Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos 1 16. NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos 16.1 Genealogía Numérica 1.1 Concepto de Familia y de Generación Numérica Hay un dicho popular que dice que el ser humano no debe estar solo. Es importante que tenga un origen y una familia que garantice, mediante parentescos, el futuro de su estirpe. En el campo de los números ocurre algo parecido. Los números forman parte de fami- lias, por ejemplo primos o compuesto. Mediante sus formas tienen una continuación a través de las secuencias generadas a partir de estas formas y/o estructuras. Muchas civilizaciones primitivas compartieron diversos aspectos de la numerología que los pitagóricos llevaron al culto más extremo. Estas civilizaciones, como la de los pueblos mesopotámicos, influenciados por los relatos bíblicos, consideraban a los tres primeros núme- ros como símbolos de la creación divina. Para ellos, el número uno es el generador de los números y el número de la razón; el número dos es el primer número par, duplicación del pri- mero, número masculino y de la opinión, y tres es el número femenino y número de la armon- ía por estar compuesto por la unidad y la diversidad. Según estos conceptos, los números, al igual que los seres humanos, se generan a partir del 2 y del 3, (nuestros primeros padres, según la numerología), formando con otros números primos combinaciones que, dependiendo de sus formas o estructuras, dieron lugar a las primeras o segundas generaciones de los núme- ros primos. 1.2 Concepto genealógico de los Números Primos Todo número primo impar , p 3, p ≥ puede ser expresado como suma de dos mitades más uno, así 1 2( ) 1, p q q q = + + = + donde q es el cociente de la división 2, p demuestra su condición de número impar. Si lo denotamos como 1 2, , x t t Z = + ∈ es un número alge- braico que representa el primer cromosoma de cualquier número primo. Todo número primo , p 3, p ≥ puede ser expresado en la forma () () () , , p aq bq r wq r w Z = + + = + ∈ donde q y r son, respectivamente, el cociente y re- sto de la división , pw y , ab la descomposición de w en su forma par e impar, esto es ( 1) , w a a a b = + + = + que es la suma de dos números consecutivos, por tanto () () () p aq bq r wq r = + + = + representado por el algebraico , y r wt = + es el segundo cromosoma de p respecto a . w Entonces, 1 () () () p q q aq bq r wq r = + + = + + = + forman parte del número impar primo, al igual que los números algebraicos 1 2 x t = + e . y r wt = + Como los números algebraicos 1 2 x t = + e y r wt = + son equivalentes pero inde- pendientes, ya que (2, ) 1, mcd w = al igual que puede ser (1, ) 1, mcd r = utilizando el Teorema Chino de Restos podemos determinar que 2 z u wt = + es el único número algebraico que representa al número primo p y, por tanto, su . ADN Ejemplo: Calcular x e y del número 19 para la 5ª generación. El número 19 puede ser expresado como 19 1 2( ) 1 2(9) 1 q q q = + + = + = +
30
Embed
16. NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativoshojamat.es/parra/geneprimos.pdf · NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos 16.1 Genealogía Numérica 1.1 Concepto
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
1
16. NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
16.1 Genealogía Numérica
1.1 Concepto de Familia y de Generación Numérica
Hay un dicho popular que dice que el ser humano no debe estar solo. Es importante que tenga un origen y una familia que garantice, mediante parentescos, el futuro de su estirpe. En el campo de los números ocurre algo parecido. Los números forman parte de fami-lias, por ejemplo primos o compuesto. Mediante sus formas tienen una continuación a través de las secuencias generadas a partir de estas formas y/o estructuras. Muchas civilizaciones primitivas compartieron diversos aspectos de la numerología que los pitagóricos llevaron al culto más extremo. Estas civilizaciones, como la de los pueblos mesopotámicos, influenciados por los relatos bíblicos, consideraban a los tres primeros núme-ros como símbolos de la creación divina. Para ellos, el número uno es el generador de los números y el número de la razón; el número dos es el primer número par, duplicación del pri-mero, número masculino y de la opinión, y tres es el número femenino y número de la armon-ía por estar compuesto por la unidad y la diversidad. Según estos conceptos, los números, al igual que los seres humanos, se generan a partir del 2 y del 3, (nuestros primeros padres, según la numerología), formando con otros números primos combinaciones que, dependiendo de sus formas o estructuras, dieron lugar a las primeras o segundas generaciones de los núme-ros primos.
1.2 Concepto genealógico de los Números Primos
Todo número primo impar ,p 3,p ≥ puede ser expresado como suma de dos mitades
más uno, así 1 2( ) 1,p q q q= + + = + donde q es el cociente de la división 2,p demuestra
su condición de número impar. Si lo denotamos como 1 2 , ,x t t Z= + ∈ es un número alge-
braico que representa el primer cromosoma de cualquier número primo.
Todo número primo ,p 3,p ≥ puede ser expresado en la forma
( ) ( ) ( ) , ,p a q b q r w q r w Z= + + = + ∈ donde q y r son, respectivamente, el cociente y re-
sto de la división ,p w y ,a b la descomposición de w en su forma par e impar, esto es
( 1) ,w a a a b= + + = + que es la suma de dos números consecutivos, por tanto
( ) ( ) ( )p a q b q r w q r= + + = + representado por el algebraico ,y r wt= + es el segundo
cromosoma de p respecto a .w
Entonces, 1 ( ) ( ) ( )p q q a q b q r w q r= + + = + + = + forman parte del número impar
primo, al igual que los números algebraicos 1 2x t= + e .y r wt= +
Como los números algebraicos 1 2x t= + e y r wt= + son equivalentes pero inde-
pendientes, ya que (2, ) 1,mcd w = al igual que puede ser (1, ) 1,mcd r = utilizando el Teorema
Chino de Restos podemos determinar que 2z u wt= + es el único número algebraico que
representa al número primo p y, por tanto, su .ADN
Ejemplo: Calcular x e y del número 19 para la 5ª generación.
El número 19 puede ser expresado como
19 1 2( ) 1 2(9) 1q q q= + + = + = +
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
En este caso, los algebraicos 1 2x t= + e 4 5y t= + tienen coeficientes independien-
tes distintos, por lo que, mediante la utilización del Teorema Chino de Restos, obtenemos
1 2 4( .5) 2 ( .5) ( .5), u mód u mód u mód u Z+ ≡ → ≡ 3 → ≡ 4 ∈
y así
1 2(4 5 ) 9 10 9 10z t t z t= + + = + → = +
Claramente podemos observar que 9 10z t= + es una solución de 4 5 ,y t= + por lo
que ambos son equivalentes. De este número algebraico podemos generar la familia de números que serán antece-sores y predecesores del 19, así
9 10 : 19,29,59,79,89,109,139,149,179,199,229,239,269,349,359,...z t= + publicados en la secuencia https://oeis.org/A030433, son primos que tienen la particularidad de que si se dividen por 2 dan como resto 1 y si se dividen por 5 dan como resto 4. Sin embar-
go, cada uno de ellos tiene su propia personalidad, así unos son de la forma 4 1k + y otros de
la forma 4 3.k + 1.3 Concepto de generación numérica
El concepto de generación de los números impares primos tendrá tantas ramificacio-
nes como números tenga el sistema de resto de 2 ,z u wt= + ya que u recorre todo el sis-
tema { }1,3,5, ,2 1 ,w−… respecto a 2 .w Así, en el supuesto de que 7,w = como el sistema
completo de restos es { }1,3,5, ,14 1 ,−… los valores que tomaría ,y serían
1 14 , z 3 14 , 5 14 , 9 14 , 11 14 , 13 14z t t z t z t z t z t= + = + = + = + = + = +
y las representaciones de cada familia
1 14 : 29,43,71,113,127,197,211,239,281,337,379,421,449,...z t= + ver https://oeis.org/A042967
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
3
3 14 : 3,17,31,59,73,101,157,199,227,241,269,283,311,353,367,...z t= + ver https://oeis.org/A045437
5 14 : 5,19,47,61,89,103,131,173,229,257,271,313,383,397,439,...z t= + ver https://oeis.org/A045458
9 14 : 23,37,79,107,149,163,191,233,317,331,359,373,401,443,... z t= + ver https://oeis.org/A045392
11 14 : 11,53,67,109,137,151,179,193,263,277,347,389,431,487,... z t= + ver https://oeis.org/A045471
13 14 : 13,41,83,97,139,167,181,223,251,293,307,349,419,433,461,... z t= + ver https://oeis.org/A045473
números, por otra parte que pueden pertenecer a otras familias, pero no con estos anteceso-res y predecesores.
1.4 Metodología y análisis
En el ejemplo del apartado anterior hemos empleado un método numérico para de-
terminar los distintos datos del supuesto. El cálculo de 1 2x t= + no plantea dificultades pero el de ,y r wt= + no sólo puede plantear dificultades sino que puede aportar formas distintas
de solución. Antes de seguir adelante, vamos a presentar el funcionamiento de una herramienta que nos será muy útil en nuestro trabajo. Si a un número le sumamos y restamos otro número dado menor que él y calculamos la diferencia entre el mayor y el menor, el resultado es el doble del número dado.
Sean m y q dos números enteros cualquieras, con .m q> Si a la suma de ( )m q+ le
restamos la diferencia de ( ),m q− resulta ( ) ( ) 2 .m q m q q+ − − = En el caso resuelto anteriormente, si
31 3 1 4 1 1 7 3k k k= + + + + = + solución coincidente con la obtenida anteriormente. Queda demostrado que el número 31 no es divisible ni por 2 ni por 7, pero genera dos
números con estructuras distintas. Esto nos obliga a buscar un número de la forma 14z r t= + a partir de los números encontrados anteriormente, esto es
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
5
El número 3 14z t= + tiene el mismo coeficiente independiente que 3 7 ,y t= + lo
que demuestra que el primero es un valor paramétrico del segundo. Dando valores a ,t bus-
camos números primos que tengan la característica de que si se dividen por 2 o 7, dan como restos 1 o 3, respectivamente. Veamos algunas representaciones:
t → 0 1 4 8 10 14 22 28 ...
3 7z t= + 3 17 31 59 73 101 157 199 ...
Aquí damos una secuencia más amplia de los primos relacionados con la familia del número 31.
3 14 : 3,17,31,59,73,101,157,199,227,241,269,283,311,353,367,...z t= + ver https://oeis.org/A045437
La demostración de que tienen representación como funciones multiplicativas aditivas la encontramos en que
(7 3) (3 ) (4 ) 3, 4f q f q f q q+ = + + =
(7 3) (3 1) (4 1) 1, 4f q f q f q q+ = + + + + =
El número 73 se puede expresar como
73 36 36 1 2(36) 1 2 1k= + + = + = +
El número 36, mitad del par de 73, genera los valores de 3q = y 2 6.k q= =
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
6
1 2(3 11 ) 7 22 7 22z t t z t= + + = + → = +
Este número es una representación paramétrica de 7 11 ,y t= + cuando 2.t =
La familia a la que pertenece el número 73 tiene la particularidad de que si sus miem-bros se dividen por 2 o por 11, dan como resto el 1 o el 7, respectivamente. Veamos algunas representaciones:
t → 0 2 6 12 20 24 26 30 32 ...
7 11y t= + 7 29 73 139 227 271 293 337 359 ...
Aquí damos una secuencia más amplia de los primos relacionados con la familia del número 73.
7 22 : 7,29,73,139,227,271,293,337,359,491,557,601,...z t= + ver https://oeis.org/A141854
1.5 Primera generación de números y grupos familiares
Si asumimos que todo número primo impar tiene como cromosomas 1 2x t= + e
,y r wt= + y que estos generan el algebraico 2 ,z u wt= + al que llamaremos ADN, estare-
mos en disposición de determinar cuáles son las primeras generaciones de primos y los grupos familiares que tiene cada una de estas generaciones.
1.5.1 Primera generación con ADN igual a 2z r t= + y un grupo familiar.
Supongamos que no existe el cromosoma y r wt= + y si existe, es de la forma
0 ,y t= + entonces 1 2z t= + por tanto, un solo grupo familiar al que pertenecerían los pri-
meros números primos:
1 2 :z t= + 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,... que están representados por la secuencia https://oeis.org/A006005 y se conocen como núme-ros primos "seguros" debido a su relación con los primos fuertes. Son importantes en la cripto-grafía debido a su uso en técnicas basadas en el logaritmo discreto como intercambio de claves
Diffie-Hellman. Si 2 1p+ es un primo seguro, el grupo multiplicativo de los números
(2 1)módulo p+ tiene un subgrupo de orden primo grande.
1.5.2 Segunda generación con ADN igual a 4z r t= + y tres grupos familiares.
Si el cromosoma 1 2y t= + es igual al cromosoma 1 2 ,x t= + entonces el ADN es igual
a 4 ,z r t= + donde { }1,2,3 es un grupo que recorre todo el sistema completo de restos res-
pecto a 4 .t El cromosoma 1 4z t= + genera un primer grupo familiar al que pertenecen los siguientes números primos:
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
7
que recoge la secuencia https://oeis.org/A002144 y se conocen como primos pitagóricos o en-teros de Gauss, ya que pueden ser representados como suma de dos cuadrados y forman par-
te del anillo [ ].Z i
El segundo grupo familiar corresponde al ADN 2 4 ,z t= + pero como
(2,4) 2 1,mcd = ≠ este se genera a partir de 1 2 ,z t= + equivalente a la primera generación
de números primos, estudiada en el apartado anterior.
El tercer grupo familiar corresponde al ADN 3 4 ,z t= + y a él corresponden los si-
guientes números primos:
3 4 :z t= + 3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83,103,107,127,131,139,... que están representados por la secuencia https://oeis.org/A002145 y se conocen como primos de Gauss, ya que no pueden ser representados como suma de dos cuadrados.
1.5.3 Tercera generación con ADN igual a 6z r t= + y cinco grupos familiares.
El primer grupo familiar correspondiente a esta tercera generación es 1 6z t= + y al él corresponden los siguientes números primos:
El segundo grupo familiar corresponde al ADN 2 6 ,z t= + pero como
(2,6) 2 1,mcd = ≠ los números primos se generan a partir de 1 3 :z t= +
1 3 :z t= + 7,13,19,31,37,43,61,67,73,79,97,103,109,127,139,151,157,163,... que como pueden comprobar, es análoga al primer grupo familiar, ya que son equivalentes los
dos algebraicos 1 6z t= + y 1 3 .z t= + Estos primos están recogidos en la secuencia https://oeis.org/A002476.
El tercer grupo familiar es 3 6 ,z t= + equivalente a 1 2z t= + que corresponde al
grupo familiar de la primera generación, ya estudiada.
El cuarto grupo familiar es 4 6 ,z t= + equivalente a 2 3z t= + al que pertenecen los
siguientes números primos:
2 3 :z t= + 2,5,11,17,23,29,41,47,53,59,71,83,89,101,107,113,131,137,149,... El quinto grupo familiar respecto a esta tercera generación le corresponde como ADN
5 6 ,z t= + y estos son los números que les pertenecen:
5 6 :z t= + 2,5,11,17, 23,29,41,47,53,59,71,83,89,101,107,113,131,137,149,... que son equivalentes a los del grupo cuarto. Estos números están recogidos en la secuencia https://oeis.org/A003627.
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
8
1.6 En la quinta generación, calcular el grupo familiar al que pertenece el 67.
La quinta generación tiene como ADN 10z r t= + y nueve grupos familiares.
El número 5 se representa como suma de dos números consecutivos, así 5 2 3,= + de
donde
67 33 33 1 2( ) 3( ) 5( ) , 13 2q q r q r con q y r= + + = + + = + = =
esto nos lleva a los números algebraicos 1 2x t= + e 2 5 .y t= +
Dado que los coeficientes independientes son distintos, utilizando el Teorema Chino de Restos, obtenemos
1 2 2( .5) 2 ( .5) ( .5)u mód u mód u mód+ ≡ → ≡1 → ≡ 3
de donde el valor de z vendrá determinado por
1 2(3 5 ) 7 10z t t= + + = +
luego, el número 67 pertenece al séptimo grupo familiar de la quinta generación, al que perte-necen los siguientes números primos:
7 10 :z t= + 7,17,37,47,67,97,107,127,137,157,167,197,227,257,277,307,... que tiene su representación en la secuencia https://oeis.org/A030432. La función multiplicativa de este grupo familiar, viene dada por:
(10 7) (2 ) (3 ) 2, 6 13f t f q f q con t y q+ = + + = = El resto de grupos familiares de la quinta generación, son:
Los grupos 1º y 2º son equivalentes y tienen su representación en la secuencia https://oeis.org/A030430. Los grupos 3º y 6º son equivalentes y tienen su representación en la secuencia https://oeis.org/A030431.
Los grupos 4º y 7º son equivalentes y tienen su representación en la secuencia https://oeis.org/A030432.
El grupo 5º tiene su representación en la secuencia https://oeis.org/A000040. Los grupos 8º y 9º son equivalentes y tienen su representación en la secuencia
https://oeis.org/A030433.
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
9
1.7 Calcular las generaciones y los grupos familiares a los que pertenece el 89.
Si tenemos en cuenta que la raíz cuadrada de 89 está comprendida entre
2 210 89 9 ,> > tenemos
89 1 4( ) 5( ) 9( ) , 9 8q q q q r q r con q y r= + + = + + = + = =
de donde 8 9 .y t= +
Si 1 2x t= + es el cromosoma masculino y universal e y r wt= + el femenino, en
nuestro caso 8 9 ,y t= + mediante la utilización del Teorema Chino de Restos unificamos los
dos algebraicos 1 2 8( .9) 2 ( .9) 8( .9)u mód u mód u mód+ ≡ → ≡ 7 → ≡ y, por tanto
1 2(8 9 ) 17 18 17 18z t t z t= + + = + → = + es el ADN del número 89.
El 89 está implicado en nueve generaciones de números. Para conocer los grupos fami-
liares o identitarios, partimos de 1 2x t= + y calculamos ,y r wt= + esto nos va a permitir
conocer el ADN 2 ,z g wt= + donde g será el grupo familiar.
El proceso es lento pero eficaz:
1ª generación: 89( .1) 0, 0 , 1 2mód y t z t= → = + → = +
2ª generación: 89( .2) 1, 1 2 , 1 4mód y t z t= → = + → = +
3ª generación: 89( .3) 2, 2 3 , 5 6mód y t z t= → = + → = +
4ª generación: 89( .4) 1, 1 4 , 1 8mód y t z t= → = + → = +
5ª generación: 89( .5) 4, 4 5 , 9 10mód y t z t= → = + → = +
6ª generación: 89( .6) 5, 5 6 , 5 12mód y t z t= → = + → = +
7ª generación: 89( .7) 5, 5 7 , 5 14mód y t z t= → = + → = +
8ª generación: 89( .8) 1, 1 8 , 9 16mód y t z t= → = + → = +
9ª generación: 89( .9) 8, 8 9 , 17 18mód y t z t= → = + → = +
Veamos las representaciones secuenciales:
1 2 :z t= + 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,83,89,... no tiene registrada secuencia.
Sean , y m a b tres números enteros cualesquiera donde m ab= con a b< y
( , ) 1 ( ) ( ),mcd a b a s b t= = ± + ± , .s t Z∈
Sean ,i j los restos de ( . )x i mód a≡ e ( . ),y i mód b≡ donde ( , ) 1mcd x a = y el
( , ) 1.mcd y b =
Si los valores de x e y pueden ser representados por los algebraicos x i at= + e
,y j bt= + ,t Z∈ aplicando el Teorema Chino de Restos, éstos generan otro algebraico de la
forma z r abt z r mt= + → = + que tiene como solución ( ) ( ) ( . ).z a s i b t j mód m≡ ± + ±
Ejemplo: Generar un grupo multiplicativo a partir del número 67.
Como 2 29 67 8 ,> > tomamos 8 9 72,m a b= ⋅ = ⋅ = (8,9) 1 8( 1) 9(1)mcd = = − + y
(67,72) 1,mcd = que representamos como 67 72 , .z t t Z= + ∈ Este algebraico es equivalen-
te a
67( .8) 3 8x mód x t≡ → = + e 67( .9) 4 9y mód y t≡ → = +
por tanto
67 8( 1)4( .72) 9(1)3( .72) 40 37mód mód= − + = +
que tiene representación multiplicativa como
(67) (40) (37)f f f= +
Por ejemplo, para 53 72 ,z t= + como
5 853 72
8 9
x tz t
y t
= += + → = +
podemos establecer que
53 8( 1)8( .72) 9(1)5( .72) 8 45mód mód= − + = +
que tiene representación multiplicativa como
(53) (8) (45)f f f= +
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
11
En definitiva, la representación de la función multiplicativa aditiva viene determinada por
( ) ( ) ( )f z f x f y= +
2.2 Concepto de Grupo Multiplicativo Permutable
Referente al supuestos anterior, si partimos de 67 72z t= + y su desdoblamiento en
3 8x t= + e 4 9 ,y t= + planteamos
8( 1)(4 9 ) 32 72 40 72 40( .72)x t t t mód= − + ≡ − − ≡ + ≡
9(1)(3 8 ) 27 72 27( .72)y t t mód= + ≡ + ≡
y, por tanto
(47 72 ) 47( .72 ) 40( .72) 27( .72)z t mód t mód mód= + ≡ = +
con solución para cualquier valor de .t La representación multiplicativa vendrá determinada por
(47( .72)) (40( .72)) (27( .72))f mód f mód f mód= +
En el caso de que 53 72 ,z t= + si 5 8x t= + e 8 9 ,y t= + tenemos
8( 1)(8 9 ) 64 72 8( .72)x t t mód= − + ≡ − − ≡
9(1)(5 8 ) 45 72 45( .72)y t t mód= + ≡ + ≡
53 72 53( .72) 8 45( .72)z t mód mód= + ≡ = +
con solución para cualquier valor de .t La representación multiplicativa, resulta
(53( .72)) (8( .72)) (45( .72))f mód f mód f mód= +
En definitiva, un grupo multiplicativo permutable puede ser expresado como
( )( . ) ( )( )( . ) ( )( )( . ), z r mt mód m a s j bt mód m b t i at mód m t Z= + = ± + + ± + ∈
2.3 Construcción de Grupos Multiplicativos .
Supongamos que partimos del número algebraico 7 20 , ,z t t Z= + ∈ donde el coefi-
ciente dependiente de t es compuesto. Así 20 4 5,m ab= = = ⋅ 3 4x i at t= + = + e
2 5 .y j bt t= + = + Como (4,5) 1 4( 1) 5(1),mcd = = − + buscamos todas las parejas { },i j
correspondientes a ,p (20, ) 1, .mcd p p P= ∈ Estos números deben estar comprendidos en-
tre .m p b> >
La tabla siguiente recoge las parejas { },i j que son coprimos con ,a b y 20.m=
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
12
i/j 1 2 3 4
1 17 13 9
3 11 7 19
De los 6 números que son coprimos con 4,5 y 20, hay 5 que son primos, a saber:
7,11,13,17 y 19 Algunos valores de ,z son
4( 1)2 5 3 12 15 7( .20)z mód= − + ⋅ ≡ + ≡
4( 1)3 5 1 5 13( .20)z mód= − + ⋅ ≡ 8 + ≡
4( 1)4 5 3 4 15 19( .20)z mód= − + ⋅ ≡ + ≡ ´
Y algunos valores permutables:
Para 4( 1)(2 5 ) 8 20 12( .20)x t t mód≡ − + ≡ − − ≡
Para 5(1)(3 4 ) 15 20 15( .20)y t t mód≡ + ≡ + ≡
Para 7( .20) 12( .20) 15( .20)z mód x mód y mód≡ = ≡ + ≡
por lo que
(7( .20)) (12( .20)) (15( .20))f mód f mód f mód= +
Si tenemos en cuenta que 20 ,z p t= + donde p es cada uno de los elementos del
grupo multiplicativo 20,m= { }7,11,13,17 y 19 ,cada uno de ellos puede generar una familia
de números primos, por ejemplo:
7 20 :z t= + 7,47,67,107,127,167,227,307,347,367,467,487,547,587,607,... están representados por la secuencia https://oeis.org/A141882
11 20 :z t= + 11,31,71,131,151,191,211,251,271,311,331,431,491,571,631,... están representados por la secuencia https://oeis.org/A141884
13 20 :z t= + 13,53,73,113,173,193,233,293,313,353,373,433,593,613,653,... están representados por la secuencia https://oeis.org/A141885
17 20 :z t= + 17,37,97,137,157,197,257,277,317,337,397,457,557,577,617,... están representados por la secuencia https://oeis.org/A141886
19 20 :z t= + 19,59,79,139,179,199,239,359,379,419,439,479,499,599,619,... están representados por la secuencia https://oeis.org/A141887 Todas estas secuencias fueron publicadas por N.J.A. Sloane en 2008. Neil James Alexander Sloane, es profesor de la Universidad de Melbourne y uno de los creadores y actual presidente de OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequence). Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Neil_Sloane
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
13
2.4 A partir de 11 40z t= + construir un grupo multiplicativo.
La tabla siguiente recoge las parejas { },i j que son coprimos con 40, esm=
i/j 1 3 5 7
1 11 21 31
2 17 27 37
3 33 13 23
4 19 29 39
De los 12 números que son coprimos con 5,8 y 40, hay 8 que son primos, a saber:
11,13,17,19,23,29,31 y 37
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
14
Mediante el algebraico 40 ,z p t= + para p { }11,13,17,19,23,29,31 y 37 , encon-
tramos las siguientes familias de números primos:
11 40 :z t= + 11,131,211,251,331,491,571,691,811,971,1051,1091,1171,1291,... ver https://oeis.org/A142187
13 40 :z t= + 13,53,173,293,373,613,653,733,773,853,1013,1093,1213,1373,... ver https://oeis.org/A142188.
17 40 :z t= + 17,97,137,257,337,457,577,617,857,937,977,1097,1217,1297,... ver https://oeis.org/A142189.
19 40 :z t= + 19,59,139,179,379,419,499,619,659,739,859,1019,1259,1459,... ver https://oeis.org/A142190.
23 40 :z t= + 23,103,223,263,383,463,503,743,823,863,983,1063,1103,1223,... ver https://oeis.org/A142192.
29 40 :z t= + 29,109,149,229,269,349,389,509,709,829,1069,1109,1229, 1429,... ver https://oeis.org/A142194.
31 40 :z t= + 31,71,151,191,271,311,431,631,751,911,991,1031,1151,1231,... ver https://oeis.org/A142195.
37 40 :z t= + 37,157, 197,277,317,397,557,677,757,797,877,997,1117,1237,... ver https://oeis.org/A142197. Todas estas secuencias fueron publicadas por N.J.A. Sloane en 2008.
2.5 A partir de 13 72z t= + construir en grupo multiplicativo.
El algebraico 13 72z t= + genera 5 8x t= + e 4 9 ,y t= + donde 72 8 9m ab= = = ⋅
y (8,9) 1 8( 1) 9(1).mcd = = − +
La tabla siguiente recoge las parejas { },i j que son coprimos con 72.m=
i/j 1 2 4 5 7 8
1 65 49 41 25 17
3 19 11 67 59 43 35
5 37 29 13 61 53
7 55 47 31 23 71
De los 21 números que son coprimos con 8,9 y 72, hay 16 que son primos, a saber:
11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71
Algunos valores de ,z son
13( .72)z mód≡ 8(−1)4 + 9⋅5 ≡ 40 + 45 ≡
37( .72)z mód≡ 8(−1)1+ 9⋅5 ≡ 64 + 45 ≡
61( .72)z mód≡ 8(−1)7 + 9⋅5 ≡16 + 45 ≡
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
15
Todos estos resultados tienen su representación como funciones multiplicativas aditi-vas.
Como en el algebraico 72 ,z r t= + r recorre el sistema completo de restos respecto
a 72, { }1,3,5,...,72 1 ,− se generan familias de números primos cuando r toma alguno de
los siguientes valores: 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71. Así, para
Ninguna de estas familias de números primos encuentra respuesta en el registro de secuencias OEIS.
2.6 Calcular, si lo tiene, el grupo multiplicativo para 28.m =
El valor de m ab= se puede expresar como 28 2 14 4 7.m = = ⋅ = ⋅ En el caso de
28 2 14,= ⋅ como el (2,14) 2 1,mcd = ≠ no existe grupo multiplicativo. En cuanto a
28 4 7,= ⋅ como el (4,7) 1 4(2) 7( 1),mcd = = + − se puede generar grupo multiplicativo con
elementos p que sean coprimos con 4,7 y 28, esto es (28, ) 1.mcd p = Dichos elementos
estarán comprendidos entre ,m p b> > según la siguiente tabla:
i/j 1 2 3 4 5 6
1 9 17 25 5 13
3 15 23 11 19 27
Hay 10 números que son coprimos con 4,7 y 28, de los que 6 son primos:
5,11,13,17,19 y 23
Dando valores a r en 28 ,z r t= + obtenemos las siguientes familias de primos:
5 28 :z t= + 5,61,89,173,229,257,313,397,509,593,677,733,761,929,1013,1069,... ver https://oeis.org/A141967
9 28 :z t= + 37,149,233,317,373,401,457,541,569,653,709,821,877,1129,1213,... ver https://oeis.org/A141968
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
16
11 28 :z t= + 11,67,151,179,263,347,431,487,571,599,683,739,823,907,991,... ver https://oeis.org/A141969
13 28 :z t= + 13,41,97,181,293,349,433,461,601,769,797,853,881,937,1021,... ver https://oeis.org/A141970
15 28 :z t= + 43,71,127,211,239,379,463,491,547,631,659,743,827,883,911,... ver https://oeis.org/A141971
17 28 :z t= + 17,73,101,157,241,269,353,409,521,577,661,773,829,857,941,... ver https://oeis.org/A141972
19 28 :z t= + 19,47,103,131,271,383,439,467,523,607,691,719,859,887,971,... ver https://oeis.org/A141973
23 28 :z t= + 23,79,107,163,191,331,359,443,499,751,863,919,947,1031,1087,... ver https://oeis.org/A141974
25 28 :z t= + 53,109,137,193,277,389,557,613,641,809,977,1033,1061,1117,... ver https://oeis.org/A141975
27 28 :z t= + 83,139,167,223,251,307,419,503,587,643,727,811,839,1063,1091,... ver https://oeis.org/A141976 Todas estas secuencias fueron publicadas por N.J.A. Sloane en 2008.
Para 11 28 ,z t= + 3 4x t= + e 4 7 ,y t= + calculamos el grupo multiplicativo de la
13 31 7(24 31 ) 217 168 ( .31)y t t t mód= + = + ≡ + ≡ 13
28 31 (15 31 ) (13 31 ) 28( .31)z t t t mód= + = + + + ≡
y la multiplicativa (28 31 ) ((15 31 )( .31)) ((13 31 )( .31)).f t f t mód f t mód+ = + + + Aquí se generan las siguientes secuencias de números primos:
15 31 :x t= + 139, 263,449,821,883,1069,1193,1627,1999,2309,2371,2557,... registrada como https://oeis.org/A142019.
28 31 :z t= + 59,307,431,617,1051,1237,1361,1423,1609,1733,2477,2539,2663,... registrada como https://oeis.org/A142032. El número 31, en función de 13, podemos representarlo como:
31 6( ) 7( ) 13( ) 5, 2 5 13q q r q con q z t= + + = + = → = +
Como 5 13z t= + genera una familia de números primos, tales que:
5 13 :z t= + 5,31,83,109,239,317,421,499,577,733,811,863,941,967,1019,1097,... registrada como https://oeis.org/A102732, en cuya secuencia se encuentra el número 31, po-
secuencia registrada como https://oeis.org/A141859.
3.6 Resolver 2 25 13 1 ( .17 ).x x mód+ + ≡ 0
La ecuación 5�� + 13� + 1 ≡ 0(ó�. 17�) tendrá solución si y sólo si la tiene:
5�� + 13� + 1 ≡ 0(ó�. 17) Para 5�� + 13� + 1 ≡ 0(ó�. 17) las soluciones son:
�� = 3 + 17� y �� = 8 + 17�
Los valores de estas raíces, para la ecuación y su derivada, son:
(3)2( )
(8)
855 13 1
425x
ff x x
f
== + + =
y (3)
( )(8)
´ 43´ 10 13
´ 93x
ff x
f
== + =
Aplicando estos valores a la ecuación 1( ) ( ) 0( . ),nf x f x p t mód p′+ ⋅ ⋅ ª resulta:
285 43 17 0( .17 )t mód+ ⋅ ª
que dividido por 17 obtenemos 5 43 0( .17).t mód+ ª
Despejando t, 7( .17)t módª resulta para :x
23 17(7 17 ) 122 17x t t= + + = + Ahora
2425 93 17 0( .17 )t mód+ ⋅ ª
que divido por 17, 25 93 0( .17).t mód+ ª
Despejando t, 16( .17).t módª Luego para x resulta:
= + + = +28 17(16 17 ) 280 17x t t
Las soluciones a la ecuación propuesta, son
2122,280( .17 )x módª
ver http://hojamat.es/parra/cuadraticas.pdf.
Para 25 13 1 .17)x x mód+ + ≡ 0( equivalente a 25 13 .17),x x mód+ ≡16( los valores
de las variables, son:
23 17 5(3 17 ) 11( .17)x t t mód= + = + ≡
3 17 13(3 17 ) ( .17)y t t mód= + = + ≡ 5
16 17 11 5 16( .17)z t mód= + = + ≡
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
23
por lo que la función multiplicativa viene determinada por
(16( .17)) (11( .17)) (5( .17))f mód f mód f mód= +
Para 2 25 13 1 .17 )x x mód+ + ≡ 0( equivalente a 2 25 13 .17 ),x x mód+ ≡ 288( los va-
lores de las variables, son:
2 2 2 2280 17 5(3 17 ) 116( .17 )x t t mód= + = + ≡ 2 2 2280 17 13(280 17 ) ( .17 )y t t mód= + = + ≡172 2 2288 17 116 172 288( .17 )z t mód= + = + ≡
por lo que la función multiplicativa viene determinada por
2 2 2(288( .17 )) (116( .17 )) (172( .17 ))f mód f mód f mód= +
16.4. Grupos Multivariables Modulares
4.1 Transformación de una cuadrática multivariable
Sea una ecuación monovariable cuadrática 2 ,ax bx c+ = que tiene solución. Sea una
ecuación multivariable 2 .ax by c+ = Estas dos ecuaciones serán equivalentes si, y sólo si, c es
resto cuadrático de 2ax respecto al .módulo b ver http://hojamat.es/parra/cuadraticas.pdf.
4.2 Resolver 26 7 ( .13).x y mód+ ≡ 3
La solución sobre el anillo 13Z o modular, es la siguiente:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12( .13)
.13)
x mód
y mód
≡≡ 6,7,10, 2,9,5,3,3,5,9,2,10,7(
Generalmente los valores de la variable x recorren todo el sistema completo de restos respecto al módulo 13. Los valores de y se obtienen por sustitución. Por ejemplo, para la pa-
reja 3 13x t= + e 2 13 ,y t= + planteamos:
26 3 7 54 7 7 3( .13) 7 1( .13) ( .13)y y y mód y mód y mód⋅ + ≡ + ≡ 2 + ≡ → ≡ → ≡ 2
Para los valores de las variables:
23 13 6(3 13 2( .13))x t dt mó= + = ≡+
2 13 7(2 13 ) 1( .13)y t t mód= + = + ≡ 23 13 6(3 13 ) 7(2 13 ) 3( .13)z t t t mód= + = + + + ≡1+ 2 ≡
En general, la función multiplicativa vendrá determinada por:
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
24
2(3 13 ) (6(3 13 ) ( .13)) (7(2 13 )( .13))f t f t mód f t mód+ = + + +
La solución algebraica de la función multivariable 26 7 3x y+ = resultan
1 22 7 , 5 7x t x t= + = + e 2 21 23 24 42 , 4 60 42y t t y t t= + + = + +
ver http://hojamat.es/parra/raizprim.pdf. Para los valores de las variables:
de donde la función multiplicativa viene determinada por
(11( 17)) (4( .17)) (7( .17))f mód f mód f mód= +
Para 1 4 9x t= + e 21 13 64 72 ,y t t= + + tenemos:
24 9 8(4 9 ) 2( .9)x t t mód= + = + ≡
2 213 64 72 9(13 64 72 0( .9)y t t t t mód= + + = + + ) ≡
11 9 2 0 2( .9)z t mód= + = + ≡
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
25
y la función multiplicativa la expresamos como
(2( .9)) (2( .9)) (0( .9))f mód f mód f mód= +
4.4 Resolver 27 10 ( .31).x y mód+ ≡ 438
El sistema planteado es equivalente a 27 10 4( .31),x y mód+ ≡ que tendrá solución
algebraica si y sólo si, 4 es resto cuadrático respecto al módulo 10. Y es cierto, ya que dicho
sistema viene determinado por el grupo {1,4,9,6,5,6,9,4,1}, donde uno de los elementos es
el 4. La solución algebraica es, por tanto:
1 2 10x t= + e 21 41 28 70y t t= + +
2 8 10x t= + e 22 1 112 70y t t= + +
Los valores de las variables son:
22 10 7(2 10 ) ( .10)x t t mód= + = + ≡ 8 2 241 28 70 10(41 28 70 0( .0)y t t t t mód= + + = + + ) ≡
438 10 8 0 ( .10)z t mód= + = + ≡ 8
y la función multiplicativa:
(8( .10)) (8( .10)) (0( .10))f mód f mód f mód= +
Observen que el valor de y se produce por sustitución, por tanto su valor modular es
cero, ya que es producto del propio módulo. En cuanto a la solución modular, si tenemos en cuenta que los valores de x recorren todo el sistema completo de restos respectos al módulo 31, obtendremos 31 soluciones pro-
bables. Por ejemplo, la última 30 31x t= + e 9 31y t= + nos proporciona:
230 31 7(30 31 ) 7( .31)x t t mód= + = + ≡
9 31 10(9 31 ) ( .31)y t t mód= + = + ≡ 28
438 31 7 28 ( .31)z t mód= + = + ≡ 4
y la función multiplicativa:
(4( .31)) (7( .31)) (28( .31))f mód f mód f mód= +
4.5 Resolver 25 17 ( .77).x y mód+ ≡ 31
Este sistema tendrá solución si y sólo si lo tiene con los módulos 7 y 11. Y dado que la tiene en ambos casos, el sistema tiene 76 soluciones para ,x que recorren todo el sistema
completo de restos respecto al módulo 77, esto es { }0,1,2,3,...,73,74,75,77 1 .−
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
26
Para 23 77x t= + e 41 77 ,y t= + obtenemos los siguientes valores de las variables:
223 77 5(23 77 ) ( .77)x t t mód= + = + ≡ 27
41 77 17(41 77 ) ( .77)y t t mód= + = + ≡ 4
31 77 27 4 ( .77)z t mód= + = + ≡ 31
y la función multiplicativa:
(31( .77)) (27( .77)) (4( .77))f mód f mód f mód= +
Si tenemos en cuenta que 23 77x t= + es equivalente a 1 22 7 , 1 11x t x t= + = + e
41 77y t= + es equivalente a 1 26 7 , 8 11 ,y t y t= + = + tenemos:
223 7 5(2 7 ) ( .7)x t t mód= + = + ≡ 6
41 7 17(6 7 ) ( .7)y t t mód= + = + ≡ 4
31 7 6 4 ( .7)z t mód= + = + ≡ 3
y la función multiplicativa:
(3( .7)) (6( .7)) (4( .7))f mód f mód f mód= +
Dejamos en manos del lector la búsqueda de nuevas soluciones en los distintos niveles de este sistema multivariable.
16.5. Grupos Multidimensionales Modulares 5.1 Transformación de una cuadrática multidimensional
Sea una ecuación monovariable cuadrática 2 ,ax bx c+ = que tiene solución. Sea una
ecuación multivariable 2 .ax by c+ = Estas dos ecuaciones serán equivalentes si, y sólo si, c es
resto cuadrático de 2ax respecto al .módulo b
Supongamos 2 5 2,x x+ = que tiene como solución 25 5 4 2 5 33
,2 2
x− ± + ⋅ − ±= =
dos raíces reales. La ecuación 2 5 2x y+ = tendrá solución si, y sólo si, 2 es resto cuadrático
respecto al módulo 5. Por el Criterio de Euler ( 1)/2 1( . ),pa mód p− ª aplicado a nuestro caso (5 1)/22 3 1( .5),mód− ª T 2 no es resto cuadrático respecto al módulo 5 y, por tanto, los siste-
mas no son equivalentes ni transformables.
5.2 A partir de la ecuación 25 11 3x x+ = crear, si es posible, un sistema multidimensional.
La solución a 25 11 3 0x x+ − = es 211 11 4 5( 3) 11 181
,2 5 10
x− ± − ⋅ − − ±= =
⋅ dos raíces
reales.
Para 25 11 3 0,x x+ − = como (11 1)/23 1( .11),mód− ª la ecuación es transformable en el
sistema multivariable 25 11 3.x y+ =
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
27
Para la ecuación 25 11 3.x x+ = Transformamos a una modular 25 11 ( .11)x x mód+ ª3
que simplificada podemos escribir como 2 5( .11).x módª Esta ecuación tiene dos soluciones,
1 24 11 7 11 .x t y x t= + = + Por otra parte, la función Euler (11) 11 1 10,ϕ = − = soluciones que
modifican los exponentes y que escribimos como 1 22 10 e 1 10 .e s y s= + = + Por todo lo ex-
puesto, la ecuación 25 11 3( .11)x x mód+ ª se transforma en un sistema con infinitas solucio-
nes mediante la modificación de los parámetros e y t que podemos escribir como:
1 2 1 1
2 2
4 11 2 10( ) 5 11 ( .11)
7 11 1 10e e x t e s
f x x x módx t e s
= + = + = + = + = +
ª3
Para la ecuación 25 11 3.x x+ = Transformamos en 25 11x y+ =3, una ecuación multi-
variable. Despejamos x en función de y:
Sea 25 11x y+ =3 que escribimos como 25 .11).x módª3( Simplificada resulta 2 .11)x módª5( que sabemos tiene como solución 1 24 11 7 11 .x t y x t= + = +
Despejamos y en función de x:
En la ecuación 25 11 ,x y+ =3 sustituyendo los valores de ,x obtenemos 25(4 11 ) 11t y+ + =3 y 25(7 11 ) 11 .t y+ + =3 Ahora, despejamos y en cada una de las ecuacio-
nes:
2 22
1
3 5(4 11 ) 3 5(16 88 121 )7 40 55
11 11
t t ty t t
− + + − + + += = = + +
2 22
2
3 5(7 11 ) 3 5(49 154 121 )22 70 55
11 11
t t ty t t
− + + − + + += = = + +
Por la función Euler sabemos que (11) 11 1 10,ϕ = − = con 1 22 10 e 1 10 ,e s y s= + = +
por tanto, la ecuación 25 11x y+ =3 puede ser transformada en el siguiente sistema multidi-
mensional:
1 2
21 11
22 22
4 11 2 10 7 40 55( , ) 5 11 ( .11)
7 11 1 1022 70 55e e x t e sy t t
f x y x y módx t e sy t t
= + = += + + = + = + = += + +
ª3
Las soluciones paramétricas de las variables para este sistema podemos representarlas como:
2 2( , ) 5(4 11 ) 11( (7 40 5 )) 35f x y t t t= + − + + =+ 2 2( , ) 5(7 11 ) 11( (22 70 5)) 35f x y t t t= + + + + =−
que serán tantas como valores se le asignen a .t Las soluciones paramétricas exponenciales podemos representarlas como:
1 2( , ) 5 11 ( .11) e ef x y x y mód= + ª 3
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
28
que serán tantas como valores se le asignen a 1e y a 2,e indistintamente. Por ejemplo, el sis-
tema 22 315 11 ( .11) x y mód+ ª3 es equivalente a 25 11 ( .11).x y mód+ ª3 En ambos casos la
solución es 1 24 11 7 11x t y x t= + = + para .x
5.3 A partir de la ecuación
24 17 12 0,x y+ + = crear, si es posible, un sistema multidimen-
sional sobre el anillo 23.ℤ
La ecuación 24 17 12 0x y+ + = es equivalente a 24 17 11( .23)x y mód+ ≡ sobre el
anillo 23.ℤ
La solución de esta ecuación no plantea ningún tipo de dificultad, ya que los valores de x serán todos aquellos que conformen el sistema completo de restos, desde el 0 hasta el 22. En cuanto a los valores de ,y en función de los de x se pueden obtener fácilmente.
Supongamos que 13 23x t= + e 15 23y t= + es una de las soluciones del sistema. Los
valores de las variables vendrán determinados por:
213 23 4(13 23 ) ( .23)x t t mód= + = + ≡ 9
15 23 17(15 23 ) ( .23)y t t mód= + = + ≡ 2
11 23 9 2 ( .23)z t mód= + = + ≡11
y la función multiplicativa:
(11( .23)) (9( .23)) (2( .23))f mód f mód f mód= +
Por la función Euler (23) 23 1 22,ϕ = − = se modifican los exponentes de x e ,y res-
pectivamente, en 1 22 22 e 1 22 .e s y s= + = + Por tanto, la función multidimensional generada
podemos representarla como :
1 2 1
2
2 2213 23( , ) 4 17 ( .23)
1 2215 23e e e sx t
f x y x y móde sy t
= += + = + = += +
ª11
así, 46 674 17 11( .23)x y mód+ ≡ tiene las mismas soluciones que 24 17 11( .23).x y mód+ ≡
4613 23 4(13 23 ) ( .23)x t t mód= + = + ≡ 9 6715 23 17(15 23 ) ( .23)y t t mód= + = + ≡ 2
11 23 9 2 ( .23)z t mód= + = + ≡11
5.4 A partir de la ecuación
66 336 7 13x y+ = crear, si es posible, un sistema multidimensio-
nal sobre el anillo 51.ℤ
La función de Euler ( )(51) 51 (2 3)(16 17) 32ϕ = = por lo que los exponentes de x e
y vendrán determinados por 1 22 32 e 1 32 ,e s y s= + = + respectivamente. Así, los exponentes
indicados se forman como 1 22 32 2 66 e 1 32 1 33.e y= + ⋅ = = + ⋅ =
Una de las muchas soluciones es 37 51x t= + e 16 51y t= + que generan los siguien-
tes valores para las variables:
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
29
6637 51 6(37 51 ) ( .51)x t t mód= + = + ≡ 3 3316 51 7(16 51 ) ( .51)y t t mód= + = + ≡10
13 51 2 10 ( .51)z t mód= + = + ≡13
Pero el módulo se factoriza como 51 3 17,= ⋅ luego la solución anterior podemos es-
cribirla como 1 3 , 3 17x t x t= + = + e 1 3 , 16 17 .y t y t= + = +
Calculamos los valores de las variables:
23 17 6(3 17 ) ( .17)x t t mód= + = + ≡ 3
16 17 7(16 17 ) ( .17)y t t mód= + = + ≡ 10
13 17 3 10 ( .17)z t mód= + = + ≡ 13
En este caso, los exponentes parametrizados serían 1 22 16 e 1 16 .e s y s= + = +
5.5 A partir de la ecuación
3 211 12 19x y+ = crear, si es posible, un sistema multidimen-
sional sobre el anillo 223.ℤ
Escribimos la ecuación como 3 2 211 12 19( .23 )x y mód+ ≡ y tomamos la última solu-
ción que resulta ser 2523 23x t= + e 2288 23 .y t= + Ahora calculamos los valores de las va-
riables:
2 2 3 2523 23 11(523 23 ) 269( .23 )x t t mód= + = + ≡ 2 2 2 2288 23 12(288 23 ) 279( .23 )y t t mód= + = + ≡
2 219 23 269 279 19( .23 )z t mód= + = + ≡
que genera la siguiente función multiplicativa:
2 2 2(19( .23 )) (269( .23 )) (279( .23 ))f mód f mód f mód= +
Por la función de Euler 2(23 ) 23(23 1) 506,ϕ = − = lo que nos permite paremetrizar
los exponentes como 1 23 506 e 2 506e s y s= + = + y obtener los sistemas multidimensionales:
1 2 1
2
3 2217 23( , ) 11 12 ( .23)
2 2212 23e e e sx t
f x y x y móde sy t
= += + = + = += +
ª19
1 2
212
22
3 506523 23( , ) 11 12 ( .23 )
2 506288 23e e e sx t
f x y x y móde sy t
= + = += + = += +
ª19
Dejamos en manos del lector buscar algunas de las muchas soluciones que plantean estos sistemas.
Rafael Parra Machío NÚMEROS PRIMOS: Genealogía y Grupos Multiplicativos
30
BIBLIOGRAFÍA AIGNER y ZIEGLER, El Libro de las Demostraciones, ISBN: 84-95599-95-3 ALACA and KENNETH, Introductory Algebraic Number Theory, ISBN: 0-521-54011-9 APOSTOL, Tom M., Introducción a la Teoría Analítica de Números, ISBN: 84-291-5006-4 AYRES, Frank Jr., Álgebra Moderna, ISBN: 968-422-917-8 BOLKER, Ethan D., Elementary Number Theory, ISBN: 0-486-45807-5 COHN, Harvey, Advanced Number Theory, ISBN: 0-486-64023-X KOSHY, Thomas, Elementary Number Theory with Applications, ISBN: 978-0-12-372487-8 LANG, Serge, Algebraic Number Theory, ISBN: 0-387-94225-4 NATHANSON, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory, ISBN: 0-387-98912-9 PHILLIPS, BUTTS y SHAUGHNESSY, Álgebra con Aplicaciones, ISBN: 968-6034-93-5 STOPPLE, Jeffrey, A Primer of Analytic Number Theory, ISBN: 0-521-01253-8 TATTERSALL, James T., Elementary Number Theory in Nine Chapters, ISBN: 0-521-61524-0 ZALDÍVAR, Felipe, Introducción a la Teoría de Grupos, ISBN: 968-36-3591-1
AYUDA INTERNET http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_reciprocidad_cuadr%C3%A1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Residuo_cuadr%C3%A1tico http://Hojamat.es http://lombok.demon.co.uk/mathToolkit/group/multiplicative (Orden multiplicativo de un grupo) http://mathworld.wolfram.com/ (Todo el saber sobre Matemáticas (en inglés)) http://maxima.programas-gratis.net/ (Programa de Matemáticas gratis, que puedes descargar e instalar)
http://www.akiti.ca/Mathfxns.html (Solución de ecuaciones) http://www.branchingnature.org/Teoria_Grupos_Anillos_Dario_Sanchez_2004.pdf (Trabajo del profesor José Darío Sánchez Hernández, que recomendamos) http://www.numbertheory.org/php/php.html#quadratic_residues (Programa teoría de números)