1.2Caracterización, Importancia, Condiciones de Entorno, Solución de EDP y Aplicaciones. EDP Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas

1.2Caracterización, importancia,condiciones de entorno,solución de EDP y aplicaciones.EDP elípticas, parabólicas e hiperbólicas.

Ecuación en derivadasparciales lineal

La ecuación en derivadas parciales se llamalineal, si esta es lineal respectoa la función buscada y todas sus derivadas queforman parte de la ecuación. En caso contrariose llama no lineal.

La EDP de segundo orden para la función de dosvariables independientes(x), (e) y en el caso general tiene la forma:

Siendo A(x; y); B(x; y); C(x; y); a(x; y); b(x; y); c(x; y) funciones de las variables “x”, “e” y en una Region D ½ R², y la función incógnita u = u(x; y).

Clasificación de las EDP's de segundo orden dedos variables independientes

Definición: Sea la EDP de segundo orden

Condiciones

I) Se puede mostrar que, observandodeterminadas condiciones para los coeficientes dela ecuación:

puede hacerse un cambio no singular de las variables independientes

Ecuaciones de tipo hiperbólico

Los fenómenos oscilatorios de diferente naturaleza(vibraciones de cuerdas, membranas,oscilaciones acústicas del gas en los tubos, oscilacioneselectromagnéticas) se describen porlas ecuaciones del tipo hiperbólico.La más simple es la ecuación de vibraciones de la cuerda(ecuación ondulatoria unidimensional)

Ecuaciones de tipo parabólico

Los procesos de conductibilidad térmica y dedifusión conducen a las ecuaciones de tipoparabólico. En el caso unidimensional la ecuaciónmás simple de conductibilidad térmica tiene laforma:

Ecuaciones de tipo elíptico

Los procesos a ciclo fijo, cuando la función buscada no depende del tiempo, se determinan por las ecuaciones de tipo elíptico, el representante típico de estas es la ecuación de Laplace.