1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— (Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải hệ phương trình: 1 1 9 2 1 5 2 x y x y xy xy b) Giải và biện luận phương trình: | 3| | 2| 5 x px (p là tham số có giá trị thực). Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực ,, abc đôi một phân biệt. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c b c c a a b Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 1 4 4 1 A x x và 2 2 2 2 1 x B x x Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2 3 A B C là một số nguyên. Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh: a) KM // AB. b) QD = QC. Câu 5: (1,0 điểm). Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh ..................................................................... SBD ....................... ĐỀ CHÍNH THỨC
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề có 01 trang)
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
1 1 9
2
1 5
2
x yx y
xyxy
b) Giải và biện luận phương trình: | 3 | | 2 | 5x p x (p là tham số có giá trị thực).
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho ba số thực , ,a b c đôi một phân biệt.
Chứng minh 2 2 2
2 2 22
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2
1
4 4 1A
x x
và
2
2 2
2 1
xB
x x
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2
3
A BC
là một số nguyên.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh:
a) KM // AB.
b) QD = QC.
Câu 5: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4.
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh ..................................................................... SBD .......................
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho lớp chuyên Toán.
————————— Câu 1 (3,0 điểm). a) 1,75 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện 0xy 0,25
Hệ đã cho 2
2[ ( ) ( )] 9 (1)
2( ) 5 2 0 (2)
xy x y x y xy
xy xy
0,25
Giải PT(2) ta được: 2 (3)
1(4)
2
xy
xy
0,50
Từ (1)&(3) có:
1
23
2 2
1
x
yx y
xy x
y
0,25
Từ (1)&(4) có:
1
13
22
1 1
2 2
1
x
yx y
xy x
y
0,25
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y 0,25
b) 1,25 điểm: Nội dung trình bày Điể
m Xét 3 trường hợp: TH1. Nếu 2 x thì PT trở thành: ( 1) 2( 1)p x p (1)
TH2. Nếu 3 2x thì PT trở thành: (1 ) 2(1 )p x p (2)
TH3. Nếu 3x thì PT trở thành: ( 1) 2( 4)p x p (3)
0,25
Nếu 1p thì (1) có nghiệm 2x ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn: 2( 4)
3 1 11
px p
p
. 0,25
Nếu 1p thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2 x ; (2) vô nghiệm; (3) vô
nghiệm. 0,25
Nếu 1p thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 3 2x ; (1) có nghiệm x=2;
(3)VN 0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 2( 4)
1
px
p
0,25
3
+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x ¡ + Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm 3 2x
+ Nếu 1
1
p
p
thì phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 2 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điể
m + Phát hiện và chứng minh
1( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ca ab
a b a c b a b c c a c b
1,0
+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng: 2
2 2( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c bc ca ab
b c c a a b a b a c b c b a c a c b
0,5
Câu 3 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điể
m Điều kiện xác định: x 1 (do x nguyên). 0,25
Dễ thấy 1 2( 1)
;| 2 1| | 1|
xA B
x x
, suy ra:
2 1 1
3 | 2 1| | 1|
xC
x x
0,25
Nếu 1x . Khi đó 2 1 4( 1) 4( 1) 1 2
1 0 1 1 03 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)
x x xC C
x x x x
Suy ra 0 1C , hay C không thể là số nguyên với 1x . 0,5
Nếu 1
12
x . Khi đó: 0x (vì x nguyên) và 0C . Vậy 0x là một giá trị cần
tìm. 0,25
Nếu 1
2x . Khi đó 1x (do x nguyên). Ta có:
2 1 4( 1)1 0
3 2 1 3(2 1)
xC
x x
và
4( 1) 2 11 1 0
3(2 1) 3(2 1)
x xC
x x
, suy ra
1 0C hay 0C và 1x . Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: 0, 1x x .
0,25
Câu 4 (3,0 điểm): a) 2,0 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Gọi I là trung điểm AB, ,E IK CD R IM CD . Xét hai tam
giác KIB và KED có: · ·ABD BDC
0,25
KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25 · ·IKB EKD 0,25 Suy ra KIB KED IK KE . 0,25 Chứng minh tương tự có: MIA MRC 0,25 Suy ra: MI = MR 0,25
Trong tam giác IER có IK = KE và MI = 0,25
A I B
K M
D E H R C
Q
4
MR nên KM là đường trung bình KM // CD Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm)
0,25
b) 1,0 điểm: Nội dung trình bày Điể
m Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD IK//AD hay IE//AD chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25
Có: QK AD (gt), IE//AD (CM trên) QK IE . Tương tự có QM IR 0,25
Từ trên có: IK=KE, QK IE QK là trung trực ứng với cạnh IE của IER . Tương
tự QM là trung trực thứ hai của IER 0,25
Hạ QH CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER hay Q nằm trên trung trực
của đoạn CD Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm). 0,25
Câu 5 (1,0 điểm): Nội dung trình bày Điể
m
A'
B'
C'
A
B C
P
P'
Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó 1S .
0.25
Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ). Khi đó
' ' ' 4 4A B C ABCS S . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' 'A B C .
0.25
Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác ' ' ',A B C chẳng hạn như trên
hình vẽ . Khi đó ; ;d P AB d C AB , suy ra PAB CABS S , mâu thuẫn với giả thiết tam
giác ABC có diện tích lớn nhất.
0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4.
0.25
5
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm : 01 trang
Bài 1. (2,0 điểm) :
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 1 1
2( )( 1) 1k k k k
b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 88
2 453 2 4 3 2010 2009 L
Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x: 2 ( 1) 6 0x m x (1) (m là tham số)
a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x 1 2
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm 1 2, x x sao cho biểu thức:
2 21 2( 9)( 4)A x x đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3. (2,0 điểm):
a. Giải hệ phương trình sau : 2 2
3 3
3
9
x y xy
x y
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 3 2 32 3 2x x x y
Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm
C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng o120 , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.
========= Hết =========
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……………………………….…………………..Số báo danh:……………. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN
®Ò chÝnh thøc
6
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:
1 1 12( )
( 1) 1k k k k
b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 88
2 453 2 4 3 2010 2009 L
Bđt 1 2 k 1 2 k
(k 1) k k. k 1
0.25
2k 1 2 k(k 1) 0 0.25
2( k 1 k) 0
Luôn đúng với mọi k nguyên dương.
0.25
a.
(1.0đ)
1 1 12( )
( 1) 1
k k k k 0.25
Áp dụng kết quả câu a ta có:
1 1 1 1VT
2 1 3 2 4 3 2010 2009 L
0.25
1 1 1 1 1 12 2 2
1 2 2 3 2009 2010
L 0.25
12 1
2010
0.25
Bài 1.
(2điểm)
b.
(1.0đ)
1 882 1 VP
45 45
(đpcm)
0.25
Cho phương trình ẩn x: 2 ( 1) 6 0x m x (1) (m là
tham số)
c. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x 1 2
d. Tìm m để (1) có 2 nghiệm 1 2,x x sao cho biểu thức: 2 21 2( 9)( 4)A x x max
Bài 2 (2.5 điểm)
a. (1,5đ)
Pt (1) có nghiệm x 1 2 2
1 2 1 1 2 6 0 m 0.5
7
Tìm được 5 2 6m và KL. 1.0
Tính 2
1 24 0 m m suy ra pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
1 2,x x . 0.5
2 2
1 2 1 26 2 3A x x x x
Theo ĐL Vi-et ta có 1 2 6x x 2
1 22 3 0A x x 0.25
b. (1,0đ)
Max A = 0 khi và chỉ khi
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
2 3 0 3 3
6 2 2
1 0 2
x x x x
x x x x
x x m m m
KL : Vậy m = 0 ; m = 2 là các giá trị cần tìm.
0.25
a. Giải hệ phương trình sau :
2 2
3 3
3
9
x y xy
x y
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 3 2 32 3 2x x x y
Hệ phương trình đã cho 2 2
22 2
3 3
( ) 3 3( )( ) 9
x yx y xy
x y xyx y x y xy
0.5
a (1.0đ)
3 1
2 2
x y x
xy y
hoặc
2
1
x
y
0.5
Ta có 2
3 3 2 3 72 3 2 2 0
4 8y x x x x x y
(1)
0.25
2
3 3 2 9 15( 2) 4 9 6 2 0 2
4 16x y x x x y x
(2)
0.25
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25
Bài 3 (2 điểm)
b (1.0đ)
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x = 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0)
0.25
8
Bài 4. (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
c. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.
d. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
K
H
N
O
I
J
BA
D C
M
MNB MBC ( Cùng chắn cung BM)
MND MDC ( Cùng chắn cung DM)
90BND MNB MND MBC MDC o
Do đó 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn
1.5
a. 2.0đ
Suy ra NC là phân giác của góc BND ( do cung BC = cung BD)
Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác của góc BND
Nên M, N, C thẳng hàng.
0.5
b. 1.0đ
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD
NHOK là hình chữ nhật
Ta có : . . . 2NA NC NH AC NH a
. . . 2NB ND NK BD NK a
Suy ra
2 2 42 2 2 2. . . 2 . . 2 . .
2 2
NH NK aNA NB NC ND a NH NK a a NO
0.5
9
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2
aNH NK
(2 2)
2
aOM
0.5
Cho góc xOy bằng o120 , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.
z
x
A
O
B C
Bài 5. (0.5 điểm)
Chỉ ra đường thẳng 1d đi qua A và vuông góc với OA thỏa mãn
bài toán
Đặt OA = a > 1 (a nguyên). Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1 nguyên dương. Đường thẳng 2d đi qua A, B cắt tia Oy tại
C.
Chứng minh được 1 1 1
OB OC OA
1 1 1
( 1)1
OC a aa OC a
là số nguyên
dương Suy ra 2d là một đường thẳng cần tìm.
Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được
đường thẳng 3d
Chứng minh 1 2 3, ,d d d phân biệt. ĐPCM
0.5
Hướng dẫn chung 1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu. Yêu cầu học sinh phải trình bầy,
lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán mới cho điểm.( không cho điểm hình vẽ )
3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
4. Chấm điểm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm tròn).
===========================
10
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG
NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm )
Cho 3
4 2 3 3
5 2 17 5 38 2x
tính
20092 1P x x
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 ) và x2 - b2 x + bc = 0 (2 ) biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm
3 4;x x thoả mãn điều kiện 3 1 4 2 1x x x x . xác định b và c
Bài 3 : ( 2 điểm )
1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng 1 1 1
9a b ca b c
2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 . Chứng ming rằng
2 2 2
1 2009670
a b c ab bc ca
Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC
1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng
3. Chứng minh MP NQ PQ OM
a b c OC
Bài 5 : ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1 2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên
sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không
Lời giải Bài 1 :
333
3
4 2 3 3 3 1 3
5 2 17 5 38 2 5 2 (17 5 38) 2
1 11
1 217 5 38 17 5 38 2
x
vậy P = 1 Bài 2 : vì 3 1 4 2 1x x x x => 3 1 4 21; 1x x x x
11
Theo hệ thức Vi ét ta có
1 2
1 2
21 2
1 2
(1)
. (2)
1 1 (3)
1 . 1 (4)
x x b
x x c
x x b
x x bc
Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 b = 1 ; b = -2 từ ( 4 ) => 1 2 1 2. 1x x x x bc => c - b + 1 = bc ( 5 )
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 1
1 4 04
c c
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 2
vậy b= 1; c 1
4c ;
b = -2 ; c = -1 Bài 3 : 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
3a b c abc 3
1 1 1 13
a b c abc
=> 1 1 1
9a b ca b c
dấu “=” sảy ra a = b = c
2. ta có
2
2 2 2 33
a b cab bc ca a b c ab bc ca
2007669
ab bc ca
Áp dụng câu 1 ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 12 2 2 9a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
=>
22 2 2
1 1 91
a b c ab bc ca a b c
vậy 2 2 2
1 2009670
a b c ab bc ca
. dấu “=” sảy ra a = b = c = 1
Bài 4 : a) ta có
· · · µ µ
·µ
µ µ · ·
0
1
2
180 1
2 2
BOP BAO ABO A B
CPNC A B
BOP PNC
=> tứ giác BOPN nội tiếp +) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> · · 090AQO AMO
tứ giác BOPN nội tiếp => · · 090BPO BNO
=> · · 090AQB APB => tứ giác AQPB nội tiếp
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
12
=> · · µ ·1
2EQB EBQ B QBC => QE //BC
Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC Q; E; F thẳng hàng
c)
~ ( )
~ ( )
~ ( )
MP OM OPMOP COB g g
a OC OB
NQ ON OMNOQ COA g g
b OC OC
PQ OP OMPOQ BOA g g
c OB OC
OM MP NQ PQ MP NQ PQ
OC a b c A B C
Bài 5 : 1) 3x - y3 = 1
23 1 1x y y y => tồn tại m; n sao cho 2
1 3 3 1
1 3 9 3.3 3 3
m m
n m m n
y y
y y
m b x m b x
+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0
+) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3
19 3.3 3 9 3 9
m m n
m m nn
M M
M M
=> 9 3.3 3 3 3 3 3 0m m m m => m = 1 => y = 2 ; x = 2
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 ) 2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T
Së gi¸o dôc-®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT chuyªn
Hµ nam N¨m häc 2009-2010 M«n thi : to¸n(®Ò chuyªn)
13
®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1.(2,5 ®iÓm)
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:2
1 12
3 2 2x x x
2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
17
12
xx y
x
x y
Bµi 2.(2,0 ®iÓm)
Cho ph¬ng tr×nh: 6 3 2 0x x m
a) T×m m ®Ó x = 7 48 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x=x1; x=x2 tho¶ m·n:
1 2
1 2
24
3
x x
x x
Bµi 3.(2,0 ®iÓm)
1) Cho ph¬ng tr×nh: 22 2 2 6 6 52 0x m x m ( víi m lµ tham sè, x lµ Èn sè). T×m
gi¸ trÞ cña m lµ sè nguyªn ®Ó phwowng tr×nh cã nghiÖm lµ sè h÷u tû.
b) Chøng minh 5 ®iÓm A, M, I, K, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn. c) Gäi T lµ giao ®iÓm cña BI víi AC, chøng minh: KT.BN=KB.ET. d) Gäi Bt lµ tia cña ®êng th¼ng BC vµ chøa ®iÓm C. Khi 2 ®iÓm A, B vµ tia Bt
cè ®Þnh; ®iÓm C chuyÓn ®éng trªn tia Bt vµ tho¶ m·n gi¶ thiÕt, chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng NE t¬ng øng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän vµ c¸c ®iÓm A, B, C lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M, N, P trªn NP, MP, MN. Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AC, AB lÇn lît lÊy D, E sao cho
DE song song víi NP. Trªn tia AB lÊy ®iÓm K sao cho · ·DMK NMP . Chøng minh r»ng:
· · 0B 'BC B 'BA' 180 (3);Tõ (1), (2), (3) · · B'BA B'BA ' 0.25 Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng nhau A'B' B'A Ta cã B'A B'C B 'A' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C kh«ng ®æi v× B’, A, C cè ®Þnh). DÊu “=” x¶y ra khi B trïng víi B’. 0.25
Hoµn toµn t¬ng tù nÕu gäi D’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung ¼ADC th× ta còng cã AD’ + CD’ AD + CD. DÊu “=” x¶y ra khi D trïng víi D’. Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt khi B, D lµ c¸c ®iÓm chÝnh gi÷a c¸c
cung »AC cña ®êng trßn (O) 0.25
Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm theo c¸ch kh¸c, lêi gi¶i ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
P = 49/16 víi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊy cña P lµ 49/16
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn Toán – Vòng 1 (Dùng cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
27
x 5 2 2 5 5 250
3 3y
3 1 3 1
x x y yA x y
x xy y
Câu 2: (2,5 điểm) Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:
1 2
1 1 7
x x 4
Câu 3: (1,0 điểm) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi
dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước. Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN2. c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5
23x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7
B 8x 18yx y
Đáp án: Câu 1: x = 10; y = 3 A = x – y = 7 Bài 2: a) Với m = 2 thì x1 = 0; x2 = 2/3. b) m = -6. Bài 3: ĐS: Vận tốc ca nô: 12 km/h Vận tốc dòng nước: 3 km/h
28
Bài 4:
a, b). c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn). Bài 5:
6 7B 8x 18y
x y
2 2 4 58x 18y 8 12 23 43
x y x y
Dấu bằng xảy ra khi 1 1
x;y ;2 3
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi 1 1
x;y ;2 3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm)
Đề chính thức
29
1. Cho số x ( x R ; x > 0 ) thoả mãn điều kiện : 22
1x + = 7
x. Tính giá trị các biểu
thức : A = 3
3 1x +
x và B = 5
5
1x +
x.
2. Giải hệ phương trình:
1 1 + 2 - 2
yx
1 1 + 2 - 2
xy
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:
1 20 x x 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2
2
2a - 3ab + bQ =
2a - ab + ac.
Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 1
x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z2
.
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK BN.
2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại
E. Chứng minh rằng 2 2 - 2 DE < 1 . Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh rằng:
P 3 . -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh: ……………………..
Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
2 2 0x ax a .
Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC).
Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh
BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 3a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2009-2010 Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phút Bài 1(1.5điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
1 2a b c
b c c a a b< + + <
+ + +
Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình 1 1 1
0x m x n x p
+ + =- - -
có
hai nghiệm phân biệt. Bài 3(2điểm)
Với số tự nhiên n, 3n ³ .Đặt ( ) ( ) ( )( )
1 1 1...
3 1 2 5 2 3 2 1 1nS
n n n= + + +
+ + + + +
Chúng minhSn<1
2
Bài 4(3điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D. a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC b.Tính độ dài AD theo a,b,c Bài 5(1.5điểm)
Chứng minh rằng :( )2
12
3 2
m
n n- ³
+ Với mọi số nguyên m,n.
34
c
ba
D
O
C
E
BA
**********************************************
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10
TRƯỜNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2009 Bài 1: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b
Nên ta có 2a a a a
b c a b c a b c
+< =
+ + + + +
Mặt khác a a
b c a b c>
+ + +
Vậy ta có 2
(1)a a a
a b c c b a b c< <
+ + + + +
Tương tự 2
(2);b b b
a b c c a a b c< <
+ + + + +
2(3)
c c a
a b c b a a b c< <
+ + + + +
Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh. Bài 2: ĐK: , ,x m n p¹ PT đã cho Û (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0
Û 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) Ta có Δ' 2( ) 3( )m n p mn mp np= + + - + + = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np
= m2+n2+p2 –mn-mp-np =1
2[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0
Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ¹ 0 = >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1) Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 3
Và · ·AEC DBA= ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên ΔBAD ΔEAC
. . (1)BA AE
AB AC AE ADAD AC
Þ = Þ =
Ta có · · · ·(§èi ®Ønh) vµ CADADC BDC DBE= =
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên ΔACD ΔBDE
35
. .AD DB
AD DE DB DChayDC DE
Þ = Þ =
AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
4b)Theo tính chất đường phân giác ta cóDC
hay b
DC DB DB DC DB a
AC AB c b c b c
+= = = =
+ +
vậy ( )
2
2. . .
DC DB a a a bcDB DC
b c b c b c b c= Þ =
+ + +
theo câu a ta có AD2 = AB.AC – DB.DC = ( ) ( )
2 2
2 21
a bc abc bc
b c b c
æ ö÷ç ÷ç- = - ÷ç ÷ç ÷÷ç+ +è ø
( )
2
21
aAD bc
b c
æ ö÷ç ÷çÞ = - ÷ç ÷ç ÷÷ç +è ø
Bài 5:
Vì m
lµ sè h÷u tØ vµ 2lµ sè v« tØ nªn 2n
m
n¹
Ta xet hai trường hợp:
a) 2 2 2 2 22 Khi ®ã m 2 2 1 hay m 2n 1m
n m nn
> > Þ ³ + ³ +
Từ đó suy ra :
( )
2 2
2 22
2 2
12 2
2 1 1 1 12 2 2 2
1 1 3 22 2 2 2
m n nn n n n
nn n
+ -+
- ³ - = + - = = ³æ ö +÷ç ÷+ + + +ç ÷ç ÷÷çè ø
b) 2 2 2 2 22 Khi ®ã m 2 2 1 hay m 2n 1m
n m nn
< < Þ £ - £ -
Từ đó suy ra :
( )
2 2
2
2
22
2
12 2
2 1 12 2 2 2 2
12 2
1 1
1 3 22 2
m m n nn n n n
n
nn
n
- +-
- = - ³ - = - - =
+ -
= ³æ ö +÷ç ÷ç + - ÷ç ÷÷çè ø
************************************************ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) *****
36
Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số . a) Giải phương trình với a = 1. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2. Câu 2.(4,0 điểm)
a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3 .
b) Giải hệ phương trình: 2
x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1
.
Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6.
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
3 3 3abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z) .
b) Từ đó suy ra : 3 33 3 33 3 3 3 2 3
Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng SABCD AC
4 (MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.
=HẾT= Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….…………………… SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN ***
KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010 MÔN : TOÁN (Hệ số 2)
------- ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang
I- Hướng dẫn chung:
37
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số. II- Đáp án và thang điểm:
CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu 1a.
(2,0đ) Ta có phương trình : 4 3 2x + ax +x +ax + 1 = 0 (1)
Khi a =1 , (1) 4 3 2x +x +x +x+1= 0 (2)
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.
Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2
2
1 1x + + x + +1= 0
x x (3).
Đặt 1 1 1
t = x+ t x+ x + 2x x x và 2 2
2
1x + t -2
x .
Phương trình (3) viết lại là : 2t + t - 1 = 0
Giải (3) ta được hai nghiệm 1
1 5t
2
và 2
1 5t
2
đều không
thỏa điều kiện |t| 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vô nghiệm.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu1b. (2,0đ)
Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho
x2 ta có phương trình : 2
2
1 1x + +a x + +1= 0
x x
.
Đặt 1
t = x +x
, phương trình sẽ là : t2 + at - 1 = 0 (4).
Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| 2. Từ
(4) suy ra 21- t
at
.
Từ đó : 2 2
2
2
(1 - t )a >2 2
t 2 2t (t - 4) 1 0 (5)
Vì |t| 2 nên t2 >0 và t2 – 4 0 , do vậy (5) đúng, suy ra a2 > 2.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 2a. (2,0đ)
x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)
Điều kiện : x+3 0
-3 x 66-x 0
.
Đặt : 2 2x + 3
, , 0 9.v = 6 - x
uu v u v
Phương trình đã có trở thành hệ :
2 2 2u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9
u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv
0,50
0,50
38
Suy ra : (3+uv)2-2uv = 9 uv = 0 u = 0
uv = -4 v = 0
x+3 = 0 x = -3
x = 66-x = 0
.
Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.
0,50
0,50
Câu 2b.
(2,0đ)
Ta có hệ phương trình :
2 2
x+y+z=1 x+y = 1-z
2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1
2 2
x + y = 1 - z
2xy = z - 2z + 1 = (1- z)
22xy = (x + y)
2 2x + y = 0 x = y = 0 z = 1 .
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1).
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 3. (3,0đ)
Ta có : 3x2 + 6y2 + 2z2 +3y2z2 -18x = 6 (1) 2 2 2 2 23(x-3) + 6y + 2z + 3y z 33 (2)
Suy ra : z2 M 3 và 2z2 33
Hay |z| 3. Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3. a) z = 0 , (2) (x-3)2 + 2y2 = 11 (3) Từ (3) suy ra 2y2 11 |y| 2. Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn. Với |y| = 1, từ (3) suy ra x { 0 ; 6}. b) |z| = 3, (2) (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4) Từ (4) 11y2 5 y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn. Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).
Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh.
0,50
0,50
Câu4b. (1,0đ)
Áp dụng BĐT (1) với 3 3a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1
Ta có : abc = 3 + 3 3 , xyz = 3- 3 3 , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó : 3 33 3 3 33+ 3 3- 3 6.2.2 2 3 (đpcm).
0,50
0,50
Câu 5a. (2,0)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ. Khi đó :
BJ =MN
2 (trung tuyến vuông MBN)
Tương tự DK =PQ
2.
IJ = QM
2 (IJ là đtb MNQ).
Tương tự IK =PN
2.
Vì BD BJ + JI + IK + KD. Dođó:
ABCD
AC ACS .BD (BJ+JI + IK+KD)
2 2
AC= (MN+NP+PQ+QM)
4- đpcm.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu5b. (1,0)
Chu vi tứ giác MNPQ là : MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ = 2(BJ + JI + IK + KD) 2BD (cmt) Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.
0,50
0,50
Câu 6. (3,0đ)
Kí hiệu như hình vẽ. Phần thuận : · · 0AOB =AMB 90 (giả thiết) tứ giác AOBM luôn nội tiếp
· · 0AMO ABO 45 (vì AOB vuông cân tại O) Suy ra M luôn nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với đường PQ một góc 450. Trường hợp B ở vị trí B’ thì M’ nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với PS một góc 450. Giới hạn : *) Khi A H thì M Q, khi A K thì M S
0,50
0,50
0,50
A B
D C
M
N
P
Q
I
J
K
x
y
O
K
HP Q
RS
A
B
MM'
B'
40
*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A H thì M’ P, khi A K thì M’ R Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại A. Kẻ bán kính OB OA.
Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì · · 0AMO ABO 45 )
Suy ra : · · 0AMB AOB 90 . Mà AM//PQ , PQ PS MB//PS. Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN GIA LAI Năm học 2009 – 2010 ………………….. …………………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC.
Môn thi: Toán ( Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
ĐỀ BÀI:
Câu 1: ( 1 điểm) Tìm các số nguyên dương n sao cho n2 + 1 chia hết cho n + 1 Câu 2: ( 1,5 điểm)
Cho biểu thức A = 2 9 2 1 3
5 6 3 2
x x x
x x x x
a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 3: ( 1,5 điểm) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 4x + 1 = 0. Tính x1
2 + x22, x1
3 + x2
3 và x15 + x2
5 ( không sử dụng máy tính cầm tay để tính). Câu 4: ( 2 điểm)
a) Vẽ đồ thị của các hàm số 1y x và 2y x trên cùng một hệ trục tọa độ
Oxy. b) Chứng tỏ phương trình 1 2x x có một nghiệm duy nhất.
Câu 5: ( 1,5 điểm) Một người dự định rào xung quanh một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 1.600m2, độ dài hai cạnh là x mét và y mét. Hai cạnh kề nhau rào bằng gạch, còn hai cạnh kia rào bằng đá. Mỗi mét rào bằng gạch giá 200.000 đồng, mỗi mét rào bằng đá giá 500.000 đồng.
a) Tính giá tiền dự định rào ( theo x và y). b) Người ấy có 55 triệu đồng, hỏi số tiền ấy có đủ để rào không ?
Câu 6: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AO kéo dài cắt (O) tại M.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp và tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Chứng minh AO EF.
c) Chứng minh rằng: 2 2
4ABC
R pS
, trong đó SABC là diện tích tam giác ABC và p
là chu vi của tam giác DEF. …………Hết……….
60
Họ và tên: ……………………………………...; SBD………….; Phòng thi số:…………...... Chữ kí của giám thị 1:………………………; Chữ kí của giám thị 2:………………………... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LONG AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi : TOÁN hệ chuyên
Ngày thi : 10-7 2009 Thời gian : 150 phút ( không kể phát đề)
Câu 1 (2đ)
Rút gọn các biểu thức sau :
1) A = 4 + 2 3 + 4 - 2 3
2) B = 3
7 + 5 2 + 3
7 - 5 2 Câu 2 (2đ)
1) Giải hệ phương trình :
2xx - 1
+ y
y - 1 = 6
xx - 1
+ 3y
y - 1 = 8
2) Giải phương trình : x4 - 2x3
- x2 + 2x + 1 = 0
Câu 3 (2đ) Gọi đồ thị hàm số y = x2
là parabol (P), đồ thị của hàm số y = x - m là đường thẳng (d) . 1) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt . 2) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B kí hiệu x
A và x B lần lượt là
hoành độ của A và B . Tìm các giá trị của m sao cho x3A + x3
B = 1 . Câu 4 (2đ)
1) Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA. Khẳng định S
ABC = 4S MNP đúng hay sai ? tại sao ?
2) Cho đường tròn (T) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B , PQ là một đường kính thay đổi của (T) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt đường thẳng PB ở điểm M . Khẳng định CQ = 2CM đúng hay sai ? tại sao ?
Câu 5 (2đ) 1) Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn điều kiện : 2x + 3y = 5 . Tìm x ,y
để biểu thức P = 2x2 + 3y2
+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
2) Cho t , y là hai số thực thoả mãn điều kiện : t + y2 + y t - 5 t - 4y + 7 = 0.
Hãy tìm t , y .
Hết
61
100 §Ò ¤N TËP VµO LíP 10
I, mét sè ®Ò cã ®¸p ¸n
®Ò 1
Bài 1 : (2 điểm) a) Tính :
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 3 : (2 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. a) Chứng minh BMD = BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp. b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2. Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0.
Bµi 3: Do ca n« xuÊt ph¸t tõ A cïng víi bÌ nøa nªn thêi gian cña ca n« b»ng thêi gian bÌ
nøa: 8
24 (h)
Gäi vËn tèc cña ca n« lµ x (km/h) (x>4)
Theo bµi ta cã: 24 24 8 24 16
2 24 4 4 4x x x x
2 02 40 0
20
xx x
x
Vëy vËn tèc thùc cña ca n« lµ 20 km/h Bµi 4:
62
a) Ta cã » »BC BD (GT) · ·BMD BAC (2 gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b¨ng nhau)
* Do · ·BMD BAC A, M nh×n HK dêi 1 gãc b»ng nhau MHKA néi tiÕp.
b) Do BC = BD (do » »BC BD ), OC = OD (b¸n kÝnh) OB lµ ®êng trung trùc cña CD CDAB (1)
Xet MHKA: lµ tø gi¸c néi tiÕp, · 090AMH (gãc nt ch¾n nöa ®êng trßn) · 0 0 0180 90 90HKA (®l) HKAB (2) Tõ 1,2 HK // CD
H K
M A
B
O
C D
S
Bµi 5: 2
2 2
2
0 (*)( )( ) 0
0 (**)
x ax bx ax b x bx a
x bx a
(*) 4b , §Ó PT cã nghiÖm 2 2 1 14 0 4
2a b a b
a b (3)
(**) 2 4b a §Ó PT cã nghiÖm th× 2 1 14 0
2b a
b a (4)
Céng 3 víi 4 ta cã: 1 1 1 1
2 2a b a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 4 8 42 2 a b a ba b
(lu«n lu«n ®óng víi mäi a, b)
De 2 Đề thi gồm có hai trang.
Câu 1 : (4,5 điểm) 1. Cho phương trình 4 2 2( 4 ) 7 1 0x m m x m . Định m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10.
2. Giải phương trình: 2 2
4 2
35 3 ( 1)
1x x
x x
Câu 2 : (3,5 điểm)
63
1. Cho góc nhọn . Rút gọn không còn dấu căn biểu thức :
2 2cos 2 1 sin 1P
2. Chứng minh: 4 15 5 3 4 15 2
Câu 3 : (2 điểm)
Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
21
3a b c ab bc ca a b c
Khi nào đẳng thức xảy ra ? Câu 4 : (6 điểm)
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P (O), Q (O’)). Chứng minh
đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
-----HẾT-----
64
ĐÁP ÁN Câu 1 : (4,5 điểm) 1. Đặt X = x2 (X 0) Phương trình trở thành 2 2( 4 ) 7 1 0X m m X m (1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương +
0
0
0
S
P
2 2
2
( 4 ) 4(7 1) 0
4 0
7 1 0
m m m
m m
m
(I) +
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X2.
phương trình đã cho có 4 nghiệm x1, 2 = 1X ; x3, 4 = 2X 2 2 2 2 21 2 3 4 1 22( ) 2( 4 )x x x x X X m m +
Vậy ta có 2 2 12( 4 ) 10 4 5 0
5
mm m m m
m
+
Với m = 1, (I) được thỏa mãn + Với m = –5, (I) không thỏa mãn. + Vậy m = 1. 2. Đặt 4 2 1t x x (t 1)
Được phương trình 3
5 3( 1)tt +
3t2 – 8t – 3 = 0
t = 3 ; 1
3t (loại) +
Vậy 4 2 1 3x x x = 1. + Câu 2 : (3,5 điểm)
1. 2 2 2 2cos 2 1 sin 1 cos 2 cos 1P 2cos 2cos 1P (vì cos > 0) +
2(cos 1)P +
1 cosP (vì cos < 1) + 2.
2
4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15 +
65
= 5 3 4 15
= 2
5 3 4 15 +
= 8 2 15 4 15 +
= 2 + Câu 3 : (2 điểm)
2
0 2a b a b ab +
Tương tự, 2a c ac
2b c bc
1 2a a +
1 2b b
1 2c c Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh. + Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 +
66
Câu 4 : (6 điểm)
+
1. Ta có : ABC = 1v ABF = 1v B, C, F thẳng hàng. + AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. ++ 2. ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O) + Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) + EBA = AFD hay EBI = EFI + Tứ giác BEIF nội tiếp. + 3. Gọi H là giao điểm của AB và PQ Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng +
HP HA
HB HP HP2 = HA.HB +
Tương tự, HQ2 = HA.HB + HP = HQ H là trung điểm PQ. +
Lưu ý :
- Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm. - Các cách giải khác được hưởng điểm tối đa của phần đó. - Điểm từng phần, điểm toàn bài không làm tròn.
Tõ (3) vµ (4) N,I,D,C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh NC Tø gi¸c NIDC néi tiÕp 0.5 c) OBA. O'BC mµ BA vafBC lµ hai tia ®èi nhau B n»m gi÷a O vµ O' do
®ã ta cã OO'=OB + O'B ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (O') tiÕp xóc ngoµi t¹i B
b). X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
27
1111
9
zxyzxy
zyx
zyx
Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ mét ®iÓm thuéc ®êng trßn );( BCAC . Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C , kÎ tia Ax tiÕp xóc víi
Thay vµo (1) => x = y = z = 3 . Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh . VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 3. Bµi 4: a). XÐt ABM vµ NBM .
a.¸p dông ®Þnh lÝ Pitago tÝnh ®îc AB = AC = R ABOC lµ h×nh vu«ng (0.5®) KÎ b¸n kÝnh OM sao cho BOD = MOD MOE = EOC (0.5®) Chøng minh BOD = MOD
OMD = OBD = 900 T¬ng tù: OME = 900 D, M, E th¼ng hµng. Do ®ã DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). b.XÐt ADE cã DE < AD +AE mµ DE = DB + EC 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2RDE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Tø gi¸c ABMI néi tiÕp c) Trªn tia ®èi cña QB lÊy ®iÓm F sao cho QF = QB, F cè ®Þnh. Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF ABF vu«ng t¹i A 00 45ˆ45ˆ BFAB L¹i cã 1
Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. KÎ tia Ax, Ay sao cho yAx ˆ = 45 0 Tia Ax c¾t CB vµ BD lÇn lît t¹i E vµ P, tia Ay c¾t CD vµ BD lÇn lît t¹i F vµ Q a. Chøng minh 5 ®iÓm E; P; Q; F; C cïng n»m trªn mét ®êng trßn b. S AEF = 2 S APQ
KÎ ®êng trung trùc cña CD c¾t AE t¹i M. TÝnh sè ®o gãc MAB biÕt DPC ˆ = DMC ˆ Bµi 5: (1®)
Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n: 0111
cba; H·y tÝnh P =
222 b
ac
a
bc
c
ac
®¸p ¸n
Bµi 1:M = x
x
x
x
xx
x
2
3
3
12
65
92
a.§K 9;4;0 xxx 0,5®
Rót gän M =
32
2123392
xx
xxxxx
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = 32
2
xx
xx M =
3
1
23
21
x
xM
xx
xx
1644
16
416
1551
351
53
15 M . b.
xx
x
xx
xx
x
x
102
c. M = 3
41
3
43
3
1
xx
x
x
x
Do M z nªn 3x lµ íc cña 4 3x nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4
49;25;16;4;1 x do 4x 49;25;16;1x
Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
<--> 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
<--> (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96
<--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
<--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 3
a) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? b) T×m a trong hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) .
Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) cã b¸n kÝnh b»ng R c¾t nhau t¹i A vµ B , qua A vÏ c¸t tuyÕn c¾t hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) thø tù t¹i E vµ F , ®êng th¼ng EC , DF c¾t nhau t¹i P .
1) Chøng minh r»ng : BE = BF . 2) Mét c¸t tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O1) vµ (O2) lÇn lît t¹i C,D .
Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF . 3) TÝnh diÖn tÝch phÇn giao nhau cña hai ®êng trßn khi AB = R .
Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lît t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ AD .
1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn . 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng qua A ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt .
a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 3 3
X¸c ®Þnh a , b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A ( 1 ; 3 ) vµ B ( - 3 ; - 1) 2) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) T×m m ®Ó : 1 2 5x x
c¹nh lµ AB . c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . d) §êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®êng th¼ng AB ë D . Chøng
tá ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC .
c) Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = ax2 . X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A( -1; -2) . T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ ®êng trung trùc cña ®o¹n OA .
Bµi 3. Cho ABC ®Òu. Chøng minh r»ng víi mäi ®iÓm M ta lu«n cã MA ≤ MB + MC.
Bµi 4. Cho xOy cè ®Þnh. Hai ®iÓm A, B kh¸c O lÇn lît ch¹y trªn Ox vµ Oy t¬ng øng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AB lu«n ®I qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 5. Cho hai sè nguyªn d¬ng m, n tháa m·n m > n vµ m kh«ng chia hÕt cho n. BiÕt r»ng sè d khi chia m cho n b»ng sè d khi chia m + n cho m – n. H·y tÝnh tû sè m
H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P = a2 + b2 . Bµi 3. Cho c¸c sè a, b, c [0,1]. Chøng minh r»ng {Mê} Bµi 4. Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R vµ hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn (O) sao cho AB <
2R. Gi¶ sö M lµ ®iÓm thay ®æi trªn cung lín »AB cña ®êng trßn . a) KÎ tõ B ®êng trßn vu«ng gãc víi AM, ®êng th¼ng nµy c¾t AM t¹i I vµ (O) t¹i N. Gäi J lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng khi M thay ®æi trªn ®êng trßn th× mçi ®iÓm I, J ®Òu n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi AMB lµ lín nhÊt.
Bµi 5. a) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho mçi sè n + 26 vµ n – 11 ®Òu lµ lËp ph¬ng cña mét sè nguyªn d¬ng. b) Cho c¸c sè x, y, z thay ®æi th¶o m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 +z2 = 1. H·y t×m gi¸ trÞ
Bµi 3. Cho tríc a, d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng. XÐt c¸c sè cã d¹ng : a, a + d, a + 2d, … , a + nd, … Chøng minh r»ng trong c¸c sè ®ã cã Ýt nhÊt mét sè mµ 4 ch÷ sè ®Çu tiªn cña nã lµ 1991.
Bµi 4. Trong mét cuéc héi th¶o khoa häc cã 100 ngêi tham gia. Gi¶ sö mçi ngêi ®Òu quen biÕt víi Ýt nhÊt 67 ngêi. Chøng minh r»ng cã thÓ t×m ®îc mét nhãm 4 ngêi mµ bÊt k× 2 ngêi trong nhãm ®ã ®Òu quen biÕt nhau.
Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD. LÊy ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng sao cho MAB = MBA = 150 . Chøng minh r»ng MCD ®Òu.
Bµi 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh 25 2 1 7 110 3( )( )x x x x .
Bµi 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 3 2
3 22 3 5
6 7x yx
y xy
Bµi 3. TÝm c¸c sè nguyªn x, y tháa m·n ®¼ng thøc : 2 2 22 1 2y x x y x y xy . Bµi 4. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. M, N lµ hai ®iÓm trªn nöa ®êng
Bµi 2. Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 v« nghiÖm.
Bµi 3. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho n2 + 2002 lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓt thøc: 1 1 1
1 1 1S
xy yz zx
Trong ®ã x,
y, z lµ c¸c sè d¬ng thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 + z2 ≤ 3. Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh BC (M kh«ng
trïng víi B) vµ N lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh CD (N kh«ng trïng D) sao cho MAN = MAB + NAD. a) BD c¾t AN, AM t¬ng øng t¹i p vµ Q. Chøng minh r»ng 5 ®iÓm P, Q, M, C, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn. b) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN lu«n lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh khi M vµ N thay ®æi. c) Ký hiÖu diÖn tÝch cña APQ lµ S vµ diÖn tÝch tø gi¸c PQMN lµ S’. Chøng
Bµi 2. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 23 1 1 2( ) ( )x x x x x .
b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2
2 22 32
x xy x yx y
Bµi 3. Cho nöa vßng trßn ®êng kÝnh AB=2a. Trªn ®o¹n AB lÊy ®iÓm M. Trong nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa vßng trßn, ta kÎ 2 tia Mx vµ My sao cho AMx = BMy =300 . Tia Mx c¾t nöa vßng trßn ë E, tia My c¾t nöa vßng trßn ë F. KÎ EE’, FF’ vu«ng gãc víi AB. a) Cho AM= a/2, tÝnh diÖn tÝch h×nh thang vu«ng EE’F’F theo a. b) Khi M di ®éng trªn AB. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng EF lu«n tiÕp xóc víi mét vßng trßn cè ®Þnh.
Bµi 4. Gi¶ sö x, y, z lµ c¸c sè thùc kh¸c 0 tháa m·n :
3 3 3
1 1 1 1 1 12
1
( ) ( ) ( )x y zy z z x x y
x y z
.H·y tÝnh gi¸ trÞ cña 1 1 1
Px y z
.
Bµi 5. Víi x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng, h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
( )( )( )
xyzM
x y y z z x
149
§Ò thi vµo 10 n¨m 1989-1990 Hµ Néi
Bµi 1. XÐt biÓu thøc 2 2
2 5 1 11
1 2 4 1 1 2 4 4 1:
x xA
x x x x x
a) Rót gän A. b) T×m gi¸ trÞ x ®Ó A = -1/2 .
Bµi 2. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®îc 2/3 qu·ng ®êng víi vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB.
Bµi 3. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm E bÊt k× trªn c¹nh BC. Tia Ax AE c¾t c¹nh CD kÐo dµi t¹i F. KÎ trung tuyÕn AI cña AEF vµ kÐo dµi c¾t c¹nh CD t¹i K. §êng th¼ng qua E vµ song song víi AB c¾t AI t¹i G. a) Chøng minh r»ng AE = AF. b) Chøng minh r»ng tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. c) Chøng minh r»ng hai tam gi¸c AKF , CAF ®ång d¹ng vµ AF2 = KF.CF. d) Gi¶ sö E ch¹y trªn c¹nh BC. Chøng minh r»ng EK = BE + ®iÒu kiÖn vµ chu vi ECK kh«ng ®æi.
a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A x¸c ®Þnh. b) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nguyªn.
Bµi 3. Cho ABC ®Òu c¹nh a. §iÓm Q di ®éng trªn AC, ®iÓm P di ®éng trªn tia ®èi cña tia CB sao cho AQ. BP = a2 . §êng th¼ng AP c¾t ®êng th¼ng BQ t¹i M. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCM néi tiÕp ®êng trßn . b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña MA + MC theo a.
Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng a b c a b c
Bµi 3. Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n hÖ : 2 2
3 3
4 4
35917
ax byax byax byax by
TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc 5 5A ax by vµ 2001 2001B ax by
Bµi 4. Cho ®o¹n th¼ng Ab cã trung ®iÓm lµ O. Gäi d, d’ lµ c¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¬ng øng t¹i A, B. Mét gãc vu«ng ®Ønh O cã mét c¹nh c¾t d ë M, cßn c¹nh kia c¾t d’ ë N. kÎ OH MN. Vßng trßn ngo¹i tiÕp MHB c¾t d ë ®iÓm thø hai lµ E kh¸c M. MB c¾t NA t¹i I, ®êng th¼ng HI c¾t EB ë K. Chøng minh r»ng K n»m trªn mét ®êng trßn cè ®inh khi gãc vu«ng uqay quanh ®Ønh O.
Bµi 5. Cho 2001 ®ång tiÒn, mçi ®ång tiÒn ®îc s¬n mét mÆt mµu ®á vµ mét mÆt mµu xanh. XÕp 2001 ®ång tiÒn ®ã theo mét vßng trßn sao cho tÊt c¶ c¸c ®ång tiÒn ®Òu cã mÆt xanh ngöa lªn phÝa trªn. Cho phÐp mçi lÇn ®æi mÆt ®ång thêi 5 ®ång tiÒn liªn tiÕp c¹nh nhau. Hái víi c¸nh lµm nh thÕ sau mét sè h÷u h¹n lÇn ta cã thÓ lµm cho tÊt c¶ c¸c ®ång tiÒn ®Òu cã mÆt ®á ngöa lªn phÝa trªn ®îc hay kh«ng ? T¹i sao ?
153
§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn To¸n Tin n¨m 2003-2004 §¹i häc s ph¹m HN
Bµi 1. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ kh«ng phô théc vµo x
Bµi 5. Qua mét ®iÓm M tïy ý ®· cho trªn ®¸y lín AB cña h×nh thang ABCD ta kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®êng th¼ng song song nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J t¬ng øng. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H cïng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña mét ®iÓm M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.
154
§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn To¸n Tin n¨m 2004 §¹i häc s ph¹m HN Bµi 1. Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 3. T×m gi¸
Bµi 4. Mçi bé ba sè nguyªn d¬ng (x,y,z) tháa m·n ph¬ng tr×nh x2+y2+z2=3xyz ®îc gäi lµ mét nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh nµy. a) H·y chØ ra 4 nghiÖm nguyªn d¬ng kh¸c cña ph¬ng tr×nh ®· cho. b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm nguyªn d¬ng.
Bµi 5. Cho ABC ®Òu néi tiÕp ®êng trßn (O). Mét ®êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua A c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C cña ®êng trßn (O) t¬ng øng t¹i M vµ N. Gi¶ sö d c¾t l¹i ®êng trßn (O) t¹i E (kh¸c A), MC c¾t BN t¹i F. Chøng minh r»ng : a) ACN ®ång d¹ng víi MBA. MBC ®ång d¹ng víi BCN. b) tø gi¸c BMEF lµ tø gi¸c néi tiÕp c) §êng th¼ng EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi d thay ®æi nhng lu«n ®i qua A.
Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC . Gi¶ sö · ·BAM BCA . a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABM ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBA . b) Chøng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So s¸nh BC vµ ®êng chÐo h×nh vu«ng
c¹nh lµ AB . c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . d) §êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®êng th¼ng AB ë D . Chøng tá
®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC .
c) Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = ax2 . X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A( -1; -2) . T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ ®êng trung trùc cña ®o¹n OA .
d) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? e) T×m a trong hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . f) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) .
Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lît t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ AD .
4) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 5) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn . 6) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng qua A ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt .
a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 3 3
X¸c ®Þnh a , b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A ( 1 ; 3 ) vµ B ( - 3 ; - 1) 2) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) T×m m ®Ó : 1 2 5x x
Câu 2. Cho phương trình 2x2 + 3x + 2m – 1 = 0 1.Giải phương trình với m = 1. 2.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 1200m2. Nay người ta tu bổ bằng cách tăng chiều rộng của vườn thêm 5m, đồng thời rút bớt chiều dài 4m thì mảnh vườn đó có diện tích 1260m2. Tính kích thước mảnh vườn sau khi tu bổ. Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Người ta vẽ đường tròn tâm A bán kính nhỏ hơn AB, nó cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt AB tại E. Trên cung nhỏ CE của (A), ta lấy điểm M. Tia BM cắt tiếp (O) tại N. a) Chứng minh BC, BD là các tiếp tuyến của đường tròn (A). b) Chứng minh NB là phân giác của góc CND. c) Chứng minh tam giác CNM đồng dạng với tam giác MND. d) Giả sử CN = a; DN = b. Tính MN theo a và b. Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x2 + 3x + 4.
ĐỀ SỐ 2 Câu 1. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 10 và tổng của 6 lần số lớn với 2 lần số bé là 116. Câu 2. Cho phương trình x2 – 7x + m = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính S = x1
2 + x22.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Câu 3. Cho tam giác DEF có D = 600, các góc E, F là góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao EI, FK, I thuộc DF, K thuộc DE. a) Tính số đo cung EF không chứa điểm D. b) Chứng minh EFIK nội tiếp được. c) Chứng minh tam giác DEF đồng dạng với tam giác DIK và tìm tỉ số đồng dạng. Câu 4. Cho a, b là 2 số dương, chứng minh rằng
2 2
2 2 2 2 a b a ba b a a b b
2
ĐỀ SỐ 3 Câu 1.Thực hiện phép tính
176
1a) 2 6 4 3 5 2 8 .3 6
4
2 2b)
3 5 3 5
Câu 2. Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0 (1). a) Giải phương trình khi m = 0. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Chứng minh phương trình 3m2x2 + 2x – 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1). Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là trung tuyến. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M ≠ A; M ≠ D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC; H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng DK. a) Tứ giác AIMK là hình gì? b) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. c) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng.
Câu 4. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 2 3 3 x 3 y 3
ĐỀ SỐ 4
Câu 1. Cho biểu thức
a 3 a 2 a a 1 1P :
a 1 a 1 a 1a 2 a 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để 1 a 1
1P 8
Câu 2. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B dài 80km, sau đó lại ngược dòng đến C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h. Câu 3. Tìm tọa độ giao điểm A và B của hai đồ thị các hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Câu 4. Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp được. b) Tính tích AH.AK theo R. c) Xác định vị trí của K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Câu 5. Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x2y2(x2 + y2) 2
ĐỀ SỐ 5
177
Câu 1. Cho biểu thức x 1 2 x
P 1 : 1x 1 x 1 x x x x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên. Câu 2. a) Giải phương trình x4 – 4x3 – 2x2 + 4x + 1 = 0.
b) Giải hệ 2 2
2
x 3xy 2y 0
2x 3xy 5 0
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) có phương trình 2x
y2
. Gọi (d) là
đường thẳng đi qua điểm I(0; - 2) và có hệ số góc k. a) Viết phương trình dường thẳng (d). Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi. b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I. Câu 4. Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, chứng minh rằng: a) Tích AM.AC không đổi. b) Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn. c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định. d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 5. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức 2 2
1 1A
x y xy
.
ĐỀ SỐ 6 Câu 1. a) Giải phương trình 5x2 + 6 = 7x – 2.
b) Giải hệ phương trình 3x y 5
x 2y 4
c) Tính 18 12
2 3
Câu 2. Cho (P) y = -2x2 a) Trong các điểm sau điểm nào thuộc, không thuộc (P)? tại sao?
178
A(-1; -2); B(1 1
;2 2
); C( 2; 4 )
b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt. c) Chứng minh điểm E(m; m2 + 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m. Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B lớn hơn góc C. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn HC đặt HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD tại E. a) Chứng minh các tam giác AHB và AHD bằng nhau. b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp và hai góc HCE và HAE bằng nhau. c) Chứng minh tam giác AHE cân tại H. d) Chứng minh DE.CA = DA.CE e) Tính góc BCA nếu HE//CA. Câu 4.Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi số thực x khác 0 và thỏa mãn
21f x 3f x
x
với mọi x khác 0. Tính giá trị f(2).
ĐỀ SỐ 7 Câu 1.
a) Tính 9 1
2 1 5 : 1616 16
b) Giải hệ 3x y 2
x y 6
c) Chứng minh rằng 3 2 là nghiệm của phương trình x2 – 6x + 7 = 0.
Câu 2. Cho (P): 21y x
3 .
a) Các điểm 1A 1; ; B 0; 5 ; C 3;1
3
, điểm nào thuộc (P)? Giải thích?
b) Tìm k để (d) có phương trình y = kx – 3 tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng đường thẳng x = 2 cắt (P) tại một điểm duy nhất. Xác định tọa độ giao điểm đó. Câu 3. Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại B; các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh góc PAQ vuông. b) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được. c) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với đường thẳng CD. d) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC.
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2A 2x 2xy y 2x 2y 1 .
179
ĐỀ SỐ 8 Câu 1.
1.Cho a a a a
P 1 1 ; a 0, a 1a 1 1 a
a) Rút gọn P.
b) Tìm a biết P > 2 .
c) Tìm a biết P = a .
2.Chứng minh rằng 13 30 2 9 4 2 5 3 2
Câu 2. Cho phương trình mx2 – 2(m-1)x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 1. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Gọi hai nghiệm của (1) là x1 , x2. Hãy lập phương trình nhận 1 2
2 1
x x;
x x làm
nghiệm. Câu 3.Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Đường cao AH, đường phân giác AN của tam giác cắt (O) tương ứng tại các điểm Q và P. a) Chứng minh: DQ//BC và OP vuông góc với QD. b) Tính diện tích tam giác AQD biết bán kính đường tròn là R và tgQAD = 3
4.
Câu 4. a)Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm dương x1. Chứng minh
rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có nghiệm dương là x2 và x1 + x2 0. b)Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình x2y + 2xy – 4x + y = 0 sao cho y
đạt giá trị lớn nhất.
ĐỀ SỐ 9 Câu 1.
1.Cho
2 2
2
1 2x 16x 1P ; x
1 4x 2
a) Chứng minh 2
P1 2x
b) Tính P khi 3
x2
2.Tính 2 5 24
Q12
Câu 2. Cho hai phương trình ẩn x sau:
2 2x x 2 0 (1); x 3b 2a x 6a 0 (2)
180
a) Giải phương trình (1). b) Tìm a và b để hai phương trình đó tương đương. c) Với b = 0. Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1
2 + x22
= 7 Câu 3. Cho tam giác ABC vuông ở a và góc B lớn hơn góc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E. a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh MAE DAE; MA DE .
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì? d) Cho góc ACB bằng 300 và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC.
Câu 4.Giải phương trình 2 2ax ax - a 4a 1
x 2a
. Với ẩn x, tham số a.
ĐỀ SỐ 10 Câu 1.
1.Rút gọn 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 .
2.Cho a b
xb a
với a < 0, b < 0.
a) Chứng minh 2x 4 0 .
b) Rút gọn 2F x 4 .
Câu 2. Cho phương trình 2 2x 2 x 2mx 9 0 (*) ; x là ẩn, m là tham số.
a) Giải (*) khi m = - 5. b) Tìm m để (*) có nghiệm kép. Câu 3. Cho hàm số y = - x2 có đồ thị là (P); hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (d). 1.Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). 2.Cho điểm M(-1; -2), bằng phép tính hãy cho biết điểm M thuộc ở phía trên hay phía dưới đồ thị (P), (d). 3.Tìm những giá trị của x sao cho đồ thị (P) ở phái trên đồ thị (d). Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), E là hình chiếu của B trên AC. Đường thẳng qua E song song với tiếp tuyến Ax của (O) cắt AB tại F. 1.Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. 2.Góc DFE (D thuộc cạnh BC) nhận tia FC làm phân giác trong và H là giao điểm của BE với CF. Chứng minh A, H, D thẳng hàng. 3.Tia DE cắt tiếp tuyến Ax tại K. Tam giác ABC là tam giác gì thì tứ giác AFEK là hình bình hành, là hình thoi? Giải thích.
Câu 5. Hãy tính 1999 1999 1999F x y z theo a. Trong đó x, y, z là nghiệm của
phương trình:
181
x y z a xy yz zx a xyz 0; a 0
ĐỀ SỐ 11 Câu 1. 1.Giải bất phương trình, hệ phương trình, phương trình
22x 3y 12
a) 2x 6 0 b) x x 6 0 c)3x y 7
2.Từ kết quả của phần 1. Suy ra nghiệm của bất phương trình, phương trình, hệ phương trình sau:
2 p 3 q 12
a) 2 y 6 0 b) t t 6 0 c)3 p q 7
Câu 2.
1.Chứng minh 2 2
1 2a 3 12a 2 2a .
2.Rút gọn
2 3 2 3 3 2 32 24 8 6
3 2 4 2 2 3 2 3 2 3
Câu 3. Cho tam giác ABC (AC > AB) có AM là trung tuyến, N là điểm bất kì trên đoạn AM. Đường tròn (O) đường kính AN. 1.Đường tròn (O) cắt phân giác trong AD của góc A tại F, cắt phân giác ngoài góc A tại E. Chứng minh FE là đường kính của (O). 2.Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại K, H. Đoạn KH cắt AD tại I. Chứng minh hai tam giác AKF và KIF đồng dạng. 3.Chứng minh FK2 = FI.FA. 4.Chứng minh NH.CD = NK.BD. Câu 4. Rút gọn
Câu 3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. 1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được. 2.Gọi H là điểm đối xứng với I qua K. Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau. 3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC. 4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm B, C. Câu 4. 1.Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, G là trọng tâm. Gọi x, y, z
lần lượt là khoảng cách từ G tới các cạnh a, b, c. Chứng minh x y z
bc ac ab
2.Giải phương trình
25 4 2025
x 1 y 3 z 24 104x 1 y 3 z 24
ĐỀ SỐ 13
Câu 1.Giải hệ phương trình
2 2
2
x 2x y 0
x 2xy 1 0
Câu 2. Giải bất phương trình (x – 1)(x + 2) < x2 + 4. Câu 3.
1.Rút gọn biểu thức 1
P 175 2 28 7
.
2.Với giá trị nào của m thì phương trình 2x2 – 4x – m + 3 = 0 (m là tham số) vô nghiệm. Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD của góc BAC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q. 1.Chứng minh BAM PQM; BPD BMA .
2.Chứng minh BD.AM = BA.DP.
3.Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tính tỉ số BP
BM theo a, b, m.
4.Gọi E là điểm chính giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng.
183
ĐỀ SỐ 14 Câu 1. 1.Giải bất phương trình (x + 1)(x – 4) < 0. 2.Giải và biện luận bất phương trình 1 x mx m với m là tham số.
Câu 2. Giải hệ phương trình
3 61
2x y x y
1 10
2x y x y
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2P x 26y 10xy 14x 76y 59 .
Khi đó x, y có giá trị bằng bao nhiêu? Câu 4. Cho hình thoi ABCD có góc nhọn BAD . Vẽ tam giác đều CDM về phía ngoài hình thoi và tam giác đều AKD sao cho đỉnh K thuộc mặt phẳng chứa đỉnh B (nửa mặt phẳng bờ AC). 1.Tìm tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, K, C, M.
2.Chứng minh rằng nếu AB = a, thì BD = 2a.sin2
.
3.Tính góc ABK theo . 4.Chứng minh 3 điểm K, L, M nằm trên một đường thẳng.
Câu 5. Giải phương trình 2
x x 2 1 1 x
ĐỀ SỐ 15 Câu 1.Tính
22 2 4m 4m 1
a) 5 1 5 1 b)4m 2
Câu 2.
1.Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2x
2.
2.Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm (0; -1) và tiếp xúc với (P)
Câu 3. Cho hệ phương trình
mx my 3
1 m x y 0
a)Giải hệ với m = 2. b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0). Câu 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2r, C là trung điểm của cung AB. Trên cung AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF. a) Hai tam giác AFC và BEC qua hệ với nhau như thế nào? Tại sao? b) Chứng minh tam giác EFC vuông cân.
184
c) Gọi D là giao điểm của AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp được. d) Giả sử F di động trên cung AC. Chứng minh rằng khi đó E di chuyển trên một cung tròn. Hãy xác định cung tròn và bán kính của cung tròn đó.
ĐỀ SỐ 16 Câu 1. 1.Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 3024. 2.Có thể tìm được hay không ba số a, b, c sao cho:
2 2 2
a b c a b c0
a b b c c a a b b c c a
Câu 2.
1.Cho biểu thức x 1 x 1 8 x x x 3 1
B :x 1 x 1x 1 x 1 x 1
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 . c) Chứng minh rằng B 1 với mọi giá trị của x thỏa mãn x 0; x 1 .
2.Giải hệ phương trình
2 2
2 2
x y x y 5
x y x y 9
Câu 3. Cho hàm số: 2 2 2y x 1 2 x 2 3 7 x
1.Tìm khoảng xác định của hàm số. 2. Tính giá trị lớn nhất của hàm số và các giá trị tương ứng của x trong khoảng xác định đó. Câu 4. Cho (O; r) và hai đường kính bất kì AB và CD. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E, F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của EA và AF. 1.Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn OA. 2.Hai đường kính AB và Cd có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Hãy tính diện tích đó theo r.
ĐỀ SỐ 17 Câu 1. Cho a, b, c là ba số dương.
Đặt 1 1 1
x ; y ; zb c c a a b
Chứng minh rằng a + c = 2b x + y = 2z. Câu 2. Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
Câu 4. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của (O1) tiếp xúc với (O2) tại A; vẽ dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A.
1. Chứng minh rằng 2
2
BE AE
BF AF .
2.Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC. 3.Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp được.
ĐỀ SỐ 18 Câu 1. 1.Giải các phương trình:
2
2
2 1 9 31
5 2 10 4a) b) 2x 1 5x 4x 1
22
2.Giải các hệ phương trình:
x y 3 3x 2y 6za) b)
xy 10 x y z 18
Câu 2.
1.Rút gọn
5 3 50 5 24
75 5 2
2.Chứng minh a 2 a 1; a 0 .
Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn, P là một điểm trên cung nhỏ AC ( P khác A và C). AP kéo dài cắt đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh ABP AMB . b) Chứng minh AB2 = AP.AM. c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM. d) Tìm vị trí của M trên tia BC sao cho AP = MP. e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường tròn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 4. Cho 1 2 1996
1 2 1996
a a a 27...
b b b 7 . Tính
19971997 1997
1 2 1996
19971997 1997
1 2 1996
a 2 a ... 1996 a
b 2 b ... 1996 b
186
ĐỀ SỐ 19 Câu 1. 1.Giải hệ phương trình sau:
1 32
2x 3y 1 x 2 ya) b)
x 3y 2 2 11
x 2 y
2.Tính 6 2 5a) 3 2 2 3 3 2 2 3 b)
2 20
Câu 2. 1.Cho phương trình x2 – ax + a + 1 = 0. a) Giải phương trình khi a = - 1.
b) Xác định giá trị của a, biết rằng phương trình có một nghiệm là 1
3x
2 .
Với giá trị tìm được của a, hãy tính nghiệm thứ hai của phương trình. 2.Chứng minh rằng nếu a b 2 thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm: x2 + 2ax + b = 0; x2 + 2bx + a = 0. Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = AC. Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với (O) tại các điểm tương ứng D, E, F. 1.Chứng minh DF//BC và ba điểm A, O, E thẳng hàng. 2.Gọi giao điểm thứ hai của BF với (O) là M và giao điểm của DM với BC là N. Chứng minh hai tam giác BFC và DNB đồng dạng; N là trung điểm của BE. 3.Gọi (O’) là đường tròn đi qua ba điểm B, O, C. Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của (O’).
Câu 4. Cho 2 2x x 1999 y y 1999 1999 . Tính S = x + y.
ĐỀ SỐ 20
Câu 1.
1.Cho 2
1 1M 1 a : 1
1 a 1 a
a) Tìm tập xác định của M. b) Rút gọn biểu thức M.
c) Tính giá trị của M tại 3
a2 3
.
187
2.Tính 40 2 57 40 2 57
Câu 2. 1.Cho phương trình (m + 2)x2 – 2(m – 1) + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiẹm không phụ thuộc vào m. 2.Cho ba số a, b, c thỏa mãn a > 0; a2 = bc; a + b + c = abc. Chứng minh:
2 2 2a) a 3, b 0, c 0. b) b c 2a
Câu 3. Cho (O) và một dây ABM tùy ý trên cung lớn AB. 1.Nêu cách dựng (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A; đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AB tại B. 2.Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Chứng minh
0AMB ANB 180 . Có nhận xét gì về độ lớn của góc ANB khi M di động. 3.Tia MN cắt (O) tại S. Tứ giác ANBS là hình gì? 4.Xác định vị trí của M để tứ giác ANBS có diện tích lớn nhất.
1. Chøng tá ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. 2. Gäi (x0;y0) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, xhøng minh víi mäi gi¸ trÞ cña m lu«n cã: x0
2+y02=1
bµi 2: (2,5 ®iÓm) Gäi u vµ v lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+px+1=0 Gäi r vµ s lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2+qx+1=0
ë ®ã p vµ q lµ c¸c sè nguyªn. 1. Chøng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) lµ sè nguyªn. 2. T×m ®iÒu kiÖn cña p vµ q ®Ó A chia hÕt cho 3.
bµi 3: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh:
(x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0. NÕu ph¬ng tr×nh v« nghiÖm th× chøng tá r»ng c lµ sè d¬ng.
bµi 4: (1,5 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD. §-êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua ®iÓm O, c¾t c¸c c¹nh AD vµ BC t¬ng øng ë M vµ N. Qua M vµ N vÏ c¸c ®êng th¼ng Mx vµ Ny t¬ng øng song song víi BD vµ AC. C¸c ®êng th¼ng Mx vµ Ny c¾t nhau t¹i I. Chøng minh ®êng th¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
1. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x0,y0) sao cho x0 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m nghiÖm Êy? 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kho m=0.
bµi 4(3,5 ®iÓm): Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Gäi P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung BP. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN=BM. 1. Chøng minh tØ sè NP/MN cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi ®iÓm M di chuyÓn trªn cung BP. T×m gi¸ trÞ kh«ng ®æi Êy? 2. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N khi M di chuyÓn trªn cung BP.
bµi 5(1,5 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi mçi gi¸ trÞ nguyªn d¬ng n bao giê còng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng a vµ b tho¶ m·n:
Cho h×nh vu«ng ABCD. 1.Víi mçi mét ®iÓm M cho tríc trªn c¹nh AB ( kh¸c víi ®iÓm A vµ B), t×m trªn c¹nh AD ®iÓm N sao cho chu vi cña tam gi¸c AMN gÊp hai lÇn ®é dµi c¹nh h×nh vu«ng ®· cho. 2. KÎ 9 ®êng th¼ng sao cho mçi ®êng th¼ng nµy chia h×nh vu«ng ®· cho thµnh 2 tø gi¸c cã tý sè diÖn tÝch b»ng 2/3. Chøng minh r»ng trong 9 ®ßng th¼ng nãi trªn cã Ýt nhÊt 3 ®êng th¼ng ®ång quy.
bµi 4(2,5 ®iÓm): Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O,R) víi BC=a, AC=b, AB=c. LÊy ®iÓm I bÊt kú ë phÝa trong cña tam gi¸c ABC vµ gäi x, y, z lÇn lît lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I ®Õn c¸c c¹nh BC, AC vµ AB cña tam gi¸c. Chøng minh:
R
cbazyx
2
222
bµi 5(1,5 ®iÓm): Cho tËp hîp P gåm 10 ®iÓm trong ®ã cã mét sè cÆp ®iÓm ®îc nèi víi nhau b»ng ®o¹n th¼ng. Sè c¸c ®o¹n th¼ng cã trong tËp P nèi tõ ®iÓm a ®Õn c¸c ®iÓm kh¸c gäi lµ bËc cña ®iÓm A. Chøng minh r»ng bao giê còng t×m ®îc hai ®iÓm trong tËp hîp P cã cïng bËc.
trong ®ã x, y lµ Èn, a lµ sè cho tríc. 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho víi a=2003. 2. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.
bµi 3.(2,5 ®iÓm)
Cho ph¬ng tr×nh: mxx 95 víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho víi m=2. 2. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x=a. Chøng minh r»ng khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho cßn cã mét nghiÖm n÷a lµ x=14-a. 3. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm.
bµi 4.(2 ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) cã b¸n kÝnh theo thø tù lµ R vµ R’ c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm A vµ B. 1. Mét tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) vµ(O’) lÇn lît t¹i C vµ D. Gäi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD. Chøng minh r»ng:
2. Mét c¸t tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) vµ (O’) lÇn lît t¹i E vµ F sao cho A n»m trong ®o¹n EF. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn EF ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c BEF ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
bµi 5. (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. Gäi D lµ trung diÓm cña c¹nh BC, M lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB (kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh A va B). Gäi H lµ giao ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ CM. Chøng minh r»ng nÕu tø gi¸c BMHD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn th× cã bÊt ®¼ng thøc
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña P khi 0 ≤ x ≤ 3. Bµi 3.(2 ®iÓm)
1. Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho: a2+b2+c2=2007
2. Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè h÷u tû x, y, z sao cho: x2+y2+z2+x+3y+5z+7=0
Bµi 4.(2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. VÏ ®êng cao AH. Gäi (O) lµ vßng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC. Trªn cung nhá AH cña vßng trßn (O) lÊy ®iÓm M bÊt kú kh¸c A. Trªn tiÕp tuyÕn t¹i M cña vßng trßn (O) lÊy hai ®iÓm D vµ E sao cho BD=BE=BA. §êng th¼ng BM c¾t vßng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ N. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn. 2. Chøng minh vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BDNE vµ vßng trßn (O) tiÕp xóc víi nhau.
Bµi 5.(2 ®iÓm) Cã n ®iÓm, trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng. Hai ®iÓm bÊt kú nèi víi nhau b»ng mét ®o¹n th¼ng, mçi ®o¹n th¼ng ®îc t« mét mµu xanh, ®á hoÆc vµng. BiÕt r»ng: cã Ýt nhÊt mét ®o¹n mµu xanh, mét ®o¹n mµu ®á, vµ mét ®o¹n mµu vµng; kh«ng cã ®iÓm nµo mµ c¸c ®o¹nth¼ng xuÊt ph¸t tõ ®ã cã ®ñ c¶ ba mµu vµ kh«ng cã tam gi¸c nµo t¹o bëi c¸c ®o¹n th¼ng ®· nèi cã ba c¹nh cïng mµu. 1. Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i ba ®o¹n th¼ng cïng mµu xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®iÓm. 2. H·y cho biÕt cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu ®iÓm tho¶ m·n ®Ò bµi.
ĐỀ SỐ 49 Bµi 1.(2 ®iÓm)
Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
.0;0;:.2
.;0,;2
.1
22
baba
ba
ab
abbaQ
nmnmnm
mnnm
nm
nmP
Bµi 2.(1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
211
226 xx Bµi 3.(3 ®iÓm)
Cho c¸c ®o¹n th¼ng: (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx (m lµ tham sè)
1. T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm A, B, C theo thø tù cña (d1) víi (d2), (d1) víi trôc hoµnh vµ (d2) víi trôc hoµnh. 2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho (d3) c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d1), (d2). 3. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho (d3) c¾t c¶ hai tia AB vµ AC.
bµi 4.(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E sao cho AE=CD. 1. Chøng minh ∆ABE = ∆CBD. 2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D sao cho tæng DA+DB+DC lín nhÊt.
Bµi 5.(1 ®iÓm) T×m x, y d¬ng tho¶ m·n hÖ:
51
8
1
44
xyyx
yx
ĐỀ SỐ 50 Bµi 1.(2 ®iÓm)
Cho biÓu thøc:
.1;0;1
1
1
13
xx
xx
x
x
xM
1. Rót gän biÓu thøc M. 2. T×m x ®Ó M ≥ 2.
Bµi 2.(1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: .12 xx
bµi 3.(3 ®iÓm) Cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh:
Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ mét ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa A(D kh¸c B vµ C). Trªn tia DC lÊy ®iÓm E ssao cho DE=DA. 1. Chøng minh ADE lµ tam gi¸c ®Òu. 2. Chøng minh ∆ABD=∆ACE. 3. Khi D chuyÓn ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A(D kh¸c B vµ C) th× E ch¹y trªn ®êng nµo?
Bµi 5.(1 ®iÓm) Cho ba sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c≤2005.
Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Tõ ®iÓm M trªn tiÕp tuyÕn t¹i A kÎ tiÕp tuyÕn thø hai MC víi ®êng trßn, kÎ CH vu«ng gãc víi AB. Chøng minh MB chia CH thµnh hai phÇn b»ng nhau.
Cho ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi hai c¹nh cña gãc xAy ë B vµ C. §êng th¼ng song song víi Ax t¹i C c¾t ®êng trßn ë D. Nèi AD c¾t ®êng trßn ë M, CM c¾t AB ë N. Chøng minh: 1. ∆ANC ®ång d¹ng ∆MNA.
Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn AB vµ AD lÊy M, N sao cho AM=AN. KÎ AH vu«ng gãc víi MD. 1. Chøng minh tam gi¸c AHN ®ång d¹ng víi tam gi¸c DHC. 2. Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c NHCD.
A. 1x B. 1x C. 0x D. 1x 3. Cho ph¬ng tr×nh : 22 1 0x x cã tËp nghiÖm lµ:
A. 1 B. 1
1;2
C. 1
1;2
D.
4. Trong h×nh bªn, SinB b»ng :
A. AH
AB
B. CosC
C. AC
BC
D. A, B, C ®Òu ®óng. II. PhÇn tù luËn Bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:
a) 1 2
42 3
3 2 6
x y
x y
b) 2 0,8 2, 4 0x x c) 4 24 9 0x x
Bµi 2: Cho (P): 2
2
xy
vµ ®êng th¼ng (D): 2y x .
a) VÏ (P) vµ (D) trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é. b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (D) vµ (P) b»ng phÐp to¸n. c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (D') biÕt (D') // (D) vµ (D') tiÕp xóc víi (P). Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng lµ 7 m vµ cã ®é dµi ®êng chÐo lµ 17 m. TÝnh chu vi, diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt.
B
A C
H
219
Bµi 4: TÝnh:
a) 15 216 33 12 6
b) 2 8 12 5 27
18 48 30 162
Bµi 5: Cho ®iÓm A bªn ngoµi ®êng trßn (O ; R). Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn ADE ®Õn ®êng trßn (O). Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE. a) Chøng minh n¨m ®iÓm : A, B, H, O, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
A. ax + by = c (a, b, c R) B. ax + by = c (a, b, c R, c0) C. ax + by = c (a, b, c R, b0 hoÆc c0) D. A, B, C ®Òu ®óng. 3. Ph¬ng tr×nh 2 1 0x x cã tËp nghiÖm lµ :
A. 1 B. C. 1
2
D. 1
1;2
4. Cho 0 00 90 . Trong c¸c ®¼ng thøc sau, ®¼ng thøc nµo ®óng: A. Sin + Cos = 1 B. tg = tg(900 ) C. Sin = Cos(900 ) D. A, B, C ®Òu ®óng. II. PhÇn tù luËn. Bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:
a) VÏ (P) vµ (D) trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é. b) Chøng tá (D) tiÕp xóc (P), t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm b»ng phÐp to¸n. Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng 2,5 lÇn chiÒu réng vµ cã diÖn tÝch lµ 40m2. TÝnh chu vi cña h×nh ch÷ nhËt. Bµi 4: Rót gän:
a) 2
2
4 4
2 4 4
x
x x
víi x 2.
b) :a a b b a b b a a b
a b a b a b
(víi a; b 0 vµ a b)
Bµi 5: Cho hai ®êng trßn (O ; 4cm) vµ (O' ; 3cm) víi OO' = 6cm. a) Chøng tá ®êng trßn (O ; 4cm) vµ (O' ; 3cm) c¾t nhau. b) Gäi giao ®iÓm cña (O) vµ (O') lµ A, B. VÏ ®êng kÝnh AC cña (O) vµ ®êng kÝnh AD cña (O'). Chøng minh C, B, D th¼ng hµng. c) Qua B vÏ ®êng th¼ng d c¾t (O) t¹i M vµ c¾t (O') t¹i N (B n»m gi÷a M vµ
1. KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh 25 144 lµ: A. 17 B. 169 C. 13 D. Mét kÕt qu¶ kh¸c 2. Cho hµm sè ( )y f x x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R. Ta nãi hµm sè
( )y f x ®ång biÕn trªn R khi:
A. Víi 1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x B. Víi
1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x
C. Víi 1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x D. Víi
1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x
3. Cho ph¬ng tr×nh 22 2 6 3 0x x ph¬ng tr×nh nµy cã : A. 0 nghiÖm B. NghiÖm kÐp
c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 1 2;x x tho¶ m·n 1 23 0x x
Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lµ 240 m2. NÕu t¨ng chiÒu réng thªm 3m vµ gi¶m chiÒu dµi ®i 4m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 4: TÝnh
a) 4 3
2 27 6 753 5
b) 3 5 . 3 5
10 2
Bµi 5: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung nhá BC. Trªn ®o¹n th¼ng MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC. a) Chøng minh DMC ®Òu. b) Chøng minh MB + MC = MA. c) Chøng minh tø gi¸c ADOC néi tiÕp ®îc. d) Khi M Di ®éng trªn cung nhá BC th× D di ®éng trªn ®êng cè ®Þnh nµo ?
®êng trßn tiÕp xóc víi (O) t¹i A vµ (O’) t¹i B. Mét tiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®êng trßn c¾t AB t¹i I, tiÕp xóc (O) t¹i C vµ (O’) t¹i D. BiÕt r»ng C n»m gi÷a I vµ D. a) Hai ®êng th¼ng OC vµ O’B c¾t nhau t¹i M. Chøng minh r»ng OM > O’M. b) Ký hiÖu (S) lµ ®êng trßn ®i qua A, C, B vµ (S’) lµ ®êng trßn ®i qua A, D, B. §êng th¼ng CD c¾t (S) t¹i E kh¸c C vµ c¾t (S’) t¹i F kh¸c D. Chøng minh r»ng AF BE.
Bµi 5. Gi¶ sö x, y, z lµ c¸c sè d¬ng thay ®æi vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn xy2z2 + x2z + y =
3z2 . H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : 4
4 4 41 ( )
zP
z x y
.
LuyÖn thi vµo líp 10 thpt
®Ò thi sè 1
PhÇn ii ( tù luËn)
Câu 13: (1,5 điểm)
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P : P =1 1 1 2
:1 2 1
a a
a a a a
Câu 14: (1,5 điểm)
a) Hãy cho hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm A trên trục hoành. Vẽ hai đường thẳng đó. b) Giả sử giao điểm thứ hai của hai đường thẳng đó với trục tung là B, c). Tính các khoảng cách AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.
Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = 5, AB = 2AC
a) Tính AC
b) Từ A hạ đường cao AH, trên AH lấy một điểm I sao cho AI = 1
3AH. Từ C kẻ Cx //
AH. Gọi giao điểm của BI với Cx là D. Tính diện tích của tứ giác AHCD.
226
c) Vẽ hai đường tròn (B, AB) và (C, AC). Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn này là E. Chứng minh CE là tiếp tuyến của đườn tròn (B).
®Ò thi sè 2
PhÇn ii ( tù luËn)
Câu 13: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
Câu 14: (1,5 điểm)
Cho hàm số
a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất? b) Với điều kiện của câu a, tìm các giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0?
Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn: BH = 4cm; CH = 9cm. Gọi D, E theo thứ tự đó là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE? b) Chứng minh đẳng thức AE.AC = AD.AB? c) Gọi các đường tròn (O), (M), (N) theo thứ tự ngoại tiếp các tam giác ABC, DHB, EHC. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (M) và (N); (M) và (O); (N) và (O)? d) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M) và (N) và là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN?
®Ò thi sè 3
PhÇn ii ( tù luËn)
Câu 15: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể.
Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 3
4bể nước. Hỏi
mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể?
Câu 16: (1 điểm) Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm.
Câu 17: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và B. Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH AD. Đường phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, đường thẳng DF cắt đường tròn tại N.
a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp được? b) Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng?
227
®Ò thi sè 4
PhÇn ii ( tù luËn)
Câu 13: (2,0 điểm) Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:
A = 6 2
. 6 : 63
xx x x
x
(với x > 0)
Câu 14: (1,5 điểm) Cho hai đường thẳng :
y = -x ( 1d ) ; y = (1 – m)x + 2 (m - 1) ( 2d )
a) Vẽ đường thẳng 1d
b) Xác định giá trị của m để đường thẳng 2d cắt đường thẳng 1d tại điểm M có toạ độ
(-1; 1). Với m tìm được hãy tính diện tích tam giác AOB, trong đó A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng 2d với hai trục toạ độ Ox và Oy.
Câu 15: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’), tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D (O), E (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE tại I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, M là giao điểm của O’I và AE.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’ c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE d) Tính DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm
®Ò thi sè 5
PhÇn ii ( tù luËn)
Câu 17: (1,5 điểm) Giải phương trình
Câu 18: (2 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 105 bó sách về thư viện của trường. Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm không tham gia được, vì vậy mỗi bạn phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển. Hỏi số học sinh của nhóm đó?
Câu 19: (2,5 điểm)
228
Cho tam giác PMN có PM = MN, . Trên nửa mặt phẳng bờ PM không chứa
điểm N lấy điểm Q sao cho
a) Chứng minh tứ giác PQMN nội tiếp được b) Biết đường cao MH của tam giác PMN bằng 2cm. Tính diện tích tam giác PMN.
®Ò thi sè 6
PhÇn ii ( tù luËn)
Câu 14: (1 điểm)
Xác định các hệ số a và b trong hệ phương trình4
8
ax by
bx ay
, biết rằng hệ có nghiệm
duy nhất là (1 ; -2)
Câu 15: (2 điểm)
Tổng hai chữ số của một số có hai chữ số bằng 10, tích của chúng nhỏ hơn số đã cho là 16. Tìm hai chữ số đó.
Câu 16: (3 điểm)
Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt nhau tại K, các đường phân giác ngoài của các góc M và N cắt nhau tại H.
a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp. b) Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH.
®Ò thi sè 7
N¨m häc 1999- 2000
§Ò thi vµo líp 10 ptth - tØnh Nam ®Þnh M«n to¸n ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :
Cho biÓu thøc x
xxA
24
442
1) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa? 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi : x = 1,999
Bµi II ( 1,5 ®iÓm) :
229
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
52
34
12
11
yx
yx
Bµi III ( 2 ®iÓm) : T×m c¸c gi¸ rÞ cña a ®Ó ptr×nh : 032)3( 222 axaxaa
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë ®Ønh A . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M ( kh¸c víi c¸c ®iÓm A vµ C)
VÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh MC . Gäi T lµ giao ®iÓm thø hai cña c¹nh BC víi ®êng trßn
(O). Nèi BM vµ kÐo dµi c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ D . §êng th¼ng AD c¾t ®êng
trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ S . Chøng minh :
1) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp ®îc trong mét ®ßng trßn. 2) Khi ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh AC th× gãc ADM cã sè ®o kh«ng ®æi. 3) §êng th¼ng AB song song víi ®êng th¼ng ST.
®Ò thi sè 10
N¨m häc 2002 - 2003
§Ò thi vµo líp 10 ptth - tØnh Nam ®Þnh
M«n to¸n - ( thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
Cho biÓu thøc : S = 2
:y xyx
x yx xy x xy
víi x > 0 , y > 0 vµ x y
a) Rót gän biÓu thøc trªn . b) T×m gi¸ trÞ cña x vµ y ®Ó S = 1.
Bµi iI ( 2 ®iÓm) :
Trªn parabol y = 21
2x lÊy hai ®iÓm A, B . BiÕt hoµnh ®ä cña ®iÓm A lµ 2Ax vµ tung ®é
cña ®iÓm B lµ 8By . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
Bµi Iii ( 1 ®iÓm) :
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph¬ng tr×nh bËc hai : 2 8 0x x m ®Ó 4 + 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Víi m võa t×m ®îc , ph¬ng tr×nh ®· cho cßn mét nghiÖm n÷a . T×m nghiÖm cßn l¹i Êy?
Bµi v ( 1 ®iÓm) : T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè ( x , y ) nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh :
4 4 2 216 1 1 16x y x y
®Ò thi sè 11
N¨m häc 2003 - 2004
§Ò thi vµo líp 10 ptth - tØnh Nam ®Þnh
M«n to¸n - ( thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
2 52
3 11,7
x x y
x x y
Bµi Ii ( 2 ®iÓm) :
Cho biÓu thøc P = 1
1
x
x x x
víi x > 0 ; x 1
a) Rót gän biÓu thøc P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 1
2
Bµi Iii ( 2 ®iÓm) : Cho ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y = ax + b. BiÕt r»ng ®êng th¼ng d c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1 vµ song song víi ®êng th¼ng y = -2x + 2003. a) T×m a , b .
b) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm chung ( nÕu cã ) cña d vµ parabol y = 21
1) Chøng minh 5 ®iÓm M , H , O , E , F cïng n»m trªn mét ®êng trßn . 2) Chøng minh : OH . OI = OK . OM 3) Chøng minh IA , IB lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).
Bµi Iv( 1 ®iÓm) :
T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè (x;y ) tho¶ m·n : 2 22 2 5 5 6x y xy x y ®Ó x+ y lµ sè nguyªn.
237
®Ò thi sè 16
N¨m häc 2007- 2008
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – TP hµ néi
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức P=
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm x để P < 1
2
Bài 2: (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 3: (1 điểm)
Cho phương trình
1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2 2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R .
Bài 5: (0,5 điểm) Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
238
Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội
Năm học 2007-2008
Bài 1:
P=
1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
2. Yêu cầu . Đối chiếu với
điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là
Bài 2:
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình
. Giải ra ta có nghiệm x=12(km/h)
Bài 3:
1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x2-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là
Bài 4:
1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên
hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE. 3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có
239
đều cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5:
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
®Ò thi sè 17
N¨m häc 2007- 2008
240
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP HO CHI MINH
(TG: 120 phút)
Câu 1: (1, 5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 – 2 x + 4 = 0
b) x4 – 29x2 + 100 = 0
c) 5 6 17
9 7
x y
x y
Câu 2: (1, 5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Câu 3: (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m2 và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2. c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số OK
BCkhi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.
Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2007-2008
Câu 1: a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x1 = 5 – 1 và x2 = 5 + 1.
241
b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta được phương trình trở thành t2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2. * t = 25 x2 = 25 x = ± 5. * t = 4 x2 = 4 x = ± 2. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c) Câu 2:
a) b)
Câu 3: Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có: Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15. Khi x = 45 thì y = 15 (nhận) Khi x = 15 thì y = 45 (loại) Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m) Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1) a) Khi m = 1 thì (1) trở thành: x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1. b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1. Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > 1. c) Khi m > 1 ta có: S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1
Do đó: A = P – S = m2 – m + 1 – 2m = m2 – 3m + 1 = − ≥ – .
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – . Câu 5:
242
a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.
Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC. H là trực tâm của Δ ABC. AH vuông góc với BC.
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà và (do AEHF nội tiếp)
Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:
(đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE) * Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE) Vậy HC = 6 (cm).
1) CMR khi M di chuyÓn trªn ®trßn (O) th× AD + BC cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi. 2) CM ®th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®trßn (O) . 3) CM víi bÊt kú vÞ trÝ nµo cña M trªn ®trßn (O) lu«n cã bÊt ®¼ng thøc AD. BC
R2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®trßn (O) ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra. 4) Trªn ®trßn (O) lÊy ®iÓm N cè ®Þnh . Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN vµ P lµ h×nh
chiÕu vu«ng gãc cña I trªn AB . Khi M di chuyÓn trªn ®trßn (O) th× P ch¹y trªn ®êng nµo?
1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho víi a = 2003 . 2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.
Bµi iiI ( 2,5 ®iÓm) :
Cho ph¬ng tr×nh : 5 9x x m víi x lµ Èn , m lµ sè cho tríc . 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho víi m = 2. 2) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = a . CMR khi ®ã ph¬ng trÝnh ®· cho
cßn cã mét nghiÖm n÷a lµ x = 14 – a. 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm .
Bµi Iv ( 2 ®iÓm) : Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) cã b¸n kÝnh theo thø tù lµ R , R’ c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B . 1) Mét tiÕp chung cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) vµ (O’) lÇn lît t¹i C vµ D .
Gäi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD . CMR : a) AK lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACD .
2) Mét c¸t tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) vµ (O’) lÇn lît tai E vµ F sao cho A n»m trong ®o¹n EF. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn EF ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c BEF ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .
Bµi v ( 2 ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC . Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC , M lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB ( kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh A, B ) . GoÞu H lµ giao ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ CM . CMR nÕu tø gi¸c BMHD néi tiÕp ®ùoc trong mét ®êng trßn th× cã bÊt ®¼ng thøc 2BC AC .
Bµi Iii ( 3 ®iÓm) : Cho c¸c ®êng th¼ng : ( 1d ) : y = 2x + 2 ;
( 2d ) : y = -x + 2;
( 3d ) : y = mx ( m lµ tham sè )
1) T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm A ,B , C theo thø tù cña ( 1d ) víi ( 2d ) ; ( 1d ) víi trôc hoµnh
vµ ( 2d ) víi trôc hoµnh.
2) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ( 3d ) c¾t c¶ hai ®êng th¼ng ( 1d ) vµ ( 2d ).
3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ( 3d ) c¾t c¶ hai tia AB vµ AC.
Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A . Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E sao cho AE = DC. 1) Chøng minh ABE CBD . 2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D sao cho tæng DA + DB + DC lín nhÊt.
biÖt. 3) T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é lµ
3 3
1 2 ; 1 2 .
Bµi iv( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C). Trªn tia DC lÊy ®iÓm E sao cho DE = DA . 1) Chøng minh ADE lµ tam gi¸c ®Òu . 2) Chøng minh ABD ACE . 3) Khi D chuyÓn ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C) th× E
ch¹y trªn ®êng nµo ?
Bµi v( 1 ®iÓm) : Cho 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n : a + b + c 2005.
Bµi I ( 2 ®iÓm) : T×m a vµ b tho¶ m·n ®¼ng thøc sau:
2
1
1.
1
1 2
bb
a
aaa
a
aa
Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : T×m c¸c sè h÷u tû a, b ,c ®«i mét kh¸c nhau sao cho biÓu thøc :
222
111
accbbaH
nhËn gi¸ trÞ còng lµ sè h÷u tû.
Bµi iiI ( 1,5 ®iÓm) : Gi¶ sö a vµ b lµ lµ hai sè d¬ng cho tríc . T×m nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: abxbxxax
Bµi Iv ( 2 ®iÓm) : Gäi A, B , C lµ c¸c gãc cña tam gi¸c ABC . t×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®ÓbiÓu thøc:
254
P = Sin2
A. Sin
2
B. Sin
2
C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt Êy ?
Bµi v ( 3 ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD. 1) Víi mçi ®iÓm M cho tríc trªn c¹nh AB ( kh¸c A vµ B). Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm N sao cho chu vi cña tam gi¸c AMN gÊp hai lÇn chu vi h×nh vu«ng ®· cho. 2) KÎ 9 ®êng th¼ng sao cho mçi ®êng th¼ng nµy chia h×nh vu«ng ®· cho thµnh 2
Bµi I a) Víi a, b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n a2 - b > 0 . H·y chøng minh :
2 2
2 2
a a b a a ba b
b) Kh«ng sö dông m¸y tÝnh vµ b¶ng sè , CMR
7 2 3 2 3 29
5 202 2 3 2 2 3
Bµi Ii
Gi¶ sö x , y lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n x + y = 10 . TÝnh gi¸ trÞ cña x , y ®Ó biÓu
thøc 4 41 1P x y ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ Êy .
Bµi Iii
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :
2 2 2
0
0( ) ( ) ( )
x y z
x y y z z x
x y z
x y y z z x
Bµi Iv
255
Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R víi BC = a , AC = b , BA = c . LÊy ®iÓm I bÊt kú ë phÝa trong cña tam gi¸c ABC . Gäi x ,y ,z lÇn lît lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I ®Õn BC , AC vµ AB cña tam gi¸c ABC .
Chøng minh : 2 2 2
2
a b cx y z
R
Bµi v Cho tËp hîp P gåm 10 ®iÓm trong ®ã cã mét sè cÆp ®iÓm ®îc nèi víi nhau b»ng ®o¹n th¼ng . Sè c¸c ®o¹n th¼ng cã trong tËp P nèi tõ ®iÓm A ®Õn c¸c ®iÓm kh¸c gäi lµ bËc cña ®iÓm A . CMR bao giê còng t×m ®îc hai ®iÓm trong tËp hîp P cã cïng bËc.
Cho biÓu thøc P = 5 (3 ). 2x x x x . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña P khi 0 3x .
Bµi iiI ( 2 ®iÓm) : a) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn a ,b, c sao cho : 2 2 2 2007a b c b) Chøng minh r»ng kh«ng tån tai c¸c sè h÷u tû x , y , z sao cho
2 2 2 3 5 7 0x y z x y z
Bµi iv( 2,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A . VÏ ®êng cao AH . Gäi (O) lµ vßng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC . Trªn cung nhá AH cña vßng trßn (O) lÊy ®iÓm M bÊt kú kh¸c A . Trªn tiÕp tuyÕn t¹i M cña vßng trßn (O) lÊy hai ®iÓm D vµ E sao cho BD = BE = BA . §êng th¼ng BM c¾t vßng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai N .
b) Cho a = 11 6 2 , 11 6 2b . CMR a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn.
c) Cho 3 36 3 10, 6 3 10c d . CMR 2 2,c d lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn.
Bµi Ii : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®êng trßn . P lµ ®iÓm di ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A . H¹ AM , AN lÇn lît vu«ng gãc víi PB vµ PC. a) CMR ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm P sao cho biÓu thøc AM . PB + AN . PC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi Iii : a) Cho a, b , c, d lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab = cd = 1. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ( )( ) 4 2( )a b c d a b c d .
b) Cho a, b , c, d lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab cd = 1> Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ( )( ) ( )( )ac bd ad bc a b c d .
Bµi Iv : Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y AB vµ CD . BiÕt r»ng ®êng trßn ®êng kÝnh CD ®i qua trung ®iÓm c¸c c¹nh bªn AD , BC vµ tiÕp xóc víi c¹nh AB. H·y t×m sè ®o c¸c gãc cña h×nh thang.
2) T×m quü tÝch ®iÓm I khi M di ®éng trªn cung BC.
®Ò thi sè 43
N¨m häc 2007 - 2008
§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh vÜnh phóc
M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’) (S 60 tr 11)
Bµi I ( 2 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0. a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nµy b»ng b×nh ph¬ng nghiÖm kia.
267
Bµi iI ( 2,5 ®iÓm) :
a) Rót gän biÓu thøc : 2008 2007 2008 2007
2008 2007 2008 2007M
b) Cho biÓu thøc : 2 1 1
1 1 1
x xN
x x x x x
T×m x ®Ó biÓu thøc N cã nghÜa . Khi ®ã CMR : N < 1
3.
Bµi iiI ( 2 ®iÓm) : a) Hai « t« cïng xuÊt ph¸t tõ hai ®Þa ®iÓm A, B , ®i ngîc chiÒu nhau trªn mét qu·ng ®êng . ¤ t« xuÊt ph¸t tõ A sau khi ®i ®îc mét phÇn ba qu·ng ®êng th× t¨ng vË tèc lªn gÊp ®«i nªn hai « t« gÆp nhau ë chÝnh gi÷a qu·ng ®êng . TÝnh vËn tèc ban ®Çu cña mçi « t« , biÕt r»ng vËn tèc cña « t« xuÊt ph¸t tõ B lín h¬n vËn tèc ban ®Çu cña « t« xuÊt ph¸t tõ A lµ 10 km/h. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
Bµi iIi: Cho ph¬ng tr×nh : 2 26 6 0.x x a a 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. 2) Gi¶ sö 1 2,x x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy. H·y t×m gi¸ trÞ cña a sao cho 3
M«n to¸n (®Ò chuyªn To¸n + Tin) - ( Thêi gian 150’) (S 61 tr 11)
Bµi I:
Cho biÓu thøc : 4 2
2
1 1: , 7 15
xP Q x x
x x x x x x
víi x > 0 , x 1.
1) Rót gän P. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× Q- 4P ®¹t GTNN?
Bµi Ii: C¸c sè x, y tho¶ m·n : 4 2 2 4 4x x y y , 8 4 4 8 8.x x y y
269
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓy thøc 12 2 2 12A x x y y
Bµi Iii: 1) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x , y sao cho 2(x + y ) + xy = x2 + y2. 2) Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n 2 2 25a b c . Chøng minh r»ng : c < a , c < b .
trÞ cña biÓu thøc B = 2 21 2 1 210 3( )x x x x . T×m m ®Ó B = 0.
Bµi v ( 3,5 ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD cã AB = 1 cm . Gäi M, N lµ c¸c ®iÓm lÇn lît di ®éng trªn c¸c c¹nh BC vµ CD cña h×nh vu«ng, P lµ ®iÓm n»m trªn tia ®èi cña tia BC sao cho BP = DN. a) CMR tø gi¸c ANCP néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. b) Gi¶ sö DN = x cm ( 0 1)x . TÝnh theo x ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ANCP. c) CMR: 045MAN khi vµ chØ khi MP = MN. d) KHi M vµ N di ®éng trªn c¸c c¹nh BC , CD sao cho 045MAN , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c MAN.
b) Víi c¸c gi¸ trÞ nµo cña c¸c tham sè m, n th× hµm sè y = mx + n x ®ång biÕn trªn R.
Bµi Iii ( 2 ®iÓm) : a) Cho ph¬ng tr×nh : 2 22 1 0x mx m ( m lµ tham sè ,x lµ Èn sè). T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 1 2,x x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
1 22000 2007x x
b) Cho a, b, c, d R . CMR Ýt nhÊt mét trong 4 ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
272
2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
H·y tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n.
Bµi Iv( 2 ®iÓm) :
Cho m , n , p , q Z ; n > 0, q > 0 vµ m P
n q .
a) CMR : m km hp p
n kn hq q
víi mäi k, h nguyªn d¬ng .
b) §¶o l¹i, H·y chøng tá r»ng mäi sè h÷u tû trong kho¶ng ;m p
n q
®Òu cã d¹ng
km hp
kn hq
,
víi h, k lµ c¸c sè nguyªn d¬ng nµo ®ã.
Bµi v( 2 ®iÓm) : a) Cho b¸t gi¸c låi ABCDEFGH néi tiÕp trong ®êng trßn (C) vµ cã AB = BC = GH = HA = 3 cm, CD = DE = EF = FG = 2 cm . H·y tÝnh diÖn tÝch S cña b¸t gi¸c låi ®ã. b) CMR nÕu ®a gi¸c låi (H) cã mäi ®Ønh n»m trong hoÆc n»m trªn ®ßng trßn (C) th× chu vi cña (H) bÐ h¬n chu vi cña (C)
2) Cho ph¬ng tr×nh 2 0x x p cã hai nghiÖm d¬ng 1 2,x x . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña p
khi 4 4 5 51 2 1 2x x x x ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
273
Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC ( AB < AC ), hai ®êng cao BD vµ CE c¾t nhau t¹i H ( D trªn c¹nh AC, E trªn c¹nh AB) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC , ®êng trßn ®i qua B, E, I vµ ®êng trßn ®i qua C, D, I c¾t nhau t¹i K ( K kh¸c I ). 1) CMR : BDK CEK 2) §êng th¼ng DE c¾t BC t¹i M. Chøng minh ba ®iÎm M, H , K th¼ng hµng. 3) Chøng minh tø gi¸c BKDM lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Bµi v( 1 ®iÓm) : Cho 19 ®iÓm trong dè kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng n»m trong lôc gi¸c ®Òu cã c¹nh b»ng 1. CMR lu«n tån t¹i mét tam gi¸c cã Ýt nhÊt mét gãc kh«ng lín h¬n 450 vµ n»m trong mét ®êng trßn cã b¸n kÝnh nhá h¬n 3/5 ( ®Ønh cña tam giÊctä böi 3 trong 19 ®iÓm ®· cho)
CMR nÕu a, b,c tho¶ m·n a + b + c = 2007 vµ 1 1 1 1
2007a b c th× mét trong ba sè ®ã ph¶i
cã mét sè b»ng 2007
Bµi Ii ( 2 ®iÓm) :
a) CMR : A = 3
3 32 1
2 13
lµ mét sè nguyªn.
b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3 3 2 2
1x y
x y x y
Bµi iiI ( 1 ®iÓm) : Cho hai ®a thøc : 4 3( ) 1, ( ) 1.P x x ax Q x x ax H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó P(x) vµ Q(x) cã nghiÖm chung.
Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh lµ a. Trªn hai c¹nh AD vµ CD lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho gãc MBN = 450 . BM vµ BN c¾t AC theo thø tù t¹i E vµ F. a) Chøng tá r»ng M, E , F, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
274
b) MF vµ NE c¾t nhau t¹i H , BH c¾t MN t¹i I . TÝnh BI theo a ; c) TÝnh vÞ trÝ cña M vµ N sao cho diÖn tÝch tam gi¸c MDN lín nhÊt .
Bµi v ( 1,5 ®iÓm) : Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng
a) Chøng minh r»ng 3
2
a b c
b c c a a b
;
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : a b c b c c a a b
Ab c c a a b a b c
.
Bµi vI ( 1 ®iÓm) : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 5 ( x + y + z) = 4xyz – 24.
Bµi iii ( 2 ®iÓm) : Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè thùc x, y, a, b tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn x + y = a + b vµ
4 4 4 4x y a b th× n n n nx y a b , víi mäi sè nguyªn d¬ng n.
Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A . Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ sao cho M , N lµ c¸c ®iÓm trªn c¹nh BC , cßn P ,Q lÇn lît lµ c¸c ®iÓm trªn c¹nh AC , AB . Gäi 1 2 3, ,R R R theo thø tù
lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c BQM , CPN , vµ AQP . CMR: a) Tam gi¸c AQP ®ång d¹ng víi tam gi¸c MPQ vµ tam gi¸c MBQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c NPC ; b) DiÖn tÝch tø gi¸c MNPQ lín nhÊt khi vµ chØ khi 2 2 2
Bµi iV (3 ®iÓm) : Cho ®êng trßn (O,R) cã ®êng kÝnh AB ; ®iÓm I n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ O . KÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I , ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i M vµ N . Gäi S lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng BM vµ AN . Qua S kÎ ®êng th¼ng song song víi MN, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AM lÇn lît ë K vµ H . H·y chøng minh : a) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK = HA.HM . b) KM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R). c) Ba ®iÓm H , N, B th¼ng hµng.
Bµi V (1,5 ®iÓm) :
a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2
2
6 12
3
xy y
xy x
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 43. 2 2008 2008x x x x
280
N¨m häc 2008- 2009
®Ò thi sè 56
§Ò thi vµo líp 10 ptth tp hµ néi
M«n to¸n - ( thêi gian 120’)
Bµi I
Cho biÓu thøc 1
:1
x xP
x x x x
1) Rót gän biÓu thøc P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 4
3) T×m x ®Ó P = 13
3
Bµi II : Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Th¸ng thø nhÊt hai tæ s¶n xuÊt ®îc 900 chi tiÕt m¸y . Th¸ng thø hai tæ I vît møc 15% vµ tæ hai vît møc 10 % so víi th¸ng thø nhÊt , v× vËy hai tæ s¶n xuÊt ®îc 1010 chi tiÕt m¸y .Hái th¸ng thø nhÊt mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y?
Bµi III :
Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy, cho Parapol (P) cã ptr×nh lµ : 21
2y x vµ ®êng th¼ng (d)
cã ph¬ng tr×nh y = mx + 1 a) CMR: víi mäi gi¸ trÞ cña m ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t Parabol (P) t¹i hai ®iÓm
a) Chøng minh KAF ®ång d¹ng KEA . b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®êng trung trùc ®o¹n EF víi OE. Chøng minh ®êng
trßn (I) b¸n kÝnh IE tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i E vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng AB t¹i F.
c) Chøng minh MN // AB , trong ®ã M vµ N lÇn lît lµ giao ®iÓm thø hai cña AE , BE víi ®êng trßn (I).
d) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt chu vi cña KPQ theo R khi E di chuyÓn trªn ®êng trßn (O), víi P lµ giao ®iÓm cña NE vµ AK, Q lµ giao ®iÓm cña MF vµ BK.
Bµi V: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A biÕt
4 4 2 2
1 3 6 1 3A x x x x
281
Đáp án Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2008 - 2009
Câu I. 1. Rút gọn P Điều kiện:
2. Với 3. Tìm x để:
Đặt
Với Với
Vậy nghiệm là : và Câu II . Gọi tháng thứ nhất tổ I sản xuất được x ( chi tiết máy) Do tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy nên tháng thứ hai tổ II sản xuất được 900 – x (chi tiết máy) (Điều kiện: 0< x < 900) Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất được số chi tiết máy là: x + x.15%= x.115% (chi tiết máy) (1) Tháng thứ hai tổ II vượt mức 10% nên tổ II sản xuất được số chi tiết máy là: (900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x). 110% ( chi tiết máy) (2) Trong tháng hai cả hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy, nên từ (1) và (2) ta có phương trình:
Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 (chi tiết máy)
282
Vậy tháng thứ nhất tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết máy) Câu III. 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
(1) (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m vì a.c = - 4 < 0 (2) Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
2.Phương trình (1) có: Phương trình (1) có 2 nghiệm:
và
Ta chọn: và
Thay vào (d): ta được:
và Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B lên trục Ox Gọi S1 là diện tích của hình thang ABB’A’
Gọi S2 là diện tích của tam giác AOA’
(vì )
Gọi S3 là diện tích của tam giác BOB’
Vậy (vì )
Diện tích:
(đvdt)
283
Câu IV. 1) Xét hai và có: Góc chung (1)
( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) và (2) suy ra:
(g.g) 2. Do EK là đường phân giác của góc
nên K là điểm chính giữa của cung AB suy ra Mà OK = OE nên cân tại O
(3)
Mặt khác: I là giao điểm của đường trung trực EF và OE nên IF = IE vậy
cân tại (4)
Từ (3) và (4) suy ra Vậy IF // OK ( Do ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng và OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) 3. AE cắt (I) tại M, BE cắt (I) tại N
Mà suy ra MN là đường kính của đường tròn ( I ) nên MN đi qua I
Hơn nữa EF là phân giác của góc Theo chứng minh tương tự câu a ta suy ra Vậy MN // AB 4. Theo đề bài ta có NF cắt AK tại P, MF cắt BK tại Q
Suy ra ( vì hai góc đối đỉnh)
Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Vậy tứ giác PKQF là tứ giác nội tiếp đường tròn
Suy ra ( vì cùng chắn cung KQ )
Mà ( đối đỉnh)
Mặt khác ( do cùng chắn cung ME và MN // AB )
Hơn nữa ( vì cùng chắn cung AE )
Suy ra và (chắn cung FQ)
Vậy suy ra PKQF là hình chữ nhật
284
Mặt khác: vuông cân tại P Suy ra AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuông cân tại K Vậy chu vi tam giác KPQ là:
( do PQ = KF) Vậy trùng với O hay E là điểm chính giữa của cung AB Câu V. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
(*) Đặt
Khi đó (*)
(vì )
Vậy
N¨m häc 2008- 2009
®Ò thi sè 57
§Ò thi vµo líp 10 ptth tp Hå chÝ minh
M«n to¸n - ( thêi gian 120’)
Bµi I Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau : a) 22 3 5 0x x .
285
b) 4 23 4 0x x
c) 2 1
3 4 1
x y
x y
Bµi II : a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = - x2 vµ ®êng th¼ng (d) y = x - 2 trªn cïng mét hÖ
Bµi IV: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx - 1 = 0 ( m lµ tham sè ) a) Chøng minh ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m. b) Gäi 1 2,x x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn . T×m m ®Ó 2 2
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 TP.HCM Môn thi : TOÁN
Câu 1:
a) có a + b + c = 0 nên có nghiệm là x = 1 hay b) Ðặt , phương trình : (1) thành Phương trình này có dạng a - b + c = 0 nên có nghiệm là t = -1 (loại) hay
. Do đó,
286
c) Câu 2: a) Vẽ đồ thị:
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình:
Ta có: y(1) = 1 - 2 = -1; y(-2) = -2 - 2 = -4 Tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (1; -1); (-2; -4) Câu 3:
a)
b) Điều kiện: x - 4 ≠ 0; x + 4 + 4 ≠ 0; ≠ 0; x 0 x ≠ 4; x > 0 (*) Với điều kiện (*) thì:
Câu 4:
287
a) Ta có : a.c = -1 < 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với
b) Theo định lý Viet ta có
;
với
Câu 5:
a) Chứng minh : Vì tính chất phương tích của tiếp tuyến nên ta có
b) Chứng minh: M, A, O, I, B cùng nằm trên đuờng tròn
Vì nên 3 điểm B, A, I cùng nhìn OM dưới một góc vuông. Vậy 5 điểm B, A, I, M, O cùng nội tiếp đường tròn đường kính OM c) Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
(c.g.c)
nội tiếp
Ta có: (chứng minh trên)
( cùng chắn cung DO)
Mà (tam giác COD cân tại O)
là phân giác của góc CHD
d) K là trực tâm của tam giác CDO thẳng hàng.
( chắn nửa đường tròn đường kính KO)
Mà Dễ dàng suy ra A, H, K thẳng hàng suy ra A, B, K thẳng hàng.
288
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009
Môn: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. Phần trắc nghiệm (4, 0 điểm) Chọn ý đúng mỗi câu sau và ghi vào giấy làm bài.Ví dụ: Nếu chọn ý A câu 1 thì ghi 1A.
Câu 1. Giá trị của biểu thức 2(3 5 ) bằng
A. 3 5 B. 5 3 C. 2 D. 3 5 Câu 2. Đường thẳng y = mx + 2 song song với đường thẳng y = 3x 2 khi A. m = 2 B. m = 2 C. m = 3 D. m = 3 Câu 3. x 3 7 khi x bằng
A. 10 B. 52 C. 4 6 D. 14 Câu 4. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 là A. ( 2; 8) B. (3; 12) C. (1; 2) D. (3; 18) Câu 5. Đường thẳng y = x 2 cắt trục hoành tại điểm có toạ độ là A. (2; 0) B. (0; 2) C. (0; 2) D. ( 2; 0) Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có
A. AC
sin BAB
B. AH
sin BAB
C. AB
sin BBC
D. BH
sin BAB
Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
A. r2h B. 2r2h C. 2rh D. rh Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC là đường kính của đường tròn (O), điểm A nằm trên
đường thẳng BC, AM là tiếp tuyến của (O) tại M và · 0MBC 65= . Số đo của góc MAC bằng A. 150 B. 250 C. 350 D. 400 II. Phần tự luận (6,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm) a) Rút gọn các biểu thức: M 2 5 45 2 20= - + ;
1 1 5 1 N
3 5 3 5 5 5
-= - ×
- + -
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø.
b) Tổng của hai số bằng 59. Ba lần của số thứ nhất lớn hơn hai lần của số thứ hai là 7. Tìm hai sè đó.
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 - 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 1 2 2 1x x x x 6 .
Bài 3. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB).
®Ò thi sè 58
A B O
C
M
650
289
a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg ·ABC . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. II. Đáp án và thang điểm 1. Phần trắc nghiệm (4,0 điểm) - HS chọn đúng mỗi câu cho 0,5 điểm. - Đáp án
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 A C B D A B C D
2. Phần tự luận (6,0 điểm) Bài Đáp án Điểm
a) Biến đổi
M 2 5 3 5 4 5 3 5
1 1 5 1 3 5 (3 5 ) 5 1N
9 53 5 3 5 5 5 5 ( 5 1)
æ ö - + - - -÷ç= - × = ×÷ç ÷÷çè ø -- + - -
2 5 1 1
4 25= × =
0,25đ 0,25đ 0,25đ
1 (1,5đ)
b) Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai.
Theo đề bài ta có: x y 59
3x 2y 7
ì + =ïïíï - =ïî
Giải hệ phường trình tìm được x = 25, y = 34. Kết luận hai số cần tìm là 25 và 34.
0,25đ 0,25đ 0,25đ
a) Khi m = 6, ta có PT x2 - 5x + 6 = 0 Lập ∆ = 52 - 4.6 = 1 Tìm được hai nghiệm: x1 = 2; x2 = 3
0,25đ 0,5đ
2 (1,5đ)
b) Lập ∆ = 25 - 4m
Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 khi ∆ ≥ 0 hay m 25
4
Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5 ; x1.x2 = m
Hai nghiệm x1, x2 dương khi 1 2
1 2
x x 0
x x 0
ì + >ïïíï >ïî
hay m > 0.
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là
0,25đ
290
0 < m 25
4 (*)
Ta có: ( )2
1 2 1 2 1 2x x x x 2 x .x 5 2 m+ = + + = +
Suy ra 1 2x x 5 2 m+ = +
Ta có 1 2 2 1 1 2 1 2x x x x 6 x .x x x 6
Hay m 5 2 m 6 2m m 5m 36 0 (1)
Đặt t m 0 , khi đó (1) thành: 2t3 + 5t2 - 36 = 0 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0 * t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). * 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2
thoả mãn 1 2 2 1x x x x 6 .
0,25đ 0,25đ
Hình vẽ phục vụ a) Hình vẽ phục vụ b), c), d)
0,25đ 0,25đ
a) Lí luận được · ·0 0ACM 90 , ANM 90= =
Kết luận ANMC là tứ giác nội tiếp.
0.25đ 0.25đ
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
CH2 = AH.HB CH = AH.HB 5 (cm)
· CH 5t gABC
HB 5= =
0,5đ 0,25đ
c) Lí luận được: · ·ACN=AMN
· · ·ADC=ABC BCO=
· ·ADC=AMN
Suy ra được · ·ACN=BCO
Lí luận · 0NCO=90 Kết luận NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
0,25đ 0,25đ
3 (3,0đ)
d) Gọi I là giao điểm của BE và CH và K là giao điểm của tiếp tuyến AE và BM. Lí luận được OE//BM. Từ đó lí luận suy ra E là trung điểm của AK
Lý luận được IC IH
EK EA (cùng bằng
BI
BE )
Mà EK = EA
0,25đ 0,25đ
I E
O B
M
N A H
C
D
K
291
Do đó IC = IH. Kết luận: Đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
0,25đ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian
giao đề ) Bài 1 ( 1 điểm ):
a) Thực hiện phép tính: 35
126320103
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx .
Bài 2 ( 1,5 điểm ):
Cho hệ phương trình:
5myx3
2ymx
a) Giải hệ phương trình khi 2m . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ
thức 3m
m1yx
2
2
.
Bài 3 (1,5 điểm ):
a) Cho hàm số 2x2
1y , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2 và 1.
b) Giải phương trình: 1xx2x3x3 22 .
Bài 4 ( 2 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: 1AB
MO
CD
MO .
b) Chứng minh: .MN
2
CD
1
AB
1
c) Biết 2COD
2AOB nS;mS . Tính ABCDS theo m và n (với CODAOB S,S ,
ABCDS lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác
ABCD).
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM BC.
®Ò thi sè 59
292
c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 6 ( 1 điểm ):
a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng: yxx
y
y
x 22
.
b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian
giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I. Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. II. Đáp án:
Bài Nội dung Điểm
a) Biến đổi được:
223
35
)223)(35(
0,25
0,25
1 (1đ)
b) Điều kiện 2008x
4
8031
4
8031)
2
12008x(
4
12008)
4
12008x.
2
1.22008x(2008xx
2
Dấu “ = “ xảy ra khi 4
8033x
2
12008x (thỏa mãn). Vậy giá trị
nhỏ nhất cần tìm là 4
8033xkhi
4
8031 .
0,25 0,25
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình
5y2x3
2yx2
2x2y
5
522x
5y2x3
22y2x2
0,25 0,25
CH NH
293
5
625y
5
522x
0,25 2 (1,5đ)
b) Giải tìm được: 3m
6m5y;
3m
5m2x
22
Thay vào hệ thức 3m
m1yx
2
2
; ta được
3m
m1
3m
6m5
3m
5m22
2
22
Giải tìm được 7
4m
0,25 0,25 0,25
a) Tìm được M(- 2; - 2); N )2
1:1(
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên
2
1ba
2ba2
Tìm được 1b;2
1a . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
1x2
1y
0,25 0,25 0,25
3 (1,5đ)
b) Biến đổi phương trình đã cho thành 01xx2)xx(3 22
Đặt xxt 2 ( điều kiện t 0 ), ta có phương trình 01t2t3 2
Giải tìm được t = 1 hoặc t = 3
1 (loại)
Với t = 1, ta có 01xx1xx 22 . Giải ra được 2
51x
hoặc 2
51x
.
0,25 0,25 0,25
Hình vẽ
O
A B
CD
NM
0,25
a) Chứng minh được AD
MD
AB
MO;
AD
AM
CD
MO
Suy ra 1AD
AD
AD
MDAM
AB
MO
CD
MO
(1)
0,25
294
0,50
b) Tương tự câu a) ta có 1AB
NO
CD
NO (2)
(1) và (2) suy ra 2AB
MN
CD
MNhay2
AB
NOMO
CD
NOMO
Suy ra MN
2
AB
1
CD
1
0,25 0,25
4 (2đ)
c)
n.mSn.mS
S
S
S
S
OC
OA
OD
OB;
OC
OA
S
S;
OD
OB
S
S
AOD222
AOD
COD
AOD
AOD
AOB
COD
AOD
AOD
AOB
Tương tự n.mSBOC . Vậy 222ABCD )nm(mn2nmS
0,25
0,25 Hình vẽ (phục vụ câu a)
OI
C
D
M
B
A
0,25
a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1) - M nằm trên đường trung trực của BC (2) Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra
BCOM
0,25 0,25 0,25
5 (3đ)
c) Từ giả thiết suy ra OMd Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 090 , do đó OI là đường kính của đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định. Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.
0,25 0,25 0,25 0,25
a) Với x và y đều dương, ta có yxx
y
y
x 22
(1)
0)yx)(yx()yx(xyyx 233 (2)
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi 0y,0x
0,25 0,25
295
6 (1đ)
b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0. - Với n = 2k, ta có k24n4 4)k2(4n lớn hơn 2 và chia hết cho 2.
Do đó n4 4n là hợp số. -Với n = 2k+1, tacó 2k2k22k4k24n4 )2.n.2()4.2n()4.2(n4.4n4n
= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009
Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin)
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (1,5 điểm ):
a) Thực hiện phép tính: 35
126320103
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx .
Bài 2 (2 điểm ):
Cho hệ phương trình:
5myx3
2ymx
a) Giải hệ phương trình khi 2m .
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ
thức 3m
m1yx
2
2
.
Bài 3 (2 điểm ):
a) Cho hàm số 2x2
1y , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2 và 1.
b) Giải phương trình: 1xx2x3x3 22 .
®Ò thi sè 60
296
Bài 4 ( 1,5 điểm ):
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: 1AB
MO
CD
MO .
b) Chứng minh: .MN
2
CD
1
AB
1
Bài 5 ( 3 điểm ):
Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM BC.
c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN
(Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian
giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I. Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. II. Đáp án:
Bài Nội dung Điểm
a) Biến đổi được:
223
35
)223)(35(
0,50
0,25
1 (1,5đ)
b) Điều kiện 2008x
H v tên thí sinh: S báo danh: ..
CH NH
297
4
8031
4
8031)
2
12008x(
4
12008)
4
12008x.
2
1.22008x(2008xx
2
Dấu “ = “ xảy ra khi 4
8033x
2
12008x (thỏa mãn). Vậy giá trị
nhỏ nhất cần tìm là 4
8033xkhi
4
8031 .
0,50 0,25
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình
5y2x3
2yx2
2x2y
5
522x
5y2x3
22y2x2
5
625y
5
522x
0,25 0,25 0,25 0,25
2 (2đ)
b) Giải tìm được: 3m
6m5y;
3m
5m2x
22
Thay vào hệ thức 3m
m1yx
2
2
; ta được
3m
m1
3m
6m5
3m
5m22
2
22
Giải tìm được 7
4m
0,50 0,25 0,25
a) Tìm được M(- 2; - 2); N )2
1:1(
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên
2
1ba
2ba2
Tìm được 1b;2
1a .
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 1x2
1y
0,25 0,25
0,25 0,25
3 (2đ)
b) Biến đổi phương trình đã cho thành 01xx2)xx(3 22
Đặt xxt 2 ( điều kiện t 0 ), ta có phương trình 01t2t3 2
Giải tìm được t = 1 hoặc t = 3
1 (loại)
0,25
0,25
0,25
298
Với t = 1, ta có 01xx1xx 22 . Giải ra được 2
51x
hoặc 2
51x
.
0,25
Hình vẽ
O
A B
CD
NM
0,25
a) Chứng minh được AD
MD
AB
MO;
AD
AM
CD
MO
Suy ra 1AD
AD
AD
MDAM
AB
MO
CD
MO
(1)
0,25 0,50
4 (1,5đ) b) Tương tự câu a) ta có 1
AB
NO
CD
NO (2)
(1) và (2) suy ra 2AB
MN
CD
MNhay2
AB
NOMO
CD
NOMO
Suy ra MN
2
AB
1
CD
1
0,25 0,25
Hình vẽ (phục vụ câu a)
OI
C
D
M
B
A
0,25
a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1) - M nằm trên đường trung trực của BC (2) Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra
BCOM
0,25 0,25 0,25
5 (3đ)
c) Từ giả thiết suy ra OMd Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 090 , do đó OI là đường kính của
0,25 0,25
299
đường tròn này. Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định. Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.
Đề thi tuyển sinh lớp 10 PTNK năm học 2008-2009_Môn toán AB
Thời gian : 150'
Câu 1. Cho phươhg trình : (1) a) Giải phương trình khi b)Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm. Câu 2. a)Giải phương trình :
b) giải hệ phương trình : Câu 3. a) chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x > 1)
b) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thoả mản điều kiện :
Chứng minh rằng : Câu 4. Cho tứ giác có góc A nhọn và 2 đường chéo AC , BD vuông góc vói nhau tại là trung điểm và là trực tâm tam giác .
a) Hãy tính tỉ số : PM
DH
b)Gọi N, Klần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ; Q là giao điểm của hai đường và . CMR : MN = MQ . c) Chừng minh rằng tứ giác BQNK nội tiÕp được.
300
Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lương kẹo thành các phần quà để tặng các em nhỏ ở một đơn vị trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm đi viên thì các em có thêm 5 phần quà , nếu giam đi 10 viên mỗi phần quà thì có thêm 10 phần quà. HỎi số kẹo mà nhóm học sinh này có.