Jan 02, 2016
名称
图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等
腰
三
角
形
A
B C
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2. 等边对等角
3. 三线合一
4. 是轴对称图形
2. 等角对等边
1. 两边相等1. 两腰相等
回顾旧知,引入新知
等边三角形 在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边相等。
我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形)。
想想看,等腰三角形的性质可用于等边三角形吗?
A
B C
等边三角形性质探索 :
A
B C
已知: AB=AC=BC ,求证: ∠ A= B= C= 60°∠ ∠
性质的符号语言表述 ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC=BC , ∠ A= B= C= 60°∠ ∠
证明 : AB∵ = AC( 已知) ∴∠C =∠ B.( 等边对等角) 又∵ AB = BC ( 已知) ∴ ∠C =∠ A.( 等边对等角) ∴∠A =∠ B =∠ C.
∵ ∠A+ B+ C= 180°∠ ∠ ∴ ∠A= B= C=60°∠ ∠
求证: 等边三角形的三个内角都相等且等于 60° 。
2. 等边三角形是轴对称图形吗?若是,有几条对称轴?指出它的对称轴?• 结论 : 等边三角形是轴对称图形, 有三条对称轴,对称轴是 顶角平分线或底边上的高, 中线所在的直线
B C
A
3. 等边三角形每边上的中线 , 高和所对角的平分线都三线合一吗 ? 为什么 ?
结论 : 等边三角形各边上中线 , 高和所对角的平分线都三线合一 , 它们交于一点 , 这点叫三角形的中心 .
B C
A
等边三角形的性质1. 等边三角形的内角都相等 , 且等于 60 °
2. 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴 .
3. 等边三角形各边上中线 , 高和所对角的平分线都三线合一 .
例 1 、 在正三角形 ABC 的边 AB 、 AC 上分别取点M 、 N ,使得∠ 1= 2∠ ,连接 BN 、 CM 。( 1 )求证: BN=CM ;( 2 )求∠ NOC 的度数 .( 1 )证明: ∵ △ ABC 是正三角形,
∴AB=BC , ∠ A= ABC= 60°.∠在△ ABN 和△ BCM 中,
∴ △ABN ≌ BCM△ ( ASA )∴BN=CM.
1 2
,
,
A MBC
AB BC
( 2 )解:由三角形外角性质得 ∠NOC= ∠ 2+ ∠ OBC 又∵ ∠ 1= 2∠ ∴ ∠NOC = ∠ 1+ ∠ OBC = ∠ ABC = 60°.
A
B C
MNO
12
A
D E
B C
例 2. 如图, △ ABC 是等边三角形, DE//BC, 交 AB,AC 于 D,E . 求证 : ADE△ 是等边三角形
证明:∵ △ ABC 是等边三角形
∴ ∠A= B= C∠ ∠
∵ DE//BC
∴ ∠ADE= B, AED= C∠ ∠ ∠
∴ ∠A = ADE= AED∠ ∠
∴ △ADE 是等边三角形
1 、下列推理错误的是( ).
A .因为∠ A= B= C∠ ∠ ,所以△ ABC 是等边三角形
B .因为 AB=AC ,且∠ B= C∠ ,所以△ ABC 是等边三角形
C .因为∠ A=60° ,∠ B=60°, 所以△ ABC 是等边三角形
D .因为 AB=AC ,且∠ B=60° ,所以△ ABC 是等边三角形
2. 在等边三角形 ABC 的边 AB 、 AC 上分别截取 AD = AE ,则 △ ADE (填“是”或“不是”)等边三角形
A
D E
B C
3. 如图,△ ABC 是等边三角形, CD 是∠ ACB 的平分
线,过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 E ,已知△ ABC 的
边长为 a,则 EC 的长是( ).
A . B .
C . D .无法确定
ED
CB
A1
2a
2
3a
3
5a
4. 如图,等边三角形 ABC 中, AD 是 BC 边上的高,
∠ BDE= CDF=60°,∠ 图中与 BD 相等的线段共
有 条A
B CD
E F
5. 等边三角形 ABC 的一条内角平分线长为 4cm,
则该角所对边上的中线长为 cm,
高线长为 cm
例 3 如图①,点 C 为线段 AB 上一点,△ ACM 、△ CBN 是等边三角形,直线 AN 、 MC 交于点 E , BM 、 CN 交于点 F.
(1) 求证: AN=BM;
(2) 求证:△ CEF 为等边三角形 ;
N
M
FE
C BA
2 、如图,△ ABC 是等边三角形,∠ B 和∠ C 的平分线相交于 D , BD 、 CD� 的垂直平分线分别交 BC 于 E 、 F ,求证: BE=CF .
2
1
E
D
C
A
B F