14_Analisis_Edificios

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Dinámica de Estructuras (CIV–235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Análisis de Edificios

Introducción

• Estudiar una técnica para modelar el comportamiento dinámico de

edificios que puedan ser idealizados como estructuras lineales elásticas

USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2

Objetivo

Introducción

• Suposiciones

– Se considera solo excitación sísmica horizontal

– Diafragmas de cada nivel son infinitamente rígidos en sentido axial.

Por lo tanto, cada planta puede ser modelada por medio de 3

grados de libertad (2 desplazamientos, un giro)

• El edificio cuenta con un total de 𝑛 pisos


Modelo Matemático

Introducción

• Modelo a nivel de piso: considere la representación esquemática en

planta del piso 𝑖


Modelo Matemático

Elemento resistente 𝑗

Nivel 𝑖

Planta (infinitamente rígida en sentido axial)

• 𝑢𝑖: desplazamiento en

sentido 𝑥 del piso 𝑖 • 𝑣𝑖: desplazamiento en

sentido 𝑦 del piso 𝑖 • 𝜃𝑖: giro del piso 𝑖 • Elemento resistente 𝑗:

identificación de un

sistema estructural que

provee rigidez lateral

(muro, marco)

Planta del piso 𝑖

Introducción


plata del piso 𝑖


Modelo Matemático


Nivel 𝑖


Piso 𝑖

Elevación del

elemento resistente 𝑗

• (𝑅𝑖𝑗 , 𝛼𝑖𝑗): coordenadas polares del

elemento resistente 𝑗 respecto del

origen de sistema coordenado del

piso 𝑖

Introducción


plata del piso 𝑖


Modelo Matemático


Nivel 𝑖


Piso 𝑖

Elevación del

elemento resistente 𝑗

• 𝑃𝑖𝑗 : fuerza horizontal que actúa

sobre el elemento 𝑗 en el piso 𝑖 (en el

plano del elemento)

• 𝛿𝑖𝑗 : desplazamiento del elemento 𝑗

en el piso 𝑖 (en el plano del

elemento)

Introducción

• Con el objeto de generar el modelo del edificio, se siguen los siguientes

pasos

1. Generación de la matriz de rigidez global

2. Generación de la matriz de masas

3. Formulación de la ecuación de movimiento

4. Análisis modal


Modelo Matemático

Matriz de Rigidez Global

• Para determinar la matriz de rigidez del modelo completo, se comienza

por determinar la matriz de rigidez de cada elemento resistente (muro,

marco) de manera individual

• La matriz de rigidez del elemento 𝑗 debe ser expresada en términos de

los grados de libertad horizontales


Matriz de Rigidez del Elemento Resistente 𝑗

• 𝑃𝑗 : vector de fuerzas

• 𝐾𝑗 : matriz de rigidez

• 𝛿𝑗 : vector de desplazamientos

Matriz de rigidez

del elemento 𝑗

𝛿𝑖𝑗 : desplazamiento del

elemento 𝑗 en el piso 𝑖

Ecuación de rigidez horizontal del elemento resistente 𝑗


• La matriz de rigidez del elemento 𝑗 debe ser expresada en términos de

los grados de libertad horizontales

– Ejemplo: considere un marco de 3 pisos, vigas axialmente

indeformables. Matriz de rigidez debe ser expresada en términos de

los grados de libertad horizontales (activos)


Matriz de Rigidez del Elemento Resistente 𝑗

Condensación

estática


• Para incluir la matriz de rigidez del elemento 𝑗 en el análisis global, es

necesario determinar la relación entre los grados de libertad locales y

los globales. Es decir, la relación entre 𝛿𝑖𝑗 y 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 , 𝜃𝑖

• Suponiendo desplazamientos pequeños


Transformación de Coordenadas Locales a Globales


Nivel 𝑖


• La última ecuación puede ser escrita en términos matriciales



[𝐴]: matriz de transformación

Matriz identidad Desplazamientos

en sentido 𝑥

Desplazamientos

en sentido 𝑦

Giros

[𝑞]: vector de desplazamientos

(coordenadas globales)


• Luego, la relación entre desplazamientos locales del elemento 𝑗 y los

desplazamientos globales es

• Al sustituir la última ecuación en la ecuación de rigidez horizontal del

elemento resistente 𝑗, se obtiene:

• Se define {𝑄𝑗} como el vector de fuerzas que actúan sobre el elemento

𝑗 en coordenadas globales




• Note que la última expresión permite determinar la matriz de rigidez

horizontal del elemento resistente 𝑗 formulada en coordenadas globales


Rigidez del Elemento Resistente 𝑗 en Coord. Globales

Matriz de rigidez del eje 𝑗 en coordenadas globales


• Al desarrollar el producto 𝐴𝑗𝑇[𝐾𝑗][𝐴𝑗] se determina que:


Rigidez del Elemento Resistente 𝑗 en Coord. Globales


• Si hay un total de 𝑚 ejes resistentes, la matriz de rigidez del modelo

completo en coordenadas globales es:


Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales


• La relación de rigidez del edificio puede ser expresada en forma

compacta como:


Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales

• 𝑄 : Fuerzas (coordenadas globales)

• 𝐾 : Matriz de rigidez del sistema en

coordenadas globales

• 𝑞 : Desplazamientos (coordenadas

globales)

Matriz de Masas – Piso 𝑖

• Considere el modelo de la planta del piso 𝑖

• Las fuerzas de inercia de la planta están dadas por la expresión

• Si 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑖 y 𝜃 𝑖 son desplazamientos virtuales, entonces el trabajo virtual

𝑊𝑒 asociado a las fuerzas inerciales es:


Fuerzas de Inercia

𝑀𝑖 : matriz de masas del piso 𝑖 (por el momento, sus términos son

desconocidos)


• Para calcular el detalle de los términos de la matriz de masa es

necesario tomar en cuenta la distribución continua de masas

• Las fuerza de inercia asociada a un elemento diferencial de área 𝑑𝐴𝑖

del piso 𝑖 es:


Fuerzas de Inercia – Distribución Continua de Masas

𝐴𝑖 área del piso

• 𝛿 𝛼, 𝛽 : vector que describe el campo

de desplazamiento en función de las

coordenadas 𝛼, 𝛽

• 𝜇 𝛼, 𝛽 : densidad (masa por unidad

de área)

La fuerza inercial total del piso 𝑖 es:


• Suponga que se introduce un desplazamiento virtual 𝛿 𝛼, 𝛽 . Luego, el

trabajo virtual 𝑊𝑒∗ asociado a la fuerza inercial considerando la

distribución continua de masas es:

• La relación existente entre el campo de desplazamientos 𝛿 𝛼, 𝛽 y las

coordenadas 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 , 𝜃𝑖 que describen el desplazamiento del piso 𝑖 es

(suponiendo desplazamientos pequeños):

• Por lo tanto, la expresión que relaciona 𝛿 𝛼, 𝛽 con 𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 , 𝜃 𝑖 es



Aceleración

Desplazamiento


• En particular, el producto 𝛿 𝛼, 𝛽 ⋅ 𝛿

𝛼, 𝛽 puede expresarse como:

• Además:



Términos constantes


• Note que la integral que involucra a la matriz 𝐵 𝛼, 𝛽 y 𝜇 𝛼, 𝛽 es:

• Si el origen del sistema coordenado a nivel de cada piso se escoge en

el centro de masas, la matriz 𝑀𝑖∗ adopta la forma



Matriz 𝑀𝑖∗

• 𝑚𝑖: masa traslacional

• 𝐽𝑖: momento polar de masas del piso 𝑖


• En resumen, el término 𝑊𝑒∗ es igual a:

• Note que los trabajos virtuales 𝑊𝑒 y 𝑊𝑒∗ deben ser idénticos

• Por lo tanto, la matriz de masas del piso 𝑖 es:



Matriz de Masas Global

• Recordatorio: el vector de desplazamientos globales 𝑞(𝑡) se formula

tal que:

• Por lo tanto, la estructura de la matriz de masas en términos de las

coordenadas globales 𝑀 es:


Formulación en Términos de Coordenadas Globales

Formulación de la Ecuación de Movimiento

• La ecuación de movimiento en su forma más simple es:

• Suponga que la estructura es excitada por un evento sísmico, más

específicamente una aceleración 𝑢 𝑔𝑥(𝑡) en dirección 𝑥. Luego, la fuerza

equivalente es:


Ecuación Diferencial Matricial

Eventualmente es posible

incorporar el término relacionado al

amortiguamiento viscoso 𝐶 𝑞 (𝑡)

Vector de

acoplamiento 𝐺𝑥

Superposición Modal

• La ecuación de movimiento en términos de las coordenadas principales

𝑧(𝑡) es:

• La 𝑖-ésima ecuación diferencial es:


Ecuación de Movimiento en Coordenadas Modales

Eventualmente es posible incorporar el término

relacionado al amortiguamiento viscoso 2𝑑𝑖𝜔𝑖𝑧 𝑖(𝑡)

Igual a 1 si modos han

sido normalizados


• Suponer que se desea calcular el desplazamiento de la estructura

asociado al 𝑖-ésimo modo

• En particular, el desplazamiento del grado de libertad 𝑝 es:

• El valor máximo de 𝑞𝑖𝑝(𝑡) puede ser determinado utilizando el espectro

de respuesta asociado a 𝑢 𝑔𝑥(𝑡)


Desplazamiento asociado al modo 𝑖

Desplazamiento

asociado al modo 𝑖 modo 𝑖

Coordenada

principal 𝑖

Espectro de desplazamiento

asociado a 𝑢 𝑔𝑥(𝑡)


• Suponer que se desea calcular la fuerza que actúa sobre la estructura

asociada al 𝑖-ésimo modo

• El valor máximo de la fuerza 𝐹𝑖𝑝(𝑡) aplicada sobre el grado de libertad

𝑝 puede ser determinado utilizando el espectro de respuesta asociado

a 𝑢 𝑔𝑥(𝑡)


Fuerza sobre la Estructura asociada al modo 𝑖

Recordatorio:

𝑝-ésima componente

del modo 𝑖


• El corte basal 𝑉𝑖𝑥 𝑡 asociado al modo 𝑖 en dirección 𝑥 es:

• El valor máximo del corte basal 𝑉𝑖𝑥 𝑡 es:


Corte Basal asociado al modo 𝑖


• La última ecuación en términos de sus componentes es:

• Donde


Corte Basal asociado al modo 𝑖

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