-
Bab 7 : Taburan Normal7.1Pengenalan7.2Taburan Normal
Piawai7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z7.2.2
Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalian7.3Mendapatkan
kebarangkalian bagi taburan normal7.4Mendapatkan nilai bagi taburan
normal7.5Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan
binomial
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.1PengenalanDefinisi:Jika satu pembolehubah rawak selanjar
mempunyai taburan di mana graf adalah simetri dan berbentuk loceng,
kita katakan ia tertabur normal atau mempunyai taburan normal.Min
=
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.1PengenalanParameter bagi lengkung normal >> min, dan
sisihan piawai, Lengkung normal simetri sekitar minSerakan taburan
normal bergantung kepada sisihan piawai
Semakin besar >> lengkung menjadi semakin mendatar
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.1Pengenalan
Rajah 2
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.1PengenalanSatu lengkung normal akan mempunyai ciri-ciri
berikut:Berbentuk locengSimetri sekitar minMenghampiri paksi
melintang tetapi tidak akan menyentuh apabila di luar julat -3
hingga +3
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.1Pengenalan
Rajah 3
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2 Taburan normal piawai
Taburan normal piawai adalah taburan kebarangkalian normal yang
mempunyai min, = 0 dan sisihan piawai, = 1
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2 Taburan normal piawai
Dengan = 0 dan = 1, mudahkan utk mengira kawasan dibawah
lengkung. Luas kawasan di bawah lengkung = 1Rajah 4
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zDaripada
rajah 4, kawasan di bawah lengkung adalah 0.3413Untuk mengetahui
kawasan tersebut (juga dirujuk sebagai kebarangkalian), rujuk
kepada jadual taburan normal piawai.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zPanduan
jadual taburan normal piawai:Jadual ini hanya boleh digunakan untuk
taburan normal piawai yang mempunyai = 0 dan = 1.Nilai2 yg terdapat
dalam jadual menunjuk kpd kawasan di bawah lengkung. Ada bny jenis
jadual.Skor z = jarak pada skala melintang bagi taburan normal
piawai; rujuk di sebelah kiri dan atas jadual.Kawasan = luas
dibawah lengkung; nilai di dalam ruang tengah jadual.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 1:Sykt Precision Scientific Instrument mengeluarkan
termometer yg memberi bacaan 0C pada tahap beku air. Ujian yg
dijlankan ke atas satu sampel termometer tersebut mendapati
sesetengah termometer memberi bacaan di bawah 0C pada tahap beku
air manakala sebahagian memberi bacaan di atas 0C. Andaikan min
bacaan adalah 0C dan sisihan piawai adalah 1.00C serta bacaan suhu
adalah bertaburan normal. Jika satu termometer dipilih secara
rawak, dapatkan kebarangkalian bahawa pada tahap beku air bacaan
adalah 0C dan 1.58C.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 1: PenyelesaianDapatkan kawasan di antara 0 dan z. z =
1.58
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 2:Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu
termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara 2.43C
dan 0C pada tahap beku air.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 3:Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu
termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan lebih daripada
1.27C pada tahap beku air.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 4:Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu
termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara 1.27C
dan 2.30C pada tahap beku air.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor
zKebarangkalian juga boleh menggunakan notasi-notasi seperti
berikut:
P(a < z < b)Kb bagi skor z berada di antara a dan bP(z
> a)Kb bagi skor z lebih besar daripada aP(z < a)Kb bagi skor
z lebih kecil daripada aBagi cth 4, dgn menggunakan
notasiP(1.27< z
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zBagi
taburan kebarangkalian selanjar seperti taburan normal,
kebarangkalian untuk mendpat nilai yg tepat adalah 0, iaitu P(z =
a)= 0.Misalnya, kebarangkalian mendpt seseorg secara rawak yg
mempunyai ketinggian tepat 165.79 cm adalah 0.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Lebih daripada xBesar daripada xTidak kurang daripada
xSekurang-kurangnya x
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Kurang daripada xTidak lebih daripada x
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Di antara x1 dan x2
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.2.2Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalianContoh
5:Guna cth yg sama, dapatkan suhu yang berkaitan dengan P95,
persentil ke 95.Dari itu z = 1.645
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 6:Guna contoh yg sama, dapatkan P10, persentil ke-10Dari
itu z = -1.28
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Satu pembolehubah yg tertabur normaldengan min, = 0 dan sisihan
piawai, = 1dikatakan mempunyai taburan normalpiawai.Dari segi
praktikal tidak dapatmin, = 0 dan sisihan piawai, = 1, tapi
perolehi taburan normal am.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Tukar taburan normal am kepada taburan normal piawai menggunakan
rumusz = x -
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Apabila diberi taburan normal, anda boleh menggunakan jadual
taburan normal piawaiuntuk mendapatkan kebarangkalian atauskor z
seperti sub topik sebelum ini dengansyarat nilai ditukar kpd skor z
dahulu.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan kebarangkalian bagi
pembolehubah rawak dengan taburan normal.Lakarkan lengkung normal,
labelkan min dan nilai x.Lorekkan kawasan yg dikehendaki.Utk nilai
x iaitu sempadan kawasan yg berlorek
gunakan formula z = x - utk menukarkan nilai kpd skor z.4.Rujuk
jadual utk mendptkan kebarangkalian
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 7:Dlm merekabentuk semula tempat duduk jet utk
disesuaikan dgn juruterbang wanita, didapati berat wanita adalah
bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Jika
seorg wanita dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian dia
mempunyai berat di antara 143 lb dan 201 lb.Lakar lengkung normal
dan lorek kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 7: (Samb)
Katakan X : berat ~ N(143, 292)Tukarkan nilai kepada skor z,
Z~N(0,1)Dari itu P(143 < x
-
Contoh 8:Katakan rekabentuk tempat duduk jet yg asal boleh
menampung berat lelaki di antara 140 lb dan 211 lb. Berapa
peratuskah wanita yg mempunyai berat yg sama seperti selang
tersebut?
Bab 7 - Taburan Normal
- Contoh 8:Kawasan yang dikehendaki adalah A + BDari itu P(140
< x
-
Fikir dan buat 1Ketinggian ketika duduk di dalam kereta
merupakan kriteria penting dalam merekabentuk model kereta yang
baru. Golongan lelaki mempunyai ketinggian ketika duduk yang
bertaburan normal dengan min 36 inci dan sisihan piawai 1.4 inci.
Jurutera-jurutera di sebuah kilang pemasangan kereta telah
mengemukakan perancangan pembuatan yang boleh memberikan ketinggian
ketika duduk sehingga 38.8 inci. Walau bagaimanapun ia tidak dapat
memberikan keselesaan kepada lelaki yang mempunyai ketinggian lebih
daripada itu. Jika seorang lelaki dipilih secara rawak, dapatkan
kebarangkalian dia mempunyai ketinggian ketika duduk yang kurang
daripada 38.8 inci. Berdasarkan keputusan tersebut, adakah
rekabentuk yang baru ini sesuai?
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal
Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan nilai.1.Lakarkan
lengkung normal.2.Lorekkan kawasan yg dikehendaki
melaluikebarangkalian atau peratusan yg diberi.Guna jadual utk
dapatkan skor z yg berkaitan dgn
kawasan yg dikehendaki disempadani oleh nilai x.a) drp jadual,
dapatkan nilai yg hampirb) tentukan skor z.Masukkan ke dalam
formula, utk dapatkan x.
x = + (z )
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 9:Dengan menggunakan peristiwa berat wanita yg bertaburan
normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Dapatkan nilai
P10.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 9:Dengan itu,z = -1.28 = 143 = 29
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 10:Andaikan suhu badan bagi org dewasa yg sihat adalah
bertaburan normal dgn min 98.20F dan sisihan piawai 0.62F. Jika
seorg penyelidik ingin membuat kajian ke atas org dewasa 2.5% di
bawah dan org dewasa 2.5% di atas, dptkan suhu yg dimaksudkan.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 10:Dengan itu,z = 1.96 = 98.2 = 0.62dan,z = -1.96 = 98.2
= 0.62
Bab 7 - Taburan Normal
-
Fikir dan buat 2Pada lazimnya purata jangkamasa ujian pencapaian
ialah 70 minit, dengan sisihan piawai 12 minit. Berapakah
jangkamasa yang harus diberikan agar 90% daripada pelajar akan
dapat siap peperiksaan tersebut.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Fikir dan buat 3X~N(0,1). Dapatkan kuartil ke-3 dan pertama bagi
taburan X.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan
binomial
Kaedah ini digunakan untuk mendapatkankebarangkalian
binomial.Kaedah penghampiran normal dalam menyelesaikan masalah
kebarangkalian binomial selalunya digunakan setelah prosidur lain
tidak boleh digunakan atau memakan masa yang lama.Lazimnya
digunakan apabila n bagi taburan binomial terlalu besar. Apabila n
terlalu besar sukar buat pengiraan.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan
binomial
Misalnya satu soal selidik dijalankan ke atas 500pelajar sekolah
menengah untuk mengetahui samadamereka berminat di dalam
matapelajaran matematik.Tiap-tiap pelajar dikehendaki menjawab ya
atautidak. Katakan kb seseorang meminati matematikialah 0.5.Ini
ujikaji binomial, X~b(x;500,0.5)Katakan kita hendak P(X280) =
f(0)+f(1)++f(280)Maka pengiraan menjadi rumit, apabila n
besar.ATAUn tiada dlm jadual, p terlalu kecil.
Bab 7 - Taburan Normal
-
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan
binomial
Jika np 5 dan nq 5, maka pembolehubah rawak binomial adalah
hampir tertabur dengan min dan sisihan piawai seperti berikut
Bab 7 - Taburan Normal
-
Langkah-langkah utk melakukan penghampiran
MulaSelesaikan masalah kebarangkalianbinomial
menggunakanFormulaJadual
Adakah np 5 dan nq 5 adalah benarLakarkan lengkung normal dan
kawasan yg dikehendaki. Buatpembetulan keselanjaran.Kira z = x -
Rujuk jadual
Bab 7 - Taburan Normal
-
Prosidur menggunakan taburan normal sebagai penghampiran kepada
taburan normalSemak samada np 5 dan nq 5. Jika tidak jangan lakukan
penghampiran.Dapatkan nilai bagi parameter dan menggunakan formula
dan
Kenalpasti nilai diskrit x. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd
nilai selang drp x - 0.5 atau x + 0.5. Lakarkan lengkung normal dan
masukkan nilai.Dapatkan kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Pembetulan keselanjaran
Oleh kerana taburan binomial adalah berbentuk diskrit dan
taburan normal berbentuk selanjar, apabila menggunakan penghampiran
normal, kita perlu tukar nombor diskrit kepada nombor selanjar
iaitu selang 0.5 di bawah nombor diskritdan 0.5 di atas nombor
diskrit.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Prosidur membuat pembetulan keselanjaran.Apabila menggunakan
taburan normal sebagai penghampiran kpd taburan binomial, hendaklah
sentiasa buat pembetulan keselanjaran.Kenalpasti nombor diskrit x.
drp cth 11, nombor diskrit x adalah x = 520.Lakarkan taburan normal
dan tandakan x. tandakan disebelah kiri x sebagai x 0.5 dan di
sebelah kanan x sebagai x + 0.5Kemudian kenalpasti apa yg
dikehendaki oleh masalah; sekurang-kurangnya x atau lebih drp x
atau kurang drp x atau tepat x. Kemudian lorek kawasan yg
dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 11Pengetua disebuah kolej mendapati calon-calon yg ingin
memasuki kolej telah dibahagi sama rata di antara lelaki dan
perempuan. Beliau membuat kesimpulan pelajar yg berjaya adalah 50%
lelaki dan 50% perempuan. Beliau menyemak data kemasukkan tahun
lepas dan mendapati drp 1000 org pelajar, 520 org adalah pelajar
lelaki. Dapatkan kebarangkalian memilih sekurang-kurangnya 520 org
lelaki secara rawak. Berdasarkan kebarangkalian tersebut, adakah
diskriminasi berlaku?
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 11Maklumat:Bilangan ujikaji, n =10002 kategori (lelaki,
perempuan) adalah kesudahan dgn kebarangkalin 0.5.Kalau guna
jadual, n sampai 30 shjDari itu guna penghampiran normal.Semak np 5
dan nq 5. (ya)
Nilai diskrit x = 520. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai
selang 519.5 dan 520.5Dapatkan kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 11
Tukarkan nilai kepada skor z
Dari itu kawasan = 0.1093
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh : rujuk contoh 11
PernyataanKawasan1. Sekurang-kurangnya 520Ke kanan 519.52. Lebih
drp 520Ke kanan 520.53. Tidak lebih drp 520Ke kiri 520.54. Kurang
drp 520Ke kiri 519.55. Tepat 520Di antara 519.5 dan 520.5
Bab 7 - Taburan Normal
-
15432
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 12Menurut satu kajian yg lepas, kira-kira 4.4% kemalangan
kereta adalah disebabkan tayar tidak sempurna. Jika satu kajian
membuat pemilihan secara rawak terhadap 750 kes kemalangan,
dapatkan kebarangkalian tepat 35 kemalangan disebabkan tayar tidak
sempurna.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 12Taburan binomial, n = 750 p = 0.044 q = 0.956 x =
35X~b(x;750, 0,044)Semak np 5 dan nq 5. (ya)
X~N(33, 31.55)
Bab 7 - Taburan Normal
-
Contoh 123. 4.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Fikir dan buat 4Di dalam sebuah kotak yang akan dihantar ke
sebuah kedai komputer terdapat 100 unit tetikus. Dengan
penghampiran Normal, hitung kebarangkalian bahawa,i.tidak lebih
daripada 5 unit tetikus mengalami kerosakan.ii.4 hingga 7 unit
tetikus mengalami kerosakan.iii.Di dapati 20% daripada tetikus yang
dihantar lebih daripada k unit mengalami kerosakan. Cari nilai
k.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Fikir dan buat 5A survey conducted by the Association of
Executive Search Consultantsrevealed that 75% of all chief
executive officers believe that corporationsshould have fast-track
training programs installed to help developespecially talented
employees. At the same time, the study found that only 47% of the
companies actually have such programs operating at their companies.
Average annual sales of the companies in the sample were $2.3
billion (Fortune, How to Tame the Fiercest Headhunter, July 20,
1998). Suppose you randomly selected 50 of the questionnaires
returned by the collection of CEOs. Use the normal approximation to
the binomial distribution to find the probability that from within
your collection: i.More than 35 of the CEOs think that corporations
should have a fast-track program installed. ii.Fewer that 25 of the
companies have a fast-track program in operation. iii.Between 30 to
40 of the CEOs think that corporations should have a fast-track
program installed. iv.Between 20 to 30 of the companies have a
fast-track program in operation.
Bab 7 - Taburan Normal
-
Fikir dan buat 6Berdasarkan pengalaman lepas 5% daripada
tempahan tiket kapalterbang yang dibuat melalui telefon tidak
dituntut. 20 tempahan tiket kapalterbang dipilih secara rawak.
Hitungkan kebarangkalian bahawa5 orang penumpang tidak menuntut
tiket yang ditempahnya.Kurang daripada 4 orang penumpang tidak
menuntut tiket yang ditempahnya.Tidak kurang daripada 3 orang
penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.Sekiranya sebuah
agensi pelancongan menerima 300 tempahan, dengan menggunakan
penghampiran normal, berapakah kebarangkalian
bahawaSekurang-kurangnya 5 orang penumpang tidak menuntut tiket
yang ditempahnya.3 hingga 8 orang penumpang tidak menuntut tiket
yang ditempahnya.
Bab 7 - Taburan Normal