*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6) Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus on sama kuin kolmion pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulo. Ratkaisu: Piirrä kolmio koordinaatistoon Painopiste: ) 2 , 4 ( ) 3 6 0 0 , 3 3 9 0 ( Huom: keskiarvolla jo 3 pistettä! Sen kulkema matka: s = 2r = 22 = 4Kolmion ala: A = ½ 9 6 = 27 Tulo = 27 4= 108Pyörähdyskappale koostuu kahdesta ympyräkartiosta: tulo V 108 6 6 3 1 3 6 3 1 3 3 Anne: Tehtävästä sai helposti ”irtopisteitä” Tarkat arvot oltava ei saa pyöristää Tilavuus menee myös integraaleilla
5
Embed
*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6)
*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6) Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus on sama kuin kolmion pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulo. Ratkaisu: Piirrä kolmio koordinaatistoon Painopiste:. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6)
Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus on sama kuin kolmion pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulo.
Ratkaisu:Piirrä kolmio koordinaatistoon
Painopiste:
)2,4()3600,
3390(
Huom: keskiarvolla jo 3 pistettä!
Sen kulkema matka: s = 2r = 2 2 = 4
Kolmion ala: A = ½ 9 6 = 27
Tulo = 27 4 = 108
Pyörähdyskappale koostuu kahdesta ympyräkartiosta:
tuloV 108663136
31 33
Anne: Tehtävästä sai helposti ”irtopisteitä”
Tarkat arvot oltava ei saa pyöristää
Tilavuus menee myös integraaleilla
*15. Tasossa suoran suunta voidaan ilmoittaa kulmakertoimen avulla. Kolmiulotteisen avaruuden suoralla ei ole kulmakerrointa. Sen sijaa sen suuta voidaan ilmoittaa suuntakosinien avulla.
Suuntakosini = suoran suuntavektorin ja positiivisen koordinaattiakselien välisen kulman kosini.
a) Laske suoran L: suuntakosinit (4 pist).
Suoran suuntavektorit on
s = 2i + 3j + 7k (Huom. Suoraan taulukkokirja s. 46)
75
32
21
zyx
62732 222 s (Huom. Suoraan taulukkokirja s. 41, 2)
622
16212),cos(
isisis (Huom. Taulukkokirja s. 42, 8.)
623
16213),cos(
jsjsjs 62
716217),cos(
ksksks
3,75),(622),cos( isis
b. Määritä suuntakulmat (2 pist)
6,67),(623),cos( isjs
3,27),(627),cos( isks
c) Neliöiden summa: (1 pist)
16262
6249
629
624)
627()
623()
622( 222
d) Osoita, että tulos on sama kaikille kolmiulottisen avaruuden suorille
ksjsiss zyx
nssss zyx 222
z
y
x
sks
sjs
sis
1222222
nn
nsss
ns
ns
nsS zyxzyx
Anne: ”Lähestulkoon” taulukkokirjan käyttöä…. No hieman piti ymmärtääkin, laskun eri vaiheita…
8. Katkaistun ympyräkartion pohjien säteet ovat r ja 2r sekä korkeus 3r. Kappale pyörii lappeellaan vaakasuoralla alustalla siten, että alustaan muodostuu ympyrärengas. Laske sen pinta-ala.