12_Aspectos_Numericos

7/24/2019 12_Aspectos_Numericos

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Universidad Federico Santa Mara

Departamento de Obras Civiles

Dinmica de Estructuras (CIV235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Aspectos Numricos


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Introduccin

Los contenidos a tratar en este captulo se centran sobre 2 temasfundamentales

Clculo de frecuencias y modos de vibrar

Frecuencias y modos de vibrar pueden ser calculados de

manera analtica solo para sistemas muy p equeos

Para calcular frecuencias y modos de vibrar en sistemas de

inters en ingeniera civil, es necesario recurrir a tcnicas

numricas i terat iv as

Matriz de amortiguamiento no clsica

En caso que la matriz de amortiguamiento no corresponda al

modelo clsico, la estrategia de superposicin modal vista en

captulos anteriores no es aplicable de manera directa

USMDinmica de Estructuras (CIV235) 2

Objetivo


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Clculo de Frecuencias y Modos de Vibrar

Considere la ecuacin de movimiento de un sistema lineal elstico de grados de libertad sin amortiguamiento en vibraciones libres

La solucin a esta ecuacin diferencial es del tipo () = . A

esta solucin se asocia el siguiente problema de valores y vectores

propios

Si y corresponden a un valor y vector propio del problemaanterior, se verifica que:


Funcin de Rayleigh


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De acuerdo a la ltima ecuacin:

En la expresin anterior, el escalar se relaciona con la

energa de deformacin mientras que el escalar se

relaciona con la energa cintica

Se define la func in d e Rayleigh como:


Funcin de Rayleigh

Esta expresin se denomina

co ciente de Rayleigh

Relevancia: si el -simo modo de vibrar

es conocido, es posible determinar la

frecuencia natural asociada


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Una propiedad importante de la funcin de Rayleigh es que el valor queadopta se encuentra acotado

Demostracin

Un vector cualquiera de dimensin puede ser escrito como

una combinacin lineal de los modos de vibrar (puesto que

es una base). Es decir, = , donde es un vector de

coeficientes reales de dimensin

Luego, la funcin de Rayleigh es igual a:


Funcin de Rayleigh


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Demostracin (continuacin) Si se asume que los modos de vibrar se encuentran normalizados

respecto de la matriz de masas, es posible determinar que

La expresin (*) puede ser escrita en trminos de como:

Al escribir la expresin (*) en trminos de es posible demostrar

de manera anloga que


Funcin de Rayleigh

(*)

Esto demuestra que la

funcin de Rayleighes siempre mayor o

igual que


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Considere la estructura de la figura (axialmenteindeformable, elstica, grados de libertad:

desplazamientos horizontales)

Objetivo: determinar de manera aproximada el valor de

la frecuencia por medio de la funcin de Rayleigh

Matrices de rigidez y masa:


Funcin de Rayleigh Ejemplo


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Solucin Para aplicar la funcin de Rayleigh con el objeto de encontrar , se

requiere conocer . Como este modo de vibrar no es conocido,

se calcula una aproximacin

Aproximacin del primer modo: se define un vector de cargas

proporcional a las masas del sistema y luego se resuelve elproblema esttico asociado, es decir:

Se considera como una

aproximacin al primer modo


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Solucin (continuacin) Al evaluar la funcin de Rayleigh para el primer modo aproximado

se determina que:

El valor exacto de la primera frecuencia es = 0.373 /

Nota: la estrategia de calcular un modo de vibrar aproximado para

luego calcular la frecuencia por medio de la funcin de Rayleigh es

factible de ser aplicada en forma prctica para sistemas estructuralesmuy simples


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Mtodo de Iteracin Inversa

El mtodo de iteracin inversa permite el clculo de modos de vibrar deun sistema estructural lineal

Denominacin alternativa: mtodo de Vianello y Stodola

Se estudia cmo aplicar el mtodo de iteracin inversa para el clculo

del pr imer modo de vibrar. Extensin para calcular otros modos se

estudia posteriormente

Algoritmo

De tipo iterativo

Comienza con una aproximacin ()

del primer modo de vibrar

Se requiere factorizar (invertir) la matriz de rigidez

Frmula:


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Algoritmo Aplicacin de la frmula:

Se comienza con un vector inicial ()

Se calcula ()

mediante la resolucin de la ecuacin:

Se calcula ()

mediante la resolucin de la ecuacin:

Se calcula ()

, ()

, hasta satisfacer un criterio deconvergencia

Es posible demostrar que el mtodo de iteracin inversa converge a

un mltiplo del primer modo de vibrar


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Demostracin

Asuma un vector inicial arbitrario ()

. Dicho vector puede ser

descrito como una combinacin lineal de los vectores de la base

Al calcular () :

De la definicin del problema de valores y vectores propios

Nota: se introduce la variable =

, , : nmeros

reales


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Demostracin

Por lo tanto, el vector ()

es igual a:

En la siguiente iteracin, el vector ()

es igual a:


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Demostracin

En general, para la -sima iteracin el vector ()

es igual a:

Dado que / < 1, , / < 1, a medida que ,

()

. Adems, segn la funcin de Rayleigh:

En resumen, el mtodo de iteracin inversa converge a un mltiplo

de (y permite calcular )

cuando


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Implementacin numrica

1) Definir = 0y seleccionar un vector ()

2) Resolver

3) Normalizacin

4) Calcular la funcin de Rayleigh

Note que el denominador es

igual a 1 debido a la condicin

de normalizacin del paso (3)


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Implementacin numrica5) Verificar si se cumple la condicin de convergencia

En caso que se cumpla la condicin, se detiene la iteracin y se

obtiene una aproximacin de y . En caso contrario, se regresa

al paso 2 con = 1


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Anlogo al mtodo de iteracin inversa, excepto que conduce al modode vibrar (y la frecuencia

)

Frmula

Donde ()

es un vector inicial

Es posible demostrar que efectivamente este mtodo converge al modo

de vibrar


Mtodo de Iteracin Directa


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Implementacin numrica

1) Definir = 0y seleccionar un vector ()

2) Resolver

Los pasos (3), (4) y (5) son idnticos a los seguidos en la

implementacin del mtodo de iteracin inversa

En caso que se cumpla la condicin de convergencia, se detiene la

iteracin y se obtiene una aproximacin de y


Mtodo de Iteracin Directa


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Hasta el momento, se ha estudiado la aplicacin del mtodo deiteracin inversa para calcular de manera aproximada

El objetivo es estudiar como se extiende este mtodo para calcular una

aproximacin de

Suponga que se define un vector ()

para iniciar la iteracin inversa

tal que dicho vector es ortogonal a {}, es decir:

Nota: detalles de como generar el vector () que cumpla la condicin

ortogonal sern discutidos ms adelante


Mtodo de Iteracin Inversa Solucin para

Condicin ortogonal


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Para examinar en detalle las implicancias de la condicin ortogonal,considere el vector

()descrito en trminos de la base como:

De acuerdo a la condicin ortogonal

En resumen, la condicin ortogonal significa que el vector ()

puede ser descrito en trminos de la base , , ,



Propiedades de ortogonalidad

, , : nmeros reales


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Luego, el proceso de iteracin inversa se realiza con el vector ()

que es ortogonal a {}

En general, para la -sima iteracin el vector ()

es igual a:


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Dado que / < 1, , / < 1, a medida que , ()

. Adems, segn la funcin de Rayleigh:

En resumen, el mtodo de iteracin inversa considerando la condicin

ortogonal respecto de converge a un mltiplo de (y

permite calcular )

cuando


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Para calcular una aproximacin de utilizando el mtodo deiteracin inversa, se define un vector

()tal que dicho vector es

ortogonal a y simultneamente, es decir:

La condicin ortogonal significa que el vector ()

puede ser

descrito en trminos de la base , , ,

Por lo tanto, la iteracin

= {()

} converge a un

mltiplo de { }a medida que . Adems:


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Para calcular una aproximacin de ( > 1) utilizando el mtodode iteracin inversa, se define un vector

()tal que dicho vector es

ortogonal a {},{}, , simultneamente, es decir:

La condicin ortogonal significa que el vector ()

puede ser

descrito en trminos de la base , + , ,

Por lo tanto, la iteracin

= {()

} converge a un

mltiplo de { }a medida que . Adems:


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Un aspecto clave para la implementacin del mtodo de iteracininversa es la generacin de un vector inicial

()que sea

ortogonal a , , ,

Para determinar ()

, suponga que se define un vector arbitrario

. Luego,

Vector que cumple

condicin ortogonal

Vector arbitrario (no cumple

necesariamente condicin ortogonal)

Sustraccin para asegurarortogonalidad (coeficientes

, , desconocidos)


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Al imponer la condicin ortogonal sobre la ltima expresin respectode , es posible determinar el valor del coeficiente

En general, =

()

. En conclusin, el vector ()

buscado puede ser generado mediante la siguiente expresin a partir

de un vector arbitrario

La tcnica paragenerar el vector

requerido se conoce

como proceso de

ortogonalizacin de

Gram-Schmidt


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Implementacin numrica (clculo de , , > 1)

1) Generar un vector inicial ()

que sea ortogonal a

, , , por medio de la ecuacin (*)

2) Definir = 0

3) Calcular

4) Resolver

5) Calcular


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6) Calcular el parmetro (+)

7) En caso que

calcular

y retornar al paso (4) con = 1


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8) En caso que

calcular ,

normalizar el modo de vibrar obtenido tal que

y se detiene la iteracin con +

, (+)


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El mtodo de iteracin inversa no es la nica alternativa para calcularfrecuencias y modos de vibrar. Otras tcnicas disponibles son:

Mtodo de Jacobi (permite calcular modos de vibrar y frecuencias)

Mtodo de iteracin subespacial (matrices , son

condensadas, se reduce dimensin de matrices)

Resolucin directa de la ecuacin caracterstica det =0 = 0

Otros mtodos


Otras Tcnicas Numricas


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Modelo de Amortiguamiento distinto al Clsico

En aquellos casos donde la matriz de amortiguamiento viscoso []noverifica las propiedades de ortogonalidad, no es posible aplicar

directamente la tcnica de anlisis de superposicin discutida en

captulos anteriores

Para abordar esta situacin existen dos estrategias1. Integracin numrica directa de la ecuacin de movimiento

2. Anlisis modal generalizado


Introduccin


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Las tcnicas de integracin numricas para sistemas estructuraleslineales de grados de libertad son anlogas a las estudiadas para

sistemas de 1 grado de libertad

Recordatorio sobre tcnicas de integracin numricas

Apropiadas para ser implementadas en algoritmos computacionales

Concepto bsico

Estado de sistema estructural (posicin, velocidad) es conocido

en un tiempo especfico

Mediante tcnicas a estudiar, estado del sistema estructural es

calculado para un tiempo (: intervalo de tiempo

discreto)

A continuacin se presenta el algoritmo para aplicar el mtodo de

Newmark matr ic ialcon parmetros y


Integracin Numrica Directa


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Anlisis Modal Generalizado

El tiempo de anlisis se analiza en instantes discretos tal que:

Considere la una estructura lineal elstica de grados de libertad con

amortiguamiento viscoso, cuyas condicin inicial de desplazamiento es

y su condicin inicial de velocidad,

La ecuacin diferencial de movimiento de la estructura es



tiempo


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Las ecuaciones que relacionan desplazamiento y velocidad entre 2instantes consecutivos de anlisis y +son:

De (3), es posible obtener una ecuacin que relaciona aceleracin entre

2 instantes consecutivos de anlisis y +:




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Al sustituir (2) y (4) en (1) escrita para un tiempo +:

Algoritmopara resolver la ecuacin de movimiento de un sistema de

grados de libertad mediante el mtodo de Newmark

1. Dados y , calcular de la ecuacin (1) escrita

en = 0. Definir = 12. Calcular de (5)

3. Calcular de (4)

4. Calcular de (2)

5. Ir al paso 2 con = 1




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Variantes del mtodo de Newmark Aceleracin constante ( = 1/4y = 1/2): incondicionalmente

estable

Aceleracin lineal ( = 1/6y = 1/2): condicionalmente estable

Nota: para sistemas de gran dimensin minpuede ser un nmero muypequeo y por lo tanto la restriccin de estabilidad puede ser muy

exigente



C


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Considere un sistema estructural lineal de grados de libertad endonde el modelo de disipacin de energa es viscoso y la matriz de

amortiguamiento no verifica propiedades de ortogonalidad (modelo

distinto al amortiguamiento clsico)

En este caso, la ecuacin de movimiento del sistema es:

Esta ecuacin se formula tal que:

Nota: en lo que sigue, se asume que es una matriz simtrica



, dimensin

2 2

, dimensin

2 2

() , dimensin

2 1

M d l d A i i di i l Cl i


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El ltimo sistema de ecuaciones puede ser expresado alternativamentecomo:

Las variables de estadodel sistema de ecuaciones diferenciales son:



Vector de dimensin 2 1

Sistema de ecuaciones

diferenciales de 1erorden

M d l d A ti i t di ti t l Cl i


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El problema homogneo asociado al sistema de ecuacionesdiferenciales de primer orden es:

La solucin de este problema tiene la forma:

Esto conduce al siguiente problema de valores y vectores propios

Note que existen en total 2valores propios y 2vectores propios



Valores propios

Vectores propios



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Propiedades de ortogonalidad: es posible demostrar que

Estructura de los valores propios

Los valores propios son nmeros complejos de la forma

El valor propio +es el complejo conjugado del valor propio



, = 1, , 2

Complejo

conjugado

Complejos conjugados



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Estructura de los valores propios En caso que un sistema estructural lineal elstico con

amortiguamiento clsico sea estudiado mediante el anlisis modal

generalizado, se cumple que:



Equivalente a la frecuencia natural amortiguada, es

decir = , 1 , con:

,: frecuencia natural del modo

: razn de amortiguamiento del modo

Equivalente a = ,, con:

,: frecuencia natural del modo

: razn de amortiguamiento del modo



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Estructura de los vectores propios Al igual que en el caso de los valores propios, el vector propio

+ es el complejo conjugado del vector propio

La solucin del sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales

puede ser formulada tomando en cuenta los vectores propios

El sistema de ecuaciones diferenciales se expresa como:



Similar a coordenadas

principales

Matriz diagonal Matriz diagonal



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Debido a las propiedades de ortogonalidad, el sistema de ecuacionesdiferenciales se desacopla en 2ecuaciones independientes. En

particular, la -sima ecuacin tiene la forma:

Recordar que el problema de valores y vectores propios tiene laestructura

Sustituyendo la ltima igualdad en la -sima ecuacin diferencial





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Al dividir la ltima ecuacin por el escalar

, se determinaque:

Asumiendo condiciones iniciales nulas (es decir, el sistema estructuralse encuentra en reposo), la solucin de la ecuacin diferencial es:

Finalmente:





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Nota: ya que los valores propios y vectores propios aparecen en paresconjugados, {()}se puede escribir como:





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La ecuacin de movimiento de una estructura lineal elstica de grados de libertad puede ser resuelta utilizando el concepto de

superposicin por medio de 2 estrategias:

Superposicin modal clsica, para sistemas cuyo modelo de

disipacin de energa viscoso es clsico. En este caso, la ecuacin

de movimiento puede ser resuelta a travs de 2 tcnicas Utilizacin de espectros de respuesta

Solucin directa de las ecuaciones diferenciales desacopladas

Superposicin generalizada, para sistemas cuyo modelo de

disipacin de energa viscoso no es clsico. En este caso, la

ecuacin de movimiento puede ser resuelta recurriendo a laformulacin que considera variables de estado (anlisis modal

generalizado)

Resumen

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