, mert összegük: 5+15+45+135+405=605, reciprokuk összege: + + + + = .

10. Három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Ha az első két szám válto-

zatlanul hagyása mellett, a harmadik számból elveszünk 80-at, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Ha ezek közül a középsőt 10-zel csökkentjük, akkor ismét egy mértani sorozat szomszédos tagjaihoz jutunk. Határozzuk meg az eredeti három számot!

Megoldás:

A mértani sorozat tagjai: 푎; 푎푞; 푎푞 ,

a számtani sorozat szomszédos tagjai: 푎; 푎푞; 푎푞 − 80,

az új mértani sorozat három egymást követő tagja: 푎; 푎푞 − 10; 푎푞 − 80.

A középső tag a két szomszédos tag segítségével kifejezhető:

2푎푞 = 푎 + 푎푞 − 80

(푎푞 − 10) = 푎(푎푞 − 80).

Rendezzük az egyenleteket!

푎(푞 − 2푞 + 1) = 80,

푎(푞 − 4) = 5.

A második egyenletet 16-tal szorozzuk. A jobboldalak egyenlőségéből a baloldalak egyenlőségére következik:

16푎(푞 − 4) = 푎(푞 − 2푞 + 1)

푎 ≠ 0 számmal osztunk és rendezzük az egyenletet:

푞 − 18푞 + 65 = 0

Ennek a gyökei: 푞 = 5, illetve 푞 = 13.

Ezeket visszahelyettesítve az 푎(푞 − 4) = 5 egyenletbe, megkapjuk a sorozatok első tagját:

푞 = 5esetén푎 = 5, 푞 = 13esetén푎 = .

Ellenőrzés:

25

Az I. sorozat tagjai a sorozat jellemzője A II. sorozat tagjai a sorozat

jellemzője

mértani 5 25 125 푞 = 5 59

659

8459

푞 = 13

számtani 5 25 45 푑 = 20 59

659

1259

푑 =203

mértani 5 15 45 푞′ = 3 59

−259

1259

푞′ = −5

A keresett számok: 5, 25, 125, illetve , , .

11. Róbert 2600$-t szeretne befektetni. A bank fix, évi 7%-os kamatlábat ígér. a) Hány dollár lesz Róbert számláján 4 év elteltével, ha a bank minden év leteltével tőké-

sít? b) Változatlan kamatláb mellett hány év alatt növekedne fel a befektetett összeg a kétsze-

resére?

Megoldás:

a) Az első év végén 2600 ∙ 1,07; a második év végén (2600 ∙ 1,07) ∙ 1,07 = 2600 ∙ 1,07 ;

az n-edik év végén 2600 ∙ 1,07 dollár lesz a bankban.

Itt 푛 = 4, Róbert 4 év elteltével 2600 ∙ 1,07 ≈ 3408 dollárral rendelkezik.

b) 2600 ∙ 1,07 = 2 ∙ 2600

1,07 = 2

Vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát, majd alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vo-natkozó azonosságot!

푛 ∙ 푙푔1,07 = 푙푔2

Innen 푛 =,

≈ 10,24. Tehát a tizenegyedik év folyamán nő a befektetett összeg a kétszere-

sére (a befektetett összegtől függetlenül).

12. Karcsi bácsi tíz év múlva megy nyugdíjba. A nyugdíját ki szeretné egészíteni, ezért tíz éven keresztül minden év elején betesz a bankba 500000 forintot. Nyugdíjba vonulásától számított 20 éven keresztül minden hónap elején azonos összeget vesz fel. A bank e har-minc éven keresztül végig évi 6%-os kamatlábbal számol. (p %-os éves kamatláb esetén a havi kamatláb %) Mekkora összeggel tudja kiegészíteni havi nyugdíját Karcsi bácsi, ha a 20. év végére el-fogy a pénze?

Megoldás:

푡 = 500000

26

Az év végén a bankban levő pénz

1. év 푡 ∙ 1,06

2. év 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06

3. év 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06

⋮ ⋮

10. év 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06 +⋯+ 푡 ∙ 1,06

A mértani sorozat első tíz tagjának összege:

푆 = 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06 + 푡 ∙ 1,06 +⋯+ 푡 ∙ 1,06 = 푡 ∙ 1,06 ∙1,06 − 11,06 − 1

=

= 5 ∙ 10 ∙ 1,06 ∙1,06 − 1

0,06= 6985821

Karcsi bácsi bankban lévő pénze a tízedik év végén 푆 = 6985821Ft.

Karcsi bácsi 240 hónapon keresztül azonos x forintot vesz fel a banktól. (A havi kamatláb 0,5%.)

a hónap elején a bankban levő pénz

1. hó 푆 − 푥

2. hó (푆 − 푥) ∙ 1,005 − 푥

3. hó 푆 ∙ 1,005 − 푥 ∙ 1,005 − 푥 ∙ 1,005 − 푥

⋮ ⋮

240. hó 푆 ∙ 1,005 − 푥(1,005 + 1,005 +⋯+ 1)

A feltétel szerint az utolsó kivétel után nem marad pénze a bankban.

푆 ∙ 1,005 − 푥(1,005 + 1,005 +⋯+ 1) = 0

푥 ∙1,005 − 1

0,005= 푆 ∙ 1,005

푥 = ,,

∙ 6985821 ∙ 1,005 ≈ 49799,6

Tehát Karcsi bácsi havonta 47799 forinttal növeli a nyugdíját.

13. Határozzuk meg az 푎 = (푛 ≠ 10) sorozat 휀 = 0,01 sugarú környezethez tartozó küszöbszámot, ha tudjuk, hogy a sorozat határértéke A=5!

Megoldás:

Keressük, mely n pozitív egész számokra teljesül az 푛2−100 − 5 < 0,01 egyenlőtlenség.

5푛 + 20푛2 − 100− 5 =

5푛 + 20 − 5푛 + 500푛2 −100 =

520푛2 −100

alapján megoldandó

27

−0,01 <520

푛2 − 100 < 0,01.

Ha 푛 > 10, akkor a tört nevezője és a tört is pozitív. Ezért egyrészt elég a jobboldali egyenlőtlen-séggel foglalkozni, másrészt ez ekvivalens a következővel:

52100 < 푛 . A sorozat tagjainak A=5-től való eltérése kisebb, mint 0,01, ha 푛 > √52100(≈ 228,25).

A 229. tagtól kezdve a sorozat minden tagja az 5, 휀 = 0,01 sugarú környezetébe esik.

14. Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat konvergencia szempontjából! Adjuk meg a konver-gens sorozatok határértékét!

푎 = 2 + (−1) ∙푛 + 4푛

푏 =3푛 − 4푛 − 82푛 − 푛

푐 =1 + 2 + 3 +⋯푛(5푛 − 2) ∙ (푛 − 3)

푑 = √푛 + 4 − √푛

푒 = √푛 ∙ √푛 + 4 − √푛 푓 =√4푛 − 9푛 + 3

√푛 + 6 푔 =

푛√푛 − √푛 + 4

ℎ =7 + (−1)

7

푖 =√8푛 − 5푛푛 + 2

푗 = 1 +1푛

푘 = 1 +13푛

푙 = 1 −1푛

푚 = 2+1푛

푝 =12+1푛

푞 =푛 + 6푛 − 1

푟 =2푛 + 62푛 + 1

Megoldás:

lim→

푎 = lim→

2 + (−1) ∙푛 + 4푛

= lim→

2 +1푛∙ (−1) ∙ 1 +

4푛

= 2

lim→

푏 = lim→

3푛 − 4푛 − 82푛 − 푛

= lim→

3 − 4푛 − 8

푛2 − 1

푛= 1,5

lim→

푐 = lim→

1 + 2 + 3 + ⋯푛(5푛 − 2) ∙ (푛 − 3)

= lim→

푛(푛 + 1)2

5푛 − 17푛 + 6= lim

→

12 +

12푛

5 − 17푛 + 6

푛

=110

lim→

푑 = lim→

√푛 + 4 − √푛 = lim→

푛 + 4 − 푛√푛 + 4 + √푛

= lim→

⎝

⎛ 1푛∙

4

1+ 4푛 + 1⎠

⎞ = 0 ∙ 2 = 0

lim→

푒 = lim→

√푛 ∙ √푛 + 4 − √푛 = lim→

4

1 + 4푛 + 1

= 2

28

lim→

푓 = lim→

√4푛 − 9푛 + 3√푛 + 6

= lim→

(4푛 − 9푛 + 3)(푛 + 6)

= lim→

16푛 − 72푛 + ⋯푛 + 30푛 +⋯

=

= √16 = √4

lim→

푔 = lim→

푛√푛 − √푛 + 4

= lim→

푛 ∙ √푛 + √푛 + 4푛 − 푛 − 4

= −∞

lim→

ℎ = lim→

7 + (−1)7

= lim→

7 +−17

= 7

lim→

푖 = lim→

√8푛 − 5푛푛 + 2

= lim→

8푛 − 5푛(푛 + 2)

= lim→

8푛 − 5푛푛 + 6푛 + 12푛 + 8

=

= lim→

1푛∙

8 − 5푛

1 + 6푛 +

12푛 + 8

푛

= 0

lim→

푗 = lim→

1 +1푛

= lim→

1 +1푛

∙ 1 +1푛

⋯ 1+1푛

= 1

lim→

푘 = lim→

1 +13푛

= lim→

1 +푛

= √푒

lim→

푙 = lim→

1 −1푛

= lim→

1 +1푛

∙ 1 −1푛

= 푒 ∙ 푒 = 1

lim→

푚 = lim→

2 +1푛

= lim→

2 ∙ 1 +푛

= +∞

lim→

푝 = lim→

12+1푛

= lim→

12∙ 1 +

2푛

= 0 ∙ 푒 = 0

lim→

푞 = lim→

푛 + 6푛 − 1

= lim→

1 +7

푛 − 1∙ 1 +

7푛 − 1

= 푒

lim→

푟 = lim→

2푛 + 62푛 + 1

= lim→

1 +5

2푛 + 1∙2푛 + 12푛 + 6

= 푒

15. Az x valós paraméter mely értékei mellett lesz konvergens az (푎 ) = (푥 − 4)(푥 − 2) (푛 ∈ ℤ )sorozat?

Megoldás:

A (푞 ) sorozat konvergens, ha −1 < 푞 ≤ +1. Tehát a következő egyenlőtlenségrendszert kell megoldani:

−1 < (푥 − 4)(푥 − 2) ≤ 1.

−1 < 푥 − 6푥 + 8 ≤ 1.

29

I. 푥 − 6푥 + 9 > 0, ha (푥 − 3) > 0, azaz, ha 푥 ≠ 3

II. 푥 − 6푥 + 7 ≤ 0

Az 푥 − 6푥 + 7 = 0 egyenlet megoldásai: 푥 , = ±√ = 3 ± √2. Az egyenlőtlenség

fennáll, ha 3 − √2 ≤ 푥 ≤ 3 + √2.

A sorozat konvergens, ha 푥 ∈ 3 − √2; 3 ∪ 3; 3 + √2 .

16. Az ábrán félkörök rajzolásával egy csigavonal rajzát kezdtük el. Mindegyik körív sugara fele az előzőnek. Az AB szakasz hossza 20 cm.

a) Milyen hosszú az n-edik félkörív? b) Milyen hosszú az első 10 félkörívből álló csigavonal? c) Hány félkörívből álló csigavonal hossza körülbelül 60 cm? d) Hány félkörívből álló csigavonal hossza 100 cm? e) Milyen hosszú lesz a csigavonal, ha az ábra rajzolását nem hagyjuk abba?

Megoldás:

a) A körívek sugarai az 푟 = 10; 푞 = mértani sorozat egymást követő tagjai. Az r sugarú félkör-ív hossza 푟 ∙ 휋, ezért az n-edik félkörív hossza

푖 =102

∙ 휋.

b) A félkörívek hosszai is mértani sorozatot alkotnak; 푖 = 10휋, 푞 = . Az első 10 tag összege:

푆 = 10휋 ∙12 − 1

−12= 20휋 ∙ 1 −

12

≈ 62,77.

Az első 10 félkörből álló csigavonal hossza ≈62,77cm.

c) Megoldandó a

30

20휋 ∙ 1 −12

= 60

egyenlet. -re rendezzük:

12

= 1 −3휋.

Az egyenlet két oldalán álló pozitív számok logaritmusa is egyenlő.

푙푔12

= 푙푔 1 −3휋.

Ebből

푛 ∙ 푙푔12= 푙푔 1 −

3휋,

푛 =푙푔 1 − 3

휋푙푔 12

≈ 4,47.

Tehát körülbelül 4 és fél körívből álló csigavonal hossza 60 cm.

d) n félkörívből álló csigavonal hossza 20휋 ∙ 1 − < 20휋 < 100, ezért a feladatban adott eljárással nem készíthető 100 cm hosszú csigavonal.

e) lim→

20휋 ∙ 1 − = 20휋(≈ 62,83).

Ha 푛 → ∞ , akkor a csigavonal hossza 20휋 -hez tart.

17. Tekintsünk egy egységoldalú négyzetet! Osszuk fel az oldalakkal párhuzamos egyenesek segítségével kilenc egybevágó négyzetre, majd hagyjuk el a középső négyzetet. A megma-radt nyolc négyzettel ismételjük meg az eljárást. Adjuk meg az n-edik lépés után keletkező síkidom kerületét (a határoló szakaszok hosszának összegét) és területét!

31

Megoldás:

Minden lépésben a meglévő terület részét hagyjuk el, így a terület része marad.

Tehát az n-edik lépés után keletkező síkidom területe: 푇 = 푇 = .

Az egymást követő lépésekben kivágásra kerülő négyzetek oldalai: , , , …, számuk: 1, 8, 8 , …

Az első lépés után keletkezett síkidom kerülete 퐾 = 4+ 4 ∙ .

A második lépés után 퐾 = 4+ 4 ∙ + 4 ∙ 8 ∙ ,a következő lépésben

퐾 = 4+ 4 ∙13+ 4 ∙ 8 ∙

13+ 4 ∙ 8 ∙

13

= 4 +43

1 +83+

83

.

Az n-edik lépés után a síkidom kerülete: 퐾 = 4+ 1 + + + +⋯+ .

A mértani sorozat összegképletét alkalmazva:

퐾 = 4 +43∙83 − 153

= 4 ∙ 1 +15∙

83

− 1 .

Megjegyzés:

A területek 푇 sorozata szigorúan monoton csökken, határértéke

lim→

89

= 0,

ugyanakkor a kerületek sorozata szigorúan monoton nő, határértéke

32

lim→

4 ∙ 1 +15∙

83

− 1 = +∞.

IV. Ellenőrző feladatok 1. Egy sorozat hetedik tagja 6, tizenegyedik tagja 96. Adja meg a sorozat 15. és 30. tagját,

valamint az első 15 tag összegét, ha a) a sorozat számtani; b) a sorozat mértani!

2. Egy sorozat első és második tagja 2, valamint a további tagokat az 푎 = 3푎 − 2푎 ,(푛 ∈ ℤ ) képlet határozza meg. Adja meg a sorozat 2013. tagját és az első 2013 tag ösz-szegét!

3. Egy mértani sorozat első négy tagjának az összege 520, az 5., 6., 7. és 8. tag összege 42120. Határozza meg a sorozat első nyolc tagját!

4. Egy mértani sorozat első tagja . Az első négy tag összege eggyel nagyobb, mint a sorozat hányadosa. Adja meg a sorozat hányadosát!

5. Egy rágcsáló kolónia 3000 létszáma havonta 8%-kal nő. Mikor éri el az állatok száma a kritikus 10000 darabot?

6. Adja meg a következő sorozatok határértékét!

a) 1337

5334

23

nnn

nnnan

b) nnn

nnnbn583

273945

235

c) cn = n n n2 6 d) dn=3

5 3 2

2n

n n

7. Az 푎 = sorozat határértéke ! Határozza meg az 휀 = -hoz tartozó küszöbszá-mot!

8. Írja fel két egész szám hányadosaként a 2, 4̇56̇ tizedes törtet!

9. A p paraméter mely értékei mellett lesz konvergens az (푎 ) = (푛 ∈ ℤ )sorozat?

10. Legyen lim→푎 = +∞ és lim

푛→∞푏 = 0. Mi következhet ebből az (푎 ∙ 푏 ) sorozatra? Írjon

példákat!

Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Egy sorozat hetedik tagja 6, tizenegyedik tagja 96. Adja meg a sorozat 15. és 30. tagját,

valamint az első 15 tag összegét, ha a) a sorozat számtani; b) a sorozat mértani!

33

Megoldás:

a) Az 푎 = 푎 + 4푑 összefüggésbe helyettesítve az adatokat, 96 = 6 + 4푑, ahonnan d=22,5. 푎 = 푎 + 8푑 = 186, 푎 = 푎 + 23푑 = 523,5.

푎 = 푎 − 6푑 = −129 ,

푆 = ∙ 15 = 427,5.

b) Az 푎 = 푎 ∙ 푞 összefüggésbe helyettesítve az adatokat, 96 = 6 ∙ 푞 , ahonnan 푞 = 2, illetve 푞 = −2adódik. Tehát két, a feladat feltételeinek megfelelő sorozat van. Mindkét esetben

푎 = 푎 ∙ 푞 =6 ∙ 256 = 1536, valamint 푎 = = .

푞 = 2 esetén 푎 = 푎 ∙ 푞 = 6 ∙ 2 = 3 ∙ 2 ,

푆 =332

∙2 − 1

1= 3071,90625;

푞 = −2 esetén 푎 = 푎 ∙ 푞 = 6 ∙ (−2) = −3 ∙ 2 ,

푆 = 332

∙(−2) − 1

−3=2 + 132

= 1024,03125.

2. Egy sorozat első és második tagja 2, valamint a további tagokat az 푎 = 3푎 − 2푎 ,(푛 ∈ ℤ ) képlet határozza meg. Adja meg a sorozat 2013. tagját és az első 2013 tag ösz-szegét!

Megoldás:

A harmadik tag: 푎 = 6 − 4 = 2, és ezzel együtt (a képzési szabály szerint) a sorozat összes tagja, így 2013. tagja is 2. Az első 2013 tag összege: 2013 ∙ 2 = 4026.

3. Egy mértani sorozat első négy tagjának az összege 520, az 5., 6., 7. és 8. tag összege 42120. Határozza meg a sorozat első nyolc tagját!

Megoldás:

A feltétel szerint

푎 + 푎 ∙ 푞 + 푎 ∙ 푞 + 푎 ∙ 푞 = 520

푎 ∙ 푞 + 푎 ∙ 푞 + 푎 ∙ 푞 + 푎 ∙ 푞 = 42120

A második egyenlet baloldala az első egyenlet baloldalának 푞 − szerese.

Ezért 520 ∙ 푞 = 42120, amiből푞 = 81 , azaz 푞 = ±3.

푞 = 3 esetén 푎 ∙ (1 + 3 + 9 + 27) = 520, amiből 푎 = 13,

푞 = −3 esetén 푎 ∙ (1 − 3 + 9 − 27) = 520, amiből 푎 = −26 adódik.

A sorozatok első 8 tagja:

I. 13, 39 ,117, 351, 1053, 3159, 9477, 28431;

II. -26, 78, -234, 702, -2106, 6318, -18954, 56862.

A két sorozatra a feladat feltételei teljesülnek.

34

4. Egy mértani sorozat első tagja . Az első négy tag összege eggyel nagyobb, mint a sorozat hányadosa. Adja meg a sorozat hányadosát!

Megoldás:

A feltétel szerint (1 + 푞 + 푞 + 푞 ) = 푞 + 1.

A baloldal szorzattá alakítható: (1 + 푞)(1 + 푞 ) = 1 + 푞

Szorozzuk meg az egyenletet 5-tel, rendezzük a baloldalra és alakítsuk szorzattá!

(1 + 푞)(1 + 푞 − 5) = 0

Az egyenletnek három megoldása van: 푞 = −1,푞 = 2és푞 = −2.

Három sorozat felel meg a feltételeknek.

푞 = −1 푞 = 2 푞 = −2

A sorozat első négy tagja 15,−

15,15,−

15

15,25,45,85

15,−

25,45, −

85

Az első négy tag összege 0 = −1 + 1 3 = 2 + 1 −1 = −2 + 1

5. Egy rágcsáló kolónia 3000 létszáma havonta 8%-kal nő. Mikor éri el az állatok száma a

kritikus 10000 darabot?

Megoldás:

Az állatok havonkénti létszáma mértani sorozatot alkot:

푞 = 1,08;푎 = 3000;

n év múlva az egyedszám 푎 = 푎 ∙ 푞 = 10000

10000 = 3000 ∙ 1,08 .

103= 1,08 .

Mivel mindkét oldal pozitív, vehetjük mindkét oldal logaritmusát.

푙푔103= 푙푔1,08 .

Innen azonosság alkalmazása után.

푙푔103= 푛 ∙ 푙푔1,08

푛 =푙푔 103푙푔1,08

≈ 15,64

A 16. hónap folyamán éri el a rágcsálók száma a 10000-et.

6. Adja meg a következő sorozatok határértékét!

35

a) 1337

5334

23

nnn

nnnan

b) nnn

nnnbn583

273945

235

c) cn = n n n2 6 d) dn=3

5 3 2

2n

n n

Megoldás:

lim→

3푛 − 5푛 + 휋 ∙ 푛7푛 + 3푛 − √3푛 + 1

= lim→

3푛7푛

∙1 − 5

3푛 +휋3푛

1 + 37푛 −

√37푛 + 1

7푛

= 0

lim→

9푛 + 3푛 − 7푛 + √2√3푛 − 8푛 + 5푛

= lim→

9푛√3푛

∙1 + 1

3푛 − 79푛 + √2

9푛1 − 8

√3푛+ 5√3푛

= 3√3

lim→

푛 − 6푛 − 푛 = lim→

푛 − 6푛 − 푛√푛 − 6푛 + 푛

= lim→

⎣⎢⎢⎡−6 ∙

⎝

⎛ 1

1 − 6푛 + 1⎠

⎞

⎦⎥⎥⎤= −3

lim→

35 + 3 ∙ 2

= lim→

35

∙9

1 + 3 ∙ 25

= 0

7. Az 푎 = sorozat határértéke ! Határozza meg az 휀 = -hoz tartozó küszöbszá-mot!

Megoldás:

Megoldandó az alábbi egyenlőtlenség:

2푛 − 55푛 − 17

−25<

120.

2푛 − 55푛 − 17

−25=10푛 − 25 − 10푛 + 34

5(5푛 − 17)=

95(5푛 − 17)

−120

<9

5(5푛 − 17)<

120

Ha푛 legalább 4, akkor ez ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel:

180 < 25푛 − 85

푛 >26525

= 10,6.

Az 휀 = -hoz tartozó küszöbszám: 푁 = 10.

8. Írja fel két egész szám hányadosaként a 2, 4̇56̇ tizedes törtet!

Megoldás:

36

2, 4̇56̇ = 2 +45610

+45610

+45610

+⋯ = 2 +45610

1 − 110

= 2 +456999

= 2 +152333

=818333

.

9. A p paraméter mely értékei mellett lesz konvergens az (푎 ) = (푛 ∈ ℤ )sorozat?

Megoldás:

A (푞 ) sorozat konvergens, ha −1 < 푞 ≤ +1. Tehát a következő egyenlőtlenségrendszert kell megoldani:

−1 <푝 + 52푝 − 3

≤ 1.

I. Ha 2푝 − 3 > 0,azaz,ha푝 > ,akkor

−2푝 + 3 < 푝 + 5 ≤ 2푝 − 3.

Innen − < 푝, valamint 8 ≤ 푝. A feltételt is figyelembe véve 8 ≤ 푝.

II. Ha 2푝 − 3 < 0,azaz,ha푝 < ,akkor

−2푝 + 3 > 푝 + 5 ≥ 2푝 − 3.

Innen 푝 < − , valamint 푝 ≤ 8. A feltételt is figyelembe véve 푝 < − .

A sorozat konvergens, ha 푝 ∈] − ∞;− [∪ [8; +∞[.

10. Legyen lim→푎 = +∞ és lim

푛→∞푏 = 0. Mi következhet ebből az (푎 ∙ 푏 ) sorozatra? Írjon

példákat!

Megoldás:

Lehet, hogy az (푎 ∙ 푏 ) sorozat konvergens. Például:

a) 푎 = 5푛, 푏 = esetén lim→

(푎 ∙ 푏 ) = 5

b) 푎 = 푛, 푏 = esetén lim→

(푎 ∙ 푏 ) = 0

Az alábbi esetekben az (푎 ∙ 푏 ) sorozatnak nincs határértéke. A c) és d) esetekben tágabb érte-lemben vett határérték létezik.

c) 푎 = 푛 , 푏 = esetén lim→

(푎 ∙ 푏 ) = +∞

d) 푎 = 푛 , 푏 = − esetén(푎 ∙ 푏 ) = −푛, lim→

(푎 ∙ 푏 ) = −∞

e) 푎 = 푛 , 푏 = ( ) esetén(푎 ∙ 푏 ) = (−1) korlátos,denemkonvergens.

f) 푎 = 푛 , 푏 = ( ) esetén(푎 ∙ 푏 ) = (−1) ∙ 푛nemkorlátos,nemkonvergens.