14/Mar/2018 – Aula 8 8. Momento linear 8.1 Definição 8.2 ... · 8. Momento linear 8.1 Definição 8.2 Impulso de uma força 8.3 Centro de massa 8.4 Conservação 7. Conservação

12/Mar/2018 – Aula 7

14/Mar/2018 – Aula 8

8. Momento linear 8.1 Definição 8.2 Impulso de uma força 8.3 Centro de massa 8.4 Conservação

7. Conservação da energia 7.1 Forças conservativas e não conservativas 7.2 Energia potencial gravítica 7.3 Energia potencial elástica 7.4 Nível zero da energia potencial

7.5 Conservação da energia mecânica 7.6 Energia e cinemática 7.7 Energia e forças não-conservativas

1

2

7.1 Forças conservativas e não conservativas

Uma força diz-se conservativa se o trabalho por ela realizado não depender do percurso efetuado, mas apenas do deslocamento (diferença entre os pontos inicial e final). Portanto, o trabalho realizado por uma força conservativa, ao longo de uma linha fechada, é nulo.

Exemplos de forças conservativas: •  força de restituição de

uma mola •  força gravítica.

Trabalho realizado pela força gravítica ao longo de uma linha fechada: W = 0

Aula anterior

3

Uma força diz-se não-conservativa (ou dissipativa) se o trabalho por ela realizado depender do percurso efetuado. Portanto, o trabalho realizado por uma força não-conservativa, ao longo de uma linha fechada, não é nulo.

Exemplo de forças não-conservativas: •  atrito

Trabalho realizado por uma força de atrito, ao longo de uma linha fechada: W ≠ 0

7.1 Forças conservativas e não conservativas Aula anterior

Aula anterior

4

A qualquer força conservativa está associada uma energia potencial. Exemplo: energia potencial gravítica. O trabalho realizado pela força gravítica é independente do percurso escolhido, só depende da diferença de alturas Δy.

W =!F.d!r

si

s f∫

�� 7UDEDOKR� HQHUJLD�H�SRWrQFLD ���

+PIUI�[M VrW�KWV[MZ^I\Q^I I�]UI�NWZtI�K]RW�\ZIJITPW�LMXMVLM�LI�LQ[\pVKQI�XMZKWZ�ZQLI� [MVLW�I�NWZtI�LM�I\ZQ\W�]U�M`MUXTW�LM[\M�\QXW� ;M�W�\ZIJITPW�LM�]UI�NWZtILMXMVLMZ�IXMVI[�LI�XW[QtrW�QVQKQIT�M�LI�XW[QtrW�ÅVIT�LW�[M]�LM[TWKIUMV\W� W]�[MRI�[M�W�\ZIJITPW�NWZ�QVLMXMVLMV\M�LI�\ZIRM\~ZQI� I�NWZtI�LQb�[M KWV[MZ^I\Q^I� >nZQW[�M`MU�XTW[�LM�NWZtI[�KWV[MZ^I\Q^I[� KWUW�I�NWZtI�OZI^y\QKI� NWZIU�Rn�ZMNMZQLW[�

+WV[QLMZIVLW�Y]M�W�KIUXW�OZI^y\QKW�u�]VQNWZUM�XMZ\W�LI�[]XMZNyKQM�LI�<MZZI�[WJZM�]UI�XIZ\yK]TI�KWU�UI[[I m I\]I�MU�Y]ITY]MZ�XWV\W�I�NWZtI�^MZ\QKIT −mg⃗#IW�TWVOW�LI�\ZIRM\~ZQI�K]Z^QTyVMI�UW[\ZILI�VI�ÅO]ZI�[MO]QV\M� W�\ZIJITPW�LI�NWZtIOZI^y\QKI�XWLM�[MZ�M[KZQ\W�KWUW

Wif = (−mg) (hf − hi) = mghi −mghf = Ui − Uf . �����

y

mg

mg

x

hf

hi

+WV^uU� MV\rW� LMÅVQZ�I�OZIVLMbI�KPIUILI MVMZOQI� XW\MVKQIT VW�KIUXW�OZI^y\QKW]VQNWZUM"

U (h) = mgh. �����

) MVMZOQI�XW\MVKQIT�u�N]VtrW�LI[�KWWZLMVILI[� LM�\IT�NWZUI�Y]M�I�LQNMZMVtI�MV\ZM�W[[M][�^ITWZM[�VI�XW[QtrW�QVQKQIT�M�VI�XW[QtrW�ÅVIT�u�QO]IT�IW�\ZIJITPW�ZMITQbILW�[WJZMI�XIZ\yK]TI�XIZI�I�LM[TWKIZ�MV\ZM�M[[I[�XW[Qt�M[� -U�OMZIT� KPIUI�[M MVMZOQI�XW\MVKQITLM�]UI�XIZ\yK]TI�o�MVMZOQI�Y]M�MTI�\MU�MU�N]VtrW�LI�[]I�XW[QtrW�

��� =U�K]JW�M�]U�KQTQVLZW�\wU�I�UM[UI�UI[[I� W�UM[UW�̂ WT]UM�M�I�UM[UI�IT�\]ZI�M�MVKWV\ZIU�[M�MU�ZMXW][W�V]U�XTIVW�PWZQbWV\IT� 1UIOQVM�Y]M�[M�IXTQKI�]UINWZtI�PWZQbWV\IT�VW�JWZLW�[]XMZQWZ�LM�KILI�]U� 9]IT�[MZn�UIQ[�NnKQT�LM�QV^MZ\MZ'

Wif = −mg( ) hf − hi( ) =mghi −mghf=Ui −U f = −ΔU

7.2 Energia potencial gravítica

U h( ) =mgh Energia potencial gravítica

Projétil Simulação

5

7.3 Energia potencial elástica

A força de restituição de uma mola também é conservativa. Logo, está-lhe associada uma energia potencial (elástica).

Umola = kx dxxi

x f

∫ =12kx2 +U0

dUmola = −dW = −!F ⋅d!ℓ

= −Fxdx = −(−kx)dx

= kx dx

U0 = 0 ⇒Se Umola =12kx2

Aula anterior

Mola Simulação

6

7.4 Nível zero da energia potencial

Exemplo: uma pedra, inicialmente em repouso, é deixada cair. Determine a sua velocidade imediatamente antes de tocar o solo, segundo os dois referenciais (Betty e Bill).

Ecin f =12mv f2 = −(U f −Ui ) = −ΔU

Betty: Ui = mg yi = 9,8 J

U f =mg y f = 0 J

ΔUBetty =U f −Ui = −9,8 J

Bill: Ui = mg yi = 0 J e U f =mg y f = −9,8 J

ΔUBill =U f −Ui = −9,8 J

v f =−2ΔUm

=−2(−9,8 J)

(1 kg)= 4,43 m/s

Aula anterior

7

7.5 Conservação da energia mecânica

A energia mecânica total de um sistema é a soma da sua energia cinética com a energia potencial.

Se as únicas forças em ação forem conservativas, a energia mecânica total conserva-se. Por exemplo, quando a única força a realizar trabalho num sistema for a força gravítica, a energia mecânica total mantém-se.

Aula anterior

8

7.5 Conservação da energia mecânica

Uma força conservativa pode ser obtida a partir da sua função energia potencial. Por exemplo, a uma dimensão:

−dU =!F ⋅d!ℓ = Fxdx

Fx = −dUdx

A duas e três dimensões:

Fx = −dUdx, Fy = −

dUdy

Fz = −dUdz

Aula anterior

9

7.7 Energia e forças não-conservativas

Na presença de forças não-conservativas, a energia mecânica total não é conservada:

Wtotal =Wc +WncΔEcin = −ΔU +Wnc

Aula anterior

Wnc = ΔU +ΔEcin = ΔE

10

4.9 Energia mecânica e forças não-conservativas O bloco tem uma velocidade inicial de 7 m/s e percorre 2 m até chegar à rampa. O coeficiente de atrito cinético é µk =0,3 e a inclinação da rampa é de 40º. Determine: a)  a velocidade do bloco, quando chega à rampa; b)  a distância que percorre na rampa até parar, momentaneamente.

a)

Chapter 7

664

(c) Apply the work-energy theorem

for systems with kinetic friction:

sfEEEW '�' '�' mechthermmechext

or, because UKE '�' '

mech and

'U = 0,

thermextEKW '�'

Solving for 'K yields: thermextǻǻ EWK �

Substitute numerical values and

evaluate 'K:

J34J33.7J70.2J03.91ǻ � K

(d) Because Ki = 0: 2

f2

1f

mvKK ' �m

Kv '

2f

Substitute numerical values and

evaluate f

v :

� �m/s2.9

kg8.0

J33.72f

v

64 •• Using Figure 7-41, suppose that the surfaces described are not

frictionless and that the coefficient of kinetic friction between the block and the

surfaces is 0.30. The block has an initial speed of 7.0 m/s and slides 2.0 m before

reaching the ramp. Find (a) the speed of the block when it reaches the ramp, and

(b) the distance that the block slides along the inclined surface before coming

momentarily to rest. (Neglect any energy dissipated along the transition curve.)

Picture the Problem The pictorial representation shows the block in its initial,

intermediate, and final states. It also shows a choice for Ug = 0. Let the system

consist of the block, ramp, and Earth. Then the kinetic energy of the block at the

foot of the ramp is equal to its initial kinetic energy less the energy dissipated by

friction. The block’s kinetic energy at the foot of the incline is partially converted

to gravitational potential energy and partially converted to thermal energy

(dissipated by friction) as the block slides up the incline. The free-body diagram

shows the forces acting on the block as it slides up the incline. Applying

Newton’s second law to the block will allow us to determine fk and express the

energy dissipated by friction.

gF�

nF�

T

x

y

kf�

0g U

0

00 x

h

T21

3

01 x m 0.2

2 x

03 v

m/s 0.71 v

2v

�� m 0.23x

m m

m

m

nc cinW U E E= Δ +Δ = Δ

!f .Δ!s = 0+ 1

2mv22 −12mv12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(até chegar à rampa, ΔU = 0)

Como !f .Δ!s = f scos180º= − f s = − f x2 − x1( )

e f = µkmg v2 = v12 − 2µkg x2 − x1( ) = 72 − 2×0,3×9,81 = 6,1m/s

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4.9 Energia mecânica e forças não-conservativas O bloco tem uma velocidade inicial de 7 m/s e percorre 2 m até chegar à rampa. O coeficiente de atrito cinético é µk =0,3 e a inclinação da rampa é de 40º. Determine: a)  a velocidade do bloco, quando chega à rampa; b)  a distância que percorre na rampa até parar, momentaneamente.

Chapter 7

664

(c) Apply the work-energy theorem

for systems with kinetic friction:

sfEEEW '�' '�' mechthermmechext

or, because UKE '�' '

mech and

'U = 0,

thermextEKW '�'

Solving for 'K yields: thermextǻǻ EWK �

Substitute numerical values and

evaluate 'K:

J34J33.7J70.2J03.91ǻ � K

(d) Because Ki = 0: 2

f2

1f

mvKK ' �m

Kv '

2f

Substitute numerical values and

evaluate f

v :

� �m/s2.9

kg8.0

J33.72f

v

64 •• Using Figure 7-41, suppose that the surfaces described are not

frictionless and that the coefficient of kinetic friction between the block and the

surfaces is 0.30. The block has an initial speed of 7.0 m/s and slides 2.0 m before

reaching the ramp. Find (a) the speed of the block when it reaches the ramp, and

(b) the distance that the block slides along the inclined surface before coming

momentarily to rest. (Neglect any energy dissipated along the transition curve.)

Picture the Problem The pictorial representation shows the block in its initial,

intermediate, and final states. It also shows a choice for Ug = 0. Let the system

consist of the block, ramp, and Earth. Then the kinetic energy of the block at the

foot of the ramp is equal to its initial kinetic energy less the energy dissipated by

friction. The block’s kinetic energy at the foot of the incline is partially converted

to gravitational potential energy and partially converted to thermal energy

(dissipated by friction) as the block slides up the incline. The free-body diagram

shows the forces acting on the block as it slides up the incline. Applying

Newton’s second law to the block will allow us to determine fk and express the

energy dissipated by friction.

gF�

nF�

T

x

y

kf�

0g U

0

00 x

h

T21

3

01 x m 0.2

2 x

03 v

m/s 0.71 v

2v

�� m 0.23x

m m

m

m

b) nc cinW U E E= Δ +Δ = Δ

!f .Δ!s = mgh−0( )+ 0− 12mv2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(no plano inclinado)

Mas !f .Δ!s = f scos180º= − f s = − f x3 − x2( )

0 cos cosn nF F mg F mgy θ θ= = − ⇒ =∑ f = µk Fn = µkmg cosθ

mgh =mg x3 − x2( )senθ

−µkmg cosθ x3 − x2( ) =mg x3 − x2( )senθ − 12mv22

x3 − x2 =v22

2g µk cosθ + senθ( )= 2,2m

Por sua vez,

12

O momento linear de uma partícula é o produto da sua massa pela velocidade:

!p =m !v p⎡⎣ ⎤⎦ =kg m / s

!F∑ =m!a =md

!vdt=d m !v( )dt

=d!pdt

A partir da 2ª lei de Newton, se m for constante:

!F∑ =

d!pdt

8.1 Definição

Momento linear total de um sistema de várias partículas:

!Psist =

!pii∑ = mi

!vii∑

13

O impulso de uma força é o produto da força pelo intervalo de tempo em que ela atua num objeto:

!I =!F Δt I⎡⎣ ⎤⎦ =kg m / s

A variação do momento linear de uma partícula é igual ao impulso da força resultante:

8.2 Impulso de uma força

!F∑ =

d!pdt

Δ!p =!F Δt

14

A variação do momento linear depende do tempo durante o qual a força resultante atua:

8.2 Impulso de uma força

ΔEcin =!F .Δ!s

A variação da energia cinética depende da distância em que a força resultante atua:

Δ!p =!F Δt

15

8.3 Centro de massa

O centro de massa de um sistema é o ponto em que esse sistema fica em equilíbrio quando está suspenso num campo gravítico uniforme.

Para 2 partículas, de massas m1 e m2:

xCM =m1x1+m2x2m1+m2

=m1x1+m2x2

M

yCM =m1y1+m2y2m1+m2

=m1y1+m2y2

M

zCM =m1z1+m2z2m1+m2

=m1z1+m2z2

M

16

8.3 Centro de massa

No caso de objetos sólidos homogéneos, o centro de massa coincide com o centro geométrico.

Mas o centro de massa pode localizar-se fora do objeto:

Posição do CM

simulação

17

8.3 Centro de massa

Posição do centro de massa de um sistema de N partículas:

xCM =1M

mixii=1

N

∑

yCM =1M

mi yii=1

N

∑

zCM =1M

mizii=1

N

∑

!rCM =1M

mi!ri

i=1

N∑

com !rCM = xCM

!ex + yCM

!ey + zCM

!ez

Para um objeto com uma distribuição contínua de massa: !rCM =

1M

!r dm∫

Exemplo Três objetos pontuais, de massas m1 = 3 kg e m2 = m3 = 1 kg, estão nos vértices do triângulo da figura. Determine a posição do centro de massa deste sistema.

18

!rA = 2

!ex + 2

!ey

!rB =!ex +!ey

!rC = 3

!ex +0

!ey

!rCM =1

(3+1+1)3(2!ex + 2

!ey )⎡⎣ +1(!ex +

!ey )+1(3!ex )

⎤⎦

= (2!ex +1,4!ey )m

!rCM =1M

mi!ri

i=1

N∑

19

8.3 Centro de massa

O momento linear total de um sistema é igual ao produto da sua massa (total) pela velocidade do centro de massa:

Como

!Psist =

!pii∑ = mi

!vii∑ =M !vCM

d!Psistdt

=Md!vCMdt

=M !aCM

!Fext∑ =M !aCM

!Fext∑ =

d!Psistdt

!Fext∑ = 0 ⇒

d!Psistdt

= 0 ⇒!Psist = constante

Movimento do CM simulação filme

20

8.4 Conservação do momento linear

Se o somatório das forças exteriores for nulo, o momento linear do sistema mantém-se inalterado (princípio da conservação do momento linear).

Mesmo na presença de forças exteriores, como a gravidade e a força normal, desde que a sua soma seja nula, o momento linear do sistema é constante.

Exemplo Um canoísta da canoa 1 empurra a canoa 2 com uma força de 46 N, para as separar. A massa total da canoa 1 é 130 kg e a da canoa 2 é 250 kg. Determine o momento linear de cada canoa, após a força ter sido aplicada durante 1,2 s.

21

⇒ I1 = F1Δt = −55,2Ns = Δp1p1,i =m1v1,i = 0

Canoa 1: F1 = −46N

Como

⇒ p1, f = −55,2 kg m/s

⇒ I2 = F2Δt = 55,2Ns = Δp2p2,i =m2v2,i = 0

Canoa 2: F2 = 46N

Como

⇒ p2, f = 55,2 kg m/s

Exemplo Um canoísta da canoa 1 empurra a canoa 2 com uma força de 46 N, para as separar. A massa total da canoa 1 é 130 kg e a da canoa 2 é 250 kg. Determine o momento linear de cada canoa, após a força ter sido aplicada durante 1,2 s.

22

a1,x =F1,x∑m1

=−46 N130 kg

= −0,354 m/s2

a2,x =F2,x∑m2

=46 N

250 kg= 0,184 m/s2

!F1∑ =m1

!a1 ,!F2∑ =m2

!a2

v1,x = a1,xt = (−0,354 m/s2)(1,2 s) = −0,425 m/s

v2,x = a2,xt = (184 m/s2)(1,2 s) = 0,221 m/s

p1,x =m1v1,x = (130 kg)(−0,425 m/s) = −55,3 kg m/s

p2,x =m2v2,x = (250 kg)(0,221 m/s) = 55,3 kg m/s!Psist = 0

Alternativa:

Exemplo Um vagão de 14 toneladas desloca-se horizontalmente, com velocidade constante de 4 m/s. Quando passa por baixo de um silo, 2000 kg de cereal são despejados para o vagão. Admita que o cereal cai exatamente na vertical e que as forças de atrito são desprezáveis. Quanto tempo demora o vagão a percorrer 500 m?

23

!Fi ext∑ =

Δ!Psys

Δt

Fg grão x + Fg vagão x + Fn x = 0

!Fi ext∑ =

!Fg grão +

!Fg vagão +

!Fn

Pi,sist x = Pf ,sist x

Exemplo Um vagão de 14 toneladas desloca-se horizontalmente, com velocidade constante de 4 m/s. Quando passa por baixo de um silo, 2000 kg de cereal são despejados para o vagão. Admita que o cereal cai exatamente na vertical e que as forças de atrito são desprezáveis. Quanto tempo demora o vagão a percorrer 500 m?

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mvagãovi,x +mgrão(0) = (mvagão +mgrão)v f ,x

Pi,sist x = Pf ,sist x

v f ,x = vi,xmvagão

mvagão +mgrão

Como d = v fxΔt ⇒ Δt =d(mvagão +mgrão)

mvagãovix

Δt = (500 m)(14000 kg+ 2000 kg)(14000 kg)(4 m/s)

=143 s