-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 16/89
14 1 REAL NE N IJE REALN E PRO ENLJIVE
monotono nerastući niz ograničen s donje strane (bn > ai), pa
i on konvergira.Nelca je lim bn = B . Iz
n—*-oo
B —A = lim bn — lim an lim (bn —an) n—*-oo n —co n—*cc
sledi da je B A, tj. oba niza konvergiraju lca istom broju koji
predstavljasuprcmum niza an i infinum niza Ovaj broj pripada svim
posmatranimintervalima. Kako dužina posmatranih intervala teži nuli
to ne mogu postojatidva broja koja bi pripadala svim posmatranim
intervalima.
Ovim je pokazano da niz sužavajućih intervala ima jednu i samo
jednu za-jedničku tačku.
1.3 Granične vrednosti funkcijeealnu funlcciju realne
promenljive smo definisali kao funkciju čiji domen
i kodomen su podskupovi skupa realnih brojeva. Ponašanje realne
funkcije unelcoj taćki, kao i za proizvoljno velike ili male
vrednosti nezavisno promenljive,
određuje se na osnovu graničnih. vrednosti posmatrane
funkcije.
1.3.1 Granična vređ nost kada x — ±oo
Slično kao kod nizova i za realnu funkcije f (x ) možemo
definisati graničnuvrednost kada nezavisno promenljiva teži
beskonačnosti, tj. kad nezavisno
promenljiva postaje veća od bilo kog filcsnog pozitivnog realnog
broja.Broj A je granična vredn ost funkcije kad x —* +oc ako
e , 3A(e) , a A(.s) , f(x) - A < e ,
tj. ako a x q , gde je xo dovoljno velilco, vrednosti funkcije f
( x ) se nalazeunutar proizvoljne e-okoline tačke A. (Podrazumeva
se da je funkcija f ( x )definisana za dovoljno velike vrednosti
x.) Kao i kod nizova, i ovde se za graničnuvrednost upotrebljava
oznaka lim f ( x ) = A .
— -ec
Ako broj A predstavlja graničnu vređnost funkcije f ( x ) lcad x
— +oo,
kažemo da prava y A predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije
f ( x )kad x — +oo.
Na isti način, za broj B ćemo reći da pređstavlja graničnu
vrednost
funkcije kad x — —oo ako
e , A(e) > ,. a -A (e ) , f(x) - B < s .
Pisaćemo lim f ( x ) = B .oo
Ako broj B predstavlja graničnu vrednost funlccije f ( x ) kad x
— — oo,
kažemo da prava y = B predstavlja horizontalnu asimptotu
funkcije f ( x ) kad
x — — oo.
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 17/89
1. Granične vrednosti funkcije 15
Ako Vx > xo gde je xo đovoljno veliko, vrednosti funkcije
postaju. proizvoljnovelike, tj. ako
V > , A ( ) , V x > A ( ) , f ( x ) > ,
onda je lim f ( x ) +oo . Ako umesto uslova f ( x ) > važi f
( x ) < - ,
onda je lim f ( x ) = —oc- .x—H-oo
Na sličan način se može definisati anaiogno ponašanje funlccije
lcad x —* —co.ako je videti da je
lim xm = +oo za m x—H-oo
jer V > S xm > x > m , pa je A ( ) .Na isti način se
pokazuje da je
lim za m >X-—+30 Xm
jer Vs > , r — < s ( 7) ” pa je A(e) = (A) .Ovaj primer
ilustrtije tvrđenje Kad jedna veličina teži beslconačnosti,
onda
njena recipročna vrednost teži nuli.
Može se pokazati da za računanje sa graničnim vrednostima
funkcija važe
ista pravila kao i za računanje sa graničnim vrednostima
nizova
Neka su f ( x ) i g(x) dve realne funkcije definisane za sve x
> o gde je aodovoljno veliko, i nelca postoje granične vređnosti
ovih fimkcija lcad x —>+cc.Tada je
1. lim ( f ( x ) g ( x ) ) = lim f ( x ) lim g (x ),x—*H-oe x—̂
+oo x—++00
2. lim ( f ( x ) -g(x) ) = lim f ( x ) - lim g(x),X — 4 CO X —*
+ O G T — *-+OG
f3 . lim ) . = x~! 00—— , uz uslo l im g( x) ^ 0 .
+00 g[x) lim g(x) x^+ x q , gde je xq dovoljno veliko, važi f (
x ) < g(x) onda jeIim f ( x ) < lim g(x).- -oo J — x —i-+oo
.
5. Ako je lim f ( x ) = lim g(x) = A, a. funkcija (x) je takvada
za svakox —*-+oo x— +00
xo, gde je o dovoljno veliko, važi f ( x ) < (x) < g( x) ,
onda je i
lim (x) = A.x—H-00
Ista pravila važe i za računanje sa graničnim vrednostima
realnih funkcija kad
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 18/89
16 1 REALNE N IJE REALNE PRO ENLJIVE
Ako dve funkcije f ( x ) i g(x) obe teže ili + ili — kad x —*
+cc a
lim 7—r 1 i lim ( ( ) - ff( )) ,i —+oc g(x) 1—+oo '
kažemo da je funkcija g(x) aisimptota funkcije f ( x ) kad x — +
.U specijalnom slučaju, da bi ftmkcija g(x) kx n (koja
predstavlja
jednačinu prave) bila asimptota funkcije f ( x ) , iz lim l n
delenjem
brojioca i imenioca sa x dobijamo
M lim 1- X X — * + O Q * -
k 5 k
odakie je k Iim Iz lim ( f ( x ) —(A z + n)) sledi da je n lim (
( ) —kx) .
—*+CC OO sPrava y = kx n sa ovako ođređenim koeficijentom pravca
k i odsečkom na
y-osi n predstavlja kosu asimptotu funkcije f ( x ) kad x — +
.Na isti način se dolazi i do jednačine kose asimptote kađ x - * —
.Primetimo da i u slučaju kad prava y .4 predstavlja horizontalnu
asimp-
totu funkcije f ( x ) važi da je lim 1 i lim ( f ( x ) —A) .—cc
+oo
1.3.2 Gran ična vredn ost u tački
Kod funkcija je moguće definisati i graničnu vrednost .funkcije
u tačla. Po-sebno se mogu definisati leva i desna granična
vreduost.
Za broj A ćemo reći da predstavlja levu graničnu vrednost
funlccije f ( x )u tački Xq ako se vrednosti funkcije nalaze u
-okolini tačlce A za sve vrednostia koje se nalaze ulevo od tačke
ao na dovoljno malom rastojanju, tj. ako
e , 3t5(e) , z e ( o — , xo) , f (x )—A
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 19/89
1. Granične vrednosti funkcije 17
Dalde. f ( x ) — A kad x - * alco
e , 35(e) , i e ( o - S, x + ) A x , ( ) — A < e .
Primetimo da je u prethodnim defmicijama bilo potrebno da
funkcija f ( x ) budedefinisana u nekoj okolini tačke o, dok u
samoj tački ne mora biti definisana.
Moguće je da funkcija u nekoj tački teži ka +oo ili —oo.
eći ćemo da je lim f ( x ) — +oo ako—*-*
j > , ( ) , e ( o —S, xq + 5) A xq , f ( x ) > .
Na isti način se može definisati i lim f ( x ) —oo, kao i
odgovarajuće jed-—
nostrane granične vrednosti.
Na osnovu definicije vidinio da je
1lim — +oo
1— +
jer je / > , j x < , pa je ( )
Ovaj primer ilustruje tvrdenje Kad jedna vehčina teži nuli, onda
njena
recipročna vrednost teži beskonačnosti.Za računajije sa
gianičnim vrednostima funkcija u tački važe ista pravila kao
i za računanje sa graničnim vrednostima kad — +oo.
Ako je ba jedna od jednostranih graničnih vrednosti funkcije f (
x ) u tačld xqbeslconačna, onda za pravu x kažemo da predstavlja
vertikalnu asimp-to tu funkcije f ( x ) .
Primer 1.15 unkcija y e* u tački x nerna graničnu vrednost jer
leva idesna granična vrednost u tački x nisu iste. Naime.
lim e i lim e* +oo .r— —* -1-
Prava x je vertikalna asimptota ove funkcije. unkcija se
pozitivnom deluy-ose asimptotski približava samo sa desne
strane.
1.3.3 Granične vrednosti funkcija i (1 + ) i kad. —
Koristeći pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija
izračuna-
ćemo dve granične vrednosti koje se često upotrebljavaju u
praksi
a) Posmatrajmo jediničnu kružnicu i uočimo centralni ugao , f
.
Dužina luka koji odgovara uočenom uglu je jednaka pa je
sin tg .
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 20/89
18 1 REA LNE N IJE REALN E PRO E NLJIVE
Za recipročne vrednosti važi -je sins za x < j , dobijamo
cos x < 1 .
Kako je granična vrednost funkcija f ( x ) cosx i g(x) 1, kad x
— ,ista i iznosi 1, to je i
lim 1 .—*
b) Posmatrajmo proizvoljno veliki realan broj t. Funkcija (t) (
l + ,kad t —* +oo, predstavlja neodređen izraz oblika ” l c” .
Jasno je da za svaki dovoljno veliki realan broj t
3n N, n < t < n + 1 .
Tada je j Nakon đođavanja broja 1 svakom izrazu u prethod-noj
nejednakosti, a s obzirom n a n t n + l, imaćemo da je
( + S + l ) ( + t ) * ( + n )
Kada t — +oo tada i n — +cc. Kako je
n-f*l
( i 1 1 V,• , 1 n V V >»+1 elim 1 + —7T lim ----y--------- -
e.
n — oc n T l n — co 1 + - . 1n + l
1 n+lim (1 + i ) + lini (1 + i ) n (1 + 1 ) e 1 e,
to Je i t“?loc(1-+..T)t = e-
Smenom t = - se direktno dobija da je liiri (l + x ) i e.
Može se pokazati da je i odgovarajuća leva granična vrednost
ista pa je
lim(l +a )* e.-*
1.4 Neprekidnost funkcije1.4.1 Neprekidnost u tački
Ako je funkcija f ( x ) definisana u nekoj okolini tačke x q kao
i u samoj tački
o i ako jelim f ( x ) = f (xo) ,—ajo
onda kažemo da je funkcija f ( x ) neprekidna u tački x q
.Dakle, za neprekidnost funkcije u taćki potrebno je da
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 21/89
1. Neprekidnost fankcije 19
1. postoji granična vrednost funkcije u posmatranoj tačld i
2. da ta granična vrednost bude baš jednaka vrednosti funkcije u
posmatra-noj tački.
Prema definiciji granične vrednosti funkcije u tački to znači
da
o , 3J(ff) , -a o (s) , f(x) - f ( x ) < s.
Izraz Ax = x — x se naziva priraštaj nezavisno promenljive.idimo
da je vrednost promenljive x u okolini tačke x moguće prikazati
preko priraštaja nezavisno promenljive kao x — + A . Tada je
odgovarajućavređnost funkcije f ( ) f ( + A ).
Izraz Ay f ( x A x ) —f ( x ) se na.ziva prirašta j funkcije.
Priraštaj fimkcijeu tački x je Ay = f ( x + A ) - f ( x ).
idimo da je funkcija neprekidna u nekoj tački ako dovoljno malom
priraštaju
nezavisno promenljive odgovara proizvoljno mali priraštaj
funkcije, tj. ako je
lim Ay .
Drugim rečima malim promenama nezavisno promenljive odgovaraju
male pro-
inene funkcije.
Na osnovu pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija
lako se
može pokazati sledeće Ako su f ( x ) i g(x) dve neprekidne
funkcije u nekoj tački. o, onda je i
1. (x) f ( x ) ± g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj
tački,
2. (x) f ( x ) g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački,
3. (x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački, pod uslovom da
je
5( ) ž .
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 22/89
20 1 REA LNE N IJE REALNE PRO ENLJIVE
Iz definicije neprekidnosti funkcije u tački vidimo da funlccija
nije neprekidnau nekoj tački, tj. da u nekoj tački postoji prekid
funkcije ako bilo koji od dvauslova lcoji su potrebni za
neprekidnost nije ispunjen
a) Ako postoji granična vrednost funkcije u tački, ali ona nije
jednaka vred-nosti funkcije, što značii da funkcija može biti i
nedefinisana u posmatranojtački, radi se o priv idnom prek idu
funkcije.
b) Ako u posmatranoj tački ne postoji granična vrednost. što se
dešava ako
su leva i desna granična vrednost konačni ali različiti brojevi
ili ako jebar jedna od. jednostranih graničnih vrednosti beskonačna
ili uopšte nepostoji, radi se o stvarnom prekidu funkcije.
Primer 1.16 unkcija f(x ) ima u tackix prividan prekid je r u
ovojtaiki nije definisana, ali postoji granićna vrednost funkcije u
ovoj tačkA. Naime,pokazali smo da je lini 1 . Ovaj prividan prekid
je moguće otkloniti tako
što se umesto funkcije f ( x ) posrnatra funkcija
I
Jasno je da g(x) predstavlja neprekidnu funkciju u tački x .
Primer 1.17 unkcija f ( x ) e* ima stvami prekid u tački x .
Primeru1.1 smo videli daje leva granična vrednost u ovoj tački lim
f ( x ) , a desna
x — —
lim f ( x ) + , tako da ne postoji granična vrednost posmatrane
funkcije ux — s- -i-tački x .
Posmatrajmo složenu funkciju f ( g ( x ) ) đefinisanu u nekoj
okolini tačke x .
Ako funkcija u g(x) ima graničnu vrednost u tački x , tj. ako
je
lim g(x)—*- o
i ako je funlccija f ( u ) neprekidna u tački ff, tj. lim f (u )
f( i ), s obzirom dau-+ 5
u — kad i - n o , a f ( u ) = f (g (x ) ) , vidimo da je
lim f ( g (x ) ) f( j ) = f ( lim p( ) .x —*xq \ x —*xq J
Ovim smo pokazali da je dozvoljeno s limesom ući pod neprekidnu
funkciju.
Primer 1.1 Posmatrajmo funkciju (x) ln(l + ). ako je f(x)
Inaneprekidna funkcija u b-ilo kojoj tački iz skupa + , to je
lim ln (l + ) ln Ii a(1 + )j ln l .
Ako je funkcija u g(x) neprekidna u tački xo, a funkcija f (u )
neprekidnau tački ( g(xo), jasno je da je složena funkcija f ( g (
x ) ) neprekidna u tački
-
7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic
h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 23/89
1. Neprekidnost funkcije 21
1.4.2 Neprekidnost na intervalu
Funkcija je neprekidna na intervalu (otvorenom ili zatvorenom)
ako jeneprekidna u svakoj tacki posmatranog intervala.
Posmatrajmo funkciju f ( x ) , koja je neprekidna na zatvorenom
intervalu a, 6i koja na krajevima tog intervala uzima vrednosti
različitog znaka, tj. za kojuje f (a ) f (b ) < . Podelimo
interval a, 6j na dva dela tačkom c Mogućasu dva slučaja
a) f ( c ) i
b) f ( c ) j* . U ovom slučaju jedan od dobijenih podintervala
a, c ili c, b je
takav da funkcija f ( x ) na njegovim krajevima uzima vrednosti
različitogznaka. Označimo taj interval sa ai, i i ponovimo opisan
postupakpolovljenja.
Ako, stalno ponavljajući opisan postupalc, ni u jednoj deobenoj
tački vrednostfunkcije f ( x ) ne bude jednaka nuli, onda smo
dobili niz sužavajućih intervalajer je
a,6 D ai,6i D a2, 2 D ... D a ,6n D ...,
lim (bn —a ) lim .n— oo n— oo
Poznato je da postoji samo jedna tačka koja pripaćla svim ovim
intervalima iza nju važi
f lim an lim bn.n —*oo n —co
Ivako je f ( a n) f (bn) za svako n 6 N, to je lim f ( a n)
f(bn) . Pošton—'CC
je f ( x ) neprekidna funkcija na intervalu a, 6, tj. u svakoj
tački ovog intervala,onda je
lim f an) - f (bn) lim f ( a n)- lim ( ) ( lim an) - f ( lim 6n)
f 2( ).n — oo n—*-oo n —*•00 n—*oc n— co
Dakle, 2( ) . Medutim, kako kvadrat bilo kog broja ne može biti
negativan,zaključujemo da je 2( f ) . tj. ( ) .
Broj za koji je ( ) zove se nula funkcije ( ).Dakle, pokazali
smo da svaka funkcija koja je neprekidna na nekom zatvore-
nom intervalu i na njegovim krajevima uzima vrednosti različitog
znaka, imutartog intervala ima bar jednu nulu.
Takođe se može pokazati da fimkcija f ( x ) neprekidna na
zatvorenom in-tervalu a. bar jednom, na tom intervalu dostiže svoju
najveću i najmanju
vrednost. Samim tim, ova funkcija je i ograničena, tj. postoje
realni brojevi mi , takvi da a, 6 , m f ( x ) < .
Iz neprekidnosti funkcije f ( x ) na intervalu a, sledi da
pt, m jj.< , 3 6 a, 6 , ( ) fj,.