1.5. Envolventes 1. Curvas parametrizadas. 1.1 Curvas. 1.2 Reparametrizaciones. 1.3 Curvatura de una curva. 1.4 Curvas en el espacio. 1.5 Curvas generadas por familias de curvas. 2. Teor´ ıa elemental de superficies. 2.1 Superficies parametrizadas. 2.2 Plano tangente. 2.3 Primera forma fundamental. 2.4 Curvatura normal. 2.5 Curvatura geod´ esica. 3. Superficies orientadas. 3.1 Segunda forma fundamental. 3.2 Clasificaci´on de los puntos de una superficie. 3.3 Curvatura de Gauss. 3.4 Superficies regladas. 3.5 Geod´ esicas y el teorema de Gauss Bonnet. 1.5. Envolventes Obtener la familia de rectas tangentes γ(t)=(t, t 2 ) 1.5. Envolventes Familia uniparam´ etrica de curvas planas Una familia uniparam´ etrica de curvas planas {γ λ : I → R 2 } λ∈J es un conjunto de curvas en el plano, definidas en un mismo intervalo I , cuyas ecuaciones vienen dadas en funci´ on de un par´ametro λ ∈ J : γ λ (t)=(x(t, λ),y(t, λ)), t ∈ I {γ λ (t)=(λ + cos(t), sin(t)) , t ∈ (0, 2π)} λ∈R 1.5. Envolventes Envolvente Se llama envolvente de una familia uniparam´ etrica de curvas regulares planas {γ λ } λ∈J a una curva : J → R 2 , tal que: 1. no pertenece a la familia dada: {γ λ } λ∈J . 2. ∀ λ ∈ J , la recta tangente a en (λ) es tambi´ en tangente a la curva γ λ . J ⊂ R, abierto. γ λ derivable y con derivada continua, respecto de λ. 1.5. Envolventes