E l estudio de la probabilidad será el hilo conductor de la unidad, los alumnos aprenderán a trabajar con ella y compro- barán su aplicación en la resolución de problemas. Al inicio de esta unidad se define qué es un experimento aleatorio, los sucesos, sus operaciones y sus propiedades, y se demuestran algunas de ellas aplicando las leyes de De Morgan. En la segunda parte de la unidad, se muestra el cálculo de la probabilidad, para ello se introduce la ley de Laplace, el con- cepto de probabilidad condicionada y el de la probabilidad total. Por último, se presenta el teorema de Bayes y se aplica a la resolución problemas. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del conocimiento de la probabilidad, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico- matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones. La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos. Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad. A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas. La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema. Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver de diferentes formas, aplicando los contenidos de la unidad; para trabajar con los alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas enriquece el aprendizaje. Temporalización El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos. Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: ❚ Obtener el espacio muestral de distintos experimentos aleatorios. ❚ Manejar las operaciones con sucesos y sus propiedades. ❚ Aplicar la combinatoria al cálculo de probabilidades. ❚ Calcular probabilidades mediante la aplicación de la ley de Laplace. ❚ Calcular probabilidades mediante la probabilidad condicionada. ❚ Distinguir los sucesos independientes de aquellos que no lo son. ❚ Calcular probabilidades mediante la fórmula de la probabilidad total. ❚ Manejar la expresión del teorema de Bayes para calcular probabilidades. PROBABILIDAD 9 145 9. Probabilidad
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145 160 0B2MTLPCS Unidad 09 · Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos combinando la regla de Laplace, diferentes técnicas de recuento y
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El estudio de la probabilidad será el hilo conductor de la unidad, los alumnos aprenderán a trabajar con ella y compro-barán su aplicación en la resolución de problemas.
Al inicio de esta unidad se define qué es un experimento aleatorio, los sucesos, sus operaciones y sus propiedades, y se demuestran algunas de ellas aplicando las leyes de De Morgan.
En la segunda parte de la unidad, se muestra el cálculo de la probabilidad, para ello se introduce la ley de Laplace, el con-cepto de probabilidad condicionada y el de la probabilidad total. Por último, se presenta el teorema de Bayes y se aplica a la resolución problemas.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.
Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del conocimiento de la probabilidad, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones.
La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.
A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en
comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.
La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema.
Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver de diferentes formas, aplicando los contenidos de la unidad; para trabajar con los alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas enriquece el aprendizaje.
Temporalización
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚ Obtener el espacio muestral de distintos experimentos aleatorios.
❚ Manejar las operaciones con sucesos y sus propiedades.
❚ Aplicar la combinatoria al cálculo de probabilidades.
❚ Calcular probabilidades mediante la aplicación de la ley de Laplace.
❚ Calcular probabilidades mediante la probabilidad condicionada.
❚ Distinguir los sucesos independientes de aquellos que no lo son.
❚ Calcular probabilidades mediante la fórmula de la probabilidad total.
❚ Manejar la expresión del teorema de Bayes para calcular probabilidades.
PROBABILIDAD9
1459. Probabilidad
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave
Experimento aleatorio. Sucesos 1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en
experimentos simples y compuestos combinando
la regla de Laplace, diferentes técnicas de
recuento y la axiomática de la probabilidad, en
contextos relacionados con el mundo real.
1.1. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos
simples y compuestos mediante las fórmulas derivadas de la
axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento y
con ayuda de medios tecnológicos.
CMCT
CL
CAA
CSC
Operaciones con sucesosUnión de sucesos
Intersección de sucesos
Propiedades de las operaciones
con sucesos
ProbabilidadLey empírica de la probabilidad.
Ley de los grandes números
Definición clásica de probabilidad.
Ley de Laplace
Definición axiomática de
probabilidad
1.2. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos
simples y compuestos mediante la regla de Laplace.
1.3. Utiliza el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos
relacionados con la probabilidad en la resolución de
problemas diversos.
Probabilidad condicionada 2. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios
condicionados y aplicar el teorema de Bayes en
situaciones de la vida cotidiana.
2.1. Calcula la probabilidad condicionada de sucesos
aleatorios.
CMCT
CD
CL
CAAIndependencia de sucesos 2.2. Calcula probabilidades a partir de los sucesos que
constituyen una partición del espacio muestral.
Probabilidad total 2.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la
fórmula de Bayes.
Teorema de Bayes 2.4. Utiliza el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos
relacionados con la probabilidad en la resolución de
problemas diversos.
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
146 Estadística y Probabilidad
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO
Actividades de refuerzoActividades de ampliación
Prueba de evaluación
Presentación de la unidad Repasa lo que sabes
3. Probabilidad• Ley empírica de la probabilidad. Ley de los
grandes números• Definición clásica de probabilidad. Ley de
Laplace• Definición axiomática de probabilidad
2. Operaciones con sucesos• Unión de sucesos• Intersección de sucesos• Propiedades de las operaciones con sucesos
1. Experimento aleatorio. Sucesos
4. Probabilidad condicionada
5. Independencia de sucesos
7. Teorema de Bayes
6. Probabilidad total
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
EVALUACIÓNActividades interactivas. Test de autoevaluación
Vídeo. Teorema de Bayes
Vídeo. Probabilidad total
Vídeo. Probabilidad condicionada
EJERCICIOS RESUELTOS
1479. Probabilidad
148 Estadística y Probabilidad
Repasa lo que sabes (página 223)
1. Suponiendo que los caballeros de la mesa redonda fueran 12, ¿de cuántas formas distintas se podrían sentar si el rey Arturo ocu-
para siempre el mismo sitio?
P11 � 11! � 39 916 800
Se pueden sentar de 39 916 800 formas distintas.
2. Se extraen 2 guantes de un cajón que contiene 8 pares. Calcula de cuántas maneras se pueden sacar 2 guantes de distinta mano.
Hay 8 guantes de cada mano, por tanto: C8, 1 � C8, 1 � � � � � �� 8 � 8 � 64
Se pueden sacar de 64 formas distintas.
3. ¿De cuántas formas es posible extraer cuatro cartas de una baraja de 40?
5. Obtén el monomio de grado 5 en el desarrollo del binomio (2x � 3)9.
El monomio de grado 5 es el siguiente: � � � (2x)5 � 34 � 326 592x594
nn
n2
n1
n0
404
81
81
Negros
Color
4 agujeros
25
25
2 agujeros
35
15
Total
60
40
1499. Probabilidad
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO
Sugerencias didácticas. Recursos TIC
Probabilidad condicionada (página 234)
En el vídeo puede verse la resolución, paso a paso, del ejercicioresuelto de esta página. Se indican los sucesos del experimento,se construye el diagrama de árbol correspondiente y se calcula laprobabilidad de extraer dos cartas de oros consecutivas.
Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejercicio deeste tipo o para que los alumnos puedan repasar el procedimien-to a realizar en estos casos más tarde.
Probabilidad total (página 236)
En el vídeo se muestra la resolución del segundo ejemplo descri-to en esta página. Tras indicar los sucesos aleatorios del experi-mento, se indica cómo calcular la probabilidad de extraer unabola blanca de una de las urnas.
Puede utilizarse para completar la explicación de esta página enla pizarra digital o para que los alumnos puedan repasar el proce-dimiento a seguir para aplicar la probabilidad total en otros ejer-cicios.
Teorema de Bayes (página 237)
En el vídeo se puede ver la resolución del ejercicio resuelto de es-ta página. En primer lugar se indican los sucesos del experimen-to, después se construye el diagrama de árbol correspondiente ypor último se aplica el teorema para calcular la probabilidad deque un alumno que haya aprobado sea de una determinada mo-dalidad de Bachillerato.
Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplocompleto de este tipo de problemas o para que los alumnos pue-dan repasar la aplicación de este teorema más tarde.
Actividades (páginas 226/238)
Indica el resultado de las siguientes uniones de con-
juntos:
a) A � A� b) A � E c) A � �
a) A � A� � E b) A � E � E c) A � � � A
Resuelve estas intersecciones:
a) A � A� b) A � E c) A � �
a) A � A� � � b) A � E � A c) A � � � �
Se lanzan tres dardos sobre una diana. Al suceso ha-
cer blanco con el primer dardo se le designa por M1; con el
segundo, M2, y con el tercero, M3. Se obtiene premio cuan-
do se hace blanco con el mínimo de dos dardos. Escribe el
suceso obtener premio en función de M1, M2 y M3.
M1 � M2, M1 � M3, M1 � M2 � M3
Se lanzan dos dados y se consideran los sucesos A,que salga suma par, y B, que salga como mínimo un 2. Es-
En una ciudad se leen tres periódicos, A, B y C. El
35 % de la población lee el periódico A; el 40 %, el B, y el
43 %, el C. El 15 % lee el A y el B; el 17 %, el B y el C, y el
10 %, el A y el C. El 2 % de la población lee los tres periódi-
cos.
a) ¿Qué porcentaje de ciudadanos no lee la prensa?
b) ¿Qué porcentaje lee como mínimo 2 periódicos?
c) ¿Qué porcentaje lee el periódico A o el C?
d) ¿Qué porcentaje no lee el periódico A?
a) 22 % b) 38 % c) 68 % d) 65 %
En una caja tenemos 100 botones: 60 son negros, 50
tienen cuatro agujeros y 15 son de color y tienen dos agu-
jeros.
Si definimos los sucesos:
� A � escoger un botón negro
� B � escoger un botón con cuatro agujeros
Determina:
a) ¿Cuántos botones hay de color con dos agujeros?
b) ¿Cuántos botones hay negros o con cuatro agujeros?
c) ¿Cuántos botones hay negros con cuatro agujeros.
Leyendo detenidamente el enunciado podemos ver que hay 40 botones de color, de los cuales 15 tienen dos agujeros y 25 cuatro agujeros. De los 60 botones negros, 35 deberán tener dos agujeros (puesto que en total hay 50 con dos agujeros)y 25 cuatro agujeros.
a) 15 botones b) 85 botones c) 25 botones
6
A B
C
0,12
0,08 0,15
0,13
0,02
0,1
0,18
5
E
0,22
150 Estadística y Probabilidad
Dada una baraja de 40 cartas, al extraer una, deter-
mina la probabilidad de sacar:
a) Un oro. b) Un as. c) Una figura.
a) �1
4
0
0� � �
1
4� b) �
4
4
0� � �
1
1
0� c) �
1
4
2
0� � �
1
3
0�
Al lanzar dos dados y realizar el experimento de
sumar los puntos, determina la probabilidad de obtener:
a) 3 b) 7 c) 12
a) �3
2
6� � �
1
1
8� b) �
3
6
6� � �
1
6� c) �
3
1
6�
Determina cuál es la probabilidad de que, al lanzar
tres monedas a la vez, obtengas:
a) Tres caras.
b) Como mínimo una cara (este suceso se puede interpre-
tar como el suceso contrario de salir todo cruces).
c) Más cruces que caras.
a) 1/8 b) 7/8 c) 4/8 � 1/2
En un experimento aleatorio se dan cuatro sucesos
elementales: A, B, C y D. Sabiendo que P(A) � 0,3, P(B) � 0,1,
P(C ) � 0,4, determina la probabilidad del suceso D.
La suma de las probabilidades debe ser 1, así: P(D) � 0,2
Se ha trucado una moneda de modo que la probabi-
lidad de salir cara sea el triple que la de salir cruz. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener cruz al realizar un lanzamiento?
a) P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B) � 0,7 � 0,5 � 0,4 � 0,8
b) P(A� � B�) � P(A � B��) � 1 � 0,8 � 0,2
En un club deportivo, el 70 % de los socios practica la
natación, el 25 % juega al tenis y el 20 % practica los dos
deportes. Si escogemos al azar a uno de los socios, indica
cuál es la probabilidad de que:
a) Si juega al tenis, practique la natación.
b) Si practica la natación, juegue al tenis.
c) Practique algún deporte.
Hay un 25 % de los socios que no practica ningún deporte.
a) P(N|T) � �P(N
P(
�
T)
T)� � �
0
0
,
,
2
2
0
5� � �
4
5�
b) P(T|N) � �P(T
P(
�
N)
N)� � �
0
0
,
,
2
7
0
0� � �
2
7�
c) P(T � N) � 0,75
En una ciudad llueve 3 de cada 10 días. Los semáfo-
ros se estropean 1 de cada 10 días de lluvia. Calcula la pro-
babilidad de que mañana llueva y no funcionen los semá-
foros.
�1
3
0� � �
1
1
0� � 0,03
15
14
13
12
11
10
9
8
7 Lanzamos un dado tres veces consecutivas. Calcula
las probabilidades de los siguientes sucesos.
a) Salir tres 6.
b) No obtener ningún 6.
c) Obtener como mínimo un 6.
d) Obtener tres resultados distintos.
Realizamos el ejercicio aplicando la ley de Laplace:
a) �2
1
16� b) �
1
2
2
1
5
6� c) �
2
9
1
1
6� d) �
1
2
2
1
0
6� � �
5
9�
Se lanzan dos dados y dos monedas; calcula las pro-
babilidades de los sucesos siguientes.
a) Salir dos 6 y dos caras.
b) Salir dos 6, una cara y una cruz.
c) Salir dos parejas, tanto en los dados como en las monedas.
Al lanzar dos dados hay 36 resultados posibles y al lanzar dosmonedas, 4 resultados posibles, por tanto en el experimentoque nos ocupa hay 144 posibilidades diferentes. Realizamosel ejercicio aplicando la ley de Laplace:
a) �1
1
44� b) �
1
2
44� � �
7
1
2� c) �
1
1
4
2
4� � �
1
1
2�
Se tienen 30 dados normales y 3 cargados: la proba-
bilidad de obtener un 6 en los dados cargados es el triple
que la de no obtenerlo. Elegimos al azar un dado y lo lanza-
béisbol de batear al menos una vez de tres lanzamientos
consecutivos es 0,873, calcula la probabilidad de que batee
en un solo lanzamiento.
P(no batee en el 1.° � no batee en el 2.° � no batee en el 3.°) �� 1 � 0,873 � 0,127
Los tres sucesos son independientes por lo que:
P(no batear en un lanzamiento) � �3
0,127� � 0,5027
Es decir: P(batear en un lanzamiento) � 1 � 0,5027 � 0,4973
53
1003
52
51
50
158 Estadística y Probabilidad
Para elegir un candidato entre tres, se prepara una
bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van
sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien sa-
ca la bola blanca es el candidato. ¿Quién lleva más ventaja?
Es práctico realizar un diagrama con la situación:
1.° 2.° 3.°
B1/3
B2/3
1/2
N
1/2N B
1
P(saque blanca el 1.°) � �1
3�
P(saque blanca el 2.°) � �2
3� � �
1
2� � �
1
3�
P(saque blanca el 3.°) � �2
3� � �
1
2� � 1 � �
1
3�
Los tres candidatos tiene la misma probabilidad de ganar.
Juan ha perdido el paraguas. Estima que hay un
60 % de posibilidades de haberlo olvidado en unos gran-
des almacenes de 6 plantas que visitó recientemente. Ad-
mitimos como buena esta apreciación. Después de haber
comprobado que no lo ha perdido en cada una de las 5 pri-
meras plantas de estos almacenes, ¿cuál es la probabilidad
de haberlo extraviado en la planta número 6?
P(no haberlo perdido en los almacenes) � 0,4
P(haberlo perdido en los almacenes) � 0,6
No haberlo perdido en las 5 primeras plantas es un suceso in-dependiente de haberlo perdido en la planta 6, sabiendo queen las cinco anteriores no lo ha perdido. Para simplificar:
F «fuera de los almacenes»0,4
0,5No 1-5 «no en las 5 primeras plantas»
0,1P6
P(No 1 � 5) � P(P6|No 1 � 5) � P(No 1 � 5 � P6) � P(P6) � 0,1,porque haber perdido el paraguas en la planta 6 está conte-nido en no haberlo perdido en las plantas anteriores.