126959068 Problemario de Circuitos Electricos II

8/13/2019 126959068 Problemario de Circuitos Electricos II

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3/263

Directorio

DR. JOS ENRIQUE VILLA RIVERADirector General

DR. EFRN PARADA ARIASSecretario General

DRA. YOLOXCHITL BUSTAMANTE DEZ

Secretaria Acadmica

ING. MANUEL QUINTERO QUINTEROSecretario de Apoyo Acadmico

DR. SCAR ESCRCEGA NAVARRETESecretario de Extensin y Difusin

CP. RAL SNCHEZ NGELESSecretario de Administracin

DR. JORGE VERDEJA LPEZSecretario Tcnico

DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LENSecretario Ejecutivo de la Comisin de Operacin

y Fomento de Actividades Acadmicas

ING. JESS ORTIZ GUTIRREZSecretario Ejecutivo del Patronato

de Obras e Instalaciones

LIC. ARTURO SALCIDO BELTRNDirector de Publicaciones


4/263

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERAMECNICA Y ELCTRICA

UNIDAD ZACATENCO

PROBLEMARIO DE CIRCUITOSELCTRICOS II

Elvio Candelaria Cruz

INSTITUTO POLITCNICONACIONALMxico


5/263

Problemario de circuitos elctricos II

Primera edicin: 2004

D.R. 2004INSTITUTO POLITCNICO NACIONALDireccin de PublicacionesTresguerras 27, 06040, Mxico, DF

ISBN 970-36-0205-3

Impreso en Mxico / Printed in Mexico


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Al

M. en C. Arturo Cepeda Salinas


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CONTENIDO

PRLOGO ------------------------------------------------------------------------------------ 11

CAPTULO I. ESTRUCTURAS PASIVAS DE DOS TERMINALES ------------ 13

- Clculo de impedancias- Clculo de admitancias- Reducciones serie-paralelo- Problemas complementarios

CAPTULO II. TEOREMAS DE REDES --------------------------------------------- 53

- Divisor de voltaje- Divisor de corriente- Teorema de Thvenin- Teorema de Norton- Teorema del intercambio de fuentes- Teorema de superposicin- Dualidad- Problemas complementarios

CAPTULO III. VALORES MEDIOS Y POTENCIA ------------------------------ 103

- Valores medios de 1 y 2 orden- Potencia compleja, aparente, activa y reactiva- Factor de potencia- Teorema de la mxima transferencia de potencia media- Problemas complementarios

CAPTULO IV. RESONANCIA -------------------------------------------------------- 131

- Dependencia de la frecuencia- Resonancia y antirresonancia- Resonancia de un circuito RLC- Factor de calidad, ancho de banda y selectividad de un circuito resonante- Resonancia de circuitos de dos ramas- Problemas complementarios

9


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CAPTULO V. REDES CON MULTIFRECUENCIAS --------------------------- 181

- Redes con fuentes senoidales de distintas frecuencias- Redes con fuentes peridicas no senoidales. Series de Fourier- Red auxiliar de C.D.-

Red auxiliar de C.A.- Valores efectivos de corriente, voltaje y potencia media- Problemas complementarios

CAPTULO VI. REDES DE DOS PUERTOS --------------------------------------- 219

- Ecuaciones y representaciones con parmetrosZ- Ecuaciones y representaciones con parmetros Y- Ecuaciones con parmetros de transmisin directos e inversos- El transformador ideal- Ecuaciones y representaciones con parmetros hbridos directos e inversos- Equivalencias entre parmetros- Conexiones fundamentales entre redes de dos puertos- Problemas complementarios

BIBLIOGRAFA --------------------------------------------------------------------------- 299

10 Problemario de Circuitos Elctricos II


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PRLOGO

Este trabajo es producto del Programa Acadmico de Ao Sabtico otorgado al autor

durante el periodo 2001-2002. Externo mi agradecimiento al licenciado Francisco

Ramrez Rodrguez, Coordinador General de Programas Acadmicos Especiales de laSecretara Acadmica del Instituto Politcnico Nacional y al licenciado Alfredo

Villafuerte Iturbide, responsable del Programa Ao Sabtico, por las atenciones que sesirvieron brindar al suscrito para hacer posible la realizacin de este trabajo.

El presente Problemario de circuitos elctricos II est destinado a estudiantes de

Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica y carreras afines; tiene como finalidad

servir de apoyo en su preparacin profesional para el estudio de la Teora de los

Circuitos Elctricos en los tpicos que se tratan.

Se ha pretendido facilitar la comprensin de los temas mediante el planteamiento,desarrollo y solucin metdicos de problemas ilustrativos que permitan al estudiante

ejercitar sus conocimientos tericos y prcticos.

Para la resolucin paso a paso de problemas de este trabajo se utilizaron, en gran

parte, las tcnicas de anlisis de los mtodos de mallas y nodos desarrollados por eldoctor Enrique Bustamante Llaca en su importante obraModern Analysis of Alternating

Current Networks, por lo que se recomienda al estudiante conocer previamente estosmtodos. Cabe mencionar que en dichos anlisis se emplean letras minsculas para

denotar impedancias de mallas o admitancias de nodos y con letras maysculas lasimpedancias o admitancias de elementos. Asimismo gran parte de la simbologa usada

en este problemario es la misma de la obra citada.

Es mi convencimiento de que solamente el esfuerzo propio del estudiante har deeste trabajo un recurso didctico provechoso.

Finalmente deseo expresar mi agradecimiento a Jos Juan Carbajal Hernndez,

pasante de la carrera de Ingeniera en Comunicaciones y Electrnica por su apoyo e

iniciativa en la captura del material de esta obra.

Elvio Candelaria Cruz.

11


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CAPTULO I

ESTRUCTURAS PASIVAS

DE DOS TERMINALES


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PROBLEMA 1

Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesaybde la red mostrada:

Solucin:

1. Se hace una simplificacin del circuito:

Se conecta una fuente de voltajeEy se asignan sentidos arbitrarios a elementos y alas corrientes de mallas; la fuente se conecta a las terminales de inters. La mallaformada con la fuente de voltaje debe ser la malla 1:

Elvio Candelaria Cruz 15


12/263

2. Se calculan las impedancias propias y mutuas de mallas (aplicar las reglas del mtodode mallas):

i

i

i

i

i

2--2

0

34

37

26

=

=

+=

+=

+=

+=

z

z

z

zz

z

23

13

12

33

22

11 36

3. Aplicando la frmula general:

0.93i--

43.224i36

--

--

--

--

024113134733243

6205178

733

620517863167

3722

2226

37220

222634

03436

11

3332

2322

333231

232221

131211

11

.....

..

.cof

..i

ii

ii

ii

iii

ii

cof

Z

Z

ab

r,m

r,m

ab

===

=+=

=+=

+

+

+

++

++

===

zz

zz

zz

zzz

zzz

zzz

z

z

det

det

Este resultado significa que la red origin equivalente a:

Se sugiere al estudiante resolver este problema usando el mtodo de reduccin serie-


al es

paralelo.


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PROBLEMA2

Encuentre la impedancia equ ales ay ben la red dada, a lafrecuencia angular =1rad/seg.

ta una fuenteEentre las terminales ay b, con la cual se forma la malla 1. Sel signo de la inductancia mutua entre las bobinas k y l. Se asignan sentidos a

2. Se obtienen las im

ivalente entre las termin

Solucin:

1. Se conecdetermina eelementos y a corrientes de malla.

Lk,l < 0L = -0.5Hyk,l

pedancias propias y mutuas de mallas.

i).)((i))((i

i).)((i)(i

))((i

i).)((i)(i

))((i 850121

2318 - +=++++=z11

45012231

6650121

102316

3

----

--

=+=

=+++=

z

z

12

22+


14/263


15/263

3. Se aplica la frmula general:


ii-

i-

idet

i

ii

ii

cof

det

Z

ZZ

eq

m,r

abeq

33.233.9664270

42-70

6-6

6-64-

4-8

+==

=

+

===

z

z

z

rm,

11

Esta impedancia se puede representar con elementos de circuito como se muestra:

Es posible resolver este problema pasando del circuito original al circuitotransformado, donde se indican las impedancias de elementos y aplicar as el mtodo demallas. El circuito transformado sera el que se muestra a continuacin:


16/263


P 3ROBLEMA

En la red mostrada calcule:a la frecuencia angular =103rad/seg.

bservacin: Una configuracin con bobinas acopladas como se muestra en este

O tambin ver Bustam vol. I, ed. Limusa-

a) La impedancia totalZ ,Tb) El valor del inductor equivalente.

Ocircuito, no necesariamente debe tener acoplamiento entre todas ellas. Ver, por ej. HaytWilliam H.- Kemmerly Jack E. Anlisis de Circuitos en Ingenieraproblema 9, pgina472, cuarta ed. McGRAW HILL Es posible disponer fsicamente tres bobinas detal manera que haya un acoplamiento mutuo entre las bobinas AyBy entreBy C,pero no entreAy C. Un arreglo as se muestra en la figura dada. Obtngase v(t) .

ante Llaca E. Alternating Current Networks,Wiley, ej. 2, pgina 233 o Jimnez Garza Ramos Fernando Problemas de Teora de losCircuitos,vol. 1, ed. Limusa, problema 1, pgina 72, entre otros ejemplos.


17/263

Solucin: Habiendo conectado la fuente de voltaje E, la impedancia entre lasterminales ay b(Z ) se calcula como en los problemas anteriores.T


De acuerdo con las marcas de polaridad en las bobinas:

L12= -4x10-3Hy

L13 = 3x10-3Hy

[ ]

ii

i

ii

i

cof

det

ixiixxi

ixixi

i

xixxi

xixi

m,r

TZ 97.488.968338672

28

2854

5410

5-4)103(10)-4x10(10-10210--4

2-825010

10

20010

1010)52(1044

10)104-(1021050010

1)102(10)108(1046

3-33-33-3

3

6

3

63-3

3-3

6-3

3-33-3

+=+

=

+

+

==

+=+=

=+++++=

=+++++=

z

z

z

z

z

11

12

22

11

El valor de la bobina puede calcularse a partir de su impedancia:

ZL= iL = i(103)L =4.97i L = 4.97/103 = 4.97 mHy


18/263


PROBLEMA4

Encuentre la resistencia totalRTindicada que presenta el circuito mostrado cuando:a) ay bestn en circuito abierto; use reduccin serie-paralelo.b) ay bestn en corto circuito; use reduccin serie-paralelo.

Solucin:


19/263

a)


b)


20/263


21/263

Solucin: En este problema es fcil ver que un extremo del resistor de 5es el punto b,por lo que el circuito puede dibujarse como:

este circuito se puede reducir a:


22/263

donde 10/7 es el paralelo delos resistores de 5y 2:5||2=10/7


23/263

quedando 8en serie con (10/7):

8+(10/7) = 56/7 + 10/7 = 66/7

el resistor equivalente es:Rab= 66/7 || 10 = 4.85

Elvio Candelaria Cruz23


24/263

PROBLEMA6

CalculeRaben el siguiente circuito.

olucin: Para resolver este tipo de problemas podemos auxiliarnos de un punto oSpuntos exteriores y rehacer el circuito observando qu elementos se encuentranconectados entre los puntos de referencia:

=+

++

= 75.15155

)15)(5(

3020

)30)(20(Rab



25/263

PROBLEMA7

CalculeReqentre las terminal

Solucin:

esayb.

= 2811

z

=

==

=

=

=

=

=

50.15

5012

1237

501218

123710

181028

12

18

10

50

37

11

23

13

12

33

22

z

z

z

z

z

z

cof

detm,r

eqR

lvio Candelaria Cruz 25

z

E


26/263

PROBLEMA8

En el siguiente circuito calcul :

Solucin: ir de 4 mallas, sin embargo las dosresistencias de la periferia estn en

o si se desea darle la form

eZab

Este problema puede resolverse a partparalelo y pueden reducirse a una sola:

a siguiente:

21 JJ

EZ = ab +

Aplicando el mtodo de mallas para encontrarJ1yJ2:

05

2333

1322

1211

==

==

zz

zz


29 == zz

47


27/263

199490 ==

23

199

23

199

39

199

23

199

702

40

25

199

39

199

740

49

20

742

205

0742

490

205

21

2

1

321

321

321

.EE

EE

E

E

E

E

E

E

E

E

JJZ

J

J

JJJ

JJJ

JJJ

ab=

+=

+=

=

=

=

=

=++

=++

=+


E


28/263

PROBLEMA9

Calcule la impedancia total entre las terminalesaybdel siguiente circuito:

Solucin: Este circuito puede configurarse de la forma que se muestra tomando lospuntos a, b, cy dcomo referencia:

d

= 922

11

z

==

==

=

=

=

=

=

2.362

199

71

19

712

193

235

1

2

3

7

5

11

,

23

13

12

33

z

z

z

z

z

z

cof

detrm

abZ


z


29/263

PROBLEMA10

Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales ay bde la red dada, a lafrecuencia =103rad/seg.

Solucin: Obtendremos L12 y L13 de la ecuacin para el coeficiente de acoplamientoentre dos bobinas:

LLLLL

Llkkl

lk

klkk ==

De acuerdo con las marcas de polaridad:

L12>0L13


30/263

+=+

+=

+

+

+

== ii

i

i

ii

ii

cof

detm,r

eqZ 92.744.81434.11929.110

14

1454.04

54.0482.89

11z

z

El circuito original queda reducido a la siguiente forma:



31/263

PROBLEMA11

Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesayb:

olucin: Los sentidos de las bobinas fueron asignados de forma tal que fueranongruentes con el signo positivo de cada una de las impedancias mutuas. Unapedancia mutua positiva conlleva una inductancia mutua positiva.

Scim

=+

+=

+

+

==

=++=

+=++=

=+=

ii

i

i

ii

ii

cof

det

iiiii

iiii

iiii

m,r

eqZ 02.107.851228102

512

512

8

23

51227412

82658

11

12

22

11

z

z

a impedancia equivalente es:


z

z

z

L


32/263

PROBLEMA12

pias y mutuas de mallas, qu Calcule las impedancias pro e permitan encontrar laZeqde6

13 < 0 = -3x10 HyL23 > 0 = 2x10

-4Hy

la red mostrada, a una frecuencia angular de 10 rad/seg.

Solucin:

L12 < 0 = -10-4 Hy

-4L

ixixiixiix

x

ixxixxiix

xx

ixixxiix

xx

100)103)(10()102)(10()10)(10()102)(10(10

103

104900)102)(10)((2)108102)(10(10

107103900

103900)10)(10)((2)102106)(10(10

103106900

46464646

6

8

12

246446

6

88

22

246446

6

88

11

=++=

=+++

+=

=++++

+=

z

z

z

uito transformado, de acuerdo con los sentidos asignadosarbitrariamente a los elementos, las impedancias mutuas entre elementos son:

Z12 = i106(-10-4) = -100i

Z13 = i106(-3x10-4) = -300i

Z23 = i106(2x10-4) = 200i

y las impedancias de mallas se obtienen com es de arriba lo indican.


Si se prefiere obtener el circ

o las ecuacion

3


33/263

PROBLEMA13

permitan calcular la admitancia minalesayb, a la frecuencia=103rad/seg.

Solucin: Se . Se tendr laterminal a ponente. Se

positiva, por lo que el sentido de los elementos es el que se muestra.

aplica es:

Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada queequivalente entre las ter

conecta una fuente de corriente Ifcentre las terminales ay b conectada al nodo 1 y la terminal b a la base de la com

observa que por tener una invertancia mutua negativa la inductancia mutua ha de ser

La frmula que se

yyy

yy

yy

22

2221

1211

11

==cof

detn,p

abY

Clculo de las admitancias de nodos:

ixxi

x312

10310210

102 =

=y

ixxi

i

xx

ixxxi

333

3363

3

33

22

333

3

3

11

3

10106)102)(10(

10

1102104

10210310210

210

+=+++=

=++=

y

y

n Yab.


Se sustituyen valores e


34/263

PROBLEMA14

Calcule la admitancia equivalente entre las terminalesayb en el circuito mostrado,a la frecuencia =103rad/seg.

Solucin:La terminal a deber ser el nodo 1, donde se conecte la fuente de corriente.

yy

y

yy

y

y1211

22

2221

11

==cof

detn,p

abY

ii

i

i

i

i

xixi

ixixi

xixi

ixi

xixi

Yab 04.443.85.075.3257

5.07

5.072

249

2)102.0)(10(

1)105000)(10(2

5.07)104.0)(10(

1

)102.0)(10(

1)103000)(10()105000)(10(25

49)102.0)(10( 1)105000)(10()104000)(10(27

33

63

12

3333

6363

22

336363

+=+

+=

+

+

+

=

==

+=+++++=

+=++++=

y

y

y

Problemario de Circuitos Elctricos II

11

34


35/263

Este resultado significa que la red original es equivalente a:



36/263

PROBLEMA15

Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b, a la frecuencia =2rad/seg.

Solucin:

HyL 61

12 =

yy

yy

yyy

yyy232221

yyy

y

y

3332

2322

333231

131211

11

==cof

n,p

abY

Calcularemos las admitancias propias y mutuas de nodos:

det

( )

C

CC

CG

i

i

i

i

ii

i

323

13

12

12

4

4333

2

3222

1

11

0

=

=

=

++=

++=

=

y

y

y

y

y

y



37/263

Se requiere conocer el valor de 1, 2, 4 y 12. Procederemos a calcular el valor destas invertancias mediante la siguiente frmula:e

Yrnehs

Yrnehs

Yrnehs

cof

det

cof

LL

LL

L

LLL kl

kl

kl

kl

48

1152

4

61

72

1152

44

1

36

36

1

32

181

8

1

6

1

6

1

4

181

12

22

2221

1211

22

11

=

=

==

=

=

==

==

Al sustituir valores:

ii

i

ii

ii

ii

iii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

Yab 073.1.0343618

351

0

351

02418

2

1)2(

0

242

48

222)

3512

72

2

1)2(1

182

3,2

13

12

22

11

=

+=

=

=

=

=

==

=+

+

=+

+=

==

y

y

y

y

y


36

i

i 10312(33 =y

24

497


38/263

PROBLEMA16

Encuentre la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuitomostrado, a la frecuencia =10 rad/seg.

Solucin: Se asignan sentidos arbitrarios a las dos bobinas acopladas para determinarL12= + 0.2Hy. Calcularemos primeramente las invertancias propias y mutua de las dosbobinas acopladas 1 y 2 ya que dichas invertancias se necesitarn para poder calcular lasadmitancias.

cof

Yrnehcof

Yrnehscof

YrnehscofL 24.04.011

11 ====

L

L

L

12.0

2.0

32.0

6.0

2.0

4.02.0

2.06.0

12

12

22

22

==

=

==

=

Las admitancias propias de los elementos son:


kl

kl =


39/263

ii

x

ii

xi

ii

xi

iii

iii

Y

Y

Y

Y

Y

26101050

1

6

101010

105.12

1

)8.1)(10(10

8101010251

)2.1)(10(28

3.0)10(

3

2.0)10(

2

3

5

3

4

3

3

222

11

1

=+=

+=++=

+=+++=

===

===

La admitancia mutua entre el elemento 1 y el elemento 2 se calcula mediante

iii

i

Y

Y kl

kl=

1.010

11212

=

==

Obsrvese que la invertancia 12es de signo contrario a la inductancia L12.

Podemos representar el circuito original mediante admitancias, obteniendo:

Las admitancias de nodos son:

iiii

iiii

iiiiii

YYY

YYY

YYYYY

4.261.026)3.0(

7.7162610103.0

3.516)1.0(2268103.02.0

125212

54222

12532111 2

+=++=+=

+=+++=++=

+=+++=+++=

y

y

y



40/263

Aplicando la frmula general:

y

yab

det

Ypn,

=

11cof

ii

i

i

ii

ii

Yab 5.716.1531.2692.1669.2575.175246.300

7.716

8.23695.184

7.716

7.7164.26

4.263.516

+==

=

+

+=

+

++

++

=

Lo que significa que la admitancia total equivale al siguiente elemento paralelo:



41/263

PROBLEMA17

Calcule Yaben el circuito mostrado.

olucin: De acuerdo con las marcas de polaridad, los sentidos de los elementosmutuaositiva y, consecuentemente, una admitancia mutua negativa:

recordar que

Sacoplados que se muestran cumplen con L < 0, lo que origina una invertanciaklp

( )i

i

klkl

klY

== .

iiiiii 188)3(210201230822

+=++=y

ii

i

i

ii

ii

cof

det

iiii

iiii

n,p

abY 84.1551.2188172265

188

188138

1382510

138)3(20308

251020301582

11

11

+=+

+=

+

+

+

==

=++=

+=+++=

y

y

y

y

El circuito original queda reducido a la siguiente forma:


12


42/263

PROBLEMA18

Encuentre las admitancias de nodos de la red mostrada que permitan calcular laadmitancia equivalente entre las terminalesayb.

Solucin: Podemo zando reduccin serie-paralelo entreconductancias y capacitores.

En este circuito no es posible aplicar reduccin serie-paralelo, por lo queaplicaramos la frmula general ya conocida

s reducir el circuito utili

:


43/263

13

11

10

1128

52351310 =+=y

1110

23

13

33

22

=

=

+=

+=

y

y

y

11y

12 =yi

i

i

42

ii

yy

yyy

3332

232211

cofab

yyy yyy

yyy

y333231

232221

131211

==

detpn,


Y


44/263


45/263


46/263

PROBLEMA20

Calcule las admitancias propias y mutuas de nodos, que permitan encontrar la Yaben

Solucin: Las adm arcas de polaridadentidos que se asignan a las bobinas acopladas cumplen con lo siguiente: si

> 0 se tendr una Lkl< 0 y viceversa.

el circuito dado.

itancias propias y mutuas son datos. Segn las mdadas, los skl

i

i

klkl

klY)( == Recordar que:

Se puede observar que las dos conductancias laterales pueden

+=++=

=++=

=++=

y

y

La Yabse obtendra aplicando la frmula general:

ser reducidas a una:

iiiii

iiiii

iiiii

195)()3()2()25(5

3947)3(2253010425

265)2(22520155

12

22

11y

y

y

11

,det

cof

pn

abY =



47/263


48/263


49/263


50/263


51/263

PROBLEMA1

Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesaybde la red mostrada:

PROBLEMA2

En la red mostrada calcule:

a) La impedancia total ZTa la frecuencia angular =103rad/seg.b) El valor del inductor o capacitor equivalente.


52/263

PROBLEMA3

En el siguiente circuito calculeRab.


PROBLEMA4

En el siguiente circuito calculeRab.

PROBLEMA5

Calcule la impedancia equivalente entre las terminalesayb.


53/263

PROBLEMA6

Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales a y b en la red mostrada a la frecuencia

=103rad/seg.


PROBLEMA7

Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que permitan calcular la

admitancia equivalente entre las terminalesayba la frecuencia =103rad/seg.


54/263

PROBLEMA8

Calcule la admitancia equivalente entre las terminales ay ben el circuito mostrado a la frecuencia

=103rad/seg.

PROBLEMA9

Calcule la admitancia equivalente entre las terminalesayba la frecuencia =2 rad/seg.



55/263


56/263



57/263

CAPTULO II

TEOREMAS DE REDES


58/263


59/263

PROBLEMA1

Usando dos veces divisor de voltaje calcule V.

Solucin:

Para calcular el voltaje en la resistencia de 7.5aplicaremos la siguiente frmula:

( )

Volts

R

V

R

VV

ab

T

fv

R

4510

)5.7)(60( ==

=

La siguiente figura muestra el circuito original con la resistencia de 20 a laizquierda de ay b, teniendo entre estos puntos la tensin de 45V(fuente aparente).



60/263

Al aplicar divisor de voltaje en la seccin de la derecha se tendr:

voltsV 3048)45(8=

+=



61/263

PROBLEMA2

En el siguiente circuito calcu de voltaje.

olucin:Podemos establecer por L. K. V. (ley de Kirchhoff para voltajes):

o bien usando el siguiente diagrama:

le Vabempleando divisor

S

)1(.....................0 ==+ 1331 VVVVVV abab

VVV

VVV

ab

ab

13

31

=

=+

Para calcular V3pasemos primeramente la rama que contiene a las resistencias de 35a la izquierda de la fuente de alimentacin, lo anterior con objeto de facilitar la


yvisualizacin del divisor de voltaje.


62/263

11.11)20(10

18

3 ==V

Para calcular V1pasemos ahora la rama que contiene a las resistencias de 10y de

a la izquierda de la fuente:8

voltsV 5.78)20(3

1 ==

Sustituyendo en (1):

voltsVab 61.35.711.11 ==

Se sugiere al estudiante comprobar este resultado empleando la trayectoria queV2y V4.


involucre a

58


63/263

P 3

olucin: 1 3 ab mediante el siguienteiagrama, se tendr:

ROBLEMA

En el siguiente circuito encuentre Vabempleando divisor de voltaje.

S Representando las cadas de voltaje V , V y Vd

VVab 13 =

voltsiii

voltsii

i

ii

i

voltsii

i

ii

i

V

V

V

V

VVVV

ab

ab

ab

2.8577.177.1147.0101.1561.0669.0708.0

:endoSustituyen

669.0708.016

1012

61056

2)56(

101.1561.058

610

8335

2)35(

3

1

31

===

=+

=++

=

+=

+=

++

+=

=+



64/263

PROBLEMA4

Empleando divisor de corriente calcule las corrientes en las ramas 2 y 3. Verifique laley de Kirchhoff para corrientes en el nodo A.

Solucin:La corriente de 5|0 Amp. proveniente de la fuente, se bifurca por las ramas 2y 3.

As:

.929.013.2

10602540

5)2540(

.929.086.215100

503005)1060(3 i

10602540

32

2

3

32

2

ampi

ii

i

ampii

i

ii

ZZ

IZI

ZZ

IZI

fc =

++

==

+=

=++

==

+

+

Aplicando la ley de Kirchhoff al nodo A:

321

321

fc ++

0

.5929.013.2929.086.21

ampii

III

III+=

=++=

I

=++

Problemario de Circuitos Elctricos II60


65/263

PROBLEMA5

Usando reduccin serie-paralelo y divisor de corriente encuentreIX.

Solucin: Reduciendo resistencias en paralelo entre los puntos A, B y C, D:

En el circuito de la figura 3 podemos calcular la corriente totalIT.

mAk

IT 5.22155.337 ==

Regresando al circuito de la figura 2, tenemos que la corrienteITse distribuye por laresistencia de 20ky por la rama que nos interesa (10ken serie con 20k).



66/263

En la misma figura 2, aplicando divisor de corriente para calcularI1:

mAkkk

xkI 9202010

)105.22)(20( 3

1 =

++=

En la figura 4 observamos que laI1se distribuye como se muestra:

Aplicando nuevamente divisor de corriente se obtieneIx.

mAk

xk6

)109)(60( 3==

Ix 90

62 ario de Circuitos Elctricos IIProblem


67/263


68/263


69/263

+=++

== ii

iZZ Theq 88.873.25265

ii )3)(95(

3. Se dibuja el circuito equivalente de Th .venin y se conecta el resistor de 6

.109.70.618.888.73

155.197.68xI += ampi =



70/263

PROBLEMA8

Aplicando el teorema de Thvenin, calcule la corriente en el resistor de 5k.

olucin:Separando el resistor de 5ky aplicando el mtodo de mallas para calcular eloltaje de Thvenin entre las terminales ay b, tendremos que:

54000

3

32

321

321

321

Ampx

D

JJ

JJJ

=+

+=++

De la ecuacin (4) tenemos:

J3= 100x10-3-J2


S

v

VTH= (2.7K)(J2)

)4(...............................10100

)3(..................................560000 D

JJJ =++

)2(

)1(

.......................200

.................................20004700 JJJ =++


71/263


72/263

PROBLEMA9

Encuentre el circuito equivalente de Thvenin entre las terminales ay b.

Solucin:

i

i

i

i J )86.365()3 1=+JVV abTh

22

37

26

4(

12

22

11

1

=

+=

+=

==

z

z

Estableciendo las ecuaciones de mallas:

z

ii JJ 0)3(7)22( 2121

=++

volts

amp.

i

i

ii

ii

i

i

ii

J

JJ

Th26.351.76)36.86)(510.51(0.352

10.510.352

2436

614

3722

2226

370

222

2)22()2(6

1

==

=

+

+=

+

+

+

=

=++


V


73/263

La impedancia de Thvenin se calcula del circuito siguiente:

+= i3733z

=

=

=

++

=

+

+

+

++

++

==

=

=

+=

+=

+=

i

i

ii

ii

ii

cof

det

i

i

i

i

Z

eq

rm

eq

93.002.4

1.1313.47.332.43

6.205.178

2436

63167

3722

2226

37220

03436

22

0

34

26

36

11

,

23

13

12

22

11

z

z

z

z

z

z

z

El circuito equivalente de Thvenin es:

iii 222634

iii

Z



74/263

PROBLEMA10

Utilizando el teorema de Thvenin encuentre la corriente que circula por el resistorde 8.

olucin: Habiendo separado el resistor de 8, se tendr la malla 2. Habremos de

calcular Vab= VTh.

Aplicando el mtodo de ma

S

llas para encontrarJ1yJ2:

.491.5 amp=173

950

1913

1318

190

1350

01913

501318

13

19

18

1

21

21

12

22

J

JJ

JJ

=

=

=+

=

=

=

=

z

z

z11



75/263


76/263

E=RIR=E/I

JJI 21+= (corrientes diferentes de las anteriores)

Empleando el mtodo de mallas:

==+

==

=

=

18103

=

=+

=+

=++

=

=

=

=

=

66.3173

634

634

51

634

122

634

634

122

1014

18100

30

018103

10140

305

10

3

0

18

5

2

1

321

321

321

23

13

12

33

22

EE

E

I

ER

E

E

E

E

J

JJJ

JJJ

JJJ

z

z

z

z


= 14

11

z

1014E

J

0

305

51E

z


77/263

Al conectar al circuito equivalente de Thvenin el resistor de 8:

Ix= 2.31 = 198 mA11.66

lvio Candelaria Cruz 73E


78/263

PROBLEMA11

En la red mostrada en to equivalente de Norton entre las terminalesayb.

Solucin: Se cortocircuitan las term by se orientan elementos y mallas:

Z12 -4i

Aplicando el mtodo de mallas:

Sustituyendo impedancias de mallas:

cuentre el circui

inales ay

=

i

i

i

JJ

JJ

4

104

22

0

10

12

22

11

222121

212111

=

+=

+=

=+

=+

z

z

z

zz

zz

0)104()4(

10)4()22(

21

21

=++=++

JJJJii

ii

La corriente que circula por las terminal rtocircuitadas es la corriente de Norton,en este casoJ2.


es co


79/263

i 1022+

ampi

i8.141.4144

280 =

amp.

.

ii

i

I

J

N8.141.4144

44

422

042

=

+=

+

=

Calculemos ahora la impedancia vista entre las terminales a y b, para estonecesitamos pacificar la estructura activa original y conectar la fuenteE:

ii 1044 +

+=++

=+

+

+

==

=

+=

+=

ii

i

i

ii

ii

cof

det

i

i

i

rm

abZ 6822284

22

224

4104

4

22

104

11

,

12

22

11

z

z

z

z

Representando esta impedancia con elementos de circuito tendremos el circuitoequivalente de Norton como sigue:


z

E


80/263

O bien, en funcin de la admitancia:

iiZ

Y 06.008.011

=== ab

ab 68+

Obtenindose:

76 oblemario de Circuitos Elctricos IIPr


81/263


82/263

iii

iiYN 15.247.13362

)33)(62(=

+

=

El circuito equivalente de No


rton entre ay bes:


83/263


84/263

== 55

1ZY NN

. Conectamos la carga al circuito equivalente de Norton y aplicamos divisor de

orriente con impedancias.

4

c

56.11623.256.2694.8

9020

435

)904(5=

=

++

=

iI

LZamp.



85/263

PROBLEMA14

Obtenga el circuito equivalente de Norton entre los puntosaybde la siguiente red.

olucin: Separamos la carga de 3+4iy cortocircuitamos las terminales ay b.

todo de mallas para encontrarIN:

+

=

=

+=

=

+=+=

JJ

JJJ

JJJ

J

Di

Dii

i

i

i

i

i

z

z

zz


S

Aplicando el m

)4(.......................3

)3(.....................)45(00

)2(......................0)1020()1020(

)1(.......................20)1020()1030(

0

0

)1020(

45

1020

1030

23

321

321

321

23

13

12

33

22

11

=

=++

=++++

z

z

=++ JJi

E


86/263

Sumando las ecuaciones (2) y (3):

:)1(e

)...(............................................................3)1()1(:)4(e

).......(....................0)45()1020()1020(

321

321

321

Cii

B

Aiii

J J J

)(........................................20)1020()1030(

D

0D

JJJ

JJJ

=+++

=+

=++++

Observamos en nuestro circuito que J3es la corriente de Norton. As:

ii

ii

iii

i

ii

IJ N 22.161.820.69011.694130390

2)10(201030

110

451020)10(20

0

01020)10(20

=+=+

=

++

++

++

==

31

ii320640

2)10(201030+

++

3

Calculando la impedancia de Norton:

+=+

+=

++

+= i

i

i

i

iZA 71030

100200

102010

)1020(10


87/263


El circuito equivalente de Norton queda:


88/263


PROBLEMA15

Empleando reduccin serie-paralelo e intercambio de fuentes calcule Vab en el

circuito mostrado.

olucin: Del lado izquierdo:S

IRV

V 12)2)(6( ==

=

volts

Del lado derecho en el

circuito original, tendremos:

V 12)6)(2( == volts


89/263


Haciendo las sustituciones correspondientes:

voltsRI

amp.I

I

III

V

VVVVVV

ab

RRR

202)(10)(

203618

01261036212

03610221

===

==+

=+++++=+++++


90/263

Elvio Candelar 85

Empleando IL que seindica en el circu

olucin:

ia Cruz

PROBLEMA16

el teorema del intercambio de fuentes encuentre la corrienteito mostrado.

S

amp.iIL

2.581.7569.4417.08

66.863066.8630

166 =

=

+=


91/263

86 itos Elctricos II

Por intercambio sucesi le la corriente queircula por la resistencia de 8.5.

olucin:En las figuras siguientes se ilustra el intercambio de fuentes y resistenciasntre ay b:

Problemario de Circu

PROBLEMA17

vo de fuentes entre los puntos ayb, calcuc

Se


92/263


amp.Iab 15656

8.565

656

==+

=


93/263


En el siguien empleando el teorema desuperposicin.

Solucin:

PROBLEMA18

te circuito encuentre la corriente Ix

1. Hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltajecortocircuitndola.

+=+++

= ii

iZA 7102010

)1020(10

Por divisor de corriente:

i

i

i

i

I 312321

312

)03)(7(1

+=

+=


94/263

2. Hacemos actuar ahora la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corrienteabrindola.

89


Elvio Candelaria Cruz

0)625()1020(

2)1020()1030(

)1020(

625

1030

21

21

12

22

11

=+++

=++

+=

+=

+=

JJ

JJii

ii

i

i

i

z

z

Se observa que laJ2=I2. As:

z

i

i

ii

ii

i

i

I 33924

625)1020(

)1020(1030

0)1020(

21030

2 +

+=

++

++

+

+

=

La corriente totalIser la suma de las respuestas parcialesI1eI2:x

i

i

i

iI

III

x

x

339

24

312

321

21

++

++

=

+=

Haciendo operaciones algebraicas podem I1e I2a sus formas cartesianassumarlas, obteniendo un resultado aceptable; sin embargo, a fin de llegar a unsultado ms exacto multiplicaremos el numerador y denominador de Ipor el factor

(3+i inador queI2:

os convertiryre 1

) y as obtener el mismo denom

amp.ii

i

i

i

i

i

i

i

ii

ii

I

I

x =+=

++=

+++

++=

++=

+++

=

22.161.820.69011.6941339

326433924

3393060

3393060

))(33(12

))(33(211


95/263

Puede verificarse este resultado con el del problema No. 14 de este mismo captulo.

90 oblemario de Circuitos Elctricos II

Em

Solucin:

1. Hacemo la. Elcircuito queda:

Pr

PROBLEMA19

pleando el teorema de superposicin encuentreIx.

s actuar la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abrindo

amp.I 6

33

34

141

=+

=

2. Ahora hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltajecortocircuitndola. El circuito queda:


96/263


Resolviendo por el m

)2...(..............................036

)1......(..............................23

321

321

321

D

D

todo de mallas:

J )3...(..............................63J J2JJJ

JJJ

=++

=++

=+

Restando la ecuacin (3) de (1):

36

).(..............................7

:Adems

).......(..........044

321

31

321

C

B

A

).....(..........0

:(2)dey

JJJ

JJ

JJ

=++

=+

=

321

321

=++

=++

J

Ordenando coeficientes de estas tres ecuaciones:

044321

= JJJ

036

70 JJJ

J J J


97/263


amp.

041

J 11414

361

101

441

701

3 =

=

=

Se observa en el circuito que a total esIx=I1+I2.

061

I2= -J3. As, la respuest

Ix= 6 + (-J3) = 6+(-1) =5 amp.


98/263


99/263

6. Se extrae la grfica dual y se sustituyen los elementos bsicos correspondientes encada elemento general de dicha grfica.


En la red original se tiene:= nmero total de elementos de la red dada = 5.

9

-c = nmero de nodos independientes de la red dada = 2.= nmero de mallas independientes de la red dada = 3.

Grfica de la red dual.

En la red dual se tiene que:= 5 elementos.

-c = 3 nodos independientes.= 2 mallas independientes.


100/263

Al aplicar la correspondencia entre elementos dada por el principio de dualidadespecial se obtiene la red dual siguiente:

Elvio Candelaria Cruz 95Correspondencia entre ecuaciones:

Red dada Red dual

ILiVIRV

IiS

V

IiS

RV

EIRV

555

444

3

3

3

2

2

22

1111

==

=

+=

=

VCiIVGI

Vi

I

Vi

GI

IVGI fc

555

444

3

3

3

2

2

22

1111

==

=

+=

+=

odo I) malla 1) 0431 = VVV 0431 = IIIn

Inodo II) 05432 =++I I I malla 2)

l

05432

=++ VVVV

ma la 1) 0321

= VVV nodo 1) 0321 = III la 2) 0

43 =VV mal nodo 2) 043 =II malla 3) 0

52 =VV nodo 3) 052 =II


101/263

96 itos Elctricos IIProblemario de Circu


102/263


103/263

PROBLEMA1

Usando dos veces el divisor de voltaje encuentre Vab.


104/263

PROBLEMA2

En la siguiente red calcule Vabempleando divisor de voltaje.

PROBLEMA3

Usando reduccin serie-paralelo y divisor de corriente encuentre la corriente Ix.



105/263

PROBLEMA4

Aplicando intercambio de fuentes y el teorema de Thvenin encuentre la corriente

en la carga de 50+20i.

PROBLEMA5

Empleando el teorema de Thvenin encuentre la corriente en la carga de 3.

PROBLEMA6

Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales ayb.



106/263

PROBLEMA7

Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales ayb.

PROBLEMA8

Empleando intercambio de fuentes encuentre la tensin entre los puntos ay b del

circuito mostrado.

PROBLEMA9

En el siguiente circuito encuentre Ixempleando el teorema de superposicin.



107/263

PROBLEMA10

uito mostrado y verifique Obtenga la red dual del circ la correspondencia entre sus


ecuaciones (emplee dualidad especial).

102


108/263

CAPTULO III

VALORES MEDIOSY

POTENCIA


109/263


110/263

PROBLEMA1

Dada la funcin i(t) =I0sen(t) representada en la grfica, encontrar:

a) El valor medioIm.b) El valor eficazIef.

Solucin:

a) El valor medio de la funcin i(t) = I0sen(t) con t como variable independiente yperiodo T=2es:

[ ] [ ]

01]1[2

cos(0))cos(22

)cos(2

)()sen(21

)(1

0

2

0

0

2

0

0

00

=+=

+====

t

tdt

dttiT

II

IIII

m

T

m

b) El valor eficaz o r.m.s. de la funcin dada es:

[ ]

202

2

2)sen(24

1

22

)()(sen2

)()sen(211

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

02

0

2

00

2

IIII

III

t

t

tdt

tdt

dtiT

ef

T

ef

=

=

==

==



111/263

PROBLEMA2

Calcule la potencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia en la rama 2 del

circuito dado. Dibuje el tringulo de potencias de esta rama.

Solucin:

IZP2

=

La corriente en la rama 2 esJ2, luego:

JZP 22

=


0)1555()5030(

12)5030()4045(

5030

1555

4045

21

21

12

22

11

=++

=++

=

+=

+=

J

JJii

ii

i

i

i

z

z

z



112/263

resolviendo para J2:

amp.i

i

ii

ii

i

i

J =

=

+

=

++

++

+

+

= 61.10.2012.063447.24

59699.71

1253475

)512(30

1555)50(30

)50(304045

0)50(30

124045

2

l sustituir valores en:a

VAiiZP I =+=+== 19.5472.14.101.1)201.0)(3525( 22

e la expresin:

=P + iP obtenemos:

activa= 1.01Watts

= 1.4VARS

aparente= 1.72 VA

p.= cos(54.19) = 0.58+(adelantado)

ringulo de potencias en la rama 2:

DP a r

P

PreactivaP

f.

T



113/263


114/263

Clculo de la potencia en la rama 1:

)(0.8)33.7cos(

68.6

'38

57.3

33.768.63857.3)(1.38)20(301

30.321.3830.3246.09

63.72

1045

)17.18)(1.9030(15:corrientededivisorPor

17.181.90V

I ===17.1826.23

22

1

1

atrasadof.p.

VA

SVAR

watts

ii

amp.i

i

amp.Z

P

P

P

IZP

I

ap

r

a

==

=

=

=

====

==

=

Clculo de la potencia en la rama 2:

050

I= 1.90|17.18amp.

Por divisor de corriente:

)(0.44

73.4

'66

33

63.4373.466633)(1.48)30(152

63.391.4812.5246.09

50.8768.49

1045

17.181.90)20(30

2

i

I+

=

22

22

adelantadof.p.

VA

SVAR

watts

ii

amp.i

P

P

PIZP

ap

r

a

+=

=

=

=

=+=+==

=

=

Comprobacin de la conservacin de la potencia. La potencia total debe ser la suma

e las potencias de cada rama.

esultado coincidente con el obtenido al calcularPTinicialmente).

d

PT=P1 + P2P1P

= 57.3 38i

2 = 33 + 66i

PT= 90.3+28i (r

Clculo de la potencia en la fuente de alimentacin:

=== 18.1795)8.1790.1)(50(IVPf



115/263

PROBLEMA4

a, reactiva y el factorEncuentre la potencia activ de potencia total del circuito

mostrado cuando la potencia reactiva en rama 2 es de 2000 VARS. Dibuje el

Solucin:

en la rama 2 es:

latringulo de potencias.

La potencia

iii IIP 2502)2050(2 =+= II 20002502202222

+=+

Igualando partes imaginarias:

Este resultado se pudo obtener tambin sabiendo que la potencia reactiva en la rama

amp.I 102

10020

022

=

=ii II200

20002022

==

2 es debida al capacitor, as:

( )( )

( )

( ) ii

i

i

i

i

ii

ii

amp.iiII 2022

===

ZV

ZV

PPP

IZV

VV

IZ

T

cc

383.511355.4538.510460

18(538.5)

502300

590

502300

)154020(50538.5

2050

(538.5)

1540

(538.5)

538.5102050

102200022

22

222

2

2

2

1

2

1

21

22

222

21

=

=

=

=

++=

+

+=+=+=

=+==

=

=

P


116/263


r

a

==

=

ringulo de potencias:

Obtenindose:

)(0.99)1.93cos(

'383.5

11355.4

atrasadof.p.

SVAR

watts

P

P =

T


117/263


Obtenga el tringulo de poten otencia del circuito dado, si laotencia reactiva consumida es de 1000 VARS (capacitivos o adelantados)

olucin:

PROBLEMA5

cias total y el factor de pp

S

=

=

=

=

=

5(

7.2779.3

7.2779.32555.16

7.5280.62

715

5038

715

)410)(3Z

ZT

T i

i

i

ii

Como el ngulo de la impedancia conjugada es el mismo que el de la potencia

= IZP , podemos calcular por funciones trigonomtricas la potencia activa y la

ente.

2

potencia apar

wattsP

P

a

a

19010.5259

1000

1000)(27.7

==

tg

=

Potencia aparente = |P|:


118/263


119/263


La potencia reactiva consumi 1 = 5|45

PROBLEMA6

da por dos impedanciasZ yZ2 = 10|30 enserie es 1920 VARS en retraso otencia activaPay la potenciaaparente |P|, as como el factor de potencia. Obtenga el tringulo de potencias.

olucin:

(inductivos). Hallar la p

Potencia reactiva = 1920 VARS (inductivos)

S

IIIZIZP

PPPzz1

66.8 +=

iii

i

i

T

222

2

2

1T

21

2

)53.819.12()566.853.353.3(

5

53.353.3

=+=+=

+=

+=

igualando partes imaginarias:

Tringulo de potencias:

)(0.81)35cos(

3350

'1920

2744

:queAs

35335019202744

225.088.53

1920

atrasadof.p

V.A.

SVAR

watts

i

P

PP

P

I

T

r

a

T

==

=

=

=

==

==

19208.53

2

2

iiI

=


120/263

114 ario de Circuitos Elctricos II

Encuentre la potencia compleja del circuito mostrado, as como el factor de potencia

Solucin:

Problem

PROBLEMA7

sabiendo que la potencia activa total consumida es de 1500 watts.

)1(..............................45

)63()2

i

13

32(

6332

222

2

2

1

2

21

i

ii

PPP

VVV

Z

V

Z

V

+

=

++

+

+=+=

la parte real de la suma de los dos ltimos trminos de la ecuacin (1) es la potencia realo activa total, entonces:

V=P

6802129

)585)(1500(

1500585

129

150045

32

15004513

2

13

3

2

2

22

==

2

=

V

V

VV

=

+

=+

V


121/263


)(518.0)8.58cos(.. atrasadop

2895

'2477

1500

8.5828952477150090746.4537.156946.1046

90746.45345

)63)(6802(

7.156946.104613

)32)(6802(

:(1)detrminocadaen6802dosustituyen

21

2

1

2

VA

SVAR

Watts

iii

ii

ii

PPP

P

P

V

r

a

==

=

=

=

==+=+=

=

=

=

=

=

P

P

P

f


122/263


PROBLEMA8

En el circuito mostrado la potencia en el resistor de 10es de 1000 watts y en elircuito total es de 5000 VA con un factor de potencia de 0.90 adelantado. HallarZ.

olucin: Mtodo 1

c

S

1.572.1436.392.66

58.1940.35

21.8107.70

58.1940.3534.3021.271034.3031.271047.6446.42

1047.6446.42

47.6446.4221.8107.70

25.845000I =

=

25.845000

21.8107.70

)104(10

10

101000

25.84cos(0.90)

11

1

1

1

1

21

2

2

21

2

2

i

ii

IV

i

amp.

Z

ZIV

IV

Z

I

IIII

V

VVI

I

IVIVI

amp.

amp.

volts

==

=

===

=+=+==

+=

+=

=

=

+==

=

=

=

+=

V

ang

2ramalaenactivapotencia22 2IRPa ==

2

1002

2I =


123/263

Elvio Candelaria Cruz 117Mtodo 2.

iZ

iZ

iZ

iZ

voltsi

amp.

ang

Z

Z

Z

Z

VP

VV

IZVV

II

I

IR

T

T

T

T

T

watts

410

)4(1025.84

410

)4(10

25.842.3225.845000

11600

1160025.845000

11600

21.8107.70)104(10

10

10010

1000

1000

10002ramalaenactivaPot.

25.84cos(0.90)

Asimismo

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

++

+=

++

+=

=

=

=

=

=

=+=

==

==

==

=

==

= 2.14 - 1.57i

2.32

haciendo operaciones algebraicas para despejar aZ, obtenemos:

Z


124/263

118 Problemario de Circuitos Elctricos IIMtodo 3.

)1.........(..............................410

84.25)90.0cos(

222

i

ang

V

Z

V

Z

VP

T

T ++==

=

La parte real o potencia activa en la rama 2 vale 1000 watts

=

==

+= iZ

257935001600

+=

+=+

+=+

++=

==

=

+

i

iZ

i

Zi

iZ

i

VV

VRe

57.114.2

38.36668.238.365.4347

11600

40010001160021794500

8.21107711600

21794500

410

116001160084.255000

:(1)ecuacinlaenvaloresdoSustituyen

116001000116

10

1000410

2

2

2

1

iZ

25793500

11600

Z


125/263


126/263

JJ

JJ10204

8410

21

21

=+

=

amp.J

JVTh

0.7173184

132

204

410

104

810

11

2

2

==

=

=

20 Problemario de Circuitos Elctricos II1

V voltsTh 7.89.7173)=

La resistencia de Thvenin se calcula de:

RTh= 4.42

3. Se calcula la potencia mxima enRL.

11(0=


127/263

El valor deRLdebe ser igual al deRThpara que se transfiera la mxima potencia.

watts

amp.I

IRLmax )4.42(0.8922

2

==

PROBLEMA10

Pot 3.51

0.8928.84

7.89

=

==


En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de cargaZLque d lugara la transferencia de potencia mxima y calcule dicha potencia.

V

Solucin:

1. Hallemos el circuito equivalente de Thvenin, obteniendo Thde:


128/263

voltsiiiiIiI

amp.iI

i

iii

VTh =+==+=

=

+=+++=

10.952.759.98451.8)3.70(0.713214410

3.700.7132

2600500100

25)2(4108511z

Clculo de la impedancia de Thvenin:

122 Circuitos Elctricos II

I= 10011z

i6

iIIi =

+==+

701265100)26(5

Problemario de

iii

ii

ii

ii

iii

iiii

i

ZTh 73.24.17011914980265 5064265 26514

1410

14410

265)4(21085

10

12

22

11

+=+

=+

+=+

+=

=+=

+=+++=

=

z

z

z

El circuito equivalente de Thvenin es:


129/263

2. La mxima transferencia de ZZ ThL= potencia tiene lugar cuando

La impedancia total del circuito es:

ZT=1.4+2.73i+ 1.4 - 2.73i = 2.8


3. Calculemos I1 , porque la bobina y elcondensador se anulan).(ntese que la carga se reduce a 1.4

watts

amp.V

otIRPot

max

Lmax

T

496

1.4(18.83)1

:esdatransferimximapotencialay

10.952.75

2

2

=

==

ZI 10.918.83

2.81 ===


130/263

24 Problemario de Circuitos Elctricos II1


131/263

PROBLEMAS

COMPLEMENTARIOS


132/263


133/263

PROBLEMA1

El circuito serie mostrado consume 64 watts con un factor de potencia de 0.8 enretraso. Hallar la impedanciaZy el tringulo de potencias.

PROBLEMA2

Encuentre la potencia compleja y el factor de potencia en cada rama de la red dada.Compruebe la conservacin de la potencia compleja.

PROBLEMA3

Empleando divisor de corriente encuentre la potencia en cada rama del circuito dadoy compruebe que Pfc= P1+ P2.



134/263

PROBLEMA4

tricas obtenga la potenc Mediante funciones trigonom ia reactiva, aparente y el factor

PROBLEMA5

En la siguiente configuracin nte, activa, reactiva y el factorde potencia enZ . Obtenga el tringulo de potencias en dicha impedancia.

=20|0

de potencia del circuito dado, sabiendo que la potencia activa consumida es de 2000watts. Dibuje el tringulo de potencias.

calcule la potencia apare

5

E volts

2= 2+2i

i


Z1 = 3

ZZ3= 2iZ4= 1 + iZ5= 4 +Z6= 1 + 2i

1


135/263

PROBLEMA6

1La potencia reactiva consumida por dos impedancias Z = 8|-15 yZ = 20|-452 en serie es de 800 VARS adela activa, aparente y el factor de

potencia.

Calcule la potencia compleja en cada rama del circuito dado, cuando la potenciareactiva en la rama 3 es de 500 V

En el circuito mostrado determine el valor de RLal cual se le transfiera la mximapotencia y calcule dicha potencia


ntados. Hallar la potencia

PROBLEMA7

ARS.

PROBLEMA8

.


136/263

PROBLEMA9

En el circuito dado determine el valor de RLque d lugar a la mxima transferenciade potencia. Calcule la potencia mxima suministrada a la carga.

P 10

ZLque d lugartencia mxima y calcule dicha potencia.


ROBLEMA

En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de cargaa la transferencia de po


137/263

PROBLEMAS

COMPLEMENTARIOS


138/263


139/263

PROBLEMA1

Disee un circuito RLCserie resonante para la corriente con una tensin de entradade 5|0 volts que tenga las siguientes especificaciones:

a) Una corriente pico de 10 mA.b) Un ancho de banda de 120 Hz.c) Una frecuencia de resonancia de 3x103Hz.

EncuentreR, Ly Cy las frecuencias de corte.

PROBLEMA2

Un circuito RLCserie con R=20 y L=2 mHy operando a una frecuencia de 500Hz tiene un ngulo de fase de 45 en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para lacorriente del circuito.

PROBLEMA3

La tensin aplicada a un circuito serie RLC con C=16 F es de)301000cos(2120)( = ttv volts y la corriente que circula es tti 1000sen23)( =

amp. Encuentre los valores de Ry de Lcul ser la frecuencia de resonancia 0para lacorriente?



140/263

PROBLEMA4

Se tiene un circuito RLC serie con una frecuencia de resonancia para la corriente

PROBLEMA5

En la red dada:

a) Calcule la Q0de la red.para la resonancia en V.

banda es de 5000 Hz.

PROBLEMA6

Calcule el valor de Cpara que el circuito mostrado entre en resonancia para Va una


de f0= 300 Hz y un ancho de banda AB= 100 Hz. Encuentre la Q0del circuito y lasfrecuencias de corte f1y f2.

b) Encuentre el valor de XCc) Determine la frecuencia de resonancia f0si el ancho ded) Calcule el mximo valor de la tensin VC.e) Calcule las frecuencias de corte f y f .1 2

frecuencia angular 0= 25000 rad/seg.

1


141/263

PROBLEMA7

a) Encuentre la frecuenciab) Calcule las reactanc) EncuentreZTd) Si E=200|0

En el circuito dado:

0que haga mnima la corrienteI.cias XLy XCa esta frecuencia.

a la frecuencia 0.volts encuentre I, I e I .

LEMA8

En el circuito RLCparalelo que se muestra:

a) Encuentre po para la corriente en eler problema

nm. 7 resuelto).) Verifique los resultados anteriores haciendo el desarrollo completo del mtodo.

P 9

Deduzca la expresin para calcular la frecuencia de resonancia para Ven el circuitoparalelo de dos ramas mostrado.


L C

PROB

r dualidad la frecuencia de resonancia 0capacitor y la expresin para el mdulo mximo de dicha corriente (v

b

ROBLEMA


142/263

PROBLEMA10

En el circuito paralelo de do ncuentre el valor de Ly de Cpara que la red entre en resonancia para Va cualquier frecuencia. Exprese la condicin

que relacione a R , R , Ly C.


s ramas que se muestra, e

L C

1


143/263

CAPTULO V

REDES CONMULTIFRECUENCIAS


144/263


145/263

PROBLEMA1

En el circuito dado ifc(t) = 5 + 10sen1000t + 15sen(2000t + 30) amp. Calcule elvoltaje instantneo en la bobina y en el resistor en serie con la fuente.

Solucin:

Se observa que la fuente posee trmino constante y trminos senoidales, por lo quehabr que resolver la red auxiliar de C.D. y la red auxiliar de C.A. Calcularemos

primeramente el voltaje en la bobina en cada red auxiliar.

Red auxiliar de C.D.En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito.

=== 0)0( LiLiZL

Por tanto v0= 0volts

Red auxiliar de C.A.La red auxiliar de C.A. es el circuito original con corrientes y voltajes complejos.



146/263

En el anlisis de problemas con fuentes senoidales de diferentes frecuencias se

aplica el teorema de superposicin, es decir, haremos actuar por separado cada trminode la fuente para obtener una respuesta parcial y la suma de estas respuestas parciales

ser la respuesta total.

El voltaje en la bobina est dado por:

=

Consideremos primeramente el trmino

VL ZeqI

volts

xix

xix

amp.seg

rad

tt

V

IZV

Z

I

i

eq

eq

fc

=

==

=

=

+=

==

=

88.4879.9

)0)(1088.48(7.99

88.487.991.52300.1

902400

)10)(810(300

)10)(810(300)(

010,1000para

01010sen1000)(

'

'''

'

'

'

33

33

Este complejo corresponde a la senoide

Ahora consideremos el segundo trmino senoidal de la fuente.

voltsttv )48.881000sen(9.79)(' +=

volts

i

ix

xxi

xxi

amp.seg

rad

t

IZV

Z

I

ti

eq

eq

===

=

=

+=

+=

==

+=

116.95239.55)30)(1586.95(15.97

86.9515.973.05300.42

904800

16300

16300

)10)(810(2300

)10)(810)(2(300)(

3015,2000para

3015)3015sen(2000

''''''

''

''

)(''

33

33

uya senoide correspondiente es:


C

voltsttv )95.1162000sen(55.239)('' +=

184


147/263

Por lo que el voltaje instantneo en la bobina es:

voltstttv

vtvvtv

L

L

)95.1162000sen(55.239)48.881000sen(9.79)(

)('')(')( 0

+++=

++=

El voltaje instantneo en el resistor de 500

es:

( ) voltstt

voltsfc

tv

titv

R

R

+++=

=

302000sen75001000sen50002500

500

)(

)()(



148/263

PROBLEMA2

Calcule el voltaje instantneo en el capacitor del circuito mostrado, cuando la fuente6

r de C.D.

esE(t) = 10 + 5sen(10t+60) volts.

Solucin:

Red auxilia ino constante de E(t). En corriente directa el capacitor seConsideremos el trmcomporta como circuito abierto.

===CiCi

Zc )0(11

Por divisor de voltaje:

)(66.6

66.6150

10

10050

)10(100100v ==+

=3

00 vvv cvolts

volts

==

Red auxiliar de C.A.



149/263

Consideremos ahora el trmino senoidal deE(t).

50.254.980.24987.144.994

2.86100.125

90500

5100

)5100(

C.A.)deauxiliarredlaen(indicada

comodesignamoslacapacitorely100deresistordelparaleloenimpedancialaA

5

10

1051051

605',10para

605)605sen(10)(' 6tt +=

.

6

66

6

ii

i

i

i

ix

ix

i

E

seg

rad

Z

Z

Z

Z

Z

eq

eq

eq

C

C

==

=

=

=

===

==

C

Aplicando divisor de voltaje para hallar el voltaje en el capacitor, tendremos:

E

( )

volts

iiZ

V C

eqC

=

=

=

+=

+=

46.21495.0

68.55.50525.50525.05050

'

'

El voltaje instantneo en el capacitor es la suma de las respuestas parciales de losrminos de la fuenteE(t).

C

CC

+=

+=

46.2110sen495.066.6 6

0

)(

)(')(


EZeq 14.272514.272560514.87994.4'V

t

( ) voltsttv

tvvtv


150/263


151/263

En nuestro caso elegiremos2

T= .

0t

2

T

Pudimos tomar 0=0, pero esto implicara integrar dos intervalos de la funcin (de


152/263

Clculo de bn.

=2 (

Tn tf

Tb ==

2 22

2

sensensen)TT

tdtntT

tdtntTT

tdtn 22 4222 T TT VV

Integrando por partes:

vduuvudv =

tnn

vtdtndv

dtdutu

cos1

sen ==

==

( )[ ]

( )[ ]

...3,2,1cos2

0sensen1

2

2sen2

2sen

1sen

1

cos2

coscos2

2cos

2

2cos

4

4

2cos

42cos

4

4

cos1

cos4

22

22

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

==+=

==

==

=

=

=

=

+=

nnn

V

nnn

T

TnT

Tnntnn

nn

V

nnn

VT

Tn

T

Tn

n

T

T

V

Tn

n

TTn

n

T

T

V

ttdnn

tnn

t

T

V

b

b

n

T

T

T

T

T

Tn

BA

B

B

A

A

A

BA44 344 2144 344 21

La funcin cos nes positiva para npar y negativa para nimpar, con lo que el signola serie trigonomtrica de Fourier es:de los coeficientes se alterna. As,

( )( )

=

+

=

=

=

++= ...4sen

4

13sen

3

12sen

2

1sen

2)( tttt

Vtf

1

1

1

sen2

)1()(

sencos2

)(

:compactaformaEn

n

n

n

tnn

Vtf

tnnn

Vtf



153/263

PROBLEMA4

rectangular que se muestra.

Solucin:

De la form

n es par, por lo tanto la serie slo contendr trminos cosenos (todas las

Obtenga la serie trigonomtrica de Fourier para la corriente i(t) dada por el pulso

a de onda dada se puede observar lo siguiente:

1. La funci

constantes bnsern cero) ms una constante2

0a .

2. La funcin es susceptible de tener simetra de media onda, por lo que la serie

contendr solamente trminos impares cosenos m2

0as la constante .

L

3. El valor medio de i(t) es 3:

a serie trigonomtrica de Fourier def(t) est dada por:

( )

=

++=

++++++= 0 coscos)( ttf aaa

1

0

2121

sencos2

)(

...2sensen...22

nnn

tntntf

ttt

baa

bb

Clculo de

:compactaformaEn

20a .

tes integracin de la funcinf(t) en un ciclo pueden tomarse en diversos

ejemplo si tomamos t0=0 debemos realizar tres integrales, en los

guientes intervalos:

Los lmi de

intervalos, por

si


154/263



155/263


De la expresin calculada para2

sen12

n

nan= se ve que para n=2,4,6, y0=an

para n impar los signos se alternan, por lo que la serie slo contiene cosenos impares

ms una constante2

0 . As, la serie trigo de Fourier e

anomtrica s:

=

+=

+++= ...2

cos72

cos52

cos32

cos3)(ti

1n 2cos

2sen

123

:compactaforman

71513112

tnnn

i(t)

tttt

E


156/263


PROBLEMA5

Exprese mediante su serie tri la seal senoidal rectificada demedia onda que se muestra en la

Solucin:

Se observa que la funcin no presenta ningn tipo de simetra, por lo que no es par ni

impar y la serie contendr trminos senos y cosenos.

La serie de Fouri

gonomtrica de Fourierfigura.

er tiene la forma:

( )

=

++= sencos)(nn

tntntv ba

Clculo de a0.

Ntese que en este problema la variable es t.

12 n

0a

[ ] [ ]

[ ]

t

tv


157/263


aClculo de n

)(cossen)(0)(cossen22

2queobservaSe

20

0sen V

)(

0

2

0

0

tntV

tdtntV

T

t

tttf

na tdtd =+=

=


158/263


159/263


160/263

* Puede verse que la integral buscada vale cero para toda n1, sin embargo se hace un desarrollo similar al que se uspara el clculo de ancon el fin de clarificar el resultado.

Elvio Candelaria Cruz 197obtenemos

+=

+

+++=

++

+

+

+=

...6cos35

24cos

15

22cos

3

2sen

21)(

sen2

...35

6cos

15

4cos

3

2cos2)(

sen2

...6cos)361(

24cos

)161(

22cos

)41(

2)(

ttttV

tv

tVtttVV

tv

tV

tV

tV

tVV

tv


161/263


PROBLEMA6

Se aplica la seal de la grfica al circuito mostrado. Encuentre la corriente

stantnea i(t). Considere =103rad/seg.

olucin:

La seal en diente de sierra de la figura ha sido analizada en el problema nm. 3,abindose obtenido la serie de Fourier siguiente:

in

S

h

++= ...4sen4

13sen

3

12sen

2

1sen

2

)( ttttV

tv

ustituyendo valores y con una aproximacin de los tres primeros armnicos de la serie,ndremos

Ste

+= t.t.t.t 3000sen4882000sen73121000sen4625)(

Analizaremos ahora la red dada como una red con multifrecuencias.

Red auxiliar de C.A.


162/263


163/263

amp.tx

amp.x

ixi

segrad

t

amp.tx

amp.xx

ixi

segrad

t

amp.tx

amp.x

ii

segrad

ti

ZEI

Z

EtE

ti

ZEI

Z

EtE

ti

ZEI

Z

T

T

T

T

T

T

)85.23sen(30001014.08

85.231014.0885.23602

08.48

85.2360260050)(0.2)10(350

esredladeimpedanciala3000Para

08.4808.48sen300

armnicoTercer

)97.13sen(20001031.57

97.131031.57262.871031.5782.87403.11

18012.73

82.87403.1140050)(0.2)10(250

2000Para

volts18012.730012.73sen20

armnicoSegundo

)75.96sen(100010123.5

esientecorrespondsenoidalfuncinlaqueloPor

75.9610123.575.96206.15

025.46

75.96206.1520050)(.2)(1050

esredladeimpedanciala1000Para

3

3

3

3

33

3

3

3

3

)('''

'''''''''

'''

''')('''

)(''

''''''

''

'')(''

)('

'''

'

=

=

=

=+=+=

=

==

+=

==

=

=+=+=

=

==

=

=

=

=+=+=

=

=

=

=



164/263

La suma de las corrientes parciales halladas es la corriente instantnea del circuito.

amp.tx

txtxti

titititi

)85.23sen(30001014.08

)97.13sen(20001031.57)75.96sen(100010123.5

3

33)(

)(''')('')(')(

+

++=

++=



165/263

PROBLEMA7

Encuentre la corriente instantnea que circula por la bobina de la red mostradacuando E(t) e

126959068 Problemario de Circuitos Electricos II

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